На правах рукописи

КАЛИНИН Евгений Игоревич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ И СТАЦИОНАРНЫХ

ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2011

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент, Мазо Александр Бенцианович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Аганин Александр Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор, Исаев Сергей Александрович

Ведущая организация: Институт механики Московского государственного университета

Защита состоится 29 декабря 2011 г. в часов на заседании диссертацион ного совета 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном универ ситете, расположенном по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжско го) федерального университета.

Автореферат разослан 28 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент А. А. Саченков

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Исследование взаимодействия по тока вязкой жидкости с твердыми телами является одной из центральных проблем механики. Известно, что режим таких течений может существенно зависеть от параметров и геометрии задачи. Выделение точек бифуркации (условий, при которых происходит смена режима течения) важно для пони мания природы гидродинамических явлений и анализа возникающих неустой чивостей, которые необходимо учитывать при проектировании инженерных конструкций.

Одной из модельных задач, для которой в зависимости от параметров те чения существуют как периодические, так и стационарные решения, является задача об обтекании цилиндра, вращающегося вокруг своей оси с постоянной скоростью. Многочисленные эксперименты показывают, что для умеренных чисел Рейнольдса в случае, когда линейная скорость вращения цилиндра пре вышает скорость набегающего потока более чем в два раза, течение в следе за цилиндром стационарно. Однако, в недавних численных исследованиях этой задачи в двумерной постановке были получены устойчивые периодические решения и для бльших скоростей вращения. Детального параметрического о анализа таких решений до сих пор проведено не было.

Особый теоретический и практический интерес представляют задачи о термоконвективных течениях. Исследование режимов конвекции вязкой теп лопроводной жидкости около нагревателей в каналах и трубах вкупе с изуче нием поведения локальных характеристик потока позволило бы существенно продвинуться в понимании термогидродинамических процессов, а также вы явить новые возможности для интенсификации теплообмена.

Решение названных задач гидродинамики предполагает численное ин тегрирование уравнений Навье-Стокса. В настоящее время для этого широ ко используются универсальные коммерческие пакеты программ, такие как FLUENT, CFX, StarCD и др. Унифицированные подходы к построению рас четных алгоритмов, применяемые в этих пакетах, наряду с очевидными пре имуществами содержат и недостаток, связанный с относительно невысокой скоростью расчетов. К тому же, выявление специфических гидродинамиче ских взаимодействий зачастую требует тонкой настройки решателя, что быва ет затруднительно из-за закрытости программного кода. Поэтому построение и тестирование новых экономичных численных алгоритмов для конкретных задач гидродинамики остается актуальной проблемой.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода числен ного решения уравнений Навье-Стокса и исследовании на его основе стацио нарных и периодических эффектов, возникающих в течениях вязкой тепло проводной жидкости при обтекании твердых препятствий.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

– разработан алгоритм численного решения задач внешнего обтекания системы тел потоком несжимаемой теплопроводной жидкости;

– произведено детальное тестирование предложенного метода на репре зентативных задачах;

– исследовано вынужденное течение около вращающегося кругового ци линдра в широком диапазоне чисел Рейнольдса и скоростей вращения;

построена параметрическая карта режимов течения;

– выполнено математическое моделирование естественной конвекции в вертикальном канале около системы нагревателей; исследовано влияние формы и компоновки нагревателей на режим течения и интенсивность теплообмена.

Научная новизна.

– Предложен новый метод численного решения системы уравнений На вье-Стокса в терминах функция тока – завихренность в областях с мно госвязной границей.

– По результатам численного моделирования обтекания вращающегося цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости впервые построена карта стационарных и периодических режимов течения в широком диа пазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения; обнаружена область отрицательных значений коэффициента сопротивления.

– Изучены стационарные и периодические режимы естественной конвек ции в канале с системой нагревателей различных форм и компоновок.

Практическая значимость. Предложенный численный метод реше ния системы уравнений Навье-Стокса может быть использован для решения широкого класса задач вычислительной гидродинамики, включая расчет об текания крыловых профилей, решеток нагревателей и пакетов труб. Резуль таты моделирования естественной конвекции и теплообмена в каналах с си стемой нагревателей различных форм и компоновок могут быть применены при проектировании теплообменных аппаратов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функ ция тока-завихренность с произвольными числами Рейнольдса для дву мерных задач внешнего обтекания системы тел, позволяющий модели ровать как вынужденные течения, так и естественную конвекцию в ка 2. Детальное тестирование метода на репрезентативных задачах: развитие течения Пуазейля в канале, вязкое безграничное обтекание цилиндра, эллипса и крылового профиля при числах Рейнольдса Re < 106, есте ственная конвекция в вертикальном канале около квадратного нагрева 3. Параметрическая карта режимов обтекания вращающегося цилиндра в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения, включающая два периодических и два стационарных течения, а также течения с отрицательным коэффициентом сопротивления.

4. Закономерности влияния форм и компоновок нагревателей на интенсив ность теплообмена, скорость и режим течения при естественной конвек ции в вертикальном канале.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Итоговая научно-образовательная конферен ция студентов КГУ, 2007, 2008; Международная конференция по неравновес ным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2010 г.; Международная школа семинар Модели и методы аэродинамики, г. Евпатория, 2008–2011 гг., Пя тая Российская национальная конференция по теплообмену, г. Москва, 2010 г.;

Всероссийская молодежная конференция-школа Современные проблемы ма тематического моделирования, п.Абрау-Дюрсо, 2009 г.; Международная кон ференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2009, 2011 гг.; Всероссийская конференция Сеточные методы для краевых задач и приложения, г. Казань, 2009 г.; Ито говая научная конференция КФУ 2008–2011 гг.

Достоверность представленных результатов обеспечивается использо ванием классических уравнений гидромеханики при математической поста новке задач, применением апробированных методик к построению вычисли тельных схем и алгоритмов, тестированием предложенных алгоритмов на репрезентативных задачах, а также хорошим согласованием полученных ре зультатов с известными численными, аналитическими и экспериментальными данными.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 19 печатных ра ботах, из них 4 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Автор диссертации участвовал в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Им разработан и запрограм мирован экономичный конечноэлементный алгоритм расчета двумерных за дач обтекания в переменных функция тока – завихренность. Все расчеты и обработка их результатов выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем дис сертации составляет 142 страницы, включая 64 рисунка. Библиография вклю чает 147 наименований на 17 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулированы цель и задачи исследований, отмечена научная новизна и практи ческая значимость полученных результатов; представлены положения, выно симые на защиту. Далее приводится обзор литературы для задач о вязком обтекании вращающегося цилиндра и естественной конвекции в вертикаль ном канале, а также обзор существующих методов расчета течений вязкой несжимаемой жидкости.

В первой главе представлен метод расчета нестационарных задач об текания системы тел потоком вязкой несжимаемой жидкости.

В п. 1.1 рассмотрена дифференциальная постановка плоских задач о течении вязкой жидкости в переменных функция тока – завихренность.

Система определяющих уравнений в безразмерных переменных имеет вид На обтекаемых контурах i используются условия прилипания где Vi – заданная касательная скорость жидкости на контуре i, а Ci (t) – неиз вестные функции, для определения которых постановка задачи дополняется нелокальными условиями На боковых стенках 0, N +1 используются либо условия прилипания для задач о течении в канале, либо условия идеального скольжения для задач о безграничном течении.

В задачах с неизвестным расходом C0(t) и заданным перепадом давле ния [p]0 между входным и выходным сечениями канала для определения C записывается нелокальное условие Во входном сечении in используются однородные граничные условия второго рода На выходной границе out в задачах о течении в канале также применяются "мягкие" условия при рассмотрении безграничных течений на out используются неотражаю щие конвективные условия В п. 1.2 проводится дискретизация по времени определяющей системы (1), (2) с использованием двухслойной линеаризованной схемы; приводится алгоритм решения полудискретизованной системы уравнений с нелокальны ми граничными условиями (3), (4).

В п. 1.3 строится пространственная аппроксимация определяющих диф ференциальных соотношений методом конечных элементов на сетке билиней ных четырехугольных элементов. Для подавления нефизичных осцилляций в численном решении уравнения (1) при Re 1 аппроксимация конвективного слагаемого осуществляется с применением TVD-подхода. Система сеточных уравнений решается итерационным многосеточным алгебраическим методом (AMG). Параллельная программная реализация вычислительного алгоритма производится на платформе NVIDIA CUDA.

Во второй главе проводится тестирование предложенного метода реше ния уравнений Навье-Стокса в терминах – на репрезентативных задачах.

В п. 2.1 представлены результаты тестирования алгоритма на двух за дачах с известным точным решением. Решение первой задачи описывает пе риодическое во времени течение в области с многосвязной границей1. Вто рая тестовая задача установление из состояния покоя течения Пуазейля с числом Re = 100 в канале c заданным перепадом давления. Для обеих задач показана сходимость численного решения к точному с уменьшением пространственного шага сетки.

Тестирование алгоритма на известных приближенных решениях и срав нение с известными численными и экспериментальными результатами других авторов проводится в п. 2.2. В качестве тестовых выбраны три задачи.

1). Обтекание неподвижного кругового цилиндра при Re < 500.

2). Обтекание эллипса и крылового профиля с большими Re.

3). Обтекание кругового цилиндра при Re > 104; моделирование турбулент ности и кризиса сопротивления.

В задаче 1 подсчитаны распределения давления и касательных напря жений по границе цилиндра, а также коэффициенты сопротивления и числа Liu J. G., Wang C. High order nite dierence methods for unsteady incompressible ows in multi connected domains//Comp. & Fluids. 2003. №33. Pp. 223- Струхаля в зависимости от числа Re; полученные результаты хорошо согла суются с численными и экспериментальными данными других авторов.

Полученные при решении задачи 2 в диапазоне 104 < Re < 106 осреднен ные по времени распределения коэффициентов давления и касательного на пряжения по поверхности обтекаемого тела хорошо согласуются с решением для эллипса (с отношением полуосей 6:1) и крылового профиля NACA 64A в указанном диапазоне чисел Рейнольдса.

Рис. 1. Поле при Re = 104 (а), Re = 106 (б); осредненное поле при Re = 106 (в) Рис. 2. Кризис сопротивления по расчетным и экспериментальным данным. 1 – наш расчет, 2 – расчет3, 3 – 3D расчет в пакете Fluent, 4 – эксперимент А. Рошко, 5 – расчет Петров А. Г. Аналитическая гидродинамика // М.:ФИЗМАТЛИТ, Singh S.P., Mittal S. Flow Past a Cylinder: Shear Layer Instability and Drag Crisis // Int. J. for Num.

Meth. in Fl. 2005. v.47. Pp. 75– Dynnikova G.Ya. The Viscous Vortex Domains (VVD) method for non-stationary viscous incompressible ow simulation // Proc. of the IV European Conference on Computational Mechanics, Paris, May 16-21, 2010.

http://www.eccm2010.org/complet/fullpaper_193.pdf Рис. 3. Параметрическая карта режимов течения (периодические зоны заштрихованы) Численное решение тестовой задачи 3 воспроизводит известные особен ности качественной перестройки течения при увеличении числа Рейнольдса.

На рис. 1 показаны мгновенные поля завихренности для ламинарного при Re = 104 (а) и турбулентного при Re = 106 (б) режима течения, а также осредненные по времени линии тока (в). Хорошо видно смещение линий от рыва потока вниз по течению и сужение турбулентного следа за телом.

Осредненные коэффициенты сопротивления (рис. 2) отражают эффект кризиса сопротивления при Re 105 и удовлетворительно согласуются с альтернативными результатами прямого численного решения двумерной си стемы Навье-Стокса. С помощью решения задачи в трехмерной постановке с применением пакета FLUENT показано, что причиной отклонения получен ных Cx при Re < 105 от экспериментальных данных является применение двумерной постановки.

В третье главе проводится детальное параметрическое исследование задачи об обтекании кругового цилиндра, вращающегося с безразмерной ско ростью в диапазоне 50 Re 500, 0 7. На основе проведенных расчетов построена параметрическая карта режимов течения (рис. 3), на ко торой выделена область периодического течения с образованием дорожки Кармана в следе за цилиндром (зона 1), области стационарного течения с по ложительным (зона 2а) и отрицательным (зона 2б) коэффициентом сопротив ления, область периодического течения со срывом крупных вихрей с верхней кромки цилиндра (зона 3) и область стационарного течения при больших скоростях вращения (зона 4). Мгновенное поле завихренности для второго периодического режима представлено на рис. 4.

На рис. 5 показано, что для больших скоростей вращения коэффициент сопротивления стремится к нулю, а подъемная сила неограниченно возраста ет по закону, близкому к линейному Cy = 2, что подтверждает асимптоти ческое решение задачи при 5.

Рис. 5. Зависимость коэффициентов Cx и Cy от скорости вращения для Re = 200.

1 – наш расчет; 2 – решение задачи о циркуляционном обтекании Рассчитанные линии тока вязкого течения при больших близки к ли ниям тока потенциального течения (рис. 6).

В четвертой главе рассматривается задача о естественной конвекции в вертикальном канале c теплоизолированными стенками и помещенными Moore D. W. The ow past a rapidly rotating circular cylinder in a uniform stream // J. Fluid Mech.

1957. №2. Pp. 541– Рис. 6. Линии тока при вязком (Re = 200) (а) и потенциальном (б) обтекании вращающе гося cо скоростью = 5 цилиндра в него нагревателями. Температурное расширение жидкости учитывается в рамках приближения Буссинеска. В декартовой системе координат с осью x, направленной против силы тяжести, ускорение массовых сил в безразмерном виде записывается как f = (T, 0). Для расчета температурного поля постанов ка задачи (1), (2) дополняется уравнением конвективной теплопроводности В рассматриваемой задаче безразмерные числа Re и Pe определены через характерную скорость естественной конвекции u0 = (T1 T0 )Dg.

Сеточная схема для задачи (5) строится по аналогии со схемой для урав нения переноса завихренности (1): используется метод конечных элементов и TVD-подход для аппроксимации конвективной производной.

Для тестирования метода численного решения задач о естественной кон векции в вертикальном канале производится расчет течения около квадрат ного нагревателя. Полученные картины и скорости течения, а также инте гральные числа Нуссельта Nu при Gr = Re2 < 105, Pr = Pe/Re = 0. хорошо совпадают с известными численными и экспериментальными данны ми6.

Рис. 7. Интегральное число Nu в зависимости от чисел Gr при конвекции около кругово го (кривая 1) и профилированного (2) нагревателей (а); отношение чисел Нуссельта для кругового Nu1 и профилированного Nu2 нагревателей (б) В п. 4.2 рассматривается задача о конвекции около одиночных изопе риметрических нагревателей круговой (с диаметром D) и профилированной (NACA 0040) формы при Pr = 0.72, 103 < Gr < 105. Нагреватели расположе ны в канале длины 60D ширины 5D на расстоянии 15D от входного сечения.

Показано, что для кругового нагревателя в зависимости от числа Gr наблю дается стационарное (Gr < Gr 3 · 103) либо периодическое (Gr > Gr ) течение. При смене режима происходит заметное увеличение интенсивности теплообмена. Для профилированного нагревателя в указанном диапазоне па раметров течение стационарно. Установлено, что в стационарном режиме об текания теплоотдача кругового цилиндра ниже, чем профилированного; од нако при Gr > Gr сравнительные показатели интенсивности теплообмена меняются (рис. 7).

В п. 4.3 проведено моделирование естественной конвекции около систе мы нагревателей различных компоновок при Gr = 104, Pr = 0.72.

Показано, что расположение нагревателей на линии поперек потока ока зывается более эффективным по скорости конвективного течения и по тепло Khodary K., Bhattacharyya T. K. Optimum natural convection from square cylinder in vertical channel // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2006. №27. Pp. 167–180.

Рис. 8. Поле температур при конвекции около круговых и профилированных нагревателей на моменты времени t = 130 (а), t = 20 (б), t = 80 (в), t = 360 (г) съему с поверхности нагревателей, по сравнению с расположением на линии вдоль потока. При конвекции около четырех цилиндрических нагревателей, расположенных квадратом, скорость течения оказывается большей, а интен сивность теплообмена – меньшей, по сравнению с шахматным расположени ем.

В п. 4.3.3 изучается развитие конвективного течения в канале из со стояния покоя. Рассмотрены случаи трех изопериметрических нагревателей круговой и профилированной формы, расположенных поперек потока. Тече ние около круговых цилиндров оказывается квазипериодическим (рис. 8, а), а около профилированных – развивается в несколько этапов. Сначала над нагревателями образуются грибовидные температурные факелы, которые с продвижением по каналу объединяются в один (рис. 8, б). При достижении скорости в канале критического значения u 3 в следе над нагревателя ми образуется вихревая дорожка Кармана (рис. 8, в). Когда факел покида ет верхнюю границу канала, скорость конвекции уменьшается, и дорожки Кармана в следе за нагревателями затухают. Окончательно устанавливается стационарный режим конвекции (рис. 8, г). В итоге профилированные на греватели обеспечивают больший расход жидкости, а круговые – бльшую интенсивность теплообмена.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Список публикаций по теме диссертации Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Калинин Е.И. Численное решение задач обтекания системы тел в перемен ных функция тока-завихренность / Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Ученые записки КазГУ. Серия физ.–мат. науки. 2009. – т.151, кн.3. С. 149–159.

2. Калинин Е.И. Численное моделирование естественной конвекции в верти кальном канале с системой нагревателей / Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Изв. высших уч. заведений. Сев.–Кав. регион. Серия естественные науки.

2010. – №6. С. 19–23.

3. Калинин Е.И. Стационарные и периодические режимы обтекания враща ющегося цилиндра / Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Ученые записки ЦАГИ.

2011. – т.42, №5. С. 59–71.

4. Калинин Е.И. Влияние формы нагревателей на теплообмен при естествен ной термоконвекции в вертикальном канале / Калинин Е.И., Мазо А.Б.

// Тепловые процессы в технике. 2011. – №4. С. 159–164.

Работы, опубликованные в других изданиях:

5. Гарнышев М.Ю. Численное моделирование естественной конвекции вяз кой жидкости в канале с несколькими нагревателями / Гарнышев М.Ю., Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. 2006.

– т.34. С. 51–54.

6. Калинин Е.И. Стационарные и периодические режимы естественной кон векции около горизонтальной решетки цилиндрических нагревателей / Калинин Е.И.// Сборник статей итоговой научно – образовательной кон ференции студентов КГУ 2007. – С. 48–51.

7. Мазо А.Б. Решение задач обтекания в переменных функция тока - вихрь методом конечных элементов с применением TVD-подхода / Мазо А.Б., Калинин Е.И.// Модели и методы аэродинамики. Материалы VIII Меж дународной школы-семинара. г. Евпатория, 4-13 июня, 2008. – С. 100–101.

8. Калинин Е.И. Численное моделирование сложных термоконвективных течений / Калинин Е.И.// Сборник статей итоговой научно – образова тельной конференции студентов КГУ. 2008. – С. 68–70.

9. Калинин Е.И. Численное решение задачи об обтекании системы тел в переменных функция тока – завихренность / Калинин Е.И.// Тр. Мат.

Центра им. Н.И. Лобачевского. 2008. – №37. С. 67–69.

10. Калинин Е.И. Математическое моделирование термоконвективных про цессов в переменных функция тока-завихренность / Калинин Е.И., Ма зо А.Б.// Сборник трудов ХIII Всероссийской молодежной конференции школы Современные проблемы математического моделирования, п. Аб рау-Дюрсо, 2009 г. – С. 252–258.

11. Калинин Е.И. Метод расчета сложных термоконвективных течений на основе уравнений Навье-Стокса в преобразованных переменных / Кали нин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным си стемам, г. Алушта, 2009 г. – С. 368–370.

12. Калинин Е.И. Алгоритмы расчета давления при решении уравнений На вье-Стокса в преобразованных переменных / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Модели и методы аэродинамики. Материалы IX Международной школы семинара, г. Евпатория, 2009 г. – С. 100–101.

13. Калинин Е.И. Расчет вязкого обтекания тела при больших числах Рей нольдса при помощи МКЭ / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2010 г. – С. 303–306.

14. Калинин Е.И. Расчет вязких отрывных течений на основе МКЭ с помо щью технологии CUDA / Калинин Е.И.// Материалы VIII Международ ной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алуш та, 2010 г. – С. 371–373.

15. Калинин Е.И. Расчет вязкого обтекания вращающегося цилиндра в до– и закритических режимах / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Модели и ме тоды аэродинамики. Материалы X Международной школы-семинара, г.

Евпатория, 2010 г. – С. 78–79.

16. Калинин Е.И. Теплообмен при свободной конвекции в канале с нагре вателями различной формы / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Труды пятой Российской национальной конференции по теплообмену. т.3, Свободная конвекция. Теплообмен при химических превращениях. 2010. – С. 82–85.

17. Калинин Е.И. Численное моделировании ламинарного обтекания враща ющегося цилиндра / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы VIII Всерос сийской конференции Сеточные методы для краевых зада и приложе ния. 2010. – С. 228–233.

18. Калинин Е.И. Численное моделирование развития турбулентности в от рывных течениях / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Модели и методы аэроди намики. Материалы XI Международной школы-семинара, г. Евпатория, 2011 г. – С. 78–79.

19. Калинин Е.И. Прямое численное моделирование кризиса сопротивления при обтекании кругового цилиндра / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Матери алы XVII Международной конференции по выч. механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2011 г. – С. 368–370.