На правах рукописи

Шерстюк Татьяна Юрьевна

О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА ФУНКЦИЙ,

ИМЕЮЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОЧЕК

РАЗРЫВА ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск – 2011

Работа выполнена в Читинском государственном университете (ЧитГУ) на кафедре информатики, вычислительной техники и прикладной математики

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент Абакумов Юрий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Сафонов Константин Владимирович доктор физико-математических наук, доцент Шлапунов Александр Анатольевич

Ведущая организация Петрозаводский государственный университет

Защита состоится 4 марта 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан «_» февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Бушуева Н.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева1 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?

В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами.

Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс.

Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начатое в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона2 и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского3 и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.

Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье4.

Однако в 1876 г. П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2 -периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно5.

Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблему равномерного приближения непрерывных Чебышев П.Л., Полн. собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 520 с.

Jackson D. The theary of approximat. New York: Amer. Math. Soc., См. также Тихомиров, В.М. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.14. – Москва, 1987. – С. 140-142.

Никольский, С.М. Избранные труды. Т. 1: Теория приближений. – М.: Наука, 2006. – 432 с.

Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. – Москва, 1960. – 468 с.

См., например, Тихомиров, В.М. Теория приближений / В.М. Тихомиров // ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.14. – Москва, 1987. – С. 142-143.

функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую функцию с порядком O ( n 1 ) (в том числе и sin t). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком O ( n 2 ). Операторы Фейера и Джексона укладываются в некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.

В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коровкина6.

В работе В.А. Баскакова7 была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие – тригонометрические операторы Баскакова.

Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов Т.В. Дубровиной10.

Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математичеКоровкин, П.П. Линейные операторы и теория приближений / П.П. Коровкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 212 с.

Баскаков, В.А. Об одном методе построения операторов класса S 2 m // Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу / В.А. Баскаков – Саратов, 1984. С. 19-25.

Баскаков, В.А. Об операторах класса функционального анализа в Теории приближений. – Тверь: ТвГУ, 2001. – С. 5-11.

Абакумов, Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова.

Научное издание / Ю.Г. Абакумов. – Чита: ЧитГУ, 2006. – 158 с.

Коган, Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и вблизи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. – Тверь: ТвГУ, 2004. – С. 107-115.

Дубровина, Т.В. Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье / Т.В. Дубровина. // Дис.... канд. физ.-мат. наук. Чита, 2005. 68 с.

ской науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.

Цель диссертации Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.

Методы исследования В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (С.М. Никольским, П.П. Коровкиным, С.Б. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность Результаты представляют теоретический интерес.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Энергетика в современном мире» (ЧитГУ, г. Чита, 2006), VII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения»

(ЧитГУ, г. Чита, 2007), VIII Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» (ЧитГУ, г. Чита, 2008), научных семинарах кафедры математики Читинского государственного университета (2005гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осеняя сессия) (Адлер, 2007), Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томский государственный университет, г. Томск, 2008).

Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 12 статьях и 6 тезисах, из них 9 работ выполнены без соавторов. Статья [4] опубликована в издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста и заключения. Список литературы содержит 47 наименований. Работа изложена на 77 страницах.

Содержание работы Во Введении раскрывается актуальность темы диссертационного исследования, а также кратко перечисляются основные результаты.

Основной текст разбит на две главы.

Первая глава посвящена изучению тригонометрических операторов Баскакова.

Одной из основных задач теории приближений является исследование аппроксимативных свойств операторов, построенных с помощью линейных методов суммирования рядов Фурье. Суммы Фурье имеют вид где y = f (t ) 2 - периодическая функция, суммируемая на [, ], a k, bk коэффициенты ряда Фурье:

Методы суммирования рядов Фурье представляют собой правила нахождения элементов матрицы а операторы называются -средними сумм Фурье или просто -средними. Коэффициk,n енты называются множителями суммирования.

Основное содержание диссертации относится к исследованию аппроксимативных свойств конкретных -средних – операторов Баскакова.

Каждый конкретный вид оператора определяется целым параметром m > и набором целых параметров { k j }m= 1, 0 < k1 < k 2 < K < k m < n. Они могут быть представлены в виде Здесь a k, bk - коэффициенты Фурье функции f(t), множители суммирования [kmn k1,Kkm ) получены Баскаковым и имеют вид11:

Другая форма операторов Баскакова Обозначение M nm ]( k1, k 2,Kk m ) введено в работах Ю.Г. Абакумова и его аспирантов12. В монографии Ю.Г. Абакумова13 подведен итог работы по нального анализа в теории приближений. – Тверь: ТвГУ, 2001. – С. 5-11.

изучению аппроксимативных свойств операторов M nm ]( k1, k 2,Kkm ) и поставлен ряд задач по более детальному их исследованию.

Одной из актуальных задач является исследование качества приблиi-го по- жения функций вблизи точки разрыва первого рода производной рядка.

В первом параграфе «Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства» даны определения и перечислены свойства операторов Баскакова.

Под классом C 2.понимается класс 2 -периодических функций, непрерывных на [, ].

Теорема 1.1. Пусть f (t ) C2. Если f (t ) имеет в некоторой окрестности точки t=x непрерывную производную (i-1)-го порядка, а производная i-го порядка непрерывна в проколотой окрестности и терпит разрыв первого рода в самой точке x, то для действительного r > 0 и i 2m теорема не применима.

При i = 1 теорема доказана Е.С. Коган14 в 2004 г. Теорема 1.1. дает общую информацию об уклонении величины M nm](k1,K,km ) ( f (t ), x + 2rn1) от f ( x + 2 rn 1 ). Конкретизацию этой информации дает знание свойств функций i (r ).

Заметим, что полное исследование свойств функций i (r ) представляет весьма трудную задачу, которая в настоящее время далека от завершения. В третьем параграфе «Свойства функций i (r ) » включены основные, известные к 2009 г. результаты. Все перечисленные далее свойства, кроме отраженного в теореме 1.11, получены автором. Теорема 1. получена совместно с Ю.Г. Абакумовым и Р.Р. Батыровой, при этом Ю.Г.

Абакумову принадлежит идея доказательства, Р.Р. Батырова разобрала случай m=3, случай m=4 доказан автором15.

0 < k1 < L < k m выполняется Теорема 1.2. При фиксированных m, 0 < k1 < L < k m и при 1 < i 2m имеет место равенство d i ( r ) = 2i i 1 ( r ).

Предложение 1.2. При 0 < i m имеет место равенство 2i (0) = 0.

Предложение 1.3. При m = 1 и любом допустимом значении k выполняется неравенство 1 ( 0 ) > 0.

Коган, Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и вблизи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. – Тверь: ТвГУ, 2004. – С. 107-115.

Батырова, Р.Р. Некоторые свойства функций i ( ), характеризующих аппроксимативные возможности тригонометрических операторов Баскакова / Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2008. С. 18-21.

Теорема 1.4. При m = 1 существует 0 удовлетворяющее равенству ет, при этом 1 ( 0 ) < 0, на [0, ) 1 (r ) возрастая стремится к нулю кое, что 2 (r ) на отрезке [0, r0 ] убывает, на промежутке [ r0, ) 2 (r ) возрастает, при этом lim 2 ( r ) = 0.

Теорема 1.6. Существуют 0 (которое фигурирует в предложении 1.6.) выполняется 0 < < 0.

Теорема 1.7. rmin ) 1 ( r ) = 1 ( 0 ) равномерно по k ограничен.

Обозначим r0 точку минимума 2 (r ) (фактически r0 зависит от k ).

Условимся обозначать r0 = (1 k ) k.

полняется Фактически доказано, что существует = k k. При этом 0.600 < < 0.6007.

Теорема 1.9. При k выполняется 2 (r0 ) = O(k ).

Предложение 1.4. При m = 2 и любых целых 0 < k1 < k2 выполняется Для m = 3 теорема 1.11 доказана Р.Р. Батыровой. Результат представлен в печать.

Изложение иллюстрируется изображением графиков функций i (r ) при некоторых отдельных наборах параметров.

В четвертом параграфе «Элементарные свойства функций 2 (r ) при m=2» выясняется характер изменения функций i (r ) (i=0, 1, 2, 3, 4) в зависимости от изменения параметра r: значение в нуле, промежутки монотонности, знаки экстремумов, предел при r.

Вторая глава посвящена исследованию линейных комбинаций тригонометрических операторов Баскакова. Линейные комбинации естественно возникают в проблемах приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва i-ой производной. Теорема 1.10 говорит о том, что приближение операторами M n функций вблизи точки разрыва второй производной дает с ростом параметра k все более худшие результаты. Этот факт дает основание поставить задачу о поиске линейных комбинаций операторов Баскакова, аппроксимативные свойства которых по возможности более предпочтительны по сравнению с аппроксимативными свойствами самих операторов Баскакова.

В первом параграфе приводятся общие сведения о линейных комбинациях. Во втором параграфе исследуются линейные комбинации из двух слагаемых. Доказывается, что функции 1, k, k ( r ), фигурирующие в апk и r ограничены, что показыпроксимационной оценке, равномерно по вает улучшение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2. Функции 2, k, k (r ) имеют следующие свойства:

Теорема 2.1 показывает, что свойства функции 1,k,k значительно лучше свойств как функции 1(1), так и 1 ( k ). Однако, согласно теореме 2. свойства функции 2 (k ), если улучшаются, то незначительно. Последний факт объясняется тем, что построение линейных комбинаций из двух операторов имеет «ограниченные возможности маневра» в том смысле, что улучшать свойства одновременно двух функций не получается, изменяя только один параметр.

В третьем параграфе рассматриваются комбинации операторов из трех слагаемых M n, M n1]( 2), M n1]( k ). Комбинация из трех слагаемых возникла в связи с двумя фактами, имеющих негативное значение:

1( k ) (0) = O (ln k ) (см. теорему 1.3), 2 ( k ) (r0 ) = O(k ) (см. теорему 1.9).

Комбинация из трех слагаемых имеет вид:

M nk, 1, 2 ) имеют по возможности более благоприятные свойства. При 1 и 2 подбираются так, чтобы выполнялись равенства:

этом где постоянная не зависящая от k, r0 точка минимума функции 2(k ) (r ) (от k зависит, причем lim r0 = ).

Также получены некоторые результаты при выборочно взятых значеВ приложении 2 приведены графические иллюстрации функниях k и Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Юрию Георгиевичу Абакумову за постановку задачи и внимание к работе.

Основные результаты 1. Найдена асимптотическая оценка приближения 2 -периодической функции вблизи точки, где ее производная заданного порядка имеет разрыв первого рода.

2. Получено аналитическое выражение главного члена асимптотики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций с разрывными производными заданного порядка.

3. Доказано, что аппроксимативные свойства операторов Баскакова могут быть улучшены в классе их линейных комбинаций.

Работы автора по теме диссертации 1. Шерстюк, Т.Ю. О «парадоксальных» свойствах некоторых линейM n1](k ) + (1 )M n1](k ) / Т.Ю. Шерстюк // Вестник ных комбинаций вида Читинского государственного университета: Выпуск 40. – Чита, ЧитГУ, 2006. С. 123-129.

2. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых величинах, характеризующих аппроксимативные свойства операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 40. – Чита, ЧитГУ, 2006. С. 129-135.

3. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках аппроксимативных свойств операторов Баскакова / Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. – Выпуск 6. – Чита, 2006. С. 58-60.

4. Шерстюк, Т.Ю. О приближении тригонометрическими операторами Баскакова функций, производные которых имеют разрывы первого рода / Т.Ю. Шерстюк // Вестник СамГУ – Естественнонаучная серия. 2007.

№ 6 (56). С. 317-326.

5. Абакумов, Ю.Г. О динамике изменения одной величины, связанной с аппроксимационной характеристикой операторов Баскакова / Ю.Г. Абакумов, Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. – Выпуск 7. – Чита, 2007. С. 7-10.

6. Шерстюк, Т.Ю. Оценка приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций, имеющих точки разрыва i-й производной / Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений. – Тверь: ТвГУ, 2007. С. 22- 7. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых характеристиках приближения тригонометрическими операторами Баскакова достаточно гладких функций / Т.Ю. Шерстюк // Вестник Читинского государственного университета:

Выпуск 42. – Чита, ЧитГУ, 2007. С. 111-114.

8. Батырова, Р.Р. Некоторые свойства функций i ( ), характеризующих аппроксимативные возможности тригонометрических операторов Баскакова / Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2008.

С. 18-21.

9. Абакумов, Ю.Г. О динамике изменения аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова M n1]( k ) при изменении параметра k / Ю.Г. Абакумов, Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гумм пед. ун-т. – Выпуск 8. – Чита, Изд-во ЗабГГПУ, 2008. С. 5-9.

10. Карымова, Е.Ю. Тригонометрические операторы Баскакова и расчет цифровых фильтров нижних частот / Е.Ю. Карымова, И.Ю. Кобысова, Т.Ю. Шерстюк // Обозрение прикладной и промышленной математики.

Т. 15, Выпуск 2, 2008. С. 310-311.

11. Шерстюк, Т.Ю. О некоторых линейных комбинациях тригонометрических операторов Баскакова М n1](1) и М n1](k ) / Т.Ю. Шерстюк // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009. С. 18-22.

12. Лямина, О.С. Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функции класса Lipa / Лямина О.С., Шерстюк Т.Ю. // Вестник Читинского государственного университета № 10 (67) 2010. – С. 112-120.

1. Шерстюк, Т.Ю. Приближение операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва производных / Т.Ю. Шерстюк // IV Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). – Чита: ЧитГУ, 2006. Ч. III. С. 196-200.

2. Шерстюк, Т.Ю. Приближение тригонометрическими операторами В.А. Баскакова функции с разрывными производными / Т.Ю. Шерстюк // Всероссийская научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире» (тезисы докладов). – Чита: ЧитГУ, 2006. С. 194-196.

3. Абакумов, Ю.Г. О линейных комбинациях операторов Баскакова M n1](1) и M n1]( k ) / Ю.Г. Абакумов, Т.Ю. Шерстюк // VII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). – Чита: ЧитГУ, 2007. Ч. I. С. 207-209.

4. Батырова, Р.Р. Приближение периодических функций, имеющих разрывные производные i-го порядка / Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130летию Томского государственного университета и 60-летию механикоматематического факультета: Сборник тезисов (Томск, 22 – 25 сентября 2008 г.) – Томск: Томский государственный университет, 2008. С. 71-72.

5. Абакумов Ю.Г. О некоторых свойствах функциональных характеристик аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова / Ю.Г. Абакумов, Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // VIII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). – Чита: ЧитГУ, 2008. Ч. II. С. 3-6.

6. Батырова, Р.Р. О функциях, характеризующих аппроксимативные свойства операторов Баскакова / Р.Р. Батырова, Т.Ю. Шерстюк // VI Всероссийская научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире» (материалы конференции). – Чита: ЧитГУ, 2009. Ч. I. – С. 170-172.

Подписано в печать 31.01.2011 г.

Формат 60х841/16. Уч.-изд.л. 1, Отпечатано в типографии Читинского государственного университета, 672039, г. Чита, ул. Алекзаводская, Подписано в печать 31.01.2011 г.

Формат 60х841/16. Уч.-изд.л. 1, Отпечатано в типографии Читинского государственного университета, 672039, г. Чита, ул. Алекзаводская,