На правах рукописи

Ктиторов Лев Владимирович

Динамика безударного сжатия газа в

цилиндрических слоистых мишенях для ИТС

Специальность 01.02.05 – механика жидкости,

газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва

2010

Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова Научные руководители: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Забродин Алексей Валериевич доктор физико-математических наук, профессор Брушлинский Константин Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Крайко Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Лебо Иван Германович

Ведущая организация – Федеральное Государственное Унитарное Предприятие "Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики" (ФГУП "ГНЦ РФ ИТЭФ")

Защита состоится «» _2010 года в _часов на заседании диссертационного совета Д.002.024.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан «_»2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.024. доктор физико-математических наук Змитренко Н.В.

Общая характеристика работы

Обзор работ по тематике диссертации Идея использования инерционного удержания термоядерного топлива (DT-плазмы) в сжатом и нагретом состоянии так, чтобы достаточно большая масса DT-смеси успела прореагировать, была высказана уже в первых работах по управляемому термоядерному синтезу [7]. Направление получило название инерциального термоядерного синтеза (ИТС).

Впоследствии в числе других было высказано предложение использовать для целей ИТС ускорители мощных пучков тяжелых ионов. Это направление рассматривается как одно из наиболее перспективных с точки зрения создания термоядерной электростанции на принципах ИТС. При этом предполагается использование пучков ионов тяжелых атомов (Bi, Pt и т.д.) с энергией до 100ГэВ [8]. Такие ионы имеют сравнительно большие величины массовых пробегов (~5-20г/смP2 В связи с этим становится относительно P).

выгодной цилиндрическая схема мишеней. В такой мишени ионные пучки распространяются вдоль оси цилиндра. При этом предлагается использование двухстадийной схемы работы мишени: плавное сжатие и последующий быстрый поджиг двумя различными пучками ионов [9,10].

Такая схема была предложена в 90-е годы [11,12]. Впоследствии она стала частью общей концепции электростанции на основе тяжело-ионного драйвера и термоядерной мишени с быстрым поджигом («проект ИТИС»

[10]) и была детально расчетно исследована в серии работ группы авторов из ГНЦ ИТЭФ [13,14,15].

В этих работах схема мишеней была оптимизирована. В окончательно оформившемся виде [9,10] мишень представляла собой цилиндр с радиусом 1-2мм, заполненный DT-топливом с плотностью 0.05-0.22г/см (рассматривались варианты с твердым, жидким и газообразным состоянием DT-смеси), окруженный коаксиальными слоями, включавшими последовательно: оболочку из тяжелого металла (Au,Pb) толщиной 0.1-0.2мм, поглощающий слой (Pb, Be) толщиной 1-2мм и внешнюю оболочку.

В начальный момент поглощающий слой облучается с торца ионным пучком, быстро (с периодом 1), гидродинамические величины представляются в виде функций от z:

r = x( z ), = ( z ), P = P( z ). Тогда уравнения гидродинамики записываются в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (здесь за D обозначен оператор дифференцирования по lnz: D ):

Таким образом, построена система обыкновенных дифференциальных уравнений, которым подчиняется автомодельное решение задачи. Уравнения решены методом Рунге-Кутты с начальными условиями при z=. Полное решение получено единым образом для большого числа значений показателя адиабаты для цилиндрической и сферической геометрии. При этом использование лагранжевых переменных, проведенное впервые, позволило в явном виде получить кинематические характеристики внешней границы газа.

Поставлена задача расчета динамики сжатия цилиндрической мишени одномерных расчетов получено оптимальное по времени и пространству обеспечивающее безударное (изэнтропическое) сжатие DT-газа массивной оболочкой до плотностей, необходимых для осуществления термоядерного синтеза, минимальным количеством вложенной энергии.

Оптимизация сжатия газа в цилиндрических мишенях инерциального автомодельной волне сжатия. Выполнены одномерные расчеты сжатия мишеней с использованием гидродинамической программы Н3Т [37]. В расчетах типичных цилиндрических мишеней были заданы реальные размеры и уравнения состояния веществ и использованы специально полученные временные и пространственные зависимости энерговложения.

В главе 1 для автомодельной цилиндрической волны сжатия построены скорости и ускорения границы от времени. В главе 2 на их основе получены оптимальные функциональные зависимости энерговложения в поглощающий слой (поршень) от времени для некоторых вариантов цилиндрических мишеней тяжело-ионного термоядерного синтеза. Начальная геометрия одной из рассмотренных мишеней приведена на рисунке 1:

|------------------|-----------------|/////////////////////|-----------------| Рисунок 1 - Радиальная геометрия одной из рассмотренных слоистых цилиндрических мишеней с указанием размеров и начальных плотностей.

Для мишени, изображенной на рисунке 1, рассмотрены случаи бесконечно тонкой оболочки и оболочки, имеющей конечную толщину. Для бесконечно тонкой оболочки связь энерговложения с ускорением внешней границы газа g(t) имеет вид закона Ньютона: P = Mg, где Р(t) – давление в поршне на поверхности оболочки, М – масса единицы площади оболочки.

Для оболочки, имеющей конечную толщину, связанными оказываются причем в формулу вводится запаздывание - время, необходимое для прохождения звуковой волны от одной поверхности оболочки до другой.

В численном решении задачи о четырехслойной цилиндрической мишени эти случаи различались при помощи задания соответствующих уравнений состояния (УРС) материала оболочки. Для реализации случая бесконечно тонкой оболочки УРС был представлен в виде идеального газа с малым предварительным нагревом, оболочка конечной толщины задавалась при помощи так называемого двучленного УРС, учитывающего сопротивление материала сжатию.

Для каждого из таких случаев была проведена серия одномерных расчетов, начальная геометрия которых совпадала с приведенной на схеме. В каждом из них в 1-й области (DT-газ) был задан начальный разогрев такой, что скорость звука в нем составила с=L/T=0.2 (2км/с), а в третьей области (свинец) было задано равномерно по объему энерговложение, которое зависело от времени согласно приведенным формулам. При этом задавалась Е(t) – объемная плотность энерговложения.

На рисунке 2 черными круглыми маркерами представлены результаты таких расчетов для случая оболочки конечной толщины. На графике приведено максимальное значение средней плотности DT-смеси, достигнутое в расчете, как функция полной энергии в расчете. Энергия определяется на 1см длины мишени. Во всех расчетах была задана одна и та же функция Е(t) – объемная плотность энерговложения как функция времени. Однако в разных расчетах эта функция обрезалась в разные моменты времени. Линией на рисунке обозначена примерная зависимость (тренд) плотности от энергии, которая следует из всей совокупности расчетов.

Рисунок 2 - Плотность газа в момент фокусировки как функция полной энергии в расчете c двучленным УРС вещества оболочки (золота) в мишени.

Представлены варианты с учетом (серый цвет) и без учета (черный цвет) пространственного распределения энерговложения.

Кроме описанного, в расчетах был применен второй способ уменьшения полной энергии сжатия – использование пространственного распределения энерговложения в точки поршня. Идея метода состоит в том, что возмущения от участков поршня, расположенных далеко от оболочки, не успевают до момента фокусировки дойти до DТ-газа. Это означает, что энергия, которая тратится на нагрев этих участков, фактически расходуется впустую. Если теперь организовать энерговложение в разные участки поршня так, чтобы, начиная с определенного момента, нагревались только близкие к оболочке точки, можно получить выигрыш в суммарной энергии. Такая процедура была проведена, для этого были предварительно построены приближенные зависимости энерговложения от радиуса, учитывающие этот эффект.

Результаты таких расчетов также представлены на рисунке.

Квадратными маркерами и серой кривой на рисунке обозначены расчеты, в которых использованы оба способа оптимизации кривой энерговложения: и зависимость от времени, и зависимость от координаты. Видно, что пространственное распределение энерговложения дает дополнительный выигрыш в полной энергии примерно в два раза.

Аналогичные расчеты выполнены и для двух других вариантов типичных цилиндрических мишеней, в которых были заданы реальные размеры и уравнения состояния веществ и использованы полученные временные и пространственные зависимости энерговложения. Показано, что в расчетах удается получить необходимые сверхвысокие сжатия DT-газа до плотности 100г/смP3 Показано также, что для всех рассмотренных мишеней примененные способы построения энерговложения позволяют снизить полные затраты вложенной энергии на стадии сжатия в несколько раз по сравнению с ранее рассматривавшимися вариантами.

Решена линейная задача об устойчивости тонкой массивной оболочки, движущейся с ускорением, зависящим от времени. Рассчитаны инкременты роста двумерных возмущений оболочки, изэнтропически сжимающей газ в плоском, цилиндрическом и сферическом случае. Для этого предварительно выведены уравнения, определяющие развитие малых возмущений в тонкой оболочке, ускорение которой зависит от времени.

Выведены дифференциальные уравнения 4-го порядка по времени, описывающие развитие малых возмущений оболочки в случае, когда ускорение зависит от времени. Предполагается, что оболочка является бесконечно тонкой и не имеющей внутренней структуры и что масса оболочки много больше массы окружающего оболочку газа. Рассмотрены случаи плоской, цилиндрической и сферической геометрии системы.

Уравнения получены двумя способами: способом Отта [45,46] и из законов сохранения.

Проведен анализ уравнений в тех случаях, когда возмущения являются собственными функциями оператора Лапласа. Выделены случаи, когда исходные уравнения 4-го порядка удается редуцировать к двум уравнениям второго порядка.

В случае, когда возмущение rB1 представляется в виде плоской волны r1 ~ A(t ) exp(ikx) для плоской оболочки, уравнение для возмущений имеет ( r1 ) k 2r1 = 0, где rB1 – амплитуда возмущений, k – волновой вектор, g – ускорение оболочки. Это уравнение может быть редуцировано к двум уравнениям 2-го порядка: r1 ± kgr1 = 0.

Аналогично для цилиндрической оболочки возмущения в виде угловых оболочки), которое также может быть редуцировано к двум уравнениям 2-го порядка: r1 + (1 ± m) r1 = 0.

Показано также, что для сферической оболочки возмущения вида описываются уравнением:

быть редуцировано к двум уравнениям 2-го порядка: r1 + ( ± (n + )) r1 = для l=0.

Для всех перечисленных случаев рассмотрена устойчивость движения оболочки, обеспечивающего изэнтропическое сжатие газа, по отношению к развитию малых возмущений вида плоских волн и угловых гармоник. При этом уравнения 4-го порядка, описывающие развитие возмущений оболочки при изэнтропическом сжатии газа, получены подстановкой в коэффициенты исходных уравнений решений автомодельной задачи, рассмотренной в главе 1 (величин g(t), r(t)).

Полученные уравнения решены методом Рунге-Кутты для возмущений, имеющих пространственную зависимость вида плоских волн в плоской и цилиндрической геометрии, вида угловых гармоник в цилиндрической геометрии, вида сферических гармоник в сферической геометрии.

Показано, что для плоской оболочки решение задачи о возмущениях может быть записано аналитически в виде функций Бесселя вида:

Для цилиндрической и сферической оболочек аналитического решения не существует. Для нахождения эволюции возмущений в этих случаях необходимо использовать рассмотренное в главе 1 численное решение задачи об изэнтропической волне сжатия. Делалось это так: система обыкновенных дифференциальных уравнений из главы 1 решалась методом Рунге-Кутты, значения использовались в виде коэффициентов в приведенных выше уравнениях для возмущений, которые, в свою очередь, решались методом Рунге-Кутты.

Показано, что при изэнтропическом сжатии газа рост возмущений оболочки вида плоских волн ограничен как в плоской, так и в цилиндрической геометрии. Рассчитан предельный рост амплитуды таких возмущений. Показано, что рост возмущений вида угловых гармоник неограничен как в цилиндрической, так и в сферической геометрии.

Рассчитан инкремент роста таких возмущений.

В случае цилиндрической оболочки, ось которой направлена вдоль z, возмущение вида плоских волн имеет вид r1 ~ A(t ) exp(ikz ). Уравнение для таких возмущений имеет вид:

уравнения, описывающее рост возмущений, получено для нескольких характерных значений волнового вектора k с тем, чтобы впоследствии (ниже, моделирования рассмотренной задачи.

четырехслойной цилиндрической мишени исследовано развитие двумерных возмущений одномерных решений. Установлено, что рост возмущений согласуется с полученными выше теоретическими результатами до момента прекращения энерговложения. Показано, что с помощью полученных закономерностей роста могут быть оценены начальные значения амплитуд возмущений для последующего процесса нелинейного роста возмущений на стадии торможения оболочки.

Приведены результаты численного исследования развития возмущений оболочки, сжимающей DT-газ в цилиндрических мишенях ИТИС.

Проведено сравнение результатов расчетов развития возмущений в тонкой оболочке с данными численных расчетов развития возмущений при сжатии реальных мишеней тяжело-ионного ИТС. Сравнение предваряется аналитическим исследованием факторов, нарушающих приближения, использованные в главе 3: ненулевая толщина оболочки, ненулевая плотность поршня. Приведены оценки, показывающие величину влияния этих факторов на развитие возмущений.

изэнтропически сжимающей DT-газ в мишенях тяжело-ионного ИТС.

Двумерные расчеты сжатия мишеней выполнены с использованием цилиндрических мишеней были заданы реальные размеры и уравнения состояния веществ и использованы полученные в главе 2 временные и пространственные зависимости энерговложения. Начальные синусоидальные возмущения типа плоских волн вдоль оси цилиндра с длиной волны 1мм, 2мм задавались на внешней поверхности оболочки. Начальная амплитуда составляла 1 мкм. Показано, что значения инкрементов роста амплитуды возмущений в численных расчетах находятся в разумном согласии с теоретическими выводами.

Движение оболочки было таким же, как в расчетах, описанных в главе 2.

Было рассчитано два варианта сжатия мишени: в приближении тонкой оболочки (когда уравнение состояния оболочки совпадало с идеальным газом, что приводило к сжатию оболочки до очень больших плотностей) и с реальным уравнением состояния оболочки типа двучлена. Получено, что расчеты, сделанные в приближении тонкой оболочки, относительно хорошо согласуются с теоретическими кривыми. При этом, однако, численный расчет следует теоретической кривой не до фокусировки, а только до точки прекращения энерговложения (примерно до половины радиуса).

Результаты расчетов, выполненных с учетом конечной толщины оболочки, сильнее отклоняются от теоретических кривых, рассчитанных в главе 3, причем рост амплитуды в численных расчетах происходит быстрее, чем в теории.

В заключении диссертации приводится сводка основных результатов.

Основные результаты работы, выдвигаемые на защиту 1. В одномерных расчетах сжатия четырехслойной цилиндрической мишени ИТИС получен оптимальный режим однородного по объему вложения энергии в поглощающий слой E(t), обеспечивающий безударное (изэнтропическое) сжатие DT-газа массивной оболочкой до значений плотности, необходимых для осуществления термоядерного синтеза, минимальным количеством вложенной энергии.

2. Для четырехслойной цилиндрической мишени ИТИС на основе использования пространственного распределения энерговложения в поглощающий слой E(t,r) получена дальнейшая оптимизация режима вложения энергии. При этом те же значения плотности сжатого газа достигаются еще меньшим (примерно в 2 раза по сравнению с однородным энерговложением) количеством вложенной энергии.

3. Решена линейная задача об устойчивости изэнтропического сжатия газа тонкой массивной оболочкой. Выведены уравнения, описывающие развитие малых двумерных возмущений тонкой массивной оболочки, движущейся с ускорением, зависящим от времени произвольным образом, и получены инкременты роста малых возмущений в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях.

4. В решении двумерной газодинамической задачи о сжатии четырехслойной цилиндрической мишени исследовано развитие двумерных возмущений одномерных решений. Установлено, что рост возмущений согласуется с полученными выше теоретическими результатами до момента прекращения энерговложения. Показано, что с помощью полученных закономерностей роста могут быть оценены начальные значения амплитуд возмущений для последующего процесса нелинейного роста возмущений на стадии торможения оболочки.

Следующие результаты получены впервые:

1. Построена математическая модель динамики четырехслойной цилиндрической мишени ИТИС с безударным сжатием DT-газа. На основе решения задачи о цилиндрической автомодельной волне сжатия получен оптимальный по времени и пространству режим вложения энергии в поглощающий слой E(t,r), обеспечивающий безударное (изэнтропическое) сжатие DT-газа массивной оболочкой до значений плотности, необходимых для осуществления термоядерного синтеза, минимальным количеством вложенной энергии.

2. Решена линейная задача об устойчивости изэнтропического сжатия газа тонкой массивной оболочкой. Выведены уравнения, описывающие развитие малых двумерных возмущений тонкой массивной оболочки, движущейся с ускорением, зависящим от времени произвольным образом, и получены инкременты роста малых возмущений в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях.

В численном решении двумерной газодинамической задачи о сжатии четырехслойной цилиндрической мишени исследовано развитие двумерных возмущений одномерных решений; показано, что рост возмущений согласуется с полученными выше теоретическими результатами до момента прекращения энерговложения.

Практическая ценность результатов диссертации 1. Рассчитанные функции Е(t,r) временного и пространственного распределения энерговложения позволили обеспечить в расчетах мишеней безударное сжатие DT-газа и получить необходимые свервысокие сжатия DT-газа до значений плотности, необходимых для осуществления термоядерного синтеза, с затратой оптимального (минимального) количества вложенной энергии.

Эти функции могут быть использованы в практических разработках мишеней для осуществления управляемого термоядерного синтеза.

2. Выведенные уравнения для эволюции возмущений тонкой массивной оболочки и рассчитанные на их основе значения инкрементов роста возмущений в задаче адиабатического сжатия газа тонкой оболочкой позволяют при отладке новых программ 2D и 3D гидродинамики, провести, при необходимости, сравнения полученных решений и результатов численных расчетов сжатия цилиндрических и сферических мишеней ИТС.

Достоверность результатов диссертации Достоверность результатов диссертации в целом должна обеспечиваться сочетанием аналитических и численных результатов, взаимно подтверждающих друг друга. В стремлении получить такое сочетание автор видит принципиальное отличие своего подхода от подхода предшествующих работ на темы, изложенные в диссертации.

Помимо этого:

1. Достоверность расчетов об изэнтропическом сжатии идеального газа в центрированной волне обеспечивается согласием с ранее полученными другими способами решениями этой же задачи.

2. Достоверность уравнений для эволюции возмущений тонкой оболочки и рассчитанных на их основе величин инкрементов роста возмущений в задаче адиабатического сжатия газа тонкой оболочкой обеспечивается согласием в требуемых пределах результатов численных расчетов с теоретическими выводами.

В диссертации непосредственно использованы результаты работ [1-6], выполненных автором лично. Случаи использования в диссертации результатов других авторов отмечены необходимыми ссылками.

Результаты работ по диссертации докладывались и обсуждались на “Ломоносовских чтениях - 2009” (МГУ им.М.В.Ломоносова, 2009), на “Ломоносовских чтениях - 2010” (МГУ им.М.В.Ломоносова, 2010), на международных конференциях “Turbulent mixing and beyond” (Триест, Италия, 2009) и “XI Харитоновские тематические научные чтения” (ВНИИЭФ, Саров, 2009), на научном семинаре имени К.И. Бабенко в ИПМ им. М.В. Келдыша.

Работы, в которых опубликованы основные результаты По теме диссертации опубликовано 6 работ, из них 3 статьи - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях:

1. Ктиторов Л.В. Развитие малых возмущений при разгоне тонкой тяжелой оболочки газовым поршнем // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, №90, Москва, 2008г, 24 c.