На правах рукописи

УДК 517.55; 537.87; 621.371

Аллин Илья Владимирович

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ШИРОКОПОЛОСНЫХ

СИГНАЛОВ В ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность – 01.04.03 "Радиофизика"

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

на кафедре Физико-математических проблем волновых процессов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

, профессор, декан РОСНОУ Крюковский Андрей Сергеевич

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент РОСНОУ Растягаев Дмитрий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, зав.кафедры «Физики атмосферы» МГУ Куницын Вячеслав Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета приборостроения и информатики Сазонов Юрий Иванович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)»

Защита диссертации состоится 23 декабря 2009 года в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском физико-техническом институте по адресу: 117393 г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корпус В-2.

Отзывы направлять по адресу: 141700 г. Долгопрудный, Московская обл., Институтский переулок, д. 9, МФТИ, Диссертационный совет Д 212.156.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан «» ноября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156. кандидат технических наук, доцент Н.П. Чубинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время широкополосные электромагнитные сигналы активно применяются в системах радиосвязи, в георадиолокации, при диагностике ионосферной плазмы и других сред. Однако при этом тонкая структура видеоимпульсов, определяема, в частности, неоднородностью среды распространения, частотной дисперсией и поглощением, изучена недостаточно подробно. Применение теории катастроф для решения задач о распространении и фокусировке широкополосного нестационарного электромагнитного излучения является новым и перспективным направлением теории дифракции и распространения радиоволн. Для решения задач распространения и дифракции электромагнитных волн основными инструментами являются асимптотические методы, в первую очередь лучевые. При этом неизбежно возникают каустики (огибающие лучевых семейств), имеющие особые линии и точки. Именно в окрестности каустик лучевые методы, и в первую очередь метод геометрической оптики (ГО), неприменимы. В радиофизике каустики и их особенности соответствуют областям фокусировки полей и могут быть интерпретированы как особенности дифференцируемых отображений (катастрофы).

До настоящего времени систематические исследования устойчивых фокусировок волновых полей с применением теории катастроф проводились применительно к стационарным задачам, а также к радиоимпульсам (электромагнитным импульсам с несущей частотой). В настоящее время эту проблему можно считать решенной. Объединение канонического оператора В.П. Маслова1) и теории катастроф2) позволило построить атласы каустик в окрестности особенностей, создать алгоритмы расчета специальных функций волновых катастроф (СВК), найти равномерные асимптотические решения, описывающие стационарную фокусировку волновых полей в окрестности каустик и их особенностей и построить методы определения коэффициентов подобия: аргументов СВК и коэффициентов асимптотических разложений 3,4,5,6,7). Таким образом, было сформировано новое научное направление в исследовании волновых процессов — волновая теория катастроф.

Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. - М.: МГУ, 1965. 553 с.

Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений: классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука.

1982. 304 с.

3 Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М.: МФТИ. 1982. 159 с.

4 Крюковский А.С., Лукин Д.С. Построение равномерной геометрической теории дифракции методами краевых и угловых катастроф. (Обзор.) // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43.

№ 9. С. 1-16.

Аналогичные проблемы возникают в задачах о распространении и фокусировке радио и видеоимпульсов в диспергирующих средах. Простейшие временные фокусировки нестационарного излучения рассматривались в работах А.П. Анютина, Ю.А. Кравцова, Р.М. Льюиса, Ю.И. Орлова, Л. Фелсена и других. Ими были разработаны основы пространственно-временной геометрической оптики и пространственно-временной геометрической теории дифракции. В дальнейшем, теория катастроф была применена для описания пространственно-временной фокусировки и компрессии радиоимпульсов, обусловленной частотной модуляцией электромагнитного излучения.

фокусировки в плазме: их классификация и математическое моделирование амплитуднофазовой структуры широкополосных электромагнитных сигналов8,9,10). Такие области со сложной дифракционной структурой поля возникают при распространении широкополосных сигналов в ионосфере Земли, а также при диагностике приповерхностных структур с помощью широкополосного излучения. Для таких проблем крайне важным является знание тонкой структуры видеоимпульсов распространяющихся в средах с дисперсией и поглощением. Поэтому задача классификации типов пространственной фокусировки видеоимпульсов, изучение тонкой структуры сигналов, особенно в окрестности световых конусов, и построения равномерного асимптотического описания волнового поля является актуальной проблемой.

Целью работы является разработка теории пространственных фокусировок широкополосных сигналов в диспергирующих средах методами волновой теории катастроф, Крюковский А.С., Лукин Д.С. Теория расчета эталонных фокальных и дифракционных электромагнитных полей на основе специальных функций волновых катастроф. // Радиотехника и электроника, 2003. Т.48. №8. С. 912-921.

6 Крюковский А.С. Локальные равномерные асимптотики волновых полей в окрестности основных и краевых каспоидных каустик. // Радиотехника и электроника. 1996. T.41. № 1. C.

59-65.

7 Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. Волновые катастрофы – фокусировки в дифракции и распространении электромагнитных волн. // Радиотехника и электроника, 2006. Т.51. №10. С. 1155-1192.

8 Крюковский А.С., Растягаев Д.В., Вергизаев И.А. Трехмерные пространственно-временные фокусировки волновых полей типа катастроф. // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 4. С. 455 - 462.

9 Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В., Чистяков Д.Н. Компрессия, фокусировка и инверсия частотно-модулированных радиоимпульсов в пространственновременных областях типа катастроф. // Радиотехника и электроника, 2001. Т.46. №7 С.816Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Классификация и равномерное асимптотическое описание пространственно-временных трехмерных краевых фокусировок волновых полей. // Радиотехника и электроника, 2005. Т.50. №10. С. 1221-1230.

исследование и классификация их типов и математическое моделирование особенностей амплитудно-фазовой структуры полей в фокальных областях, а также развитие пространственно-временной геометрической теории дифракции для сигналов в виде кусочноаналитических функций с учетом поглощения в среде распространения.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Впервые исследована структура видеоимпульса в окрестности светового конуса и показано, что размеры области его влияния уменьшаются с расстоянием, что позволяет, описывать распространения видео сигнала временными краевыми лучами, порождаемыми точками нарушения гладкости амплитуды сигнала.

2. Предложен метод лучевого описания распространения видеоимпульсов сложной формы в неоднородной плазме, основанный на моделировании формы сигналов с помощью кусочно аналитических функций.

3. Впервые на основе волновой теории катастроф и пространственно-временной геометрической теории дифракции построена классификация пространственных фокусировок видеоимпульсов;

4. Создана асимптотическая теория, описывающая прохождение видеоимпульсов через области пространственной фокусировки с учетом поглощения и частотной дисперсии среды распространения;

5. Введен новый класс специальных функций волновых катастроф видеоимпульсов и выполнено численное моделирование фокусировки широкополосных сигналов и амплитудной структуры спецфункций видеосигналов.

Положения и результаты работы, выносимые на защиту:

1. Особенности тонкой структуры видеоимпульсов в окрестности светового конуса.

2. Метод лучевого описания распространения широкополосных сигналов сложной формы в неоднородной плазме, основанный на моделировании формы сигналов с помощью кусочно-аналитических функций.

3. Классификация пространственных фокусировок видеоимпульсов, созданная на основе теории волновых катастроф.

4. Асимптотическая теория, описывающая прохождение видеоимпульсов через области пространственной фокусировки с учетом поглощения и частотной дисперсии среды распространения.

5. Новый класс специальных функций волновых катастроф видеоимпульсов и выполнено численное моделирование фокусировки широкополосных сигналов и амплитудной структуры спецфункций видеосигналов.

6. Результаты математического моделирования пространственной фокусировки видеоимпульсов.

Научная и практическая ценность работы Диссертационная работа вносит существенный вклад в развитие важного направления асимптотической теории дифракции и распространения излучения – волновой теории катастроф. Полученные в диссертации результаты, могут быть использованы для решения научных и прикладных задач, связанных с оценкой параметров ионосферной плазмы, связанных с подповерхностной диагностикой природных сред, при создании устройств формирования и приёма сверхширокополосных короткоимпульсных электромагнитных сигналов, в современных проблемах радиолокации, при разработке новых методов радиовидения через поглощающие среды.

Апробация результатов Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором в период с 2006 г. по 2009 г.

Они докладывались на научных конференциях МФТИ (ГУ) и других научных организаций, а также были доложены на следующих научных конференциях:

1. Восьмая Всероссийская научная конференция: «Цивилизация знаний: Российские реалии». Москва, РосНОУ, 20-21 апреля 2007 г.

2. LXIII научная сессия Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова, посвященная Дню Радио, Москва, 14г.

3. XXII Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн (РРВ – 22)», Ростов-на-Дону, 22-25 сентября 2008 г.

Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, были опубликованы в печатных работах, которые приводится в списке цитируемой литературы [1-5].

Диссертация состоит из введения, постановки задачи, трех глав, заключения и списка литературы. В ней содержится 86 страниц, включая 73 рисунка и 2 таблицы. Библиография включает 34 названий.

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются ее основные цели, раскрывается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, формулируются выносимые на защиту положения и дается краткий обзор содержания работы.

В первой главе диссертации рассматривается решение задачи о распространении электромагнитного поля видеоимпульсов в среде (ионосферной плазме) для случая, когда форма изначального импульса задана только временной координатой. Решается следующая задача о нахождении волнового поля u ( t, r ) :

где при r = 0 волновое поле задано в виде c — скорость света, p — плазменная частота, t — время. Решение поставленной задачи находится в виде двукратного быстро осциллирующего интеграла:

где — эффективная диэлектрическая проницаемость среды распространения, а k = /c — волновое число. Фактически первая глава посвящена нахождению решения поставленной задачи (1)-(2) для различных B() как с учетом поглощения среды, так и без учета поглощения. При этом предполагается, что среда распространения стационарна – плазменная частота p не зависит от времени; рассматривается скалярное приближение без учета магнитного поля Земли. Показано, что решение поставленной задачи, искомое в виде интеграла (3) и которое может быть найдено с помощью применения метода стационарной фазы, представляет собой сумму полей семейства геометро-оптических лучей (ГО) и семейства краевых лучей:

где на примере видеоимпульса формы ступенька, который задается как:

вклад краевых лучей:

— экспоненциально затухающий вклад ГО лучей, которым мы в дальнейшем пренебрегаем в силу его несущественности при наших параметрах задачи (для расстояния r = 600 м и p = 2 107 с 1 ). Данное решение:

представляет собой неравномерную асимптотику, поскольку не дает должного описания поля на самом световом конусе (границы «свет-тень»), который задается уравнением:

в силу обращения в бесконечность амплитуды поля за счет обнуления знаменателя в (4).

Равномерная же асимптотика (или равномерное описание поля) вблизи светового конуса представляет из себя асимптотическое разложение поля импульса по функции Бесселя и ее производной:

величины p и q – это асимптотически сходящиеся (по 1 / ) ряды, а p 0 и q 0 – главные члены этих рядов; J v ( ) – функция Бесселя порядка v, где порядок функции Бесселя равен минимальному порядку производной огибающей сигнала, которая терпит разрыв в начальный момент времени. Равномерная асимптотика может быть найдена методом асимптотического сшивания с неравномерным решением. И для импульса формы «ступенька» равна:

Данное решение полностью совпадает с (4). На рис. 1 слева ( U step (t, r ) ) построена равномерная асимптотика Бесселя (5), справа ( U e (t, r ) ) – неравномерное решение (4).

При более детальном рассмотрении на самом световом конусе (рис. 2) показано, что неравномерное решение уходит в бесконечность, равномерное же решение дает вполне разумные значения амплитуды поля. По мере незначительного удаления от границы светового конуса асимптотики уже совпадают.

На примере «П-образного» импульса (рис. 3) показывается, что неравномерное описание распространения поля оказывается справедливым и в дальней области (когда r = 2400 м вместо r = 600 м ). Дело в том, что граница неравномерности для краевых лучей в случае видеоимпульсов с нашими параметрами (когда ГО лучи полностью отсутствуют) представляет собой гиперболу, прижимающуюся к световому конусу (рис. 3). Поэтому смещаясь вверх по световому конусу пространственная область и количество частотных компонент, способных интерферировать между собой, увеличивается.

асимптотики для различных форм импульсов: «бедро», «равнобедренная трапеция», «треугольный», «параболический».

С введением в среду поглощения к полученным ранее формулам равномерного и неравномерного описания распространения видеоимпульсов добавляется экспоненциальный множитель вида:

где полная диэлектрическая проницаемость среды, состоящая из действительной части и мнимой части где – седловая точка внутреннего интеграла (3), а v - эффективная частота электронных соударений в плазме. На рис.4 графически представлено численное моделирование «Побразного» импульса для различных значений v.

Тонкая линия соответствует значению v = 10 6 c 1. Если взять значение на порядок меньше, то отличие не будет заметным. Значение v = 10 7 c 1 соответствует промежуточной линии v = 10 7 c 1, и, наконец, значение v = 108 c 1, линии, описывающей полное затухание сигнала.

В последнем параграфе первой главы на основе анализа методов расчета и получения формул неравномерного описания поля дается без вывода формула для получения вида поля, когда огибающая видеоимпульса B ( ) задана в виде кусочно-аналитической функции, например полином n -ой степени или функцией синус. Решение представляет собой сумму ряда из косинусов и синусов с коэффициентами с удельными весами. Обозначим через где и A[ j ] - значение j 1 -ой производной огибающей импульса в начале или конце импульса.

Тогда решение задачи (1)-(2) будет:

где T - длительность импульса, заданного полиномом n -ой степени (функцией синус). Для среды с поглощением:

Проведено моделирование распространения импульса, огибающая сигнала которого задана полиномом 5-й степени (т.е. число A[ j ] равно 6) с учетом поглощения среды и без. А также для импульса формы «синус» - взяты 11 A[ j ], и далее 10 A[ j ] – результат моделирования показал большую степень совпадение полей (рис. 5). Видно, что оба решения полностью совпадают, и лишь вдали от светового конуса видно незначительное расхождение.

Во второй главе рассматривается решение задачи о распространении видеоимпульсов в Однако теперь начальная форма импульса зависит и от пространственной координаты:

Функция (t) описывает изменение фазы видеоимпульса во времени, А(r1;t) — амплитудное распределение поля на начальном фазовом фронте, заданном уравнением r2 = f(r1), параметр p – плазменная частота. Решением задачи является трехкратный интеграл по параметрам начального волнового фронта 1, частоте и начальному времени выхода излучения:

где величина задает расстояние между точкой на волновом фронте r2 = f(1) и точкой наблюдения.

Фаза интегранты имеет вид:

Далее исследуются особые точки интеграла (7) и показывается, что двумерная фокусировка невозможна, поскольку:

– ранг временной части матрицы Гесса фазовой функции, вычисленной относительно внутренних переменных и не меньше 1, поэтому к интегралу (7) применим метод стационарной фазы, например по частоте. При этом в зависимости от поглощения среды, т.е. от частоты соударения, у интеграла (7) может несколько стационарных точек ±. Для слабо поглощающей среды ( 0) стационарные точки:

Однако при 0 их может больше. Тем не менее существенный вклад в асимптотику вносят только главные пары седловых точек ± (9).

В итоге равномерная асимптотика представима в виде суммы двух интегралов:

где рассматриваемому нами двухмерному случаю соответствует:

Здесь введены обозначения Из матрицы Гесса (8) в частности следует, что временная фокусировка видеоимпульса В частном случае (среда без поглощения ( = 0, µ = )) асимптотика поля (10) может быть представлена через интегралы:

Временная фокусировка видеоимпульса имеет место в случае, если выполняется условие =, что для положительных частот возможно лишь тогда, когда модуляция сигнала () задается возрастающей, выпуклой вниз функцией.

Для импульсов, у которых в начальный момент времени форма волнового фронта целиком определяется «медленно меняющейся» по времени амплитудной функцией А(1, 2;) с явно выраженными началом и концом видеоимпульса при =a и =b соответственно (например, ступенчатый импульс) показывается, что для сред как с поглощением, так и без поглощения, вклад седловой точки интегралов (11) и (12) соответственно в асимптотику поля несущественен. Поэтому основной вклад определяется краевыми точками начала и конца импульса. В этом случае (считая для общности, что () 0) (11) преобразуется в:

причем в (13) всюду вместо подставлено 0, равное либо a, либо b (слагаемое вносит вклад, если t > R / c + 0 ). Для случая, когда () =0 для среды с поглощением:

Для среды в отсутствие поглощения выражение (14) упрощается соответственно:

Резюмируя проделанные выкладки утверждается, что фокусировка прямоугольного видеоимпульса в однородной плазме будет определяться пространственной фокусировкой, соответствующей одномерной фокусировке каспоидной серии AN (табл. 1). Одномерная фокусировка возникает в случае R11 =0.

Для исследования влияния пространственных фокусировок предполагается, что начальный волновой фронт задается в виде некоторого возмущения параболического фронта:

где B(1) – возмущающая функция. Если возмущение B(1) представляет собой полином с мономами выше второй степени, возможна лишь фокусировка каспоидного типа ( = AN), являющаяся немодальной (простой) волной катастрофой. Её универсальная деформация — это многочлен степени N+1 (см. табл. 1):

Имеет место тождество:

позволяющее определить функции (r, t ).

Ссылаясь на результаты волновой теории катастроф, равномерная асимптотика интеграла (11) в окрестности особых точек типа катастроф имеет вид:

где – специальная функция волновой катастрофы (обобщенная функция Эйри), j – коэффициенты универсальной деформации ( dim = L ), L – коразмерность особенности, – внутренний параметр универсальной деформации, lj – коэффициенты асимптотического разложения, – фаза бегущей волны. Если N=2, то I A2 ( ) это функция Эйри, а если N=3, то I A3 (1, 2 ) это функция Пирси.

В отсутствие модуляции начального импульса (() = 0), решение имеет вид (черта означает комплексное сопряжение):