«Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»

В философском отношении определение иррациональных чисел по Дедекинду находится на более высоком уровне абстракции, так как оно не ограничивает ни в чем того математического закона, который определяет классы A и B. Другой, более конкретный метод для определения континуума действительных чисел принадлежит Георгу Кантору (1845–1918). На первый взгляд резко отличный как от метода вложенных отрезков, так и от метода сечений, он, однако, эквивалентен любому из них в том смысле, что числовой континуум, получающийся на основе всех трех методов, обладает одними и теми же свойствами. Идея Кантора базируется на тех обстоятельствах, что 1) действительные числа можно трактовать как бесконечные десятичные дроби, 2) бесконечные десятичные дроби можно рассматривать как пределы конечных десятичных дробей. Чтобы не связывать себя зависимостью от десятичных дробей, мы, следуя Кантору, принимаем, что всякая «сходящаяся» последовательность рациональных чисел a1, a2, a3,... определяет действительное число. При этом «сходимость» понимается в том смысле, что разность (am an ) между двумя членами последовательности стремится к нулю, если m и n одновременно и независимо друг от друга неограниченно возрастают. (Как раз последовательные десятичные приближения обладают этим свойством: любые два из них после n-го отличаются меньше чем на 10n.) Так как одно и то же действительное число по методу Кантора может быть определяемо самыми разнообразными последовательностями рациональных чисел, то приходится добавить, что две последовательности a1, a2, a3,... и b1, b2, b3,... определяют одно и то же действительное число, если разность an bn стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Идя по пути, намеченному Кантором, нетрудно определить сложение и т. д.

§ 3. Замечания из области аналитической 1. Основной принцип. Уже начиная с XVII в. числовой континуум, принимаемый как нечто само собой разумеющееся или же подвергаемый более или менее поверхностному критическому анализу, стал основой математики, в частности, аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений.

Введение числового континуума дает возможность сопоставить 1 Читателю, не вполне освоившемуся с предметом этого параграфа, рекомендуется обратиться к упражнениям, которые помещены в приложении в конце книги, стр. 513 и дальше.

§3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

каждому отрезку прямой в качестве его «длины» некоторое определенное действительное число. Но можно пойти и дальше. Не только длина, но и всякий вообще геометрический объект, всякая геометрическая операция могут найти свое место в царстве чисел. Решительные шаги в направлении арифметизации геометрии был сделаны не позднее 1629 г. Ферма (1601–1665) и в 1637 г. Декартом (1596–1650). Основная идея аналитической геометрии заключается в использовании «координат» — чисел, связанных (координированных) с данным геометрическим объектом и полностью этот объект характеризующих. Большинству читателей известны так называемые прямоугольные, или декартовы, координаты, служащие для того, чтобы фиксировать положение произвольной точки на плоскости. Мы исходим из двух неподвижных взаимно перпендикулярных прямых на плоскости, «оси x» и «оси y», и к ним относим каждую точку.

Эти оси рассматриваются как ориентированные числовые прямые, причем измерение совершается с помощью одного и того же единично- y го отрезка. Каждой точке P (рис. 12) Они получаются следующим образом.

Рассмотрим ориентированный отрезок y (вектор), идущий из «начала» O в точку P, и затем спроектируем ортогоx x нально этот вектор на обе оси, получая ориентированный отрезок OP на оси x и такой же отрезок OQ на оси y. Рис. 12. Прямоугольные коордиДва числа x и y, измеряющие соответ- наты точки ственно ориентированную длину отрезков OP и OQ, называются координатами точки P. Обратно, если x и y — два произвольных наперед заданных числа, то соответствующая точка P определяется однозначно. Если числа x и y оба положительные, то P попадает в первый квадрант координатной системы (рис. 13); если оба отрицательные, то в третий; если x положительно, а y отрицательно, то в четвертый, и, наконец, если x отрицательно, а y положительно, то во второй.

Расстояние между точкой P1 с координатами x1, y1 и точкой P2 с координатами x2, y2 дается формулой Это немедленно следует из пифагоровой теоремы (рис. 14).

2. Уравнения прямых и кривых линий. Если C есть неподвижная точка с координатами x = a, y = b, то геометрическое место всех ность с центром C и радиусом r. Из формулы для расстояния между Рис. 15. Окружность где k = r a b. Обратно, если задано уравнение вида (3), причем a, b и k — произвольные постоянные и сумма k + a2 + b2 положительна, то с помощью алгебраической процедуры «дополнения до квадрата» мы можем написать то же уравнение в форме где r2 = k + a2 + b2. И тогда ясно, что уравнение (3) определяет окружность радиуса r, центр которой — в точке C с координатами a, b.

Уравнение прямой линий еще проще по своей форме. Так, например, уравнение оси x имеет вид y = 0, так как координата y равна нулю для всех точек этой оси и ни для каких иных точек. Точно так же ось y имеет уравнение x = 0. Прямые, проходящие через начало и делящие пополам углы между осями, имеют уравнения x = y и x = y. Легко показать, что всякая прямая линия имеет уравнение вида

§3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

где a, b, c — постоянные, характеризующие эту прямую. Как и в других случаях, смысл уравнения (4) тот, что пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению, являются координатами некоторой точки на прямой, и обратно.

Может быть, читатель учил в школе, что уравнение вида представляет эллипс (рис. 16). Эта кривая пересекает ось x в точках A(p, 0) и A (p, 0) и ось y в точках B(0, q) и B (0, q). (Обозначение P (x, y) или, еще короче, (x, y), вводится ради краткости и должно быть расшифровано так: «точка P с координатами x и y».) Если p > q, то отрезок AA длины 2p называется большой осью эллипса, а отрезок BB длины 2q — его малой осью. Эллипс есть геометрическое точек P, сумма расстояний которых от точек F ( p2 q 2, 0) место и F ( p2 q 2, 0) равна 2p. Читатель сможет проверить это в качестве упражнения, применяя формулу (1). Точки F и F называются фокусами эллипса, а отношение e = называется его эксцентриситетом.

представляет гиперболу. Эта кривая состоит из двух ветвей, пересеМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II кающих ось x соответственно в точках A(p, 0) и A (p, 0) (рис. 17).

Отрезок AA длины 2p называется «действительной» осью гиперболы. Гипербола, удаляясь в бесконечность, приближается к двум прямым qx ± py = 0, но так с ними и не пересекается; эти прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух точек F ( p2 + q 2, 0) и F ( p2 + q 2, 0) по абсолютной величине равна 2p. Эти точки в случае гиперболы тоже называются фокусами; под эксцентриситетом гиперp2 + q также определяет гиперболу, но такую, для которой асимптотами являются две оси (рис. 18). Уравнение этой «равносторонней» гиперболы геометрически означает, что площадь прямоугольника OP P Q (см. рис. 12), связанного с точкой P, для всякой точки P кривой равна 1.

Равносторонняя гипербола несколько более общего вида где c — постоянная, представляет собой частный случай гиперболы в

§3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

том же смысле, в каком окружность представляет собой частный случай эллипса. Отличительная характеристика равносторонней гиперболы заключается в том, что ее две асимптоты (в нашем случае — две оси) взаимно перпендикулярны.

Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой P (x, y), равна Во всем этом для нас самым интересным является руководящая идея:

геометрические объекты могут полностью описываться в арифметической или алгебраической форме. То же справедливо и относительно геометрических операций. Например, если нам требуется найти точки пересечения двух прямых, то мы рассматриваем два их уравнения и для нахождения общей точки этих двух прямых достаточно решить систему (8); решение дает нам координаты искомой точки. Таким же образом точки пересечения двух произвольных кривых (скажем, окружности x2 + y 2 2ax 2by = k и прямой ax + by = c) находятся посредством совместного решения их уравнений.

§ 4. Математический анализ бесконечного 1. Основные понятия. Последовательность натуральных чисел представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Не нужно видеть ничего таинственного в том, что она — бесконечная, что у нее «нет конца»: как бы велико ни было натуральное число n, можно построить другое, следующее за ним число, еще большее — n + 1. Но при переходе от прилагательного «бесконечный», означающего просто-напросто «не имеющий конца», к существительному «бесконечность» никоим образом не следует привносить допущения, что «бесконечность», обыкновенно изображаемая особым символом, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включить символ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом основных законов арифметики. И тем не менее идея бесконечности пронизывает всю математику, так как математические объекты изучаются обыкновенно не как индивидуумы — каждый в отдельности, а как члены классов или совокупностей, содержащих бесчисленное множество элементов одного и того же типа; таковы совокупности натуральных чисел, действительных чисел или же треугольников на плоскости. Именно по этой причине возникает необходимость в точном математическом анализе бесконечного. Современная теория множеств, созданная Георгом Кантором и его школой в конце XIX столетия, приступив к разрешению этой задачи, достигла значительных успехов. Канторова теория множеств глубоко проникла во многие области математики и оказала на них огромное влияние; она стала играть особо выдающуюся роль в исследованиях, связанных с логическим и философским обоснованием математики. Исходным в канторовой теории является общее понятие совокупности или множества. При этом имеется в виду собрание объектов (элементов), которое определяется некоторым правилом, позволяющим с полной определенностью судить о том, входит ли данный объект в число элементов собрания или не входит. Примерами могут служить множество всех натуральных чисел, множество всех периодических десятичных дробей, множество всех действительных чисел или множество всех прямых в трехмерном пространстве.

Для того чтобы сравнивать множества с точки зрения «количества»

содержащихся в них элементов, нужно ввести основное в этой теории понятие «эквивалентности» множеств. Если элементы двух множеств A и B могут быть приведены в попарное соответствие такого рода, что каждому элементу множества A сопоставлен один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B сопоставлен один и только один элемент множества A, то установленное таким образом соответствие называется взаимно однозначным, а о самих множествах A и B

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

тогда говорят, что они между собой эквивалентны. Понятие эквивалентности в случае конечных множеств совпадает с обыкновенным понятием числового равенства, так как два конечных множества в том и только том случае могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие, если содержат одно и то же число элементов. На этом и основывается, нужно заметить, идея счета: когда мы «считаем» элементы множества, то процесс счета как раз и заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между элементами множества и числами 1, 2,..., Чтобы установить эквивалентность двух конечных множеств, иногда нет необходимости «считать» элементы. Так, например, не считая, можно утверждать, что конечное множество кругов единичного радиуса эквивалентно множеству их центров.

Перенося понятие эквивалентности на бесконечные множества, Кантор имел в виду создать «арифметику» бесконечного. Множество действительных чисел и множество точек на прямой линии эквивалентны, так как после того, как выбраны начало и единичный отрезок, данная прямая становится «числовой прямой», и каждой ее точке P в качестве координаты взаимно однозначно сопоставляется некоторое совершенно определенное действительное число x:

Четные числа образуют правильное подмножество множества всех натуральных чисел, а все целые числа образуют правильное подмножество множества всех рациональных чисел. (Говоря о «правильном»

подмножестве некоторого множества S, мы имеем в виду множество S, состоящее из элементов множества S, но не из всех его элементов.) Совершенно ясно, что если данное множество конечно, т. е. содержит какое-то число n элементов и не более того, то оно не может быть эквивалентно никакому своему правильному подмножеству, так как всякое правильное его подмножество содержало бы самое большее n элемент. Но если данное множество содержит бесконечное число элементов, то, как это ни парадоксально, оно может быть эквивалентно некоторому своему правильному подмножеству. Например, схема устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех четных целых положительных чисел, и эти два множества оказываются эквивалентными, хотя второе есть правильное подмножество первого. Такое противоречие с ходячей истиной «целое больше своей части» показывает, какие сюрпризы нас ждут в области «арифметики бесконечного».

2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. Одно из первых открытий Кантора в области анализа бесконечного заключалось в том, что множество рациональных чисел (содержащее в качестве правильного подмножества бесконечное множество натуральных чисел и потому само бесконечное) эквивалентно множеству натуральных чисел. На первый взгляд кажется странным, что всюду плотное множество рациональных чисел не более богато элементами, чем множество натуральных чисел, элементы которого «рассеяны» редко и стоят на значительном расстоянии один от другого.

И в самом деле, с сохранением порядка возрастания нельзя расположить положительные рациональные числа так, как это можно сделать с натуральными: самое маленькое число a будет первым, следующее за ним по величине b вторым, и т. д.; дело в том, что рациональные числа расположены везде плотно, и потому ни для одного из них нельзя указать «следующего по величине». Но Кантор заметил, что если отказаться от требования «располагать по величине», то тогда оказывается возможным расставить все рациональные числа в ряд r1, r2, r3, r4,..., подобный ряду натуральных чисел. Такое расположение предметов некоторого множества в виде последовательности часто называют пересчетом («нумерацией») этого множества. Множества, для которых пересчет может быть выполнен, называются счетными или исчислимыми.

Указывая один из способов пересчета множества рациональных чисел и устанавливая, таким образом, его счетность, Кантор тем самым показал, что это множество эквивалентно множеству натуральных чисел, так как схема создает взаимно однозначное соответствие между двумя множествами.

Мы опишем сейчас один из возможных способов пересчета множества рациональных чисел.

Каждое рациональное число записывается в виде, где a и b — целые числа; все эти числа могут быть расположены в виде таблицы, где число стоит в a-м столбце и в b-й строчке. Например, станет в третьем столбце и в четвертой строчке таблицы. Предположим, что все свободные места, или «клеточки», в таблице заполнены соответствующими числами, а затем проведем по таблице непрерывную ломаную линию, которая пройдет через все клеточки. Начиная с 1, мы сделаем сначала один шаг вправо и получим 2 в качестве второго члена последовательности; затем по диагонали налево и вниз — получим третий член ; следующий шаг прямо вниз даст нам четвертый член ; потом

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

диагонали влево и вниз через и к, и т. д., как показано на рис. 19.

В результате движение по ломаной линии приводит к последовательности рациональных чисел Если мы выбросим теперь все дроби, у которых числитель и знаменатель имеют отличные от 1 общие делители, то останется последовательность, в которой каждое рациональное число встретится в точности один раз:

Так устанавливается, что множество всех рациональных чисел является счетным. Принимая во внимание, что рациональные числа взаимно однозначно связаны с рациональными точками числовой прямой, можно также сказать, что множество рациональных точек на числовой прямой счетно.

Упражнения. 1) Покажите, что множество всех целых, положительных и отрицательных, чисел счетно. Покажите, что множество всех рациональных, положительных и отрицательных, чисел счетно.

2) Покажите, что если S и T — счетные множества, то множество S + T (см. стр. 131) — также счетно. То же покажите для суммы трех, четырех и, вообще, n множеств; покажите, наконец, что множество, составленное посредством сложения счетного множества счетных множеств, также счетно.

Раз оказалось, что множество рациональных чисел счетно, то могло бы возникнуть подозрение, что и всякое бесконечное множество также счетно, и на этом, естественно, закончился бы весь анализ бесконечного.

Но это совсем не так. Тому же Кантору принадлежит открытие исключительной важности: множество всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел несчетно. Другими словами, совокупность всех действительных чисел совершенно иного (так сказать более высокого) «типа бесконечности», чем совокупность одних только целых или одних только рациональных чисел. Принадлежащее Кантору остроумное «косвенное» доказательство этого факта стало моделью для многих иных доказательств в математике. Идея рассуждения такова.

Мы исходим из допущения, что все действительные числа удалось перенумеровать, располагая их в виде последовательности, и после этого демонстрируем число, которое никак не может быть числом этой последовательности. Отсюда возникает противоречие: ведь было предположено, что все действительные числа вошли в состав последовательности, и это предположение должно быть признано ложным, если хотя бы одно число оказывается за пределами последовательности. Таким образом обнаруживается несостоятельность утверждения, что все действительные числа поддаются «пересчету», и ничего другого не остается, как только признать вместе с Кантором, что множество действительных чисел несчетно.

Однако проведем это рассуждение фактически. Допустим, что все действительные числа, представленные в виде бесконечных десятичных дробей, расположены в порядке последовательности, или списка:

где буквы Ni обозначают целую часть, а буквы a, b, c,... представляют собой десятичные знаки, стоящие вправо от запятой. Мы допускаем, что эта последовательность дробей охватывает все действительные числа.

Существенной частью доказательства является построение с помощью «диагональной процедуры» такого нового числа, относительно которого можно показать, что оно не входит в наш список.

Построим такое число. Для этого возьмем первую цифру после запятой a, какую угодно, но отличную от a1, а также от 0 и 9 (последнее — чтобы избежать затруднений, возникающих из равенств вроде следующего: 0,999 · · · = 1,000... ); затем вторую цифру b возьмем отличной от b2, а также от 0 и 9; третью цифру c — отличной от c3 и т. д. (Для большей определенности можно условиться в следующем: мы берем a =

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

1, если только a1 = 1, а в случае a1 = 1 возьмем a = 2; и аналогично для всех прочих цифр b, c, d, e,... ) Теперь рассмотрим число Это новое число z наверняка не входит в наш список; действительно, оно не равно первому числу, стоящему в списке, так как от него отличается первой цифрой после запятой, оно не равно второму числу, так как от него отличается второй цифрой после запятой, и вообще отлично от n-го числа по списку, так как от него отличается n-й цифрой после запятой. Итак, в нашем списке, составленном будто бы из всех действительных чисел, нет числа z. Значит, множество всех действительных чисел несчетно.

Рис. 20. Взаимно однозначное соответствие между точками согнутого интервала и точками прямой линии Читателю может прийти в голову мысль, что несчетность континуума обусловливается неограниченной протяженностью прямой линии и что конечный отрезок прямой будет содержать лишь счетное множество точек. Чтобы убедиться в ложности такого предположения, достаточно установить, что весь числовой континуум в целом эквивалентен некоторому конечному интервалу, скажем, единичному интервалу от 0 до 1.

Получить необходимое для этой цели взаимно однозначное соответствие можно, например, сгибая интервал в точках и и затем проектируя так, как показано на рис. 20. Отсюда видно, что даже конечный интервал (и, конечно, отрезок) содержит несчетное множество точек.

Упражнение. Покажите, что любой отрезок [A, B] числовой прямой эквивалентен любому другому отрезку [C, D] (рис. 21).

Стоит привести еще другое доказательство несчетности континуума, носящее, пожалуй, более интуитивный характер. Достаточно (принимая во внимание последнее доказанное предложение) сосредоточить внимание на точках единичного отрезка от 0 до 1. Доказательство, впрочем, как и раньше, будет «косвенное». Предположим, что множество всех точек названного ки единичного отрезка входили в последовательность (1), то весь единичный отрезок между точками двух отрезков различной перекрывающихся), длины которых суть,,... (Беды нет, если некоторые из наложенных отрезков выйдут за пределы основного единичного отрезка.) Сумма всех длин наложенных отрезков равна Итак, допущение, что последовательность (1) содержит все действительные точки единичного отрезка, приводит к заключению, что весь этот отрезок, длина которого равна 1, можно покрыть множеством промежутков с общей длиной ; с интуитивной точки зрения это нелепость.

Это рассуждение мы позволим себе рассматривать как доказательство, хотя строго логически тут был бы нужен более глубокий анализ.

Приведенное только что рассуждение, между прочим, позволяет установить одну теорему, имеющую большое значение в современной «теории меры». Заменяя упомянутые выше промежутки меньшими промежутками — длиe ны n, где e — произвольно малое положительное число, мы убедимся, что всякое счетное множество точек на прямой может быть покрыто множеством отрезков с общей длиной. Так как e произвольно мало, то и может быть сделано столь малым, сколь нам угодно. Пользуясь фразеологией «теории меры», мы скажем, что счетное множество точек имеет меру нуль.

Упражнение. Докажите аналогичную теорему для счетного множества точек на плоскости, заменяя отрезки площадями квадратов.

3. «Кардинальные числа» Кантора. Резюмируем полученные результаты. Число элементов конечного множества A не может равняться числу элементов другого конечного множества B, если A содержит

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

больше элементов, чем B. Но если мы заменим понятие «множеств, имеющих одно и то же конечное число элементов» более общим понятием «эквивалентных множеств», то — в случае бесконечных множеств — предыдущее утверждение уже не будет справедливо: множество всех целых чисел содержит «больше» элементов, чем множество всех четных чисел, а множество всех рациональных чисел — «больше» элементов, чем множество всех целых чисел; и, однако, как мы видели, все эти множества эквивалентны. Можно было бы заподозрить, что все бесконечные множества между собой эквивалентны, но Кантор опроверг это предположение: существует множество — континуум действительных чисел, — которое не эквивалентно никакому счетному множеству.

Итак, существует по меньшей мере два различных «типа бесконечности»: счетная бесконечность натуральных чисел и несчетная бесконечность континуума. Если два множества A и B, конечные или бесконечные, эквивалентны, мы скажем, что им соответствует одно и то же кардинальное число (или мощность). В случае конечных множеств кардинальное число сводится к обыкновенному натуральному числу, но понятие кардинального числа носит более общий характер. Далее, если случится, что множество A эквивалентно некоторому подмножеству (части) множества B, но само B неэквивалентно ни множеству A, ни какой бы то ни было его части, то говорят, следуя Кантору, что множеству B соответствует большее кардинальное число, чем множеству A. Это употребление термина «число» также согласуется с обычным употреблением в случае конечных множеств. Множество целых чисел есть подмножество множества всех действительных чисел, тогда как множество действительных чисел не эквивалентно ни множеству целых чисел, ни какому бы то ни было его подмножеству (оно ни счетное, ни конечное).

Значит, по данному определению, континууму действительных чисел соответствует большее кардинальное число, чем множеству натуральных чисел.

* Кантор показал фактически, как можно построить бесконечную последовательность бесконечных множеств, которым соответствуют все бльшие о и бльшие кардинальные числа. Так как можно исходить из множества натуо ральных чисел, то достаточно показать, что, каково бы ни было данное множество A, можно построить другое множество B, у которого кардинальное число будет больше, чем у A. Вследствие большой общности этой теоремы доказательство ее по неизбежности несколько абстрактно. Множество B мы определяем как множество, элементами которого являются все возможные подмножества множества A. Говоря о «подмножествах» A, мы в данном случае имеем в виду не только «правильные подмножества» A, но не исключаем и самого множества A, а также «пустого» множества, не содержащего никаких элементов. (Так, если A состоит из трех целых чисел 1, 2, 3, то B содержит различных элементов {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3} и.) Каждый элемент множества B сам есть множество, состоящее из каких-то элементов множества A. Допустим теперь, что B эквивалентно A или некоторому подмножеству A, т. е. что существует некоторое правило, приводящее во взаимно однозначное соответствие элементы A или некоторого подмножества A со всеми элементами B, т. е. всеми подмножествами A:

где через Sa обозначено то подмножество A, которому соответствует элемент a множества A. Мы придем к противоречию, если укажем некоторый элемент B, т. е. некоторое подмножество T множества A, которому не может соответствовать никакой элемент a. Чтобы построить подмножество T, заметим прежде всего, что для всякого элемента x из A существуют две возможности: либо множество Sx, сопоставляемое зависимостью (2) элементу x, содержит элемент x, либо не содержит. Мы определим T как подмножество A, состоящее из всех таких элементов x, что Sx не содержит x. Определенное таким образом множество T отличается от всякого Sa по крайней мере элементом a, так как если Sa содержит a, то T не содержит a, а если Sa не содержит a, то T содержит a. Итак, T не включено в соответствие (2). Это и показывает, что невозможно установить взаимно однозначное соответствие между элементами A (или некоторого подмножества A) и элементами B. Но соотношение устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми элементами A и подмножеством B, состоящим из одноэлементных подмножеств A. Значит, по данному выше определению, множеству B соответствует большее кардинальное число, чем множеству A.

* Упражнение. Если множество A содержит n элементов, то определенное выше множество B содержит 2n элементов. Если A есть множество натуральных чисел, то B эквивалентно континууму действительных чисел, заключенных между 0 и 1. (Указание: сопоставьте каждому подмножеству A символ, состоящий из последовательности — конечной в первом примере, бесконечной во втором — где an = 1 или 0, смотря по тому, принадлежит или не принадлежит n-й элемент A рассматриваемому подмножеству.) Могло бы показаться легкой задачей построить множество точек, обладающее бльшим кардинальным числом, чем множество точек единичного отрезка. Казалось бы, что квадрат со стороной 1, как «двумерная» фигура, должен содержать «больше» точек, чем «одномерный» отрезок. Но, как это ни странно, дело обстоит иначе: кардинальное число точек квадрата в точности равно кардинальному числу точек отрезка. Для доказательства достаточно установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и точками отрезка. Постараемся это сделать.

Если (x, y) есть какая-нибудь точка единичного квадрата, то ее координаты x и y могут быть представлены в виде десятичных разложений

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

причем пусть будет условлено (ради избежания всяких сомнений), что, например, число будет записываться в виде 0,25000..., а не в виде 0,24999...

Названной точке квадрата (x, y) мы сопоставим точку единичного отрезка Очевидно, различным точкам квадрата (x, y) и (x, y ) сопоставляются различные же точки отрезка z и z ; это и значит, что кардинальное число множества точек квадрата не превышает кардинального числа множества точек отрезка.

(Собственно говоря, в данном случае построено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и некоторым подмножеством точек отрезка: никакая точка квадрата не будет соответствовать, например, точке отрезка 0,2140909090..., так как мы условились писать 0,25000..., а не 0,24999... Но можно слегка видоизменить построение таким образом, чтобы действительно осуществлялось взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и множеством всех точек отрезка.) Аналогичнее рассуждение показывает, что кардинальнее число точек куба не превышает кардинального числа точек отрезка.

Все эти результаты, казалось бы, стоят в противоречии с интуитивным представлением о «размерности». Но нужно обратить внимание на то, что вводимые нами соответствия не являются «непрерывными»; когда мы перемещаемся по отрезку от 0 к 1 непрерывно, соответствующие точки в квадрате не образуют непрерывной кривой, а будут появляться в порядке совершенно «хаотическом». Размерность множества точек зависит не только от кардинального числа точек, но и от того, как они расположены в пространстве. Мы вернемся к этому вопросу в главе V.

4. Косвенный метод доказательства. Теория кардинальных чисел представляет собой лишь один из аспектов общей теории множеств, созданной Кантором несмотря на суровую критику со стороны наиболее выдающихся математиков того времени. Многие из критиков, например Пуанкаре и Кронекер, возражали против неопределенности общего понятия «множества» и против неконструктивного характера рассуждений, применявшихся при определении некоторых множеств.

Возражения против неконструктивных рассуждений относятся к тем доказательствам, которые можно было бы назвать «существенно косвенными». Сами по себе «косвенные» доказательства есть самый обыкновенный элемент математического мышления: желая установить истинность предложения A, мы вначале допускаем, что справедливо иное предложение A, противоположное A; затем некоторая цепь рассуждений приводит нас к утверждению, противоречащему A, и тем самым обнаруживается несостоятельность предложения A. Тогда на базе основного логического принципа «исключенного третьего» из ложности A следует истинность A.

В разных местах этой книги читатель найдет ряд таких примеров, для которых косвенное доказательство легко может быть превращено в прямое, но «косвенная» форма создает преимущества краткости и освобождает от рассмотрения подробностей, имеющих второстепенный интерес с точки зрения поставленной ближайшей цели. Но попадаются и такие теоремы, для которых до настоящего времени не удалось дать иных доказательств, кроме косвенных. О некоторых из этих теорем можно даже сказать, что, по-видимому, по самой их природе прямые, конструктивные их доказательства принципиально невозможны. Сюда относится, например, теорема, приведенная на стр. 102. Не раз бывали случаи в истории математики, когда все усилия математиков были направлены в сторону построения («конструкции») решения тех или иных проблем, разрешимость которых предполагалось установить, а затем кто-нибудь приходил, если так можно выразиться, со стороны и ликвидировал все трудности с помощью «косвенного» неконструктивного рассуждения.

Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то имеется существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, чтобы доказать, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором — ничего, кроме противоречия. Не так давно некоторые математики (весьма заслуженные) провозгласили более или менее полное устранение из математики всех неконструктивных доказательств. Даже если бы выполнение этой программы признать желательным, необходимо указать, что это повлекло бы за собой в настоящую эпоху чрезвычайные усложнения, и можно было бы даже опасаться, что в процессе совершающихся потрясений подверглись бы разрушению существенные части организма математики.

Поэтому нечего удивляться, что школа «интуиционистов», принявшая упомянутую программу, встретила упорное сопротивление, и что даже наиболее ортодоксальные интуиционисты не всегда в состоянии жить согласно своим убеждениям. 5. Парадоксы бесконечного. Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием «множество» неизОб интуиционизме и выросшем из него конструктивном направлении в математике и логике, на исчерпывающую характеристику которых никак не претендуют эти строки, см., например, [11] и [15] в списке литературы в конце книги (номера по которому всюду указываются в квадратных скобках). — Прим. ред.

§4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО

бежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содержит.

Условимся называть такие множества «ординарными». Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество S, определенное следующим образом: «S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов». Так как само множество S определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем «экстраординарными».

Как бы то ни было, большинство множеств — ординарные; попробуем не иметь дела с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств.

Обозначим его буквой C. Каждый элемент C есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество C — ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим.1 Если C — ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как C определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, C — экстраординарное множество, так как экстраординарными, согласно определению, названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, C должно быть экстраординарным множеством.

Но тогда множество C содержит в качестве элемента себя, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению C как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества C внутренне противоречиво.

6. Основания математики. Парадоксы вроде вышеприведенного побудили Рассела и других подвергнуть систематическому изучению основания математики и логики. Конечная цель этих исследований заключается в создании для математических рассуждений такой логической базы, относительно которой можно было бы доказать, что она свободна от возможных противоречий, и которая вместе с тем была бы достаточно обширной, чтобы из нее можно было путем дедукции 1 Получаемое далее противоречие может быть выведено и без использования так называемого закона исключенного третьего, подразумеваемого в этой фразе. См., например, Френкель А. и Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966, гл. I, § 2. — Прим. ред.

вывести все, что в математике признается существенным, или хотя бы многое из того. Поскольку такой самонадеянной цели достигнуть не удавалось (а может быть, ее и нельзя достигнуть), математическая логика как особый предмет привлекала внимание все возрастающего числа исследователей. Многие относящиеся сюда проблемы необходимо признать крайне трудными, хотя формулировки их вполне просты. В качестве примера назовем гипотезу континуума, утверждающую, что не существует множества, для которого кардинальное число больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества действительных чисел. Из этой гипотезы можно вывести много интересных следствий, но сама гипотеза до наших дней не была ни доказана, ни опровергнута. Впрочем, не так давно Курт Гёдель доказал, что если система обычных постулатов, лежащих в основе теории множеств, не содержит противоречий, то в таком случае расширенная система постулатов, получающаяся при добавлении континуум-гипотезы, также не содержит противоречий. Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике?

К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждает, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очередной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию.

Недавние результаты Гёделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена. Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализированного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или в скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике. 1 1940 г. А в 1963 г. американским математиком П. Коэном доказана независимость континуум-гипотезы от принятой Гёделем системы аксиом теории множеств. — 2 Подробнее об этих вопросах см. [11] и [38]. — Прим. ред.

§ 5. Комплексные числа 1. Возникновение комплексных чисел. По ряду причин возникла потребность в расширении понятия числа даже за пределы континуума действительных чисел — посредством введения так называемых комплексных чисел. Необходимо ясно представлять себе, что все подобного рода расширения и нововведения приходят отнюдь не в результате чьих-то индивидуальных усилий. Скорее их можно рассматривать как итог некоторой постепенной и исполненной колебаний эволюции, в которой не следует преувеличивать роль отдельных личностей. Одной из причин, которые обусловили появление и употребление отрицательных и дробных чисел, было стремление к большей свободе в формальных вычислениях. Только к концу средневековья математики стали терять ощущение беспокойства и неуверенности, с которым они оперировали этими понятиями, тогда как ничего подобного не наблюдалось в отношении таких интуитивно ясных и конкретно воспринимаемых понятий, как понятие натурального числа.

Простейшая процедура, требующая применения комплексных чисел, есть решение квадратных уравнений. Напомним, как обстояло дело с линейным уравнением ax = b, когда нужно было определить удовлетворяb ющее ему значение неизвестной величины x. Решение имеет вид x =, и введение дробных чисел как раз обусловливается требованием, чтобы всякое линейное уравнение с целыми коэффициентами (при a = 0) было разрешимо. Уравнения вроде не имеют решения в области рациональных чисел, но имеют таковое в расширенном поле всех действительных чисел. Но даже поле действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем можно было построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Например, следующее очень простое уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа никак не может быть отрицательным. Нам приходится или удовольствоваться тем положением, что такие простые уравнения неразрешимы, или следовать по уже знакомому пути — расширять числовую область и вводить новые числа, с помощью которых удастся решить уравнение. Именно это самое и делается, когда вводят новый символ i и принимают, в качестве определения, что i2 = 1. Разумеется, этот объект — «мнимая единица» — не имеет ничего общего с числом как орудием счета. Это — отвлеченный символ, подчиненный основному закону i2 = 1, и ценность его зависит исключительно от того, будет ли достигнуто в результате его введения действительно полезное расширение числовой системы.

Так как мы хотим складывать и умножать с помощью символа i так же, как с обыкновенными числами, то естественно пользоваться символами вроде 2i, 3i, i, 2 + 5i, вообще, a + bi, где a и b — действительные числа. Раз эти символы должны подчиняться коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам, то должны быть возможны, например, такие вычисления:

Руководствуясь этими соображениями, мы начинаем систематическое изложение теории комплексных чисел со следующего определения:

символ вида a + bi, где a и b — два действительных числа, носит название комплексного числа с действительной частью a и мнимой частью b.

Операции сложения и умножения совершаются над этими числами так, как будто бы i было обыкновенное действительное число, однако с условием заменять i2 на 1. Точнее говоря, сложение и умножение определяются по формулам В частности, мы получаем Основываясь на этих определениях, легко проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Далее, не только сложение и умножение, но также и вычитание и деление, будучи применены к двум комплексным числам, приводят снова к комплексным числам того же вида a + bi, так что комплексные числа образуют поле (см. стр. 75):

(Второе равенство теряет смысл, если c + di = 0 + 0i, так как тогда c2 + + d2 = 0. Значит, и на этот раз нужно исключить деление на нуль, т. е.

на 0 + 0i.) Например, Поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве «подполя», так как комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a. Заметим, с другой стороны, что комплексное число вида 0 + bi = bi называется «чисто мнимым».

в форме a + bi.

3) Представьте в форме a + bi следующие выражения:

4) Вычислите 5 + 12i. (Указание: напишите 5 + 12i = x + yi, возведите в квадрат и приравняйте действительные части и мнимые части.) Вводя символ i, мы расширили поле действительных чисел и получили поле символов a + bi, в котором квадратное уравнение имеет два решения: x = i и x = i. В самом деле, согласно определению, i · i = (i)(i) = i2 = 1. Нужно сказать, что мы приобрели гораздо больше: можно легко проверить, что теперь каждое квадратное уравнение становится разрешимым. В самом деле, выполняя над равенством (6) ряд преобразований, мы получаем:

Заметим теперь, что если b2 4ac 0, то b2 4ac есть обыкновенное действительное число и корни уравнения (6) действительные; если же b2 4ac < 0, то тогда 4ac b2 > 0, и следовательно, b2 4ac = = (4ac b2 ) = 4ac b2 · i, так что уравнение (6) имеет в качестве корней мнимые числа. Так, например, уравнение как уравнение 2. Геометрическое представление комплексных чисел. Уже в XVI столетии в математических работах появляются квадратные корни из отрицательных чисел в формулах, дающих решения квадратных уравнений. Но в те времена математики затруднились бы объяснить точный смысл этих выражений, к которым относились почти с суеверным трепетом. Сам термин «мнимый» до сих пор напоминает нам о том, что эти выражения рассматривались как нечто искусственное, лишенное реального значения. И только в начале XIX в., когда уже выяснилась роль комплексных чисел в различных областях математики, было дано очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел и операций с ними, и этим был положен конец сомнениям в возможности их законного употребления. Конечно, с современной точки зрения, формальные операции с комплексными числами полностью оправдываются на основе формальных определений, так что геометрическое представление логически не является необходимым.

Но такое представление, предложенное почти одновременно Весселем (1745–1818), Арганом (1768–1822) и Гауссом, позволило рассматривать комплексy зрения и, кроме того, имеющее чрезвычайно большое значение в приложениях комплексных чисел как в самой математике, Рис. 22. Геометрическое x, y. Именно, действительная часть числа представление комплексных чисел. Точка z имеет прямокак y-координата. Таким образом устаугольные координаты x, y навливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками «числовой плоскости», подобно тому как нами было установлено раньше (см. § 2) соответствие между действительными числами и точками «числовой оси». Точкам на оси x в числовой плоскости соответствуют действительные числа z = x + 0 i, тогда как точкам на оси y — чисто мнимые числа z = 0 + yi.

есть какое-то комплексное число, то мы называем число сопряженным с числом z. В числовой плоскости точка z получается из точки z посредством зеркального отражения относительно оси x. Если мы условимся расстояние точки z от начала обозначать через r, то на основании теоремы Пифагора Действительное число r = x2 + y 2 называется модулем z и обозначается Если z лежит на действительной оси, то модуль совпадает с абсолютной величиной z. Комплексные числа с модулем 1 изображаются точками, лежащими на «единичной окружности» с центром в начале и радиусом 1.

Если |z| = 0, то z = 0. Это следует из определения |z| как расстояния точки z от начала. Далее, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей:

Это вытекает как следствие из более общей теоремы, которая будет доказана на стр. 117.

Упражнения. 1) Докажите последнюю теорему, исходя непосредственно из определения умножения двух комплексных чисел z1 = x1 + y1 i и z2 = x2 + y2 i.

2) Пользуясь тем обстоятельством, что произведение двух действительных чисел равно нулю в том и только том случае, если один из множителей равен нулю, докажите соответствующую теорему для комплексных чисел.

(Указание: основывайтесь при доказательстве на двух последних теоремах.) Согласно определению сложения и z2 = x2 + y2 i, мы имеем Таким образом, точка z1 + z2 изображается в числовой плоскости чет- z вертой вершиной параллелограмма, у которого тремя первыми вершинами являются точки 0, z1, z2. Это простой способ построения суммы двух Рис. 23. Сложение комплексных комплексных чисел ведет ко многим чисел по правилу параллелограмма важным следствиям. Из него мы заключаем, что модуль суммы двух комплексных чисел не превышает суммы модулей (ср. стр. 76):

Достаточно сослаться на то, что длина стороны треугольника не превышает суммы длин двух других сторон.

Упражнение. В каких случаях имеет место равенство |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |?

Угол между положительным направлением оси x и отрезком Oz называется аргументом z и обозначается буквой f (см. рис. 22). Числа z и z имеют один и тот же модуль но их аргументы противоположны по знаку:

Конечно, аргумент z определяется не однозначно, так как к нему можно прибавлять или из него вычитать любой угол, кратный 360, не изменяя направления отрезка Oz. Итак, углы графически дают один и тот же аргумент. Так как, согласно определению синуса и косинуса, то любое комплексное число z выражается через его модуль и аргумент следующим образом:

Например, так что Читатель может проверить эти утверждения посредством подстановки числовых значений тригонометрических функций.

Тригонометрическим представлением (8) очень полезно воспользоваться, чтобы уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел. Если Но, в силу основных теорем сложения синуса и косинуса, Итак, В правой части последнего равенства мы видим написанное в тригонометрической форме комплексное число с модулем rr и аргументом f + f. Значит, мы можем отсюда заключить, что при умножении двух ваются (рис. 24). Таким образом, мы видим, что умножение комплексных чисел как-то связано с вращением.

ло. Назовем направленный отрезок, идущий из начала в точку z, вектором точки z; тогда модуль r = |z| есть его длина. Пусть z — какаяx нибудь точка единичной окружности, так что r = 1. В таком случае умножение z на z просто поворачивает вектор z на угол f. Если Рис. 24. Умножение комплексных же r = 1, то, помимо вращения, дли- чисел: аргументы складываются, на вектора должна быть умножена модули перемножаются на r. Рекомендуем читателю самостоятельно проиллюстрировать эти факты, умножая различные комплексные числа на z1 = i (вращение на 90 ); z2 = i (тоже вращение на 90, но в обратном направлении); z3 = 1 + i и z4 = 1 i.

Формула (9) в особенности представляет интерес, если z = z ; в этом случае имеем:

Умножая снова на z, будем иметь и, вообще, для любого n, повторяя операцию, получим В частности, если точка z находится на единичной окружности, так что r = 1, мы приходим к формуле, открытой французским математиком А. де Муавром (1667–1754):

Эта формула — одно из самых замечательных и полезных соотношений в элементарной математике. Поясним это примером. Возьмем n = 3 и разложим левую часть по формуле бинома Тогда получим:

Одно такое комплексное равенство равносильно двум равенствам, связывающим действительные числа. В самом деле, если два комплексных числа равны, то в отдельности равны их действительные части и их мнимые части. Итак, можно написать Пользуясь затем соотношением получим окончательно:

Подобного рода формулы, выражающие sin nf и cos nf соответственно через sin f и cos f, легко получить при каком угодно целом значении n.

Упражнения. 1) Напишите аналогичные формулы для sin 4f и cos 4f.

2) Предполагая, что точка z находится на единичном круге: z = cos f + i sin f, покажите, что = cos f i sin f.

3) Без вычислений установите, что модуль числа равен единице.

4) Докажите: если z1 и z2 — два комплексных числа, то аргумент z1 z равен углу между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим от z2 к z1.

5) Дан треугольник с вершинами z1, z2, z3 ; установите геометрический смысл аргумента числа 1.

6) Докажите, что отношение двух комплексных чисел с одинаковым аргументом есть действительное число.

собой, то четыре точки z1, z2, z3, z4 лежат на окружности или на прямой линии, и обратно.

8) Докажите: четыре точки z1, z2, z3, z4 лежат на окружности или на прямой линии, если число действительное.

3. Формула Муавра и корни из единицы. Под корнем n-й степени из числа a мы понимаем всякое такое число b, что bn = a. В частности, число 1 имеет два квадратных корня: 1 и 1, так как 12 = (1)2 = 1. Число 1 имеет один действительный кубический корень, именно 1, тогда как оно же имеет четыре корня четвертой степени: два действительных, 1 и 1, и два мнимых: i и i. Эти факты наводят на мысль, что в вать еще два кубических корня из (а всего кубических корней тогда будет три). С помощью формулы Муавра мы покажем, что эта догадка справедлива.

Мы убедимся, что в поле комплексных чисел существует ровно n корней Рис. 25. Двенадцать корней степени n из 1. Эти корни изобража- двенадцатой степени из единиются вершинами правильного n-уголь- цы ника, вписанного в единичный круг и имеющего точку 1 в качестве одной из вершин.

Сказанное почти ясно из рис. 25 (соответствующего случаю n = 12).

Первая вершина многоугольника есть 1. Следующая есть так как аргумент должен равняться n-й части угла в 360. Еще следующая вершина есть a · a = a2, так как мы получим ее, вращая вектор a. Дальше получаем вершину a3 и т. д.; после n шагов возна угол вращаемся снова к вершине 1, т. е. получаем что следует также из формулы (11), так как Итак, a1 = a есть корень уравнения xn = 1. То же справедливо относительно следующей вершины Мы убедимся в этом, если напишем или же воспользуемся формулой Муавра Точно так же мы заключаем, что все n чисел являются корнями степени n из 1. Если будем степени увеличивать дальше или рассмотрим отрицательные степени, то новых корней не получим. В самом деле, точно так же и т. д., так что ранее полученные корни повторяются. Читателю предоставляем в качестве упражнения показать, что иных корней, кроме перечисленных, рассматриваемое уравнение не имеет.

Если n четное, то одна из вершин n-угольника попадает в точку 1, в соответствии с общеизвестным алгебраическим фактом: 1 есть корень четной степени из 1.

Уравнение, которому удовлетворяют корни n-й степени из 1, есть уравнение n-й степени, но легко понизить его степень на единицу.

Воспользуемся алгебраической формулой Так как произведение двух чисел равно 0 в том и только том случае, если один из множителей равен нулю, то выражение (14) обращается в нуль или при x = 1, или при условии, что удовлетворяется уравнение Этому уравнению удовлетворяют корни a, a,..., a ; оно называется циклотомическим, или уравнением деления окружности. Так, например, мнимые кубические корни из являются корнями уравнения как читатель сможет убедиться, выполняя подстановки. Таким же образом корни пятой степени из 1 (кроме самого числа 1) удовлетворяют уравнению Чтобы построить правильный пятиугольник, нам приходится решить уравнение четвертой степени. Простое алгебраическое ухищрение — замена w = x + — приводит к уравнению второй степени. Мы делим уравнение (16) на x2 и переставляем члены:

По формуле (7) пункта 1 корни этого квадратного уравнения имеют вид Итак, мнимые корни пятой степени из 1 являются корнями следующих двух квадратных уравнений:

Читатель сможет их решить по той же формуле (7).

Упражнения. 1) Найдите корни 6-й степени из 1.

2) Вычислите (1 + i)11.

3) Вычислите все различные значения выражений 4) Вычислите *4. Основная теорема алгебры. Не только уравнения вида ax2 + + bx + c = 0 или xn 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше: всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней 5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 138).

Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где n — целое положительное число, а коэффициенты a — действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число a = c + di, что Число a называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 289–291. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени n может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:

где a1, a2,..., an — комплексные числа, корни уравнения f (x) = 0. Так, например, полином разлагается на множители следующим образом:

Что числа a являются корнями уравнения f (x) = 0, это очевидно из самого разложения (19), так как при x = ar один из множителей f (x), а следовательно, и сам полином f (x), обращается в нуль.

В иных случаях не все множители x a1, x a2,... полинома f (x) степени n оказываются различными; так, в примере мы имеем только один корень, x = 1, «считаемый дважды», или «кратности 2». Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида x a, и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.

При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся — не в первый раз — алгебраическим тождеством

§6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

которое при a = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что a = a1 есть корень уравнения (17), так что Вычитая это выражение из f (x) и перегруппировывая члены, мы получим тождество Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель x a1 из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше.

Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество где g(x) — многочлен степени n 1:

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g(x). По теореме Гаусса, существует корень a2 уравнения g(x) = 0, так что где h(x) — новый многочлен степени уже n 2. Повторяя эти рассуждения n 1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа a1, a2,..., an суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число y было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы Но мы видели (стр. 115), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только том случае, если один из множителей равен нулю.

Итак, один из множителей y ar равен 0, т. е. y = ar, что и требовалось установить.

§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа 1. Определение и вопросы существования. Алгебраическим числом называется всякое число x, действительное или мнимое, удовлетворяющее некоторому алгебраическому уравнению вида где числа ai целые. Так, например, число 2 алгебраическое, так как оно удовлетворяет уравнению Таким же образом алгебраическим числом является всякий корень любого уравнения с целыми коэффициентами третьей, четвертой, пятой, какой угодно степени, и независимо от того, выражается или не выражается он в радикалах. Понятие алгебраического числа есть естественное обобщение понятия рационального числа, которое соответствует частному случаю n = 1.

Не всякое действительное число является алгебраическим. Это вытекает из следующей, высказанной Кантором, теоремы: множество всех алгебраических чисел счетно. Так как множество всех действительных чисел несчетное, то обязательно должны существовать действительные числа, не являющиеся алгебраическими.

Укажем один из методов пересчета множества алгебраических чисел.

Каждому уравнению вида (1) сопоставим целое положительное число которое назовем ради краткости «высотой» уравнения. Для каждого фиксированного значения n существует лишь конечное число уравнений вида (1) с высотой h. Каждое из таких уравнений имеет самое большее n корней. Поэтому может существовать лишь конечное число алгебраических чисел, порождаемых уравнениями с высотой h; следовательно, все алгебраические числа можно расположить в виде последовательности, перечисляя сначала те из них, которые порождаются уравнениями высоты 1, затем — высоты 2 и т. д.

Это доказательство счетности множества алгебраических чисел устанавливает существование действительных чисел, которые не являются алгебраическими. Такие числа называют трансцендентными (от латинского transcendere — переходить, превосходить); такое наименование им дал Эйлер, потому что они «превосходят мощность алгебраических методов».

Канторово доказательство существования трансцендентных чисел не принадлежит к числу конструктивных. Теоретически рассуждая, можно было бы построить трансцендентное число с помощью диагональной процедуры, производимой над воображаемым списком десятичных разложений всех алгебраических чисел; но такая процедура лишена всякого практического значения и не привела бы к числу, разложение которого в десятичную (или какую-нибудь иную) дробь можно было бы на самом деле написать. Наиболее интересные проблемы, связанные с трансцендентными числами, заключаются в доказательстве того, что определенные, конкретные числа (сюда относятся числа p и e, о которых см. стр. 319–322) являются трансцендентными.

§6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

**2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел еще до Кантора было дано Ж. Лиувиллем (1809–1862). Оно дает возможность на самом деле конструировать примеры таких чисел.

Доказательство Лиувилля более трудно, чем доказательство Кантора, и это неудивительно, так как сконструировать пример, вообще говоря, сложнее, чем доказать существование. Приводя ниже доказательство Лиувилля, мы имеем в виду только подготовленного читателя, хотя для понимания доказательства совершенно достаточно знания элементарной математики.

Как обнаружил Лиувилль, иррациональные алгебраические числа обладают тем свойством, что они не могут быть приближены рациональными числами с очень большой степенью точности, если только не взять знаменатели приближающих дробей чрезвычайно большими.

Предположим, что число z удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами но не удовлетворяет такому же уравнению более низкой степени. Тогда говорят, что само x есть алгебраическое число степени n. Так, например, число z = 2 есть алгебраическое число степени 2, так как удовлетворяет уравнению x2 2 = 0 степени 2, но не удовлетворяет уравнению первой степени; число z = 3 2 — степени 3, так как удовлетворяет уравнению x3 2 = 0, но не удовлетворяет (как мы покажем в главе III) уравнению более низкой степени. Алгебраическое число степени n > не может быть рациональным, так как рациональное число z = удоq влетворяет уравнению qx p = 0 степени 1. Каждое иррациональное число z может быть с какой угодно степенью точности приближено с помощью рационального числа; это означает, что всегда можно указать последовательность рациональных чисел с неограниченно растущими знаменателями, обладающую тем свойством, что pr Теорема Лиувилля утверждает: каково бы ни было алгебраическое онального числа с точностью лучшей чем n+1 ; другими словами, при достаточно больших знаменателях непременно выполняется неравенство Мы собираемся привести доказательство этой теоремы, но раньше покажем, как с ее помощью можно строить трансцендентные числа.

Рассмотрим число = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000..., где ai обозначают произвольные цифры от 1 до 9 (проще всего было бы положить все ai равными 1), а символ n!, как обычно (см. стр. 36), обозначает 1 · 2 ·... · n. Характерным свойством десятичного разложения такого числа является то, что быстро возрастающие по своей длине группы нулей чередуются в нем с отдельными цифрами, отличными от нуля. Обозначим через zm конечную десятичную дробь, получающуюся, когда в разложении возьмем все члены до am · 10m! включительно.

Тогда получим неравенство Предположим, что z было бы алгебраическим числом степени n. Тогда, полагая в неравенстве Лиувилля (3) = zm = m!, мы должны иметь при достаточно больших значениях m. Сопоставление последнего неравенства с неравенством (4) дает откуда следует (n + 1)m! > (m + 1)! 1 при достаточно больших m. Но это неверно для значений m, больших чем n (пусть читатель потрудится дать детализированное доказательство этого утверждения). Мы пришли к противоречию. Итак, число z — трансцендентное.

Остается доказать теорему Лиувилля. Предположим, что z — алгебраическое число степени n > 1, удовлетворяющее уравнению (1), так что = m — последовательность рациональных чисел, причем Пусть zm zm z. Тогда Деля обе части на zm z и пользуясь алгебраической формулой мы получаем:

§6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

Так как zm стремится к z, то при достаточно больших m рациональное число zm будет отличаться от z меньше чем на единицу. Поэтому при достаточно больших m можно сделать следующую грубую оценку:

причем стоящее справа число M — постоянное, так как z не меняется в процессе доказательства. Выберем теперь m настолько большим, чтобы у дроби zm = m знаменатель qm был больше, чем M ; тогда Ради краткости условимся дальше писать p вместо pm и q вместо qm.

В таком случае Рациональное число zm = не может быть корнем уравнения f (x) = 0, так как тогда можно было бы из многочлена f (x) выделить множитель (x zm ), и, значит, z удовлетворяло бы уравнению степени низшей чем n. Итак, f (zm ) = 0. Но числитель в правой части равенства (9) есть целое число и, следовательно, по абсолютной величине он по меньшей мере равен единице. Таким образом, из сопоставления соотношений (8) и (9) вытекает неравенство как раз и составляющее содержание указываемой теоремы.

На протяжении нескольких последних десятилетий исследования, касающиеся возможности приближения алгебраических чисел рациональными, продвинулись гораздо дальше. Например, норвежский математик А. Туэ (1863–1922) установил, что в неравенстве Лиувилля (3) показатель n + 1 может быть заменен меньшим показателем + 1.

К. Л. Зигель показал, что можно взять и еще меньший (еще меньший при бльших n) показатель 2 n.

Трансцендентные числа всегда были темой, приковывающей к себе внимание математиков. Но до сравнительно недавнего времени среди чисел, которые интересны сами по себе, было известно очень немного таких, трансцендентный характер которых был бы установлен. (Из трансцендентности числа p, о которой пойдет речь в главе III, следует невозможность квадратуры круга с помощью линейки и циркуля.) В своем выступлении на Парижском международном математическом конгрессе 1900 г. Давид Гильберт предложил тридцать математических проблем, допускающих простую формулировку, некоторые — даже совсем элементарную и популярную, из которых ни одна не только не была решена, но даже и не казалась способной быть разрешенной средствами математики той эпохи. Эти «проблемы Гильберта» оказали сильное возбуждающее влияние на протяжении всего последующего периода развития математики. Почти все они мало-помалу были разрешены, и во многих случаях их решение было связано с ясно выраженными успехами в смысле выработки более общих и более глубоких методов.

Одна из проблем, казавшаяся довольно безнадежной, заключалась в доказательстве того, что число является трансцендентным (или хотя бы иррациональным). На протяжении трех десятилетий не было даже намека на такой подход к вопросу с чьей-нибудь стороны, который открывал бы надежду на успех. Наконец, Зигель и, независимо от него, молодой русский математик А. Гельфонд открыли новые методы для доказательства трансцендентности многих чисел, имеющих значение в математике. В частности, была установлена трансцендентность не только гильбертова числа 2 2, но и целого довольно обширного класса чисел вида ab, где a — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, a b — иррациональное алгебраическое число.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II

1. Общая теория. Понятие класса, или совокупности, или множества объектов — одно из самых фундаментальных в математике. Множество определяется некоторым свойством («атрибутом») A, которым должен или обладать, или не обладать каждый рассматриваемый объект; те объекты, которые обладают свойством A, образуют множество A.

Так, если мы рассматриваем целые числа и свойство A заключается в том, чтобы «быть простым», то соответствующее множество A состоит из всех простых чисел 2, 3, 5, 7,...

Математическая теория множеств исходит из того, что из множеств с помощью определенных операций можно образовывать новые множества (подобно тому как из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые числа). Изучение операций над множествами составляет предмет «алгебры множеств», которая имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чем и отличается от нее. Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к стрирует большую общность идей современной математики. В последнее время выяснилось, что алгебра множеств бросает новый свет на многие области математики, например, теорию меры и теорию вероятностей;

она полезна также при систематизации математических понятий и выяснении их логических связей.

В дальнейшем I будет обозначать некоторое постоянное множество объектов, природа которых безразлична, и которое мы можем называть универсальным множеством (или универсумом рассуждения), а A, B, C,... будут какие-то подмножества I. Если I есть совокупность всех натуральных чисел, то A, скажем, может обозначать множество всех четных чисел, B — множество всех нечетных чисел, C — множество всех простых чисел, и т. п. Если I обозначает совокупность всех точек на плоскости, то A может быть множеством точек внутри какого-то круга, B — множеством точек внутри другого круга и т. п. В число «подмножеств» нам удобно включить само I, а также «пустое» множество, не содержащее никаких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение, заключается в сохранении того положения, что каждому свойству A соответствует некоторое множество элементов из I, обладающих этим свойством. В случае, если A есть универсально выполняемое свойство, примером которого может служить (если речь идет о числах) свойство удовлетворять тривиальному равенству x = x, то соответствующее подмножество I будет само I, так как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A есть какое-то внутренне противоречивое свойство (вроде x = x), то соответствующее подмножество не содержит вовсе элементов, оно — «пустое» и обозначается символом.

Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче, «A входит в B», или «B содержит A», если во множестве A нет такого элемента, который не был бы также во множестве B. Этому соотношению соответствует запись Например, множество A всех целых чисел, делящихся на 10, есть подмножество множества B всех целых чисел, делящихся на 5, так как каждое число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A B не исключает соотношения B A. Если имеет место и то и другое, то мы пишем Это означает, что каждый элемент A есть вместе с тем элемент B, и обратно, так что множества A и B содержат как раз одни и те же элементы.

Соотношение A B между множествами во многих отношениях напоминает соотношение a b между числами. В частности, отметим слеАЛГЕБРА МНОЖЕСТВ гл. II дующие свойства этого соотношения:

По этой причине соотношение A B иногда называют «отношением порядка». Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a b между числами заключается в том, что между всякими двумя заданными (действительными) числами a и b непременно осуществляется по меньшей мере одно из соотношений a b или b a, тогда как для соотношения A B между множествами аналогичное утверждение неверно. Например, если A есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3, а B — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4, то не имеет места ни соотношение A B, ни соотношение B A. По этой причине говорят, что подмножества A, B, C,... множества I являются «частично упорядоченными», тогда как действительные числа a, b, c,...

образуют «вполне упорядоченную» совокупность.

Заметим, между прочим, что из определения соотношения A B следует, что, каково бы ни было подмножество A множества I, Свойство 4) может показаться несколько парадоксальным, но, если вдуматься, оно логически строго соответствует точному смыслу определения знака. В самом деле, соотношение A нарушалось бы только в том случае, если бы пустое множество содержало элемент, который не содержался бы в A; но так как пустое множество не содержит вовсе элементов, то этого быть не может, каково бы ни было A.

Мы определим теперь две операции над множествами, формально обладающие многими алгебраическими свойствами сложения и умножения чисел, хотя по своему внутреннему содержанию совершенно отличные от этих арифметических действий. Пусть A и B — какие-то два множества.

Под объединением, или «логической суммой», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся или в A, или в B (включая и те элементы, которые содержатся и в A и в B). Это множество обозначается A + B.1 Под «пересечением», или «логическим произведением», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся и в A и в B. Это множество обозначается AB. Рис. 26. Объединение и пересечение множеств Проиллюстрируем приведенные определения примером. Возьмем опять в качестве A и B множества Тогда Среди важных алгебраических свойств операций A + B и AB перечислим следующие. Читатель сможет проверить их справедливость, исходя из определения самих операций:

Соотношение A B эквивалентно каждому из двух соотношений Проверка всех этих законов — дело самой элементарной логики. Например, правило 10) констатирует, что множество элементов, содержащихся или в A, или в A, есть как раз множество A; правило 12) констатирует, что множество тех элементов, которые содержатся в A и вместе с тем содержатся или в B, или в C, совпадает со множеством элементов, которые или содержатся одновременно в A и в B, или содержатся одновременно в A и в C. Логические рассуждения, используемые при доказательствах подобного рода правил, удобно иллюстрируются, если мы условимся изображать множества A, B, C,... в виде некоторых фигур на плоскости и будем очень внимательны в том отношении, чтобы не упустить ни одной из возникающих логических возможностей, когда речь идет о наличии общих элементов двух множеств или, напротив, наличии в одном множестве элементов, которые не содержатся в другом.

2 Или A B. — Прим. ред.

Читатель, несомненно, обратил внимание на то обстоятельство, что законы 6), 7), 8), 9) и 12) внешне тождественны с хорошо знакомыми коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законами обыкновенной алгебры. Отсюда следует, что все правила обыкновенной алгебры, вытекающие из этих законов, действительны также в алгебре множеств. Напротив, законы 10), 11) и 13) не имеют своих аналогов в обыкновенной алгебре, и они придают алгебре множеств более простую структуру. Например, формула бинома в алгебре множеств сводится к простейшему равенству которое следует из закона 11). Законы 14), 15) и 17) говорят о том, что свойства множеств и I по отношению к операциям объединения и пересечения множеств весьма похожи на свойства чисел 0 и 1 по отношению к операциям числовых действий сложения и умножения. Но закон 16) не имеет аналога в числовой алгебре.

Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств.

Пусть A — какое-нибудь подмножество универсального множества I. Тогда под дополнением A в I понимается множество всех элементов I, которые не содержатся в A. Для этого множества мы введем обозначение A. Так, если I есть множество всех натуральных чисел, а A — множество всех простых чисел, то A есть множество, состоящее из всех составных чисел и числа 1. Операция перехода от A к A, для которой нет аналога в обыкновенной алгебре, обладает следующими свойствами:

Соотношение A B эквивалентно соотношению B A.

Проверку этих свойств мы опять предоставляем читателю.

Законы 1)–26) лежат в основе алгебры множеств. Они обладают замечательным свойством «двойственности» в следующем смысле:

Если в одном из законов 1)–26) заменить друг на друга соответственно символы (в каждом их вхождении), то в результате снова получается один из этих же законов. Например, закон 6) переходит в закон 7), 12) — в 13), 17) — в 16) и т. д. Отсюда следует, что каждой теореме, которая может быть выведена из законов 1)–26), соответствует другая, «двойственная» ей теорема, получающаяся из первой посредством указанных перестановок символов. В самом деле, так как доказательство первой теоремы состоит из последовательного применения (на различных стадиях проводимого рассуждения) некоторых из законов 1–26), то применение на соответствующих стадиях «двойственных» законов составит доказательство «двойственной» теоремы. (По поводу подобной же «двойственности» в геометрии см. главу IV.) 2. Применение к математической логике. Проверка законов алгебры множеств основывалась на анализе логического смысла соотношения A B и операций A + B, AB и A. Мы можем теперь обратить этот процесс и рассматривать законы 1)–26) как базу для «алгебры логики». Скажем точнее: та часть логики, которая касается множеств, или, что по существу то же, свойств рассматриваемых объектов, может быть сведена к формальной алгебраической системе, основанной на законах 1)–26). Логическая «условная вселенная» определяет множество I; каждое свойство A определяет множество A, состоящее из тех объектов в I, которые обладают этим свойством. Правила перевода обычной логической терминологии на язык множеств ясны из следующих примеров:

В терминах алгебры множеств силлогизм «Barbara», обозначающий, что «если всякое A есть B и всякое B есть C, то всякое A есть C», принимает простой вид:

Аналогично «закон противоречия», утверждающий, что «объект не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством», записывается в виде:

а «закон исключенного третьего», говорящий, что «объект должен или обладать, или не обладать некоторым свойством», записывается:

Таким образом, та часть логики, которая выразима в терминах символов, +, · и, может трактоваться как формальная алгебраическая система, подчиненная законам 1)–26). На основе слияния логического анализа математики и математического анализа логики создалась новая дисциплина — математическая логика, которая в настоящее время находится в процессе бурного развития.

С аксиоматической точки зрения заслуживает внимания тот замечательный факт, что утверждения 1)–26), вместе со всеми прочими теоремами алгебры множеств, могут быть логически выведены из следующих трех равенств:

Отсюда следует, что алгебра множеств может быть построена как чисто дедуктивная теория, вроде евклидовой геометрии, на базе этих трех положений, принимаемых в качестве аксиом. Если эти аксиомы приняты, то операция AB и отношение A B определяются в терминах A + B иA:

Совершенно иного рода пример математической системы, в которой выполняются все формальные законы алгебры множеств, дается системой восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: здесь a + b обозначает, по определению, общее наименьшее кратное a и b, ab — общий наибольший делитель a и b, a b — утверждение «b делится на a» и a — число a. Существование таких примеров повлекло за собой изучение общих алгебраических систем, удовлетворяющих законам 27). Такие системы называются «булевыми алгебрами» — в честь Джорджа Буля (1815–1864), английского математика и логика, книга которого «An investigation of the laws of thought» (Исследование законов мышления) появилась в 1854 г.

3. Одно из применений к теории вероятностей. Алгебра множеств имеет ближайшее отношение к теории вероятностей и позволяет взглянуть на нее в новом свете. Рассмотрим простейший пример: представим себе эксперимент с конечным числом возможных исходов, которые все мыслятся как «равновозможные». Эксперимент может, например, заключаться в том, что мы вытягиваем наугад карту из хорошо перетасованной полной колоды. Если множество всех исходов эксперимента обозначим через I, а A обозначает какое-нибудь подмножество I, то вероятность того, что исход эксперимента окажется принадлежащим к подмножеству A, определяется как отношение Если условимся число элементов в каком-нибудь множестве A обозначать через n(A), то последнему равенству можно придать вид В нашем примере, допуская, что A есть подмножество треф, мы получим n(A) = 13, n(I) = 52 и p(A) = =.

Идеи алгебры множеств обнаруживаются при вычислении вероятностей тогда, когда приходится, зная вероятности одних множеств, вычислять вероятности других. Например, зная вероятности p(A), p(B) и p(AB), можно вычислить вероятность p(A + B):

Доказать это не составит труда. Мы имеем так как элементы, содержащиеся одновременно в A и в B, т. е. элементы AB, считаются дважды при вычислении суммы n(A) + n(B), и, значит, нужно вычесть n(AB) из этой суммы, чтобы подсчет n(A + B) был произведен правильно. Деля затем обе части равенства на n(I), мы получаем соотношение (2).

Более интересная формула получается, если речь идет о трех множествах A, B, C из I. Пользуясь соотношением (2), мы имеем Закон (12) из предыдущего пункта дает нам (A + B)C = AC + BC. Отсюда следует:

Подставляя в полученное раньше соотношение значение p[(A + B)C] и значение p(A + B), взятое из (2), мы приходим к нужной нам формуле:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) p(AB) p(AC) p(BC) + p(ABC). (3) В качестве примера рассмотрим следующий эксперимент. Три цифры 1, 2, 3 пишутся в каком попало порядке. Какова вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем (в смысле нумерации) месте?

Пусть A есть множество перестановок, в которых цифра 1 стоит на первом месте, B — множество перестановок, в которых цифра 2 стоит на втором месте, C — множество перестановок, в которых цифра 3 стоит на третьем месте. Нам нужно вычислить p(A + B + C). Ясно, что действительно, если какая-нибудь цифра стоит на надлежащем месте, то имеются две возможности переставить остальные две цифры из общего числа 3 · 2 · 1 = 6 возможных перестановок трех цифр. Далее, так как в каждом из этих случаев возникает только одна возможность. И тогда формула (3) дает нам Упражнение. Выведите соответствующую формулу для p(A + B + C + D) и примените ее к эксперименту, в котором будут участвовать 4 цифры.

Соответствующая вероятность равна = 0,6250.

Общая формула для объединения n множеств имеет вид комбинациям, содержащим одну, две, три,..., (n 1) букв из числа A1, A2,...

..., An. Эта формула может быть установлена посредством математической индукции — точно так же, как формула (3) была выведена из формулы (2).

Из формулы (4) можно заключить, что если n цифр 1, 2, 3,..., n написаны в каком угодно порядке, то вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем месте, равна причем перед последним членом стоит знак + или, смотря по тому, является ли n четным или нечетным. В частности, при n = 5 эта вероятность равна В главе VIII мы увидим, что, когда n стремится к бесконечности, выражение стремится к пределу, значение которого, с пятью знаками после запятой, равно 0,36788. Так как из формулы (5) видно, что pn = 1 Sn, то отсюда следует, что при n

ГЛАВА III

Геометрические построения. Алгебра Задачи на построение всегда были одним из самых любимых предметов геометрических занятий. С помощью только циркуля и линейки, как читатель знает из школьного курса, можно выполнить очень много разнообразных построений: разделить пополам отрезок или угол, провести через точку перпендикуляр к данной прямой, вписать в данный круг правильный шестиугольник и т. д. Во всех этих построениях линейка служит только для того, чтобы проводить прямую линию, но не для того, чтобы измерять или откладывать расстояния. Традиционное ограничение — пользоваться только циркулем и линейкой — восходит к глубокой древности, хотя на практике сами греки без колебания прибегали и к другим инструментам.

Одной из самых знаменитых, классических задач на построение является задача Аполлония (около 220 года до нашей эры): даны три круга, требуется провести четвертый, касательный к трем данным. В частности, не исключено, что один или большее число из данных кругов «вырождаются» в точку или прямую («круг» с «нулевым» или с «бесконечным» радиусом). Например, может идти речь о проведении круга, касательного к двум данным прямым и проходящего через данную точку. Если такого рода специальные случаи не связаны с затруднениями, то в общей постановке задача принадлежит к числу весьма трудных.

Из всех задач на построение задача построения (с помощью циркуля и линейки) правильного n-угольника представляет, может быть, наибольший интерес. Для ряда значений n, например, n = 3, 4, 5, 6, решение было известно уже в древности и излагается в школьной геометрии. Но в случае правильного семиугольника (n = 7) построение, как было доказано, невозможно. Вот еще три классические проблемы, решение которых разыскивалось долго и безрезультатно: разделить на три равные части данный произвольный угол, удвоить данный куб (т. е. построить сторону куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба, сторона которого задана) и выполнить «квадратуру» круга (т. е. построить квадрат, имеющий такую же площадь, как и данный круг). И в этих проблемах предполагается, что, кроме циркуля и линейки, другие инструменты не применяются.

Проблемы подобного рода, не поддающиеся решению, привели к одному из самых замечательных и оригинальных направлений математической мысли. После нескольких столетий безуспешных поисков математики утвердились в подозрении, что найти решение невозможно. На очередь встал соблазнительный по своей трудности новый вопрос: как можно доказать, что та или иная проблема не может быть разрешена?

В области алгебры тот же вопрос возник в связи с проблемой решения уравнений 5-й и более высоких степеней. В течение XVI столетия было установлено, что алгебраические уравнения степени 3 и 4 решаются посредством той же процедуры, что и квадратные. Эта процедура может быть, вообще говоря, охарактеризована следующим образом: решения, или «корни», уравнения представляются в виде выражений, составленных из коэффициентов уравнения и содержащих операции, из которых каждая есть или рациональная — сложение, вычитание, умножение, деление, — или же извлечение корня — квадратного, кубического или четвертой степени. Говорят короче, что алгебраическое уравнение не выше четвертой степени «решается в радикалах» (radix по-латыни означает «корень»). Казалось как нельзя более естественным пытаться обобщить эту процедуру на уравнения 5-й и более высоких степеней, пользуясь, конечно, и радикалами соответствующих степеней. Но ни одна из попыток не увенчалась успехом. В XVIII столетии были случаи, когда даже выдающиеся математики впадали в заблуждение, предполагая, что решение ими найдено. Но только в начале XIX столетия у итальянца Руффини (1765–1822) и у гениального норвежского математика Н. Г. Абеля (1802–1829) возникла поистине революционная для того времени идея — доказать невозможность решения в радикалах общего алгебраического уравнения степени n. Нужно понимать совершенно отчетливо, что речь не идет о существовании решения алгебраического уравнения степени n:

существование решений было строго доказано Гауссом в его докторской диссертации в 1799 г. Таким образом, уже не было никаких сомнений в том, что каждое алгебраическое уравнение действительно имеет корни, в особенности после того, как были указаны приближенные методы для их вычисления с какой угодно степенью точности. «Численное»

решение алгебраических уравнений, имеющее громадное значение в приложениях, прекрасно разработано. Проблема Абеля и Руффини была поставлена совсем иначе: может ли быть найдено решение с помощью одних только рациональных операций и операций извлечения корней?

Именно стремление добиться полной ясности в этом вопросе послужило толчком для великолепного развития современной алгебры и теории групп, начатого работами Руффини, Абеля и Э. Галуа (1811–1832).

Доказательство невозможности некоторых геометрических построений оказывается примером, иллюстрирующим направление в алгебре, о котором только что было сказано. Именно оперируя алгебраическими понятиями, мы сможем установить в этой главе невозможность и трисекции угла, и построения правильного семиугольника, и удвоения куба с помощью одних только циркуля и линейки. (Проблема квадратуры круга значительно сложнее; см. по этому поводу стр. 160.) Подходя ближе к интересующему нас вопросу, мы сосредоточимся не на его отрицательной стороне — невозможности выполнения тех или иных построений, а придадим ему положительный характер: как могут быть полностью охарактеризованы задачи на построение, допускающие решение? После того как ответ на этот вопрос будет найден, не составит труда установить, что рассматриваемые нами проблемы не входят в эту категорию.

В возрасте 17 лет Гаусс исследовал возможность построения правильных «p-угольников», где p — простое число. В то время были известны построения только для случаев p = 3 и p = 5. Гаусс установил, что построения возможны в том и только том случае, если p есть простое Первые числа Ферма суть 3, 5, 17, 257, 65 537 (см. стр. 44). Это открытие произвело на Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры и решил посвятить свою жизнь математике и ее приложениям. Он и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника. Трудно придумать более достойную почесть.

Когда речь идет о геометрических построениях, никак не следует упускать из виду, что проблема заключается не в практическом вычерчивании фигур с известной степенью аккуратности, а в том, может ли построение быть выполнено теоретически, предполагая, что наши инструменты дают абсолютную точность. Гаусс доказал именно принципиальную возможность рассмотренных им построений. Его теория не касается того, как выполнить построение на самом деле, какие следует использовать приемы, чтобы упростить процедуру или даже уменьшить число необходимых конструктивных операций. Все это — вопросы не столь высокого теоретического значения. С практической точки зрения, такие построения не дают столь удовлетворительного результата, какой может быть достигнут посредством хорошего транспортира. Вероятно, именно непониманием теоретического характера вопроса о геометрических построениях, с одной стороны, а с другой — упорным нежеланием считаться с прекрасно установленными научными фактами нужно объяснять то обстоятельство, что еще продолжают существовать нескончаеГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III мые вереницы «трисекторов» и «квадратурщиков». Тем из них, которые способны понимать элементарную математику, можно порекомендовать заняться изучением этой главы.

В заключение отметим, что в известном отношении наша постановка вопроса о геометрических построениях представляется искусственной. Циркуль и линейка, конечно, простейшие из геометрических инструментов, но требование ограничиваться именно этими инструментами при построениях не вытекает из существа самой геометрии. Как уже давным-давно установили греческие математики, некоторые проблемы — скажем, удвоение куба — могут быть решены, например, с привлечением угольника (с прямым углом); можно изобрести всякие другие инструменты, помимо циркуля, которые позволили бы чертить эллипсы, гиперболы и более сложные кривые: тем самым область фигур, допускающих построение, была бы значительно расширена. Однако мы будем придерживаться прочно установившегося понимания выполнимости геометрических построений, подразумевая, что разрешено пользоваться только циркулем и линейкой.

Доказательства невозможности и алгебра § 1. Основные геометрические построения 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. В порядке развития общих идей мы начнем с рассмотрения небольшого числа классических построений. Более углубленное изучение возможности геометрических построений неизбежно связано с переводом геометрической задачи на язык алгебры. Всякая проблема геометрического построения может быть схематизирована следующим образом: дано некоторое число отрезков, скажем, a, b, c,... ; требуется построить один или несколько отрезков x, y,... Даже если на первый взгляд проблема имеет совсем иной вид, ее всегда можно переформулировать таким образом, чтобы она включилась в указанную схему. Искомые отрезки фигурируют или в виде сторон треугольника, который требуется построить, или в виде радиусов кругов, или как прямоугольные координаты каких-то искомых точек (см., например, стр. 145). Предположим для простоты, что требуется построить какой-то отрезок x. В таком случае геометрическое построение приводит к решению алгебраической задачи: установить соотношение (в форме уравнения) между искомой величиной x и данными величинами a, b, c,... ; затем, решая это уравнение, найти формулу для величины x и, наконец, выяснить, можно ли свести вычисление x

§1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

к таким алгебраическим процедурам, которые соответствуют построениям, выполнимым с помощью циркуля и линейки. Таким образом, в основе всей рассматриваемой теории лежит принцип аналитической геометрии — количественная характеристика геометрических объектов, основанная на введении континуума действительных чисел.