«Кафедра математического анализа и моделирования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основной образовательной программы по специальности 010500.62 – Прикладная математика и информатика ...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Амурский государственный университет»

Кафедра математического анализа и моделирования

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основной образовательной программы по специальности 010500.62 – Прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 г.

УМКД разработан канд. тех. наук, доцентом Труфановой Татьяной Вениаминовной Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры Протокол заседания кафедры от «_11_» _января_ 2012_ г. №5_ Зав. кафедрой / В.В.Сельвинский /

УТВЕРЖДЕН

Протокол заседания УМСС 010500.62 – Прикладная математика и информатика от «_11_» _января_ 2012_ г. №5_ Председатель УМСС / В.В.Сельвинский /

СОДЕРЖАНИЕ

1 Рабочая программа учебной дисциплины 1.1 Цели и задачи освоения дисциплины 1.2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Структура и содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения»

1.5 Содержание разделов и тем дисциплины 1.6 Самостоятельная работа 1.7 Образовательные технологии 1.8 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежу- точной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1.9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Дифференциальные уравнения»

1.10 Материально-техническое обеспечение дисциплины 1.11.Рейтинговая оценка знаний студентов по дисциплине 2 Краткое изложение программного материала 3 Методические указания 3.1 Методические указания по изучению дисциплины 3.2 Методические указания к практическим занятиям 3.3 Методические указания по самостоятельной работе студентов 4 Контроль знаний 4.1 Текущий контроль знаний 4.2 Итоговый контроль 5 Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в обра- зовательном процессе

1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель преподавания учебной дисциплины "Дифференциальные уравнения" показать, что такое обыкновенные дифференциальные уравнения, где и как они возникают, какие физические явления могут быть описаны с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Научить студентов решать дифференциальные уравнения различных порядков и системы дифференциальных уравнений. Изучить основные методы решения дифференциальных уравнений. Изучить вопрос о влиянии применения начальных данных на решение систем дифференциальных уравнений.

1.2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" включена в базовую часть профессионального цикла, является базовой дисциплиной. Освоение дифференциальных уравнений необходимо для изучения многих дисциплин высшей математики и механики.

Перечень дисциплин, необходимых для изучения дифференциальных уравнений:

математический анализ: разделы - дифференциальное исчисление, интеграл, производная;

алгебра, разделы: матрицы, определители, системы линейных уравнений.

1.3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ

ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

При изучении дисциплины студент приобретает практические навыки решения и исследования дифференциальных уравнений. Должен уметь подобрать соответствующий метод решения дифференциальных уравнений. Уметь применять дифференциальные уравнения на практике для исследования различных физических явлений.

знать: основные понятия, определения и свойства объектов дифференциальных уравнений, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

уметь: доказывать утверждения, решать физические задачи с применением дифференциальных уравнений, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

1.4.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) "Дифференциальные уравнения" Общая трудоемкость дисциплины составляет _204 часов.

первого порядка разрешенные относительно производной.

не разрешенные относительно производной выше первого циальных уравнений ных первого

1.5. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Лекции.

Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Лекция 1. Введение. Теория дифференциальных уравнений и ее приложения.

Место теории дифференциальных равнений среди математических дисциплин и ее приложения. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений.

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенные относительно производной. Основные положения теории дифференциальных уравнений разрешенных относительно производной. Задача Коши, поле направлений, изоклины, интегральные кривые.

Лекция 3. Уравнения, с разделяющимися переменными. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Лекция 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли, Риккати.

Лекция 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Лекция 6. Теорема существования и единственности решения уравнения y f ( x, y).

Ломаные Эйлера. Существование и единственность решения.

Лекция 7. Метод введения параметра. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных значений. Теорема Пуанкаре. Теорема о дифференцируемости решений. Особые точки.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной Лекция 8. Дифференциальные уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно производной. Частные виды уравнения F ( x, y, y ), особые решения.

Лекция 9. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Особые решения.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения порядка выше первого Лекция 10. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка. Простейшие случаи понижения порядка Лекция 11. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

Лекция 12. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля.

Лекция 13. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера.

Лекция 14. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

Лекция 15. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Лекция 16. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Лекция 17. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний.

Лекция 18. Понятия о краевых задачах. Функция Грина.

Лекция 1. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия. Интегрирование системы дифференциальных уравнений.

Лекция 2. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Лекция 3. Линейные системы с постоянными коэффициентами.

Лекция 4. Существование и единственность решения нормальных систем дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица.

Лекция 5. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной. Периодические решения. Краевая задача. Ограниченные решения линейных систем.

Лекция 6. Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Автономные системы на плоскости.

Лекция 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 8. Приближнные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка.

Лекция 9. Основные понятия. Устойчивость по Ляпунову. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами.

Лекция 10. Простейшие типы точек покоя. Особые точки, седло, узел, фокус, центр.

Лекция 11. Второй метод Ляпунова.

Лекция 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение.

Лекция 13. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена. Теорема Гурвица. Устойчивость при постоянных действующих возмущениях.

Раздел 6. Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 14. Уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия.

Теорема Ковалевской. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка.

Лекция15.Связь характеристик с решениями. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (случай двух независимых переменных).

Лекция 16. Уравнения Пфаффа.

Лекция 17. Нелинейные уравнения первого порядка.

Лекция 18. Метод характеристик или метод Коши.

5.2. Практические занятия.

Занятие 1. Изоклины. Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Занятие 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Занятие 3,4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли, Риккати.

Занятие 5,6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Занятие 7. Существование и единственность решения.

Занятие 8,9. Физические и геометрические задачи.

Занятии 10. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

Занятие 11. Уравнение Лагранжа, Клеро.

Занятие 12. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Занятие 13,14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Занятие 15,16 Линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Занятие 17. Контрольная работа.

Занятие 18. Краевые задачи. Построение функций Грина.

Занятие1. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (метод исключения).

Занятие 2. Линейные системы с постоянными коэффициентами. (Метод Эйлера).

Занятие 3. Матричный метод.

Занятие 4,5. Линейные неоднородные системы. Метод неопределенных коэффициентов.

Занятие 6. Линейные неоднородные системы, метод вариации.

Занятие 7. Контрольная работа.

Занятие 8. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Устойчивость решений линейных систем дифференциальных уравнений.

Занятие 9. Критерий устойчивости по первому приближению Занятие 10. Исследование устойчивости методом функций Ляпунова Занятие 11. Особые точки.

Занятие 12. Фазовая плоскость Занятие 13. Зависимость решений от начальных данных и параметров. Приближенное решение систем дифференциальных уравнений.

Занятие 14. Нелинейные системы, первые интегралы.

Занятие 15,16. Уравнения в частных производных 1-го порядка Занятие 17. Контрольная работа.

Занятие 18. Уравнения Пфаффа.

1.6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА –Дифференциальные уравнения первого порядка –Дифференциальные уравнения порядка выше первого.

–Системы дифференциальных уравнений.

–Теория устойчивости –Теорема существования и единственности –Теория устойчивости.

–Уравнения в частных производных первого порядка.

1.7.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Лекции: традиционное и проблемное изложение теоретического материала, текущий устный опрос, коллоквиумы, использование интерактивных обучающих мультимедиа средств; практические занятия: интерактивные методы решения задач, мозговой штурм, использование наглядных средств, контрольные работы; консультации, самостоятельная работа.

1.8.ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

В течение каждого из двух семестров студенты разбирают и решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару, разбирают и повторяют основные понятия и теоремы, доказанные на лекциях. В каждом семестре предусмотрен коллоквиум, индивидуальные задания (3) и в каждом семестре контрольные работы:

1 семестр – 2 контрольные работы, 2 семестр – 2 контрольные работы.

В конце каждого семестра предусмотрен экзамен.

1. Д.У. Основные понятия и определения. Какие линии называются изоклинами?

2. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения с разделенными переменными.

3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

4. Линейные уравнения 1-го порядка.

5. Метод вариации постоянных.

6. Уравнение Бернулли и его сведение к линейному уравнению. Свойства.

7. Уравнение Риккати и его сведение к линейному уравнению.

8. Уравнение в полных дифференциалах.

9. Интегрирующий множитель. Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х и от у.

10.Метод Эйлера приближенного интегрирования Д.У.(ломаные Эйлера) 11.Теорема существования и единственности решения Д.У. Доказательство существования решения.

12. Теорема существования и единственности решения Д.У. Доказательство единственности решения.

13.Теорема о непрерывной зависимости решений от параметров и начальных значений.

14.Теорема об аналитической зависимости решения от параметра (Теорема Пуанкаре).

15.Теорема о дифференцируемости решения.

16.Особые точки, особые кривые (узел, село, фокус, центр).

17.Простейшие типы уравнений, неразрешенных относительно производной. Уравнения вида: F(y) =0 и F(x,y)=0.

18.Простейшие типы уравнений неразрешенных относительно производной. Уравнения вида: F (у,y)=0 и F(x,у,y)=0.

19.Уравнение Лагранжа.

21.Теорема существования и единственности решения Д.У., не разрешенных относительно производной. Особые решения.

22. Теорема существования и единственности решения Д.У. n-го порядка.

23.Простейшие случаи понижения порядка. Уравнения вида: F(x,y (k ), y ( k 1),y ( k 2),…, y (n ) )=0 и F(y, y,…,y (n ) )=0.

F(x,y,y,…,y )=0.(однородное относительно аргумента х, однородное относительно аргуn ) ментов у, у,…, однородное в обобщенном смысле).

25.Д.У. 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

26.Линейное однородное Д.У. n-го порядка.

27.Линейный дифференциальный оператор L и его свойства.

28.Теоремы о решениях линейного однородного уравнения (6 штук).

29.Линейно независимые функции на отрезке (линейно независимые). Определитель Вронского.

30.Общее решение линейного однородного Д.У., фундаментальная система уравнений.

31.Понижение порядка линейного однородного Д.У. подстановкой у =у1 udx.

32.Нахождение линейного однородного Д.У. по заданной фундаментальной системе решений. Пример.

33.Формула Остроградского - Лиувилля.

34.Линейное однородное Д.У. с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай различных действительных и мнимых корней.

35. Линейное однородное Д.У. с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных действительных и мнимых корней.

36.Уравнение Эйлера (различные случаи корней характеристического уравнения).

37.Линейное неоднородное Д.У. Свойства частных решений.

38. Общее решение линейного неоднородного Д.У.(Теорема).

39.Метод вариации произвольных постоянных для уравнения n-го порядка.

40. Линейное неоднородное Д.У. с постоянными коэффициентами (правая часть является многочленом степени s).

41. Линейное неоднородное Д.У. с правой частью: e sx (A 0 x +…+A ).

42. Линейное неоднородное Д.У с левой частью: e px Q s (x)cos x.

43.Интегрирование Д.У. с помощью рядов.

44.Краевые задачи.

45.Функция влияния или функция Грина. Построение функции Грина.

46.Системы Д.У. Общие понятия.

47.Интегрирование систем Д.У. путем сведения к одному уравнению более высокого порядка.

48.Нахождение интегральных комбинаций для систем Д.У.

49.Ситемы линейных Д.У. Линейный оператор и его свойства.

50.Основные теоремы о решениях линейных однородных систем. Общее решение линейных однородных систем.

51.Решение линейной неоднородной системы. Метод Эйлера.

52.Системы линейных Д.У. с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение систем Д.У.

53.Метод вариации постоянных для решения линейных неоднородных систем.

4.Общее решение систем линейных неоднородных Д.У. в зависимости от вида функции в правой части.

55.Устойчивость. Основные понятия и определения.

56.Простейшие типы точек покоя. Случай действительных и различных корней характеристического уравнения.

57.Простейшие типы точек покоя. Случай комплексных корней характеристического уравнения. Случай кратных действительных корней.

58.Теорема Ляпунова об устойчивости.

59.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости точек покоя.

60.Исследование на устойчивость по первому приближению.

61.Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена (теорема Гурвица).

62.Уравнение в частных производных 1-го порядка. Основные понятия и определения.

63.Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных.

64.Уравнения в частных производных для случая n независимых переменных.

65.Неоднородные линейные уравнения 1-го порядка.

66.Уравнения Пфаффа и его решение.

67.Необходимое условие существования интегрирующего множителя для уравнения Пфаффа.

68.Нелинейные уравнения 1-го порядка в частных производных.

69.Метод Лагранжа и Шарпи для уравнений в частных производных.

70.Решение уравнений в частных производных методом Коши или методом характеристик.

1.9.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) "Дифференциальные уравнения" а) основная литература:

1.9.1. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями :

[учеб.]/ А. И. Егоров. -М.: Физматлит, 2005. -384 с.:a-рис.

1.9.2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : Учеб. пособие/ Н. М. Матвеев. -5-е изд., доп.. -СПб.: Лань, 2003. -832 с.:a-ил 1.9.3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения : [Учеб. пособие]/ М.В. Федорюк. -3-е изд., стер.. -СПб.: Лань, 2003, 2009. -448 c.

б) дополнительная литература:

1.9.4..Боровских А.В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.-540 с.

1.9.5.. Зайцев В.Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. – М.: Физматлит,2003.-416 с.

1.9.6. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения : практ. курс: учеб. пособие:

рек. Мин. обр. РФ/ А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. -3-е изд., перераб.. М.: Высш. шк., 2006. -384 с.:a-рис.

1.9.7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -5-е изд., доп.-СПб.: Лань,2003.-832 с.

1.9.8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям/ А.Ф. Филиппов. -М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. -176 с 1.9.9. Труфанова Т.В. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах : учеб. пособие: рек. ДВ РУМЦ/ Т. В. Труфанова, Е. М. Салмашова, В. А. Труфанов; АмГУ, ФМиМ. Благовещенск: Изд-во Амур. гос. ун-та, 2006. -160 с.

1.9.10. Труфанова, Татьяна Вениаминовна. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах : Учеб.- метод. пособие/ Т. В. Труфанова, В. В. Сельвинский ; АмГУ, ФМиИ Ч. III : Системы дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных 1-го порядка.

– Благовещенск: Изд-во Амур. Гос. ун-та, 2002. -55 с. 50 экз.

1.9.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : [Сб.

учебников]. - М. : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM). Электронная б-ка).

1.9.12. Обыкновенные дифференциальные уравнения : [Сб. учебников]: 25 кн. в PDF формате. -М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. -1 o=эл. опт. диск (CD-ROM) 1.9.13. Петровский, Иван Георгиевич. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] : учеб. : доп. Мин. обр. РФ / И.Г. Петровский. - 7-е изд. - М. :

ЛИБРОКОМ, 2009. - 237 с. : рис. - (Классический университетский учебник). - ISBN 978-5в пер.) http://eqworld.ipmnet.ru/ru/metho Учебно-образовательная физико-математическая http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutio Учебно-образовательная физико-математическая

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1.10.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ (МОДУЛЯ) Дисциплина " Дифференциальные уравнения» входит в теоретический цикл фундаментальных дисциплин и не требует специального лабораторного оборудования.

Материальное обеспечение дисциплины предполагает наличие учебных аудиторий для проведения лекционных и практических занятий с возможностью использования мультимедийных средств.

1.11. РЕЙТИНГОВАЯ ОЦЕНКА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Проводится в соответствии с положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов АмГУ и положением кафедры МАиМ по дисциплине.

3-ий семестр 1 Посещение занятий 0,25 балла/2часа ауд.зан. 18 баллов 4-ый семестр Посещение занятий 0,25 балла/2часа ауд.зан. 18 баллов 2 Краткое изложение программного материала Семестр обучения: Лекция 1. Введение. Теория дифференциальных уравнений и ее приложения.

План лекции. Место теории дифференциальных равнений среди математических дисциплин и ее приложения.

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимые переменные и искомую функцию, но можно установить связь между этой функцией и ее производными или дифференциалами.

Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений:

Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальными уравнениями.

Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является основной задачей теории дифференциальных уравнений.

Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор - функции являются функциями одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Часто дополнительные условия задаются не в одной, а в двух точках – носит название краевой или граничной задачей.

Точное или приближенное решение задач с начальными условиями и граничных задач является основной задачей теории дифференциальных уравнений, однако иногда требуется выяснить или приходится ограничиваться выяснением лишь некоторых свойств решений.

Цель лекции. Ввести студентов в дисциплину «Дифференциальные уравнения», обозначить структуру курса, содержание практического и лекционного материала по основным разделам, предусмотренным Государственным образовательным стандартом, озвучить междисциплинарные связи, правила организации аудиторной и самостоятельной работы студентов, дать методические рекомендации по изучению дисциплины, указать список основной и дополнительной литературы, рекомендуемой студентам, ознакомить студентов с формами текущего и итогового контроля по дисциплине. Дать основные понятия и определения.

Ключевые вопросы: 1) Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения. 2)Дать определение дифференциального уравнения с частными производными (УЧП).

3) Какие уравнения называются линейными, нелинейными? 4)Что называется порядком уравнения? 5) Что называется решением дифференциального уравнения? 6) Как формулируется краевая или граничная задача?7)Привести примеры дифференциальных уравнений.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенные относительно производной.

План лекции. Основные положения теории дифференциальных уравнений разрешенных относительно производной. Задача Коши, поле направлений, изоклины, интегральные кривые. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику решения в той же точке. Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений, и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.

Цель лекции. Показать студентам геометрический смысл дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Научить графически, не решая уравнения строить интегральные кривые.

Ключевые вопросы: 1) Записать дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. 2) Что называется изоклинами? 3) Сформулировать задачу Коши для уравнения первого порядка. 4) Построить интегральные кривые при помощи изоклин, привести пример.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 3. Уравнения, с разделяющимися переменными. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

План лекции. Уравнения вида 1x 1 y dx 2 x 2 y dy, в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Т. к.

путем деления на 1 ( y) 2 ( x) они приводятся к уравнению с разделенными переменными 2 ( x) 1 ( y ).Метод решения уравнений с разделяющимися переменными. Отыскание потерянных решений. Три типа уравнений сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. I. К числу таких уравнений относятся, например уравнения вида где a и b постоянные величины, которые заменой переменных z ax by преобразуется в уравнение с разделяющими переменными.

II. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые одноdy y родные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид: dx x.

III. Уравнение вида преобразуется в однородные уравнения путем переноса начала координат в точку пересечения ( x1, y1 ) прямых Цель лекции. Выделить класс уравнений с разделяющимися переменных и уравнений, сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Объяснить методы решения таких уравнений.

Ключевые вопросы:1) Какие уравнения называются уравнениями, с разделяющимися переменными? 2) Как интегрируются уравнения с разделяющимися переменными? 3) Перечислить три вида уравнений сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. 4) При помощи каких замен они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными? 5) Какие уравнения называются однородными?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли, Риккати.

План лекции. Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Линейное уравнение имеет вид где p(x) и f (x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями x в области интегрирования уравнения.

Если f ( x) 0, то уравнение называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Общее решение линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных или метод Лагранжа решения неоднородного уравнения. Уравнение Бернулли и сведение его к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Метод Бернулли решения линейных уравнений первого порядка.

Уравнение Риккати и его сведение к уравнению Бернулли.

Цель лекции. Ввести понятие линейного уравнения первого порядка и дать методы решения этого уравнения. Ввести некоторые классы уравнений сводящихся к линейным уравнениям.

Ключевые вопросы: 1) Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка? 2) Какое уравнение называется однородным, а какое неоднородным? 3) Методы решения линейного уравнения первого порядка. 4)В чем заключается идея метода Лагранжа? 5) Уравнение Бернулли и замена сводящая это уравнение к линейному. 6) Уравнение Риккати и замена сводящая это уравнение к уравнению Бернулли.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

План лекции. Введем понятия уравнения в полных дифференциалах. Необходимые и достаточные условия Эйлера. Методы интегрирования уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель. Метод нахождения интегрирующего множителя.

Цель лекции. Познакомить студентов с уравнением в полных дифференциалах и методами решения этого уравнения. Научить сводить некоторые дифференциальные уравнения при помощи интегрирующего множителя к уравнениям в полных дифференциалах.

Ключевые вопросы:1) Какие уравнения называются уравнения в полных дифференциалах? 2) Записать необходимые и достаточные условия Эйлера. 3)Как проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах? 4) Что называется интегрирующим множителем? 5) Записать формулу для нахождения интегрирующего множителя зависящего от х. 6) Записать формулу для нахождения интегрирующего множителя зависящего от у.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 6. Теорема существования и единственности решения уравнения y f ( x, y).

Ломаные Эйлера. Существование и единственность решения.

План лекции. Класс интегрирующихся в квадратуре дифференциальных уравнений весьма узок, поэтому приближенные методы в теории дифференциальных уравнений приобрели большое значение. Даже в тех случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах часто целесообразно применять приближенные методы. При этом надо быть уверенным в существовании искомого решения, а также и в единственности решения, т. к. при отсутствии единственности неясно, какое именно решение требуется приближенно определить.

Чаще всего доказательство теоремы существования решения одновременно дает и метод точного или приближенного нахождения решения. Например, доказываемая теорема дает обоснование метода Эйлера приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Метод «ломаной» Эйлера. Условия Липшица. Задание начальных условий. Доказательство существования решения. Доказательство единственности решения.

Цель лекции. В виде теоремы сформулировать условия, которые гарантируют существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка.

Ключевые вопросы: 1) На чем основан метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной? 2)Сформулировать теорему существования и единственности решения уравнения y f ( x, y).3) Основные этапы доказательства теорему существования и единственности решения.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 7. Метод введения параметра. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных значений. Теорема Пуанкаре. Теорема о дифференцируемости решений. Особые точки.

План лекции. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных значений. Теорема об аналитической зависимости решения от параметра, теорема Пуанкаре. Теорема о дифференцируемости решений. Особые точки. Для нахождения особых точек или особых кривых надо, прежде всего, найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы существовании и единственности решения, т. к. только среди таких точек могут быть особые. Особая точка-узел. Особая точка - седло. Особая точка-центр.

Ключевые вопросы: 1)Сформулировать теорему о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных значений. 2) Сформулировать теорему об аналитической зависимости решения от параметра. 3)Дать определения особых точек.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 8. Дифференциальные уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно производной. Частные виды уравнения F ( x, y, y ), особые решения.

План лекции. Дифференциальное уравнение первого порядка, неразрешенное относительно производной, имеет вид F x, y, y 0. Рассмотрим следующие частные случаи:

1. Уравнение имеет вид F y 0.2. Уравнение имеет вид F x, y 0.

3. Уравнение имеет вид F y, y 0. 4.Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения F x, y, y 0. Параметрическое представление решения. Особые решения.

Цель лекции. Ознакомить студентов с методами интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка не разрешенных относительно производной.

Ключевые вопросы: 1) Дать определение дифференциальному уравнению, не разрешенному относительно производной. 2)Как проинтегрировать уравнение если в него входит только производная от неизвестной функции? 3) Как проинтегрировать уравнение если в него не входит искомая функция? 4) Как проинтегрировать уравнение если в него не входит независимое переменное? 5)Общий метод интегрирования дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной. 6) Дать определение особых решений.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 9. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Особые решения.

План лекции. Приведем примеры дифференциальных уравнений 1-го порядка не разрешенных относительно производной. Введем уравнение Лагранжа. Рассмотрим метод интегрирования этого уравнения. Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа- уравнение Клеро. Метод интегрирования уравнения Клеро.

Цель лекции. Продемонстрировать на конкретных примерах интегрирование дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования.

Ключевые вопросы: 1) Записать уравнение Лагранжа. 2)Метод интегрирования уравнение Лагранжа.3) Записать уравнение Клеро.4) Метод интегрирования уравнения Клеро.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 10. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка. Простейшие случаи понижения порядка.

План лекции. Уравнение n-го порядка. Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид F x, y, y', y' ',..., y n 0, где х – независимая переменная, у – искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области G R n 1.

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид где функция f также предполагается непрерывной в некоторой области D R изменения своих аргументов.

Общее решение. Частное решение уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка.

Уравнения, допускающие понижение порядка: 1. Если в уравнение не входит неизвестной функции у. 2. Если в уравнение не входят независимое переменное х. 3.Если уравнение однородно относительно неизвестной функции и ее производных. 4. Порядок уравнения можно понизить, если оно однородно относительно х и у в обобщенном смысле.

Цель лекции. Познакомить студентов с уравнениями n-го порядка и доказать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка.

Ключевые вопросы: 1) Какой вид имеет дифференциальное уравнение n-го порядка?

2)Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка. 3)Что называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? 4) Перечислить уравнения допускающие понижение порядка и методы решения этих уравнений.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 11. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

План лекции. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида Здесь функции a1 x, a 2 x,..., a n x, f x непрерывны на интервале a, b.

Если f x 0, уравнение называется линейным однородным, если f x 0, – линейным неоднородным, или линейным уравнением с правой частью.

Краткая запись линейного неоднородного уравнения имеет вид L y f x, где L – линейный дифференциальный оператор n-го порядка, т.е.

определенный на множестве n раз непрерывно дифференцируемых на a, b функций.

Краткая запись линейного однородного уравнения соответственно имеет вид: L y 0.Основные свойства дифференциального оператора n-го порядка.

Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка методом понижения порядка уравнения.

Зная одно частное решение y1 x линейного однородного уравнения, можно с помоyx y1 x z x dx порядок соответствующего неоднородного уравнения (2.13), на единицу. Полученное уравнение (n-1)-го порядка относительно z также является линейным. Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка. Общее решение линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

Цель лекции. Дать понятие линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Ввести линейный дифференциальный оператор n-го порядка и его свойства.

Ключевые вопросы: 1)Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка? 2) Что называется линейным дифференциальным оператор n-го порядка? 3) Как понизить порядок уравнения, зная одно частное решение?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 12. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля.

План лекции. Линейная зависимость и независимость функций. Примеры линейно зависимых и независимых функций. Определитель Вронского. Теоремы определяющие свойства определителя Вронского. Теоремы, определяющие свойства решений уравнением n-го.

Фундаментальная система решений. Максимальное число линейно независимых решений.

Нахождение дифференциального уравнения по заданной системе фундаментальных решений. Вывод формулы Остроградского-Лиувилля.

Цель лекции. Сформулировать и доказать свойства решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка.

Ключевые вопросы: 1)Какие функции называются линейно зависимыми и независимыми? 2) Что называется фундаментальной системой решений? 3)Запишите определитель Вронского. 4) Как по заданной системе решений построить дифференциальное уравнение?

5)Записать формулу Остроградского – Лиувилля. 6)Как формула Остроградского – Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка? 7) Сформулировать основные свойства решений уравнением n-го.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 13. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера.

План лекции. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. метод Эйлера. Характеристическое уравнение. Случай, когда корни характеристического уравнения действительные и различные. Случай, когда корни характеристического уравнения действительные и кратные. Среди корней характеристического уравнения, имеются комплексные корни. Характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корень. Уравнение Эйлера и его сведение к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнения Эйлера.

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнения вида где 1 2 n – некоторые действительные числа.

Для нахождения частных решений составляют характеристическое уравнение которое получается из дифференциального уравнения, если искать частные решения этого уравнения в виде (метод подбора решений, метод Эйлера).

Характеристическое уравнение, является уравнением n-й степени и имеет n корней действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Частные решения дифференциального уравнения зависят от вида корней характеристического уравнения и при их нахождении полезно использовать таблицу 1.

Характер корней характеристического Частные решения k – простой вещественный корень k – вещественный корень кратности r – комплексно сопряженные корex sin x, xex sin x,..., x r 1ex sin x ни кратности r Общее решение дифференциального уравнения записывается так:

y1, y 2,..., y n – частные линейно независимые решения, образующие фундаменгде тальную систему, а Цель лекции. Ввести линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и дать методы интегрирования этих уравнений. Дать понятие уравнения Эйлера и методы интегрирования этого уравнения.

Ключевые вопросы: 1) Записать линейное однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 2)Какое уравнение называется характеристическим? 3)Метод Эйлера интегрирования линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. 4) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения действительные и различные. 5) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения действительные и кратные. 6) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения комплексные. 7) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения кратные комплексные. 8) Записать вид уравнения Эйлера. 9) При помощи каких замен независимого переменного и искомой функции, уравнение Эйлера сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 14. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

План лекции. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Свойства решений неоднородного уравнения. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод интегрирования линейного неоднородного уравнения (метод вариации произвольных постоянных). Пример применение метода Лагранжа.

Цель лекции. Дать понятие Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Свойства решений неоднородного уравнения.

Ключевые вопросы: 1) Записать линейное неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. 2) Сформулировать основные теоремы, определяющие свойства решений неоднородного уравнения. 3) Чему равно общее решение неоднородного уравнения? 4) В чем заключается метод вариации произвольных постоянных? 5) Привести пример применение метода Лагранжа.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 15. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

План лекции. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Подбор частного решения неоднородного уравнения по виду правой части. Правая часть является многочленом степени s. Правая часть является произведением многочлена степени s на экспоненциальную функцию. Правая часть является произведением многочлена на тригонометрическую функцию. В зависимости от корней характеристического уравнения и показателя экспоненты стоящей в правой части решения надо искать в соответствующем виде.

с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение вида где ai Общее решение уравнения записывается в виде y y y *, где y – общее решение L y 0. соответствующего данному, y * – любое частное решение уравнения L y f x.

Общее решение y находится с помощью табл. 1.

Для отыскания y * в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

В частных случаях, когда функция f x в уравнении (2.17) имеет специальный вид, частное решение находится методом неопределенных коэффициентов (метод подбора частного решения). При этом используют табл. 2.

Замечание 3. Многочлены Qm x должны быть полными (т.е. содержать все степени x от 0 до m). Если в выражение функции f x входит хотя бы одна из функций cos x или sin x, то в y * нужно всегда вводить обе функции.

Цель лекции. Научить студентов решать Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Ключевые вопросы: 1) В каком виде записывается общее решение неоднородного уравнения? 2) В каком виде ищется частное решение неоднородного уравнения, если в правой части дифференциального уравнения стоит многочлен. 3) В каком виде ищется частное решение неоднородного уравнения, если правая часть является произведением многочлена степени s на экспоненциальную функцию? 4) В каком виде ищется частное решение неоднородного уравнения, если правая часть является произведением многочлена на тригонометрическую функцию?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 16. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

План лекции. Отыскание решения в виде суммы степенного или обобщенного степенного ряда. Теорема об аналитичности решения. Теорема о разложимости решения в обобщенный степенной ряд. Уравнение Бесселя и его решение в виде суммы обобщенного степенного ряда. Гамма – функция Эйлера. Функции Бесселя первого и второго рода порядка n.

В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, решение его ищут в виде степенного ряда Неопределенные коэффициенты n находят подстановкой ряда в дифференциальное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x x0 в обеих частях полученного равенства. Если удается найти все коэффициенты ряда, полученный ряд определяет решение во всей своей области сходимости.

В тех случаях, когда для уравнения y f ( x, y) требуется решить задачу Коши при начальy x x y y ( x 0 ) находим последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстаx, y, y, Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.

Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение вида где n const.

Решение уравнения определяют в виде произведения некоторой степени x на степенной ряд Коэффициент 0 мы можем считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя Цель лекции. Ввести приближенные аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений.

Ключевые вопросы: 1) Сформулировать условия, при которых существуют решения в виде суммы степенного ряда или обобщенного степенного ряда. 2)Записать уравнение Эйлера.

3)Записать решение уравнения Бесселя. 4) Записать вид функции Бесселя порядка n и порядка – n.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 17. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний.

План лекции. Отыскание периодических решений дифференциального уравнения.

Отыскание периодических решений дифференциального уравнения, имеющее в правой части малое нелинейное слагаемое. Метод А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова разложение решения в ряд по степеням малого параметра. Нерезонансный случай. Резонансный случай. Резонанс nго рода. Автономный случай. Теорема о существовании и единственности периодического решения. Условия периодичности.

Цель лекции. Познакомить студентов с методом малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний.

Ключевые вопросы: 1) В каком виде обычно ищут периодические решения дифференциального уравнения? 2) В каком виде обычно ищут периодические решения дифференциального уравнения имеющего в правой части малое нелинейное слагаемое? 3) Какова основная идея метода Ляпунова – Пуанкаре? 4) Сформулировать теорему Пуанкаре о существовании и единственности периодического решения. 5) Записать Условия периодичности решения уравнения.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 18. Понятия о краевых задачах. Функция Грина.

План лекции. Краевые или граничные задачи. Функция влияния или функция Грина рассматриваемой краевой задачи. Основные свойства функция Грина. Метод построения функции Грина. Решение неоднородного уравнения с использованием функции Грина.

Цель и задачи лекции. Научить студентов наряду с основной начальной задачей решать так называемые краевые или граничные задачи. Дать метод построения функции Грина.

Ключевые вопросы: 1)Поставить краевую задачу для движущейся точки под действием заданной силы. 2) Какая функция называется функцией влияния или функцией Грина? 3) Сформулировать основные свойства функции Грина. 4)Как решить неоднородное уравнение с использованием функции Грина?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 1. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия. Интегрирование системы дифференциальных уравнений.

План лекции. Основные понятия. Что называется системой дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Решение системы дифференциальных уравнений. Динамическая система. Фазовое пространство, фазовая траектория. Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений. Основные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений. Метод сведения к одному уравнению более высокого порядка. Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма записи системы уравнений.

Цель и задачи лекции. Познакомить студентов с теорией систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачи, в которых требуется найти несколько неизвестных функций от одной независимой переменной, удовлетворяющих заданной системе дифференциальных уравнений, число которых равно числу неизвестных функций.

Ключевые вопросы: 1) Дать определение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 2) Что называется решением системы дифференциальных уравнений? 3) Сформулировать теорему существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений. 4) Что называется частным решением системы? 5) Изложить метод сведения к одному уравнению более высокого порядка. 6) Изложить метод нахождения интегрируемых комбинаций.7) Записать нормальную систему в симметричной форме.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 2. Системы линейных дифференциальных уравнений.

План лекции. Определение системы линейных дифференциальных уравнений. Введем линейный дифференциальный оператор и его основные свойства. Система однородных дифференциальных уравнений. Изложим свойства решений система однородных дифференциальных уравнений. Система линейно зависимых и независимых векторов. Определитель Вронского системы функций. Приведем свойства определителя Вронского. Определим фундаментальную систему решений системы линейных дифференциальных уравнений. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Цель и задачи лекции. Рассмотрим важный специальный класс нормальных систем дифференциальных уравнений – системы линейных дифференциальных уравнений. Определим основные свойства решений однородных систем.

Ключевые вопросы: 1) Что называется системой линейных дифференциальных уравнений. 2)Что собой представляет линейный дифференциальный оператор? 3) Сформулировать основные свойства дифференциального оператора. 4)Сформулируйте основные свойства определителя Вронского. 5) Что называется фундаментальной системой решений? 6) Сформулировать основные свойства решений системы линейных дифференциальных уравнений. 7) Структура общего решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 3 - 4. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Существование и единственность решения нормальных систем дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица.

План лекции. Определение линейной системы с постоянными коэффициентами. Интегрирование системы путем сведения к одному уравнению более высокого порядка. Характеристическое уравнение. Построение решений линейной системы с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения. Все корни характеристического уравнения действительны и различны. Корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Решение систем, не приведенных к нормальному виду. Фундаментальная матрица. Матричная экспонента.

Цель и задачи лекции. Ввести линейные системы с постоянными коэффициентами и построить линейно независимые частные решения.

Ключевые вопросы: 1) Какая система с постоянными коэффициентами называется линейной? 2) Какое уравнение называется характеристическим? 3)От чего зависит структура фундаментальной системы решений? 4) Как решить систему не приведенных к нормальному виду. 5)Какими методами можно найти решения неоднородных систем? 6) Что называется матричной экспонентой?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 5. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной. Периодические решения. Краевая задача. Ограниченные решения линейных систем.

План лекции. Рассмотрим линейные неоднородные системы. Линейной неоднородной системой называется система вида или в векторной записи где x – вектор с компонентами x1,..., xn; A(t)={aij(t)} – матрица, компонентами которой являются функции aij(t); f(t) – вектор-функция с компонентами fi(t).

Систему линейных неоднородных уравнений можно решать путем приведения их к одному уравнению более высокого порядка.

Метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородных систем. Решение линейной неоднородной системы можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение однородной системы с теми же коэффициентами aij(t). Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные ci на неизвестные функции ci(t). Полученные выражения для xi надо подставить в систему и из этой системы найти функции ci(t). Частное решение линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами, можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции fi(t) состоят из сумм и произведений функций tm, et, cost, sint. Это делается по тем же правилам, что и для одного линейного уравнения с постоянными коэфf (t) Pmi (t)et, P (t ) степени mi, то частное решение системы ищется в виде где Q ms (t) - многочлен степени m+s с неизвестными коэффициентами, m max mi, s 0, если – не корень характеристического уравнения, а если – корень, то s следует взять равным кратности этого корня.

Аналогично определяются степени многочленов в случае, когда f (t) содержит e cos t и e sin t,; здесь =+i.

Цель и задачи лекции. Дать основные методы решения линейные неоднородных систем.

Ключевые вопросы: 1) Записать линейную неоднородную систему. 2) Изложите метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы дифференциальных уравнений. 3)Какова идея метода неопределенных коэффициентов, отыскания частных решений неоднородной системы дифференциальных уравнений?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 6. Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Автономные системы на плоскости.

План лекции. Рассмотрим систему уравнений и начальных условий, зависящих от малого параметра. Теорема о существовании непрерывных производных от решений по малому параметру. Теорема о существовании непрерывных производных от решений по начальному условию. Автономные системы.

Цель и задачи лекции. Продемонстрировать на примере систем дифференциальных уравнений зависимость решения от начальных условий и параметра.

Ключевые вопросы: 1)Сформулировать теорему о существовании непрерывных производных от решений системы по малому параметру. 2)Сформулировать теорему о существовании непрерывных производных от решений по начальному условию. 3) Какие системы называются автономными?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 7-8 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приближнные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка.

План лекции. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера. Разложение по формуле Тейлора. Оценка погрешности. Метод Штермера. Метод Рунге. Достоинства и недостатки приближенных методов.

Цель и задачи лекции. Познакомить студентов с приближенными методами дифференцирования интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка.

Ключевые вопросы: 1)На чем основан метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения? 2)Основные недостатки метода последовательных приближений.

3)Какова погрешность метода Эйлера на каждом шаге? 4)Какова структура метода Штермера?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 9. Основные понятия. Устойчивость по Ляпунову. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами.

План лекции. Основные понятия. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений или в векторной записи f(t,x), x=(x1,x2,…,xn).

Решение x=(t) системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого >0 существует такое >0, что для всякого решения x(t) той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие:

а функция W (x ) непрерывна при | x | 0, t>t0, то тривиальное решение системы (4.1) асимптотически устойчиво.

Теорема Четаева (о неустойчивости). Пусть система (1) обладает тривиальным решением x 0. Пусть в некоторой области G R существует дифференцируемая функция v(x1,…,xn), причем:

1) точка x 0 принадлежит границе области G;

непрерывная.

Тогда тривиальное решение системы (1) неустойчиво Цель и задачи лекции. Познакомить студентов с общим методом исследования на устойчивость решений системы дифференциальных уравнений построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова и Четаева.

Ключевые вопросы: 1)Сформулируйте теорему Ляпунова об устойчивости. 2) Сформулируйте теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости. 3) 1)Сформулируйте теорему Четаева о неустойчивости. 4)Какая функция называется функцией Ляпунова?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение.

План лекции. Система уравнений первого приближения. Система уравнений стационарна в первом приближении и все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то тривиальное решение системы уравнений асимптотически устойчиво. Если система уравнений стационарна в первом приближении и хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы неустойчива. Критический случай, когда все корни характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю. Примеры.

Цель и задачи лекции. Познакомить студентов с исследованием на устойчивость системы уравнений по первому приближению, эта задача намного легче, чем исследование на устойчивость исходной нелинейной системы.

Ключевые вопросы: 1)Какая система называется системой уравнений первого приближения? 2)Сформулировать теорему об асимптотической устойчивости по первому приближению. 3) Сформулировать теорему о неустойчивости по первому приближению.4) Когда нельзя исследовать на устойчивость тривиальное решение по первому приближению?

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 13. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена. Теорема Гурвица. Устойчивость при постоянных действующих возмущениях.

План лекции. Необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней многочлена. Матрица Гурвица. Устойчивость при постоянных действующих возмущениях. Теорема Малкина об устойчивости тривиального решения по отношению к постоянно действующим возмущениям.

Цель и задачи лекции. Познакомить студентов с методом, позволяющим, не решая уравнение высокой степени, установить, будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть. Исследовать устойчивость при постоянно действующих возмущениях.

Ключевые вопросы:1) Сформулировать необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней многочлена. 2)Составить матрицу Гурвица для многочлена n-ой степени. 3) Записать главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

4)Сформулировать теорему Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 14-15. Уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия. Теорема Ковалевской. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка. Связь характеристик с решениями. Задача Коши План лекции. Основные понятия. Уравнения в частных производных первого порядка.

Примеры уравнений. Теорема Ковалевской о существовании единственного аналитического решения уравнения в частных производных в окрестности начальной точки. Линейные неоднородные уравнения первого порядка в частных производных Линейные однородные уравнения первого порядка в частных производных. Векторные поверхности. Векторные линии. Нахождение векторных линий и векторных поверхностей. Векторные линии или характеристики уравнения в частных производных. Общее решение уравнения в частных производных. Решение неоднородного уравнения в частных производных.

Цель и задачи лекции. Ввести в рассмотрение дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция является функцией более чем одного независимого переменного. Рассмотрим методы интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных уравнений.

Ключевые вопросы: 1) Какое уравнение называется уравнением в частных производных? 2) Сформулировать теорему Ковалевской о существовании единственного аналитического решения уравнения в частных производных в окрестности начальной точки. 3) Какое уравнение называется линейным неоднородным уравнением первого порядка в частных производных? 4) Изложить метод интегрирования линейного однородного уравнения первого порядка в частных производных.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 16. Уравнения Пфаффа.

План лекции. Уравнения вида Px, y, z dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 0 называются уравнениями Пфаффа.

Если поле F Pi Qj Rk потенциально:

то искомыми поверхностями являются поверхности уровня U x, y, r c потенциальной функции U. В этом случае нахождение искомых поверхностей не представляет затруднений, так как где криволинейный интеграл берется по любому пути между выбранной фиксированной точкой (x0,y0,z0) и точкой с переменными координатами (x, y,z), например по ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков, параллельных осям координат.

Если же поле F не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать скалярный множитель x, y, z, после умножения, на который вектора F поле становится потенциальным. Условия интегрируемости уравнения Пфаффа одним соотношением. Другой, обычно применяемый метод интегрирования уравнения Пфаффа заключается в том, что временно считают одну из переменных постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение.

Цель и задачи лекции. Нахождение семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям. Изучить методы интегрирования уравнения Пфаффа.

Ключевые вопросы: 1)Какое уравнение описывает поверхности ортогональные векторным линиям? 2)Как проинтегрировать уравнение Пфаффа если поле потенциально? 3) Как подобрать скалярный множитель, после умножения на который вектора F поле становится потенциальным? 4) Второй метод интегрирования уравнения Пфаффа. 5) Записать условия интегрируемости уравнения Пфаффа одним соотношением Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

Лекция 17-18. Нелинейные уравнения первого порядка.

План лекции. Рассмотрим сначала нелинейные уравнения первого порядка, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных. Найдем полный интеграл этого уравнения. Частные случаи нахождения полного интеграла. Рассмотрим один из методов нахождения полного интеграла метод Лагранжа и Шарпи. Этот метод заключается в подборе функции, так, чтобы нелинейные уравнения первого порядка сводилось к уравнению Пфаффа. Запишем условия интегрируемости уравнения. Нахождение решения нелинейного уравнения первого порядка удовлетворяющего начальным условиям. Нахождение интегральной поверхности проходящей через заданную кривую. Метод Характеристик или метод Коши интегрирования нелинейного уравнения в частных производных.

Цель и задачи лекции. Разобрать основные методы интегрирования нелинейного уравнения первого порядка в частных производных.

Ключевые вопросы: 1) Записать нелинейное уравнение первого порядка в частных производных. 2) В чем заключается идея метода Лагранжа и Шарпи отыскания решения нелинейного уравнения первого порядка в частных производных? 3)Изложить метод отыскания интегральной поверхности проходящей через заданную линию.

Ссылки на литературные источники:

1.9.1-1.9.3, 1.9.4, 1.9.7,1.9.13.

3. Методические указания 3.1 Методические указания по изучению дисциплины Для оптимальной организации изучения дисциплины студентам рекомендуется следовать следующим методическим указаниям.

Студенты обязаны присутствовать на лекциях и практических занятиях и выполнять все предусмотренные учебно-методическим комплексом дисциплины формы учебной работы. Материалы лекций являются основой для изучения курса и подготовки к практическим занятиям. Лекция является одним из основных источников знаний, так как она содержит в себе информацию в обобщенном и законченном виде.

При изучении курса учебной дисциплины особое внимание следует обратить на правильное ведение конспекта. После лекции необходимо работать с учебниками, рекомендованными лектором, дополнять лекцию новыми примерами, разъяснениями, дополняющими рассмотренную теорию. Вносить в конспект курса лекций теоретические вопросы, отнесенные к самостоятельному изучению тем, предусмотренных рабочей программой дисциплины.

Перед очередной лекцией полезно изучить предыдущую лекцию.

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» изучается студентами в 3 и 4 семестрах обучения. 3 семестр включает 36 часов лекционных занятий, 36 часов практических занятий и заканчивается экзаменом. 4 семестр содержит 36 часов лекционных занятий, 36 часов практических занятий и заканчивается экзаменом. На самостоятельную работу студентов отводится 60 час.

Теоретическая часть курса включает следующие разделы тем (в скобках указан объем каждого раздела в часах).

3 семестр:

Раздел1.Дифференциальные уравнения, первого порядка, разрешенные относительно производной (14).

Раздел 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной (4).

Раздел 3. Дифференциальные уравнения порядка выше первого (18).

Раздел 4. Системы дифференциальных уравнений (16).

Раздел 5. Теория устойчивости (10).

Раздел 6. Уравнения в частных производных первого порядка (10).

Каждая лекция содержит необходимый объем теоретического материала, изучение которого предусмотрено государственным образовательным стандартом дисциплины, а также некоторые дополнительные главы, необходимые для дальнейшего изучения прикладных дисциплин. В дополнение к лекционному материалу, студентам рекомендуется использовать основную и дополнительную литературу согласно перечню, приведенному в п.1.9.

Студенты в рамках аудиторных занятий должны, в целом, владеть математическим аппаратом, основанном на ранее изученных дисциплинах, воспринимать теоретический материал основного содержания лекции, видеть причинно-логические связи в лекции, понимать алгоритм решения задач, приводимых в лекции. Для освоения темы каждой лекции на более глубоком уровне требуется дополнительная работа с теоретическим материалом в форме прочтения и изучения основной и дополнительной литературы, самостоятельной работы с лекцией.

3.2 Методические указания к практическим занятиям Практические занятия направлены на закрепление теоретического материала на практическом уровне и предусматривают реализацию аналитических методов по вариантам индивидуальных заданий. Для выполнения индивидуальных заданий необходимо освоить теоретические основы соответствующего раздела, закрепить теорию на практических занятиях и пользоваться методической литературой по данной теме. Каждое индивидуальное задание оформляется в соответствии с требованиями преподавателя и защищается на консультациях.

Перед практическим занятием разобрать материал, изложенный на лекции и выполнить самостоятельную работу, предусмотренную рабочим планом. Для этого используются:

конспект лекций, соответствующие разделы печатных и электронных учебников, ответы на вопросы для самоконтроля знаний. После практического занятия самостоятельно решить рекомендованные задачи на дом и индивидуальные задания.

Если у студента возникают вопросы по выполнению индивидуальных заданий или домашних заданий, то он может обратиться к преподавателю за консультацией, которая проводится один раз в неделю в заранее установленное время. Кроме этого по выполнению домашнего задания и освоению лекционного курса, вопросы желательно задавать и на практических и на теоретических занятиях.

Студент обязан проходить промежуточный и итоговый контроль в виде защит индивидуальных и практических работ, аттестации в форме тестового контроля знаний; сдачи экзаменов в предлагаемой преподавателем форме.

Практический курс предусматривает практические (в 3-4семестрах) занятия по следующим темам (объем в часах – 2, отводимый на выполнение каждой работы).

Номера задач для аудиторных и домашних занятий из сборника 1.9.8.

Занятие 1. Изоклины. Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Вопросы для подготовки: 1)Что называется изоклинами? 2)Как не решая уравнения, строить интегральные кривые? 3)Как составить дифференциальное уравнение семейства кривых?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №1Занятие 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Вопросы для подготовки: 1) Какие уравнения называются уравнениями, с разделяющимися переменными? 2) Как интегрируются уравнения с разделяющимися переменными?

3) Перечислить три вида уравнений сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. 4) При помощи каких замен они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными? 5) Какие уравнения называются однородными?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №51-65; 101-129.

Занятие 3,4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли, Риккати.

Вопросы для подготовки: 1) Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка? 2) Какое уравнение называется однородным, а какое неоднородным? 3) Методы решения линейного уравнения первого порядка. 4)В чем заключается идея метода Лагранжа? 5) Уравнение Бернулли и замена сводящая это уравнение к линейному. 6) Уравнение Риккати и замена сводящая это уравнение к уравнению Бернулли Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №136-160; 167-171.

Занятие 5,6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Вопросы для подготовки: 1) Какие уравнения называются уравнения в полных дифференциалах? 2) Записать необходимые и достаточные условия Эйлера. 3)Как проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах? 4) Что называется интегрирующим множителем?

5) Записать формулу для нахождения интегрирующего множителя, зависящего от х. 6) Записать формулу для нахождения интегрирующего множителя зависящего от у.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №186-194; 195-220.

Занятие 7. Существование и единственность решения.

Вопросы для подготовки: 1)Сформулировать теорему существования и единственности решения уравнения y f ( x, y).

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №221;222;223.

Занятия 8,9. Физические и геометрические задачи.

Методические указания: Чтобы решить геометрическую задачу, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у(х) и составить дифференциальное уравнение.

В физических задачах надо решить, какую из величин взять за независимое переменное, а какую - за искомую функцию. Затем составить дифференциальное уравнение.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №71-76; 77-79;80, 81, 83,84,85,87,88,89,91,92,93.

Занятие 10. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

Вопросы для подготовки: 1) Дать определение дифференциальному уравнению, не разрешенному относительно производной. 2)Как проинтегрировать уравнение если в него входит только производная от неизвестной функции? 3) Как проинтегрировать уравнение если в него не входит искомая функция? 4) Как проинтегрировать уравнение если в него не входит независимое переменное? 5)Общий метод интегрирования дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной. 6) Дать определение особых решений.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №241-250; 251-266; 267-286.

Занятие 11. Уравнение Лагранжа, Клеро.

Вопросы для подготовки1) Записать уравнение Лагранжа. 2)Метод интегрирования уравнение Лагранжа.3) Записать уравнение Клеро.4) Метод интегрирования уравнения Клеро.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №287-296; 298; 300.

Занятие 12. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Вопросы для подготовки: 1) Перечислить уравнения допускающие понижение порядка. 2) Методы решения этих уравнений?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №421-437; 455-458; 463-470; 501-503.

Занятие 13,14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Вопросы для подготовки: 1) Метод Эйлера интегрирования линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. 2) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения действительные и различные.3) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения действительные и кратные 4) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения комплексные 5) Записать общий вид решения дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения кратные комплексные Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №511-548;575-581; 582-586.

Занятие 15,16 Линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Вопросы для подготовки: 1) Записать вид уравнения Эйлера. 2) При помощи каких замен независимого переменного и искомой функции, уравнение Эйлера сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами? 3)Какие функции называются линейно зависимыми и независимыми? 4) Как по заданной системе решений построить дифференциальное уравнение? 5)Записать формулу Остроградского – Лиувилля. 6)Как формула Остроградского – Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №589-600;641-646;674-678;681-701.

Занятие 17. Контрольная работа.

Дифференциальные уравнения первого порядка (1 час); Дифференциальные уравнения порядка выше первого (1 час).

Занятие 18. Краевые задачи. Построение функций Грина.

Вопросы для подготовки: 1) Какая функция называется функцией влияния или функцией Грина? 2) Сформулировать основные свойства функции Грина. 3)Как решить неоднородное уравнение с использованием функции Грина?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №751-756;764-771; 782-785.

Занятие1. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (метод исключения).

Вопросы для подготовки: 1) Что называется решением системы дифференциальных уравнений? 2) Что называется частным решением системы?3) Изложить метод сведения к одному уравнению более высокого порядка.4) Изложить метод нахождения интегрируемых комбинаций.5) Записать нормальную систему в симметричной форме.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №786-796.

Занятие 2. Линейные системы с постоянными коэффициентами. (Метод Эйлера).

Вопросы для подготовки: 1) Какая система с постоянными коэффициентами называется линейной? 2) Какое уравнение называется характеристическим? 3)От чего зависит структура фундаментальной системы решений?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач №797-812.

Занятие 3. Матричный метод.

Вопросы для подготовки: 1) Как решить систему, записанную в векторной форме? 2) Что называется матричной экспонентой?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№851-865; 867-873.

Занятие 4,5. Линейные неоднородные системы. Метод неопределенных коэффициентов.

Вопросы для подготовки: 1) В каком виде можно частное решение линейной неоднородной системы? 2)В чем состоит отличие отыскания частных решений от одного линейного уравнения?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№826Занятие 6. Линейные неоднородные системы, метод вариации.

Вопросы для подготовки: 1) Чему равно общее решение неоднородного уравнения? 2) В чем заключается метод вариации произвольных постоянных для системы дифференциальных уравнений?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№846-850.

Занятие 7. Контрольная работа.

Занятие 8. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Устойчивость решений линейных систем дифференциальных уравнений.

Вопросы для подготовки: 1)Какое решение системы называется устойчивым? 2) Какое решение системы называется неустойчивым? 3) Какое решение системы называется асимптотически устойчивым? 4) Что называется точкой покоя? 5) Сформулируйте условия устойчивости в применении к точке покоя.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№881Занятие 9. Критерий устойчивости по первому приближению Вопросы для подготовки: 1)Какая система называется системой уравнений первого приближения? 2)Сформулировать теорему об асимптотической устойчивости по первому приближению. 3) Сформулировать теорему о неустойчивости по первому приближению.4) Когда нельзя исследовать на устойчивость тривиальное решение по первому приближению?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№899Вопросы для подготовки Занятие 10. Исследование устойчивости методом функций Ляпунова.

Вопросы для подготовки1)Сформулируйте теорему Ляпунова об устойчивости. 2) Сформулируйте теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости. 3)Сформулируйте теорему Четаева о неустойчивости. 4)Какая функция называется функцией Ляпунова Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№923Занятие 11. Особые точки.

Вопросы для подготовки1)Какая точка покоя называется устойчивым узлом? 2) Какая точка покоя называется неустойчивым узлом. 3) Какая особая точка называется седлом? 4) Какая особая точка называется устойчивым фокусом? 5) Какая особая точка называется неустойчивым фокусом? 6)Какая точка покоя называется центром? 6) Что такое дикритический узел?

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№961Вопросы для подготовки Занятие 12. Фазовая плоскость Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№1021-1034.

Занятие 13. Зависимость решений от начальных данных и параметров. Приближенное решение систем дифференциальных уравнений.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№1064-1072; 1074-1078.

Занятие 14. Нелинейные системы, первые интегралы.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№1141-1160.

Занятие 15,16. Уравнения в частных производных 1-го порядка Вопросы для подготовки. 1) Какое уравнение называется линейным неоднородным уравнением первого порядка в частных производных? 2) Изложить метод интегрирования линейного однородного уравнения первого порядка в частных производных.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№1167-1188;1189-1191.

Занятие 17. Контрольная работа. Системы дифференциальных уравнений (1 час);

Теория устойчивости (1 час).

Занятие 18. Уравнения Пфаффа. Вопросы для подготовки 1)Какое уравнение описывает поверхности ортогональные векторным линиям? 2)Как проинтегрировать уравнение Пфаффа если поле потенциально?

3) Как подобрать скалярный множитель, после умножения на который вектора F поле становится потенциальным? 4) Второй метод интегрирования уравнения Пфаффа. 5) Записать условия интегрируемости уравнения Пфаффа одним соотношением.

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач№1194-1198; 120-1223.

Для выполнения домашних заданий рекомендуется пользоваться учебниками, в которых разобраны подробно и продемонстрированы методы решения задач по каждой теме в п.1.9.5-1.9.7. Практическая часть курса методически поддержана пособиями, указанными в п.1.99-1.9.10. В учебном пособии «Дифференциальные уравнения в примерах и задачах»

(1.9.9) приводятся варианты индивидуальных заданий по всем разделам изучаемой дисциплины. В этом пособии даны необходимые для решения индивидуальных заданий теоретические сведения по каждой теме задания, по каждой теме решено по несколько задач, которые демонстрируют алгоритмы решения по каждому типу. Решение задач сопровождается разъяснением используемых методов и понятий. В конце каждого раздела приведены индивидуальные задачи для самостоятельной работы.

Индивидуальное задание (типовой расчет) выполняется строго в соответствии с выданным преподавателем заданием и вариантом. Оформлять работу следует четко и аккуратно, придерживаясь основных правил оформления работ: титульный лист (содержит: ФИО, №группы, курс, дисциплина, тема расчета и т. д.). Типовой расчет считается выполненным с дифференцированной оценкой, если:

1) работа выполнена полностью и в соответствии с заданием;

2) студент отвечает на основные теоретические вопросы по соответствующему разделу;

3) работа оформлена в соответствии с указанными требованиями.

Сроки сдачи работ ограничены отведенным на выполнение практикума аудиторным временем – 36 час практический занятий в 3 семестре и 36 час практических занятий – в семестре. Рекомендуется выполнять и сдавать на проверку индивидуальные задания по мере изложения лекционного материала и практического и выдачи заданий преподавателем. Необходимым условием допуска студента на экзамен (в 3-4 семестрах) является сдача всех практических и индивидуальных работ соответственно.

3.3 Методические указания по самостоятельной работе студентов Объем самостоятельной работы студентов определяется учебным планом.

На самостоятельную работу студента по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

отводится 60 час, из которых 30 часов предусмотрено в 3 семестре, 30 часов – в 4 семестре.

В качестве самостоятельной работы по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

студентам предлагается выполнять индивидуальные задания по разделам дисциплины; заниматься подготовкой к контрольным работам, выполнять индивидуальные домашние задания по всем темам практических занятий; заниматься подготовкой к экзамену.

Для промежуточного контроля приобретенных практических навыков предусмотрены индивидуальные задания (по вариантам).

Для промежуточного контроля усвоения теоретического материала предусмотрены коллоквиумы, которые проводятся по различным разделам дисциплины по вопросам к экзамену.

Контрольные работы III семестр: Дифференциальные уравнения первого порядка (1 час); Дифференциальные уравнения порядка выше первого (1 час) IV семестр: Системы дифференциальных уравнений (1 час); Теория устойчивости ( час) Индивидуальные задания.

III семестр: Дифференциальные уравнения первого порядка (4 часа); Дифференциальные уравнения порядка выше первого (4 часа) IV семестр: Системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, уравнения в частных производных (4 часа) Все индивидуальные задания берутся из методического пособия п.1.9.9.

4. Домашние задания по всем темам практических занятий (27 часов) Все задачи для домашних заданий берутся из сборника п.1.9.8.

5. Подготовка к экзаменам (21 час).

Для подготовки к экзамену используются лекции и перечисленные в рабочей программе учебники из основной и дополнительной литературы (1.9.1-1.9.4; 1.9.13) Контроль над выполнением самостоятельной работы осуществляется проведением аудиторных контрольных работ, проведением коллоквиумов по некоторым разделам дисциплины, проверкой и защитой индивидуальных работ проведением итогового экзамена по дисциплине.

4. Контроль знаний.

4.1 Текущий контроль знаний Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и для промежуточной аттестации: зачетная система оценки знаний учащихся (пункт рабочей программы 1.11).

Текущий контроль за аудиторной и самостоятельной работой обучаемых осуществляется во время проведения практических занятий посредством устного опроса по контрольным вопросам соответствующего раздела, а также проверки домашних задач, проверкой контрольных работ. Промежуточный контроль осуществляется три раза в семестр в виде контрольных точек при анализе оценок и посещаемости студента. Приведем примеры аудиторных контрольных работ по всем разделам изучаемой дисциплины.

1 Контрольная работа на тему: Дифференциальные уравнения первого порядка.

1.Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых:

2. Проверить, что данное уравнение являются уравнением в полных дифференциалах, и решить его 3. Решить уравнение 4.Найти решение данного уравнения, выделить особые решения (если они есть), дать чертеж 1.Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых.

2. Проверить, что данное уравнение являются уравнением в полных дифференциалах, и решить его 3. Решить уравнение 4.Найти решение данного уравнения, выделить особые решения (если они есть), дать чертеж 2 Контрольная работа на тему: Дифференциальные уравнения порядка выше первого.

Решить уравнения:

Решить уравнения:

3 Контрольная работа на темы: Системы дифференциальных уравнений; уравнения в частных производных первого порядка.

1. Решить систему уравнений:

2. Методом функции Грина решить краевую задачу:

3. Найти общее решение уравнения:

4. Найти интегральную поверхность уравнения проходящую через кривую y 2 z, x 2 y z.

1. Решить систему уравнений:

2. Методом функции Грина решить краевую задачу:

3. Найти общее решение уравнения:

4. Найти интегральную поверхность уравнения проходящую через кривую U yz, x 1.

Для заключительной аттестации студентов в конце второго семестра обучения проводится контрольное тестирование по вариантам (которое является составной частью зачета по практической части курса).

ПРИМЕР ТЕСТА

1. Выберите верное утверждение, если y1, y 2, y 3 - частные решения 2. Пусть y a1 y a 2 y 3x e. Выберите общее решение дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения 1 2 1.

3. y a1 y a 2 y a3 y 0 - линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выберите общее решение этого уравнения, если корни характеристического уравнения 1, 2, 3 (, R ).

3) y( x) C1e 4. Выберите те дифференциальные уравнения, частные решения которых можно найти методом неопределенных коэффициентов ( методом подбора).

5. Дифференциальным уравнением 3-го порядка являются уравнения:

6.Из дифференциальных уравнений укажите уравнения в полных дифференциалах:

а) (3x 7. Укажите функцию, которая является общим решением дифференциального уравнения 8.Выберите функцию, график которой проходит через точку (0,0) и является решением дифференциального уравнения y 3x 9. Укажите однородные функции:

а) ln 10. Укажите дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 11. Линейным дифференциальным уравнением являются:

12. Укажите уравнения высших порядков, допускающих понижения порядка:

а) xy 13. Для дифференциального уравнения y 2 y 2 y e укажите частные решения с неx определенными коэффициентами (числовые значения коэффициентов не находить) 14. Выберите уравнения, которые решаются только методом вариации постоянных:

15. Укажите дифференциальное уравнение, для которого только (-1) является корнем характеристического уравнения:

16. Однородными дифференциальными уравнениями 1-го порядка являются дифференциальные уравнения:

17. Решением дифференциального уравнения y 2 y 3 y 0 является функция:

18. Определить тип дифференциального уравнения 1-го порядка:

19. Частное решением дифференциального уравнения (1 x ) y 2 xy при y(0) 1 имеет вид:

20. Общим решение дифференциального уравнения y является:

4.2 Итоговый контроль знаний Итоговый контроль осуществляется после успешного прохождения студентами текущего и промежуточного контроля в виде экзамена в первом семестре изучения дисциплины и экзамена – во втором.

Необходимым условием допуска на экзамен является сдача всех практических и расчетных работ. В билет входят два вопроса и две задачи. Студент должен дать развернутый ответ на основные вопросы и краткий – на дополнительные, решить обе задачи.

Оценка «отлично» ставиться при полном изложении теоретического материала экзаменационного билета, ответах на дополнительные вопросы, подтверждающие знание материала, и при правильном решении задач.

Оценка «хорошо» ставится при твердых знаниях студентом материала (в пределах конспектов лекций), при решении задач допущены небольшие недочеты и ошибки вычислительного характера.

Оценка «удовлетворительно» ставиться, если правильно решена только одна из задач и на теоретические вопросы даны неполные ответы, показывающие поверхностное знание излагаемого материала.

Оценка «неудовлетворительно» ставиться, если не решены обе задачи и студент дал ответ без доказательства теорем.

Форма сдачи экзамена – устная. Экзамен проходит в письменной форме с последующей индивидуальной беседой преподавателя со студентом. На письменную работу над билетом отводится 2 часа. Каждый пункт оценен определенным количеством баллов.

Вопросы к экзамену приведены в рабочей программе пункт 1.8.

Приведем примеры экзаменационных билетов для 3 и 4 семестров. В скобках количество баллов за каждый вопрос или задачу.