«Алфутова Н. Б. Устинов А. В. А45 Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ.— М.: МЦНМО, 2002.— 264 с. ISBN 5-94057-038-0 Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, ...»

9.29. Чтобы правая часть уравнения 9.5 была полным квадратом необходимо и достаточно выполнение двух условий: дискриминант равен нулю; старший коэффициент неотрицателен. Запишем эти условия в явном виде:

Первое соотношение является кубическим уравнением относительно.

Его корни могут быть найдены по формуле Кардано. Остается заметить, что поэтому один из найденных корней обязательно будет удовлетворять условию A/2.

9.30. Сделайте замены x = cos t, y = sin t, t [0; 2].

9.32. Представьте семь данных чисел как тангенсы некоторых углов.

x = sin t, t [/2; /2]. Относительно t уравнение будет иметь одно решение t = /5. Ответ: x = sin(/5). г) Сделайте замену x = cos t.

9.35. Если hn = sin 2, то hn+1 = sin. Поскольку h1 = sin(/6), sin x < x (x > 0) находим 9.36. Сделаем замену x = cos t, t [0; /2]. Уравнение перепишется в виде 8 cos t cos 2t cos 4t+1 = 0. Домножая на sin t, получаем, что корни последнего уравнения лежат среди корней уравнения sin 8t + sin t = или sin(7t/2) cos(9t/2) = 0. Решая уравнение и делая проверку, находим, что на отрезке [0; /2] лежит 3 корня. Ответ: 3.

9.40. б) Система может быть переписана в виде После замены x = tg, (/2, /2) получаем, что y = tg 2, 9.44. После замены x = sin t, t [/2; /2], приходим к уравнению Решая его, находим sin 2t = 1 или sin 2t = 1/2, где t [/4; /4].

9.46. Обозначим через dn разность dn = xn 2. Тогда последовательность {dn } будет удовлетворять рекуррентному соотношению Если для некоторого n окажется, что 0 < dn < 1, то начиная с этого момента dn будет убывать не медленнее, чем геометрическая прогрессия: 0 < dn+1 < dn /2. В нашем случае d2 = 3/2 2 удовлетворяет нужному условию, поэтому 9.47. Последовательность будет сходиться к 2.

9.48. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность dn = xn k. Тогда Последовательность {dn } оказывается монотонной и ограниченной. Значит она имеет предел, который может быть только равным 0.

9.49. Воспользуйтесь методом математической индукции.

9.51. Рассмотрите последовательность, которая задается условиями:

При вычислении ln N на калькуляторе не следует брать k очень большим, поскольку это приводит к росту погрешности.

9.59. Пусть OAKB — данный прямоугольник, расположенный на координатной плоскости так, что его вершины имеют координаты O(0; 0), A(a; 0), K(a; b), B(0; b). Тогда искомая точка будет иметь координаты 9.60. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность dn = an 3 a. Тогда Если для некоторого n0 число dn0 будет положительным (это условие будет выполнено при n = 2 независимо от значения a), то для dn+ можно будет написать оценку Последовательность {dn } снова оказывается монотонной и ограниченной. Поэтому она имеет предел, который может быть равным только 0.

9.61. Данное уравнение можно записать в виде x2 = 1 + 1/x. Последовательность, построенная по правилу x1 = 1, xn+1 = 1 + 1/xn, будет сходиться к положительному корню данного уравнения. Другой способ приближенного нахождения корня (причем более быстрый) получается, если применить метод Ньютона. (См. задачу 9.78.) 9.62. Неравенство 0 < 2 an < (3/4)n доказывается по индукции.

9.63. Можно указать 0 < q < 1 такое, что (начиная с некоторого n) an+1 < qan.

9.64. Примените теорему Лагранжа о конечном приращении.

9.67. (0, 0, 0), (1, 1, 1).

9.71. задачи 9.69 следует, что данное уравнение равносильно уравИз нению a + x = x. Отсюда находим, что уравнение разрешимо при 9.72. Воспользуйтесь неравенствами bn < bn+1 < an+1 < an и теоремой Вейерштрасса. Явное выражение для µ(a, b) через a и b впервые получил Гаусс:

9.73. б) Докажите, что произведение элементов данных последовательностей не меняется: an bn = ab (n 0). Затем перейдите к пределу в этом равенстве.

9.74.

9.80. Последовательности {yn } и {zn } сходятся к различным корням уравнения x2 px+q = 0. Какой именно из корней является предельным значением, зависит от знака параметра q.

9.81. Докажите, что подходящие дроби pn /qn к числам и удовлетворяют соотношению 9.82. Так как функция f(x) нечетная, то можно пытаться найти такую точку x0 = 0, что x1 = x0. В этом случае получится, что x2 = x1 = x0. Условие x1 = 0 записывается в виде уравнения x0 (x2 1) = x0. Отсюда x0 = ± 2.

9.83. Нетрудно найти первые многочлены:

где Lk — числа Люка. Общая формула доказывается по индукции:

Отсюда 9.85. а) 4, 2 2, 2 3, 3; б) Воспользуйтесь формулами для длин сторон описанного и вписанного многоугольников an = tg(/n), bn = sin(/n), pn = nbn, Pn = nan.

9.86. Из соотношения и равенства находим Далее, подставляя значение x = /2, приходим к нужному равенству.

9.87. Для наибольшего числа a график функции y = ax должен касаться прямой y = x. Ответ: a = e1/e, lim xn = e.

Докажите неравенство a3 > 3n и оцените разность a3 3n.

9.89. Воспользуйтесь равенством x1 + y1 + z1 = x1 y1 z1.

9.91. а) (2, 1, 3, 4).

9.92.

9.93. а) (4/9, 5/9, 1/2, 1/2); б) (8/13, 6/13, 6/13, 6/13).

9.94.

б) Если a = 0, то (x, y) = (2, t) (t R); если a = 1, то решений нет;

в) Если a = 1, то (x, y) = (2 4t, t) (t R); если a = 3, то решений г) Если a = 0, то (x, y) = (t, 2) (t R); если a = ±1, то решений нет;

= (t, t 1) (t R); если a = ±1, то (x, y) = (a2 + 1, a).

е) Если a = 0, то (x, y) = (t, 0) (t R); если a = 1/2, b = 1/2, (x, y) = (1/2 + t, t) (t R); если a = 1/2, b = 1/2, то решений нет; если (x, y) = (t, 1 t) (t R); если a = b = 0, (x, y) = (1 + t, t) (t R);

если a = ±b, то (x, y) = (1, 0).

9.95. Нет. Если x и y — два вектора решений, то решением будет и вектор x + (1 )y при любом действительном.

9.97. Первый игрок всегда может добиться того, чтобы решением системы был вектор (1, 1, 1).

Глава 10.1. Поделите неравенство (x 1)2 0 на x.

10.2. Возведите неравенство в квадрат.

10.3. Воспользуйтесь два раза неравенством задачи 10.2.

10.4. Возведите неравенство в квадрат и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.5. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.6. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.7. Раскройте скобки в неравенстве (x y)2 + (y z)2 + (x z)2 0.

10.8. Воспользуйтесь неравенством предыдущей задачи.

10.9. Сложите неравенства (x1 /2)2 + x2 x1 x2,..., (x1 /2)2 + x 10.11. После упрощений воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.12. После раскрытия скобок получается неравенство задачи 10.7.

10.13. Примените два раза неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: сначала к числам, а потом к их показателям.

10.15. Число 1 + xy всегда положительно. После домножения на это число, неравенство может быть записано в виде (1 ± x)(1 ± y) > 0.

10.16. Сначала докажите неравенство для рациональных и.

10.17. Воспользуйтесь неравенством a2 (bc)2 +b2 (ac)2 +c2 (ab)2 0.

10.18. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

После извлечения квадратного корня задача сводится к неравенству ( x y)4 0.

10.22. Воспользуйтесь неравенством a(bc)2 +b(ac)2 +c(ab)2 0.

10.23. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.24. Воспользуйтесь неравенством 10.25. Воспользуйтесь неравенствами из задач 10.7 и 10.17.

10.27. Докажите сначала неравенство a3 + b3 a2 b + ab2.

10.29. Смотрите задачу 10.22.

10.30. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.31. После домножения на общий знаменатель и сокращений задача сводится к неравенству из задачи 10.27.

10.32. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим (задача 10.11).

10.37. Докажите неравенство по индукции.

10.41. Всегда можно подобрать натуральные x и y так, чтобы выполнялись равенства После замены = a1/x, = b1/y исходное неравенство принимает вид Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

неравенства следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.44. Так как для x из интервала (0; /2) выполняется оценка x < tg x, то 10.46. Если m, n, k произведение из условия задачи с произведениями г) Оцените отдельно произведение 10.50. Выберите fk (x) = ak x2 + bk x.

10.52. Рассмотрите функции fk (x) = ak ex bk (x + 1).

10.53. а) Положите b1 =... = bn = 1. б) Положите a1 =... = = an = 1. в) Положите a1 = b1 c1,..., an = bn cn.

10.55. Пусть l(x) — касательная к графику функции f(x) в точке 1 x1 + 2 x2. Тогда, по определению выпуклости, 1 f(x1 ) + 2 f(x2 ) < 1 l(x1 ) + 2 l(x2 ) = l(1 x1 + 2 x2 ) = f(1 x1 + 2 x2 ).

10.56. Применим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого +... + n = 1. Используя неравенство с n = 2, находим Далее, по предположению индукции, Следовательно 10.58. Воспользуйтесь неравенством Иенсена для следующих функций: а) f(x) = x; б) f(x) = 1/x2 ; в) f(x) = enx ; г) f(x) = 1/x.

10.60. Применяя неравенство Иенсена к функции y = xp, получаем После замены приходим к неравенству или Для получения нужного неравенства остается сделать подстановку 10.63. Для доказательства неравенств достаточно рассмотреть функцию f(x) = ex и точки ln x1,..., ln xn.

Для подсчета пределов воспользуемся приближенной формулой для функции ex, которая верна на отрезке x [1; 1]:

При достаточно малом получим где A = 1 (ln2 x1 +... + ln2 xn ); B = Поэтому 10.71. а) Других нет; б) (5, 1, 1) и (4, 3, 0); (4, 1, 1, 1) и (3, 3, 1, 0).

10.72. Рассмотрите несколько случаев: x = y = z = t; x = y = t, z = 1; x = t, y = z = 1 и сравните степени полученных полиномов от t.

10.73. Очевидно, что достаточно доказать неравенство в случае, когда набор получается из набора сбрасыванием одного «кирпича» на диаграмме Юнга. Проведем доказательство для случая, когда делается заменяется одночленом вида x1 1 x2 +1 x3... xn. Для доказательства неравенства T (x1,..., xn ) T (x1,..., xn ) сгруппируем все одночлены, входящие в данное неравенство парами:

(A = x3... xn 0) и проверим, что разность таких пар всегда неотi3 in рицательна. Действительно, поскольку 1 1 > 2 и разность x1 1 x2 x1 1 x2 имеет тот же знак, что и xi1 xi2.

Частные случае этого рассуждения можно найти в решении задачи 10.75.

10.75. а) Сложите три неравенства вида б) Для преобразования диаграммы Юнга (5, 0, 0) в (2, 2, 1) нужно три шага:

поэтому для непосредственного доказательства неравенства понадобится цепочка из трех неравенств:

Глава г) Ck = Ck Ck = Ck1.

11.3. Для нахождения an можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для этого нужно представить an в виде an = An3 + Bn2 + Cn и определить коэффициенты A, B, C из условия an = n2.

11.4. Найдите последовательность an вида an = An4 + Bn3 + Cn2 + + Dn, для которой an = n3.

11.5. Воспользуйтесь тем, что для четного положительного m выполняется равенство 1/F2m = Fm1 /Fm F2m1 /F2m.

11.6. Утверждение задачи достаточно проверить для Q(x) = xm+1.

В этом случае Q(x) = xm+1 xm = (m + 1)xm +...

11.8. Формула доказывается индукцией по n.

11.10. Воспользуйтесь задачей 11.6. m f(x) = m!am, где am — старший коэффициент многочлена f(x).

11.11. n!/nn.

11.13. Согласно задаче 11.12, для чисел yk = (1)k Ck действи- n тельно выполняются нужные равенства. Поэтому для решения задачи остается показать, что такой набор чисел {yk } единственный с точностью до постоянного сомножителя. Предположим, что таких наборов два: y(1),..., y(1) и y0,..., y(2). Обозначим через 1 и 2 те числа, которые получаются при подстановке в равенство 11.1 наборов {y(1) } и {y(2) } и функции f(k) = kn :

Тогда новый набор чисел y(3) = 2 y(1) 1 y(2) (k = 0,..., n) обладает тем свойством, что для всех многочленов f(x), deg f(x) n. Но многочлен f(x) можно подобрать так, чтобы f(k) = y(3) (k = 0,..., n). Отсюда что противоречит непропорциональности наборов {y(1) } и {y(2) }.

11.12. Воспользуйтесь результатами задач 11.8 и 11.10.

11.15. (an bn ) = an+1 bn + bn an = an bn + bn+1 an.

11.16. an = 2n.

11.15. При n = 1 формула (f(x)g(x)) = f(x + 1)g(x) + f(x)g(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x + 1) легко проверяется. Для доказательства формулы в общем случае применим индукцию. Пусть формула () справедлива для некоторого n.

Тогда применяя её в равенстве n+1 (f(x)g(x)) = n (n f(x)g(x)) = n (f(x)g(x) + f(x)g(x + 1)) получим После сдвига переменной суммирования во второй сумме, приходим к формуле 11.21. б) Для двух многочленов степени n f(x) и g(x) = d0 C0 +d1 C1 + +... + dn Cn справедливы равенства k f(0) = k g(0) (0 k n).

Поэтому они совпадают в точках x = 0, 1,..., n, то есть равны.

11.22. Поскольку многочлен f(x) принимает целые значения в точках x = 0, 1,..., n, то коэффициенты dk, найденные по формулам dk = = k f(0) (см. задачу 11.21), оказываются целыми.

11.27. Если n = 4k + 1 или n = 4k + 2, то независимо от расстановки знаков будет получаться нечетное число. Поэтому задача решения иметь не будет. Исследуем прогрессии n = 4k+3 и n = 4k. Покажем, что для чисел из первой прогрессии задача имеет решение начиная с n = 7, а из второй — начиная с n = 8. Очевидно, что для n = 3 и n = 4 решения не существует. Из равенства n2 (n+1)2 (n+2)2 +(n+3)2 = 4 следует, что из восьми последовательных чисел, подобрав знаки + и, всегда можно получить 0. Поэтому, если задача имеет решение для некоторого n, то она будет иметь решение и для всех чисел n + 8k (k 0). Осталось показать существование решения для n = 7, 11 и 12. Поиск облегчается, если сначала выяснить, для каких комбинаций знаков можно получить 0 по модулю некоторого натурального m, например, для m = 8. Нужные представления устроены следующим образом:

11.28, 11.29 Гармоничность данных функций проверяется по определению.

11.30. Рассмотрим функции которые также будут ограниченными и гармоническими. Пусть функция x f(x, y) не равна нулю тождественно. Допустим, что M = = sup(x,y)Z2 f(x, y). Тогда на плоскости Z2 можно найти квадрат K сколь угодно большого размера (n n), что x f(x, y) > M/2 для всех точек этой области V. Отсюда следует, что функция f(x, y) возрастет при движении внутри K параллельно оси Ox по крайней мере на M·n/2.

Но это противоречит ограниченности f(x, y).

11.31. Проведите доказательство по индукции.

11.33. Согласно задаче 11.32, последовательности {an }=ci xn (i=1,2) для любых c1, c2 являются решениями уравнения (11.2), поэтому их сумма будет удовлетворять тому же уравнению. С другой стороны, числа c1, c2 можно подобрать так, чтобы a0 = c1 + c2, a1 = c1 x1 + c2 x2.

После этого получается, что две последовательности {an } и {c1 xn +c2 xn } удовлетворяют одному и тому же уравнению и имеют одинаковые начальные условия. Согласно задаче 11.31, они совпадают.

в) Из равенства (an +bn 2)(1+ 2) = (an+1 +bn+1 2) находим, что числа an и bn удовлетворяют рекуррентным соотношениям an+1 = an + +2bn, bn+1 = an +bn. Отсюда an+2 2an+1 an = 0, bn+2 2bn+1 bn = (n 0).

11.38. Перейдите к сопряженным числам.

11.41. В явном виде многочлены Фибоначчи и Люка помещены в приложение В, V. Многочлены, стоящие в равенствах а), б) и д) удовлетворяют одному рекуррентному соотношению. Поэтому достаточно проверить лишь выполнение начальных условий. (См. задачу 11.31.) ния, которым удовлетворяют многочлены, стоящие в левых и правых частях и проверьте справедливость начальных условий. Например, многочлены Фибоначчи c четными номерами удовлетворяют равенству 11.46. Пусть an, bn, cn, dn, en, fn обозначают число способов добраться из вершины A за n прыжков до вершин A, B, C, D, E, F соответственно. В силу симметрии задачи, bn = fn, cn = en. Легко видеть, что выполняются равенства Отсюда находим, что все перечисленные последовательности удовлетворяют рекуррентному уравнению xn+4 5xn+2 + 4xn = 0 (n 0). Из начальных условий a0 = 1, a2 = 2, находим a2n = (2 + 4n )/3.

11.47. а) Из рекуррентного уравнения cn+4 5cn+2 + 4cn = 0 (n 0) (см. решение задачи 11.46) и начальных условий c0 = 0, c2 = 1, находим c2n = (4n 1)/3.

б) При условии, что лягушке нельзя прыгать в D, рекуррентное уравнение запишется в виде cn+2 = 3cn (n (n 1). Аналогично a2n = 2 · 3.

в) Вероятность того, что лягушка будет еще прыгать через n секунд равна отношению числа всех путей, не проходящих через D, к общему числу маршрутов. Для четных n имеем:

Для нечетных n:

Лягушка может попасть в вершину D только на нечетном шаге.

Вероятность такого события для шага с номером n = 2k + 1 равна Поэтому средняя продолжительность жизни задается рядом Указанная сумма может быть вычислена при помощи производящей функции Среднее число шагов совпадает со значением производной функции f(t) в точке t = 1:

Ответ: 4 секунды.

11.49. (3n (2)n )/5.

11.50. Сложите данные числа с сопряженными к ним.

11.52. Все решения уравнения x2 17n2 = 1 в натуральных числах могут быть получены по формуле (x1 + n1 17)k = xk + nk 17 (k 1).

11.53. xn = 1/2 sin [(1 + sin 2)n (1 sin 2)n ],.

11.54. Пусть a0 — начальное число орехов, ak — количество орехов, оставшихся в куче после того, как «свою» долю взял k-й моряк. Тогда Отсюда следует, что последовательность {ak } удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению второго порядка Из результата задачи 11.33 следует, что Подставляя это представление в первое рекуррентное соотношение, находим c1 = 4. Чтобы ak было целым числом для каждого k от 0 до 5, константа c2 должна иметь вид c2 = 55 n. Поскольку при n = оставшееся число орехов a5 = 45 4 кратно 5, то наименьшее возможно число орехов в куче равно 55 4. Ответ: 55 4.

11.57. а) an =i/2((2+i)n +(2i)n ); б) an = (1+i)n + (1i)n ;

в) a3n = 1, a3n+1 = 2, a3n+2 = 3; г) an = i((3 4i)n (3 + 4i)n ).

11.58. Воспользуйтесь равенствами 3 n2 = 0 и 4 n3 = 0.

11.59. Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах 2 и 3, получим равенства Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), находим Отсюда lim kCk xk1. Подставляя в эту формулу x = 1, находим сумму из п. а):

Аналогично находится сумма из п. б):

Ответ: а) n · 11.67. Из равенства находим an = Ckn+k1.

11.68. Данное равенство равносильно утверждению, что всякое положительное число может быть записано в десятичной системе счисления и при том только одним способом.

11.69. Как и в предыдущей задаче, примените формулу из задачи 11.63.

11.70. Здесь первое соотношение — замаскированный случай биномиальной теоремы, а второе получается из первого умножением на xm :

11.72. Из задачи 11.71 следует, что число счастливых билетов N Отсюда 11.73. Первое равенство непосредственно следует из определения производной формального степенного ряда. Для доказательства второго равенства сравним коэффициенты при zn в рядах Exp(( + )z) и Равенство этих коэффициентов следует из формулы бинома Ньютона (задача 2.53).

11.74. Заметим, что (смотрите задачу 9.8). Отсюда Поэтому 11.76. Подставьте в производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи z = 1/10. Данная сумма оказывается равна 10/89.

11.78. а) 2; б) 6.

11.81. а) Обозначим искомую сумму через f(x). Применяя формулу для суммы геометрической прогрессии, находим, что б) Как и в задаче 11.65 вторая сумма равна f (1) = 2n (n 2) + 2.

в) Снова, как и в задаче 11.65 б), сумма равна следующей величине г) По формулу из задачи 7.58 а), Искомая сумма равна g (1):

11.83. Проследите за изменением диаграммы Юнга.

11.84. Задачу можно решить используя комбинаторные соображения из задачи 2.67. Если же использовать метод производящих функций, то решение задачи сводится к проверке равенства 11.87. an = q(n), где (n) — число единиц в двоичном представлении числа n.

11.88. Интересующий нас ряд может быть получен из произведения если положить x = 1. При определении знака можно положить a = b = = c = d =. .. = 1. Тогда искомый знак будет согласно задаче 11. равен (1)(n).

11.89. an = Cn.

11.90. x = y/(1 y), y = x/(1 + x). Таким образом, 11.92. Воспользуйтесь равенством из задачи 2.116 и тем, что коэффициент при zn у функции C2 (z) совпадает с правой частью этого равенства.

11.93. Решая квадратное уравнение C(z) = zC2 (z) + 1, находим (знак «минус» выбирается из условия C(0) = 1). Отсюда 11.94. Многочлены Гаусса, как и биномиальные коэффициенты, удобно располагать в виде треугольника:

В явном виде многочлены Гаусса помещены в приложение В, V.

11.95. Свойства б) и в) непосредственно вытекают из а).

Свойство г) доказывается индукцией по k при помощи свойства в).

Свойство д) доказывается индукцией по l при помощи свойства г).

11.96. Поделите числитель и знаменатель функции из определения полиномов gk,l (x) на (1 x)k. Свойства многочленов gk,l (x) при подстановке x = 1 превращаются в равенства из задачи 2.77.

11.97. Sl (x) = 0 при нечетных l и при четных l. Для доказательства применим индукцию. Очевидно, что S0 (x) = 1 и S1 (x) = 0. Задача будет решена, если доказать соотношение Пользуясь свойством в) из задачи 11.95, находим Sl (x) = (1xl1 )g0,l1 (x)(1xl2 )g1,l2 (x)+...+(1)l1 (1x0 )gl1,0 (x).

Применяя равенство (1 xl )gk,l (x) = (1 xk+l )gk,l1 (x) к каждому слагаемому в полученной сумме, приходим к нужному равенству:

Sl (x) = (1 xl1 )(g0,l2 (x) g1,l3 (x) +... ) = (1 xl1 )Sl2 (x).

11.98. в) Рассмотрите симметричную диаграмму Юнга.

г) Разбиению n = a1 + a2 +... + aj, j k, ai l числа n сопоставьте разбиение kln = (la1 )+(la2 )+...+(laj )+l+...+l числа kln, где слагаемое lai отбрасывается, если оно равно нулю, а число слагаемых, равных l, равно k j. Как связаны диаграммы Юнга, соответствующие двум таким разбиениям?

11.101. Воспользуйтесь конструкцией из задачи 2. Глава 12.3. 16/64, 19/95, 26/65, 49/98.

12.5. Приведите равенство к виду Ответ: либо a = 2k, либо b = 2l, либо a + b = 2m.

12.7. Воспользуйтесь тем, что число дней в 400-летнем цикле делится на 7.

12.9. Название племени должно быть словом в их алфавите.

12.10. Среди сомножителей присутствует скобка (x x). Ответ: 0.

12.12. Результат возведения единицы в степень не определен однозначно. Это происходит из-за того, что ln z — многозначная функция.

12.13.

12.14. Отношение длины мили к длине километра равно 1,609..., что мало отличается от числа = 1,618...

[1] Арсак Ж. Программирование игр и головоломок. — М.: Наука, 1990.

[2] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

[3] Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.

[4] Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.

[5] Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.

[6] Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.

[7] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ: Учебник для уч-ся для 10 классов. — М.: Просвещение, 1998.

[8] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ: Учебник для уч-ся для 11 классов. — М.: Просвещение, 1998.

[9] Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, [10] Гарднер М. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

[11] Гарднер М. Математические новеллы — М.: Мир, 1974.

[12] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.

[13] Грэхем Р. Л., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998.

[14] Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. — [15] Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. — М.: Мир, 1992.

[16] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М.: МЦНМО, 2001.

[17] Моденов П. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979.

[18] Нивен Р. Числа рациональные и иррациональные. — М.: Мир, 1966.

[19] Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970.

[20] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Алгебра. — М.:

[21] Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2000.

[22] Соминский И. С. Элементарная алгебра: Дополнительный курс. — М.:

Физматгиз, 1962.

[23] Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. — М.: ГИТТЛ., 1937.

[24] Сушкевич А. К. Теория чисел. — Харьков: изд-во Харьк. гос. ун-та им.

А. М. Горького, 1954.

[25] Табачников С. Л. Многочлены. — М.: Фазис, 1996.

[26] Уфановский В. А. Математический аквариум. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2000.

[27] Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.

[28] Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.

[29] Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.

[30] Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры. — М.: Фонд математического образования и просвещения, 2000.

[31] Яглом И. М. Комплексные числа. — М.: ГИФМЛ, 1963.

[32] Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие. — М.: Наука, 1988.

[33] Василенко О. Н., Галочкин А. И. Сборник задач по теории чисел. — М.:

изд-во Моск. ун-та, 1995.

[34] Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. — М.: Наука, 1986.

[35] Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре. — М.: Просвещение, 1999.

[36] Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1986.

[37] Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. — М.: Наука, 1996.

[38] Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические олимпиады. — Киров: АСА, 1994.

[39] Избранные задачи: Сборник. — М.: Мир, 1977.

[40] Кречмар В. А. Задачи по алгебре. — М.: Учпедгиз, 1940.

[41] Кречмар В. А. Задачник по алгебре. — М. — Л.: ОНТИ, 1937.

[42] Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. — М.: Просвещение, [43] Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957.

[44] Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Тулайков А. Н., Шабунин М. И. Задачи по элементарной математике. — М.: Физматгиз, 1962.

[45] Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1. — М.: Наука, 1978.

[46] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.

[47] Пржевальский Е. М. Сборник алгебраических задач повышенной трудности. Ч. 1 – 4. — М.

[48] Рождественский В. В., Панкратьев Е. В., Мельников И. И., Вавилов В. В. Математический тренинг. — М.: изд-во Учебно-научного центра довузовского образования МГУ, 1997.

[49] Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ. Ч. 1 – 3. — М.: школа им. А. Н. Колмогорова, 1998.

[50] Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: В 3 ч. Ч. 1. Арифметика и алгебра. — М.: Наука, 2001.

[51] Башмаков М. И., Беккер Б. М., Гольховой В. М. Задачи по математике.

Алгебра и анализ. — Вып. 22. — М.: Наука, 1982.

[52] Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — Вып. 64. — М.:

Наука, 1988.

[53] Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — Вып. 56. — М.: Наука, 1986.

[54] Хонсбергер Р. Математические изюминки. — Вып. 83. — М.: Наука, 1992.

Серия «Популярные лекции по математике»

[55] Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. — Вып. 35. — М.: Наука, 1968.

[56] Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — Вып. 39. — М.: Наука, 1963.

[57] Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — Вып. 6. — М.: Наука, 1984.

[58] Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геометрии. — Вып. 21. — М.:

Наука, 1961.

[59] Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — Вып. 47. — М.: Наука, [60] Коровкин П. П. Неравенства. — Вып. 5. — М.: Наука, 1983.

[61] Маргулис Б. Е. Системы линейных уравнений. — Вып. 34. — М.: Наука, [62] Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. — Вып. 1. — М.: Наука, 1950.

[63] Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — Вып. 13. — М.: Наука, 1979.

[64] Скорняков Л. А. Системы линейных уравнений. — Вып. 59. — М.: Наука, [65] Соминский И. С. Метод математической индукции. — Вып. 3. — М.: Наука, 1974.

[66] Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — Вып. 43. — М.: Наука, 1979.

[67] Шишкин Ю. А. Неподвижные точки. — Вып. 60. — М.: Наука, 1989.

[68] «Квант» за 30 лет (путеводитель). — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 1).

[69] Абрамович В. Признаки делимости на l // № 10. 1978.

[70] Абрамович В. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // № 5.

[71] Аврамов А. Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля // [72] Алексеев Р., Курляндчик А. Тригонометрические подстановки // № 2.

1995. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[73] Алексеев Р., Курляндчик А. Сумма минимумов и минимум суммы // [74] Арнольд В. Меандры // № 3. 1991.

[75] Атамускас М. Квадратный трехчлен // № 9. 1971.

[76] Ашманов С. Числа и многочлены // № 2. 1980.

[77] Балк Г., Балк М. Мнимые числа и геометрические задачи // № 3. 1973.

[78] Балк М., Мазалов М. Как же доказать это неравенство? // № 6. 1995.

[79] Башмаков М. Нравится ли вам возиться с целыми числами? // № 3.

1971. — То же // Математический кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[80] Башмаков М. О постулате Бертрана // № 5. 1971. — То же // № 1. 1990.

[81] Белага Э. Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней // № 7.

[82] Бельский А., Садовский Л. Кольца // № 2. 1974.

[83] Бендукидзе А. Золотое сечение // № 8. 1973.

[84] Бендукидзе А. Треугольник Паскаля // № 10. 1982.

[85] Бендукидзе А., Сулаквелидзе А. Вычисление сумм // № 9. 1970.

[86] Берколайко С. Интеграл помогает доказать неравенство Коши // № 8.

[87] Берколайко С. Использование неравенства Коши при решении задач // [88] Бескин Н. Бесконечные цепные дроби // № 8. 1970.

[89] Бескин Н. Цепные дроби // № 1. 1970.

[90] Болибрух А., Уроев В., Шабунин М. Квадратный трехчлен // № 9.

1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[91] Болтянский В. Квадратное уравнение // № 6. 1992. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[92] Болтянский В. Метод итераций // № 3. 1983.

[93] Болтянский В. Шесть зайцев в пяти клетках // № 2. 1977.

[94] Бронштейн И. Парабола // № 4. 1975.

[95] Брудно А. Метод Лобачевского // № 4. 1989.

[96] Булавко И. Удивительные равенства // № 9. 1972.

[97] Вавилов В. Сетчатые номограммы // № 9. 1978.

[98] Вавилов В., Мельников И. Касательная // № 5. 1978.

[99] Вагутен В. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // № 6.

[100] Вагутен В. Сопряженные числа // № 2. 1980.

Вагутен В. Числа Ck, многочлены, последовательности // № 2. 1973.

[102] Вайнштейн Ф. Разбиение чисел // № 11/12. 1988.

[103] Варпаховский А. Тайны совершенных чисел и дружественных пар // [104] Васильев Н., Гутенмахер В. Арифметика и принципы подсчета // № 1, 1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[105] Васильев Н., Гутенмахер В. Комбинаторика — многочлены — вероятность // № 1. 1986.

[106] Васильев Н., Гутенмахер В. Пары чисел и действия с ними // № 1. 1985.

[107] Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения // № 1. 1982.

[108] Васильев Н., Маликов Т. Рассмотрим разность // № 6. 1981.

[109] Васильев Н., Сендеров В. Про угол /7 и 7 // № 2. 1996.

[110] Вертгейм Б. Метод неподвижной точки // № 6. 1980.

[111] Виленкин А. Сокращение алгебраических дробей // № 11. 1970.

[112] Виленкин Н. В таинственном мире бесконечных рядов // № 10. 1989.

[113] Виленкин Н. Комбинаторика // № 1. 1971.

[114] Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов // № 10. 1978.

[115] Винниченко А. Квадратичный треугольник и непрерывные цепочки [116] Винниченко А. Простые числа, математическая статистика и... ЭВМ [117] Власов А. Сравнение чисел // № 2. 1986. — То же // Школа в «Кванте».

Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[118] Воронин С., Кулагин А. Метод производящих функций // № 5. 1984.

[119] Галкин Е. Рационально или иррационально? // № 5. 1977.

[120] Гальперин Г. Просто о простых числах // № 4. 1987. — То же. // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[121] Гарднер М. Числа Каталана // № 7. 1978.

[122] Гашков С. Задача Чебышёва и тригонометрические многочлены // № 6.

[123] Гик Е. Две игры // № 3. 1988.

[124] Гиндикин С. «Великое искусство» // № 9. 1976.

[125] Гиндикин С. Малая теорема Ферма // № 10. 1972.

[126] Гиндикин С. О пользе чисел «поистине софистических» // № 6. 1983. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 6).

[127] Гиндикин С. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь... // № 9.

[128] Гольдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия // № 9. 1990.

[129] Гончаров А. Арифметика гауссовых чисел // № 12. 1983.

[130] Горнштейн П. Тригонометрия помогает алгебре // № 5. 1989. — То же // Практикум абитуриента. Математика (алгебра и тригонометрия). — М.: Бюро «Квантум», 1995. — (Прил. к журналу «Квант». № 3).

[131] Гутенмахер В. Неравенства с фуксированной суммой // № 9. 1979. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.:

Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[132] Гутенмахер В. Системы линейных уравнений // № 1. 1984.

[133] Дворянинов С., Ясиновый Э. Как получаются симметричные неравенства // № 7. 1985. — То же // Матем. кружок. Вып. 3. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 3).

[134] Депман И. Совершенные числа // № 8. 1971. — То же // № 5. 1991.

[135] Дорофеев Г. Как расположены корни трехчленов? // № 7. 1986.

[136] Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа // № 4. 1998.

[137] Жуков А. Узы дружбы в мире чисел // № 6. 1999.

[138] Егоров А. Деление с остатком и сравнение по модулю // № 6. 1991. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.:

Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[139] Егоров А. О дискриминанте // № 6. 1992. — То же // Школа в «Кванте».

Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[140] Егоров А. Решетки и правильные многоугольники // № 2. 1974.

[141] Егоров А. Решим относительно параметра // № 4. 1997.

[142] Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // № 5. 1970.

[143] Егоров А. Уравнения и пределы // № 10. 1977. — То же // Матем.

кружок. Вып. 3. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу [144] Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики // № 3/4. 1993. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[145] Жаутыков О. График кубического трехчлена // № 6. 1972. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу [146] Жиглевич А., Петров Н. О четырех решениях уравнения x2 = x // № 11.

[147] Земляков А. Как выглядит парабола? // № 3. 1978.

[148] Иванов Ю. Сколько вариантов? // №№ 11, 12. 1980. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[149] Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // № 4. 1990.

[150] Ионин Ю., Плоткин А. Выбор модуля // № 6. 1984. — То же // Матем.

кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу [151] Камнев Л. Иррациональность суммы радикалов // № 2. 1972.

[152] Кириллов А. О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма // № 7. 1977. — То же // № 6. 1994.

[153] Клумова И., Фукс Д. Формула существует, но... // № 9. 1976. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу [154] Колмогоров А. Решето Эратосфена // № 1. 1974. — То же // № 3. 1984.

[155] Конюшков А. Неравенство Коши – Буняковского // № 8. 1987.

[156] Копрински С. Формулы Виета // № 4. 1987.

[157] Кордемский Б. Так или не так действовал Ферма? // № 7. 1972.

[158] Кордемский Б. Этому виду задач более 1600 лет // № 4. 1973.

[159] Коробов А. Простые числа и постулат Бертрана // № 4. 1998.

[160] Котляр Б. Сколько у числа делителей? // № 4. 1994.

[161] Крейн М., Нудельман А. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними // № 9. 1981.

[162] Кудреватов Г. Сравнения // № 9. 1972.

[163] Кузьмин Е., Ширшов А. О числе e // № 8. 1979.

[164] Курляндчик Л. Приближение к экстремуму // № 1. 1981. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[165] Курляндчик Л., Лисицкий А. Как придумать комбинаторное тождество [166] Курляндчик Л., Лисицкий А. Суммы и произведения // № 10. 1978.

[167] Курляндчик Л., Розенблюм Г. Метод бесконечного спуска // № 1. 1978. — То же // Матем. кружок. Вып. 3. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил.

[168] Курляндчик Л., Фомин С. Теорема Виета и вспомогательный многочлен [169] Кушнир И. Геометрические решения негеометрических задач // № 11.

[170] Левин А. Что такое комбинаторика // №№ 5, 6. 1999.

[171] Матиясевич Ю. Формулы для простых чисел // № 5. 1975.

[172] Матулис А., Савукинас А. «Ферзя — в угол», «цзяньшицзы» и числа [173] Мешойрер Р. Комбинаторные доказательства формулы Ньютона // № 9.

[174] Мордкович А. Экстремумы многочлена третьей степени // № 11. 1974.

[175] Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о цепных дробях // № 5. 1983.

[176] Оре О. Простые числа Ферма // № 12. 1979.

[177] Орлов А. Принцип Дирихле // № 3. 1971.

[178] Пекарскас В. Геометрия комплексных чисел // № 6. 1973.

[179] Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства // [180] Понтрягин Л. Комплексные числа // № 3. 1982. — То же // № 2. 1983. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 6).

[181] Понтрягин Л. Кубическая парабола // № 3. 1984. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант».

[182] Понтрягин Л. Основная теорема алгебры // № 4. 1982. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу [183] Пресман А. Решение квадратных уравнений при помощи циркуля и [184] Прохоров А. Золотая спираль // № 9. 1984.

Раббот Ж. Знаете ли вы, что 220 В/127 В 3? // № 11. 1978.

[185] [186] Раббот Ж. Тригонометрические функции // № 5. 1972.

[187] Радемахер Г., Теплиц О. Об одном свойстве числа 30 // № 3. 1992.

[188] Радемахер Г., Теплиц О. Периодические десятичные дроби // № 2. 1994.

[189] Резников А. Формула Кардано и геометрия // № 9. 1976.

[190] Рубинштейн А. О кубических уравнениях // № 2. 1998.

[191] Савин А. Двенадцать долларов, ним и шоколадка // № 12. 1991.

[192] Савин А. Дружественные числа и простые числа-близнецы // № 9. 1988.

[193] Савин А. Замечательные числа // № 4. 1987.

[194] Савин А. Многочлены // № 3. 1991.

[195] Савин А. Ханойская башня // № 11. 1991.

[196] Савин А. Числа Фибоначчи // № 3. 1988.

[197] Савин А. Числа 2 и e // № 6. 1996.

[198] Савин А. Число Фидия — золотое сечение // № 6. 1997.

[199] Савин А. Число // № 6. 1996.

[200] Садовский Л., Аршинов М. Двоичное кодирование // № 7. 1979.

[201] Севрюк М. Вариации на тему классических неравенств // № 5. 1979.

[202] Седракян Н. О применении одного неравенства // № 2. 1997.

[203] Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // №№ 1, 3. 2000.

[204] Сидоров Ю. Аргумент комплексного числа // № 4. 1974.

[205] Силкин Б. С корнем квадратным сквозь историю // № 6. 1973.

[206] Скопец З. Сравнение средних двух положительных чисел // № 2. 1971.

[207] Смышляев В. Применение неравенства Коши – Буняковского к решению некоторых задач // № 1. 1972.

[208] Соловьев Ю. Комплексные числа // № 7. 1991. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[209] Соловьев Ю. Неопределенные уравнения первой степени № 4. 1992. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[210] Спивак А. Математический праздник. Ч. III. — М.: Бюро «Квантум», 2001. — (Прил. к журналу «Квант». № 4).

Столяр В. Признак делимости на числа вида 10n ± 1 // № 4. 1987.

[211] [212] Табачников С. Геометрия уравнений // № 10. 1988.

[213] Табачников С. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля // № 6.

1990. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 6).

[214] Тадеев В. Простые, двойные, гармонические // № 7. 1982.

[215] Тихомиров В. Теорема Чебышёва о распределении простых чисел // [216] Толпыго А. Игра «Йога»// № 9. 1978.

[217] Тоом А. Дама с собачкой // № 2. 1990. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 6).

[218] Удивительные приключения периодических дробей // № 8. 1989.

[219] Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // №№ 7, 10.

1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).

[220] Финк Л. Еще раз о счастливых билетах // № 12. 1976.

[221] Флейшман Д. Китайская теорема об остатках и гипотеза Ченцова // [222] Фомин С. Разложение на множители // № 7. 1983.

[223] Фукс Д. О раскрытии собок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях // № 8. 1981.

[224] Фукс Д. Формулы для sin nx и cos nx // № 6. 1986.

[225] Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // № 6.

[226] Фукс Д., Фукс М. О наилучших приближениях // № 6. 1971.

[227] Фукс Д., Фукс М. Рациональные приближения и трансцендентность // [228] Хаплатов М. Трансцендентные числа // № 1. 1976. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу [229] Хитрук В. Таблица составных чисел // № 9. 1984.

[230] Шевелев В. Три формулы Рамануджана // № 6. 1988. — То же // Матем.

кружок. Вып. 3. — М: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу [231] Шестопал Г. Как обнаружить фальшивую монету // № 10. 1979.

[232] Ширшов А. Об одной комбинаторной задаче // № 9. 1979. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[233] Шкапенюк М. Выпуклость функций и доказательство неравенств // № 3. 1980. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[234] Шуликовская В. Неравенство Коши и объемы // № 9. 1990.

[235] Яглом И. Две игры со спичками // № 2. 1971. — То же // № 1. 1992.

[236] Яглом И. Заплаты на кафтане // № 2. 1974.

[237] Яглом И. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики // [238] Яглом И. Почти простые числа // № 9. 1981.

[239] Янкелевич В. «Неприводимый» случай // № 11. 1971.

[240] Ярский А. Как доказать неравенство // № 2. 1997.

[241] Ярский А. Рациональные корни многочлена // № 6. 1995.

[242] Ясиновый Э. Геометрия помогает решать уравнения // № 12. 1984.

[243] Кноп К. Все врут календари // № 21. 1998.

[244] Кноп К. «Да» и «Нет» не говорите // № 3. 1998.

[245] Кноп К. 12 монет // № 51. 1997.

[246] Кноп К. Классические головоломки // № 25. 1999.

[247] Кноп К. Мини-конкурс для программистов // № 48. 1997.

[248] Кноп К. Ним-игры // № 20. 1998.

В данное приложение помещена программа курса алгебры, читавшегося в школе им. А. Н. Колмогорова на двухгодичном потоке. Темы, взятые в квадратные скобки, включались в курс по усмотрению лектора.

Тема 1. Метод математической индукции. Натуральные числа.

Принцип математической индукции. Доказательство тождеств и неравенств.

Применение индукции в геометрии и комбинаторике.

Тема 2. Комбинаторика. Множества и операции с ними. Основные правила комбинаторики. Принцип Дирихле. Перестановки. Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки с повторениями (анаграммы).

Биномиальная и полиномиальная теоремы. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля и его свойства. Сочетания с повторениями.

Функции на множествах. [Формула включений-исключений. Ее приложения.] Тема 3. Целые числа. Простые числа. Делимость с остатком и без остатка. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Линейное представление наибольшего общего делителя. Решение неопределенных уравнений первой степени в целых числах. Основная теорема арифметики. Теоретико-числовые функции. [Формула Лежандра для максимальной степени простого числа, делящего факториал. Цепные дроби.

Уравнение Пелля.] Тема 4. Сравнения. Отношение эквивалентности. Классы вычетов.

Сравнения и их свойства. Неразрешимость некоторых уравнений в целых числах. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера и ее свойства. Решение сравнений с одним неизвестным. Теоремы Ферма, Эйлера, Вильсона. Длина периода бесконечной десятичной дроби рационального числа. Китайская теорема об остатках. [Признак делимости Паскаля.] Тема 5. Рациональные и иррациональные числа. Доказательство иррациональности радикалов. Метод спуска. Теорема о рациональных корнях многочлена. Иррациональность значений тригонометрических функций.

Сопряженные числа. Избавление от иррациональности в знаменателе. [Десятичное представление рациональных чисел. Свойства периодов.] Тема 6. Многочлены. Квадратный трехчлен и фазовая плоскость. Результант двух многочленов второй степени. Деление многочленов с остатком.

Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное представление наибольшего общего делителя. Теорема Безу. Схема Горнера. Теорема о числе корней многочлена. Ряд Тэйлора для многочлена. Теорема единственности. ОднозначПрограмма курса ность разложения многочлена на неприводимые сомножители. Многочлены с кратными корнями. Избавление от кратных корней. Теорема Виета. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Симметрические системы алгебраических уравнений. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Формула Кардано. Формулировка теоремы Руффини – Абеля. Необходимость введения комплексных чисел. [Интерполяционный многочлен Ньютона. Правило знаков Декарта.] Тема 7. Комплексные числа. Комплексные числа и операции с ними.

Геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел; модуль и аргумент. Алгебраическое извлечение квадратного корня из комплексного числа. Решение квадратных уравнений над множеством комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Корни из единицы. Решение уравнений третьей степени при помощи комплексных чисел. [Неприводимый случай кубического уравнения. Суммирование ряда обратных квадратов при помощи комплексных чисел и теоремы Виета.] Тема 8. Отображения комплексной плоскости. Пути и отображения комплексной плоскости. Основная теорема алгебры. Разложение на неприводимые многочлены над действительными и комплексными числами. [Принцип аргумента. Теорема Штурма о корнях тригонометрического полинома.] Тема 9. Неразрешимость трех классических задач на построение. Построения циркулем и линейкой с алгебраической точки зрения.

Числовые поля. Понятие квадратичного расширения числового поля. Алгебраические числа. Трансцендентность числа (без доказательства). Невозможность квадратуры круга. Теорема о невозможности построения циркулем и линейкой корней кубического уравнения. Невозможность удвоения куба.

Невозможность трисекции угла. Невозможность построения правильного семиугольника. [Построение правильных пятиугольника и семнадцатиугольника.] Тема 10. Последовательности и ряды. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Метод конечных разностей. Суммирование последовательностей. Линейные рекуррентные последовательности второго порядка.

Формула n-го члена. Метод производящих функций. Формальные степенные ряды. Числа Фибоначчи. Формула Бине.

Тема 11. Неравенства, уравнения, системы. Доказательство неравенств. Возвратные уравнения. Уравнения с целыми коэффициентами. Метод подстановок и сведение уравнений к системам. Тригонометрические замены.

Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод Ньютона. Метод итераций. Решение уравнений рекуррентного типа. Системы линейных уравнений. Аналитические методы решения задач с параметрами.

Указанная литература послужила источником задач и теоретического материала. Здесь также указаны ссылки на публикации, которые могут служить учебными пособиями или содержат более обширный материал по данной теме.

Ссылки после названия главы указывают на литературу, которая имеет отношение к содержанию всей главы. Издания, выделенные жирным шрифтом содержат наиболее полную информацию по соответствующему вопросу.

1 Метод математической индукции: [16], [38], [51].

1 Аксиома индукции: [32], [35], [52].

2 Тождества, неравенства и делимость: [7], [32], [35], [36], [58], [60], [65].

3 Индукция в геометрии и комбинаторике: [1], [6], [9], [36], [58], [195].

2 Комбинаторика: [6], [14], [29].

1 Сложить или умножить?: [8], [30], [38], [51], [113], [148], [170].

2 Принцип Дирихле: [26], [35], [36], [38], [46], [51], [93], [177].

3 Размещения, перестановки и сочетания: [8], [11], [13], [19], [30], [38], [39], [40], [51], [66], [71], [84], [101], [113], [165], [170], [173], [224], [225].

4 Формула включений и исключений: [30], [51], [104], [170], [236].

5 Числа Каталана: [13], [74], [121], [232], [246].

3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики: [5], [13], [33], [34], [36], [37], [38], [42], [49].

1 Простые числа: [10], [16], [24], [30], [54], [80], [115], [116], [120], [192], [152], [154], [157], [159], [171], [176], [187], [215], [238].

2 Алгоритм Евклида: [9], [16], [24], [30], [35],[43], [59], [99], [104], [158], [175], [203], [209].

3 Мультипликативные функции: [39], [54], [103], [104], [134], [192], [160], [203], [137].

4 О том, как размножаются кролики: [9], [11], [41], [47], [54], [57], [83], [193], [172], [184], [196], [198], [235], [237].

5 Цепные дроби: [9], [24], [26], [28], [57], [88], [89], [175], [226], [243].

4 Арифметика остатков: [5], [13], [33], [37], [38], [42], [49], [50].

1 Четность: [9], [26], [216].

2 Делимость: [26], [142], [177], [229], [203].

3 Сравнения: [24], [26], [79], [82], [105], [114], [125], [138], [142], [144], [150], [162], [167], [203].

4 Теоремы Ферма и Эйлера: [10], [15], [24], [114], [125], [144], [152], [188], [203], [238].

5 Признаки делимости: [9], [10], [56], [69], [211].

6 Китайская теорема об остатках: [138], [146], [221].

5 Числа, дроби, системы счисления:

1 Рациональные и иррациональные числа: [5], [10], [16], [18], [26], [30], [32], [33], [37], [41], [48], [51], [136], [100], [119], [140], [151], [163], [167], [203], [219], [227], [228], [197], [199].

2 Систематические дроби: [15], [37], [127], [188], [218].

3 Двоичная и троичная системы счисления: [1], [13], [34], [123], [191], [200], [210], [231], [244], [245], [247], [248].

6 Многочлены: [7], [21], [25], [32], [41].

1 Квадратный трехчлен: [35], [43], [48], [50], [75], [90], [91], [94], [97], [98], [135], [139], [141], [147], [183], [212].

2 Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу: [20], [23], [30], [50], [81], [111].

3 Разложение на множители: [22], [30], [43], [50], [222].

4 Многочлены с кратными корнями: [20], [23], [30], [43], [212].

5 Теорема Виета: [22], [23], [44], [48], [50], [156], [168], [194].

6 Интерполяционный многочлен Лагранжа: [23], [30], [101], [194].

7 Комплексные числа: [8], [20], [31], [63], [77], [126], [217].

1 Комплексная плоскость: [23], [32], [39], [41], [43], [47], [50], [51], [76], [107], [112], [122], [129], [178], [180], [186], [204], [208], [213], [224].

2 Преобразования комплексной плоскости: [17], [182].

8 Алгебра + геометрия:

1 Геометрия помогает алгебре: [26], [48], [109], [169], [242].

2 Комплексные числа и геометрия: [17], [31], [77], [214].

3 Тригонометрия: [41], [44], [50], [230].

9 Уравнения и системы: [41].

1 Уравнения третьей степени: [25], [43], [44], [50], [97], [124], [126], [145], [153], [174], [181], [189], [190], [212], [230], [239].

2 Тригонометрические замены: [72], [130].

3 Итерации: [19], [23], [34], [51], [55], [67], [92], [95], [110], [143], [161], [205].

4 Системы линейных уравнений: [32], [36], [43], [50], [61], [64], [132], [135].

10 Неравенства: [2], [27], [32], [34], [38], [48], [49], [51], [179].

1 Различные неравенства: [3], [35], [41], [43], [47], [50], [53], [73], [78], [86], [87], [117], [128], [131], [139], [155], [164], [201], [202], [206], [207], [234], [240].

2 Суммы и минимумы: [73] 3 Выпуклость: [3], [60], [149], [233].

4 Симметричные неравенства: [133], [179].

11 Последовательности и ряды:

1 Конечные разности: [10], [12], [13], [30], [37], [47], [70], [85], [101], [108], [166].

2 Рекуррентные последовательности: [12], [13], [47], [57], [62], [100], [106].

3 Производящие функции: [6], [19], [30], [45], [47], [57], [101], [102], [107], [112], [118], [165], [220], [223].

4 Многочлены Гаусса: [21], [30], [41].

12 Шутки и ошибки: [4], [9], [13], [39], [96].

I. Греческий алфавит II. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи III. Степени, числа Каталана, факториалы IV. Константы Десятичная запись констант, наиболее часто возникающих в задачах (40 знаков):

2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85697...

3 = 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428...

5 = 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406...

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972...

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572...

= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203...

Двоичная запись тех же констант (40 знаков):

2 = 1,01101 01000 00100 11110 01100 11001 11111 10011...

3 = 1,10111 01101 10011 11010 11101 00001 01100 00100...

5 = 10,00111 10001 10111 01111 00110 11100 10111 11110...

= 11,00100 10000 11111 10110 10101 00010 00100 00101...

e = 10,10110 11111 10000 10101 00010 11000 10100 01010...

= 1,10011 11000 11011 10111 10011 01110 01011 11111...

V. Многочлены 1. Многочлены Чебышёва:

T7 (x) = 64x7 112x5 + 56x3 7x, U7 (x) = 128x7 192x5 + 80x3 8x.

2. Многочлены Фибоначчи и Люка:

F2 (x) = x, F9 (x) = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1, L9 (x) = x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x.

3. Многочлены Гаусса:

VI. Основные тригонометрические тождества 4. Формулы приведения:

5. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов:

6. Тригонометрические функции кратных аргументов:

7. Тригонометрические функции половинного аргумента:

8. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

9. Суммы и разности тригонометрических функций:

10. Произведения тригонометрических функций:

11. Степени тригонометрических функций:

12. Введение вспомогательного аргумента:

13. Решение простейших тригонометрических уравнений:

VII. Таблица квадратов VIII. Таблица простых чисел В таблицу помещены первые 275 простых чисел.

Алгоритм вавилонский вычисления — Евклида 29 – 33, 40, 42, — — для многочленов 84 – — жадный 174, Алфавит греческий — племени Мумбо-Юмбо 13, Анаграммы Аргумент комплексного числа Бином Ньютона 18, 21, 106, 182, 212, Биномиальный коэффициент 106, Вероятность 23, 156, Деление с остатком многочленов — — порядка n Диаграмма Юнга 147, 148, 162, — квадратный из комплексного — — мажорирующая 147, 148 — многочлена кратный — кубического уравнения 124 — — рациональный Дискриминантная кривая для ку- — цифровой бического уравнения 124 Коэффициенты биномиальные Дроби бесконечные непрерывные — — обобщенные — — периодические 45 – 46 Круговое свойство дробно-линейчисто периодические 45 ных отображений — — периодические — — чисто периодические 73 Лягушка путешественница — цепные (непрерывные) 41 – — Леонардо Пизанского 37 — возведения в степень, бинарный — Лобачевского — математической индукции 6 – — неопределенных коэффициен- — — арифметики — Лагранжа интерполяционный — комплексной плоскости 108 – — Люка 155, 160, 231, — положительный 108 Параллельный перенос — симметрический 93 – 96, 146 – Перестановка 16, — Фибоначчи 155, 160, 231, 254 — непрерывной дроби — Чебышёва 103, 155, 160, 210, 254 Поворот — элементарный симметрический Последовательность линейная рекуррентная 153 – Модуль комплексного числа 99 — Морса Набор показателей — — мажорирующий — — несравнимый Наибольший общий делитель многочленов 87 — непрерывной дроби Наименьшее общее кратное 32 — комплексной плоскости 108 – Неполные частные Неравенство 140 – — Бернулли — Гёльдера — Иенсена 145, 226, — Коробова — Коши – Буняковского — между средним арифметичеПринцип Дирихле 14 – 16, 52, 58, ским и средним геометрическим 9, 144, — симметрическое 146 – 148 — — чисел Каталана Прямая корневая 83, 124 Теорема Безу 84, 203, 204, Радикальная ось Радикальный центр Разбиение прямоугольника — числа 161 – Размещения Результант Ряд обратных квадратов — формальный степенной 157 – Свойства подходящих дробей 42 – — сравнений — чисел Фибоначчи Свойство шестиугольника Система вычетов полная 53, — — приведенная 60, — сравнений 65 – — — в остатках — — двоичная 36, 73, 75 – 80, 201 – 202, 236, — — десятичная 73 – — — позиционная — — троичная 75 – — — факториальная — — фибоначчиева 38, — уравнений, линейных 136 – Сочетания Сравнения 53 – — с одним неизвестным Среднее арифметико-гармоничеКассини 37, — арифметико-геометрическое — гармоническое — геометрико-гармоническое — квадратическое — степенное 145 – Степень точки относительно окружности Схема Горнера 88, Счастливые билеты 159, 234 Уравнение биквадратное Уравнение кубическое 122 – 126 Функция производящая чисел Люка — — неприводимый случай — характеристическое 153 – Фазовая плоскость для квадратного уравнения — — для кубического уравнения Факториал 7, Формула n-го члена линейной ре- Числа автоморфы куррентной последовательно- — гармонические — для чисел Каталана 26, 163, 236 — Евклида, en 28, — Бине 39, 155, 160, 182 — из электрической розетки — включений и исключений 23 – — иррациональные 69 – — — итерационная 128 — комплексно сопряженные — Кардано 123, 124, 218 – 219 — комплексные 99 – — Лежандра 36, 181, 189 — Люка Ln 40, 135, 155, 160, 183, — Ньютона, интерполяционная — несоизмеримые — сложного радикала 71 — рациональные 69 – — сокращенного умножения 89 — совершенные 35, 63, — Тэйлора для многочлена 89 — составные 27 – Функция (n) 76, 200, 236 — Фибоначчи, Fn 36 – 41, 47, 119, — (n) 34 – 35, — вполне мультипликативная 35 — 2 46, — выпуклая вверх (вниз) 144 — 1/ — мультипликативная 33 – 36 — i 5, — показательная от комплексного — Фейнмана — производящая 157 – — — многочленов Люка 160 Шахматный город — — — Фибоначчи 2. Алгоритм Евклида для многочленов непрерывного математического образования Подписано в печать 27.6.2002 г. Формат 60 90 1/16. Бумага офсетная № 1.

Печать офсетная. Печ. л. 16,5. Тираж 2000 экз. Заказ № 121002, Москва, Большой Власьевский пер., Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Облиздат».

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241–72–85. E-mail: [email protected]