МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

ПРОГРАММА

вступительного экзамена в аспирантуру по направлению

01.06.01 — Математика и механика

Хабаровск 2014 год Вопросы к вступительному экзамену по специальной дисциплине направленности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

1. Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл.

Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.

2. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

3. Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши.

4. Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Теорема Д.Ф.

Егорова, С-свойство. Абсолютно непрерывные функции.

5. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства.

Гильбертовы пространства. Изоморфизм L2 и I2. Сходимость в среднем.

6. Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма.

7. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты.

Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье.

8. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли.

9. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.

10.Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями.

Приведение матрицы, линейного оператора к жордановой форме.

11.Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям.

12.Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий 2-го порядка.

13.Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизмах.

14.Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.

15.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

16.Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности.

17.Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

18.Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробнолинейные преобразования.

19.Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.

20.Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.

21.Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.

22.Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии.

23.Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Теорема Менье.

Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова кривизна поверхности.

24.Понятие топологического пространства. Понятие топологического и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связность, ковариантное дифференцирование, тензор кривизны).

25.Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Геодезические линии.

26.Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса.

Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция.

Вихрь.

27.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения. Случай линейных уравнений.

28.Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений по начальным условиям и по параметру. Уравнения в вариациях.

29.Теорема о выпрямлении векторного поля.

30.Линейные системы. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля. Метод вариации постоянных.

31.Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Экспонента линейного оператора. Системы с правой частью в виде квазимногочлена.

32.Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению.

33.Особые точки линейных систем на плоскости.

34.Первые интегралы. Теорема о существовании полной системы интегралов.

Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.

Задача Коши.

35. Обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями.

Фундаментальные решения операторов с постоянными коэффициентами.

36. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство.

Единственность решения задачи Коши.

37.Формула Кирхгофа и Пуассона для волнового уравнения. Качественное исследование задачи Коши для волнового уравнения.

38. Смешанная задача для волнового уравнения, решение ее методом Фурье (обоснование метода Фурье в случае одной пространственной переменной), единственность решения.

39. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Функция Грина для задачи Дирихле и ее свойства. Функция Грина для шара. Решение задачи Дирихле 40.Свойства гармонических функций: теорема о среднем, принцип максимума, теорема Лиувилля, теорема об устранимой особенности.

41.Задачи Дирихле и Неймана. Единственность. Условие разрешимости задачи Неймана. Внешние задачи, сведение их к внутренним задачам.

42.Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача. Принцип максимума для слоя. Интеграл Пуассона.

Основная литература 1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М: ФИЗМАТЛИТ, 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Классический университетский учебник. – М:

ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 843 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 томах. Учебник для вузов, 1Том – М: Наука, 2003. – 704 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 томах. Учебник для вузов, 2 Том – М: Наука, 2004. – 720 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 томах. Учебник для вузов, 3Том – М: Наука, 2006. – 351 с.

6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – Екатеринбург: Гуманит, 2004. – 7. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций. Учебное пособие. – Изд.2-е. – М: Наука, 2004. – 486 с.

8. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – Изд. 4-е. – М: Наука, 2004. – 304 с.

9. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными.

Классический университетский учебник. – Изд. 2-е, перераб. и дополненное.

– М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 260 с.: ил.

10. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие: – М: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 240 с.

Дополнительная литература 11. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. Учебное пособие. – М: Наука, 1968. – 912 с.

12. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебник для вузов. – М: Наука, 1971. – 302 с.

13. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.–Изд. 2-е.

– СПб: Лань, 2011. – 302 с.

14. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1969. – 240 с.

15. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. Учебник: – М: Добросвет, 16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.

Методы и приложения. – Изд. 2-е. – М: Наука, 1986. – 760 с.

17. Евграфов М.А. Аналитические функции. Учебное пособие для вузов.– Изд.

4-е, перераб. и долненное. – М: Наука, 1991. – 448 с.

18. Зорич В.А. Математический анализ в 2-х частях, 1ч. – М: ФАЗИС, 1977. – 19. Зорич В.А. Математический анализ в 2-х частях, 2ч. – М: ФАЗИС, 1984. – 20. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 21. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1976. – 736 с.

22. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – Изд. 2-е, перераб. – М.: Наука, 1973. – 576 с.

23. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – перевод с франц. – М: Мир, 1972. – 240 с.

24. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – Изд.

2-е, перераб. – М: Наука, 1965. – 520 с.: ил.

25. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник: – Изд. 9-е. – М.: Наука, 1968. – 26. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебное пособие: – Изд.

6-е.– М: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 592 с.

27. Новиков С.П. Дифференциальная геометрия в 2Т. Учебное пособие, 1 Том – М: изд. МГУ, 1974. – 817 с.

28. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Учебное пособие. – Изд. 3-е. – М: ГИФМЛ, 1961. – 401 с.

29. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие – Изд. 5-е. – М: Наука, 1982. – 331 с.

30. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие. – Изд. 3-е, перераб. – М: ГИТТЛ, 1950. – 428 с.

31. Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ. – М:

Главная редакция общетехнической литературы, 1936. – 200 с.

32. Рудин У. Основы математического анализа. – Изд. 2-е, с англ. – М: Мир, 33. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – Изд. 4-е. – М: Наука, 34. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Учебное пособие. – М: Наука, 35. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Учебник. – М.-Л.:

ГТТИ, 1952. – 743 с.