«А.И. Слободянюк Физическая олимпиада: экспериментальный тур 0 Каждый школьник, выучивший две-три (или два-три десятка) формулы из учебника, считает себя достойным участником физической олимпиады любого уровня от ...»

энергию лимонов, которые у нас, к сожалению, могут произрастать только на подоконниках. Прежде чем создавать промышленные установки, необходимо разобраться в принципах их работы, создать экспериментальные образцы, провести их исследование, чем сейчас мы сейчас и займемся.

Задача 55. «Гальванический лимон»

Оборудование: медная и оцинкованная пластинки, стальная игла, кусок медной проволоки, соединительные провода, ключ электрический, резистор с сопротивлением 1,0 Ом, мультиметр, набор цитрусовых, раствор лимонной кислоты.

Между двумя разными металлами, помещенными в электролит, возникает гальваническая ЭДС. В качестве электролита могут выступать и фруктовые соки.

Изучение «фруктовых» гальванических элементов является основной целью данного экспериментального задания.

В данной работе мультиметр следует использовать только в качестве вольтметра, так как измерение с его помощью малых токов проводится с большой и неконтролируемой погрешностью.

Сопротивление мультиметра при измерении напряжения превышает 500 кОм.

Часть 1. «Фрукты»

Воткните стальную иглу и медную проволоку в кусок фрукта, при этом между этими электродами возникает гальваническая ЭДС.

Измерьте возникающую гальваническую ЭДС в лимоне, грейпфруте и мандарине (не забудьте оценить погрешность проведенных измерений).

Объясните полученные результаты.

Часть 2. «Лимон в стакане»

Для дальнейших экспериментов используйте «модифицированный лимонный элемент»: между двумя металлическими пластинками (медной и оцинкованной) расположите марлевый тампон, смоченный раствором лимонной кислоты. Ваша задача – исследовать электрические характеристики этого элемента, при его разрядке через резистор известного сопротивления.

Внимание: электрические характеристики гальванического элемента зависят от электрического заряда, протекшего через него, поэтому сначала полностью соберите электрическую цепь, только после этого приступайте к измерениям силы тока.

2.1 Соберите электрическую цепь, позволяющую измерять зависимость силы тока и ЭДС источника от времени.

2.2 Проведите измерения зависимости силы тока, протекающего через резистор, и ЭДС источника от времени разрядки.

2.3 Постройте графики полученных зависимостей. Дайте их качественное объяснение.

2.3 Постройте зависимость внутреннего сопротивления «лимонного» элемента от заряда, прошедшего через источник. Предложите эмпирическую функцию, описывающую полученную зависимость, определите ее параметры.

Комментарии к условию задачи.

1. В данной работе вместо мультиметра использовать миллиамперметр.

2. Для изготовления гальванического элемента следует использовать пластинки площадью не менее 5 см2. Марлевый тампон сложен из 8-10 слоев марли и зажат между пластинками, которые можно обвязать ниткой.

3. Результаты измерений сильно варьируются для разных элементов, поэтому приведенные данные следует рассматривать как один из возможных примеров.

Основой большинства промышленных электрических энергетических установок является генератор, устройство которого принципиально совпадает с устройством электродвигателя, поэтому изучать их работу надо совместно.

Задача 56. «Двигатель и генератор»

Оборудование: модель электродвигателя; батарейка 4,5 В; амперметр; вольтметр;

реостат; соединительные провода; секундомер; нитки, набор грузов, линейка.

Известно, что электрический двигатель и электрический генератор устроены одинаково. Если через обмотку двигателя пропускать электрический ток, то вал двигателя начинает вращаться, а если вращать вал двигателя, то в цепи обмотки может появиться электрический ток.

Часть первая. «Двигатель»

1. Постройте зависимость силы тока через обмотку двигателя от приложенного напряжения при неработающем двигателе. Определите сопротивление обмотки и амперметра.

Закрепите двигатель на краю стола, на вал двигателя намотайте нить, к которой нужно привязывать грузы различной массы.

2. Постройте зависимость напряжения на работающем двигателе от силы протекающего через него электрического тока при фиксированной массе подвешенного груза.

3. Измерьте зависимость силы тока, протекающего через двигатель при постоянном напряжении источника, от массы подвешенного груза.

4. Измерьте зависимость механической мощности двигателя от приложенного к двигателю напряжения при постоянной массе подвешенного груза.

5. Постройте график зависимости КПД двигателя от его мощности.

Часть вторая. «Генератор»

1. Постройте график зависимости КПД генератора от приложенной механической В качестве «полезной» мощности используйте мощность электрического тока, выделяемую на амперметре.

Комментарии к условию задачи.

1. В работе можно использовать разборную модель электродвигателя, либо любой другой небольшой электродвигатель для детских игрушек.

2. Набор грузов следует подобрать так, чтобы двигатель смог их поднимать. Эти же грузы используются и во второй части работы, как источник энергии генератора.

Нельзя разрабатывать энергетические установки, не зная закона электромагнитной индукции!

Задача 57. «Закон электромагнитной индукции»

Оборудование: головной телефон, мультиметр, секундомер, конденсатор, диод полупроводниковый, магнит кольцевой, грузик, соединительные провода, штатив, нитки, линейка.

Емкость конденсатора С = (50 ± 1) мкФ.

Сопротивление катушки головного телефона R = 1,2 кОм Соберите установку, как показано на рисунке: железный груз подвесьте на двух нитях (бифилярный подвес), что бы колебания проходили в одной плоскости. К железному грузу прикрепите снизу магнит.

На подставке штатива закрепите с помощью кусочка пластилина головной телефон. Подвешенный груз с магнитом должен проходить точно над катушкой телефона. Длина маятника должна быть не менее 70 см.

Для измерения амплитуды колебаний прикрепите к основанию штатива линейку.

Для экспериментального исследования явления вам предлагается использовать следующую электрическую схему. К катушке головного телефона К подсоедините последовательно диод D и конденсатор C, к последнему подключите мультиметр.

Измерения следует проводить в диапазоне 2000 мВ.

Теперь, ЭДС индукции, возникающая в катушке, заряжает конденсатор, напряжение на котором легко измерить.

Соберите установку. Убедитесь в ее работоспособности.

Добейтесь, чтобы напряжение на конденсаторе достигало не менее 500 мВ.

электромагнитной индукции.

1. Измерьте период колебаний вашего маятника.

2. Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке только через мультиметр. Определите сопротивление мультиметра.

3. Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке через вольтметр, диод и телефон.

4. Измерьте зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний груза.

5. Теоретически опишите зависимость напряжения на конденсаторе от времени (можно и нужно сделать разумные допущения). Постройте примерный график этой зависимости.

Получите приближенную формулу, описывающую зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний маятника.

6. Проверьте, выполняется ли в данном эксперименте закон электромагнитной индукции Фарадея. Оцените максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке головного телефона.

Примечания и подсказки.

1. ЭДС индукции, возникающая в катушке головного телефона, очень сильно зависит от расстояния между магнитом и телефоном. Не стремитесь добиться максимальной ЭДС (нам удалось зарядить конденсатор почти до 2 В) – проводите измерения (в п. 4) при расстояниях между магнитом и телефоном порядка 1 см – в этом случае показания будут более стабильными.

2. Проведите разумные оценки времен разряда конденсатора через мультиметр и телефон и сравните их со временем прохождения магнита над телефоном.

3. Конденсатор заряжается до максимального напряжения далеко не сразу – нужно подождать не менее 10 прохождений магнита над катушкой! Никто не запрещает вам время от времени подталкивать маятник!

4. Заряжать конденсатор (для проведения измерений в п. 2 и 3) следует с помощью магнита, в этом случае расстояние между магнитом и телефоном можно уменьшить.

Комментарии к условию задачи.

1. Нами использовались головные телефоны ТОН-2. Можно попробовать использовать и другие типы наушников с магнитным сердечником.

математического описания физических процессов. И в настоящее время оптические методы являются одними из основных во всех естественных науках. Не можем и мы пройти мимо оптических задач, тем более что, в источниках света дефицита не наблюдается – даже еще недавно экзотические лазеры продаются в киосках, доступны светодиоды, не говоря уж об обычных лампочках накаливания. Посмотрим же внимательно на некоторые знакомые и привычные оптические явления, как источники интересных экспериментальных задач.

Знаете ли вы, что небольшое отверстие может формировать изображение. Это свойство было открыто еще в средние века, когда были сконструированы и построены первые камеры-обскуры.

Оборудование: свеча, линза, матовый экран, экраны с отверстиями, линейка.

Вам необходимо изучить принципы действия простейших устройств, формирующих изображение: линзы и небольшого отверстия. В качестве источника света используется пламя свечи.

1. Измерьте с максимальной точностью фокусное расстояние линзы.

2. Получите формулу для расчета линейного увеличения изображения, формируемого линзой. Проверьте ее экспериментально. Определите вертикальный и горизонтальный размеры пламени.

3. Расположите между свечой и экраном темный экран со щелью. Опишите качественно распределение освещенности экрана. Исследуйте зависимость ширины светлой полоски на экране от расстояния между щелью и экраном. Проведите измерения для вертикального и горизонтального расположения свечи.

4. Получите изображение пламени свечи на экране, используя темный экран с круглым отверстием. Объясните механизм возникновения изображения в этом случае. Предложите численные характеристики, определяющие качество изображения, формируемого с помощью небольшого отверстия, исследуйте зависимость этих характеристик от взаимного расположения свечи, отверстия и экрана с изображением. Определите диаметр отверстия.

Комментарии к условию задачи.

1. Необходимо подготовить несколько экранов с отверстиями. Один - с узкой щелью шириной порядка 1 мм. Кроме того, 4-5 экранов, в которых просверлены отверстия диаметры которых увеличиваются от 0,5 до 3 мм. Экраны могут быть изготовлены из обычного картона.

2. Данную работу следует проводить в затемненном помещении – яркости изображений не велики.

Для наблюдения интерференции света необходимы специальные условия – когерентные и монохроматические источники, малые отверстия, большие расстояния и т.д. Если всего этого нет в наличии, то нужно осознать основную идею возникновения интерференционных полос – одна периодическая структура порождает другую периодическую структуру! Эта же идея лежит в описании полос муара (поверьте, рубашка на фото в мелкую полосочку), и математические описания весьма схожи!

Оборудование: прозрачная пленка №1 с нанесенными прямыми параллельными линиями, прозрачная пленка №2 с нанесенными кольцами, набор из трех листов бумаги с нанесенными штрихами, кнопки канцелярские, картонная папка, линейка.

При наложении пленки с нанесенными штрихами на бумажные листы также с нанесенными штрихами возникают полосы муара, которые могут моделировать интерференцию волн.

Пусть пропускание пленки зависит от координат по некоторому закону Тогда пропускание двух наложенных пленок (или, что равносильно пленки и листа бумаги) равно Если 1 (x, y ), 2 ( x, y ) являются быстроменяющимися функциями координат, то широкие (по сравнению со штрихами отдельных пленок) темные полосы и светлые полосы муара описываются последним слагаемым в выражении (1). Распределение этих полос определяется разностью функций 1 (x, y ), 2 ( x, y ), которые могут служить аналогом фаз колебаний интерферирующих волн.

На пленках и листах нанесены шкалы – в качестве единиц измерения длины используйте единицы этих шкал.

1.1 Расположите пленку №1 на листе №1, на котором нанесены такие же штрихи, как и на пленке, так чтобы пленку можно было поворачивать вокруг оси, в качестве которой используйте кнопку, воткнутую в картонную папку. Эта ось отмечена на пленке и листе бумаги кружком в левой части листа.

Измерьте зависимость расстояния между полосами муара от угла между штрихами на бумаге и на пленке.

Постройте график полученной зависимости.

Получите теоретическую зависимость ширины полос муара от угла между штрихами. По данным, полученным в п 1.1 определите ширину полос, нанесенных на пленку и лист бумаги №1.

Приведите оптическую интерференционную схему, которую моделирует данный опыт с полосами муара.

2. Расположите пленку №1 на листе №2, период штрихов на которой отличается от периода штрихов на пленке.

Измерьте зависимость расстояния между полосами муара от угла между штрихами на бумаге и на пленке.

Постройте график полученной зависимости. Определите период штрихов на листе №2.

Приведите оптическую интерференционную схему, которую моделирует данный опыт с полосами муара.

3. Расположите пленку №2 на листе №3. При сдвиге пленки возникают параллельные полосы муара.

Измерьте зависимость ширины полосы от сдвига пленки.

Постройте график полученной зависимости.

Пропускание пленки (и распределение полос на листе бумаги) в этом эксперименте описывается функцией Приведите оптическую интерференционную схему, которую моделирует данный опыт с полосами муара. Получите теоретическую зависимость ширины полосы муара от сдвига пленки. Определите по полученным данным параметр D0.

Подсказка. Можно показать, что при наложении систем двух параллельных полос ширина полос муара D связана с периодами решеток d1 и d 2 соотношением где - угол между полосами.

Комментарии к условию задачи.

1. Основная сложность подготовки данной задачи заключается в изготовлении необходимых пленок и листов бумаги с требуемым рисунком. Лучше всего это сделать с помощью компьютера и лазерного принтера. На пленке №1 нанесены параллельные штрихи с периодом менее 1 мм. Такой же рисунок наносится на лист №1. На листе № нанесены параллельные штрихи с другим периодом (увеличенном на 10-20%). На пленке №2 и листе №3 нанесена система колец, квадраты радиусов которых пропорциональны номеру кольца. Такая система носит названия колец Ньютона, потому, что она возникает в известной одноименной интерференционной схеме. Ниже приведены их изображения, для удобства на них нанесены и измерительные шкалы.

Сейчас можно найти много интересных блестящих предметов, достойных тщательного изучения. Очень интересными объектами является всевозможные широко рекламируемые отражатели. Помните: «Стань заметней в темноте!» Да они свет отражают хорошо, а если осветить их с противоположной стороны?

Задача 60. «Интерференция, дифракция, или…»

Оборудование: лазерная указка на подставке, линза собирающая, фликер-отражатель, кусочек CD- диска, экраны с миллиметровой бумагой, линейка.

При поведении оптических экспериментов главное – точность настройки!

Экономьте батарейки лазерной указки (made in China!).

Задание 0. Определите длину волны излучения лазерной указки.

Задание 1. Используя имеющееся оборудование, измерьте с максимальной точностью фокусное расстояние линзы.

Задание 2. Расположите собирающую линзу перед лазерной указкой за ней расположите экран. Измерьте зависимость диаметра пятна на экране от расстояния между линзой и экраном.

Постройте график этой зависимости.

Оцените угловую расходимость лазерного луча.

Задание 3. Расположите перед лазерной указкой экран с отверстием, через который проходит лазерный луч. Перпендикулярно лучу расположите кусочек CD-диска, который является отражающей дифракционной решеткой. На экране вы можете увидеть три отражения. Измерьте зависимость расстояния между отражения от расстояния между экраном и диском. Определите период решетки CD-диска.

Задание 4. Расположите между лазерной указкой и экраном кусочек фликера. При этом на экране вы увидите шесть ярких пятен. Предложите структуру фликера, которая бы объясняла данное явление. Понятно, что на фликере находится некоторая пространственно периодическая структура. Определите ее период.

Комментарии к условию задачи.

1. Используемый в данной работе отражатель можно купить в киоске. Для экономии средств один отражатель можно разрезать на несколько частей, для работы достаточен квадратный кусочек со стороной в пол сантиметра.

2. Данную работу следует проводить в затененном помещении, полной темноты не требуется, но яркий солнечный свет испортит все работу!

Радугу на небе видели все, а на столе?

1. Лампочка на подставке с питанием (батарейка, или ЛИП) 2. Линза собирающая 3. Экран 4. Линейка пластмассовая – прозрачная 5. Лист белой бумаги накрыть стол, на нем можно рисовать.

6. Пробирка на подставке.

7. Рулетка или мерная лента 8. Гель для мытья посуды 9. Кусок пластилина (как крепежный материал).

Задания.

1. Измерьте фокусное расстояние представленной вам линзы.

2. Определите показатель преломления воды ( n - средний для всех волн видимого диапазона).

Методику определения этой величины разработайте самостоятельно. Не забудьте ее описать в своей работе.

3. В направлении, образующем угол около 40° к первоначальному направлению распространения света образуется достаточно яркая цветная полоса (это и есть радуга).

Измерьте с максимальной точностью этот угол.

Нарисуйте ход лучей, образующих эту радугу.

Докажите экспериментально справедливость вашего объяснения этой цветной полосы.

Не забудьте кратко (достаточно пол страницы) описать свои наблюдения и измерения.

После того, как вы нашли «радугу» экране, расположите на месте экрана свой глаз. При этом вблизи края пробирки вы увидите яркий цветной блик. Этот блик можно видеть и с большого расстояния. Для того, чтобы его видеть нужно также подбирать и высоту, на которой расположен ваш глаз.

Между пробиркой и местом расположения глаза расположите горизонтально прозрачную линейку, так чтобы блик был виден на фоне шкалы линейки (или чуть выше).

Комментарии к условию задачи.

1. Прежде всего, нужна тщательная юстировка – особенно при изменении малых изменений показателя преломления. Важно не сдвинуть с места ни лампочку, ни линзу, ни пробирку, ни прозрачную линейку.

2. В качестве подставок под пробирку и под линейку можно использовать пластилин – лучше запастись им - каждому по два куска!

3. Полное затемнение не нужно, но лучше когда в комнате сумрачно, тогда на экране лучше видна радуга. Наблюдать блик и измерять его положение можно и при дневном свете.

4. Прозрачную линейку лучше располагать на расстоянии порядка 50 см, а глаз за ней еще на сантиметров 25 дальше.

Радуга красивое и эффектное зрелище, теперь нам необходимо понять, почему небо голубое.

Задача 62. «Лучше быть рассеянным, чем отраженным! »

Оптические измерения требуют предельной тщательности и аккуратности, не жалейте времени на юстировку, каждый раз убеждайтесь, что свет идет вдоль оси трубки, используйте предоставленные куски картона, чтобы «убрать» лишний свет!

Приборы и оборудование: фотоэлемент, мультиметр, источник света (диапроектор), соединительные провода, дифракционная решетка на подставке, экран, стеклянная трубка с мутным раствором, линейка. Куски картона Рекомендуемое расположение оборудования показано на фотографии.

Фотоэлемент подключается напрямую к мультиметру, переключатель поставьте на измерение напряжения, считайте, что зависимость показаний фотоэлемента от интенсивности падающего на него света прямо пропорциональная.

В качестве дифракционной решетки используется кусочек от лазерного диска, так как штрихи этой решетки изогнуты, то дифракционная картина на экране имеет форму сектора. Тем не менее, условия максимумов дифракции остаются справедливыми.

Направьте поток света сквозь трубку с раствором. Убедитесь, что рассеянное излучение хорошо видно через боковую поверхность трубки.

1.1 Пропустите через трубку белый свет, отраженный кусочком диска. Измерьте зависимость интенсивности рассеянного света от расстояния, пройденного светом через мутную среду. Постройте график полученной зависимости.

1.2 Измерьте зависимость интенсивности рассеянного света от расстояния пройденного светом через мутную среду. Измерения проведите для излучений нескольких 3- 4 длин волн (по возможности старайтесь, чтобы проходящий свет был близок к монохроматическому).

Не забудьте привести схему вашей установки с указанием расстояний между ее элементами.

Для монохроматического излучения интенсивность света, прошедшего через мутную среду, зависит от пройденного расстояния l по закону где µ - показатель рассеяния.

1.3 Постройте графики полученных зависимостей. Дайте их теоретическое описание, проведите сравнение с теоретической зависимостью.

1.4 Дайте качественное объяснение зависимости, полученной в п.1. Комментарии к условию задачи.

1. Одна из целей этой почти качественной задачи – дать совет, где можно найти простой и надежный фотоприемник. Калькуляторы сейчас подешевели настолько, что их уже могут давать как сдачу при покупке газет. Многие из них снабжены фотоэлементом, только проследите – иногда вместо фотоэлемента вставляют муляж (made in China!). Вскройте коробку и подключитесь к выводам этого фотоэлемента и вы получите надежный фотоэлемент, даже в корпусе.

2. Сложнее найти трубку, одна сторона ее может быть закрыта обычной пробкой, а вот вторая должна быть прозрачна. Сделать это не так уж просто – мы обращались к стеклодувам! Длина трубки должна быть не менее 40 см.

3. Мутный раствор – это обыкновенная вода с несколькими каплями молока – традиционная среда для изучения рассеяния света, в том числе и в атмосфере!

4. В качестве источника света лучше использовать достаточно мощный диапроектор, в этом случае получаются стабильные результаты.

5. Наконец, следует использовать дифракционную решетку, которую, в принципе можно заменить набором светофильтров.

4.11 Если у вас нет ускорителя.

Современная физика не мыслима без физики элементарных частиц. Конечно, мы не предлагаем исследовать свойства кварков в свободном состоянии, но познакомиться с методами исследования в этой области следует попытаться!

Задача 63. «Почти ядерная физика»

До настоящего времени основным экспериментальным методом исследования свойств микрочастиц является изучение характеристик столкновения частиц. На этом пути экспериментатор сталкивается со множеством проблем: поток частиц, как правило, имеет большой разброс значений энергии, вероятности некоторых процессов могут быть достаточно малыми, измерение некоторых характеристик частиц вызывает технические сложности, неизбежно присутствуют значительные флуктуации результатов, проведение эксперимента требует терпения, а также больших временных и материальных затрат.

Вам предстоит, частично познакомится с некоторыми из этих проблемами, в модельной системе: в качестве моделей частиц используются обыкновенные пластмассовые шашки, «ускорителем» частиц - металлический цилиндр, подвешенный на нити, тормозящей средой и регистрирующей системой - лист бумаги и, наконец, источником энергии, управляющей, контролирующей и анализирующей системой Вы сами.

Соберите установку для исследования соударений шашек между собой. Подвесьте металлический цилиндр на нитях так, чтобы в нижней своей точке он почти касался стола.

Отклоняя нить на известный угол, и плавно отпуская, его можно использовать в качестве «ускорителя» частицы. После удара шашка должна скользить по бумаге, расстеленной на столе или на полу (где вам удобней).

Задание 1. Покажите, что мерой начальной кинетической энергии частицы (шашки) может служить путь, пройденный этой шашкой до остановки.

Задание 2. Постарайтесь добиться максимальной стабильности начальной энергии шашки сразу после удара. Оцените экспериментально относительную флуктуацию начальной энергии шашки. Какими методами вам удалось уменьшить разброс начальных энергий?

Относительной флуктуацией физической величины X называется отношение ее среднеквадратичного отклонения к среднему значению Задание 3. Исследуйте зависимость начальной энергии шашки при центральном ударе от угла отклонения нити. Проведите сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей.

Задание 4. Считая удар металлического цилиндра о шашку абсолютно упругим, а массу цилиндра значительно больше массы шашки, определите коэффициент трения шашки о бумагу.

Какие систематические факторы, по вашему мнению, наиболее сильно влияют на ошибку определения коэффициента трения?

Задание 5. Исследуйте нецентральный удар цилиндра о шашку.

Покажите (теоретически), что скорость шашки после удара (в рамках описанных в п. приближений) пропорциональна cos, где угол между скоростями цилиндра до удара U 0 и шашки после удара V. Исследуйте экспериментально эту зависимость.

Задание 6. Определите коэффициент потерь механической энергии при центральном ударе двух шашек, одна из которых первоначально покоилась.

= 0, где E 0 - механическая энергия шашек до удара, E - энергия после удара.

Задание 7. Исследуйте зависимость скорости шашек после столкновения (одна из которых покоилась) от угла между скоростями шашки до и после удара.

Пункты 6. 7. Рекомендуем выполнять одновременно – произошел центральный удар – относите его к п. 6, если нецентральный, то к п.7, если столкновение не произошло – используйте результат для контроля начальной энергии.

Решения задач части 4.

Задача 20. «Задача Архимеда».

Одна из возможностей проведения эксперимента заключается в изучении зависимости длины x плеча рычага, к которому прикрепляются скрепки, от числа n скрепок, подвешенных на конец карандаша. Условия равновесия рычага в данном случае имеет вид где m, M - массы скрепки и карандаша, соответственно, l = 168 мм - длина карандаша. Из уравнения (1) следует выражение для длины x которое можно привести к линейному виду, удобному для проверки В таблице приведены измеренные значения длины плеча x, при различном числе подвешенных скрепок n.

На рисунке показан график зависимости (3), на нем также приведено уравнение следовательно, правильность правил равновесия рычага. Важно отметить, что свободный член линейной зависимости в пределах погрешности равен 1, в полном соответствии с теоретическим уравнением (3). Наклон графика равен отношению массы скрепки к массе карандаша.

Рассчитанное значение этого отношения или один карандаш весит примерно 12 скрепок.

Обратите внимание, что экспериментальная проверка условия равновесия должна сводится к изучению зависимости, полученной теоретически. Наиболее удобным, наглядным и убедительным справедливости полученной зависимости является ее линеаризация.

Задача 21. «Взвешивание воздуха».

1. Рассмотрим условия равновесия весов.

В начальном положении равенство моментов сил, действующих на разные плечи весов, имеет вид где m1, m2 - массы плеч (с уравновешивающим грузом), l1,l 2 - расстояния от упора до центров масс плеч. После того, как на горизонтальное плечо повесили гайку, массы m0 на расстоянии l от упора, это плечо наклонится на некоторый угол, который можно найти из условия равновесия в этом положении Из этих уравнений находим Таким образом, тангенс угла наклона прямо пропорционален моменту приложенной силы, что делает данные весы линейными. Следовательно, в качестве показаний весов удобно использовать x - расстояние, которое “отсекает” стрелка на линейке. Если расстояние от упора до линейки обозначить L, то показания весов определяются формулой:

где K - коэффициент пропорциональности (чувствительность), зависящий от геометрических свойств весов.

2. Для примера на рисунке приведены графики экспериментально полученных зависимостей при двух разных значениях угла ( 1 20°, 2 10° ). Как видно из графиков, прямая пропорциональная зависимость x(l ) подтверждается экспериментально, причем, с уменьшением угла чувствительность весов повышается.

Для измерения веса (здесь под весом понимается разность между силой тяжести и силой Архимеда) воздуха в воздушном шарике закрепим не надутый шарик с помощью нитки на конце плеча рычага и с помощью пластилина уравновесим весы (установим измерительное плечо горизонтально). После этого проградуируем весы с помощью гайки, массу которой определим взвешиванием. Результаты измерений приведены на рисунке (градуировочный график). Здесь измерения следует провести с максимальной тщательностью.

Надуем воздушный шарик и прикрепим его на прежнее место, предварительно сняв гайку. Снимем показания наших весов x0. По градуировочному графику найдем значение l0, такое, чтобы гайка массы m0, находящаяся на расстоянии l0, создавала такой же момент силы, как вес воздуха в шарике на расстоянии l1 (расстояние от упора до точки подвеса шарика) где m -“избыточная” масса воздуха. Отсюда следует, что m = m0 0.

По нашим измерениям, m0 = (500 ± 10) 10 6 кг, l 0 = (4,5 ± 0,2)см, l1 = (20,0 ± 0,2)см, что соответствует m (0,112 ± 0,006)г с относительной погрешностью 5%.

Для определения давления воздуха в шарике следует воспользоваться уравнением состояния газа, причем для его использования следует оценить объем надутого шарика.

Отметим традиционную последовательность выполнения задания: получение теоретической зависимости, ее экспериментальная проверка, получение градуировочного графика, измерения, расчет окончательного результата и его погрешности.

1. Теоретическое описание движения пластилинового шарика очевидно. При падении тела в вязкой среде (жидкости или газе) на него действуют: сила тяжести mg, выталкивающая сила Архимеда FA = gV и сила сопротивления Стокса F = 6rv.

Так как сила сопротивления возрастает с ростом скорости, то при некотором значении последней движение становится равномерным.

Скорость установившегося движения можно определить из условия равновесия сил Для шарика радиуса R, падающего в жидкости уравнение (1) преобразуется к виду ш – плотность вещества тела, - плотность жидкости, в которой падает тело.

Из этого уравнения находим скорость установившегося движения 2. Для проверки равномерности движения следует поступать традиционным способом – показать, что время падения пропорционально высоте падения. Эксперимент подтверждает это предположение.

3-4. Для измерения плотностей пластилина и жидкости (крахмального клейстера) можно воспользоваться методом гидростатического взвешивания: измерить вес куска пластилина в воздухе, в воде и киселе. Отметим, что плотность киселя практически не отличается от плотности воды.

5. На выполнении этого пункта остановимся подробнее.

Проверить применимость формулы Стокса можно, исследуя зависимость времени опускания шарика на расстояние h (не следует начинать измерения с верхней точки – следует начинать отсчет времени после некоторого 2-3 см участка разгона) от радиуса шарика. Из формулы (3) следует, что это время равно Поскольку проводить измерения диаметра шарика достаточно сложно (шарики деформируются при сильном сдавливании штангенциркулем) и движение шарика в жидкости подвержено случайным влияниям (начинается вращение, трение о стенки) количество опытов должно быть достаточно велико.

Экспериментальным подтверждением справедливости проведенного теоретического анализа может служить линейность зависимости времени движения t от 2. Ниже на графиках приведены экспериментально полученные графики зависимости времени падения от радиуса шарика и ее линеаризация.

На первый взгляд кажется, что в пределах погрешности экспериментальные данные подтверждают сделанные предположения, то есть линеаризация удалась!

Более тщательный анализ частично отвергает построенную теоретическую модель.

Построим данную зависимость в логарифмическом масштабе. При выполнении формулы (4) коэффициент наклона графика зависимости ln t от ln R должен быть примерно равен ( 2).

Однако такой наклон графика получен только для шариков, радиусы которых не превышают примерно 2,5 мм. При больших радиусах формула Стокса оказывается не применимой! Поэтому дальнейшие расчеты вязкости клейстера должны проводится только по данным для малых шариков.

Кроме испытания терпения (время измерения составляет около полутора часов), выполнение данной задачи не вызывает особых сложностей. Зависимость смещения окрашенной границы от времени в пределах погрешность оказывается линейной. В нашем электродами равно U = 4 B, расстояние между ними l = 6,0см. Результаты измерений показаны на графике. Расчет по МНК приводит к следующим зависимости x = at + c :

b = (3,8 ± 0,2) 10 8 ; относительная погрешность найденного значения Результаты измерений зависимостей высоты подъема грузов h1 от начальной высоты падения h0 представлены в таблице 1. Внесенные средние значения высот подъема, полученные по трем измерениям.

Таблица 1.

Графики, построенные по полученным данным, представлены на Рис. 1.

Результаты показывают, что потери механической энергии достаточно велики.

Основными их причинами, по-видимому, является сила трения в оси блока и неупругость динамического удара при переходе груза через нижнюю точку. Почти строгая пропорциональность полученной зависимости для легкого груза говорит о возможности пренебрежения сопротивлением воздуха. Для тяжелого груза средняя скорость вращения больше, поэтому влияние силы сопротивления воздуха существенно, что подтверждается заметной нелинейности графика, особенно при больших высотах падения.

Часть 2. Магнитное торможение.

Результаты аналогичных измерений, проведенные при закреплении в держателе двух больших кольцевых магнитов представлены в Таблице 2.

Таблица 2.

h0, см Графики, построенные по полученным данным, представлены на Рис. 2.

Как следует из полученных результатов влияние магнитов на вращение пластинки весьма существенно – величина вторичного подъема грузов уменьшилась более чем в три раза, а легкого груза более чем в шесть раз. Это факт говорит о том, что влияние «магнитной вязкости» на силы торможения является преобладающим. Особенно существенно ее влияние на движение легкого груза – время подъема в пределах погрешности не зависит от высоты, с которой опускается груз – следовательно, можно считать, что легкий груз практически весь путь проходит с постоянной скоростью.

Часть 3. Индукция магнитного поля магнита.

Для подтверждения гипотезы о равномерном движении можно провести следующий доказательный эксперимент. Расположить в держателе малые магниты (если при них движение будет равномерным, то при более сильных магнитах, тем более, движение будет равномерны) и провести измерения времени движения t малого груза, отпущенного со строго определенной высоты, в зависимости от длины последнего участка пути S.

Результаты таких измерений представлены в Таблице 3 и на графике Рис.3. Результаты получены при начальной высоте груза равной 86 см.

Таблица 3.

Прямая пропорциональная зависимость между измеренными величинами однозначно свидетельствует о равномерности движения.

При движении проводника в магнитном поле в нем возникают индукционные токи Фуко, которые взаимодействуя с породившим их полем приводят к возникновению тормозящих сил, которые и называются силами вязкого трения. Величина этой силы (в нашем случае момента силы) пропорциональна квадрату индукции поля и скорости движения проводника. Следовательно, в установившемся режиме изучаемая пластика будет вращаться с угловой скоростью обратно пропорциональной квадрату индукции поля.

пропорционально квадрату вектора индукции. Окончательно получаем, что измеряемая индукция магнитного поля пропорциональна квадратному корню из времени движения B=C t.

В трех указанных случаях (по одной паре магнитов, и две пары магнитов средние времена движения оказались равными t1 = 9, 4c, t2 = 13,9c, t3 = 25, 3c, что приводит к следующей пропорции межу индукциями полей, создаваемых магнитами B1 : B2 : B1+ 2 3 : 3, 7 : 5. Как это ни странно на первый взгляд – принцип суперпозиции поле в данном случае не выполняется! Что связано, с тем, что при размещении двух пар магнитов изменяется расстояние между магнитами.

Задача 25. «Задача Г. Галилея – скатывание по наклонной плоскости»

1. Экспериментальное изучение закона скатывания шарика должно проводится традиционным методом – измеряется время скатывания из начального положения до фиксированного значения длины скатывания L. Так время движения мало (несколько секунд), то его измерение неизбежно приводит к существенным случайным погрешностям. Поэтому необходимо для каждой длины скатывания проводить несколько измерений времени движения1. Результаты таких измерений приведены в таблице 1. В последних строках таблице приведены средние значения времен скатывания и погрешности их измерения при постоянной высоте наклонной плоскости h = 2,0см. Для этих измерений выбрана малая высота, чтобы измеряемые времена были побольше.

Таблица 1. Зависимость времени скатывания от длины пройденного пути.

Если предположить, что движение шарика является равноускоренным, то зависимость пройденного пути от времени описывается законом L =. Для проверки этого закона следует построить график зависимости квадрата скорости от длины пути (именно так – во-первых, эта зависимость должна быть линейной, во-вторых, длина измеряется точнее, чем время движения):

Построенный график этой зависимости показывает, что в пределах погрешностей измерения данная зависимость действительно может считаться линейной, поэтому модель равноускоренного движения в данном случае применима.

В очередной раз обращаем внимание на методику измерений: фиксируется расстояние, затем измеряется время движения.

2. Для измерения ускорения можно измерять время движение по максимальной длине желоба, так как в этом случае это время будет максимально, поэтому погрешности измерений будут меньше.

Из закона движения следует, что ускорение рассчитывается по формуле Результаты измерений времени скатывания (L = 68см ) от высоты наклонной плоскости h приведены в таблице 2. В ней же приведены рассчитанные значения ускорений, а также рассчитанные значения доли энергии вращательного движения.

Таблица 2. Зависимость времени скатывания от высоты наклонной плоскости. Расчет ускорения и доля энергии вращательного движения.

h, cм График зависимости ускорения от высоты наклонной плоскости указывает, что величина ускорения примерно пропорциональна высоте наклонной плоскости.

Хорошо известно и легко доказуемо, что при движении тела по наклонной плоскости ускорение пропорционально синусу угла наклона к горизонту. В исследованном случае углы наклона малы, поэтому синус угла наклона примерно равен sin =, что и объясняет полученную экспериментально зависимость.

3. В верхней точке шарик обладает потенциальной энергией W = mgh, которая переходит в кинетическую энергию, частично поступательного, частично вращательного движения. Получим формулу для расчета доли полной энергии, перешедшей в кинетическую энергию вращательного движения здесь v - мгновенная скорость шарика в нижней точке наклонного желоба, которая при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью в два раза превышает среднюю скорость движения v = 2 v = 2. Таким образом, расчетная формула имеет вид Результаты расчетов по этой формуле приведены в последней строке таблицы 2. Расчеты показывают, что доля вращательной энергии не зависит от угла наклонной плоскости и равна 0,60 ± 0, Необязательное теоретическое дополнение.

Теоретическое значение найденной доли энергии вращательного движения определяется по формуле где I = mR 2 - момент инерции шарика. Если шарик катится по плоской поверхности, то v = R, тогда В наших экспериментах шарик катился по прямоугольному желобу, поэтому скорость центра шарика связана с его угловой скоростью соотношением v = r =. В этом случае искомое отношение оказывается равным Вероятно, что отклонение экспериментального значения связано с влиянием силы трения, приводящим к увеличению времени движения.

Задача 26. «Трубка на наклонной плоскости»

1. Выполнение этого задания полностью аналогично пункту 1 в предыдущей задаче 25, поэтому здесь не рассматривается. Отметим, что скатывание цилиндра также может рассматриваться как равноускоренное движение.

2. Результаты измерений зависимости времени t скатывания трубки с наклонной плоскости (постоянной длины S = (80 ± 1)см ) от высоты наклонной плоскости h, приведены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

3. Для определения ускорения свободного падения и коэффициента трения необходимо получить теоретическую зависимость времени скатывания от высоты и линеаризовать ее.

При скатывании трубки выполняется закон сохранения энергии.

Второе слагаемое появляется, так как трубка участвует не только в поступательном, но и во вращательном движении. Таким образом:

где v - конечная скорость трубки при скатывании по наклонной плоскости; Так как углы возвышения наклонной плоскости малы, то силу трения можно читать постоянной при различных углах. Конечная скорость легко определяется из законов кинематики: v = 2. Из уравнений (2)-(3) следует:

Таким образом, линеаризация достигается, если рассмотреть зависимость высоты наклонной плоскости от величины обратной квадрату времени движения.

График этой зависимости действительно оказывается линейным.

Обработка зависимости h = a + b по МНК дает следующие значения параметров зависимости:

Эти коэффициенты выражаются через искомые физические величины:

Заметим, что относительные погрешности определения коэффициентов линеаризованной зависимости на порядок превышают погрешности измерения длины наклонной плоскости и радиуса трубки ( R = (0,76 ± 0,05)см ), поэтому последние не учитывались при расчетах погрешностей ускорения свободного падения и коэффициента трения. Кроме того, как обычно, погрешность определения параметра b заметно больше погрешности определения коэффициента наклона прямой.

Итак, окончательные результаты следующие:

Небольшое дополнение.

Если не учитывать силу трения, то предпочтительнее анализировать зависимость (следующую из уравнения (4)): t =, так как погрешность измерения времени заметно превышает погрешность измерения высоты наклонной плоскости.

Данная зависимость также близка к линейной, но наличие заметного свободного члена в ее уравнении однозначно свидетельствует о влиянии силы трения на скатывание трубки.

Задача 27. «Маятник Максвелла»

Нет необходимости приводить все численные данные, полученные при проведении измерений, так как, во-первых, они могут достаточно заметно отличаться для различного оборудования, во-вторых, методика выполнения этого задания аналогична предыдущим заданиям, посвященных изучению закона движения, в-третьих, рекомендовано выполнить эту работу самостоятельно. Поэтому ограничимся краткими комментариями, посвященными теоретическому описанию и качественным результатам измерений.

Теоретическое описание2.

Движение маятника (без учета сопротивления воздуха) описывается с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, записанного относительно мгновенной оси вращения, где = - угловое ускорение вращения маятника, a - линейное ускорение оси маятника, r - радиус оси, I = - момент инерции диска3. Из уравнения (1) следует, движение диска является равноускоренным с ускорением равным Так радиус оси мал, по сравнению с радиусом диска, то ускорение оказывается малым, что дает возможность проводить измерения времени «вручную».

Для квадратной картонной пластинки момент инерции пропорционален квадрату длины стороны I = mb 2. Поэтому его ускорение обратно пропорционально квадрату длины стороны. Интересно отметить, что время движения маятника с квадратной пластинкой t = прямо пропорционально длины стороны (а для диска пропорционально его радиусу).

1. По нашим измерениям, движение оси диска можно считать равноускоренным при его смещении на высоту порядка 50 см. Оптимальным обоснованием такого утверждения является линейность зависимости квадрата времени движения от высоты.

Разрабатывать это теоретическое описание от учащихся в ходе выполнения работы не требуется, здесь оно приводится, что бы прояснить основные характеристики рассматриваемого движения.

Считаем, что радиус оси значительно меньше радиуса диска. Более точное значение момента инерции 2. Коэффициент восстановления можно считать величиной постоянной для данного маятника. Заметим, что коэффициент восстановления во многом определяется упругостью нитей подвеса.

3. Для маятника с картонными квадратами, уже на расстояниях порядка 15-20 см сказывается влияние сил сопротивления воздуха. Если построить зависимость квадрата времени движения от пройденного пути, то эта зависимость линейна только на этом участке. Поэтому дальнейшие измерения ускорения следует проводить4 на высотах порядка 10-15 см.

4. Для определения ускорения необходимо измерить время раскручивания на этапе равноускоренного движения. Оказывается, что начальное ускорение действительно обратно пропорционально квадрату длины стороны картонки.

Таким образом, экспериментальная проверка закона движения оказывается необходимой, для того, чтобы определить область применимости модели равноускоренного движения.

Часть1. В таблице 1 приведены результаты измерения времени скатывания от пройденного пути.

Таблица 1.

График закона движения S (t ) и его традиционная линеаризация (для равноускоренного движения) t 2 = S однозначно свидетельствуют, что движение является равноускоренным.

Параметры линеаризованной зависимости t 2 = kS + b, рассчитанные по МНК, принимают значения:

параметр b = ( 0,4 ± 3) c 2 - обоснованно можно принять равным нулю (что свидетельствует о прямой пропорциональной зависимости);

значение коэффициента k = (3,41 ± 0,06 ) позволяет найти ускорение оси диска a = 0,587 2, a = a 0,010 2. Отметим малую погрешность определения ускорения в данном случае = 2%.

Часть 2.

При изменении разности высот начальной и конечной точек h, изменяется и путь, проходимый диском. Этот путь, а также синус угла наклона направляющих следует рассчитывать по формулам Результаты измерения времени скатывания при различных высотах h и фиксированном горизонтальном расстоянии между точками крепления L = 48см, а также рассчитанные значения пути S, синуса угла наклона и ускорения a = 2, представлены в таблице 2.

Таблица 2.

h, см График зависимости ускорения от синуса угла наклона направляющих показывает, что ускорение примерно пропорционально синусу угла наклона.

Объяснить полученную линейную зависимость не сложно. Рассмотрим вращение диска относительно оси вращения, проходящую через точку касания оси (это мгновенная ось вращения). Силой, момент которой отличен от нуля, является сила тяжести, плечо которой равно d = r sin. Следовательно, угловое и линейное ускорение пропорционально синусу угла наклона направляющих.

Можно получить и точную формулу для ускорения оси диска. На основании основного уравнения динамики вращательного движения запишем:

Используя выражение для момента инерции диска (относительно мгновенной оси вращения) I= + mr 2, получим выражение для ускорения Внимательно посмотрим на экспериментальный график зависимости ускорения от синуса угла наклона – при увеличении угла наклона (когда синус превышает 0,35) точки начинают несколько отклоняться от прямо пропорциональной зависимости. Возможной причиной5 этого отклонения является незначительное проскальзывание оси по резиновым направляющим. Поэтому для определения коэффициента в формуле (1), приведенной в условии, в расчетах будем учитывать только первые пять точек. На рисунке проведена прямая именно по этим точкам. Расчет по МНК приводит к следующим значениям параметров зависимости a = k sin + b :

b = (0,02 ± 0,01) 2 - с некоторой натяжкой может быть принят равным нулю;

k = (1,39 ± 0,04 ) 2 позволяет определить требуемый безразмерный коэффициент искомого коэффициента равно Отметим, что полученное значение вполне разумно, и соответствует тому, что радиус диска примерно в тридцать пять раз превышает радиус оси.

График зависимости времени движения от длины пройденного пути не совсем обычен – увеличение пути приводит к уменьшению времени скатывания. Это связано с увеличение ускорения. Легко получить теоретическое выражение для этой зависимости. При равноускоренном движении время движения описывается формулой все параметры которой найдены.

График этой функции построен на рисунке и демонстрирует хорошее соответствие экспериментальным данным.

Интересна зависимость времени движения от высоты расстоянии L между начальной и конечной точками траектории Эта функция имеет минимум при h = L, то есть при угле наклона в 45° к горизонту.

Часть 3.

В этой части также оказывается, что время скатывания уменьшается с увеличением прогиба (соответственно, и длины траектории). Основной причиной такого поведения является увеличение ускорения на первом участке траектории и как следствие увеличение А, может, просто штатив упал, и его поставили на другое место. В любом случае, выбор диапазона для расчетов – прерогатива экспериментатора.

средней скорости на всем пути. Для примера приведем графики зависимостей времени движения от величины прогиба и длины траектории S, полученные при следующих значениях параметров установки h = 18 см, L = 51 см.

Задача 29. «Эванжелиста Торричелли»

Выполнение экспериментальной части задания не вызывает никаких сложностей – если отверстие мало, то время вытекания составляет несколько десятков секунд, поэтому закон опускания уровня дна легко измеряется. В результате получается нелинейная зависимость - с уменьшением высоты уровня скорость вытекания замедляется.

Для определения зависимости скорости вытекающей воды от высоты ее уровня в стакане необходимо использовать полученную зависимость высоты уровня от времени h(t ). Скорость вытекающей жидкости связана с изменением объема воды в стакане очевидным соотношением где s 0 - площадь отверстия, S - площадь поперечного сечения сосуда на высоте h. Из уравнения (1) следует, что скорость воды может быть рассчитана по формуле Методика таких расчетов подробно рассмотрена при обсуждении Задачи 16.

Показатель степени может быть определен либо методом подбора, либо (что, естественно, предпочтительнее) с помощью обработки полученной зависимости в двойном логарифмическом масштабе.

При правильном выполнении работы значение этого показателя примерно равно Необязательное теоретическое дополнение.

Согласно известной формуле Торричелли скорость жидкости вытекающей из отверстия в сосуде зависит от высоты по закону Из этого закона следует (как решение уравнения 2), что зависимость высоты уровня воды от времени может быть представлена в «красивом» линеаризованном виде Эта формула допускает простую проверку.

Также достаточно интересно осуществить поиск показателя степени по анализу зависимости h(t ), без ее численного дифференцирования. Впрочем, об этом подробно говорилось при решении задач 16 и 18. Попробуйте разработать такую методику самостоятельно, или внимательно разберитесь (а еще лучше проделайте самостоятельно) со следующей задачей.

Часть 1. Теоретическая.

Пусть начальная высота жидкости в сосуде h0, внутренний 1. диаметр сосуда D, диаметр отверстия d (рис.1). В момент, когда высота жидкости в сосуде равна h, скорость вытекания жидкости из сосуда, согласно формуле Торричелли (h) = 2 gh.

Соответственно, за малый промежуток времени t из отверстия вытечет вода объемом (считаем, что в течение этого малого промежутка времени скорость вытекания остается постоянной величиной) Это вызовет понижение уровня воды в сосуде на величину Используя выражение, приведенное в условии, вычислим приращение h как разность h(t + t ) h(t ) при условии t 0 (или просто вычислим производную):

Из формулы, приведенной в условии, найдем, что (1 bt ) = ), с учетом чего (2) преобразуется к виду Из (3) следует выражение для коэффициента b через параметры установки 1. Из (4) следует важный вывод: для соблюдения постоянства коэффициента b следует проводить измерения только в цилиндрической части бутылки, т.е. до тех пор, пока вода не опустилась до сужающейся (нижней) части бутылки.

Обратите внимание, в данной задаче фактически предлагается исследовать закон движения – зависимость высоты уровня от времени, без последующих расчетов скорости! Тем самым удается избежать крайне неприятной и «незаконной» операции вычисления отношений малых величин v =, приводящей к громадным погрешностям.

Часть 2. Закон вытекания.

2.1 В таблице приведены значения результатов трех измерений времен (а также их средние значения) вытекания данные для пластиковой бутылки объемом 1 литр при диаметре отверстия в пробке равном 1,6 мм.

Таблица 1.

График полученной зависимости показан на рисунке.

2.2 Данная зависимость не линейна. Для проверки выполнимости формулы Торричелли ее следует линеаризовать. Как следует из формулы (2), приведенной в условии задачи, зависимость параметра z = от времени должна быть линейна z = = 1 bt.

График этой линеаризованной зависимости показан на следующем рисунке.

2.3 Можно рассчитать параметры этой зависимости по МНК. Но, как уже отмечалось ранее, предпочтительнее обрабатывать обратную зависимость – времени вытекания t от параметра z, так как последний измеряется с более высокой точностью:

Параметры этой зависимости ( t = az + с ), рассчитанные по МНК, принимают значения Заметим, что эти параметры равны в пределах погрешности измерений, и имеют смысл времени полного вытекания, при условии, что бутылка имеет строго цилиндрическую форму (без горлышка). Соответственно, значение параметра b, входящего в формулу (2) условия равно Теоретическое значение этого параметра равно (диаметр бутылки D = ) Таким образом, данный эксперимент подтверждает применимость формулы Торричелли не только качественно, но и количественно!

Ненужное дополнение.

Сравните результаты, полученные при обработке исходной экспериментальной зависимости, с графиками, полученными при вычислении скорости вытекания. Даже линеаризованная зависимость может считаться прямой только при наличии богатого воображения.

Мало помогает и обработка этой зависимости в логарифмическом масштабе – разброс точек очень коэффициента наклона (равное показателю степени в исследуемой формуле) захватывает теоретическое значение = 2.4. В качестве причин возможных отклонений следует назвать наличие у жидкости вязкости (внутреннего трения), возможное неламинарное течение (завихрений) при приближении уровня воды к отверстию, поверхностное натяжение жидкости.

Часть 3. Другие отверстия.

3. пропорционально значению коэффициента b = 2, который при прочих равных условиях прямо пропорционален квадрату диаметра отверстия. Отсюда следует, что Таки образом, отношение времен вытекания воды из бутылки при разных диаметрах отверстий определяется отношением обратных квадратов их радиусов Соответственно, в нашем случае С учетом погрешности эксперимент дает близкие значения.

На рисунке показан график зависимости высоты уровня воды в нижней бутылке от времени.

Как видно, эта зависимость не линейна – скорость изменения высоты уровня уменьшается. Эта зависимость может быть обработана по методике, описанной при выполнении задач 16 - особенно обратите внимание на методику обработки всей зависимости «целиком» - без использования малых разностей.

Отметим, что в данном случае скорость изменения уровня примерно пропорциональна разности давлений на концах трубки, то есть линейно зависит от разности высот уровней в верхней и нижней бутылках6, что подтверждает следующий график.

Напомним, что при вытекании через отверстие скорость вытекания пропорциональная корню из высоты уровня.

Описание методики проведения эксперимента фактически дано в условии задачи, поэтому здесь на нем останавливаться не будем.

Отметим только, что в данной задаче удобней фиксировать время, в течение которого граница намокания достигает определенной отметки.

Результаты измерения длины намокшей части S, см в зависимости от времени t, мин представлены в таблице и на рис. 1.

В очередной раз мы сталкиваемся с нелинейной зависимостью координаты от времени. Причем хорошо заметно, что скорость распространения границы намокшей части убывает с течением времени. Разумно предположить, что в данном случае закон движения – «коренной», намокания пропорциональна корню из времени.

Экспериментальным подтверждением данного предположения служит вид графика. Можно дать и теоретическое обоснование этой гипотезы. Намокание – есть распространение воды по тонким волокнамкапиллярам ткани. При движении жидкости по тонкой трубке ее скорость (в соответствии с формулой Пуазейля) обратно пропорциональна длине заполненной части капилляра:

v=. Из этого соотношения следует, что величина S пропорциональна корню из времени.

Для проверки сделанного предположения следует построить линеаризованную зависимость зависимости близок к линейному, что подтверждает применимость высказанного предположения.

Более подробное исследование этого процесса предлагаем провести самостоятельно – поверьте можно найти много интересного!

Задача 33. «Просто математический маятник»

1. Конечно, этот пункт задачи можно принять за шутку, но … измеряли же средневековые математики площадь круга с помощью весов и тем самым определяли значение числа.

Сейчас мы обрели большой опыт экспериментальных исследований, почему бы экспериментально не проверить точность вычислений знаменитых математиков?

Используя методику, изложенную в задаче 3, проведем измерения на более серьезном оборудовании: увеличим длину маятника и диапазон ее изменения, используем более тяжелый груз, увеличим число измерений для повышения точности, привлечем учебно-вспомогательный персонал.

Тонкий прочный шнур (длиной более 2 метров) с тяжелым металлическим шаром подвешен на обрезке металлической трубы. Наматывая шнур на трубу можно изменять длину маятника. Из приведенной в условии формулы следует где D - диаметр трубы, на которую наматывается шнур. Таким образом, квадрат периода линейно зависит от числа намотанных витков, а коэффициент наклона данной зависимости позволит рассчитать значение числа.

Результаты измерений, полученные четырьмя начинающими физиками (Ф1-Ф4), усредненные значения периодов колебаний T и их квадратов приведены в таблице.

Таблица результатов измерений.

Диаметр использованной трубки был измерен с помощью штангенциркуля и оказался равным D = (50,0 ± 0,05)мм.

Построим график зависимости квадрата периода колебаний от числа намотанных витков. По МНК линеаризованной зависимости T 2 = b an.полученные значения равны Из функции (1) следует, что коэффициента наклона равно a=, следовательно, приводят к результату Как видите, математики достаточно точно сумели вычислить значение числа, результаты их многовековых вычислений дали значение очень близкое к значению полученному экспериментально.

2. Здесь нам предстоит исправить ошибку великого Г. Галилея, который считал, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды его колебаний.

Правда, он изучал колебания подвесных светильников в соборе, а в качестве измерителя времени использовал собственный пульс. Жаль, что наше открытие не будет оригинальным - ошибку Галилея исправил еще в XVII веке Х. Гюйгенс, который не только получил правильный результат для математического маятника, но и изобрел циклоидальный маятник, период колебаний которого действительно не зависит от амплитуды. Но это уже тема для последующих экспериментальных задач.

Рекомендуем провести измерения зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды самостоятельно. Отметим, что теоретическое значение искомого коэффициента в формуле (2) условия равно =. Еще раз подчеркнем, что измерения необходимо проводить очень тщательно, так как период изменяется очень незначительно – например, при амплитуде колебаний в 90° он возрастает всего на 15%.

Если считать, что применима формула для периода колебаний математического маятника, то зависимость периода от положения центрального груза должна иметь вид:

здесь l = - расстояние от точки подвеса до центра масс системы.

Однако этот маятник является физическим, поэтому его период должен рассчитываться по формуле где J = m L + x - момент инерции маятника.

Как и в случае колебаний стержня, зависимость (2) не является монотонной, а имеет точку минимума.

Проведение измерений не вызывает затруднений, результаты хорошо подтверждают справедливость формулы (2).

Задача 35. «Линейка на цилиндрах»

Задание 1. Измерение коэффициентов трения.

Предельный угол наклона линейки на боковой поверхности max, при котором линейка еще остается в равновесии, удовлетворяет условию Для измерения этого угла удобно применить следующую методику. Расположить линейку на цилиндре в равновесии в горизонтальном положении, затем, медленно перекатывая цилиндр по горизонтальной поверхности, определить смещение его точки касания A' A = l до того момента пока линейка не начнет соскальзывать с цилиндра. Как следует из рисунка 1, максимальный угол наклона линейки равен max = =, где D - диаметр цилиндра.

Задание 2. Изучение зависимости периода колебаний от радиуса опоры.

Теоретическое введение.

Вывод формулы для периода колебаний линейки на цилиндре является интересной теоретической задачей. Но эта книга посвящена экспериментальным исследованием, поэтому ограничимся только конечным результатом – формулой для периода колебаний:

где L - длина линейки, h - ее толщина, R - радиус цилиндра. Формула получена при условии, что движение линейки по цилиндру происходит без проскальзывания, а колебания являются малыми. Заметьте, что колебания возможны, если толщина линейки не превышает диаметра цилиндра. Попробуйте заставить колебаться линейку на иголке!

Обычно толщина линейки значительно меньше ее длины h x max, резинка начнет сжиматься, поднимая груз. В этом случае движение описывается Мы рассматриваем случай, когда координата нижней границы меньше ширины зоны застоя x min < x max x min. В этом случае первая остановка попадает в зону застоя. В том случае, когда x min > x max x min, возможно, что система проскочит зону покоя. Но в наших экспериментах этот вариант не встретился, поэтому можете проанализировать его самостоятельно.

уравнением (7), а для координаты точки первой остановки справедливо соотношение из которого находим Эта формула будет описывать конечное положение, если оно окажется в зоне застоя, то есть при (4-5) Если же начальное положение лежит за пределами этой области, то система проскочит зону застоя и начнет первой остановки удовлетворяет формуле (9). Но, так как эта точка вышла из зоны застоя, то точка продолжит движение в обратном направлении, координата второй остановки удовлетворяет соотношению, аналогичному формуле (8): x 2 = 2 x min x1. Подставляя из формулы (9) значение x1, получим выражение для координаты второй (надеемся окончательной) остановки:

На этом мы закончим теоретический анализ, не смотря на то, что еще не все варианты рассмотрены. Например, если координата перовой остановки оказалась отрицательной, то, как будет реагировать на это резинка? Мы же считаем, что и в этом случае справедлив закон Гука, т. е. резинка начнет «толкаться».

Посмотрите на итоговый график и разрывную функцию, его описывающую (объединим все полученные выражения).

На графике выделена область застоя, как для начальной, так и конечной координаты.

Согласитесь, не традиционная зависимость для экспериментальной проверки! Посмотрим, что же получилось в эксперименте.

В Таблице 3 и на графике показаны экспериментальные значения координат начальной и конечной точек при массе груза 300 г. Координаты точек конечной остановки получены усреднением по 5 экспериментальным данным. Отметим, что разброс результатами отдельных измерений не превышал 3 мм. На диаграмме выделена область застоя, построенная по данным первой части (для данной массы груза x min 116 мм, x mфф 197 мм ).

Таблица 3.

Полученные результаты качественно согласуются с теоретическими предсказаниями – по меньшей мере, есть два четко разделенных между собой участка. Для первого из них (участок 1- удовлетворительное. Уравнение этого участка, найденное по МНК, имеет вид Сравнивая с теоретическим выражением (9), отмечаем, что они соответствуют друг другу «в пределах погрешности измерений» – коэффициент наклона близок к -1, координата нижней границы зоны застоя ~min = 94 мм, примерно совпадает с найденным в статических условиях значению значительно хуже – он даже не попал в ранее найденную зону застоя! Уравнение второго отрезка С наклоном все отлично – полное совпадение, а вот верхняя граница зоны застоя ~ = 558 = 280 мм в полтора раза выше, чем в статическом случае x = 197 мм.

Правда при этих деформациях не выполняется закон Гука, кроме того, коэффициент трения покоя отличается от коэффициента трения скольжения. А может этот коэффициент возрастает при увеличении скорости, нить «вгрызается» в пластик? Нужны дополнительные исследования!

Еще более удивительные результаты получены для груза массой 200 г. Они представлены в таблице 4 и на графике. Методика получения и представления аналогичны предыдущим.

Таблица 4.

Здесь даже первая ветвь не соответствует теоретически предсказания, ее коэффициент наклона значимо отличается от -1 (уравнение этого отрезка x1 = 0,75 x 0 + 134 ), поэтому ее нижний край не совпадает с границей зоны застоя. Хотя значение координаты этой границы ~min = 67 мм очень близко к полученному в первой части x min 64 мм.

В чем причина уменьшения коэффициента наклона? Непонятно, может, стержень протерся? Но на других стержнях получены аналогичные результаты!

Уравнение второго отрезка x1 = 0,65 x0 + 257, показывает еще большее отклонение от теоретического предсказания. Значение координаты верхней границы зоны застоя ~ = 257 130 мм близко к статическому x 120 мм, хотя также превышает его.

Самое удивительное произошло с третьим отрезком – у него наклон не в ту сторону!

Поэтому обсуждать численные значения смысла не имеет! В чем причина такого радикального отклонения – возможно в этой области груз подпрыгивал выше уровня нерастянутой резинки?

Как видите, задача дает много поводов для дополнительных размышлений и самостоятельных экспериментальных исследований!

1.1 При колебательном движении механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий всех тел, образующих систему.

Будем считать, что кинетической энергией деревянной палочки и центрирующего кусочка пластилина на ее конце можно пренебречь в силу малости их массы ( m 5 г ) по сравнению с массой грузика ( M 100 г ).

Тогда кинетическая энергия системы будет определяться только кинетической энергией грузика (цилиндра), которая при качении может быть найдена как сумма его кинетических энергий поступательного и вращательного движений где v = R - скорость поступательного движения грузика, - угловая скорость вращения грузика, M - его масса, J = - момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс.

Потенциальная энергия системы при отклонении от положения равновесия определяется только увеличением потенциальной энергии палочки, поскольку грузик движется по горизонтальной поверхности:

где — угол отклонения палочки от вертикали в процессе малых ( 0 ) крутильных колебаний, z - расстояние от оси цилиндра до центра масс палочки С. Пренебрегая трением запишем уравнение закона сохранения механической энергии которое совпадает с уравнением гармонических колебаний. Из этого уравнения следует, что период колебаний равен Таким образом, период колебаний обратно пропорционален корню квадратному из z расстояния от оси цилиндра до центра масс палочки.

1.2 Чтобы не определять экспериментально положение центра масс палочки (с прикрепленным грузом) измерим зависимость периода колебаний от длины части палочки l, расположенной ниже точки крепления. Расстояние от конца палочки до ее конца обозначим x. Значение этого параметра можно будет определить непосредственно из измерений зависимости периода колебаний от длины ее части l. Действительно, зависимость (3) может быть линеаризована следующим образом Получив график данной зависимости параметр x, легко определяется как координата точки пересечения графика с осью абсцисс.

Результаты измерений зависимости периода колебаний от длины l, а также результаты расчетов величины 2 представлены в таблице. Рядом построен график полученной зависимости.

Таблица 1.

График линеаризованной зависимости (4) близок к прямой линии, что подтверждает полученную формулу для периода колебаний. Иными словами, показатель степени в формуле (1) равен =.

Рассчитанной по этой зависимости (или просто снятое с графика) значение параметра x = 5,9 см.

Отметим, что положение центра масс (то есть значение найденного параметра x ) можно было определить и экспериментально, например, уравновесив стержень на ребре линейки.

Знание этого параметра позволяет провести проверку формулы для периода колебаний и другими способами. Не сложно построить зависимость периода T от величины и убедиться в ее линейности (даже прямой пропорциональности).

Можно также построить график в двойном логарифмическом масштабе: ln T от ln(l x ). Приведенные ниже рисунки также подтверждают вид найденный вид зависимости периода колебаний от расстояния до центра масс – формулу (3). Отметим, что значение показателя степени, найденное как коэффициент наклона графика в двойном логарифмическом масштабе равно = 0,51 ± 0, Часть 2. Затухание колебаний.