WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

ISSN 2079-3316 № 5(14), 2012, c. 33–44

УДК 517.977.5

С. П. Сорокин

Бипозиционные решения неравенств

Гамильтона–Якоби в неклассических

линейно-квадратичных задачах оптимального

управления

Аннотация. Исследуются неклассические линейно-квадратичные задачи

оптимального управления. Доказаны необходимые и достаточные условия глобальной оптимальности, оперирующие сильно монотонными бипозиционными решениями неравенств Гамильтона–Якоби, параметрически зависящими от начальных или конечных позиций динамических систем. Бипозиционные экстремальные управления получены в явном виде, предложенный метод иллюстрирован примером.

Ключевые слова и фразы: сильно монотонные функции типа Ляпунова, канонические условия оптимальности, линейно-квадратичные задачи оптимального управления.

1. Введение и постановка задачи Работа посвящена исследованию неклассических задач оптимального управления линейно-квадратичной структуры. Специфика таких задач состоит в наличии смешанных ограничений на траекторию в промежуточные, вообще говоря, не фиксированные моменты времени и не разделенной зависимости целевого функционала от значений траектории в эти моменты. Эти особенности приводят к новым свойствам оптимальных процессов и требуют развития методов решения таких задач, поскольку традиционный для задач построения оптимального регулятора подход — метод динамического программирования Беллмана [1] — не применим для задач указанного класса.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 11-01а, № 12-01-31252-мол-а, № 12-01-31391-мол-а).

c С. П. Сорокин, c Институт динамики систем и теории управления СО РАН, c Программные системы: теория и приложения, 34 С. П. Сорокин Исследование основано на применении так называемой канонической теории оптимальности Гамильтона–Якоби [2, 3], обобщающей родственные подходы В. Ф. Кротова и К. Каратеодори [1, 4, 5]. Канонические условия оптимальности основаны на внешних оценках множеств достижимости динамических систем, которые строятся с помощью сильно монотонных функций типа Ляпунова (функций) — решений неравенств Гамильтона–Якоби, не убывающих вдоль всех траекторий рассматриваемой системы [6]. В работах [7, 8] введен класс бипозиционных -функций, дополнительно зависящих от начальной или конечной позиций динамической системы. Использование этого класса функций привело к модификации канонической теории оптимальности, более эффективной для задач оптимального управления с не разделенными концевыми ограничениями и функционалами общего вида.

В статье рассматривается следующая линейно-квадратичная задача оптимального управления ( ):

() R, = () + (), 1 ( ), (), () + () min, [, ] = где, — линейно-квадратичные функции вида (,, ) = () + 2 () + () + 2 () + 2 (), ( ) +, ( ) () = = (1 ), (0 ), все матричные функции непрерывны на отрезке = [0, 1 ], причем,, симметричны и положительно определена.

От классической линейно-квадратичной задачи построения оптимального регулятора [9, 10] задача ( ) отличается общей зависимостью терминанта от 0, 1 и присутствием линейных слагаемых в,.

Неравенства Гамильтона–Якоби в неклассических ЛКЗ 2. Канонические условия оптимальности с линейно-квадратичной бипозиционной -функцией Перепишем задачу ( ) в форме Майера:

= +, () R, (1) 1 ( ) + 2 + + 2 + 2, (2) = (0 ) = 0, Здесь = (,, ) — процесс системы (1), (2), состоящий из кусочногладкой траектории (, ) и кусочно-непрерывного управления, удовлетворяющих на системе.

Будем исследовать задачу ( ) с применением одной бипозиционной линейно-квадратичной сильно возрастающей -функции вида (3) Здесь () = () — 2 2 симметричная матричная функция с блоками,, = 1, 2, -мерные вектор-функции 1, 0 и функция непрерывно дифференцируемы, функция (0 ) включена для учета краевого условия наведения (0, 0, 0 ; 0 ) 0 [7, 8].

Для конкретизации функций, 1, 0,, подставим функцию в неравенство Гамильтона–Якоби для гладких сильно возрастающих -функций (4) где Вычисляя нижний гамильтониан, найдем -экстремальное управление Неравенство Гамильтона–Якоби (4) принимает следующий вид:

Выберем искомые функции так, чтобы занулить каждое из шести слагаемых в левой части неравенства, т.е. потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению Гамильтона–Якоби. Придем к следующей Неравенства Гамильтона–Якоби в неклассических ЛКЗ системе дифференциальных уравнений на отрезке :

(6) с граничными условиями Отметим, что уравнение (6) является матричным уравнением типа Риккати, решение которого может не существовать на всем отрезке, но мы предположим, что оно существует на ;

тогда остальные линейные уравнения имеют решения на, а функция удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби и условию (0, 0, 0 ; 0 ) = 0. Следовательно, она является бипозиционной сильно возрастающей -функцией.

Установим свойства функции.

Лемма 1. а) Если процесс = (,, ) порожден -экстремальным управлением (5), т.е. удовлетворяет равенству т.е.(не удовлетворяет условию (7), то, (), (); (0 ) 0 на Доказательство. а) Утверждение следует из равенства справедливого в силу того, что функция удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби, а -экстремальное управление доставляет ( ) строгий глобальный минимум по функции,, (, ; 0 ), во всех точках (,, 0 ).

б) Если процесс не порожден -экстремальным управлением, то найдется интервал (, ), на котором равенство (7) нарушается, а тогда, (), (); (0 ) > 0 на (, ).



Из леммы 1 и вида функции (см. граничные условия в (3) и определение функции (0 )) следует, что для любого процесса выполняется неравенство Отсюда вытекает, что если функция достигает своего минимума в некоторой точке 0 R, а процесс порожден -экстремальным управлением (5) и удовлетворяет начальному условию (0 ) = 0, то т.е. — глобально оптимальный процесс. Таким образом, вопрос отыскания оптимальных процессов в задаче ( ) сводится к нахождению точек минимума функции Лемма 2. а) Функция (0 ) имеет единственную точку минимума 0 )тогда и только тогда, когда квадратичная форма (0 ) 0 положительно определена, причем имеет место равенство б) Функция (0 ) имеет множество точек минимума тогда и только тогда, когда квадратичная форма положительно полуопределена и Из рассуждений, приведенных выше, и леммы 2 вытекают следующие достаточные условия оптимальности в задаче ( ).

Неравенства Гамильтона–Якоби в неклассических ЛКЗ Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

а) существует симметричная матричная функция 11 (), удовлетворяющая на матричному уравнению Риккати (6) с граничным условием 11 (1 ) = 11 ;

б) квадратичная форма денный -экстремальным управлением (5) и начальным условием (0 ) = 0, где вектор 0 определен формулой (8), а значение задачи ( ) удовлетворяет равенству Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

а) существует симметричная матричная функция 11 (), удовлетворяющая на матричному уравнению Риккати (6) с граничным условием 11 (1 ) = 11 ;

б) квадратичная форма Тогда существует множество оптимальных процессов, порожденных -экстремальным управлением (5) и начальным условием (0 ) = 0, где вектор 0 определяется формулой (9), а значение задачи ( ) удовлетворяет равенству Приведенные достаточные условия оптимальности теорем 1, могут показаться жесткими, однако дальнейший анализ показывает, что в предположении полной управляемости системы (1) они становятся и необходимыми. Для обоснования этого факта используются результаты из [9–11].

Сначала рассмотрим следующую линейно-квадратичную задачу оптимального управления со свободными концами траектории без ограничений на управление:

Заметим, что концевая форма здесь знакопеременная, так что нулевой процесс не обязательно оптимален. Перепишем задачу в форме Майера:

Будем искать разрешающую функцию в виде где 2 2 симметричная матричная функция () = () непрерывно дифференцируема и функция (0 ) непрерывна.

Во-первых, -экстремальное бипозиционное управление (5) определяется равенством (11) а дифференциальная система типа Риккати имеет вид Её решение приводит к бипозиционной -функции Применение теорем 1 и 2 приводит к следующим выводам:

1. Если < 2, то min( ) = 0 и глобально оптимальным является 2. Если = 2, то min( ) = 0 и существует бесконечное множество оптимальных процессов (0 ): (, 0 ) 0, (, 0 ) = 0 (1), (, 0 ) = 2, 0 R, полученных с помощью -экстремального управления (11).

Неравенства Гамильтона–Якоби в неклассических ЛКЗ 3. При > 2 inf( ) =, и оптимального процесса не существует. Для этого достаточно рассмотреть минимизирующую последовательность процессов { }: () =, () = /2, Очевидно, что нулевой экстремали соответствует сопряженная точка = 2 [12, 13], на которую (по аналогии со случаем фиксированного 0 ) указывает неограниченность значения исходной задачи при > 2. Мы получили этот вывод автоматически в процессе решения задачи, без специальных критериев проверки условия Якоби отсутствия сопряженных точек для фиксированной экстремали.

(Впрочем, для задач со свободным 0 такие критерии нам не известны.) Модифицируем пример, введя ограничение на управление |()| 1. Разберем этот вариант, используя канонические достаточные условия оптимальности с множеством сильно возрастающих функций [7, 8].

Ясно, что при < 2 процесс = 0 останется глобально оптимальным, а при = 2 оптимальными будут процессы (0 ) с 0 [1, 1] (остальные процессы серии (0 ) не допустимы).

Пусть теперь > 2. Отметим, что теперь а управление, минимизирующее функцию Понтрягина, имеет вид Во-первых, возьмем четыре линейные сильно возрастающие -функции дающие точное априорное описание множества достижимых точек каждого из уравнений управляемой системы. Далее, возьмем семейство (по ) сильно возрастающих -функций, линейных по фазам:

Поскольку все -функции линейны, то применяются достаточные условия, близкие к принципу максимума Понтрягина. Отметим, что конструкция функций использует прием нормировки -функций (см. [3, 4]).

В соответствие с достаточными условиями оптимальности канонической теории необходимо рассмотреть вспомогательную концевую задачу, допустимое множество которой определяется множествами надуровня функций и представляет собой внешнюю оценку множества точек, соединимых траекториями управляемой системы.

Чтобы не иметь в концевой задаче бесконечного числа ограничений, от семейства -функций { | || 2} перейдем к его нижней огибающей — к функции Множество функций, = 1, 5, обозначим через и рассмотрим соответствующую концевую задачу ( ()):

Эта задача имеет два решения, через которые с помощью -экстремального бипозиционного управления определяются глобально оптимальные процессы Неравенства Гамильтона–Якоби в неклассических ЛКЗ Заметим, что функции представимы в виде разности (,, ) (0, 0, 0 ), т.е. порождены традиционными, однако их нижняя огибающая * этим свойством не обладает.

При исследовании случая > 2 можно использовать и другое семейство -функций (вместо ):

дополненное априорными оценками.

Заключение Представленные в статье результаты распространимы на задачи управления дискретно-непрерывными (гибридными) системами линейно-квадратичной структуры, а также могут быть использованы для разработки численных методов решения таких задач.

Список литературы [1] Vinter R. B. Optimal Control. Boston : Birkhauser, 2000. – 520 p. [2] Дыхта В. А. Неравенство Ляпунова–Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения, 2006. Т. 110, c. 76– [3] Дыхта В. А. Неравенства Гамильтона–Якоби в оптимальном управлении:

гладкая двойственность и улучшение // Вестник Тамбовского ун-та. Сер.

Естественные и технические науки, 2010. Т. 15, № 15, c. 405–425 1, [4] Krotov V. F. Global Methods in Optimal Control Theory. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 195. New York : Marcel Dekker, 1996. – 384 p. 1, [5] Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. 2-е изд., перераб.

и доп. М. : Наука, Физматлит, 1997. – 288 c. [6] Clarke F. H., Ledyaev Yu.S., Stern R. J., Wolenski P. R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Grad. Texts in Math., Vol. 178. New York :

Springer-Verlag, 1998. – 276 p. [7] Дыхта В. А., Сорокин С. П. Позиционные решения неравенств Гамильтона-Якоби в задачах управления дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика, 2011, № 6, c. 48– [8] Дыхта В. А., Сорокин С. П. Неравенства Гамильтона-Якоби и условия оптимальности в задачах управления с общими концевыми ограничениями // Автоматика и телемеханика, 2011, № 9, c. 13–27 1, 2, [9] Матвеев А. С., Якубович В. А. Оптимальные системы управления:

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи: Учеб.

пособие. СПб. : Издательство С.-Петербургского университета, 2003. – – [10] Clements D. J., Anderson B. D. O. Singular Optimal Control: The LinearQuadratic Problem. Lecture Notes in Control and Information Sciences / ed.Balakrishan A. V., Thoma M. Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, [11] Pachter M. Revisit of linear-quadratic optimal control // Journal of Optimization Theory and Applications, 2009. Vol. 140, p. 301– [12] Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М. : Физматлит, [13] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988. – 280 c. Рекомендовал к публикации Программный комитет Молодёжной школы-семинара Сорокин Степан Павлович, м.н.с., Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, Образец ссылки на эту публикацию:

С. П. Сорокин. Бипозиционные решения неравенств Гамильтона– Якоби в неклассических линейно-квадратичных задачах оптимального управления // Программные системы: теория и приложения : электрон.

научн. журн. 2012. T. 3, № 5(14), с. 33–44.

URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2012_5_33-44.pdf S. Sorokin. Bi-positional solutions of Hamilton–Jacobi inequalities for non-classical linear-quadratic optimal control problems.

Abstract. Non-classical linear-quadratic optimal control problems are considered. New necessary and sufficient global optimality conditions are proved. These conditions use strongly monotone bi-positional solutions of Hamilton–Jacobi inequalities, which parametrically depend on initial or final data. Bi-positional control is obtained in explicit form. The method is illustrated by an example.

Key Words and Phrases: strongly monotone Lyapunov-like functions, canonical optimality conditions, linear-quadratic optimal control problems.





Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова Факультет психологии УТВЕРЖДАЮ Проректор по развитию образования _Е.В.Сапир _2012 г. Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Английский язык по специальности научных работников 19.00.01 Общая психология, психология личности, история психологии Ярославль 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Английский язык в соответствии...»

«Отчетная конференция по программе фундаментальных исследований Президиума РАН Молекулярная и клеточная биология (по результатам за 2009 и 2010 г.г.) ПРОГРАММА 9 – 16 ноября 2010 г. г. Москва Место проведения конференции: Учреждение Российской академии наук Институт молекулярной биологии им. В.А. Энгельгардта РАН г. Москва, ул. Вавилова, д. 32, конференц-зал. 9 ноября 2010 года, вторник Начало заседания в 12 час. 00 мин. Конференц-зал ИМБ РАН. Раздел (II) Синтез белка и регуляция экспрессии...»

«1 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Л.В.КИРЕНСКОГО Утверждено Ученым советом 12 ноября 2004 г. протокол № 8 ДОПОЛНЕНИЕ в программу-минимум кандидатского экзамена по специальности 01.04.11 физика магнитных явлений Красноярск 2004 1 2 Дополнительная программа по специальности 01.04.11 - физика магнитных явлений Молекулярная теория магнетизма Магнитные моменты атомов и молекул. Магнетон Бора. Магнитные моменты ядер. Строение электронных оболочек переходных и...»

«Эмпретек ПРОГРАММА ЭМПРЕТЕК КОНФЕРЕНЦИЯ ООН ПО ТОРГОВЛЕ И РАЗВИТИЮ ФЕВРАЛЬ 2012 1 1. КОНЦЕПЦИЯ ЭМПРЕТЕКА А. ОБОСНОВАНИЕ Общепризнано, что предпринимательство является одним из ключевых 1. факторов развития, и, что малые и средние предприятия ( МСП ) есть главный двигатель экономического роста. Динамизм МСП, их способность адаптироваться, их маневренность и инновационный потенциал превратили МСП в краеугольный камень экономических реформ, осуществляемых сегодня как в развитых, так и в...»

«Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Гремячинская основная общеобразовательная школа Рассмотрено на МС школы Утверждено Протокол № Директор школы: от __2013 г. _ С.Е.Чащухина _2013 г. Дополнительная образовательная программа Мир книги Направление: научно - познавательное Участники программы: учащиеся 2-4 классов Срок реализации программы: 3 года Составитель: Гашкова Т.Н. учитель начальных классов Гремяча 2013 Пояснительная записка Литературное чтение имеет большое значение в...»

«XLII Неделя науки СПбГПУ: программа научно-практической конференции c международным участием. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. – 166 с. Конференция проведена при финансовой поддержке Комитета по науке и высшей школе Правительства Санкт-Петербурга. © Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013 XLII Неделя науки СПбГПУ ПРОГРАММНЫЙ КОМИТЕТ Рудской Андрей Иванович – ректор СПбГПУ, чл.-корр. РАН, председатель Райчук Дмитрий Юрьевич – проректор СПбГПУ по научной работе,...»

«1-ая Международная конференция Модели инновационного развития фармацевтической и медицинской промышленности на базе интеграции университетской наук и и индустрии. 12-13 мая 2011 года Организаторы: При поддержке: Спонсоры: Партнеры: Информационная поддержка: ПРОГРАММА КОНФЕРЕНЦИИ День 1: 12 мая 2011 года, четверг 08:30 Регистрация. Кофе Концертный зал МФТИ 09:00 Открытие выставки и стендовой сессии. 2-й этаж, Холл Пленарная сессия: Технологии живых систем как драйвер 09:00 инновационного...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Исторический факультет УТВЕРЖДАЮ Проректор по развитию образования _Е.В.Сапир _2012г. Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) История и философия науки по специальности научных работников 07.00.03 Всеобщая история (история Древнего мира; новая история; новейшая история) Ярославль Цели освоения дисциплины История и философия науки 1....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ Согласовано Утверждаю _ _ Руководитель ООП Зав.кафедрой ГРМПИ по направлению 130400 проф. А.В.Козлов декан ГФ проф. О.И. Казанин ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ ПО ГЕОЛОГИИ Направление подготовки: 130400 Горное дело Специализации: Подземная разработка пластовых месторождений полезных ископаемых...»

«СЕМИНАР 23-24 октября ЭФФЕКТИВНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ отель Holiday Inn В МЕРЧЕНДАЙЗИНГЕ Алматы Ключевые темы Аудитория · Компании, имеющие собственную · Ассортимент. Какова должна быть выкладка? розничную сеть магазинов, или свой · Персонал магазина. Какие материалы способны магазин заменить продавца в магазине? · Компании, занимающиеся продвижением · Новинки. Что с ними делать и как их размещать? своего товара через чужую розничную сеть · Причины упущенных возможностей · Производители товаров, ·...»

«МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОГРАММА КУРСА ИСТОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН по специальности 030501.65 Юриспруденция Учебная программа Тематический план Планы семинарских занятий Тематика рефератов Тесты и задачи Вопросы для подготовки к зачету (экзамену) Москва 2008 Шестопалов А. П., Фумм А. М. Программа курса История государства и права зарубежных стран. – М. : МГЭИ, 2008. – 96 с. Одобрено кафедрой теории и истории государства и права. Протокол заседания кафедры...»

«Программа по биологии для поступающих в ГБОУ ВПО Кемеровская государственная медицинская академия Минздравсоцразвития Программа составлена на основе обязательного минимума содержания основного (общего) и среднего (полного) образования (приложения к Приказам Минобразования РФ №1236 от 19.05.98, № 56 от 30.06.99) и Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки РФ № 1897 от 17.12.2010) и среднего (полного) образования (приказ...»

«Академия исторических наук ОТ СОЛДАТА ДО ГЕНЕРАЛА Воспоминания о войне Том 4 Москва Издательство МАИ 2004 ББК 13.5.1 О 080 О 080 От солдата до генерала: Воспоминания о войне. Том 4. —М.: Изд-во МАИ, 2004. — 416 с.: ил. ISBN 5-7035-1386-3 В настоящем томе публикуются воспоминания советских участников боевых действий Второй мировой войны, подготовленные ими в 2003 году в рамках целевой программы Академии исторических наук. В томе представлены воспоминания 50 ветеранов войны в авторской редакции....»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение СОШ №15 с УИОП Управления образования Администрации г.о.Электросталь Московской области Утверждено приказом директора МОУ СОШ №15 с УИОП Русаковой М.Н. № 102/1-0 от 2.09.13г Рабочая программа по окружающему миру Во 2 Б классе (базовый уровень) на основе авторской программы А.А. Плешакова Составитель: учитель начальных классов Кононенко Анна Евгеньевна 2013 Пояснительная записка. Программа по окружающему миру для 1-4 классов разработана в...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение Тверской лицей города Твери Согласовано Утверждаю Председатель Совета Лицея Директор Лицея Клочкова И.В. Мейстер И.В. Протокол № _ от 2012 Приказ № _ от 2012 г. Основная образовательная программа МОУ Тверской лицей по ФГОС Основная школа Принята на заседании педагогического совета МОУ Тверской лицей Протокол № _ от 2012 Тверь 2012 0 Содержание Общие положения 1. Целевой раздел 1.1. Пояснительная записка 1.2. Планируемые результаты освоения...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО УЛЬЯНОВСКАЯ ГСХА ИМ. П.А. СТОЛЫПИНА УТВЕРЖДАЮ Ректор академии А.В.Дозоров 11 июня 2013 г. ОСНОВНАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по специальности 120701 Землеустройство Квалификация Техник-землеустроитель базовый уровень подготовки форма подготовки - очная Согласовано: Проректор по учебной и воспитательной работе М.В.Постнова 11 июня 2013 г. Ульяновск, 2013 г. Аннотация программы...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1 Г.МИЧУРИНСКА ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ Интеграция агробизнес-образования в систему общего образования в рамках взаимодействия МБОУ СОШ №1 и ФГБОУ ВПО Мичуринский агроуниверситет Мичуринск-Наукоград 2013г. 1 1. Обоснование необходимости проекта. В последние десятилетия во многих странах мира образовательные реформы объединяет общая цель: ориентация образовательного учреждения наболее...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет Рабочая программа дисциплины Административное право Направление подготовки 080200 - Менеджмент Профиль подготовки Государственное и муниципальное управление Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная Краснодар 2013 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Горно-Алтайский государственный университет Утверждаю: Ректор В.Г.Бабин 24 ноября 2011 г. Номер внутривузовской регистрации Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 050100 – Педагогическое образование Профиль подготовки _Русский язык и литература (ОЗО)_ Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения заочная Горно-Алтайск...»

«ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2012. № 1 УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА УДК 519.688 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 2012 г. С.А. Левшин, А.В. Горепекин Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Предлагаемый метод моделирования на базе временных функций...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.