МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ

ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

Воронежский филиал

С.И. Моисеев, Д.Б. Праслов

ЭЛЕМЕНТЫ

ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Воронеж – 2003

УДК 330.115

ББК 22.1 я 73

М74

Ре це нзе нт:

Нечаев В.Н., доктор физико-математических наук, профессор Моисеев С.И., Праслов Д.Б. Элементы высшей математики.

Учебное пособие. – Воронеж: ВФ МАЭП, 2003. – 86 с.

Учебное пособие содержит основные разделы курса высшей математики для студентов экономических специальностей: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения и ряды. В пособие изложен краткий теоретический материал, приведены примеры разобранных задач, вопросы для самопроверки со списком дополнительной литературой, типовые задания для самостоятельного решения (30 вариантов). Учебное пособие можно рекомендовать для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения, а также для проведения практических занятий и контрольных форм проверки знаний студентов.

© Моисеев С.И., Праслов Д.Б., © ВФ МАЭП, Часть I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА И ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Основные понятия Определение. Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).

Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х.

Способы записи множеств: А={х1, х2,…, хn}, А= {1, 2, 3, …,10}, А= {а є R | |a| 1}, Х = {х: |x-a|b}.

Определение. Множество U образует линейное пространство, если для любых двух его элементов X є U и Y є U определены операция сложения: X + Y = U и операция умножения любого элемента на число: X U, удовлетворяющие свойствам:

1) X + Y = Y + X, 2) X + 0 = X, 3) ( X + Y ) = X + Y, 4) ( X + Y ) + Z = X + (Y + Z ), 5) X + ( X ) = 0, 6) ( + ) X = X + X, 7) ( X ) = () X, 8) 1 X = X, где Z U, 0, – нулевой элемент (0 U ), а коэффициенты,,, 1 – действительные числа.

Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде X = ( x1, x 2,..., x n ), где xi (i = 1,2,..., n) - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерности и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5).

Нуль-вектор 0 = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.

Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.

Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления.

Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором T = (t1, t 2,..., t n ), а соответствующие цены – вектором P = ( p1, p 2,..., p n ).

§ 2. Действия над n-мерными векторами Пусть даны векторы X R n и Y R n.

Определение. Суммой векторов X и Y называется вектор X + Y = ( x1 + y1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0);

(3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).

Определение. Произведением вектора X = ( x1, x 2,..., x n ) на число называется вектор X = (x1, x2,..., xn ), т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rn является частным случаем введенного ранее линейного пространства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов X = ( x1, x2,..., xn ), и Y = ( y1, y 2,..., y n ) называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:

X Y = x1 y1 + x 2 y 2 +... + x n y n.

Пример: Пусть A = (2, 4) и B = (1,7).

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. X Y = 0.

X Y = 7 1+ (3) 9 + 5 4 = 0, т.е. X и Y ортогональны.

Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством.

Примеры:

1. Множество трехмерных векторов R3.

2. Множество двумерных векторов R2.

3. Множество R1 = R – множество действительных чисел.

§ 3. Линейная зависимость и независимость векторов Пусть A1, A2,...,An – векторы из некоторого линейного пространства.

Определение: Линейной комбинацией векторов A1, A2,..., An, называется выражение вида: 1 A1 + 2 A2 +... + n An, где 1, 2,..., n – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число (1 A1, 2 A2,..., n An ), также вектор.

Примеры:

1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);

Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов A1, A2,..., An получить нулевой вектор 0 при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах i = 0 мы всегда получим 0 ).

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.

И наоборот, если вектор A 0 представлен в виде линейной комбинации остальных векторов A1, A2,..., An, то он в совокупности с ними дает систему A 0, A1, A2,..., An линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0.

Т.е. векторы A1, A2,..., An будут линейно независимы, если равенство 1 A1 + 2 A2 +... + n An = 0 возможно лишь при всех i = 0 (i = 1.2,..., n).

Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.

Пример. Будут ли векторы A = (2,4) и B = (5,1) линейно зависимыми?

Решение. Составим линейную комбинацию A + B = 0. Подставим координаты и выполним действия над векторами:

(2,4)+(5,1)=(0,0)(2,4)+(5,)=(0,0)(2+5,4+)=(0,0).

В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:

Решив эту систему уравнений, получаем: = 0, = 0, а это значит, что А и В линейно независимы.

Пример. Будут ли векторы A = (2,4), B = (5,1) и C = (2,1) линейно зависимыми?

Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к 0 :

A + B + C = 0; (2,4) + (5,1) + (2,1) = (0,0).

Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим Решим систему уравнений: =, = 3.

В этом решении число играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения и, которые вместе с дают то или иное решение системы. Так, при 0 получим 0 и 0, из чего следует, что векторы A, B, C дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

§ 4. Базис. Разложение векторов по базису Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.

Пусть = {a1, a2, a3,..., an } – базис пространства Rn и b R n. Тогда найдутся такие числа 1, 2, …, n, что b = 1a1 + 2 a2 +... + n an.

Коэффициенты разложения 1, 2, …, n, называются координатами вектора b в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Пример. Доказать, что векторы a1 = (2,0,0), a2 = (0,1,1), a3 = (0,1,4) образуют базис в R3.

Решение. Покажем, что равенство 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 = 0 возможно только при 1 = 2 = 3 =0:

Решив систему, получим 1=0, 2=0, 3 =0. Так как все i=0 (i=1,2,3), то a1, a 2, a3 - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.

Очевидно, любой новый набор из векторов a 2 = (0, C 2,0), a3 = (0,0, C3 ) может тоже быть взятым в качестве базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.

Пример. Разложить вектор b = (0,4,3) по базису a1, a2, a3.

Решение. b = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3. Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:

Приравняв координаты, получим систему уравнений:

Таким образом, получим разложение: b = a 2 + a3.

В базисе a1, a 2, a3 вектор b имеет координаты (0,, ).

Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется линейным пространством? Приведете примеры.

2. Что называется n-мерным вектором?

3. Дайте определение линейных операций над n-мерными векторами.

Что называется линейной комбинацией векторов?

4. Что называется арифметическим n-мерным векторным пространством, евклидовым линейным пространством? Приведите примеры.

5. В каком случае система векторов называется линейно независимой?

6. Что называется базисом векторного пространства?

7. Что называется координатами вектора в данном базисе?

8. Что называется размерностью векторного пространства?

Литература 1: [1] (63-93); [2] (22-56); [3] (93-106); [5] (9-14), (23-27), [9] (103 - 111).

ТЕМА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение систем линейных алгебраических уравнений. Для изучения методов решения систем уравнений введем понятия матриц и определителей.

Определение. Таблица mn чисел аij вида Список литературы в конце пособия. Номер книги в квадратных скобках, страниц – в круглых.

a11 a12...a1n a11 a12...a1n a21a22...a2 n a21a22...a2 n столбцов, называется матрицей.

Числа aij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.

Матрицы А=(аij) и В=(bij) называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенство aij = bij.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го порядка.

В квадратной матрице элементы a11, а22, … аnn составляют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:

1. Умножение матрицы на число Пример. Найти произведение матрицы A = 1 4 5 на число =3.

2. Сложение (вычитание) матриц Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:

3. Умножение матриц Пусть даны матрица A = матрица B = Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с матрицей В).

Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица cij (i = 1,..., k ; j = 1,..., m) находится как сумма произведений элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц A = 1 3 2 и B = 1 5.

Пример. Найти произведение матриц A = Еще раз отметим, что в матрице-произведении число строк равно числу строк матрицы А и число столбцов равно числу столбцов матрицы В.

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющие данную матрицу.

тель n-го порядка обозначается символом:

В определителе различают строки и столбцы. Числа aij (i=1,…,n;

j=1,…,n) называются элементами определителя.

Определение. Минором Мij элемента аij определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя путем вычеркивания i-ой строки из j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.

Определение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется произведение (-1)i+jМij.

Не вводя строгое понятие определителя, дадим лишь правило его нахождения.

где i- любое из чисел 1,2,…,n, Аij – алгебраическое дополнение элемента аij.

Найдем по формуле (2) определитель 2-го порядка, выбрав, наприaa мер, i=1: = 11 12 = a11 (1)1+1 a22 + a12 (1)1+2 a21 = a11 a22 a12 a21.

Из формулы (2) следует, что вычисление определителей N-го порядка сводится к вычислению определителей (n-1)-го порядка (т.е. миноров). Те, в свою очередь, опять по формуле (2) сводятся к определителям (n-2)-го порядка. Процесс нахождения определителей продолжается до получения миноров 2-го или 1-го порядка. Запись (2) называется разложением определителя по элементам i-ой строки.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка = 0 1 5.

Разложение было выполнено по элементам 1-ой строки.

Заметим, что если некоторые элементы строки, по элементам которой производится разложение, равны нулю, то вычисление значительно упрощается. Обычно, пользуясь свойствами определителя, преобразуем его таким образом, чтобы в выбранной строке (выбранном столбце) все элементы кроме одного, равнялись нулю.

1. Величина определителя не меняется от замены строк столбцами (проверьте самостоятельно). Из этого свойства следует, что определитель можно найти, разлагая его также и по элементам какого-либо столбца: = 2. Если любую строку или столбец матрицы умножить на некоторое число, то определитель также умножится на это число. При этом общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

3. Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка:

Решение.

1) Вынесем из второго столбца за знак определителя общий множитель 2; умножим первую строку на (–4) и сложим со второй строкой; умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей; умножим первую строку на (–2) и сложим с четвертой, получим:

Вынесем за знак определителя из третьей строки общий множитель 2, получим определитель Разложим определитель по элементам первого столбца, получим определитель третьего порядка, который вычислим, разлагая его по элементам 1-й строки:

Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной, если ее определитель n-го порядка 0. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Определение. Матрица В называется обратной для данной квадратной матрицы А, если АВ =ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обратную матрицу для данной матрицы А обозначают А-1, поэтому:

Если квадратная матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.

Пусть задана квадратная матрица Тогда обратная матрица А-1 находится следующим образом:

где – определитель матрицы А, Аij – алгебраическое дополнение элемента аij (i=1,…,n; j=1, …, n). Необходимо обратить внимание, что, находя алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А, в обратной матрице А-1 мы записываем их по соответствующим столбцам.

Пример. Найти матрицу, обратную матрице A = 0 1 5.

Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы А вычислен ранее:

Так, как 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

A Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными Пусть составленный из коэффициентов при неизвестных определитель:

Тогда система (1) имеет единственное решение где определитель k (k=1,2,…n) получен из определителя путем замены k-го столбца столбцом свободных членов системы (1).

Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение. Вычислим определители, 1, 2, 3.

Ответ: х1=1, х2=0, х3= -1.

Метод Гаусса Пусть дана система уравнений (1).

Предположим, что среди коэффициентов a11.a21,..., an1 при неизвестном х1 имеются коэффициенты, отличные от нуля. Пусть одним из таких коэффициентов является а11. Разделим первое уравнение системы (1) на а11, получим:

Это уравнение умножим на (–а21) и сложим его со вторым уравнением системы (1), затем уравнение (2) умножим на (-а31) и сложим его с третьим уравнением и т.д. С помощью таких операций исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Оставляем неизменным первое уравнение системы (1), а к оставшимся применяем тот же прием, т.е. в n-2 уравнениях исключаем неизвестное х2 и т.д.

Систему уравнений (1) приведем к треугольному виду:

Пусть = a11 a' 22... a' nn 0. Из последнего уравнения системы (3) найдем хn. Подставляя затем это значение в предыдущее уравнение, найдем хn-1 и т.д. Продолжая эту процедуру, дойдем до первого уравнения, из которого путем подстановки уже найденных значений х2, х3, …, хn получим неизвестное х1.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Заметим, что во втором уравнении системы коэффициент при х1 равен 1. Поменяв местами первое и второе уравнения, получим систему:

Умножим первое уравнение системы (5) на (–2) и сложим его со вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение на (–3) и сложим его с третьим уравнением. Получим следующую систему уравнений:

Разделим второе уравнение системы (6) на (-5), затем полученное уравнение умножим на 9 и сложим с третьим уравнением системы (6).

В результате придем к системе (7) Из третьего уравнения находим х3=-1. Подставим это значение во второе уравнение системы (7) и найдем х2:

Подставляя полученные значения х2 = 0 и х3 = -1 в первое уравнение системы (7), найдем х1 : х1 + 20-1(-1)=2, или х1 = 1.

Ответ: х1 = 1, х2= 0, х3 = -1.

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы.

Введем для системы линейных уравнений (1) следующие матрицы:

Систему (1) представим в матричной форме АХ = В, которая эквивалентна исходной. Действительно, если перемножить матрицы А и Х и приравнять элементы матрицы-произведения к соответствующим элементам матрицы В, то получим систему уравнений (1).

Умножим обе части уравнения АХ = В слева на матрицу А-1, получим А-1 (АХ) = А-1 В или (А-1 А) Х= А-1 В.

Эта формула дает решение системы в матричной форме.

Пример. Решить систему Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы A = 3 1 2.

Определитель матрицы А: = 3 1 2 = Так как определитель матрицы А отличен от 0, то обратная матрица существует. Найдем ее по формуле A 1 = A12 A22 A32, вычисA13 A23 A лив предварительно алгебраические дополнения. Получим:

Найдем матричное решение системы:

Ответ: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется матрицей? Какие действия производятся над матрицами?

2. Что называется определителем, минором, алгебраическим дополнением? Как вычислить определитель?

3. Какая матрица называется обратной для данной матрицы и как ее можно найти?

4. Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Литература: [1] (9-56); [2] (5-97); [3] (50-92); [4] (259-274); [5] (309-324);

[6] (188 – 220); [9] (70 – 71, 74 - 76).

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

в декартовых прямоугольных координатах При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме.

1) при сложении (вычитании) векторов a и b получим вектор 2) при умножении вектора a на число получим вектор a = ax, a y ;

при скалярном произведении векторов a и b получим число Расстояние между двумя точками Даны точки А (xA, yA) и В (xВ, yВ). Расстояние между ними найдем, как длину вектора AB = (xВ – xА, yB - yA). Из скалярного произведения скалярное произведение через координаты вектора AB, получаем расстояние между двумя точками Угол между двумя векторами Даны два вектора: a = a x, a y и b = b x, b y. Косинус угла между ними:

Деление отрезка в заданном отношении Пусть даны точки А (xА yА), и В (xВ yВ). Требуется найти координаты точки С (x, y), делящей отрезок АВ в заданном отношении :

Для решения задачи воспользуемся действием умножения вектора на число. Перепишем отношение = в виде: |AC|=|CB|. Такое соотношение длин может быть получено при выполнении действия В равных векторах равны соответствующие координаты:

Из этих уравнений найдем неизвестные координаты точки С:

В частности, для середины имеем | AC |=| CD | и поэтому =1.

Следовательно, координаты середины отрезка находятся по формулам:

Условия параллельности и перпендикулярности векторов Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов a = ax, ay и b = bx, b y равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство b = a одного направления с a при > 0и противоположного направления при < 0. Но всегда векторы a и b будут параллельны.

Поэтому условием параллельности векторов a и b будет проby порциональность их соответствующих координат: x =.

Пример. Найти длину медианы СЕ в треугольнике АВС с вершинами: А (3,3), В (–1,1), С (0,1).

Решение. Так как Е – середина отрезка АВ, то по формуле (4) имеем:

Длину медианы СЕ найдем по формуле (1):

d = (1,2) будут параллельны и какие перпендикулярны между собой?

Решение. Векторы a и b перпендикулярны, т.к. a b = 2 2 4 1 = 0.

Векторы a и d параллельны, т.к. a = 2d.

Пример. Найти геометрическое место точек, удаленных от точки А(а,b) на одно и тоже расстояние R.

Решение. Если М(х,у) – произвольная точка искомого геометрического места, то всегда |АМ|=R или ( x a) 2 + ( y b) 2 = R, (х-а)2 + (у-b)2 = R2 – искомое уравнение.

Понятия уравнения линии является дальнейшим развитием метода координат. Если точка в аналитической геометрии на плоскости определяется двумя числами (координатами точки), то линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки линии (уравнение линии).

Составление уравнения линии заключается в алгебраической записи свойства, характеризующего эту линию как геометрическое место точек.

Точка пересечения двух линий, заданных уравнениями, может быть найдена путем решения системы, образованной из этих уравнений.

На примере уравнения окружности (х–а)2 + (у–b)2 = R2 видно, что кроме текущих координат х и у, уравнение может содержать еще и некоторые величины, остающиеся неизменными для данной фиксированной линии, но изменяющиеся при переходе к другой линии того же типа. В нашем примере это величины а, b и R, имеющие для каждой окружности свое значение. Такие величины называются параметрами, они определяют форму и размеры линии (например, параметр R в уравнении окружности), а также положение ее на плоскости относительно системы координат (как, например, координаты а и b центра окружности).

Пример. Найти уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой х = –2 и точки F (2,3).

Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии.

Расстояние от точки М до прямой х = –2 есть длина перпендикуляра MN, опущенного из М на прямую. Определим координаты точки N. Очевидно, что абсцисса точки N равна –2, а ордината точки N равна ординате точки М, т.е. N(–2,у). По условию задачи |MN|=|MF|. Следовательно, для любой точки М(х,у), принадлежащей искомой линии, справедливо равенство:

Упростим полученное уравнение:

Это и есть искомое уравнение.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Напишите формулу, по которой определяется расстояние между двумя точками, если: а) точки имеют одинаковые абсциссы, но разные ординаты; б) точки имеют одинаковые ординаты, но разные абсциссы; в) одна из точек совпадает с началом координат.

2. Чем отличаются друг от друга декартовы координаты двух точек, симметричных относительно оси Оу?

3. Как выражаются координаты середины отрезка через координаты его концов?

4. Как по координатам трех точек установить, лежат ли они на одной прямой?

5. Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

6. Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

7. Всегда ли уравнение вида f ( x, y ) = 0 определяет некоторую линию на плоскости? Приведите примеры?

Литература: [1] (95-103); [2] (101-108); [3] (10-16); [4] (34-51); [5] (20-21,28,37-39); [6] (20-25,29-37); [9] (6-15).

§ 3. Уравнение прямой линии в пространстве R2:

общее, каноническое уравнение прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом В декартовой системе координат прямая представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого общего уравнения.

Условие параллельности векторов M 0 N =(х-х0; у-у0) и S = (l, m), дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости:

Введем вектор n = (A, B), перпендикулярный искомой прямой. Тогда из условия перпендикулярности векторов n и M 0 N можно записать n M0 N = 0. В результате получаем уравнение: А(х-х0)+В(у-у0)=0 или где С=–Ах0–Ву0.

Решение. В качестве направляющего вектора S можно взять вектор j = (0,1). Подставив данные в уравнении (1), получим: =.

Это каноническое уравнение обычно переписывают в общем виде: х – 2 = 0 или х = 2.

При B 0 общее уравнение прямой (2) можно переписать в виде:

Уравнение (3) называется уравнением с угловым коэффициентом;

угловой коэффициент k = tg, где – угол наклона прямой к оси Ох.

При k = 0 ( = 0)уравнение (3) дает прямую, параллельную оси Ох. Из уравнения (3) нельзя получить уравнение прямой, параллельной оси Оу.

Поэтому все семейство наклонных прямых (3) дополняется прямыми:

параллельными оси Оу. Уравнение (4) получено из уравнения (2) при Уравнение прямой, проходящей через 2 точки Подставим l = x1 – x0 и m = y1 – y0 в каноническое уравнение (1), получим уравнение прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Пусть дана точка М0(х0, у0). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 в заданном направлении.

Задачу будем решать в зависимости от того, как определено направление прямой. Если направление задается вектором S, то такая прямая описывается уравнением (1). Если задан угловой коэффициент k = k1, то уравнение прямой будет находить в форме (3): y = k1x + b.

Неизвестный коэффициент b найдем из условия y 0 = k1 x 0 + b (точка М0 принадлежит прямой). Найденное b = y0 – k 1 x0 подставим в уравнение y = k1x + b. Искомое уравнение прямой запишем в виде:

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2,7) параллельно прямой 2х-4у+3=0.

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой 2х – 4у+ 3 = 0:

Для искомой прямой угловой коэффициент будет таким же, так как прямые параллельны. Подставим данные в уравнение (6):

Направляющие векторы этих прямых: S1 = (l1, m1 ) и S 2 = (l2, m2 ).

Угол между прямыми найдем из скалярного произведения вектоS1 S 2 l1 l 2 + m1 m Пусть заданы общие уравнения прямых 1 и 2 : А1х+В1у+С1 = 0 и А2х+В2у+С2=0. Тогда нормали к этим прямым: n1 = ( A1; B1 ) и n2 = ( A2 ; B2 ), Условием перпендикулярности прямых будет соответственно:

l1l 2 + m1 m2 = 0, либо A1 A2 + B1 B2 = 0, либо k1k 2 + 1 = 0.

Из последнего равенства следует, что k 2 = 1 k1. Таким образом угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратные по величине и противоположны по знаку.

Условием параллельности прямых будет соответствовать:

Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х1, у1). Требуется найти расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по формуле:

Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(–2,3), В(1,12), С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ;

4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.

Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х1, у1) и АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой:

2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые уравнения прямой АВ следует, что kAB =3, тогда kCD = 1 3.

Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y – y 1 = k(x – x 1 ). Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент kCD получим искомое уравнение высоты СD:

3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деления вершин В и С получаем:

По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ:

4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b) имеет вид (х – а)2 + (у – b)2 = R2.

Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕ пополам. Находим координаты точки К:

Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние d между двумя точками плоскости М1(х1,у1) и М2(х2,у2) определяется по формуле:

d = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 ) 2. Подставив координаты точек А и К, получаем AK = (2 + 2) 2 + (6 3) 2 = 5, т.е. R=5. Следовательно, (х – 2)2 + (у – 6)2 = 25 – искомое уравнение окружности.

Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(–1,0), С(4,1) найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5):

Найдем длину высоты АЕ по формуле (7):

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какой характерный признак отличает уравнение прямой в декартовой системе координат от уравнений других линий?

2. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член, б) одна из координат, в) одна из координат и свободный член? Напишите уравнение осей декартовой системы координат.

3. Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

4. Как найти угловой коэффициент прямой, если известно ее общее уравнение? Можно ли найти угловой коэффициент прямой не составляя ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это сделать?

5. Как найти расстояние от данной точки до данной прямой, заданной уравнением общего вида?

6. Сформулируйте условие параллельности двух прямых.

7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых.

8. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

9. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

10. Напишите общее уравнение прямой.

11. Как найти угловой коэффициент прямой, если дано ее общее уравнение?

12. Как установить, принадлежит ли точка М(х,у) прямой, имеющей уравнение Ах+Ву+С=0?

13. Как расположена на плоскости прямая, уравнение которой Ах+Ву=0? Ах+С=0? Ву+С=0? Ах=0? Ву=0?

14. Как найти координаты точки пересечения двух прямых, если даны их уравнения?

Литература: [1] (95-103); [2] (104-108); [5] (39-47); [6] (38-49); [9] (15-25).

ТЕМА 4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Линия на плоскости называется алгебраической, если ее можно задать уравнением P(x,y)=0, где P(x,y)- целый многочлен от переменных х, у.

Степень многочлена P(x,y) называется порядком линии. Примером алгебраической линии первого порядка является прямая в R2, заданная уравнением Ах+Ву+С=0, примером линии второго порядка является окружность (х-а)2+(у-b)2=R2. При обработке данных практики и при построении эмпирических зависимостей часто приходится использовать кривые линии. В этом случае используют алгебраические линии второго порядка.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид:

Чтобы эту линию изобразить в системе координат, уравнение (1) приводят к каноническому виду путем преобразования координат: поворота и параллельного переноса координатных осей. Рассмотрим более простой случай уравнения (1) при С = 0:

Оно может быть приведено к каноническому виду только параллельным переносом координатных осей.

§ 2. Кривые второго порядка, заданные в каноническом виде Гипербола задается уравнениями При a=b гипербола называется равнобочной. Полуось b в первом случае и полуось a во втором случае называются мнимыми, т.к. линия не Парабола задается уравнениями: y 2 =qx либо x 2 =qy.

Область определения D( y ) = (,0) U (0, +).

Свойствами четности, нечетности функция не обладает. График пересекается с осью Ох в точке x = 3 4. Критические точки: х=2, х=0.

Последняя не входит в область определения, поэтому ее не рассматриваем. Найдем у(2)=3 и нанесем точку (2,3) на плоскость Оху.

Исследуем поведение у в окрестности точки х = 2. При 00. Следовательно в точке х=2 функция имеет минимум.

На промежутке (–, 0) y ' >0, следовательно функция возрастает. Исследуем направление выпуклости графика. Всюду y ''> 0, следовательно точек перегиба нет и кривая всюду вогнута. Исследуем функцию вблизи точки разрыва непрерывности х = 0 и при х, х –:

Прямая х=0 – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту y=kx+b:

Получим наклонную асимптоту у=х. Строим график функции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

2. Покажите, что функция у=ех возрастает, а функция у=-х3–2х убывает в любом промежутке/ 3. Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции? Сформулируйте два правила. Что такое стационарная (критическая) точка?

4. Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

5. Чем отличается максимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего значения? То же о минимуме и наименьшем значении функции.

6. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке? Всегда ли они существуют?

7. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции? Приведите примеры.

8. Что называется асимптотой кривой?

9. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?

10. Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?

Литература: [1] (216-234); [2] (233-245); [3] (169-178); [4] (140-150);

[5] (122-145); [6] (84-214).

ТЕМА 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Переменная z называется функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде: z= f (x,у). Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R3.

Геометрическим образом функции z= x 2 + y 2 является параболоид.

Пусть z= a, тогда x 2 + y 2 = a, т.е. линия пересечения плоскости z=a с поверхностью z= x 2 + y 2 есть окружность x 2 + y 2 = a радиуса R = a.

Пусть у=0, тогда z=x2 и, следовательно, при пересечении плоскости Oхz с поверхностью получается парабола. Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический образ данной функции.

Определение. Число А называется пределом функции z= f (x, у) в точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число > 0, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется неравенство Основные свойства интегралов Пример. Вычислить интегралы:

§ 2. Замена переменной в неопределенном интеграле Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) x = (t ), где (t ) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: f ( x )dx = f [(t )] (t )dt ;

б) U = (x), где U – новая переменная. Формула замены переменf ( x)dx = f [ ( x)] ( x)dx = f (U )dU.

ной при такой подстановке:

Примеры.

1. Найти интеграл Решение. Перепишем данный интеграл в виде Так как производная выражения 2 ln x + 3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку 2 ln x + 3 = t. Тогда ждение интеграла сводится к отысканию другого интеграла применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

P( x) cos xdx, где P(x) – многочлен, за следует принять P(x), а за dU соответствует выражение e x dx, sin xdx, cos xdx. Для интеграP( x) ln xdx, P( x) arcsin xdx, P( x) arccos xdx dU – выражение P(x)dx.

Пример. Найти интеграл Решение. Положим = x, dU = sin dx, тогда d = dx, U = cos x.

Отсюда Рациональной дробью называется дробь вида, где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Наx3 6 3x Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида ( x a) и ( x 2 + x + q), а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

Пример. Найти интеграл Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:

Разложим знаменатель на линейные множители по формуле:

откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа значит: 4 A = 2,

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Постройте кривые семейства y = xdx, проходящие через точки М1(2,1), М2(2,2), М3(2,3).

4. Каковы основные методы интегрирования функций?

5. Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов:

6. Выведите формулу интегрирования по частям.

Литература: [1] (251-278); [2] (278-286); [3] (202-211); [4] (159-176);

[5] (157-177); [6] (231-254).

ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Формула Ньютона – Лейбница где F(x ) – первообразная для f (x ), т.е. F'(x )= f (x ).

Пример.

2. Вычислить Решение. Положим ln x = t, тогда § 2. Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), [f1(x)f2(x)] Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = –x 2, y = –x –2.

Решение. Сделаем чертеж.

Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:

–x 2 = –x –2 или x 2 –x –2= 0, = –3+ 1,5+ 4+ 2=4,5.

Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции воb круг оси Ох; находится по формуле: V Длина кривой, заданной уравнением y = f (x), a x b, выражается следующим образом: l = 1 + ( f ( x ) )2 dx

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется интегральной суммой данной функции f (x) на данном отрезке[a, b]?

2. Что называется определенным интегралом данной функции f (x) на данном отрезке [a, b]? Каковы его основные свойства и геометрический смысл?

3. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

4. В чем состоит способ подстановки и интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла?

5. Какие геометрические величины можно вычислять с помощью определенного интеграла? Напишите основные формулы и приведите примеры.

6. Какой экономический смысл определенного интеграла?

7. Напишите формулу трапеции для приближенного вычисления определенного интеграла.

8. Какие из приведенных интегралов являются несобственными:

несобственных интегралов существуют?

9. Каков геометрический смысл несобственного интеграла?

10. Может ли при вращении бесконечно протяженной кривой вокруг какой-либо прямой образоваться тело конечного объема? Рассмотрите пример кривой y = e – x, (0x + ), вращающейся вокруг оси Ох.

Литература: [1] (283-217); [2] (287-303); [3] (212-222); [4] (177-214);

[5] (179-208); [6] (255-279, 513-538).

ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Уравнение вида связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = (х, С1, С2, …, Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у/, у//, …, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Уравнение вида y'+(x )y =f (x ), где (x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y =e 2x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х = 0, у= 1.

Решение. Данное уравнение является линейным.

Здесь (x)= 3 и f (x)= e2x.

Решение ищем в виде y=U·, где U и – некоторые функции от х.

Находим y'=U'+U' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' +U '+ 3U =e 2x или U' +U( '+ 3 )= e 2x.

Найдем одно значение, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: '+ 3= 0. Получим уравнение с разделяющимися переменd d ными. Решая его получаем:

Подставляем найденное значение в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.

Частное решение имеет вид: y = e 5 x + e 3 x.

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Уравнение вида y''+y'+qy =f (x ), где и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

Уравнение называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D= 2 –4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D> 0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1 К2), и общее решение имеет вид y = C1e K1 x + C 2 e K 2 x.

2. При D= 0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1 = К2 = К), и общее решение имеет вид: y = e Kx (C1 + C 2 x).

3. Если D< 0, то корни характеристического уравнения комплексD ±i D 0), имеет вид y = e (C 1 cosx + C 2 sin x).

Пример 1. Найти общее уравнение y ''–y '–2y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K 2 –K–2= 0, его корни К1 = 1, К2 = –2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C 1 e x + C 2 e – 2 x.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y ''–2y '+ y=0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 –2К+ 1= 0, его корни К1 = К2 = 1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = e x (C 1 + C 2 x).

Пример 3. Найти общее решение уравнения y ''–4y '+ 13y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 –4К+ 13= 0, его корни К1 = 2+ 3i, К2 = 2–3i комплексные. Обще решение уравнения имеет вид y = e 2 x (C 1 cos3x + C 2 sin 3x).

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:

где f (x ) – непрерывная функция, отличная от нуля.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения ~ неоднородного уравнения (3) и общего решения y о соответствующего однородного уравнения (1):

Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).

1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=exPn(x), где Pn(x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ~ ищем в виде ~ = Qn ( x ) x r ex, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y '+y =x 2 + 1.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo = e x (C 1 + C 2 x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения x 2 2 x + 1 = 0 не равен нулю (К 1 = К 2 = 1), то частное решение ищем в виде ~ = Ax 2 + Bx + C, где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды ~ =Ax 2 +Bx+C и подставляя ~ =Ax 2 +Bx+C, ~' = 2 Ax + B, ~' ' = 2 A в данное уравнение находим 2A –4A x –2B +A x 2 +Bx +C=x 2 +1, или A x 2 +(B –4A )x +2A –2B +C=x 2 +1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo = C 1 e x + C 2 e – 2 x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e x при =2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде ~ =A · e 2 x.

Дифференцируя и подставляя ~ в уравнение получаем:

Подставляя найденное значение А в выражение для ~, найдем ча- y стное решение данного уравнения ~ = e 2 x и общее решение запиy ние, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. y = C1e x 2C 2 e 2 x + e 2 x.

Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:

Подставляя найденное значение С1 и С2 в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения 2) Пусть правая часть имеет вид f ( x) = e x (a cos x + b sin x ) и + i, (–i ) не является корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение ищем в виде ~ = e x ( A cos x + B sin x ).

Если же +i, (–i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде ~ = e x x ( A cos x + B sin x ).

Пример 6. Найти общее решение уравнения y + y = sin 2 x.

Решение. Здесь характеристическое уравнение К2 + 1 = 0 имеет корни К1=i, К2 = -i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C 1 cosx + C 2 sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция sin 2 x, то есть a= 0, b= 1, = 2. Так как = 2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: ~ = A cos 2 x + B sin 2 x.

ние, получим 3 A cos 2 x 3B sin 2 x = sin 2 x, откуда A = 0, B =, т.е. частное решение y

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Что называется порядком дифференциального уравнения? Приведите примеры.

2. Что называется решением дифференциального уравнения? Приведите примеры.

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое – частным? Каков их геометрический смысл?

4. Каков геометрический смысл начальных условий дифференциального уравнения первого порядка? Как из общего решения дифференциального уравнения первого порядка можно получить его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условия?

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными и как оно интегрируется? Приведите примеры.

6. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным и как оно интегрируется? Приведите примеры.

7. Каков геометрический смысл начальных условий для дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какое дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным? В каких случаях оно называется однородным и неоднородным?

9. Каковы свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка? Какова структура его общего решения?

10. Какова структура решений неоднородного дифференциального уравнения?

11. Какова зависимость решения от вида правой части?

Литература: [1] (325-353); [2] (352-370); [3] (223-237); [4] (416-448);

[5] (209-229); [6] (с. 445-500).

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел U1,U 2,KU n. Тогда выражение называется числовым рядом. Здесь U n – общий член ряда.

Примеры:

= U 1 + U 2 + K + U n называются частичными суммами ряда (1).

Определение. Если последовательность S1, S 2,K, S n частичных сумм имеет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то lim U n = 0. Обратное утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет расходиться.

Достаточные признаки сходимости 1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых n N выполняется U n n. Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

2. Признак Даламбера Пусть дан ряд с положительными членами U 1 + U 2 + K + U n + K и существует lim расходится, а при = 1 вопрос остается открытым.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Знакочередующимся называется ряд вида ваются знакочередующимися.

Признак абсолютной сходимости Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (5).

Признак сходимости Лейбница Пусть имеется знакочередующийся ряд Если одновременно выполняются следующие два условия:

2) lim U n = 0, то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена: S U1.

вается степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2, …, ak,… – коэффициенты ряда, a0 – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов вида Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:

Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала сходимости (при x = ± R ).

Разложение функции f (x ) в ряд Маклорена имеет следующий вид:

Наиболее употребительны разложения следующих функций:

Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному Определяем радиус сходимости:

Интервал сходимости имеет вид: ;.

Пусть x =. Получаем числовой ряд:

Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

Оба условия выполняются, следовательно ряд при x = 5 6 сходится.

Пусть x = 5 6. Имеем числовой ряд:

неравенство как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда ;.

Решение.

= 2[1 + 0,01562 0,00037 + 0,00001 K].

Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.