МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(2 семестр)

Учебно-методическое пособие

для подготовки к экзамену

и

компьютерному тестированию.

2014 2 Авторы-составители: Дымков М.П. - д.ф. - м.н., профессор, Денисенко Н.В.- к.ф.- м.н., доцент, Конюх А.В. - к.ф. - м.н., доцент, Майоровская С.В. - к.ф. - м.н., доцент, Петрович В.Д., - старш. преп., Рабцевич В.А.- к.ф. - м.н., доцент,.

Высшая математика (2 семестр): Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию для студентов ЗФО. - Мн.: БГЭУ, 2014. - 60 с.

Учебно-методическое пособие включает спецификацию теста, краткое описание тематики тестов, варианты возможных тестов, часть которых дана с ответами, а остальные приведены для самостоятельного решения. В сборник материалов включены примеры типовых тестовых заданий, разработанные преподавателями кафедры высшей математики БГЭУ.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Спецификация теста

Содержание учебного материала

Литература

Тематические тестовые задания

Примеры заданий на сопоставление

Раздел II. Математический анализ

Функции двух переменных

Неопределенный интеграл

Определенный интеграл

Дифференциальные уравнения

Числовые и степенные ряды

Примерные варианты тестов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие предназначено для использования студентами ЗФО при самостоятельной подготовке к компьютерному тестированию по курсу «Высшая математика (Второй семестр)», введенному вместо письменных контрольных работ.

Тестовые задания разработаны в соответствии с требованиями учебных программ высших учебных заведений для студентов экономических специальностей.

Просьба сообщать на кафедру высшей математики (ауд. 430, уч. корп. 2) сведения (лучше в письменном виде и подробно) обо всех замеченных сбоях программы, ошибках и неточностях в заданиях.

СПЕЦИФИКАЦИЯ ТЕСТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(2 семестр) Введение Тест по курсу «Высшая математика» разработан для его использования при оперативном контроле текущей успеваемости и промежуточной аттестации студентов с целью оценки их уровня подготовки по данной дисциплине.

Уровень сложности заданий и их содержание полностью соответствуют требованиям государственного образовательного стандарта по высшей математике для экономических специальностей ВУЗов.

Система электронного тестирования представляет собой постоянно пополняемую базу данных задач, сгруппированных по ключевым темам курса.

Формирование конкретного теста осуществляется преподавателем и заключается в выборе тем, по которым будут предлагаться тестовые задания. Список вопросов конкретного теста формируется из перечня вопросов по данной теме.

При каждой новой попытке сдачи теста вопросы выбираются случайным образом из разных разделов, что исключает их повторение и дублирование.

Количество вопросов в тестовом задании – 8.

Время выполнения теста – 20 минут.

Сборник содержит подборку тестовых заданий по всем темам и несколько возможных вариантов тестов по 8 тестовых заданий в каждом, которые в совокупности охватывают все разделы курса, изучаемые во втором семестре.

1. Разделы учебной программы, подлежащие тестированию Дисциплина: Высшая математика.

2.7. Функции двух переменных 1. Частные производные 1-го и 2-го порядка.

2. Полный дифференциал и его приложения.

3. Экстремумы функций двух переменных.

2.8. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл 1. Определение и свойства. Таблица основных интегралов.

2. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

3. Интегрирование рациональных дробей.

4. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

5. Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций.

Определенный интеграл 1. Определение и свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Метод подстановки и интегрирование по частям в о.и.

2. Приложения определенного интеграла (площади, длины линий, объемы тел вращения, экономические приложения).

3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций.

2.9. Дифференциальные уравнения 1. ДУ первого порядка (с разделенными и разделяющимися переменными, однородные ДУ и приводимые к ним, ДУ в полных дифференциалах).

2. Линейные ДУ первого порядка.

3. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами второго порядка.

2.10. Числовые и степенные ряды 1. Признаки сходимости знакоположительных рядов.

2. Знакопеременные ряды.

3. Область сходимости степенного ряда.

4. Применение рядов в приближенных вычислениях.

2. Цель теста. Помочь в подготовке и проверить степень усвоения материала студентами по данной дисциплине. Студент допускается к сдаче экзамена лишь в случае положительного результата тестирования. Количество попыток лимитируется и определяется лишь техническими возможностями компьютерных классов, в которых осуществляется тестирование. Студент допускается к сдаче теста только после предъявления зачётки или студенческого билета. Ввод персональных данных студента и запуск теста осуществляет администратор компьютерного класса (лаборант). Результат сдачи теста (лучшая попытка) автоматически заносится в базу данных. Тем самым сведения становятся доступными для просмотра преподавателю и поступают в деканат.

Кроме того, компьютерная система может быть использована студентами для самопроверки знаний, текущего и промежуточного контроля знаний по практической части соответствующих разделов и дифференциации студентов по уровню их подготовки. Тест также может быть использован студентами при самостоятельном изучении материала.

3. Тест составлен на основе государственных образовательных стандартов по курсу «Высшая математика» для экономических специальностей ВУЗов.

4. Перечень тем заданий теста приведён выше (таблица 1). Каждый тест охватывает все темы, из которых выбираются 8 конкретных тестовых заданий.

Количество заданий в базе данных постоянно пополняется и их содержание в процессе эксплуатации совершенствуется после соответствующего обсуждения на заседаниях кафедры.

5. Уровень сложности теста. Тесты предусматривают задания примерно одинакового уровня сложности. В этих заданиях ставится цель проверить знание основных понятий и формул по разделам, выносимым на тестирование, а также выявить навыки решения простейших стандартных задач по этим разделам. Структура каждого теста и шкала оценок результатов тестирования утверждается на заседаниях кафедры высшей математики.

6. Компьютерная оболочка тестов (форма и вид тестовых заданий на экране, форма выбора ответов, формат ввода и др.) перечислены и подробно описаны в руководстве пользователя.

7. Общее время выполнения теста - 20 мин.

8. Использование теста Тест может использоваться в процессе подготовки частично (по подразделам) и в полном объеме после завершения изучения семестрового курса высшей математики.

9. Рекомендации по оценке выполнения теста Шкала оценок результатов тестирования разрабатывается и утверждается на заседаниях кафедры высшей математики. Каждое правильно выполненное тестовое задание оценивается 1 баллом, невыполненное задание — 0 баллов.

Результат Для сдачи теста необходимо ответить не менее, чем на половину вопросов (т.е. набрать не менее 50%).

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

2.7. Функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных. Однородные функции. Выпуклые и вогнутые функции. Сходимость последовательностей в пространстве R n. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал и его применение в приближенных вычислениях. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

Метод наименьших квадратов. Выравнивание эмпирических данных по прямой и параболе.

2.8. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Неопределенные интегралы основных элементарных функций.

Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических и некоторых иррациональных функций.

Понятие определенного интеграла и его геометрическая иллюстрация.

Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Геометрические и экономические приложения определенного интеграла. Понятие о несобственных интегралах и их сходимости.

2.9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятие решения. Общее решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородные и неоднородные уравнения второго порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

2.10. Числовые и степенные ряды.

Числовой ряд и его сходимость. Основные свойства сходящихся рядов.

Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Коши. Признак Лейбница.

Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходимости.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Примерный перечень вопросов по дисциплине 1. Определение функции нескольких переменных.

2. Непрерывность функции нескольких переменных.

3. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

4. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия.

Достаточное условие экстремума.

5. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе.

6. Определение первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные свойства неопределенного интеграла.

7. Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

8. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.

9. Интегрирование рациональных функций.

10. Геометрическая задача, приводящая к понятию определенного интеграла.

Определение определенного интеграла.

11. Свойства определенных интегралов.

12. Теорема существования первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона -Лейбница.

13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14. Площадь плоской фигуры. Обьем тела вращения.

15. Вычисление объёма произведенной продукции и средней производительности труда за период.

16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

17. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

18. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

19. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменньми.

20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Модель Эванса.

21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

22. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия.

23. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.

24. Интегральный признак сходимости.

25. Признак сравнения для положительных рядов.. Признаки Даламбера и Коши.

26. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

28. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

29. Ряды Тейлора и Маклорена, их применение в приближённых вычислениях.

30. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

1. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др.; под общ. ред. Самаля С.А. Высшая математика: Общий курс. Учебник – 2-е изд., переработ. Мн.:

Выш. шк., 2000.- 351 с.

2. Шилкина Е.И. Высшая математика. Ч. 2. Мн.: БГЭУ, 2004.

3. Кузнецов А.В. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Мн.:

Выш. шк., 1994. – 284 с.

4. Белько И.В., Кузьмич. К.К. Высшая математика для экономистов. Второй семестр. Экспресс-курс. М.: Новое знание, 2008.

5. Л.Н. Гайшун, Н.В. Денисенко, А.В. Марков и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / Минск: БГЭУ, 2009. – Ч.2. – 270 с.

6. Белько И.В. Высшая математика для экономистов : [в 3 ч.] / И. В. Белько, Кузьмич К. К. - Москва : Новое знание, 2007 (и новее). (Экспресс-курс).

2 семестр : [Интегральное исчисление. Дифференц. уравнения. Ряды]. - 86 с.

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.

4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2006. — 608 с.

С целью ознакомления студентов с тематикой разработанных тестов ниже приводится часть тестовых заданий из каждого раздела изучаемой дисциплины. Эти задания взяты из действующей компьютерной базы данных, используемой кафедрой высшей математики БГЭУ для проведения тестирования, и могут быть использованы студентами для самостоятельной подготовки.

Отметим, что компьютерной системой предоставляются три типа формы вопросов-ответов на разрабатываемые тестовые задания:

1) выбор правильного ответа (или нескольких правильных ответов, если это оговорено в задании) из набора предложенных вариантов ответа;

2) ввод с клавиатуры правильного ответа (как правило, в виде целого числа, если не оговорено противное в задании);

3) установление правильного соответствия между элементами множеств путем перетаскивания мышкой элемента правого столбца на соответствующий ему элемент в левом столбце.

В приводимых ниже тестовых заданиях предлагаются варианты ответов, один из которых правильный. Некоторые из этих вопросов могут быть заданы при тестировании и в форме 2.

Одним из пунктов в тестовом задании может быть вопрос общего вида, выясняющий, как тестируемый ориентируется в основных понятиях, терминах и определениях программы курса. В задании подобного вида надо указать соответствие между элементами левой и правой колонок.

Пример. Установите соответствие, перетащив мышью элемент правого списка на элемент левого

+ ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

xydx+ Ответ на вопрос формируется следующим образом. Наводим курсор мышки на клетку с текстом в правом ряду, нажимаем левую кнопку и, не отпуская её, переводим курсор на соответствующую клетку в левом ряду, после чего левую кнопку мышки отпускаем. На экране появится стрелка, соединяющая эти две клетки. Аналогичную процедуру необходимо проделать и со всеми оставшимися парами клеток. В итоге ответ на вопрос-сопоставление будет выглядеть, как это показано на рисунке ниже.

УРАВНЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ

xydx+

ИНТЕГРАЛ

Если возникает необходимость очистить назначенные связи и провести операцию их назначения заново, необходимо нажать кнопку «очистить», расположенную под полем со стрелками.

В тестовом задании может содержаться вопрос, касающийся основных понятий конкретного раздела. Так, например, для первого раздела “Функции многих переменных” такими понятиями являются:

функция многих переменных, области определения и изменения;

полное и частное приращения;

частные производные;

полный дифференциал;

экстремум функции.

Например, вопрос по Разделу II может быть вида:

Пример. Установите соответствие, перетащив мышью элемент правого списка на элемент левого:

z – функция переменпеременной редыдущий пункт), то Ответ на поставленный выше вопрос выглядит следующим образом.

dy z = При выполнении теста следует учесть, что последовательность тем заданий в тесте не совпадает с порядком следования разделов в программе, так как каждое конкретное тестовое задание формируется системой случайным образом.

Функция многих переменных, область определения и область изменения Пусть D - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой точке M(x, y) из области D соответствует вполне определенное число z Е R, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Е всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z=f(M), z = f(x, y), z = z(x, y), z = F(x, y) и т.д.

Расстояние между двумя точками A(x1, y1), B(x2, y2) на плоскости Oxy вычисляют по формуле ( A, B) = ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2.

Функция f(M) имеет пределом число A, lim f(M) = A, если разность f(M) - A есть бесконечно малая, когда =(Mo,M) 0 при любом способе приближения на плоскости Oxy точки M к точке Mo Функция f(x, y) называется непрерывной в точке Mo, если lim f(M) = f(M 0 ).

ПРИМЕР

определения имеет вид… В ответе запишите номер рисунка.

Решение. Числитель дроби не должен равняться нулю. Приравняв его к нулю, получим: у 2 + х2 = 4. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R= 2. Поэтому область определения функции – вся плоскость кроме данной окружности, т.е. ответом является первый рисунок.

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Предел lim x называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные f x( x, y ) и f y( x, y ) тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

ке M ( x, y ) для функции f ( x, y ) = x 2 3 xy + 2 y 2 и затем найти их значения Тогда Пример. Найти частные производные функции Задачи для самостоятельного решения Найти сумму частных производных первого порядка функции Найти произведение частных производных первого порядка функции Z = arctg ( x + y ) в точке (0; 0) Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Если функция f(x, y) дифференцируема в некоторой точке (х, у), то справедливо равенство где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х 0 и у 0 соответственно.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у часть приращения функции z в точке (х, у). Если функция f(x, y) дифференцируема, то полный дифференциал есть Для функции произвольного числа переменных:

Для приближенных вычислений используют формулу:

Пример. Найти полный дифференциал функции u = x.

Решение. Находим частные производные:

Подставляем в формулу полного дифференциала:

Пример. Найти в точке М(1;2) полный дифференциал функции Решение. Сначала находим частные производные:

В данном случае числовые коэффициенты и переменная y выступали в роли констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x равна нулю. Аналогично ищем производную по y (фиксируем x):

Здесь первое и четвертое слагаемые от y не зависят, их производные по y равны нулю.

Теперь вычисляем значения производных в данной точке:

Воспользовавшись формулой полного дифференциала, окончательно имеем: df M = 15dx + 7dy Пример. Вычислить приближенно значение значения функции u = x y + ln z при x = 1, y = 2, z = 1.

Решение. Из заданного выражения определим частные приращения:

Найдем значение функции u(x, y, z) в исходной точке M(1, 2, 1):

Находим частные производные функции u(x, y, z) в этой же точке M(1, 2, 1):

Полный дифференциал функции u равен:

1,041,99 + ln1,02 = u(1,04; 0,99; 1,02) u (1, 2,1) + du = 1 + 0,05 = 1, Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Задачи для самостоятельного решения Вычислить полный дифференциал функции Если для функции z = f(x, y) в некоторой окрестности точки М0(х0, у0), принадлежащей области определения, верно неравенство f ( x0, y0 ) > f ( x, y ), то точка М0 называется точкой локального максимума.

Если для функции z = f(x, y) в некоторой окрестности точки М0(х0, у0), принадлежащей области определения, верно неравенство f ( x0, y0 ) < f ( x, y ), то точка М0 называется точкой локального минимума.

Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критическими. Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными (т.е. эти условия могут выполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы проверить является ли критическая точка точкой экстремума, используют достаточные условия экстремума.

Сформулируем достаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo, yo) - критическая точка функции z = f(x, y), в которой f x ( x 0, y 0 ) = 0, yf(x 0, y 0 ) =, и кроме того функция z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки Mo(xo, yo).

Обозначим zx ( x 0, y 0 ) = A, Тогда:

1) если > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при A < 0, минимум при A > 0;

2) если < 0, то экстремума в точке Mo нет;

3) если = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.

Решение. Находим частные производные: z x = - 2y 2 + 2x, z y = 4y3 - 4xy + +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений:

4y 4xy+2+2y=0 2y(y x)+1+y=0 y=- Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, “подозрительная на экстремум”. Находим вторые частные производные: z x = 2, z y = 4 y, z y = 12 y 2 4 x + 2, следоx x y вательно, A=2, B=4, С=10, = 4, т.е. > 0, функция имеет экстремум в точке Mo - минимум (A>0). Вычислим z min = (-1)4 - 21(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.

Задачи для самостоятельного решения п/п В ответе указать сумму координат найденной Определение и свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х), если F ( x ) = f ( x ) или dF ( x ) = f ( x ) dx (при этом требуется, чтобы области определения функций совпадали).

Если функция f (х) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении F (х) + С, где С – произвольная постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f (х) называется совокупность всех ее первообразных и обозначается f ( x ) dx, где знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f(х)dх – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, f ( x ) dx = F ( x ) + C, где F(х) – первообразная функция, С – произвольное постоянное число.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Основные свойства неопределенного интеграла:

Решение. Данный интеграл – табличный, поэтому ответ sin x + С. Явно такого ответа нет. Если посмотреть внимательнее и учесть, что cos(/2–x) = sin x, то следует выбрать третью строку и в качестве ответа ввести число 3.

Если F(х)=х – 2 и F(1)= 0, то F(–1) равно … Решение. По условию известна производная F(х)= х – 2 некоторой функции F(х). Требуется найти значение этой функции при х = –1, если известно, что сама функция F(х) равна нулю, когда аргумент х равен единице. Ясно, что сначала необходимо найти саму функцию.

Решение подобного рода примеров сводится к операции интегрирования (нахождению всех первообразных для заданной функции). Когда это сделано, надо в найденном семействе найти ту функцию, которая удовлетворяет условию F(1)= 0. И только потом можно найти интересующее нас значение, которое и будет ответом на поставленный вопрос.

Итак, F(x)= х – 2 dх = – 1/ х +С. Из условия F(1)= 0 имеем – 1/1 +С= С=1. Таким образом, искомая функция имеет вид: F(х) = – 1/ х +1. Следовательно, F(–1) = – 1/(–1) +1, т.е. F(–1) = 2. Глядя на колонку с ответами, должны «кликнуть» (навести курсор и щёлкнуть левую клавишу мышки) по окошку, справа от которого стоит цифра 2.

Если F(х)=sin 2х и F(0)= 1,5, то F(/4) равно … Решение. sin2х dх = 0,5 sin2хd(2х) +С = – 0,5соs 2х +С. Подставив х = 0, имеем: – 0,5соs 0 +С=1,5. соs 0=1, поэтому С=2. итак, F(х) = – 0,5соs 2х +2. Следовательно, F (/4) = – 0,5соs(/2) +2. соs(/2) =0, поэтому F (/4) =2.

Укажите, какая ошибка или ошибки, если их несколько, сделаны в предложенной выше записи.

а) всё правильно;

б) использовано свойство, которого нет;

в) неверно применена таблица интегралов.

Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям Непосредственное интегрирование. Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то можно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме более простых интегралов.

Решение. Разбиваем интеграл на сумму интегралов, каждый из которых оказывается табличным, и выполняем непосредственное интегрирование:

Замена переменной. Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла f ( x)dx можно заменить переменную х новой переменной t, связанной с х подходящей формулой x = (t ). Определив из этой формулы dx = '(t )dt и подставляя, получим f ( x) dx = f ( (t )) '(t ) dt. Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то преобразовав результат к переменной х, пользуясь исходной формулой x = (t ), получим искомое выражение заданною интеграла.

Пример. Вычислить неопределенный интеграл Решение: В данном случае следует применить метод подстановки (замены переменной). Тогда согласно описанному алгоритму:

= t dt= + C =(возвращаемся к старой переменной интегрирования х) = Пример. Вычислить неопределенный интеграл Решение:Аналогично воспользуемся подстановкой. Кратко это записывается так:

Решение. Вынеся постоянный множитель, видим, что интеграл 3 x 2 dx не табличный, но можно заметить, что подстановкой 3 x 2 = t интеграл сведётся к табличному. При подстановке (замене переменной) необходимо в подынтегральном выражении всё выразить через новую переменную.

Так как подынтегральное выражение содержит дифференциал (dх), то необходимо искать дифференциал новой переменной.

не выполнялась подстановка, то полученный результат и был бы ответом. В противном случае должны вернуться к прежней переменной – переменной х, т.е. учесть, что t = 3 x 2.

Замечание 1. В списке приведенных ответов, первая строка по причине отсутствия постоянного числа С не может быть отмечена как правильный ответ!

Замечание 2. Ответ в примерах подобного рода может быть получен гораздо быстрее. С этой целью можно использовать метод подведения под знак дифференциала, который является частным случаем метода подстановки, примененным выше.

Суть метода подведения под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала подводится некоторое выражение, и интеграл становится табличным. Именно для примеров подобного рода, когда интеграл не является табличным, но «похож» на него, т.е. почти табличный, он наиболее удобен.

Использование метода подведения под знак дифференциала основывается на факте независимости формы дифференциала от вида функции. Именно, дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Например, если функция f = (3 x 2)1/ 2 (степенная функция), то её дифференциал df = ((3 x 2)1/ 2 ) d (3 x 2). Это означает, если F(х) – первообразная функции f(х), то F(u) – первообразная функции f(u), поэтому, f(u)du= F(u)+С.

Учитывая сказанное выше, подведём под знак дифференциала выражение 3х – 2, и получим табличный интеграл (интеграл от степенной функции). Всякий раз, подводя выражение под знак дифференциала надо делать проверку, не появляются ли в результате такой операции лишние множители. В нашем случае d(3х – 2)= (3 х – 2) dх= 3 dх появился лишний множитель 3. Поэтому надо перед знаком интеграла поставить компенсирующий множитель 1/3. Решение нашего примера способом подведения под знак дифференциала выглядит так:

Интегрирование по частям. Из формулы дифференциала произведения d(uv) = u dv + v du интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям: u dv = uv - vdu По этой формуле отыскание интеграла u dv сводится к отысканию другого интеграла v du. Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен. Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу f ( x)dx следует подынтегральное выражение f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: и и dv. ).

Следует помнить, что:

2. Обычно за u принимаем ln x; arcsin nx; arctg kx, x n, а за dv – множитель Решение. Интегралы такого типа ищутся путём интегрирования по частям: udv = uv – vdu. За функцию u следует принять х, тогда оставшаяся часть е – х dх – это dv. Чтобы найти функцию v, остаётся проинтегрировать.

при поиске функции v его полагают равным нулю.) Составляющие формулы интегрирования по частям найдены, поэтому остаётся подставить их в формулу. Получим:

Найти v = cos3 x dx = sin 3 x. (Здесь и только здесь полагаем с = 0). Имеем Задачи для самостоятельного решения 1. Укажите неопределённые интегралы, все;

при нахождении которых придётся а) и б);

использовать один и тот же таблич- а) и в);

Найти неопределённый интеграл Найти неопределённый интеграл 4. Найти неопределённый интеграл Найти неопределённый интеграл Рациональной дробью называется дробь вида где P( x) и Q ( x) - многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя (m < n), в противном случае дробь называется неправильной.

При интегрировании рациональной дроби её обычно представляют в виде суммы многочлена и нескольких простейших дробей, затем сумму интегрируют почленно. Интегралы простейших дробей первых трех типов приведены ниже:

II.

где p 2 4 q < 0, т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Вычислить неопределенный интеграл Данная подынтегральная функция является дробно-рациональной функцией. Здесь следует в знаменателе дроби квадрат.

Используем метод подстановки:

Решение. В знаменателе выделим полный квадрат Сделаем замену x = t, x = t +, dx = dt, тогда получим:

Интегрирование некоторых видов иррациональностей аргументов; m,..., r, n,..., s - целые числа, подстановкой x = t k, (где k – наименьшее общее кратное чисел n,...s ) приводятся к интегралам от рациональных функций.

Подобным образом находятся интегралы вида Здесь используется подстановка Решение. Производим подстановку Тогда dx = 6 t 5 dt, следовательно, Решение. Сделаем замену Следовательно, искомый интеграл примет вид Решение. Произведем подстановку Получим Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций Основными приемами, применяемыми при интегрировании тригонометрических функций, являются тождественные преобразования подынтегральной функции c помощью формул тригонометрии (формулы приведения, понижения степени и т.д.) и метод подстановки.

Например, интегралы вида sin mx sin nxdx находятся с помощью формул получим Определение и свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Метод подстановки и интегрирование по частям Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, которая гласит: определённый интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования.

Из формулы следует, что достаточно знать первообразную, поэтому методы вычисления определённого интеграла практически не отличаются от методов интегрирования неопределённого. Исключение составляет метод подстановки. Различие состоит в том, что, выполняя подстановку в определённом интеграле и найдя первообразную, к прежней переменной не возвращаются, вместо этого ищут новые пределы интегрирования, подставляя в формулу, связывающую новую и старую переменные прежние пределы интегрирования.

Решение. Интеграл табличный, первообразная – arctgx. Следовательно, её приращение на отрезке [0, 1] arctg 1 – arctg 0 = /4 – 0 = /4. С учётом множителя, ответом является 2.

Решение. Надо вычислить определённый интеграл. Соответствующий ему неопределённый интеграл не является табличным. Так как в подынтегральном выражении содержится корень квадратный, то сделаем замену переменной по формуле 1 + x = t. Тогда 1+х = t 2 х= t2 – 1, d х= d(t2 – 1), т.е. dх=2 t dt.

,т.е. в выражение 2(t2 – 1) dt, для которого найти первообразную не составит труда. Так как интеграл определённый, то следует перейти к новым пределам интегрирования. Для этого в формулу 1 + x = t, по которой меняем переменную, подставим х=3 t=2 и х=8 t=3. Решение сведётся к вычислению определённого интеграла 8/3+2)=32/3. Следовательно, 3I=32.

Решение. Данный пример на вычисление определённого интеграла по частям. Формула получается из соответствующей формулы для неопределённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.

= 2( cos( / 2) 0 cos 0) + 4sin( x / 2) 0 =4(sin(/2) –sin 0) = 4.

Замечание. При нахождении интегралов от sin(х/2) и cs(х/2) использовали метод подведения под знак интеграла.

Задачи для самостоятельного решения 1 Вычислить При помощи формулы интегрирования по частям вычисx лить определенный интеграл x sin dx При помощи формулы интегрирования по частям вычислить определенный x e1/ 3 x dx Вычислить интеграл с помощью замены переменной 1) е ;

Приложения определенного интеграла (площади, длины линий, объемы тел вращения, экономические приложения) Рассмотрев рисунок, вычислите площадь S заштрихованной фигуры.

Решение. Из геометрического смысла определённого интеграла (площадь криволинейной трапеции), глядя на рисунок, следует, искомая площадь равна:

Рассмотрев рисунок, вычислите площадь S заштрихованной Решение. В данном случае верхний предел интегрирования, как это видно из рисунка, равен +. Интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности, относятся к несобственным. Для их вычисления вместо вводится переменная, обычно обозначаемая буквой, соответствующей пределам интегрирования в определённом интеграле, т.е. интеграл как бы сводится к определённому, и рассматривается предел, когда введенная новая переменная стремится к.

Удвоенная площадь равна 2.

Рассмотрев рисунок, вычислите объём V тела, полученного вращением заштрихованной фигуры вокруг оси Ох.

Решение. Если криволинейную трапецию (фигура, заключённая между кривой у=f(х), осью Ох и прямыми х=a и х =b) вращать вокруг оси Ох, то объём получаемого при этом тела вращения равен: V = f 2 ( x) dx. Так как в примеa ре заштрихованная фигура получается, если от криволинейной трапеции, образуемой верхней линией вычесть криволинейную трапецию, образуемую нижней линией, то искомый объём будет равен разности двух объёмов:

Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формуt лой V = f(t)dt.

В нашем случае Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Задачи для самостоятельного решения п/п Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Рассмотрев рисунок, вычислите площадь заштрихованной фигуры.

Найти объем V тела вращения, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями Зная, что объем V продукции, произведенной рабочим с производительностью p (t ) с момента времени t1 до момента времени t2, вычисляется по формуле V = p (t )dt, найти V в случае Зная, что среднее значение m издержек K ( x) при изменении объема производства х от а до b вычисляется по формуле Зная, что среднее значение m издержек K ( x) при изменении объема производства х от а до b вычисляется по формуле Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций Пусть функция f ( x ) непрерывна на [ a, + ), тогда Если существует конечный предел в правой части формулы, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же предел равен бесконечности или вообще не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется равенством ко в том случае, если сходятся оба интеграла правой части.

Если функция f ( x) непрерывна для x [ a; b ) и в точке x = b имеет бесконечный разрыв, то по определению полагают Если существует конечный предел в правой части формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если этот предел равен бесконечности или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если функция f ( x) непрерывна для x [ a; b ) и в точке x = a имеет бесконечный разрыв, то Если предел в правой части формулы существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Решение.

Интеграл сходится и выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = e 2, y = 0 и графиком функции y =.

Пример. Вычислить интеграл Так как lim sin 2b не существует, то несобственный интеграл расходится.

Пример. Вычислить интеграл Следовательно, несобственный интеграл сходится.

Пример. Вычислить интеграл ниченной при x = 2, в которой знаменатель дроби обращается в нуль, следовательно, в этой точке функция терпит бесконечный разрыв. Согласно определению имеем Несобственный интеграл расходится.

Пример. Вычислить интеграл Решение. Подынтегральная функция f ( x) = бесконечный разрыв, так как знаменатель дроби обращается в нуль при x = 1.

По определению имеем Пример. Вычислить интеграл Решение. Подынтегральная функция f ( x ) = ctg x в точке х = 0 терпит бесконечный разрыв. По определению имеем х = 1 терпит бесконечный разрыв. По определению имеем:

Вычислим несобственный интеграл Если один из интегралов равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.

Задачи для самостоятельного решения Сколько интегралов в следующей группе являются несобственными?

новить его расходимость Вычислить несобственный интеграл или устаdx новить его расходимость (n –1) ), где у = f (х) – искомая функция, а у,, у, …, у ( n ) – её производные, называется дифференциальным уравнением n–го порядка. Последнее уравнение иногда называют дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Так, например, дифференциальное уравнение у+ ху – х2 = 0 – второго порядка, а уравнение ху – у =0,– дифференциальное уравнение первого порядка..

Любая функция у = (х), обращающая данное уравнение в тождество на промежутке I, называется его решением на I, а график этой функции – интегральной кривой.

Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения. В общем случае процесс нахождения решений дифференциального уравнения n–го порядка потребует n последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содержать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид у = (х, С1, С2, …, С n) или ( х, у, С1, С2, …, С n) = 0. Последнее называется общим интегралом дифференциального уравнения n–го порядка. Придавая произвольным постоянным С1, С2, …, С n конкретные числовые значения, получаем частное решение или частный интеграл.

Конкретные значения произвольных постоянных определяются из дополнительных условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение.

Условия, задающие значения функции и её первых производных до порядка n -1 включительно, называют начальными условиями или условиями Коши, а соответствующую задачу – задачей Коши.

ДУ первого порядка (с разделенными и разделяющимися переменными, однородные ДУ и приводимые к ним, ДУ в полных дифференциалах) Уравнение вида F(х, у, у, ) = 0 или у = f (х, у ) – дифференциальные уравнения первого порядка. Их общие решения у = (х, С) или (х, у, С)= 0.

Подставляя начальное условие у(хо) = уо в общие решения, из уравнений y0= (х0, С) или ( х0, у0, С) = 0, найдём соответствующее значение С = С0. Геометрически это означает, что среди интегральных кривых найдена кривая, проходящая через точку М0(х0, у0). Заметим, что могут быть случаи, когда из общего решения дифференциального уравнения, некоторые решения не получаются ни при каких с значениях С. Такие решения называются особыми.

Является ли функция у =С х решением дифференциального Да Решение. Найдём производную от функции, о которой говорится в условии, получим у =С. Подставим в данное уравнение у =Сх и у =С, получим хС– Сх=0, т.е. 0=0. Так как получили верное равнство, то функция у =Сх является решением дифференциального уравнения ху – у =0.

1. Является ли функция у =х(х+1)+ С решением дифферен- да циального уравнения Решение. у =х(х+1)+ С у =(х(х+1)+ С) у =х+1+ х, т.е. у =2х +1. Так как отношение dу / dх – другое обозначение производной, то данная функция не является решением данного уравнения.

Пример. Решить уравнение х( у +1)– (х2+1)у = 0.

Решение. Данное уравнение, как уравнение, содержащее неизвестную функцию у, её производную у и независимую переменную х, – дифференциdy альное уравнение первого порядка. Так как y =, перепишем уравнение в дифференциалах: х(у +1)dх – (х +1)dу = 0. Видно, при дифференциалах стоят произведения функций, зависящих только от х – при dх, и от у – при. dу.

Уравнение вида M(х)N(у)dх +P(х)Q(у)dу =0 называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравP(х)N(у) 0, придём к уравнению нения на произведение F2 ( x) = dy и записать ответ: F1 ( x) + F2 ( x) = C,.где C – произвольная поN ( y) стоянная.

В нашем конкретном случае делим обе части уравнения на произведение (х2+1)(у +1) 0, получим 2 = C. В первом интеграле применим подведение под знак интеграла Во втором интеграле в числителе добавим и вычтем единицу и рассмотрим разность интегралов.

Положив C2 =C3 = 0, получаем общий интеграл:

Его можно переписать в виде замена константы С1. Обычно так поступают в примерах, подобных данному, когда в результате интегрирования появляется логарифмическая функция. Следовательно, ln x 2 + 1 – y + ln y + 1 = ln С. Откуда, так как y = ln e y, окончаCe y Решение искали при условии (х2+1)(у +1) 0. Рассмотрим, что получится, если этим условием пренебречь. Первый множитель х2+1 не может равняться нулю. Второй может равняться нулю, если у = –1. Может ли полученная функция у(x) = –1 быть решением нашего уравнения? Чтобы ответить на этот вопрос, подставим её в уравнение. Итак, у(x) = –1, у(x) = 0, х(у +1)dх – (х2+1)dу = 0 х(–1 +1) dх – (х2+1)0 = 0, т.е. 0 = 0 – верное тождество. Поэтому у = –1 – решение уравнения. Это особое решение, так как оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении постоянной С.

Задачи для самостоятельного решения 1 Решением уравнения xy = 1 является:

2 Общее решение уравнения y + 2 xy = 0 имеет вид y = Ce x2. Частным решением данного уравнения, удовлетворяющим условию y = 1 при Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида где р(х), q(х) – непрерывные функции в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Подстановка у = u·v, где u = u(х), v= v(х) –неизвестные функции, производные которых непрерывны, приводит к общему решению, которое записывается в виде Решение. Это линейное дифференциальное уравнением первого порядка, в котором р(х)= 2х, q(х) = 2х · Поэтому согласно формуле можно выбрать произвольно, чаще всего она полагается равной нулю!). Далее, другой интеграл q ( x) e Итак, общее решение есть у = e x ·(х3/3+С).

Задачи для самостоятельного решения нение первого порядка имеет вид:

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами 2-го порядка Дифференциальное уравнени вида где р(х), q(х) и f(х) – непрерывные функции в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f(х) = 0, уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если р(х), q(х) – постоянные величины (обозначим их р, q), то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:

Пример. Решить уравнение у –3 у + у=0.

Данное уравнение является линейным дифференциальным однородным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами: y ''+ p y '+ q y = 0. Решается оно методом Эйлера, который заключается в следующем:

1. По коэффициентам исходного уравнения составляем характеристическое уравнение то есть получаем обычное квадратное уравнение.

2. Вычисляем его дискриминант D=p2- 4q.

3. В зависимости от полученного значения дискриминанта D имеем следующий вид общего решения (см. таблицу 1).

D>0– два различных D=0 - один дейст- D 0, существует предел прос остается открытым нужно применять другие признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

l = lim n an, то при l < 1 ряд сходится, при l > 1 ряд расходится, а при l = 1 воn прос остается открытым.

a1 a2 a3... an... и существует функция f ( x), которая определена на промежутке 1;+ ), непрерывна, не возрастает и an = f (n), n = 1, 2,..., то для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы несобственный интеn грал Признаки сходимости знакоположительных рядов сходится как геометрический ряд со знаменателем < 2 n = n для всех n, значит, на основании первого признака сравнеn ния ряд сходится.

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом n + 1. Поскольку ln(n + 1) > n + 1 и гармонический ряд n + 1 расходится, то на основании первого признака сравнения заключаем, что ряд расn =1 n + ходится.

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом расходится. Имеем Поскольку 2 0, то на основании второго признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд lim n Пример. Исследовать на сходимость ряд Решение. Применим признак Коши, для чего найдем Так как e 2,72 и < 1, то на основании признака Коши заключаем, что исследуемый ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда Решение. Применим интегральный признак Коши-Маклорена. Заменяя в формуле общего члена an = = lim (ln(ln B) ln(ln 2)) =.

Интеграл расходится, и следовательно, исходный числовой ряд также расходится.

Задачи для самостоятельного решения верждения:

а) если l = 1, то вопрос о сходимости ряда Написать формулу общего члена ряда являются знакопостоянными?

условие сходимости ряда?

5) применение признака Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда?

С помощью признаков сравнения, установсе, кроме в) вить какие из перечисленных рядов сходяттолько а) новить, какие из перечисленных рядов схоа); в) Знакопеременные ряды Если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные действительные числа, то ряд называется знакопеременным. Частный случай знакопеременного ряда – знакочередующийся ряд а1 – а2+ а3 +… + (– 1) n–1 а n +…, где все а i положительные числа. Любые два его соседних члена имеют различные знаки.

Знакопеременные ряды исследуются на абсолютную и условную сходимости.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится a, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряряд n да. Если же ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то такой знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Сходимость знакочередующегося ряда исследуется при помощи признака Лейбница: если члены знакочередующегося ряда убывают а1 < а2 < а3 … и lim an = 0, то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда, т.е. S а1.

Пример. Исследовать на сходимость ряд – 1+1/2 –1/3+ …+ (– 1)n / n+ … Решение. Данный ряд знакочередующийся. Исследуем его на абсолютную и условную сходимости. Составим ряд, взяв члены ряда по абсолютной величине, получим гармонический ряд 1+ 1/2+ 1/3+ …+ 1/ n + ….. Он расходится, поэтому абсолютной сходимости нет. Возможна условная сходимость, для этого проверим, выполняются ли условия признака Лейбница. Члены ряда убываn дующийся ряд сходится.

Ответ: Ряд условно сходящийся.

Пример.

Если а1, а2, …аn, … - некоторые действительные все записи;

числовыми рядами являются:

Решение. Все записи быть не могут, так как записи а), b), с) не являются числовыми рядами. Только записи d) и е) удовлетворяют требованию. Среди возможных ответов такого ответа нет. Поэтому в столбце ответов следует выбрать последнюю строчку: «другой ответ».

Решение. Глядя на n-ый член каждого ряда и проверяя необходимый признак сходимости ( nlim an = 0 ), видим, что для рядов а) и d) он не выполняется. Ряд с) сходится условно (см пример выше). Ряд b) – геометрический с |q |=1/2, что меньше 1, поэтому он сходится. Среди предложенных рядов только ряды b) и с) – сходящиеся.

Задачи для самостоятельного решения Формула общего члена ряда являются знакочередующимися?

3 Какой из данных рядов сходится условно?

4 Сколько слагаемых необходимо взять, чтобы найти сумму ряда Сходимость степенных рядов. Применение рядов в приближенных вычислениях, Сn… – действительные числа (коэффициенты степенного ряда), х – переменная, аn=Сn хn – n-ый (общий) член, называется степенным рядом.

Подставив в степенной ряд конкретное значение переменной, например х= х0, получим числовой ряд. Этот ряд может сходиться, а может и расходиться.

Множество D значений переменной х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Неотрицательное число R, такое, что при |х| < R ряд сходится, а при |х| > R – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

Из понятия радиуса сходимости ясно, что если известен радиус R, то ряд сходится на интервале (–R; R), вне этого интервала – расходится. Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х = – R и х = R, ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому для нахождения области сходимости надо исследовать сходимость ряда при х = – R и х = R. Результаты исследования и позволят ответить на поставленный вопрос.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда 2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Подставляя в степенной ряд значение 1+1+1+1+L. Для полученного ряда необходимое условие не выполняется ( lim an = lim 1 = 1 ). То же самое будет, если подставить в степенной ряд значеn + n + ние х = 2. Получим (1) n, т.е. (–1)n – ряд расходится. Проведенное исn следование показало: найденный интервал сходимости одновременно будет и областью сходимости степенного ряда.

степенными рядами являются ….

Решение. а) и d) – числовые ряды. Оставшихся два ряда, - функциональные, но не степенные, так как составлены из функций, не являющимися целыми положительными степенями переменной х. Поэтому правильный ответ: ни одно из предложенных выражений не является степенным рядом.

Задачи для самостоятельного решения Вычислить приближенно значение выражения 3 1000 cos 0,5, ограничиваясь суммой первых двух членов ряда Маклорена для функции cos x.

являются степенными?

Рассмотрев рисунок, вычислите площадь заштрихованной фигуры.

Найти неопределённый интеграл Вычислить частную производную по функции f(x) называется:

При помощи формулы интегрирования по частям вычислить определенx + 3)cos x dx Общее решение уравнения выполняется необходимое условие сходимости ряда?

Радиус сходимости ряда n (x + 4) равен … Какой из данных рядов сходится условно?

Найти точки возможного экстремума функx = 2, y = ции двух переменных Решением уравнения y 1 = tg x является:

Укажите, какой ответ правильно отражает свойства неопределенного интеграла:

6 вить его расходимость Найти область сходимости степенного ряда Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Если функция двух переменных z = x3 + y 3 12 xy + ( x > 0, y > 0), то её минимум zmin равен… Среди перечисленных рядов гармоническим рядом называется:

Найти неопределённый интеграл Сколько интегралов в следующей группе являются несобственными?

Решением уравнения Если аi – действительные числа, а х – переменная, то среди выражений:

степенными рядами являются … ния функции имеет вид… В ответе запишите номер рисунка.

2. Найти полный дифференциал функции Z = x 2 + 3 xy + y 2 в точке Вычислить 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

Вычислить приближенно значение выражения 36 sin1, ограничиваясь суммой первых двух членов ряда Маклорена.

Формула общего члена ряда + +... имеет вид… Зная, что среднее значение m издержек K ( x) при изменении объема производства х от а до b вычисляется по формуле 1. Вычислить полный дифференциал функции z = arctg ( y / x) в точке 2. Если функция двух переменных z = x3 3 xy + y 3 + 8 ( x > 0, y > 0), то её минимум zmin равен… 4. Сколько интегралов в следующей группе являются несобственными?

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:;

Найти длину интервала сходимости степенного ряда n.

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями применение признака Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда?