Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

515(07)

Д817

В.С. Дукмасова, В.А. Краснов

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Издание шестое

Челябинск

2006 Министерство образования Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра графики 515(07) Д817 В.С. Дукмасова, В.А. Краснов

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие Издание шестое Челябинск Издательство ЮУрГУ УДК 515(075.8) Дукмасова В.С., Краснов В.А. Методика решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие/ 6-е изд. – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2000. – 103 с.

В пособии дается классификация задач по начертательной геометрии, рассматриваются общие схемы решения каждой группы задач и излагаются принципы составления алгоритмов решения конкретных задач на основании общих схем.

Ил. 87, табл. 3, список лит. – 9 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией архитектурностроительного факультета.

Рецензенты:

Н.К. Окунева доц., к.п.н. ЧГПУ; И.Г. Торбеев, доц., к.т.н., ЧГАУ.

ISBN 5-696-02614-1 Издательство ЮУрГУ, 2006.

СИМВОЛИКА И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Геометрические фигуры:

Ф (фи – прописная буква греческого алфавита) – геометрическая фигура А, В, С,... или 1, 2, 3,... (прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры) – точки пространства.

а, Ь, с,... (строчные буквы латинского алфавита) – прямые или кривые линии пространства.

(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В.

[АВ) – луч с началом в точке А.

[АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

АВ – длина отрезка [АВ], расстояние от точки А до точки В.

А, а – расстояние от точки А до прямой а.

А, Г – расстояние от точки А до плоскости Г.

Г (гамма), (дельта), (ламбда), (сигма), (пси) и другие прописные буквы греческого алфавита – поверхности.

r Q = 0.

П о с т р о е н и е. На рис. 75 дано решение задачи на комплексном чертеже. Для построения прямой m(2-3), параллельной (ВС) на расстоянии l от нее, плоскость Г{АВС) вращением вокруг горизонтали h преобразована в плоскость уровня. Построена проекция m1(21-31), а затем обратным преобразованием – проекции m1(21-31) и m2(22-32)Поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, на П1 она проецируется в виде окружности с центром в точке q и радиусом r. Точка пересечения этой окружности с прямой m1(21-31) даст горизонтальную проекцию К1 искомой точки К. Фронтальная проекция К2 определена по линиям связи из условия принадлежности.

Задача 7. Через точку А прямой (АВ) провести прямую l, пересекающую прямую (СD) и образующую с прямой (AB) угол (рис. 76).

1) Искомое – прямая l;

2) {l: (A l (CD))} = – плоскость;

Для упрощения построений на комплексном чертеже система плоскостей проекций П1/П2 преобразована способом замены плоскостей проекций в систему П4/П5 так, чтобы в новой системе прямая (АВ) стала проецирующей. Построены проекции прямого кругового конуса Ф((AB), ) в системе П4/П5, найдены проекции l5, l5 и l4, l4 искомых прямых, как линии пересечения конуса и плоскости.

Отмечены проекции 55, 65 и 54, 64 точек 5 и 6 пересечения прямых l и l с прямой (CD). Все построения, выполненные в системе П4/П5, аналогичны рассмотренным в задаче 4 п. 2.1 2 (рис. 30). Обратным преобразованием найдены проекции 51, 61 и 52, 62 точек 5 и 6, построены проекции l1, l1 и l2, l2 искомых прямых.

Рис.

5. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи, помещенные в данном параграфе, состоят из сочетаний элементарных, позиционных и метрических задач. Поэтому при их решении нужно использовать опыт, приобретенный при чтении пособия и решении типовых задач всех параграфов.

Примеры.

Задача 1. Построить плоскость, параллельную заданной плоскости Г(АВС) и отстоящую от нее на расстоянии l = 50 мм. Новую плоскость задать треугольником АВС, конгруэнтным заданному. Задачу решить без использования способов преобразования комплексного чертежа (рис. 77).

На основании задачи 5 п. 3.1 3 составляем алгоритм:

1.Через точку А проводим прямую n, перпендикулярную плоскости Г(АВС).

2.На прямой n находим точку А, расположенную на расстоянии l = 50 мм от точки А и, следовательно, от плоскости Г.

3. Строим плоскость Г(АВС) // Г Г А.

Построение. Для нахождения точки А, расположенной на расстоянии l = 50 мм от плоскости, предварительно определена истинная величина произвольного отрезка перпендикуляра. Дальнейшее решение ясно из чертежа. Конгруэнтность треугольников АВС и АВС достигается равенством их сторон.

Задача 2. Построить: а) линию (DE) пересечения плоскостей (ABC) и (KLMN); б) ортогональную проекцию треугольника АВС на плоскость параллелограмма KLMN (рис. 78).

I.Задача 2 а представляет собой вторую позиционную задачу. Ее решение рассмотрено в 2 данного пособия (см. задачу 1, рис. 33, 34).

II. Ортогональная проекция треугольника АВС на плоскость (KLMN), которую требуется построить в задаче 2 б, определяется ортогональной проекцией на эту плоскость трех его вершин. Поэтому, необходимо:

1.Из точек А, В и С опустить на плоскость перпендикуляры.

2. Определить точки пересечения каждого из них с плоскостью. Алгоритм решения пункта 2 составляется на основании положений пункта 2.1 2.

Построение. После того как построены проекции перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника на плоскость параллелограмма, определяется точка пересечения В перпендикуляра, опущенного из точки В с плоскостью. Точки пересечения двух других перпендикуляров с плоскостью параллелограмма определены из условия, что ортогональные проекции сторон треугольника на плоскость параллелограмма должны проходить через точки пересечения этих сторон с плоскостью параллелограмма. эти точки определяются как точки пересечения линии пересечения треугольника и параллелограмма со сторонами треугольника. Поэтому проекция (А'В') стороны (АВ) на плоскость параллелограмма проходит через точку D, а проекция (В'С') стороны (BС) – через точку 5.

Задача 3. Построить ромб ABCD, если диагональ ВD принадлежит прямой m, вершина А принадлежит прямой l и АС = 2ВD (рис. 79).

План решения в пространстве:

1. Выбираем на прямой l произвольную точку А(А1А2).

5. Определяем истинные величины отрезков АК и КС способом прямоугольного треугольника.

6. На прямой m от точки K откладываем отрезки КВ = КD = AК/ 2, используя способ прямоугольного треугольника.

7. Прямые (АС) и (ВС) перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, следовательно, являются диагоналями искомого ромба.

Графическая реализация алгоритма на чертеже основана на умении решать элементарные задачи, рассмотренные ранее и понятна из чертежа.

Задача имеет множество решений. Почему?

Задача 4. Построить проекции и истинный вид сечения данной комплексной поверхности плоскостью общего положения Г(l m) (рис. 80).

1. Заданная комплексная поверхность из полусферы, конуса и призмы, т.е.

необходимо решить задачи 2 и 3 пункта 2.2 параграфа 2. Алгоритмы решения должны быть составлены в соответствии с положениями параграфа 2.

Рис. Построение. Для упрощения графических операций плоскость Г преобразована в проецирующую, задача решена в системе плоскостей проекций П4/П1, а затем обратным преобразованием построена фронтальная проекция сечения.

Вторая часть задачи — метрическая задача № 1 пункта 3.2 параграфа 3. В соответствии положениями этого раздела истинный вид сечения определен способом замены плоскостей проекций.

Задача 5. Построить: а) проекции линии пересечения поверхностей цилиндра и сферы, б) истинный вид сечения А-А (рис. 81).

I.Задача 5 а является второй позиционной задачей и решена в соответствии с положениями пункта 2.2, 2. В качестве вспомогательнх поверхностей применены фронтальные плоскости уровня.

II. Задача 5 б — метрическая задача 1 пункта 3.2, 3 и решена в соответствии с положениями этого параграфа способом замены плоскостей проекций.

При построении действительного вида сечения А-А сначала построено сечение части сферы, ограниченное дугой окружности радиуса О434и двумя отрезками прямых (см. чертеж). Затем построено сечение части цилиндра, ограниченное эллипсом и отрезком [2424].

Задача 6. Поcтроить: а) линию пересечения цилиндра и конуса;

б) развертки их боковых поверхностей (рис 82).

1. Задача 6 а является второй позиционной задачей и решена в соответствии с положениями пункта 2.2, 2. В качестве вспомогательных поверхностей выбраны фронтальная плоскость и горизонтальные плоскости Г. На рис. 82 обозначены только характерные точки А и В — очерковые относительно П2, они же являются высшей и низшей точками; С и С — точки, принадлежащие очерковым относительно П1 образующим цилиндра, они же являются экстремальными относительно П2 и точками смены видимости кривой относительно П1; D и D — самые левые точки относительно П3.

Для построения развертки боковой поверхности цилиндра на произвольной прямой нанесены точки 10, 20, и т.д. – произведено спрямление дуг окружности основания цилиндра способом малых хорд. В точках 10, 20, … восстановлены перпендикуляры к прямой и на них отложены отрезки соответствующих образующих. Натуральные величины этих отрезков замерены на П2. Полученные точки B0, C0, D0, A0 (и необозначенные) соединены плавной кривой. Так как цилиндр имеет плоскость симметрии, на чертеже построена только половина развертки. Развертка боковой поверхности прямого конуса вращения представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания конуса (угол при вершине сектора = r 360/l, где r – радиус окружности основания конуса, l – длина образующей конуса). Для нанесения на развертку линии пересечения конуса и цилиндра построены образующие (S0-10), (S0-20), (S0-30) т.д., проходящие через точки линии пересечения. Положение точек 10, 20, 30, 40, 50 найдено путем разгибания дуги окружности основания конуса по способу хорд. Положение точек D'0, С'0 и других найдено путем определения истинных величин соответствующих отрезков способом вращения вокруг оси конуса (например, S0D'0S0D'S0C'0S0C' и т.д.). Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии, на чертеже построена половина развертки.

Задача 7. На поверхности данного цилиндра вращения с эллиптическими основаниями провести геодезическую линию между точками А и В (рис. 83).

Для проведения искомой линии необходимо построить развертку боковой. поверхности цилиндра. На рис. 83 она построена по способу нормального сечения. При помощи образующих цилиндра,. проходящих через точки А и В, на развертке найдены соответствующие им точки А0 и В0, которые затем соединены отрезком прямой. На развертке отмечены точки С0, D0 и т.д. пересечения отрезка прямой [А0В0] с образующими цилиндра, проходящими через точки 20, 30 и т.д. При помощи точек C0, D0, E0, F0 и т.д. построены проекции искомой геодезической линии.

Примечание. Геодезическая линия является кратчайшей из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя ее точками, и поэтому на развертке она преобразуется в прямую.

Задача 8. Определить длину и проекции кратчайшего пути между точками А и В, принадлежащими поверхности пирамиды SKLM (рис. 84).

Эта задача решена также с помощью развертки боковой поверхности пирамиды. Длины ребер пирамиды определены способом прямоугольного треугольника; с помощью прямых (S – 2) и (S – 1) на развертку нанесены точки А0 и В0, которые затем соединены отрезком прямой. С помощью точки С0 пересечения отрезка [А В] с ребром [S0К0] построены проекции А2С2В2 и А1С1В1 ломаной АСВ, которая является искомой.