Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

В.Г. Казачков

Ф.А. Казачкова

С.Н. Чмерев

Т.М. Чмерева

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Часть 3 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК 22.3я7 С 23 УДК53 (076.5) Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ протокол №_, от 2000 г.

Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерев С.Н., Чмерева Т.М.

С 23 Сборник задач по курсу общей физики. Часть 3: Учебное пособие для заочного отделения.- Оренбург:ОГУ,2000. - 122 с.

Учебное пособие предназначено для выполнения контрольных работ по физике студентами-заочниками инженерно-технических специальностей.

ББК 22.3я C 6Л9 - Казачков В.Г., ОГУ, Содержание Введение

1 Механические колебания

1.1 Основные формулы и соотношения

1.2 Методические указания

1.3 Примеры решения задач

1.4 Задачи для контрольной работы

2 Электромагнитные колебания

2.1 Основные формулы и соотношения

2.2 Методические указания

2.3 Примеры решения задач

2.4 Задачи для контрольной работы

3 Электромагнитные волны. Излучение

3.1 Основные формулы и соотношения

3.2 Методические указания

3.3 Примеры решения задач

3.4 Задачи для контрольной работы

4 Интерференция волн

4.1 Основные формулы и соотношения

4.2 Методические указания

4.3 Примеры решения задач

4.4 Задачи для контрольной работы

5 Дифракция волн

5.1 Основные формулы и соотношения

5.2 Методические указания

5.3 Примеры решения задач

5.4 Задачи для контрольной работы

6 Поляризация электромагнитных волн

6.1 Основные формулы и соотношения

6.2 Методические указания

6.3 Примеры решения задач

6.4 Задачи для контрольной работы

7 Дисперсия и поглощение волн

7.1 Основные формулы и соотношения

7.2 Методические указания

7.3 Примеры решения задач

7.4 Задачи для контрольной работы

8 Элементы квантовой механики

8.1 Основные формулы и соотношения

8.2 Методические указания

8.3 Примеры решения задач

8.4 Задачи для контрольной работы

Список использованных источников

Данный сборник является третьей частью издаваемого кафедрой физики в помощь студентам заочного отделения учебно-методического пособия.

При составлении сборника основное внимание было уделено тщательному подбору задач для контрольных работ, анализу как методических, так и физических подходов к решению типовых задач.

Исходя из требований государственного образовательного стандарта, в данный сборник включены задачи по колебательным и волновым процессам.

Кроме того, к волновым процессам мы отнесли задачи по выделению микрочастиц, так как уравнение Шредингера - волновое уравнение. При таком подходе, многие задачи являются естественным продолжением задач, описанных во второй части сборника, в новых условиях переменных полей. Это позволило показать единые методические подходы к решению задач по колебательным процессам различной физической природы, увязать между собой различные разделы курса физики.

Данный сборник написан коллективом авторов. Работа по составлению и изданию пособия распределилась следующим образом: задачи к темам "Интерференция и дифракция" подобраны Казачковой Ф.А., задачи к теме "Элементы квантовой механики" подобраны Чмеревой Т.М., Чмеревым С.Н., задачи к теме "Электромагнитные волны. Излучение" подобраны Казачковым В.Г., задачи к остальным темам подбирались всеми авторами. Методические указания к решению задач, примеры решения типовых задач и их объяснения составлены Казачковым В.Г.

а) Задачи, приведенные в данном сборнике, являются логическим продолжением задач по механике, электричеству и электромагнетизму. Поэтому, прежде чем приступить к решению задач, мы рекомендуем еще раз обратиться к соответствующим методическим материалам предыдущего семестра. Без этого вы можете столкнуться с целым рядом вопросов при решении задач, так как усвоение нового материала, в данном случае, без повторения соответствующих разделов учебника, затруднительно.

б) Все общеметодические указания первой и второй частей сборника справедливы и в данном пособии, поэтому мы ограничимся только краткой справкой по оформлению и сдаче контрольных работ.

в) Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя необходимо оставлять поля.

г) Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными или потребовали дополнительных уточнений. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.

д) Законченные контрольные работы представляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена (зачета) дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу. В противном случае не ставится зачет (экзамен).

е) Количество задач, входящих в контрольную работу, определяется ведущим преподавателем, но не должно превышать десяти.

ж) Контрольная работа должна быть сдана до начала сессии.

1 Механические колебания 1.1 Основные формулы и соотношения Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями:

гдеA - амплитуда колебания;

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

а) одинаковой частоты и разной амплитуды получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого А и фазовая постоянная определяются соотношениями где A1, A2 - амплитуды складываемых колебаний;

б) разных частот, но одинаковой амплитуды, получится соотношение При сложении двух взаимно перпендикулярных (оси колебаний взаимно перпендикулярны) гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд колеблющаяся точка описывает эллиптическую траекторию, которая задается уравнением лежащем в основе оптической поляризации.

При сложении большего числа n гармонических колебаний одной амплитуды а с последовательным сдвигом по фазе на :

получается гармоническое колебание Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

где k m 0 - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение x, равное единице.

Уравнение движения тела под действием квазиупругой силы имеет вид есть собственная частота колебаний системы.

Частота колебаний математического маятника длиной l равна Частота колебаний физического маятника где J - момент инерции маятника относительно оси качаний;

Полная энергия тела, совершающего свободные гармонические колебания, постоянна и равна При наличии силы сопротивления Fсопр, пропорциональной скорости ( Fсопр rv, где r- коэффициент сопротивления), уравнение движения имеет вид:

Решение уравнения (1.19) запишется в виде где x - смещение в затухающих колебаниях;

A0, 0 - начальные амплитуда и фаза, которые задаются начальными условиями.

Величины, выражаются через параметры системы r, k, m формулами:

Уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях характеризуется логарифмическим декрементом затухания - логарифм отношения двух значений амплитуды, разделенных во времени одним периодом:

Время, необходимое для уменьшения амплитуды в e раз, называется временем релаксации, т.е.

откуда время релаксации Уменьшение энергии при затухающих колебаниях характеризуется добротностью, которая равна числу радиан, на которые изменится фаза колебаний при уменьшении энергии в e раз, т.е.

При наличии вынуждающей силы, меняющейся по гармоническому закону F F0 cos t, уравнение движения имеет вид:

Решение уравнения (1.26) запишется в виде где А - амплитуда вынужденных колебаний, равная и фаза колебания Резонансная циклическая частота равна 1.2 Методические указания а) Кинематика колебательного движения.

1.2.1 Уравнение гармонического колебания можно записать двумя способами, основанными на известной связи между синусом и косинусом:

Поэтому смещение, скорость и ускорение того же самого гармонического колебания, которое описывается формулами (1.1)-(1.3), всегда можно записать в виде уравнений:

Начальные фазы 0 или находятся из начальных условий.

1.2.2 Из системы уравнений (1.1)-(1.3) следует, что максимальному смещению при гармоническом колебании соответствует нулевая скорость и максимальное ускорение, направленное противоположно смещению (в сторону равновесия). Наоборот, в положении равновесия x 0 скорость максимальна, а ускорение равно нулю.

1.2.3 При сложении n n 2 одинаково направленных гармонических колебаний равных периодов амплитуду и начальную фазу можно находить по формулам (1.5) и (1.6), последовательно применяя их n 1 раз. Однако более эффективным в этом случае является метод векторных диаграмм (см.

задачу 3 и литературу /1/-/3/).

1.2.4 В задачах на определение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключать время t из уравнений складываемых колебаний, представленных в виде Если при этом 2, то результирующей траекторией движущейся точки будет эллипс.

б) Динамика колебательного движения.

1.2.5 Следует иметь в виду, что при решении задач на колебательное движение используются уже рассмотренные в первой части издания законы кинематики и динамики. Поэтому, как и в задачах по динамике материальной точки, необходимо в начале записать уравнение колебательного движения, т.е. второй закон Ньютона в векторной форме, а затем спроектировать его на оси (см. Сборник задач, часть 1, раздел “Динамика”).

1.2.6 В случае, если тело совершает колебания только под действием квазиупругой силы, то независимо от природы этой силы уравнение движения описывается выражением (1.14).

1.2.7 Циклическая частота затухающих колебаний, как это следует из соотношения (1.22), всегда меньше собственной частоты 0 свободных колебаний. Таким образом, сопротивление среды приводит к уменьшению частоты колебаний, но колебание все равно остается гармоническим.

1.2.8 Если, при решении задач, выполняются эквивалентные друг другу условия:

то сопротивлением среды можно пренебречь. В этом случае колебания совершаются с частотой собственных колебаний системы.

1.2.9 Многие задачи на колебательное движение удобней и проще решать, используя математический аппарат комплексных чисел.

1.3 Примеры решения задач Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 500 Гц и амплитудой А = 0.020 см. Определить средние значения скоростей V и ускорения a точки на пути от ее крайнего положения до положения равновесия, а также найти максимальное значение этих величин: Vмакс и aмакс.

Решение. По определению средней скорости имеем где l - путь, пройденный за время t.

В данном случае l A, t T / 4, поскольку за время периода Т колеблющаяся точка проходит путь, равный 4 амплитудам. Подставив эти значения l и T в (1.30), получим По формуле (1.2), положив sin t 1, найдем максимальную скорость:

Согласно определению среднего ускорения, запишем:

где V V V0. В данном случае начальная скорость V0 0, конечная скорость V V макс А. Подставив значения V и t T / 4 в формулу (1.33), получим:

По формуле (1.3), приняв cos t 1, найдем максимальное значение ускорения:

После подстановки числовых значений в формулы (1.31), (1.32), (1.34), (1.35) и выполнения вычислений, получаем:

Замечание. Методом среднего арифметического для нахождения V и a здесь пользоваться нельзя, поскольку скорость и ускорение при гармоническом колебании, как это следует из формул (1.2) и (1.3), не являются линейными функциями времени.

момент времени она находилась в крайнем положении.

Решение. а) Путь l1 = A / 2, пройденный точкой в гармоническом колебании при движении от положения равновесия к крайнему положению, равен смещению x, определяемому уравнением (1.1), которое с учетом (1.4) запишем так:

Чтобы найти начальную фазу 0, воспользуемся начальными условиями задачи: x = 0 при t = 0. Подставив эти значения x и t в (1.36), получим. Считая, что точка движется в сторону положительных значений x, Примечание. Если бы мы записали гармоническое колебание в виде то после подстановки начальных условий, получили бы 0 0, т.е. сразу выражение (1.37). В этом плане обратите внимание на пункт 1.2.1 методических указаний.

Подставив в (1.37) значение x A / 2, получим искомое время, выраженное в долях периода:

б) Точка движется из крайнего положения, поэтому начальные условия будут теперь: x = A при t = 0. Подставив эти значения x и t в уравнение (1.36), получим 0 = 0. Следовательно, Чтобы избежать ошибок, учтем, что исходное уравнение (1.1) выражает смещение x точки при гармоническом колебании, отсчитанное от положения равновесия (точка 0 на рисунке 1.1), но не путь, пройденный точкой. Лишь в частном случае движения точки из положения равновесия к крайнему положению эти величины численно равны (этим мы воспользовались в первом случае). Если точка, двигаясь из крайнего положения, прошла путь l2 = A / 3, то как видно из рисунка 1.1, ее смещение равно Подставив это значение x в (1.38), получим cos 2 t. Отсюда, пользуясь таблицей косинусов, найдем искомое время в долях периода:

Задача 3. Материальная точка участвует в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, написать его уравнение. Все смещения даны в сантиметрах.

Решение. Так как точка участвует в трех гармонических колебаниях, то и результирующее колебание будет также гармоническим колебанием. Его амплитуду и начальную фазу можно найти по формулам (1.5) и (1.6). Однако они выведены для случая, когда складываемые колебания содержат одну и ту же тригонометрическую функцию: синус или косинус. Поэтому перепишем уравнение (1.41), выразив x через косинус:

Сравнив (1.39), (1.40), (1.42) с общим уравнением смещения гармонических колебаний (1.1), видим, что складываемые колебания характеризуются следующими величинами: амплитуды A1=A2=A3=3 см, циклические частоты 1 3 1 с ; начальные фазы 1 0; 2 ;

С помощью формул (1.5) и (1.6) можно последовательно сложить вначале любые два из трех заданных колебаний. Затем, еще раз применив эти формулы, найти амплитуду A и начальную фазу результирующего колебания.

К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных диаграмм. Сущность его в том, что амплитуду A и начальную фазу результирующего колебания находят путем сложения векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего складываемого колебания, а угол, образованный вектором с осью x, - начальной фазе. Величины A и определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к оси x.

На рисунке 1.2 построена векторная диаграмма по данным задачи. Из чертежа сразу получаем = /3, A=2A, т.е. A=6 см. Теперь запишем уравнение результирующего колебания:

Задача 4. Известно, что сложное колебание, график которого представлен на рисунке 1.3, состоит из двух гармонических колебаний. Найти их частоту и амплитуды.

Решение. Приведенный график изображает гармоническое колебание с медленно периодически изменяющейся амплитудой. Такие колебания, называемые биеРисунок 1. ниями, получаются в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с мало различающимися частотами. При этом частота сложных колебаний оказывается равной полусумме частот слагаемых колебаний 1 и 2:

а частота изменения амплитуды, называется частотой биений, равна разности частот:

Из графика видно, что за одну секунду произошло девять полных колебаний, значит, = 9 Гц. За это же время свершились два полных цикла изменения амплитуды, следовательно, амп = 2 Гц. Подставив в (1.43) и (1.44) значения и и решив систему уравнений, найдем:

Амплитуда сложного колебания в каждый момент времени определяется формулой (1.5). При этом ее максимальное значение при 2 0 равно:

Но из графика видно, что Амакс= 2 см, Амин= 0. Подставив эти значения Амакс и Амин в (1.45) и (1.46), найдем:

Примечание. Общее уравнение биений легко получить, складывая два гармонических колебания x1 a1 cos 1t 1 и x2 a2 cos 2 t 2, считая, что а1 = а2 = а, 1,2. Тогда по правилам сложения косинусов получим:

где выражение 2a cos t дает значение амплитуды биений, медленно меняющейся с течением времени, т.к. по условию 2 1.

Задача 5. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями x 2 sin t ; y cos t (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0.5 с.

Решение. Так как циклические частоты складываемых колебаний совпадают, траекторией точки будет эллипс. Исключим время t из заданных уравнений, для чего возведем оба уравнения в квадрат:

Затем, т.к. sin 2 t 1 cos 2 t, т.е. sin 2 t 1 y 2, получим Приводя это уравнение к виду получим каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см, b = 1 см (рисунок 1.4). Чтобы определить направление движения по эллипсу, учтем, что в момент t = 0 имеем x = 0, y = –1 см и, следовательно, точка находится в положении А (рисунок 1.4). При возрастании t увеличивается смещение x, значит, точка движется по траектории против часовой стрелки.

Скорость V при ее движении по эллипсу равна векторной сумме скоростей Vx и V y в слагаемых колебаниях. Поскольку колебаРисунок 1. ния взаимно перпендикулярны, то Аналогично определяется искомое ускорение:

где ax и ay - ускорения в слагаемых колебаниях.

По формулам (1.2) и (1.3) имеем:

Подставив эти значения, соответственно, в формулы (1.47) и (1.48), найдем Взяв t = 0.5 с и выполнив вычисления, получим:

Задача 6. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см и массой mст = 400 г укреплены грузики m1 = 200 г, m2 = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, проходящей через его середину (рисунок 1.5).

Определить период колебаний, совершаемый стержнем. Размерами грузиков пренебречь.

где J - момент инерции маятника;

d- расстояние от центра масс маятника до оси вращения.

Момент инерции физического маятника J состоит из моментов инерции грузиков J1 и J2 и момента инерции J3 стержня:

Так как размерами грузиков пренебрегаем (из условия задачи), то рассматриваем их как материальные точки, моменты инерций которых равны, соответственно, Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, определяется по формуле В задачах по общей физике формулы для расчета моментов инерции тел обычно заданы. Общий момент инерции физического маятника, согласно (1.51) Подставляя в (1.52) числовые данные из условия задачи, получим Масса физического маятника состоит из массы стержня и масс грузиков, т.е.

Для определения расстояния d центра масс от оси вращения запишем условие равновесия стержня с грузиками, находящегося в горизонтальном положении, т.е. сумма моментов сил относительно оси должна равняться нулю.

Сократив на g и решив уравнение относительно d, получим Подставив в (1.53) числовые данные, получим Теперь, подставляя в формулы (1.49) и (1.50), полученные числовые данные, найдем значение периода колебаний Задача 7. Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает ее на x0 = 5.0 см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их частоту.

Решение. Если бы тело совершало колебания только под действием упругой силы пружины Fупр = -kx, их частоту можно было определить из уравнения (1.14). В данном случае на тело действует еще сила тяжести mg. Чтобы выяснить ее влияние на колебания груза, рассмотрим силы, действующие на тело, в двух случаях:

а) тело неподвижно висит на пружине. Равнодействующая сил (они приложены вдоль одного направления), приложенных к телу, F1 = 0. Приняв направление вниз за положительное, запишем б) тело смещено из положения равновесия на x. Будем считать x величиной алгебраической. Пружина в этом случае растянулась на x0 x.

Равнодействующая сил, приложенных к телу, равна Раскрывая скобки и учитывая (1.54), получим Из (1.55) видно, что равнодействующая сил Fупр и mg пропорциональна растяжению пружины и противоположно ему направлена, если только это растяжение отсчитывать от положения равновесия висящего на пружине груза. Следовательно, и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания. Согласно формулам (1.54) и (1.55) k mg / x0, тогда частота колебаний по формуле (1.15) равна Подставляя в (1.56) числовые данные задачи, получим:

Задача 8. Ареометр массой 55 г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости = 1.27 г/см3. Если прибор незначительно сместить из положения его равновесия по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их частоту, если радиус цилиндрический трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен R = 0.30 см.

Решение. На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы:

сила тяжести mg и выталкивающая (архимедова) сила FA, равная весу жидкости, вытесненной телом:

где V- объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной части ареометра.

Как и в предыдущей задаче, выясним соотношение между действующими на тело силами в двух случаях:

а) ареометр находится в равновесии. Приложенные к нему силы уравновешивается, т.к. направлены вдоль одной прямой. Приняв направление вниз за положительное, запишем б) ареометр смещен из положения равновесия по вертикали на величину x (x- алгебраическая величина). Поскольку изменится объем погруженной части прибора, выталкивающая сила также изменится. К ареометру будет приложена равнодействующая, направленная по вертикали и равная R 2 x - изменение объема погруженной части прибора.

Подставив в (1.58) это значение V и раскрыв скобки, получим, с учетом (1.57) Из выражения (1.59) видно. Что на ареометр действует сила пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, ареометр, совершает гармонические колебания с частотой (1.15) Подставляя в (1.60) числовые данные задачи, получим Задача 9. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время t = 2.00 мин уменьшилось в N = 100 раз. Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника m = 0.100 кг.

Решение. Коэффициент сопротивления r связан с коэффициентом затухания и массой m тела соотношением (1.21) Чтобы найти величину, обратимся к уравнению затухающих колебаний (1.20). Стоящий в нем сомножитель выражает уменьшающуюся со временем амплитуду колебаний. Из (1.18) следует, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, обозначив начальную и конечную энергию колебаний через W0 и W, можно записать:

Теперь из (1.62) и (1.63) имеем e 10. Логарифмируя, находим Подставив найденное значение в (1.61), получим ответ:

Теперь, подставляя числовые данные задачи и учтя, что ln 10.0 = 2.3, получим:

Задача 10. Гиря массой 0.500 кг подвешена к пружине, жесткость которой k 32.0 Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период в двух случаях:

а) за время, в течение которого произошло n1 88 колебаний, и амплитуда уменьшилась в N1 = 2 раза;

б) за время двух колебаний ( n2 2 ) амплитуда уменьшилась в N раз.

Решение. Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Циклическая частота затухающих колебаний определяется по формуле (1.22), откуда период равен Собственную циклическую частоту найдем сразу по формуле (1.15), зная числовые значения m и k пружины:

Коэффициент затухания нельзя найти сразу из условия задачи. Согласно (1.23) он равен Чтобы найти величину, обратимся к уравнению затухающих колебаний (1.20). Уменьшающуюся со временем амплитуду с учетом (1.66) выразим так:

Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать A0 / A N, t / T n. Тогда из (1.67) следует e n N, откуда, логарифмируя, имеем Подставив числовые значения N и n для двух случаев, выполним вычисления:

Теперь перепишем формулу (1.64) с учетом (1.66):

Получилось квадратное уравнение относительно периода T. Решив его, найдем (отбрасывая отрицательный корень) период колебания:

Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае 4 2. Поэтому, сохраняя достаточно высокую точность, можно в формуле (1.68) пренебречь членом (смотри методические указания к теме, пункт 1.2.8) и тогда Задача 11. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний при резонансе A рез, если при очень малой (в сравнении с собственной) частоте вынужденных колебаний она равна A0 0.10 см, а логарифмический декремент затухания 0.010 ?

Решение. Как видно из (1.27), амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некотором значении рез, определяемым соотношением (1.29), наступает явление резонанса: амплитуда достигает максимального значения A рез. Величину A рез выразим по (1.27), подставив из (1.29) вместо. После ряда упрощений найдем Из формулы (1.27) можно получить простое соотношение между величинами A0 и F0 / m0. Учитывая вытекающие из условия задачи соотношения:

С учетом сказанного (1.27) запишется в виде:

Подставляя данное выражение в формулу (1.69) и пренебрегая величиной по сравнению с 0, получим Выразим собственную частоту 0 и коэффициент затухания по формулам (1.4) и (1.23):

где T0 - период свободных колебаний при отсутствии сопротивления;

T - период затухающих колебаний, которые начались бы после найдем окончательный ответ:

1.4 Задачи для контрольной работы 1.4.1 Точка колеблется по гармоническому закону. Амплитуда колебас-1, начальная фаза 0 0. Опредения A = 5 см, круговая частота лить ускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.

1.4.2 Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки vмакс = 10 см/с, максимальное ускорение aмакс = 100 см/с2. Найти круговую частоту колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний.

1.4.3 Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало x2 = 8 см. Найти амплитуду A колебаний.

1.4.4 Точка совершает гармонические колебания. В некоторой момент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/с и ускорение 80 см/с2. Найти: амплитуду A, круговую частоту и фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

1.4.5 Написать уравнение гармонического колебания, если максимальное ускорение точки 49.3 см/с2, период колебания 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

1.4.6 Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия равном 2.4 см, скорость точки равна 3 см/с, а при смещении равном 2.8 см, скорость равна 2 см/с. Найти амплитуду и период колебания.

1.4.7 Материальная точка массой 10 г колеблется согласно уравнению x 5 sin( ) см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

1.4.8 Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна 3 10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1.5 10-3 Н.

Написать уравнение колебаний этого тела, если период колебаний равен 2 с и начальная фаза 60.

1.4.9 Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5sin2t см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F = +5 мН, точка обладает потенциальной энергией П = 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу.

1.4.10 Период гармонических колебаний материальной точки T = 2 с, а ее полная механическая энергия E = 10-4 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на материальную точку, если ее масса 10 г. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки.

1.4.11 Некоторая точка движется вдоль оси по закону а) проекцию скорости vx как функцию координаты x;

б) изобразить графики x(t) и vx(x).

1.4.12 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний = 4.0 с-1. В некоторый момент координата частицы x0 = 25.0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость vx частицы через t = 2.40 с после этого момента.

1.4.13 Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0.60 с и амплитудой А = 10.0 см. Найти среднюю скорость за время, в течение которого она проходит путь А/2:

а) из крайнего положения;

б) из положения равновесия.

1.4.14 В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси x так, что проекция ее скорости меняется по закону v x 35 cos t см/с, где t в секундах.

Найти путь, который пройдет частица за первые t = 2.80 с после начала движения.

1.4.15 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x по закону x a cos t. Считая вероятность Р нахождения частицы в интервале от –a до +a равной единице, найти зависимость от x плотности вероятности dP/dx, где dP- вероятность нахождения частицы в интервале от x до x+dx.

Изобразить график dP/dx в зависимости от x.

1.4.16 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как П x П 0 1 cos x, где П0 и - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

1.4.17 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как П x a x 2 b x, где a и b - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

1.4.18 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1.5 с и равными амплитудами уравнение результирующего колебания.

1.4.19 Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний 1.4.20 Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x1 sin t см и x2 sin t 0.5 см. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

1.4.21 Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выражаемых уравнениями x1 sin t см и x2 2 cos t см. Написать уравнение результирующего колебания.

1.4.22 Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 2 с и амплитудами А = 3 см. Начальные фазы колебаний, соответственно, 1 = 0; 2 = /3; 3 = 2 /3. Написать уравнение результирующего колебания.

1.4.23 Точка участвует одновременно в трех колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выраженных уравнениями x1 2 cos t см;

рующего колебания.

1.4.24 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x 2 sin t м и y 2 cos t м. Найти траекторию точки, скорость и ускорение.

1.4.25 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x cos t и y cos t 2. Найти траекторию точки. Построить траекторию и указать направление движения точки по ней.

1.4.26 Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x 0.5 sin t см; y 2 cos t см. Найти уравнение траектории и указать направление движения. Определить скорость и ускорение в момент времени t = 0.1 с.

1.4.27 Движение точки задано уравнениями x 10 sin 2t см и y 5 sin 2t 1.57 см. Найти уравнение траектории, а также скорость и ускорение для момента времени t = 0.5 с.

1.4.28 Движение точки задается уравнениями x 2 cos t 2 см;

cos t см. Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже в масy штабе.

1.4.29 Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x cos t и y 2 cos t 2.

Определить траекторию и построить ее с соблюдением масштаба.

1.4.30 Написать уравнение результирующего колебания при сложении x2 5.0 cos t 1.4.31 При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид x a cos 2.1t cos 50.0t см, где t в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.

1.4.32 Точка движется в плоскости xy по закону x c sin t, y b cos t, где c, b, - положительные постоянные. Найти: уравнение траектории точки y x и направление ее движения по этой траектории; ускорение a в зависимости от ее радиуса-вектора r относительно начала координат.

1.4.33 Написать уравнение результирующего колебания для точки, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 1 2 5 Гц и с одинаковой начальной фазой 1 = 2 = 60. Амплитуды колебания соответственно равны А1 = 0.10 м, А2 = 0.05 м.

1.4.34 Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания =1.6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t T 4 равно 4.5 см. Написать уравнение затухающих колебаний и построить их график для двух периодов.

1.4.35 Построить график затухающего колебания для трех периодов, уравнение которого дано в виде x e 0.1t sin t 4.

1.4.36 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9.8 см. Оттягивая груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы:

а) колебания прекратились через 10 с (считать, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной величины);

б) груз возвращался в положение равновесия апериодически;

в) логарифмический декремент затухания был равен 6?

1.4.37 Амплитуда А колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания.

1.4.38 Логарифмический декремент затухания = 0.004. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда А уменьшилась в два раза.

1.4.39 Гиря массой m = 400 г подвешена на пружине жесткостью k = 15Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания = 0.003. Сколько полных колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда А колебаний уменьшилась в два раза? За какое время это произойдет?

1.4.40 Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 40 с тело потеряло 80% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

1.4.41 Под действием веса электромотора консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h 1 мм. При каком числе оборотов n якоря мотора может возникнуть опасность резонанса?

1.4.42 Жесткость пружины рессоры вагона k = 490 кН/м. Масса вагона с грузом m = 64 т. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса l = 12.8 м?

1.4.43 По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде периодического ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге движется автомобиль, предположим ВАЗ-2106, имеющий массу примерно равную 1000 кг и две рессоры с жесткостью порядка 35 кН/м. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы, попав в резонанс, кузов автомобиля начал сильно вибрировать?

1.4.44 Амплитуда скорости вынужденных колебаний при частотах вынуждающих силы, равных 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц равны между собой. Принимая, что амплитуда вынуждающей силы в обоих случаях одна и та же, найти частоту, соответствующую резонансу скорости.

1.4.45 Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы, равных 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц, равны между собой.

Найти частоту, соответствующую резонансу.

1.4.46 Амплитуда смещения вынужденных колебаний при очень малой частоте x0 = 2 мм, а при резонансе равна 16 мм. Предполагая, что логарифмический декремент затухания меньше единицы, определить его.

1.4.47 Стальная проволока протянута между полюсами электромагнита, по обмотке которой идет переменный ток, вследствие чего струна колеблется с частотой переменного тока. Когда частота собственных колебаний струны равна 100 Гц, мощность тока в обмотке достигает максимальной величины и на 50% превышает мощность при отсутствии струны. Когда частота собственных колебаний струны увеличивается до 101 Гц, то мощность тока в обмотке электромагнита только на 5% превышает мощность при отсутствии струны. В течение какого промежутка времени амплитуда колебаний струны уменьшится в 10 раз, если ток в обмотке электромагнита выключить.

(Указание: считать, что к системе, совершающей вынужденные колебания, подводится мощность, средняя за период величина которой равна P rmv макс ).

1.4.48 Маятник состоит из очень легкого стержня, на котором закреплены два одинаковых груза - один на расстоянии 30 см от оси, другой на расстоянии 15 см от оси. Каков период колебаний такого маятника? Грузы считать точечными.

1.4.49 Шар, радиус которого 5 см, подвешен на нити длиной 10 см. Определить погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник с длиной 15 см.

1.4.50 Определить период колебания массы m = 121 г ртути, находящейся в U-образной трубке (рисунок 1.6).

Площадь сечения канала трубки S = 0.3 см2.

1.4.51 Шарик катается по дну сферической чаши.

Предполагая, что эти колебания можно считать синусоидальными, определить их период.

1.4.52 Жидкость налита в изогнутую трубку (рисунок 1.7), колена которой составляют с горизонтом углы и, длина столба жидкости l. Если жидкость выведена из положения равновесия, то начинаются колебания уровня в трубке. Найти частоту малых колебаний. Вязкостью жидкости пренебречь.

и трение пренебрежимо малы.

1.4.54 Найти период малых вертикальных колебаний тема массы m в системе (рисунок 1.9). Жесткости пружин k1 и k2 равны, а их массы пренебрежимо малы.

1.4.55 Покажите, что отношение значений величины 2 для гармонических колебаний трех систем (рисунок 1.10) равно 1:2:4. Жесткости пружин равны, массы тел одинаковы.

1.4.56 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.9), если жесткости пружин k1 и k2 различны между собой.

1.4.57 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.10в), если жесткости пружин различны между собой.

струны длиной l (рисунок 1.11). Натяжение струны постоянно и равно T. Массой струны можно пренебречь.

Рисунок 1.11 (рисунок 1.12). Известны радиус блока, его момент инерции J относительно оси вращения, масса тела m и коэффициент жесткости пружины k. Массы нити и пружины 1.4.60 Цилиндрический брусок (рисунок 1.13) находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой границей пополам. Найти период малых колебаний бруска в пренебреРисунок 1.13 жении силами трения.

Рисунок 1. 2 Электромагнитные колебания 2.1 Основные формулы и соотношения При свободных колебаниях в контуре, содержащем конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и сопротивление R, соединенных последовательно, уравнение напряжений имеет вид:

Решение этого уравнения показывает изменение заряда во времени на обкладках конденсатора и дается соотношением:

q0 e t - амплитуда затухающих колебаний;

q0, 0 - начальные амплитуда и фаза (определяются из начальных Величины, выражаются через параметры контура R, L, C формулами:

здесь есть циклическая частота свободных незатухающих, т.е. собственных, колебаний, которые устанавливаются в контуре при условии R 0.

Логарифмический декремент затухания где an, an+1 - амплитудные значения в двух последовательных колебаниях любой из величин q, I, U (U - напряжение на конденсаторе, I – сила тока в контуре);

Добротность колебательного контура Q связана с логарифмическим декрементом затухания формулой:

Если в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и сопротивления R, действует периодическая ЭДС = 0cos t, то уравнение напряжений примет вид Решение уравнения (2.8) запишется так Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре равна:

соотношениями:

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока где Uд и Iд - действующие (эффективные) значения напряжения и тока:

Аналогично 2.2 Методические указания 2.2.1 Методы решения задач на электромагнитные колебания сходны с методами решения задач на механические колебания. В основе этого сходства лежит одинаковая структура уравнений, описывающих оба вида колебаний. Так, например, формулы (2.1) - (2.5) этого раздела, характеризующие свободные электрические колебания в контуре, аналогичны формулам (1.19) - (1.23) для свободных механических колебаний. При этом заряд q соответствует смещению x, омическое сопротивление R - коэффициенту сопротивления среды r, индуктивность L – массе m, емкость С – величине, обратной коэффициенту квазиупругой силы k.

Сходство уравнений приводит к сходству при решении задач, основанных на этих уравнениях. Поэтому при решении задач этого раздела всегда можно найти соответствующие аналогии в задачах на динамику колебательного движения.

2.2.2 Если в формуле (2.10), выражающей связь между амплитудой тока и Э.Д.С. при вынужденных колебаниях в контуре, заменить амплитудные значения I0 и 0 на соответствующие действующие значения по формулам (2.12) и (2.13), то получим закон Ома для участка цепи переменного тока:

Оно состоит из омического сопротивления R, индуктивного сопротивления L и емкостного сопротивления 1 C. Обратите внимание: отсутствие в цепи переменного тока конденсатора, означает отсутствие емкостного сопротивления, т.е. 1 C 0, следовательно, емкость цепи C =.

Указание. Закон Ома справедлив в цепях переменного тока только для квазистационарных токов. Условие квазистационарных токов справедливо, если время распространения тока в цепи много меньше его периода колебаl ния, т.е. T, где l - длина цепи, с- скорость света.

2.2.3 Законы последовательного и параллельного соединений в цепях постоянного тока не годятся для переменного тока, если его характеризовать не мгновенными значениями величин I, U,, а действующими Iд, Uд, д (или амплитудными I0, U0, 0). Так при последовательном соединении сумма напряжений на отдельных участках замкнутой цепи оказывается не равной электродвижущей силе, а при параллельном соединении сумма токов в ветвях не равна току в неразветвленной части цепи. Величины I, U, определяющие электрические процессы во всей цепи и на ее отдельных участках, совершают гармонические колебания, находясь в различных фазах. Поэтому напряжения (и токи) складываются по правилу сложения векторных величин с учетом угла (разности фаз) между ними точно так же, как складываются, например, амплитуды смешения при механических колебаниях равных периодов (см. формулу (1.5)).

2.3 Примеры решения задач Задача 1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С 5.0 мкф и катушки индуктивностью L 0.200 Г. Определить максимальную силу тока I 0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U 0 90 В. Сопротивлением контура пренебречь.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании закона свободных колебаний заряда в контуре (2.2);

второй - на законе сохранения энергии.

Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало (а в условии задачи о величине ничего не говорится), то в уравнениях (2.1) и (2.2) коэффициент затухания можно считать равным нулю. Тогда, согласно (2.4), частота колебаний в таком контуре равна частоте собственных колебаний, т.е. 0, получим выражение незатухающих свободных колебаний. Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2.14) по времени, получим для силы тока в контуре уравнение Величина I 0 0 q0 является амплитудным, т.е. максимальным, значением силы тока в контуре. Подставив в выражение I0 величину 0 из формулы (2.5) и учитывая соотношение q0 CU 0, определим искомую величину:

Второй способ. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний (по условию задачи сопротивлением в контуре можно пренебречь) полная энергия контура, равна сумме энергий электрического поля конденсатора CU 2 / 2 и магнитного поля катушки LI 2 / 2, остается постоянной. Поскольку энергия электрического поля конденсатора ( CU 2 / 2 q 2 / 2C ) пропорциональна квадрату заряда, а энергия магнитного поля пропорциональна квадрату тока, то максимумы энергий электрического и магнитных полей равны, т.е.

так как заряд q и ток I в контуре сдвинуты по фазе на /2.

Из (2.16) следует, что Подставив числовые значения величин из условия задачи и произведя вычисления, получим Задача 2. Добротность колебательного контура Q = 5.0. Определить на сколько процентов отличается частота свободных колебаний контура от его собственной частоты 0.

Решение. Во всяком реальном колебательном контуре, обладающим сопротивлением R, частота свободных колебаний меньше частоты собственных колебаний контура (т.е. частоты колебаний при R 0). В задаче требуется найти величину Добротность контура выразим через величины и используя формулы (2.4), (2.6), (2.7) и соотношение T 2 / :

Определив отсюда и подставив в (2.17), найдем Действительно, разделив числитель и знаменатель в (2.19) на 2Q, получим Подставляя значение Q в (2.20) найдем Примечание. Второе упрощение в (2.20) проведено на основании приближенного равенства 1 /(1 )1, при 1. Оба использованных приближенных равенства получаются при разложении исходного выражения в ряд.

Задача 3. В цепи, из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки индуктивностью L = 1.0 мГ и конденсатора емкостью C = 0.10 мкФ, действует синусоидальная э.д.с. (рисунок 2.1). Определить частоту э.д.с., при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующие значения силы тока I и напряжений UR, Uc, UL на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение э.д.с. = 30 В.

Рисунок 2. контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения тока I0 и э.д.с. 0 связаны соотношением (2.10). Из формул (2.13) видно, что между действующими значениями тока Iд и э.д.с. д существует то же соотношение, что и между величинами Iд и д. Поэтому Очевидно, максимальному току при резонансе соответствует такое значение, при котором выражение, стоящее в скобках в формуле (2.21), обратится в нуль. Отсюда определим резонансную частоту:

При этом сила тока равна:

Зная силу тока Iрез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из этих участков:

Равенство UC = UL следует из равенства емкостного и индуктивного сопротивлений и является характерной особенностью последовательного резонанса.

Примечание. При последовательном резонансе напряжение на реактивных сопротивлениях RC и RL всегда намного превышают напряжение на активном сопротивлении R. Поскольку эти напряжения UL и UC, сдвинуты по фазе на, то общее сопротивление цепи становится чисто активным.

Задача 4. Определить действующее значение силы тока на всех участках цепи, изображенной на рисунке 2.2, если R = 1.0 Ом, L = 1.00 мГ, С = 0.110 мкф, Решение. Эта цепь отличается от предыдущей Рисунок 2. (рисунок 2.1) способом включения источника переменной Э.Д.С. (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем).

Если раньше все элементы цепи были соединены последовательно, то в данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока: участок 1-2 является параллельным соединением двух ветвей, одна из которых содержит конденсатор С, другая – элементы R, L, соединенные последовательно между собой. Каждая из ветвей вместе с источником Э.Д.С. образует колебательный (неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле (2.9), заменив амплитудные величины I0, 0 их действующими значениями I,. Тогда для силы тока в цепи 1C2, где R = 0, L = 0, получим:

В ветви 1RL2, где отсутствует емкостное сопротивление 1 C, сила тока с учетом соотношения R 2 L2 Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме токов IC и IRL.

Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и Э.Д.С.

существует сдвиг фаз, определяемый формулой (2.11). Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви 1С2 R = 0, L = 0. Следовательно, В формуле (2.9) величина стоит со знаком “-”; это означает, что ток IC опережает по фазе Э.Д.С. на /2, а ток IRL отстает по фазе от Э.Д.С. на /2. На рисунке 2.3 изображена векторная диаграмма, построенная в соответствии с полученными фазовыми соотношениями. Сложив векторы, изображающие токи IC и IRL, найдем вектор, изображающий ток I в неразветвленной части цепи. Таким образом,

I IC I RL

Такой же результат можно получить с помощью формулы (1.5) предыдущей Замечание. а) В данной задаче величины R, L, были связаны R n1. (4.20) Тогда, с учетом граничных условий (см. пункт 4.2.4 методических указаний) для темных колец и с учетом (4.19), получим формулу (4.6) в виде:

Выполнив вычисление, найдем:

Теперь сделаем единственно возможное другое предположение относительно величины nж В этом случае (с учетом граничных условий) формула (4.6) запишется в виде:

т.е.

Выполнив вычисление по формуле (4.23), получим Сравнив результаты вычислений по формуле (4.21), (4.23) для обеих случаев (очевидно, соответствующих двум разным жидкостям) видим, что в первом случае ( nж1 = 1.41; nж1 = 1.34) значения показателя преломления жидкости удовлетворяют одному из неравенств (4.20), но не удовлетворяют неравенству (4.22). Следовательно, из двух формул (4.21), (4.23) правильный ответ дает формула (4.21), т.е. для первой жидкости nж1 = 1.41. Во втором случае ( nж 2 = 1.63; nж 2 = 1.55) выполняется только неравенство (4.22). Следовательно, теперь правильный ответ дает формула (4.23), т.е. для второй жидкости nж 2 = 1.55.

Замечание. Интересно отметить, что в данной задаче нельзя предположить, что nж = n1 или nж = n2, т.к. в этих случаях свет будет отражаться лишь от одной поверхности слоя жидкости, и следовательно, колец Ньютона не будет.

Задача 5. На рисунке 4.4 изображена принципиальная схема получения интерференции от двух источников в виде щелей (или святящихся нитей).

Оценить максимальную ширину bmax щелей (или диаметр нитей), при которых интерференционные полосы на экране Э будут еще достаточно отчетливо различимы.

Решение. Для того, чтобы в точке А получить интерференционную картину, источники конечных размеров должны быть пространственно когерентны, т.е. удовлетворять условию (4.7) Напомним, что радиус (или длина) когерентности – это смещение вдоль результирующей поверхности, на котором изменение фазы достигает.

Значит колебания в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии меньшем ког всегда коге- Рисунок 4. рентны. В нашем случае, как видно из чертежа (рисунок 4.4) радиус каждой из волн в точке А экрана где u – угол, под которым видна щель из точки А.

Очевидно, что если ког = d, интерференционной картины наблюдаться не будет. Из условия наблюдения хорошей контрастности интерференционных полос, необходимо принять, что Переписывая (4.25) с учетом (4.24), получим Тогда, подставляя значение из формулы (4.4) в выражение (4.26), найдем, что Задача 6. Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверхность объектива (n2 = 1.7) нанесена тонкая прозрачная пленка (n = 1.3) (рисунок 4.5). При какой наименьшей ее толщине произойдет максимальное ослабление отраженного света, длина волны которого приходится на среднюю часть видимого спектра ( 0 = 0.56 мкм)? Считать, что лучи падают нормально к поверхности объектива.

передней, так и от задней поверхностей тонкой пленки. Ход лучей для случая их наклонного падения изображен на рисунке 4.5. Отраженные лучи 1, 2 интерферируют. Условие минимума интенсивности света при интерференции выражается формулой (4.3), где m - нечетное число, т.е.

Рисунок 4. Оптическая разность хода лучей, отраженных от двух поверхностей тонкой пленки, окруженной одинаковыми средами, определяется формулой (4.5) В данном случае пленка окружена различными средами. Из неравенства n1 < n < n2 следует, что оба луча 1 и 2 отражаясь от границы с оптически более плотной средой «теряют» полуволну. Так как это не влияет на их разность хода, то в (4.5) следует отбросить член /2. Кроме того, полагая = (угол падения равен нулю по условию задачи), получим Из равенств (4.27) и (4.28) находим толщину пленки:

Учитывая, что в выражении (4.29) h – величина существенно положительная, и что значение hmin соответствует k = 0, получим 4.4 Задачи для контрольной работы 4.4.1 Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 1 мм, расстояние от щелей до экрана l = 3 м, расстояние между максимумами яркости смежных интерференционных полос на экране x = 1.5 мм. Определить длину волны источника монохроматического света.

4.4.2 В опыте с зеркалами Френкеля расстояние между мнимыми изображениями источника света d = 0.5 мм, расстояние от них до экрана l = 3 м.

Длина волны = 0.6 мкм. Определить расстояние между смежными интерференционными максимумами на экране.

4.4.3 Источник света S ( = 0.6 мкм) и плоское зеркало N расположены, как показано на рисунке 4.6. Что будет наблюдаться на экране в точке А – свет или темнота, если SA = r = 2м, а = 0.55 мм?

( = 0.6 мкм), расстояние между отверстиями 1 мм и расстояние от отверстия до экрана 3 м. Найти положение трех первых светлых полос.

4.4.5 Определить расстояние между центральной и пятой светлой полосой, если угол между зеркалами Френеля = 20. Источник, дающий свет с длиной волны = 589 нм, находится от линии пересечения зеркал на расстоянии r = 10 см, а экран на расстоянии L = 1 м.

4.4.6 При освещении зеркал Френеля монохроматическим светом с длиной волны = 486 нм на экране, отстоящем на расстоянии L = 1 м от линии пересечения зеркал, наблюдают интерференционные полосы, ширина которых x = 1 мм. Источник света находится на расстоянии r = 10 см от линии пересечения зеркал. Определите угол между зеркалами.

4.4.7 Двояковыпуклая тонкая линза с оптической силой D = 5 дп разрезана пополам, и половинки линзы раздвинуты на расстояние d = 1 мм. Источник монохроматического света ( = 500 нм) расположен на расстоянии a = 40 см от линзы. Определите размеры интерференционной картины и ширину интерференционных полос на экране.

4.4.8 Из линзы с фокусным расстоянием F = 50 см вырезали центральную часть шириной d и обе половинки сдвинули до соприкосновения. Линзу поместили между точечным источником монохроматического света ( = 0.6 мкм) и экраном, на котором наблюдают интерференционные полосы шириной x = 0.5 мм. Постройте изображения источника и определите ширину вырезанной части линзы. Расстояние от источника до линзы a = 100 см, от линзы до экрана L = 20 см.

4.4.9 Пучок параллельных лучей монохроматического света ( = 0.48 мкм) падает под углом = 30 на мыльную пленку. Определить наименьшую толщину пленки, при которой отраженные лучи максимально ослаблены интерференцией. Принять относительный показатель преломления мыльной пленки равным n = 1.3.

4.4.10 Мыльную пленку (n = 1.3), расположенную вертикально, наблюдают в отраженном свете через красное стекло ( к = 0.631 мкм). Расстояние между соседними темными полосами получилось равным 3 мм. Затем ту же пленку наблюдают через стекло ( с = 0.4 мкм). Найдите новое расстояние между соседними темными полосами. (Считать, что за время измерений форма пленки не изменилась).

4.4.11 Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой, когда угол между нормалью и лучом зрения равен = 35 ? Показатель преломления мыльной пленки n = 1.3, З = 500 нм.

4.4.12 На стеклянный клин падает нормально пучок света ( = 0.582 мкм). Угол клина = 20. Какое число темных линий интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления n = 1.5.

4.4.13 В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете при нормальном падении лучей наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседними темными полосами х = 5 мм. Зная, что длина световой волны = 580 нм, а показатель преломления пластинки n = 1.5, найдите угол между гранями пластинки.

4.4.14 В установке для наблюдения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Определить показатель преломления жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете получился равным 3.65 мм. Радиус кривизны линзы 10 м, длина волны света = 589 нм, материал линзы и пластинки одинаков.

4.4.15 Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом длиной волны = 0.6 мкм, падающим нормально.

Найти толщину воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете.

4.4.16 Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается монохроматическим светом, падающим нормально. После того, как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец уменьшились в 1.25 раза. Найти показатель преломления жидкости.

4.4.17 Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Материал линзы и пластинки одинаков. Радиус восьмого темного кольца Ньютона в отраженном свете ( = 700 нм) r8 = 2 мм, радиус кривизны линзы R = 1 м. Найти показатель преломления жидкости.

4.4.18 Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки соответственно равны n1 = 1.50, n2 = 1.63, n3 = 1.70. Радиус кривизны сферической поверхности линзы R = 100 см. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с длиной волны = 0.50 мкм.

4.4.19 На пути одного из лучей интерферометра Жамена (рисунок 4.7) поместили откачанную 4.4.20 Интерферометр Майкельсона был применен для определения длины световой волны. Для этой цели измерялось расстояние, на которое необходимо передвинуть одно из зеркал для того, чтобы сместить интерференционную картину на 100 полос. Это расстояние оказалось равным l = 2.94 см. Определить длину световой волны.

4.4.21 Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной l = 14 см. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина сместилась на 180 полос при длине волны = 0.59 мкм. Найти показатель преломления аммиака.

4.4.22 В интерферометре Жамена (рисунок 4.7) на пути лучей 1, 2 поставлены две одинаковые трубки длиной l = 15 см. Трубки заполнены воздухом. При замене одной из них такой же трубкой, заполненной кислородом, интерференционная картина сместилась на 6 полос, при длине волны падающего света = 5 10-7 м. Определить показатель преломления кислорода, если показатель преломления воздуха n = 1.000292.

4.4.23 Точечный источник S равномерно движется параллельно плоскости, в которой имеется два маленьких отверстия на расстоянии d друг от друга.

Расстояние от него до плоскости равно h (рисунок 4.8) Приемник света, расположенный на оси системы, регистрирует периодически изменяющуюся интенсивность света. Определить скорость движения источника, если частота колебаний интенсивности f = 15 Гц, длина волны света = 800 нм, d = 2 мм, h = 1 м. Считать, что источник движется вблизи оси системы.

4.4.24 Приемник радиосигналов, следящий за появлением спутника Земли из-за горизонта, расположен на берегу озера на высоте H = 3 м над поверхностью воды. По мере поднятия спутника над горизонтом наблюдаются периодические изменения интенсивности принимаемого радиосигнала. Определить частоту радиосигнала спутника, если максимумы интенсивности появились при углах возвышения спутника над горизонтом 1 = 3, 2 = 6.

Поверхность считать идеально отражающим зеркалом.

4.4.25 Радиоизлучение от звезды, расположенной в плоскости экватора, принимается с помощью двух антенн, расположенных на экваторе на расстоянии L = 200 м друг от друга. Сигналы с антенны подаются по кабелям одинаковой длины на приемник. Найти закон изменения амплитуды напряжения на входном контуре приемника в результате вращения Земли. Прием ведется на длине волны = 1 м. Звезда мало отклоняется от зенита за время наблюдения.

4.4.26 Коротковолновый передатчик работает на частоте f = 30 МГц.

Приемник находится на расстоянии L = 2000 км от него. Радиоволны достигают приемника, отражаясь от ионосферных слоев, расположенных на высотах h1 = 100 км и h2 = 300 км. Найти закон изменения интенсивности сигнала, если приемник перемещать вдоль прямой, соединяющий его с передатчиком.

Перемещение мало по сравнению с L.

4.4.27 Горизонтальный электрический вибратор помещен над идеально проводящий горизонтальной плоскостью на высоте h. Начертить качественно диаграммы направленности вибратора в вертикальной плоскости, перпендикулярной к его оси, для h = /4, h = /2, h = 3 /4, h =. Найти направления на максимумы и минимумы излучения в этих случаях.

4.4.28 Начертить качественно диаграмму направленности расположенного над Землей горизонтального полуволнового вибратора в экваториальной, т.е. в вертикальной, плоскости, если Землю можно считать идеально проводящей, и высота h вибратора над землей равна: /4; /2. Найти в экваториальной плоскости направления на максимум и минимум излучения в этих случаях, а также в общем случае, когда h = n, где - длина волны излучения. Указание. Землю считать идеально проводящей поверхностью.

4.4.29 Найти в вертикальной плоскости направления максимумов и минимумов излучения для вертикального полуволнового вибратора в случае, когда высота вибратора над Землей (считая от середины вибратора) h = n, где - длина волны. Землю считать идеально проводящей.

4.4.30 Четыре идентичных дипольных излучателя расположены в антенне параллельно друг другу и находятся на одинаковых расстояниях 2.5 см друг от друга. Излучатели работают на частоте f = 3.00 109 Гц и сфазированы так, что излучение каждого последующего отстает от предыдущего на 90.

Найдите интенсивность излучения на больших расстояниях от системы в экваториальной (т.е. перпендикулярной оси диполя) плоскости.

4.4.31 Источник света диаметра d = 30.0 см находится от места наблюдения на расстоянии L = 200 м. В излучении источника содержатся длины волн в интервале от 490 нм до 510 нм. Оценить для этого излучения: а) время когерентности; б) длину когерентности; в) радиус когерентности; г) объем когерентности.

4.4.32 Оценить радиус когерентности Ю света, приходящего от Солнца на Юпитер. Сравнить его с радиусом когерентности З света, приходящего от Солнца на Землю. Расстояние от Солнца до Юпитера 7.778 1011 м; от Солнца до Земли 1.496 1011 м; радиус Солнца 6.96 108 м; длина волны света 600 нм.

4.4.33 Угловой диаметр звезды Бетельгейзе ( Ориона) равен 0.047 угловой секунды. Чему равен радиус когерентности ког света, приходящего на Землю от этой звезды?

4.4.34 Две когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых, падают почти нормально на экран.

Амплитуды волн одинаковы. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране х, где - длина волны.

4.4.35 Волновые векторы двух плоских когерентных волн одинаковой интенсивности образуют угол, много меньший единицы. Волны падают на экран, установленный так, что векторы k1 и k 2 симметричны относительно нормали к экрану. Определить ширину x интерференционных полос, наблюдаемых на экране.

4.4.36 Электромагнитная волна падает нормально на границу раздела двух изотропных диэлектриков с показателями преломления n1 и n2. Воспользовавшись условием непрерывности тангенциальной составляющей вектора E на границе раздела и законом сохранения энергии, показать, что на границе раздела вектор E : а) проходящей волны не испытывает скачка фазы;

б) отраженной волны испытывает скачок фазы на, если отражение происходит от оптически более плотной среды.

4.4.37 Определить продольную и поперечную длину, а также объем когерентности лазера, если = 500 нм, а разброс частот f = 102 Гц. Диаметр зеркала лазера d = 0.05 м.

4.4.38 Оценить степень монохроматичности ( ) лампы накаливания, если при освещении ею через красный светофильтр (пропускает свет длиной = 600 нм) мыльной пленки наблюдается 10 интерференционных полос.

4.4.39 Две одинаковые радиомачты, находящиеся на расстоянии L = 400 м друг от друга, передают на частоте 1500 кГц. Покажите, что интенсивность интерференционного распределения между этими излучателями имеет вид:

где I0 - интенсивность излучения каждой радиомачты.

Изобразите графически это распределение интенсивности на полярной диаграмме, считая, что радиомачты расположены на оси 90 - 270.

4.4.40 Два одинаковых источника, излучающих на длине волны, находятся на расстоянии друг от друга. Сигналы, испускаемые источниками, имеют разность фаз 0 =. Покажите, что распределение интенсивности излучения описывается выражением где I0 – интенсивность излучения каждого источника (источники лежат на оси = ). Нарисуйте график зависимости I от.

4.4.41 Источники, о которых говорилось в задаче 4.4.40, находятся на расстоянии 4 друг от друга и 0 =. Покажите, что Нарисуйте график зависимости I от.

4.4.42 Покажите, что для того чтобы главный максимум излучения линейной цепочки одинаковых источников был направлен вдоль линии источников (, расстояние между источниками должно быть равно длине волны излучения. Определите положение (значение ) вторичных максимумов для случая N = 4 и нарисуйте угловое распределение интенсивности.

4.4.43 Первый многолучевой радиоастрономический интерферометр был эквивалентен линейной цепочке из N = 32 источников (приемников), находящихся на расстоянии l = 7 м друг от друга и работающих на длине волны = 0.21 м. Определите угловую ширину центрального максимума, а также угловое расстояние между соседними главными максимумами.

5 Дифракция волн 5.1 Основные формулы и соотношения Радиусы зон Френеля для сферической поверхности волны, испускаемой точечным изотропным источником S, вычисляется по формуле где k– радиус внешней границы k-й зоны (k = 1,2,3….);

R – радиус волновой поверхности;

r0 – расстояние от вершины волновой поверхности до точки наблюдения, для которой построены зоны Френеля.

При дифракции в параллельных лучах от щели (свет падает нормально к поверхности щели) условие минимума освещенности на экране определяется условием k – порядок минимума (k = 1,2,3...);

а угловое положение k-го максимума интенсивности дифракционной картины вблизи оси симметрии определяется уравнением:

При нормальном падении плоской волны на дифракционную решетку положение главных максимумов определяется условием где d – постоянная (период) решетки;

k – порядок максимума (k = 0,1,2,3…).

Разрешающая способность дифракционной решетки где k – порядок спектра;

Условие (5.5) записывается также в виде теоремы о ширине частотной полосы следующим образом:

где – минимальная разрешаемая решеткой разность частот;

t – разность времен прихода светового сигнала по двум экстремальным оптическим путям.

Разрешающая сила объектива оптического прибора где – наименьшее угловое расстояние, разрешаемое объективом;

Расстояние l, разрешаемое объективом микроскопа:

n – показатель преломления среды, заполняющей пространство между предметом и объективом микроскопа;

u – половина угла между лучами, идущими от предмета к краям Величину nsin u - называют числовой апертурой микрообъектива.

Распределение интенсивности на экране при дифракции на одной щели (в параллельных лучах) задается соотношением Распределение интенсивности на экране в случае дифракционной решетки определяется соотношением 5.2 Методические указания 5.2.1 Решить дифракционную задачу – значит найти относительное распределение освещенности на экране в зависимости от размеров и формы неоднородностей, вызывающих дифракцию. В общем случае решение этой задачи весьма сложное, поэтому в курсе общей физики рассматривают лишь случаи, в которых соображения симметрии упрощают расчет, это дифракция от круглого отверстия, от узкой щели, а также дифракционную решетку.

Учитывая сложность вопроса, советуем еще раз внимательно прочитать соответствующие главы учебника.

5.2.2 Для понимания сути подхода к решению задач по дифракции напоминаем, что для всех волн характерны явления интерференции, возникающие при сложении волн, идущих от разных источников. Поэтому различие между интерференцией и дифракцией заключается только в масштабе, а не в физике явлений. В случае дифракции света на узкой щели или дифракции света малого источника размер отверстия или источника – порядка длины волны. Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку волнового фронта в плоскости щели можно рассматривать как источник вторичных волн, а дальнейшую эволюцию дифрагировавших волн можно найти суммированием этих вторичных волн.

В случае интерференции света, идущего от двух и большего числа таких узких щелей, каждую щель можно рассматривать как источник волны.

Поэтому число компонент, складываемых в конечной интерференционной картине, равно числу щелей (источников). Это означает, что на полном изображении двух и большего числа щелей должны наблюдаться эффекты и интерференции и дифракции. Результат сложения волн от двух и большего числа источников зависит от разницы в путях, проходимых отдельными волнами (т.е. от разности фаз).

5.2.3 В подтверждение сказанного рассмотрим схему, представленную на рисунке 5.1, где изображена линейная цепочка N одинаковых источников S, интервал между которыми равен d, излучающих в направлении. SА -разность хода между соседними источниками, SВ – разность хода между крайними источниками. Допустим, что мы уменьшаем интервал d между N источниками до тех пор, пока расстояние между первым и последним из них, первоначально равное Nd, не станет равным d. Предположим, что теперь d есть ширина узкой щели, на которую падает монохроматическое излучение с длиной волны, причем d. Теперь каждый из большого числа N одинаковых источников можно рассматривать как источник вторичных волн в соответствии с принципом Гюйгенса. Он образует систему Рисунок 5. 5.2.4 Таким образом, если рассмотреть дифракцию на одной щели (см. рисунок 5.2), то волны, дифрагированные под углом, фокусируется в точке Р, находящейся далеко от щели. Нахождение амплитуды света в точке Р малых вкладов N одинаковых источников, расположенных в плоскости щели, с учетом разности фаз, обусловленной различием в длине пути от точки Р до источников. Суммирование можно вести различными способами: прямым интегрированием (т.к. источники расположены непрерывно), с помощью преобразований Фурье, в комплексных числах, методом векторных диаграмм см. вывод формул (1.9) и (1.11). Освещенность в точке Р будет задаваться уравнением (5.9). В данном случае рассчитывалась дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера.

5.2.5 Большое число N эквивалентных щелей образует дифракционную решетку, причем постоянное расстояние d между соседними щелями называется постоянной (периодом) решетки. Чтобы найти распределение освещенности на экране в точке Р (в рисунке 5.2 нужно заменить щель на решетку) от дифракционной решетки, нужно вновь перейти к схеме, представленной на рисунке 5.1. Но теперь считать, что источниками излучения являются щели, дающие излучение длиной волны. Суммирование всех волн в точке Р дает выражение (5.10). В этом выражении объединяются дифракционный множитель sin2 / 2, относящийся к одной щели (одному источнику), и интерференционный множитель sin2N /sin2, характеризующий совместное действие N источников (что лишний раз подтверждает сказанное в пункте 5.2.2). Другими словами, при любом числе щелей дифракционная картина на экране будет представлять собой интерференционное распределение интенсивности от N щелей (источников), модулированное кривой интенсивности света, дифрагированного на одиночной щели (источнике конечных размеров).

5.2.6 Расчет интенсивности интерференционной картины на круглых отверстиях (препятствиях) ничем, кроме осложнения в математических расчетах, не отличается от уже рассмотренного в п.п. 5.2.4 и 5.2.5. В курсе общей физики, в связи с этим, рассматривается лишь вопрос о наличии или отсутствии освещенности в той или иной точке экрана вблизи оси симметрии.

Этот вопрос гораздо проще решается с помощью искусственного приема, называющегося методом зон Френеля. При использовании этого метода нужно иметь в виду, что расстояние от краев зоны до точки наблюдения отличаются на, т.е. сдвинуть по фазе на. Поскольку площади зон одинаковы (по построению), а амплитуда волны от каждой зоны пропорциональна ее площади, то свет от четного числа зон на экране дает минимум освещенности.

5.2.7 Условие (5.7) разрешающей силы объектива, фактически является условием первого минимума дифракции на круглом отверстии. При этом - угловое расстояние между двумя точками, при котором их дифракционные изображения в фокальной плоскости объектива располагаются так, что их еще можно воспринимать раздельно.

5.3 Примеры решения задач Задача 1. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза Л с фокусным расстоянием f = 2.00 м проектирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Ширина центральной светлой полосы х 5.0 см (рисунок 5.3). Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой его света на экране. Центральная светлая полоса заключена между двумя минимумами первого порядка. Ее ширина х зависит от угла дифракции где 1,– углы первых дифракционных минимумов, соответствующие размерам щели b1, b2.

Из условия видно, что угол мал. Поэтому sin tg x 2f. С другой стороны, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой ширине последнего, должно выполняться условие 2 sin. Подставив значения sin и sin в (5.11), получим Таким образом, ширину щели следует уменьшить в 40 раз.

Задача 2. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2.20 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков спектров.

Решение. Пусть и - углы дифракции, соответствующие максимумам первого (k = 1) и второго (k = 2) порядков. По условию, Из формулы дифракционной решетки (5.4) следует:

Система уравнений (5.12), (5.13), (5.14) содержит три неизвестных: 1, 2,. Разделив почленно (5.13), (5.14) получим sin 2 = 2sin 1, или учитывая (5.12), Решив это тригонометрическое уравнение относительно sin, найдем Теперь из выражения (5.13) с учетом (5.15) определим искомую величину:

Подставив в (5.16) числовые значения условия задачи, получим Задача 3. При каком минимальном числе штрихов дифракционной решетки с периодом d = 2.9 мкм можно разрешить компоненты дублета желтой Решение. Число штрихов N решетки связано с ее разрешающей силой R и порядком спектра k соотношением (5.5), откуда следует: N = R/k. Минимальному значению Nmin соответствует минимальное Rmin и максимальное число k, т.е.

С другой стороны, минимальная разрешающая сила решетки Rmin, необходимая для разрешения дублета желтой линии натрия, выражается через величины и по формуле (5.5):

Число kmax найдем из формулы (5.4), если положить в ней sin и (последнее соотношение гарантирует, что оба компонента дублета с порядковым номером kmax будут видны). Учитывая при этом, что k - целое число, и введя функцию Е(х), равную целой части числа Х, получим:

Поставив значения Rmin и kmax из соотношений (5.18) и (5.19) в формулу (5.17), найдем, что Замечание. а) Функция Е(х) = целой части х. Например, Е(1) = 1;

Е( ) = 3; Е(5.9) = 5.

б) Полученное значение Nmin еще не достаточно для того, чтобы брать решетку с таким числом штрихов, потому, что данный расчет не учитывает интенсивность линий в спектральных порядках. Известно, что интенсивность линий пропорционально N 2, поэтому стараются брать большее число штрихов, потому, что линии мало разделить их надо еще хорошо видеть. Обычные решетки имеют размер 15х15 мм, при числе штрихов 600 штр/мм и 1200 штр/мм.

Задача 4. Между точечным источником света ( = 0.50 мкм) и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием радиуса r = 1.0 мм. Расстояние от диафрагмы до источника и экрана равны соответственно R = 1.00 м и r0 = 2.00 м. Как изменится освещенность экрана в точке Р, лежащей против центра отверстия, если диафрагму убрать?

Решение. В результате дифракции света на краях отверстия диафрагмы и интерференции вторичных волн на экране возникнет дифракционная картина – чередующиеся светлые и темные кольца. При этом в точке Р, являющейся центром картины, будет светлое или темное пятно в зависимости от числа зон Френеля, укладывающихся в поверхности волнового фронта, ограниченной краями отверстия. Найдем это число, которое зависит от размеров отверстия и расстояния от отверстия до точки наблюдения. Полагая в формуле (5.1) величину равной радиусу r отверстия в диафрагме, получим Таким образом, в точке Р будет светлое пятно. Чтобы ответить на вопрос задачи, заметим следующее. В силу соотношений r Е.

Оператор – в сферических координатах:

8.2 Методические указания 8.2.1 В задачах, где используют формулы (8.1), обычно выражают импульс р частицы через ее кинетическую энергию (или наоборот) и далее обычно вычисляют скорость. При этом нужно иметь в виду, что во всех случаях движения электрона в атоме, где его энергия измеряется лишь несколькими электронвольтами, релятивистскими эффектами при движении можно пренебречь.

8.2.2 С помощью соотношения неопределенностей (8.2) решают задачи не только на определение наименьшего значения одной из двух неопределенностей x, px при заданном значении другой (в этом случае в формуле пишут знак равенства), но и задачи на приближенный расчет наименьшего значения самих величин линейных размеров области l, в которой находится частица, или импульса р частицы (или связанной с импульсом кинетической энергии). При этом руководствуются следующими соображениями:

а) если даны линейные размеры области l, в которой находится частица, то считают x l (некоторые авторы, для упрощения формул, берут x l/2; если известен модуль р, но неизвестно его направление, то полагают б) искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении, т.е. в качестве минимального значения искомой величины приближенно берут минимальную неопределенность этой величины:

lмин = ( x)мин; pмин = ( p)мин.

8.2.3 В курсе общей физики обычно рассматривают одномерное (вдоль одной из координат) движение частиц только в постоянном во времени силовом поле. При этом уравнение (8.4) запишется в виде (8.6), а его решение (8.7) представляется в виде двух сомножителей. Поскольку один из сомножителей зависит только от времени, а другой только от координат, то такая функция (8.7) описывает монохроматическую стоячую волну де Бройля. В более общем виде ее можно представить как Теперь, зная величину (х) как функцию координаты, можно найти по формуле (8.11) вероятность нахождения частицы в заданном интервале:

8.2.4 Волновая функция (х,у,z) может быть найдена путем решения уравнения Шредингера для стационарных состояний (8.5) или, если движение одномерное, путем решения уравнения (8.8) находят волновую функцию (х).

8.2.5 Решение уравнения Шредингера зависит от вида входящей в него функций U(х,у,z) и практически всегда достаточно сложно математически.

Поэтому в курсе общей физике потенциальная энергия U=U(х) – функция одной координаты и при этом ограничиваются задачами, в которых потенциальная энергия постоянна в определенных интервалах изменения координаты х, но испытывает скачки на их границах. Эти случаи соответствуют частице, находящейся в «потенциальном ящике», а также движению частицы при наличии низкого или высокого потенциального барьера (ступеньки) (смотри рисунки 8.2, 8.3).

8.2.6 При U(х) = const уравнение (8.8) принимает вид Уравнения (8.16) и (8.18) - дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их общие решения, соответственно для (8.16) и (8.18) таковы:

где А, В, С, D - постоянные.

Их значения (или соотношения между ними) находят, используя свойства волновой функции, обусловленные физическим смыслом: она должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения х; ее производная x также должна быть непрерывной. Кроме того, волновая функция должна отвечать условию нормировки, которое для одномерной задачи имеет вид Из перечисленных свойств волновой функции следует, что волновое число k и полная энергия частицы Е могут иметь не любые значения, а лишь ряд определенных значений: k1, k2, k3…, Е1, Е2, Е3,... Эти уровни энергии Еi находят, исследуя полученное решение уравнения Шредингера для функции. В отдельных случаях, например, когда частица находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике, уровни энергии можно определить, не решая уравнения Шредингера, а лишь используя указанные выше свойства волновой функции, рассматривая ее как амплитуду стоячих вoлн де Бройля.

8.2.8 Задача о движении частицы в заданном потенциальном поле U(х) считается решенной, если найдены уровни энергии и вычислены - функции для всех уровней.

8.2.9 Задачи на уравнение Шредингера, обычно вызывают затруднения не только из-за математических сложностей, но и из-за незнания физики вопроса. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач данного раздела, советуем еще раз прочитать соответствующие главы учебников /1 4/.

8.3 Примеры решения задач Задача 1. Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией: Т = 100 эВ; Т = 3.0 МэВ.

Решение. Как видно из соотношений (8.1), задача сводится к выражению импульса р электрона через его кинетическую энергию Т. Решение задачи зависит от того, классической или релятивистской частицей следует считать электрон.

а) Так как T m0c2. Поэтому электрон следует считать релятивистской частицей, импульс и кинетическая энергия которой выражается формулами где m0 = 9.1·10-31 кг - масса покоя электрона.

Следовательно, Взяв величины Т и m0c2 в мегаэлектронвольтах и произведя вычисление, найдем Задача 2. Параллельный пучок электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой а = 2.0 мкм. Oпределить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц), если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума b = 80 мкм.

Решение. Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Поэтому для определения скорости электронов применим вторую формулу в соотношении (8.1), откуда Для нахождения длины волны де Бройля, воспользуемся тем обстоятельством, что дифракционная картина, возникающая при прохождении через узкую щель параллельного пучка электронов, вполне соответствует дифракционной картине, полученной от этой же щели при освещении ее параллельным пучком монохроматического света, длина волны которого равна длине волны де Бройля для электрона. Это значит, что в случае дифракции электронов положение дифракционных минимумов можно определить по формуле (5.2), если понимать в ней под длину волны де Бройля для электрона.

С учетом сказанного, вернемся к решению задачи 1 из раздела «Дифракция». По-прежнему считается, что центральный дифракционный максимум заключен между двумя минимумами первого порядка и учитывая соотношение между величинами b и l, получим (см. рисунок 5.3):

Отсюда, полагая в формуле (5.2) k = 1, имеем Подставив это значение во вторую формулу (8.1), найдем Произведем расчет по формуле (8.25), предположив V U0; б) точки, где плотность вероятности нахождения частицы Рисунок 8.5 уменьшается в е раз.

для электрона с энергией Е вероятность D прохождения потенциального барьера, ширина которого l и высота U0, если барьер имеет форму, представленную на рисунке 8.6.

8.4.31 При условии задачи 8.4.30 найти вероятность D прохождения частицей потенциального барьера, представленного на рисунке 8.7.

8.4.32 Найти с помощью формулы (8.14) вероятность D прохождения частицей с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рисунок Список использованных источников 1 Трофимова Т.И. Курс физики.-М.:Высш. шк.,1990.- 478с.

2 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.-М.:Наука,1988.- 432с.

3 Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2.-М.:Наука,1988.- 496с.

4 Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.5-М.:Наука,1979.- 422с.

5 Иродов И.Е. Задачи по общей физике.-М.:Наука,1979.- 368с.

6 Стрелков С.П., Эльцин И.А., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. Ч.2-М.:Высш.шк,1973.- 464с.

7 Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики.- М.:Высш.шк.,1977.- 351с.