«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ f(x) =1 =3 = 7,5 0 x Сызрань Сызранский филиал Самарского государственного технического университета 2009 Федеральное агентство по образованию ...»

15. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) Х – 1; б) 2Х; в) 3Х + 6.

16. Случайная величина Х принимает только два значения: +С и С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

17. Случайная величина Х может принимать два возможных значения: х1 с вероятностью 0,3 и х2 с вероятностью 0,7, причем х2 > х1.

Найти х1 и х2, зная, что М(Х) = 2,7 и D(Х) = 0,21.

18. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

Лекция № 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 7.1. Понятие функции распределения и ее свойства Дискретная случайная величина может быть задана законом распределения. Такой способ не применим для непрерывных случайных величин, так как число их значений бесконечно. Возникает необходимость ввести общий способ задания любой случайной величины. С этой целью вводят понятие функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х (Х < х), обозначим F(х).

Определение. Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность следующего события F(х) = Р(Х < х).

Геометрически это означает: F(х) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иначе F(х) называют интегральной функцией распределения.

Перечислим ее свойства.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

2. F(х) неубывающая функция, т.е.

Действительно, пусть х1 < х2. Тогда F(х2) F(х1) 0, следовательно F(х2) F(х1).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b) равна Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распредех 2, Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следовательно, не представляет интереса говорить о том, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл находить вероятность попадания ее в интервал, даже сколь угодно малый. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то Следствие. Если возможные значения непрывной случайной величины расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Приведенные свойства дают возможность изобразить график функции распределения непрерывной случайной величины (рис. 7.1).

Он представляет собой не убывающую функцию, ограниченную прямыми у = 0 и у = 1.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Построить график функции распределения этой величины.

Если х > 10, то F(х) = 1, так как событие достоверное F(х) = Р(Х = 2) + Р(Х = 6) + Р(Х = 10) = 1.

Аналитически это можно записать в виде F(х) = График функции изображен на рис. 7.2.

Вывод: График функции распределения непрерывной случайной величины изображается непрерывной кривой, а дискретной – имеет ступенчатый вид.

7.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(х):

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения (дифференциальный закон).

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Вероятностью того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), равна Для ее доказательства используют свойство 2 п. 7.1.

Геометрически (7.1) означает вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0Х, кривой f(х) и прямыми х = а и х = b.

Пример 3. Случайная величина Х задана функцией распредех 2, Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (2; 3), используя плотность распределения:

Вывод. По известной функции распределения может быть найдена плотность распределения.

Попробуем решить обратную задачу: зная f(х), найти F(х):

Укажем свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения – неотрицательная функция f(х) 0.

2. Несобственный интервал от плотности распределения в пределах от до + равен единице:

Действительно, он выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (; +). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой плотности распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то Пример 4. Плотность распределения непрерывной случайной постоянную С.

Плотность распределения f(х) должна удовлетворять свойству 2:

f ( x )dx 1. Для данной функции:

7.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(х). Допустим, что все возможные значения Х принадлежат отрезку [a; b]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной х1, х2, …, хп и выберем в каждом из них произвольную точку хi (i = 1, 2, …, п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений хi на вероятности попадания их в интервал хi (произведение f(х)хi приближенно равно вероятности попадания Х в интервал х): xi f ( xi )xi. Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл х f ( x)dx.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл Если возможные значения принадлежат всей оси 0х, то По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a; b], то если возможные значения принадлежат всей оси 0х, то Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством Замечание. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных. Кроме того, справедливы более удобные формулы для вычисления D(X):

Пример 5. Найти М(Х), D(X) и (Х) случайной величины, заx a, Вычислим математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

7.4. Задания для самостоятельного решения 1. Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей: f ( x) A(3x x 2 ) при 0 x 3, Требуется: 1) найти коэффициент А; 2) найти функцию распределения F(x); 3) построить графики функций f(x) и F(x); 4) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1; 2).

2. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х: F ( x ) A sin x при 0 x, Найти: 1) параметр А; 2) плотx.

ность распределения; 3) построить графики F(x) и f(x); 4) вычислить математическое ожидание и дисперсию; 5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала ;.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(x) = 1 е (х 0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время Х Т.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана на (с; с) формулой: f ( x ). Найти все ее числоc x вые характеристики.

6. Случайная величина Х задана функцией распределеx 2, ния: F ( x ) arcsin, 2 x 2, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (1; 1).

7. Случайная величина Х задана функцией распределения:

F ( x ) x 1, 2 x 4, Построить график F(x). Найти вероятx 4.

ность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

8. Случайная величина Х задана функцией распределения:

F ( x ) x 2, 0 x 1, Найти вероятность того, что в результате чеx 1.

тырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

9. Случайная величина Х задана на всей оси 0х функцией расx пределения: F ( x ) удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина Х в результате испытания примет значение, большее х1.

10. Задана плотность распределения непрерывной случайной веx 0, личины Х: f ( x ) sin x, 0 x 2, Найти функцию распределеx 2.

ния F(x).

Лекция № 8. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

8.1. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

Пример 1. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, Х имеет равномерное распределение.

Пусть плотность равномерного распределения, считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале [а; b], имеет вид: f ( x) Найдем постоянную С.

Итак, плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

График плотности распределения изображен на рис. 8.1.

Найдем функцию распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

График ее изображен на рис. 8.2.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно, были найдены в примере 5 предыдущей Пример 2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления.

Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0,04; б) больше 0,05.

Ошибку округления можно считать случайной величиной Х распределенной равномерно с плотностью распределения f(x) = 1/0,2 = 5:

а) Р(Х < 0,04) = Р(0 < Х < 0,04) + Р(0,16 < Х < 0,2) = б) Р(Х > 0,05) = Р(0,05 < Х < 0,15) = Пример 3. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Рассматривая время ожидания пассажиром очередного автобуса как непрерывную случайную величину, распределенную равномерно с плотностью f(x) = 1/5 = 0,2, получим:

8.2. Нормальное распределение непрерывной случайной величины Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

Нормальное распределение называют нормированным, если а = 0 и = 1. Плотность нормированного распределения График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

циального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей числовой оси.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью 0х.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: lim f ( x) 0, т.е. ось 0х служит гоx | ризонтальной асимптотой графика.

5. Разность х а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой х = а.

6. Точки х = а являются точками перегиба. График нормальной кривой изображен на рис. 8.3.

7. Выясним влияние параметров нормального распределения на форму кривой:

а) изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси 0х: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает;

б) с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси 0х, при убывании нормальная кривая становится более "островершинной" и вытягивается в положительном направлении оси 0у (рис. 8.4).

8. При любых значениях параметров а и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью 0х, остается равной единице (свойство 2 плотности распределения).

9. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал () может быть найдена по формуле:

значения которой размещены в прил. 2.

10. Часто требуется вычислить вероятность осуществления неравенства |X – a| <.

При = 0 P(|X| < ) = 2 Ф(/).

11. Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Действительно, На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Пример 4. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 1,6 и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат?

Пусть Х – случайная величина, характеризующая диаметр валика.

Валики считаются стандартными, если |x| < 2. Найдем вероятность этого события.

Р(|x| < 2) = 2 Ф(2/1,6) = 2 Ф(1,25) 20,3944 = 0,7888.

Примерно 79% стандартных валиков изготовляет автомат.

8.3. Показательное распределение непрерывной случайной величины Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью где постоянная положительная величина.

Показательное распределение характеризуется о д н и м параметром. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнения с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д.

Найдем функцию распределения показательного закона Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рис. 8.5.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал ():

Значения функции ех находят по прил. 3.

Найдем числовые характеристики показательного распределения.

Аналогично найдем дисперсию D(X) = 1/2, тогда (X) = 1/.

Следовательно, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой и равны обратной величине параметра.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t при интенсивности отказов :

8.4. Задания для самостоятельного решения 1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 8).

3. Диаметр круга измерен приближенно, причем а х b. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале [а; b], найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

4. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно а = 3 и = 2. Написать плотность вероятности Х.

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12; 14).

6. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

7. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

8. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 10)?

9. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если = 6.

10. Студент помнит, что плотность показательного распределеx 0, постоянная С. Найти С.

8.5. Задания для подготовки к коллоквиуму по теме "Элементы теории вероятностей" 1. Предмет теории вероятностей 2. Виды случайных событий 3. Операции над событиями 4. Частота и вероятность события. Свойства вероятности случайного события 5. Геометрическая вероятность 6. Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания 7. Примеры вычисления вероятности случайного события 8. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий 9. Полная группа событий. Противоположные события 10. Произведение событий. Условная вероятность 11. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий 12. Вероятность появления хотя бы одного события 13. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса 14. Повторение испытаний: формула Бернулли 15. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона 16. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 17. Виды законов: биноминальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое 18. Числовые характеристики дискретной случайной величины:

М(х), D(х),. Их свойства, вычисления, вероятностный смысл 19. Функция распределения вероятностей случайной величины.

Свойства, график 20. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 21. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал 22. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения 23. Виды законов распределения вероятностей непрерывной случайной величины: равномерное, показательное, нормальное 24. Числовые характеристики непрерывных случайных величин:

М(х), D(х), 1. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что выпадет сумма очков, равная 5.

2. В лотерее имеется 10 билетов: 5 выигрышей и 5 проигрышей.

Берем два билета. Какова вероятность выигрыша?

3. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность того, что хотя бы один раз не появится 4 очка?

4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

5. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма х + у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.

6. Вероятность попадания в самолет из винтовки равна 0,004.

Сколько стрелков должны стрелять одновременно, чтобы вероятность попадания стала >70%?

7. Из двух орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия 0,7, из второго 0,6. Определить вероятность хотя бы одного попадания.

8. На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Определить вероятность того, что на случайно взятой карточке содержится цифра 5.

9. Имеется 4 машины. Вероятность того, что машина работает в произвольный момент t, равна 0,9. Определить вероятность того, что в момент t работает хотя бы одна машина.

10. Вероятность попадания в цель р = 0,9. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет три попадания.

11. В первом ящике деталей первого сорта 30%, во втором 40%.

Вынимаются по одной детали из каждого ящика. Определить вероятность того, что обе вынутые детали первого сорта.

12. Механизм состоит из трех деталей. Вероятность брака при изготовлении 1-й детали р1 = 0,008, вероятность брака 2-й детали р2 = 0,012, вероятность брака 3-й детали р3 = 0,01. Определить вероятность брака при изготовлении всего механизма.

13. Вероятность попадания при одном выстреле р = 0,6. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет иметь место хотя бы одно попадание.

14. Среди 350 механизмов 160 первого сорта, 110 – второго сорта и 80 – третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный.

15. Пусть известно, что вследствие ошибок, допускаемых при подготовке стрельбы, центр рассеивания снарядов (ЦРС) при первом выстреле может находиться по дальности в одной из пяти точек. Вероятность того, что ЦРС будет находиться в этих точках, соответственно равны р1 = 0,1, р2 = 0,2, р3 = 0,4, р4 = 0,2, р5 = 0,1. Известно также, что если ЦРС будет находиться в первой точке, то вероятность попадания в цель по дальности будет равна р1 = 0,15 и для остальных точек соответственно: р2 = 0,25, р3 = 0,6, р4 = 0,25, р5 = 0,15. На исходной установке прицела произведен выстрел, в результате которого получен по дальности промах. Определить, чему равна вероятность того, что выстрел произведен на установке прицела, соответствующей каждой из указанных пяти точек ЦРС, т.е. определить вероятности гипотез о различных ошибках в положении ЦРС после испытания (выстрела).

16. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность, что раза выпадет шестерка и 3 раза не шестерка?

17. Производится 6 выстрелов. Определить вероятность того, что не все выстрелы дадут перелеты, если вероятность перелета р =, вероятность недолета q = (стрельба по "узкой" цели).

18. Для условий предыдущей задачи определить вероятность того, что будет 3 перелета и 3 недолета.

19. Найти математическое ожидание числа очков при одном бросании игральной кости.

20. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной таблицей распределения 21. Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,4. Производится 5 независимых испытаний. Найти дисперсию числа появлений события А.

22. Найти вероятность получения хотя бы одного попадания в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле р = 0,15.

23. Случайная величина Х задана интегральной функцией распри x 0, пределения F ( x ) x при 0 x 1, Найти плотность распределепри x 1.

ния f(x), М(Х), D(X).

24. Случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найти вероятность того, что значение случайной величины заключается в интервале (10, 50).

25. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

26. Задана плотность распределения непрерывной случайной вепри x 1, личины Х: f ( x ) x 1 2 при 1 x 2, Найти функцию распредепри x 2.

ления F(x).

27. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией 2 = 0,16. Найти вероятность того, что значение случайной величины будет отличаться по абсолютной величине от математического ожидания меньше, чем на 0,3.

28. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами М(Х) = 0,15, = 0,2. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 150,3. Какую точность длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,97?

29. Вероятность попадания в цель р =. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 100 и 150?

30. Вероятность брака при изготовлении некоторых деталей р = 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 100 штук деталей окажется бракованных не более 25.

Лекция № 9. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ

О ПРЕДПОЛАГАЕМОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ

СОВОКУПНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Примером статистических данных служит последовательность значений той или иной случайной величины, полученных в результате некоторого наблюдения, эксперимента (опыта). Так, последовательность чисел, которые получаются в результате неоднократного измерения некоторой величины, скажем взвешивания некоторого тела на аналитических весах, является простейшим примером статистических данных. Рассмотрим еще один пример. С целью определения качества электрических лампочек, выпускаемых заводом, отмечают, сколько часов горит каждая лампочка до выхода из строя. Полученная совокупность чисел представляет статистические данные.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой. Как мы знаем, теория вероятностей устанавливает правила нахождения вероятностей суммы, произведения и других сложных событий, а также числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии) случайных величин по заданным вероятностям и законам распределения данных событий и случайных величин. На практике же редко встречаются случаи, когда вероятности исходных событий и законы распределения рассматриваемых случайных величин были бы заранее известны. Возвращаясь к нашему последнему примеру, отметим, что для прогнозирования запасов лампочек целесообразно иметь предварительные сведения о сроках службы выпускаемых заводом лампочек. Однако до начала производства эти сведения остаются неизвестными. В таких ситуациях используются статистические методы исследования, смысл которых состоит в том, что сведения об изучаемом признаке всей совокупности объектов получают, изучая более или менее обширную часть, должным образом отобранную из общей совокупности объектов. Так, в нашем примере из всей партии случайным образом отбирают для испытания некоторое количество лампочек. Полученные сведения о продолжительности работы отобранных лампочек представляют собой уже известные статистические данные, которые, будучи обработаны методами математической статистики, позволяют сделать выводы о качестве всей продукции данного завода.

Среди основных задач математической статистики могут быть отмечены следующие: оценка неизвестной вероятности случайного события; оценка неизвестного закона распределения случайной величины или ее числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии); проверка гипотез (предположений), сделанных относительно некоторых случайных событий, случайных величин (о вероятности события, о законе распределения случайной величины и т.д.).

Результаты проводимых исследований методами математической статистики применяются к принятию решений, в частности, при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при предупредительном и приемочном контроле качества продукции, при выборе оптимального времени настройки или замены действующей аппаратуры – например, определение срока замены двигателя самолета, отдельных деталей станков и т.п.

Математическая статистика возникла в XVIII в. в работах Я. Бернулли, П. Лапласа. Большой вклад в математическую статистику внесли русские и советские ученые В.Я. Буняковский*), П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко и многие другие.

В настоящее время математическая статистика продолжает бурно развиваться; при этом все больше расширяется круг ее задач и методов исследования с широким применением ЭВМ. Так, разрабатываются статистические методы распознавания образов, определения характеристик элементов систем автоматического управления и т.д.

9.2. Основные понятия математической статистики Пусть требуется изучить данную (как правило, многочисленную) совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, требуется определить, в какой степени параметры выпускаемых изделий соответствуют стандартным нормативам. Если число элементов в совокупности не очень большое и обследование объекта не связано с его уничтожением и не требует больших затрат, то можно исследовать каждый элемент в отдельности, фиксировать значение исследуемого признака и соответствующей обработкой результатов сделать тот или иной вывод об изучаемом признаке.

Если же совокупность состоит из очень большого числа объектов, или исследование связано с уничтожением объектов, или оно дорого стоит, то сплошное исследование нецелесообразно. Бессмысленно, например, исследовать на срок горения все лампочки данной партии, так как в результате вся партия уничтожилась бы. В таких случаях выводы об исследуемом признаке делаются на основе изучения ограниченного числа объектов должным образом отобранных из общей совокупности.

Определение. Генеральной совокупностью называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов рассматриваемой совокупности.

Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) – русский математик, академик Петербургской академии наук.

Определение. Выборочной совокупностью или просто выборкой называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Например, генеральной совокупностью является совокупность чисел, соответствующих срокам службы всех лампочек выпущенной партии (эти числа в действительности остаются неизвестными), а выборочной совокупностью будет совокупность чисел, соответствующих срокам службы отобранных для испытания лампочек (числа этой совокупности определяются из проведенного опыта). Для простоты, если это не приводит к противоречиям, т.е. недвусмысленно известно, о каком признаке идет речь, под генеральной совокупностью и под выборкой будем понимать саму совокупность изучаемых объектов. Так, например, будем говорить, что партия всех электрических лампочек, которая выпущена заводом, представляет генеральную совокупность, а множество лампочек, взятых для обследования, составляет выборочную совокупность. Подчеркнем, однако, что в математической статистике, как и всегда в математике, мы абстрагируемся от конкретной природы объектов и изучаем только их абстрактные, в данном случае числовые, характеристики.

Основную задачу математической статистики можно сформулировать как задачу получения обоснованных выводов о неизвестных свойствах генеральной совокупности по известным свойствам извлеченной из нее выборки.

Число объектов совокупности (генеральной или выборочной) называется объемом данной совокупности. Например, если цех выпустил 2000 деталей, а для обследования отобрано 150 деталей, то объем генеральной совокупности равен 2000 (N = 2000), а объем выборки равен 150 (n = 150).

9.3. Группировка статистических данных Для установления закономерностей массовых случайных явлений изучаются статистические данные, т.е. сведения, полученные путем наблюдений или экспериментов о значениях интересующего нас признака.

Изучение статистических данных обычно начинается с их группировки. При большом числе статистических данных удобнее их группировать по отдельным интервалам значений. Для этого все значения интересующего нас признака разделяются на некоторое число интервалов и рассматриваются группы значений, попавших в последовательно расположенные интервалы. Число n таких интервалов, как правило, берется в пределах от 10 до 20. Ширина интервалов х определяется путем деления размаха выборки на количество интерваx xmin лов: х max. При этом частота интервала равна сумме часn тот, попавших в данный интервал.

Пример 1. Для выборки, полученной при измерении электрической емкости двадцати пластин пьезоэлементов, составить таблицу статистического распределения по интервалам, принимая число интервалов равное 10: 9,9; 11; 9,2; 12; 8; 8,7; 7; 11,8; 11,7; 10,3;

11,2; 8,1; 9,5; 11,5; 11,6; 9,7; 10,2; 11,4; 8,6; 10.

Объем выборки равен 10. Вычисляем ширину интервалов 0,5. Следовательно, имеем интервалы [7; 7,5], (7,5; 8], (8; 8,5], (8,5; 9], (9; 9,5], (9,5; 10], (10; 10,5], (10,5; 11], (11; 11,5], (11,5; 12]. Используя данные примера, получаем табл. 9.1 статистического распределения выборки по интервалам.

9.4. Геометрическая интерпретация статистических распределений выборки Если на оси абсцисс прямоугольной системы координат расположить значения наблюдаемой величины xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты, то в плоскости получим точки (xi; ni). Соединяя их отрезками прямых, получим ломаную линию, которую называют полигоном частот (рис. 9.1).

Если статистическое распределение выборки задается в виде последовательности интервалов значений вариант и их частот, то геометрическое изображение дается при помощи гистограммы частот.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, построенных на частичных интервалах с длиной h и высотой, равной отношению ni/h (плотность частоты на данном интервале).

Площадь частичного i-ого прямоугольника равна h i ni сумме частот значений случайной величины, попавших в i-ый интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е.

объему выборки n.

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы с длиной h и высоni Легко заметить, что площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Пример 2. По данным изучения выработки на одного рабочего в отчетном году в процентах по отношению к предыдущему году было составлено интервальное статистическое распределение в виде табл.

9.2 для выборки объема n = 117, извлеченной из всей совокупности рабочих завода. Построить гистограмму относительных частот статистического распределения данной выборки (см. рис. 9.2).

в % по отношению к предыдущему году) с данной выработкой) 15 / 8 / 9.5. Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения с помощью критерия Пирсона Если закон распределения случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: случайная величина подчиняется закону распределения А при помощи критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия. Остановимся подробнее на одном из них – критерии Пирсона. С этой целью сравнивают эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении того или иного закона распределения) частоты.

Обычно они различаются. Это может быть связано либо с малым числом наблюдений, любо с неверной гипотезой, либо со способом группировки данных, либо с другими причинами.

Критерий согласия Пирсона, как и любой критерий, не доказывает справедливости гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную величину:

где Рi ст статистические вероятности; Рi т теоретические вероятности, полученные в предположении того или иного распределения.

По формуле (9.1) находят 2 статистическое (наблюдаемое) и сравнивают с 2 (r; ) критическим, где уровень значимости проверки гипотезы, он задается, если нет, то в технике принимают = 0,05; r число степеней свободы: r = k, где k число интервалов, на которые разбивают весь статистический материал, число наложенных связей.

Для нормального закона распределения = 3, так как Pi 1, М(Х) = а,.

Для показательного закона = 2, так как Pi 1, М(Х) = = 1/.

Для равномерного закона = 3, Pi 1, а и b концы интервала.

По прил. 4 находят 2 и сравнивают с ст.

Если ст < 2 нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если ст > 2 нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Интервалы, содержащие малочисленные частоты (ni < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. В этом случае при определении числа степеней свободы r следует принимать число интервалов, оставшихся после объединения.

Рассмотрим примеры решения задачи.

Пример 3. Из опыта получена следующая статистическая таблица случайной величины. Нужно выдвинуть гипотезу о характере данного распределения, найти параметры распределения, проверить гипотезу с помощью критерия согласия Пирсона. Общее число испытаний n ni 80.

Номера интервалов Концы интервалов Абсолютные частоты 1) Находим относительные частоты Рi ст 2) Строим гистограмму.

значения соответственно равны: 0,01375; 0,0175; 0,01875; 0,0125;

0,0175; 0,02.

3) Выдвигая гипотезу о характере распределения, можно предположить, что оно равномерное, так как fст (х) мало отличается, и значения ni близки друг к другу.

Найдем параметры этого распределения:

Таким образом, параметры а и b данного распределения находим, решая систему:

4) Чтобы найти М(х) и, составим расчетную табл. 9.3.

5) Найдем значения а и b, решив систему (9.2), где М(х) = 31,25, = 17,2.

6) Составим функцию распределения 7) Найдем Рi т: Р(0 < x < 10) Р(10 < x < 20), исходя из равномерного закона распределения. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал может быть найдена по следующей формуле 8) Проверим, согласуются ли статистические данные с теоретическими с помощью критерия 2.

2крит (0,05; 3) = 7,8, значит 2набл < 2крит. Следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Пример 4. В итоге испытания 450 ламп было получено статическое распределение длительности их горения (табл. 9.5), где в первой графе указаны интервалы в часах, во второй – частота ni, т.е. количество ламп, время горения которых заключено в пределах заданного интервала. Требуется при уроне значимости = 0,01 проверить гипотезу о том, что время горения ламп распределено по показательному закону.

1) Составляем расчетную табл. 9.5, предварительно построив гистограмму относительных частот (рис. 9.4).

2) Выдвигая предположение о том, что случайная величина Х длительность горения ламп подчиняется показательному распределению, найдем параметр этого распределения.

3) Заполним расчетную табл. 9.5.

(а; b) по формуле Р(а < Х < b) = еа еb, где = 0,001.

Р(0 < Х < 400) = е0 е0,4 = 1 – 0,6703 = 0,3297, Р(400 < Х < 800) = е0,4 е0,8 = 0,6703 – 0,4493 = 0,221, Р(800 < Х < 1200) = е0,8 е1,2 = 0,4493 – 0,3012 = 0,1481, Р(1200 < Х < 1600) = е1,2 е1,6 = 0,3012 – 0,2019 = 0,0993, Р(1600 < Х < 2000) = е1,6 е2 = 0,2019 – 0,1353 = 0,0666, Р(2000 < Х < 2400) = е2 е2,4 = 0,1353 – 0,0907 = 0,0446, Р(2400 < Х < 2800) = е2,4 е2,8 = 0,0907 – 0,0608 = 0,0299.

Так как Х ст > Х кр, то гипотезу о показательном законе распределения статистического материала отвергаем.

Пример 5. Измерен диаметр у 270 валов хвостовиков. Значения диаметра оказались в диапазоне 66…90 см. Разбив весь статистический материал на интервалы длиной 2 см, получили статистическую табл. 9.6. Проверить гипотезу о характере данного распределения.

Составляем расчетную табл. 9.7, предварительно подсчитав:

1) Рi ст – относительные частоты попадания в каждый из указанных двенадцати интервалов (пятая графа табл. 9.7).

2) Строим гистограмму относительных частот (основание прямоРi ст угольников хi = 2 см, а высота ), на основании которой можно сделать предположение о том, что статистический материал подчиняРi ст ется нормальному закону распределения. имеет смысл статистической плотности распределения случайной величины fст(х), рис. 9.5.

3) Вычисляем М(Х) = 76,12 и = 4,04.

4) Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал (а; b) может быть найдена по формуле fст (х) 0, где Ф(х) – функция Лапласа, значения которой размещены в прил. 2.

6) Х ст = 95,886 104 270 2,59 (сумма последней графы табл.

9.8).

Х кр (0,05; 9) = 16,9. Так как Х ст < Х кр, то нет оснований отвергать предположение о том, что статистический материал подчиняется нормальному закону. Иначе, статистические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Номера ининтервалов тервалов 9.6. Задания для самостоятельного решения Для индивидуально заданного статистического материала проверить гипотезу о неизвестном законе распределения с помощью критерия согласия Пирсона. Номер варианта задания совпадает с порядковым номером студента по журналу преподавателя.

Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Проверить гипотезу о законе распределения Лекция № 10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

К ВОПРОСАМ ПРОИЗВОДСТВА

Приведем примерный перечень докладов, которые могут быть подготовлены силами студентов.

1. Понятие о теории передачи информации. Энтропия. Задача о телеграфном коде.

2. Роль нормального распределения в приложениях техники.

3. 2 как критерий однородности распределений.

4. Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

5. Статистические методы анализа точности технологического процесса.

6. Статистические методы анализа стабильности технологического процесса.

7. Статистические методы текущего предупредительного контроля качества продукции.

8. Статистические методы приемочного последующего контроля качества продукции.

9. Теория "наиболее слабого звена" и законы распределения крайних членов выборки.

10. Статистическая интерпретация результатов испытаний материалов деталей машин на выносливость при переменных напряжениях.

11. Понятие о случайных процессах. И т.д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособ. для студентов втузов / В.Е. Гмурман.

3-е изд. –М.: Высш. шк, 1979.

3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.

пособ. для втузов / В.Е. Гмурман. 5-е изд. –М.: Высш. шк, 1977.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ.

для втузов. В 2-х ч. Ч. II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. 5-е изд. – М.: Высш. шк, 1996.

5. Кордонский, Х.Б. Приложения теории вероятностей в инженерном деле / Х.Б. Кордонский.–М.: Физматгиз, 1963.

6. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. / Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс, 1997.

ПРИЛОЖЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция № 9. Элементы математической статистики. Проверка гипотезы о предполагаемом распределении генеральной Лекция № 10. Применение теории вероятностей к вопросам производства ………………………………………………………. Библиографический список ………………………………………………… Приложения ………………………………………………………………….