«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ f(x) =1 =3 = 7,5 0 x Сызрань Сызранский филиал Самарского государственного технического университета 2009 Федеральное агентство по образованию ...»

Пример 4. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпадет 6 очков (событие А).

При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно числу пар (х; у), где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4,5, 6:

т.е. n = 36. Событию А благоприятствуют пять пар: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1), т.е. m = 5. Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 5/36 0,139.

В 1933 г. А.Н. Колмогоров ввел так называемое аксиоматическое определение вероятности. Согласно этому определению, числовая функция Р, определенная на множестве F всех событий, связанных с данным опытом, определяет вероятность любого события А F, если выполняются следующие аксиомы:

2. Р(U) = 1, где U достоверное событие, 3. Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместны.

2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Геометрическая вероятность Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Этот факт указывает на ограниченный характер определения.

Указанный недостаток может быть преодолен введением понятия геометрической вероятности – вероятности попадания точки в область (в отрезок, как часть прямой; в область, как часть плоскости; в тело, как часть пространства).

Пусть отрезок составляет часть отрезка L. На отрезок L наугад поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством Пример 5. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наугад поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на отрезок СD длины L/3. Искомая вероятность Р = (L/3) / L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.

На фигуру G наугад брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Пример 6. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Площадь кольца (фигуры g) Sg = (102 – 52) = 75.

Площадь большого круга (фигуры G) SG = 102 = 100.

Искомая вероятность Р = 75 / (100) = 0,75.

Замечание. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наугад (в указанном выше смысле) в область d – часть области D, равна 2.3. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания При решении ряда задач требуется из элементов конечного множества по заданным правилам составлять различные комбинации и производить их подсчет. Такие задачи принято называть комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, комбинаторикой. Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории управляющих систем и вычислительных машин (основанием последних является математическая логика) и других разделах науки и техники.

Чтобы определить сходства и различия комбинаторных задач, рассмотри следующие примеры.

Пример 7. В группе 30 студентов. Сколькими способами могут быть выбраны староста и представитель в студенческий совет, если каждый студент может быть избран на одну из этих должностей? (Из 30 элементного множества создаются, и подсчитывается число всех двухэлементных подмножеств.) Итак, существует 30 способов выбрать одного студента на должность старосты из 30, представителем в студсовет от группы может стать любой из 29 оставшихся, тогда применяя правило произведения 3029 = 870 способов.

Пример 8. Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из пяти преподавателей?

Обозначив для удобства преподавателей буквами А, В, С, D, Е, нетрудно выписать все возможные варианты для состава комиссии, а именно: АВ, АС, АD, АЕ, ВС, ВD, ВЕ, СD, СЕ, DЕ. Таким образом, число различных комиссий равно 10. Пример удалось решить простым перебором всех возможных случаев. Данный метод применим тогда, когда число элементов множества преподавателей конечно.

Пример 9. Для дежурства в группе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 студентов. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый студент дежурит один раз?

В понедельник может дежурить любой из 6 человек, во вторник каждый из еще не дежуривших пяти человек. Следовательно, расписание дежурства на первые два дня можно составить 65=30 способами. На среду дежурного можно назначить 4 способами. Каждый из этих способов может комбинироваться с любым из 30 способов дежурных на понедельник и вторник. Таким образом, существует 654 способов на первые три дня недели. Рассуждая аналогично, получим 654321 = 6! = 720 способов.

Рассмотрим, что общего в этих примерах и есть ли какая-либо существенная разница между ними.

Прежде всего отметим, что во всех примерах речь идет о некотором конечном множестве элементов и о количестве его подмножеств, удовлетворяющих заданным требованиям.

Различие заключается в том, что слова "различные подмножества" понимаются по-разному. Например, в примере 8 подмножества отличались по крайней мере одним элементом. Порядок следования элементов во внимание не принимался. В примере 7, наоборот, подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком элементов, считались различными. В примере 9, подмножества отличались только порядком следования элементов.

В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям. Мы рассмотрим основные типы комбинаций: размещения, перестановки и сочетания (без повторения элементов).

Размещения. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.

Определение. Размещением из n элементов по m (0 m n) элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного множества.

Из определения вытекает, что размещения из n элементов по m элементов – это все m-элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

Число всех возможных размещений из n элементов по m элеm ментов обозначают Аn и вычисляют по формуле:

Докажем формулу (2.8).

Так как в качестве первого элемента может быть выбран любой из данных n элементов, то первый элемент можно выбрать n различными способами. Очевидно, что в качестве второго элемента можно выбрать любой из оставшихся n – 1 элементов, поэтому его можно выбрать n – 1 различными способами. Так как каждый из способов выбора первого элемента можно объединить с каждым из способов выбора второго элемента, то существуют n(n – 1) различных способов выбора первых двух элементов. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что существуют n(n – 1)(n – 2) различных способов выбора первых трех элементов и т.д. Наконец, существует n (n – 1)(n – 2) … (n – m + 1) способов выбора m различных элементов, т.е. имеет место равенство (2.8).

А – первая буква французского слова arrangement, что означает "размещение, приведение в порядок".

Умножив и разделив правую часть равенства (2.8) на произведение 123 … (n – m), получим Здесь n! = 123 … (n m) n (читается "эн факториал") и Пример 10. В группе из 30 студентов нужно выбрать старосту, профорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30 учащихся активист-общественник, член профсоюза и спортсмен?

Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента, т.е. А30. Положив в формуле (2.9) n = 30, m = 3, получаем А30 = 302928 = 24360.

Перестановки. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.

Определение. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают) Рn. Из определения перестановок следует Р – первая буква французского слова permutation перестановка.

Пример 11. Сколькими способами можно расставить на одной полке шесть различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Сочетания. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.

Определение. Сочетанием из n элементов по m (0 m n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Следовательно, сочетания из n элементов по m элементов – это все m-элементные подмножества n-элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элеменm тов обозначают*) С n и вычисляют по формуле Докажем формулу (2.11). Число Аn размещений из n элементов по m найдем следующим образом. Сначала составим все возможные подмножества, содержащие по m различных элементов. Их число равно С n. Затем в каждом из полученных таким образом подмножеств (сочетаний) сделаем все перестановки, в результате получим все размещения из n элементов по m. Так как число перестановок из m элементов равно m!, то число Аn размещений из n элементов тов по m, т.е. Аn = m! С n = Pm С n.

С – первая буква французского слова combination сочетание.

Число С n сочетаний из n элементов по m определяют по одной из формул (2.11) или (2.12).

Пример 12. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать С25 способами. По формуле (2.11) находим При решении комбинаторных задач наиболее часто применяются следующие основные правила:

Правило суммы : если элемент а может быть выбран р способами, а элемент b q способами, то выбор "либо а, либо b " может быть осуществлен р + q способами.

Правило произвед ения : если элемент а может быть выбран р способами, а элемент b q способами, то выбор "а и b " (пару элементов в указанном порядке (а; b)) можно осуществить р q способами. Действительно, с каждым способом выбора элемента а существует q способов выбора элемента b.

2.4. Примеры вычисления вероятности события Комбинаторика широко применяется при вычислении вероятностей. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 13. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: н, о, п, р, с, т, у. Найти вероятность того, что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочесть слово "спорт" (событие А).

Общее число возможных элементарных исходов = 76543 = 2520, а благоприятствует событию А лишь один, т.е.

Пример 14. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А).

Здесь общее число возможных элементарных событий n = С11 = = 55. Число случаев, благоприятствующих событию А:

m = С4 = = 6. Следовательно, Р(А) = 6/55.

Пример 15. В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимают k шаров. Найти вероятность того, что среди них будет белых, а следовательно, k черных ( а, k b).

Число элементарных событий n = C a b. Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию А: среди k взятых шаров будет белых и k черных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать белых шаров из а, равно Са, а число способов, которыми можно к ним "добавить" k черных шаров, равно Сb. Каждая комбинация белых шаров m = C a Cb. Следовательно, Пример 16. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных.

Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей стандартных.

Нетрудно заметить сходство между этой и предыдущей задачами.

Здесь в качестве "урны" фигурирует партия деталей, среди которых стандартных ("белые шары") и 5 нестандартных ("черные шары"), а роль вынимаемых шаров играет контрольная партия из шести деталей. Поэтому искомую вероятность находим по формуле (2.13) для Пример 17. Десять различных книг расставляются наугад на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Представим себе, что три определенные книги связаны вместе.

Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные книг), т.е. Р8 = 8! Внутри связки 3 книги можно переставлять Р3 = 3!

раз. При этом каждая комбинация внутри связи может сочетаться с каждой из Р8 комбинаций. Поэтому число m благоприятных случаев равно Р8 Р3, т.е. m = Р8 Р3. Число n возможных случаев, очеР10 = 10! Таким образом, искомая вероятность видно, равно Пример 18. Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу (событие А)? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех – в другую (событие В)?

Одну группа из 9 команд может быть составлена С18 способами, при этом автоматически образуется и вторая группа. Следовательно, n = С18.

Следовательно, Р(А) =, 2.5. Задания для самостоятельного решения 1. В урне 100 шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 100. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 5?

2. Из урны, в которой находятся 7 красных, 8 желтых и 5 зеленых шаров, наугад вынимается один. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) желтым; в) черным; г) зеленым.

3. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется: а) стандартной; б) нестандартной.

4. Брошена игральная кость. Найти вероятность следующих событий: А – "выпало 3 очка", В – "выпало нечетное число очков".

5. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны.

Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наугад извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно будет приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.

8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

9. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

10. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

11. На отрезок ОА длины L числовой оси 0х наугад поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

12. Внутрь круга радиуса R наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

13. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наугад выбирает момент своего прихода (в промежуток от 12 до 13 часов). (Ввести в рассмотрение прямоугольную систему координат х0у и принять для простоты, что встреча должна состояться между 0 и 1 часами).

14. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что х у 1, а у/х < 2.

15. В квадратном окне со стороной а имеется квадратная форточка со стороной b. Во время игры мяч случайно попадает в окно.

Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в комнату, не разбив окна (событие А)? Какова вероятность, что окно разобьется (событие В)?

16. Вычислить:

17. Найти n, если:

18. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

19. Группа учащихся изучает восемь различных учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных урока?

20. Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы:

а) две определенные книги оказались рядом;

б) две определенные книги не оказались рядом?

21. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?

22. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:

а) все три шара оказались белыми;

б) все три шара оказались черными;

в) два шара оказались белыми, а один черным;

г) один шар оказался белым, а два черными?

23. В розыгрыше личного первенства вуза по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?

24. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?

25. Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

26. В высшей лиге 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные или бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

27. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

28. Для полета на Марс необходимо укомплектовать экипаж космического корабля: командир, первый его помощник, второй, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

29. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распри?

30. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

31. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка один за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не следовали один за другим?

32. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры могут повторяться?

33. Сколькими способами можно распределить 30 различных книг между тремя студентами так, чтобы каждый получил 10 книг?

34. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся: а) белыми; б) черными; в) разного цвета?

35. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей три стандартных.

36. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность следующих событий:

А – "сумма выпавших очков равна 8";

В – "произведение выпавших очков равно 8";

С – "сумма выпавших очков больше, чем их произведение".

37. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке.

Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

38. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причем книг стоят по 4 рубля каждая; 3 книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 5 рублей.

39. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из десяти человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

40. Тридцать три буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово "конец".

41. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

42. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиков можно будет прочесть слово "спорт".

2.6. Контрольная работа по теме "Элементы комбинаторики" 2. Найти n, если:

3. На пять студентов выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если:

а) все путевки различны;

б) все путевки одинаковы.

4. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом? Рассмотреть два случая:

а) шары одного цвета не отличимы друг от друга;

б) все шары разные.

5. На первой из двух параллельных прямых лежат 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

6. Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами?

7. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?

8. Автомобильные номера состоят из трех букв (всего используется 30 букв) и четырех цифр (используются все 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

9. Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел? Сколько среди них четных чисел?

10. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

11. На полке стоят m книг в черных переплетах и n книг в синих переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?

12. Сколько шестизначные чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

13. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова "задача"? Из букв слова "зебра"?

14. Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0, 1, 2, …, 9. Замок открывается, если на дисках набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит ли 10 дней на открытие сейфа, если "рабочий день" продолжается часов, а на набор одной комбинации цифр уходит 5 секунд?

Лекция № 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

3.1. Теоремы сложения вероятностей Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Пусть n общее число равновозможных несовместных элементарных событий испытания, в результате которого может произойти одно из событий А или В, mA число элементарных событий, благоприятствующих событию А, mВ число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Так как события А и В несовместны, то событию А+В благоприятствуют mA+mВ элементарных событий из общего числа n равновозможных несовместных элементарных событий. Поэтому Заметим без доказательства, что теорема 1 может быть обобщена.

Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А1, А2, …, Аn равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Весьма важно подчеркнуть, что теорема сложения вероятностей несовместных событий справедлива и для случая, когда элементарные события не равновозможны.

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.

Найти вероятность появления цветного шара.

Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего.

Вероятность появления красного шара (событие А) Вероятность появления синего шара (событие В) События А и В несовместны, так как появление шара одного цвета исключает возможность появления шара другого цвета, поэтому теорема 1 применима:

Следствие 1. Если события А1, А2, …, Аn образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

Так как события А1, А2, …, Аn попарно несовместны и образуют полную группу, то А1 + А2 +…+ Аn достоверное событие. Следовательно, Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Это непосредственно следует из формулы (3.3.), так как противоположные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 2. В ящике 40 деталей: 20 – первого сорта, 15 – второго сорта, 5 – третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется не третьего сорта (событие А).

Первый способ. Событие А наступит, если извлеченная наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т.е. событие А есть сумма несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим Второй способ. Из условия задачи Р( А ) = 5/40 = 1/8 – деталь третьего сорта. Согласно следствию 2, Р(А) = 1Р( А ) = 1 – 1/8 = 7/8.

Пример 3. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступление контрольной работы из города А равна 0,6, из города В 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

События "контрольная работа поступила из города А", "контрольная работа поступила из города В" и "контрольная работа поступила из города С" образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Пример 4. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,85.

Найти вероятность q того, что день будет облачным.

События "день ясный" и "день облачный" противоположные, поэтому р + q = 1, т.е. q = 1 р = 1 – 0,85 = 0,15.

Пример 5. В ящике имеется n деталей, из которых m – стандартных. Найти вероятность того, что среди k наугад извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная (событие А).

Р(А) = 1 Р( А ), где А среди k извлеченных деталей нет ни одной стандартной: Р( А ) =.

Искомая вероятность:

Мы рассмотрели теорему сложения для несовместных событий.

Теперь рассмотрим случай, когда события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает возможность появления другого в одном и том же испытании, причем известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления.

Теорема 3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Поскольку события А и В по условию совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, А В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: АВ или АВ.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А) = Р( АВ ) + Р(АВ). Отсюда Аналогично имеем Р(В) = Р( А В ) + Р(АВ). Отсюда Подставив (3.7) и (3.8) в (3.6), окончательно получим Пример 6. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1 = 0,7; р2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Вероятность попадания в цель одним орудием (событие А) и другим орудием (событие В) являются независимыми. Искомая вероятность Пример 7. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам (событие А)?

3.2. Теоремы умножения вероятностей Условная вероятность. Часто при осуществлении некоторого эксперимента вероятность наступления интересующего нас события В изменяется в зависимости от наступления (или ненаступления) другого события А, связанного с тем же опытом. в таких случаях говорят об условной вероятности события В при условии А. Интуитивно под условной вероятностью события В при условии А понимают вероятность события В, вычисленную в предложении, что событие А наступило, и обозначают ее Р(В|А) или РА (В).

Пример 8. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Обозначим события: А – "первый шар черный"; В –"второй шар черный". Если произошло событие А, то в урне осталось 6 шаров, из которых 2 черных. Поэтому искомая условная вероятность Р(В|А) = = 2/6 = 1/3.

Дадим строгое определение условной вероятности.

Определение. Условной вероятностью события В при усР АВ дения событий А и В к вероятности события А при Р(А) 0.

Таким образом, по определению Аналогично определяется и условная вероятность события А при условии В:

Р ВА Р АВ

Так как из 7 шаров, имеющихся в урне, 3 черных, то Р(А) = 3/7.

Для нахождения Р(АВ) вычислим n общее число исходов (совместного появления двух шаров безразлично какого цвета) по формуле n = А7 = 76 = 42. Из этого числа событию АВ благоприятствуют m = А3 = 32 = 6 исходов. Поэтому Р(АВ) = 6/42 = 1/7. По формуле (3.9) получаем Р(В|А) = = :, т.е. тот же результат.

Теорема умножения вероятностей произвольных событий. Из формул (3.9) и (3.10) следует Формулы (3.11), выражающие вероятность произведения двух событий через вероятности и условные вероятности этих событий, представляют собой теорему умножения вероятностей.

Теорема 4. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Можно доказать, что в случае n событий А1, А2, …, Аn справедлива формула где Р(Аk|А1 А2 … Аk1) – вероятность события Аk, вычисленная при условии, что произошли события А1, А2, …, Аk1.

Пример 9. В учебных мастерских техникума изготовляются детали на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке.

Обозначим события: А – "деталь изготовлена на первом станке", В – "деталь годная". Имеем: Р(А) = 0,6; Р(В|А) = 0,8. По формуле (3.10) находим:

Пример 10. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 – второго сорта и 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая деталь – второго сорта (событие А2) и третья деталь – третьего сорта (событие А3).

Очевидно, что Р(А) = 7/15, Р(А2|А1) = 5/14 и Р(А3|А1 А2) = 3/13.

По формуле (3.12) находим Р(А1 А2 А3) = Р(А1) Р(А2|А1) Р(А3|А1 А2) =.

Независимые события. Пусть события А и В таковы, что вероятность события В не изменяется в зависимости от наступления (или ненаступления) события А. В таких случаях говорят о независимости события В от события А.

Определение. Событие В называется независимым от события А, если уловная вероятность события В при условии А равна вероятности события В, т.е. если Р(В|А) = Р(В) при Р(А) 0.

Если же Р(В|А) Р(В), то событие В называется зависимым от события А.

Пример 11. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наугад берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Р(А) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А уже произошло, то Р(В|А) = 89/99; если же событие А не произошло, то Р(В| А ) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В зависимые.

Покажем, что если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В при условии, что Р(В) 0.

Согласно теореме умножения, имеем Но Р(В|А) = Р(В), следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В). С другой стороны, Р(АВ) = Р(В) Р(А|В).

Из последних двух равенств имеем Р(А) Р(В) = Р(В) Р(А|В), откуда Р(А|В) = Р(А).

Таким образом, свойство зависимости или независимости двух событий является взаимным. На практике независимость событий устанавливается по смыслу задачи.

Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Пусть события А и В независимы. По теореме умножения вероятностей Р(АВ) = Р(А) Р(В|А).

Так как событие В не зависит от события А, то Р(В|А) = Р(В). Следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В).

Пример 12. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Вероятность появления герба на первой монете (событие А):

Р(А) = 1/2. Вероятность появления герба на второй монете (событие В): Р(В) = 1/2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 1/4.

Возвращаясь к теореме сложения совместных событий, можно сформулировать ряд замечаний.

Замечание 1. При использовании формулы Р(А+В) = Р(А) + + Р(В) Р(АВ) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий для зависимых событий Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.

Формула для несовместных событий принимает вид Р(А + В) = = Р(А) + Р(В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (3.5) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

3.3. Вероятность появления хотя бы одного события Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1, А2,, Аn :

Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn. События А и А1 А2 Аn (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Р(А) + Р( А1 А2 Аn ) = 1.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим Следствие. Если события А1, А2, …, Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Пример 13. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1 = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и А3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2 и А (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность Рассмотреть решение задачи, используя теорему сложения вероятностей, самостоятельно.

Пример 14. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз.

Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (3.15) Приняв во внимание, что по условию Р(А) 0,9; р = 0,4 (следовательно, q = 1 – 0,4 = 0,6), получим Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Отсюда, учитывая, что lg 0,6 < 0, имеем Итак, n 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 15. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (3.15) Р(А) = 1 qn.

По условию, Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно, Отсюда q = 0,064 = 0,4. Искомая вероятность 3.4. Задания для самостоятельного решения 1. Учебные мастерские техникума получают изделия от заводов А, В и С. Вероятность поступления изделий от завода А равна 0,35, от завода В 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия изделий поступит от завода С.

2. В группе 30 учащихся, из которых отличников – 8, хорошистов – 13 и слабо успевающих – 9. На предстоящем экзамене отличники могут получить только оценки "5", хорошисты могут получить с равной вероятностью оценки "4" и "5", слабо успевающие могут получить с равной вероятностью оценки "3", "4" и "5". Для сдачи экзамена вызывается наугад один учащийся. Найти вероятность того, что он получит оценку не ниже "4".

3. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наугад пара обуви окажется не детской.

4. В партии 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

5. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одно лотерейного билета?

6. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

7. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наугад отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

8. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(А) = 0,1; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,3. Чему равна вероятность события D?

9. По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 – для смены резца;

3 – из-за неисправности привода; 2 – из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам.

Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

10. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

11. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился герб", "появилось 6 очков".

12. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

13. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).

14. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?

15. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

16. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

17. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала вбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

18. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

19. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

20. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

21. Три команды А1, А2, А3 спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы: при встрече А1 с В1 0,8; А2 с В2 0,4; А3 с В3 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

22. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

23. Из последовательности чисел 1, 2, …, n наугад одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше целого положительного числа k, а другое больше k, где 1< k < n.

24. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

3.5. Контрольная работа по теме "Вероятность случайного события. Теоремы сложения и умножения вероятностей" 1. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Определить вероятность того, что каждый игрок получил карты только одной масти.

2. Номер телефона состоит из пяти цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные.

3. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека.

Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова.

Найдите вероятности событий:

А – "все вышли из лифта на 4 этаже";

В – "все вышли из лифта на одном и том же этаже";

С – "все выходили из лифта на разных этажах".

4. Быстровращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов.

5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наугад брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

6. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9.

Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

7. В учебных мастерских техникума работают три станка с программным управлением. Вероятность того, что в течение рабочей смены первый из них не потребует ремонта, равна 0,5, для второго станка такая вероятность равна 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность следующих событий: А – "ни один из станков в течение рабочей смены не потребует ремонта"; В – "первый станок потребует ремонта, а второй и третий нет"; С – "первый и второй станок потребует ремонта, а третий нет"; D – "хотя бы один из станков потребует ремонта".

8. Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель первого, второго и третьего стрелков соответственно равна 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

9. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0,1, для второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение одной смены.

10. В ящике имеются 20 изделий первого сорта и 5 высшего сорта. Из ящика наугад берут одно за другим два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия окажутся высшего сорта.

11. В каждой из трех партий, содержащих по 20 изделий, имеется соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой партии наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия окажутся бракованными.

12. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

13. Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причем из них 90% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется первого сорта.

14. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,9, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком. Задачу решить двумя способами.

Лекция № 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную систему попарно несовместных событий:

Тогда попарно несовместны и события А Н1, А Н2, …, А Нn.

Используя для вычисления вероятности события А теорему сложения вероятностей, получим:

Применив к каждому слагаемому последнего равенства теорему умножения вероятностей зависимых событий, имеем:

Р(А) = Р(Н1) РН1 (А) + Р(Н2) РН 2 (А) +…+ Р(Нn) РН n (А). (4.2) Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Пример 1. В учебных мастерских на станках а, b и с изготовляют соответственно 25%, 35% и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15%, 12% и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

Обозначим события:

А – "наугад взятая деталь дефектна";

Н1 "деталь изготовлена на станке а";

Н2 "деталь изготовлена на станке b";

Н3 "деталь изготовлена на станке с".

События Н1, Н2, Н3 образуют полную группу попарно несовместных событий и Р(Н1)=0,25, Р(Н2)=0,35, Р(Н3)=0,4. Кроме того, числа 0,15; 0,12; 0,06 (15%, 12% и 6%) являются условными вероятностями события А при условии событий (гипотез) Н1, Н2, Н3 соответственно, т.е. РН1 (А) = 0,15, РН 2 (А) = 0,12, РН 3 (А) = 0,06.

По формуле (4.2) находим:

= 0,250,15 + 0,350,12 +0,40,06 = 0,1035.

Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных.

Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Обозначим через А событие "из первой коробки извлечена стандартная лампа". После того, как в первую коробку была переложена одна лампа, можно выдвинуть следующие предположения:

Н1 "наугад извлеченная лампа из первой коробки, раньше ей принадлежала";

Н2 "наугад извлеченная лампа из первой коробки, раньше ей не принадлежала":

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна:

Пример 3. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р1 = 0,5, при втором р2 = 0,6, при третьем р3 = 0,8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4, при двух 0,7, при трех 1,0. Найти вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Обозначим события:

А "поражение цели при трех выстрелах";

Н1 "одно попадание";

Н2 "два попадания";

Н3 "три попадания";

Н4 "ни одного попадания".

Согласно формуле полной вероятности Р(А) = Р(Н1) РН 1 (А) + Р(Н2) РН 2 (А) + Р(Н3) РН 3 (А) + Р(Н4) РН 4 (А).

Из условия задачи имеем Вычислим вероятности событий Н1, Н2, Н3, Н4. Подчеркнем, что если р1, р2, р3 соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то 1р1, 1р2, 1р3 соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно, Р(Н1) = р1 (1р2)(1р3) + (1р1) р2 (1р3) + (1р1)(1р2) р3 = = 0,50,40,2 + 0,50,60,2 + 0,50,40,8 = 0,26.

= 0,50,60,2 + 0,50,40,8 + 0,50,60,8 = 0,46.

Р(Н4) = (1р1)(1р2)(1р3) = 0,50,40,2 = 0,04.

Подставив полученные значения вероятностей в равенство, найдем Р(А) = 0,260,4 + 0,460,7 + 0,241 + 0,040 = 0,666.

4.2. Вероятность гипотез. Формулы Байеса Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (4.2) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности РА (Н1), РА (Н2), …, РА (Нn).

Найдем сначала условную вероятность РА (Н1). По теореме умножения имеем Р(АН1) = Р(А)РА (Н1) = Р(Н1) РН1 (А). Отсюда РА (Н1) = Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Нi (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 4. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

деталь проверил первый контролер (гипотеза Н1);

деталь проверил второй контролер (гипотеза Н2).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса:

По условию задачи имеем:

Р(Н1) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);

Р(Н2) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

РН1 ( А) = 0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);

РН 2 ( А) = 0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Как видно, до испытания вероятность гипотезы Н1 равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Пример 5. Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 черных, а в третьей – 15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар.

Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Обозначим события:

А – "появление белого шара";

Н1 "выбор первой урны";

Н2 "выбор второй урны";

Н3 "выбор третьей урны".

Имеем Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3, Искомую вероятность РА (Н1) находим по формуле (4.3):

Пример 6. Двадцать учащихся, уезжающих в студенческий строительный отряд, пришли сдавать экзамен по математике досрочно. Шестеро из них подготовились отлично, восемь хорошо, четверо удовлетворительно, а двое совсем не подготовились – понадеялись, что все помнят. В билетах 50 вопросов. Отлично подготовившиеся учащиеся могут ответить на все 50 вопросов, хорошо – на 40, удовлетворительно – на 30 и неподготовившиеся – на 10 вопросов. Приглашенный учащийся ответил правильно на все три заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что он отлично подготовился к экзамену.

Обозначим события:

Н1 "приглашен учащийся, подготовившийся отлично";

Н2 "приглашен учащийся, подготовившийся хорошо";

Н3 "приглашен учащийся, подготовившийся удовлетворительно";

Н4 "приглашен учащийся, не подготовившийся к экзамену";

А – "приглашенный учащийся ответил на все три вопроса".

Имеем Р(Н1) = 6/20 = 0,3, Р(Н2) = 8/20 = 0,4, Находим условные вероятности:

Согласно условию задачи требуется найти РА (Н1). Применив формулу Байеса, получим Искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому для уточнения оценки желательно предложить учащемуся дополнительные вопросы.

4.3. Задания для самостоятельного решения 1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад взятого ящика – стандартная.

2. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных деталей, во втором – 95%, а в третьем – 85%. В сборочный цех этого же завода поступает 50% деталей из первого цеха, 30% из второго и 20% из третьего. Найти вероятность того, что деталь, наугад взятая сборщиком, окажется стандартной.

3. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготовлены в первом цехе, 24 – во втором и 20 – в третьем. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе, стандартная, равна 0,8, для второго цеха – 0,6 и для третьего цеха – 0,8. Найти вероятность того, что наугад взятая сборщиком деталь стандартна.

4. Имеются два одинаковых по виду ящика. В первом ящике имеются 8 пар обуви 41 размера и 6 пар 42 размера, а во втором ящике 10 пар 41 размера и 4 пары 42 размера. Из выбранного наугад ящика вынули одну пару обуви, оказавшейся 42 размера. Найти вероятность того, что обувь извлечена из первого ящика.

5. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых первый производит деталей в три раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 2,5%, а в выпуске второго – 1,5%. Взятая наугад сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

6. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором 1/2, на третьем 1/4. Рыбак забросил удочку в наугад выбранном месте, и рыбка клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

7. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наугад извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

8. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С- срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-2, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о неполадке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-2?

9. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, из второй – 6, из третьей группы – 5. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наугад выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

10. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту,– с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

11. Из полного набора 28 костей домино наугад извлекают кость.

Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно приставить к первой.

Лекция № 5. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ 5.1. Формула Бернулли Определение. Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 p.

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытания, то возможны следующие сложные события: АААА, ААА А, АА АА, А ААА. Запись АААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное событие А ; соответственный смысл имеют и другие записи.

Искомую вероятность обозначим Pn(k). Например, символ Р5(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна pkqnk. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. Сn. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 p = 1 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна Пример 2. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна р = 15/20 = 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна q = 1 p = 1/4. По формуле Бернулли находим 5.2. Локальная теорема Лапласа Нетрудно заметить, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как приходится выполнять действия над громадными числами.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для р = 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1.

Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра-Лапласа.

Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно, поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование.

Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем Имеются таблицы, в которых помещены значения функции (х) =, соответствующие положительным значениям аргуe мента х (прил. 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (х) четна, т.е. (х) = (х).

Итак, вероятность того, что бытие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна Пример 3. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

По условию, n = 400, k = 80, q = 0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице прил. 1 находим (0) = 0,3989.

5.3. Интегральная теорема Лапласа Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз (для краткости будем говорить "от k1 до k2 раз")? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопреz прил. 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х = 0; для х < 0 пользуются той же таблицей, так как функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(х) = Ф(х). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф(х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной теоремы Лапласа.

Пример 4. Известно, что 30% призывников имеют обувь размера. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев?

Подбор пары обуви каждому призывнику – одно из 200 испытаний, причем вероятность того, что ему потребуется обувь 37 размера, р = 0,3 (q = 0,7). Пусть на складе имеется k пар обуви, где k пока не известно. Требуется подобрать такое k, чтобы Р200(0 m k) 0,9.

Поскольку n = 200 велико, а р и q не малы, применим интегральную формулу Лапласа:

Решая полученное неравенство, находим k > 68,2944. То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви 37 размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить ее спрос.

5.4. Формула Пуассона Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли (см. п. 5.1). Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р 0,1). В случаях, когда n велико, р мало, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, будем искать вероятность события, состоящего в том, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз, при этом предположим, что произведение n р есть величина постоянная, например, равная (среднее число появлений события).

Интересующая нас вероятность вычисляется по формуле:

которая выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий. Для вывода формулы (5.4) используется формула Бернулли (5.1).

Пример 5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004.

Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах.

Значение функции ех можно найти по таблицам или с помощью калькулятора, а также в прил. 3.

5.5. Задания для самостоятельного решения 1. В квартире шесть электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 5/6. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить две лампочки.

2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни одного попадания.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9.

Найти вероятность 5 попаданий при 6 выстрелах.

4. В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад деталей не менее четырех окажутся стандартными.

5. Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.

6. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях (k 1) равна 1 qk. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела. (Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.) 8. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

9. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

10. Найти вероятность того, что отклонение частоты появления случайного события не превышает заданного числа 0 Р p.

11. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытания р = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

12. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.