«А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов Омск Издательство СибАДИ 2002 2 УДК 621.031 ББК 30.12 Р 86 Рецензенты: д-р техн. наук, проф.В.Д. Белый д-р техн. ...»

Министерство образования РФ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)

А.И. Руппель

КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ

Учебное пособие

для студентов немашиностроительных

специальностей вузов

Омск

Издательство СибАДИ

2002

2

УДК 621.031 ББК 30.12 Р 86 Рецензенты: д-р техн. наук, проф.В.Д. Белый д-р техн. наук, проф. В.Н. Тарасов Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия по дисциплине «Механика» для специальностей 06 «Производственный менеджмент», 240400 «Организация дорожного движения», 060813 «Экономика и управление на предприятиях транспорта».

Руппель А.И. КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ: учеб. пособие. – Омск:

Изд-во СибАДИ, 2002. – 209 с.

В настоящем пособии кратко изложены основы теоретической механики, теории механизмов и машин, сопротивления материалов и деталей машин.

Теоретические положения и выводы формул даны в единой методической системе, которая дает наглядность и раскрывает физическую сущность явлений. Приводятся примеры решения задач. Пособие предназначено для студентов немеханический специальностей стационарной и заочной форм обучения.

Табл. 12. Ил.125. Библ. 14 назв.

ISBN 5–93204–090–4 © Руппель А.И., © Издательство СибАДИ,

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость в создании учебного пособия, в котором отражены все разделы механики: теоретическая механика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и детали машин, возникла в связи с тем, что вузовские учебники по перечисленным дисциплинам очень объемные и не соответствуют программе подготовки менеджера, инженера-экономиста и т. д.

Учебное пособие написано в соответствии с рабочей программой по «Основам механики», рассмотренной на заседании кафедры деталей машин и утвержденной на методическом совете факультета «Технологические и транспортные» машины. Оно состоит из четырех разделов: 1. Основы теоретической механики. 2. Основы теории механизмов и машин. 3. Основы сопротивления материалов. 4. Детали машин.

Главное назначение курса «Основы механики» – ознакомить с основными понятиями и методами анализа, присущими машиностроению, чтобы в дальнейшей практической деятельности будущие менеджеры и экономисты нашли общий язык с механиками. Объем учебника краток и определен малым временем, отводимым на данный курс, поэтому неизбежно неполное изложение разделов. Теоретический материал в учебном пособии иллюстрируется рисунками и примерами решения задач.

В пособии принята международная система единиц физических величин (СИ).

Учебное пособие по механике предназначается для немашиностроительных вузов, у которых на изучение механики отводится сравнительно небольшое количество часов.

Современное человечество вооружено техникой, которая окружает нас повсюду и выполняет самую разнообразную полезную работу. Техника – это машины и приборы, которые используют различные явления природы и заставляют их служить человеку. Каждое устройство состоит из разных частей, выполняющих свои функции. Основу всех машин и многих аппаратов составляет механическая часть, которая состоит из корпуса и движущихся тел, связанных между собой. Кроме механической части, в машине имеются электрическая, гидравлическая, пневматическая и другие части. Бывают немеханические машины, например, ЭВМ, которые не содержат механической части. В большинстве современных машин происходит преобразование электрической, тепловой, химической энергии в механическую. Для этого служат электродвигатели (электромоторы), двигатели внутреннего сгорания, электрохимические аккумуляторы и др.

Механическая часть машины, состоящая из твердых тел (деталей) и предназначенная для выполнения полезной работы, называется механизмом. Эта часть машины является объектом изучения в нашем курсе.

Если из твердых тел (деталей) построить механизм, то нужно их соединить друг с другом, чтобы обеспечить их заданные относительные движения. Подвижные соединения соприкасающихся деталей называют кинематическими парами, а соединяемые ими детали - звеньями. Система звеньев, подвижно связанных между собой, образует кинематическую цепь. Механизм представляет собой кинематическую цепь, используемую для выполнения полезной механической работы. Примерами могут служить подъемные краны, автомобили, тракторы, дорожные машины, станки, прессы, молоты, насосы, вентиляторы и многое другое.

Несмотря на большое разнообразие механизмов и машин, они состоят из сравнительно небольшого числа однотипных деталей: корпусов, валов, зубчатых колес, рычагов и т.д., для которых применяют одни и те же методы расчета и анализа в казалось бы далеких друг от друга отраслях техники. Это делает механику с ее разделами универсальной общеобразовательной технической дисциплиной, необходимой каждому инженеру. В нашем курсе мы будем изучать не специальные, а универсальные наиболее распространенные механизмы и их детали.

Изучение данного курса позволяет обоснованно выбирать и эксплуатировать различные технические средства, применяемые в различных промышленных и транспортных предприятиях, а также иметь представление о расчете и проектировании этих средств.

Задачами дисциплины являются:

Получение основ знаний общих законов движения и равновесия материальных тел.

Освоение основных методов расчета элементов конструкций и машин на прочность и жесткость.

Ознакомление с устройством простых механизмов и машин.

Краткий курс механики базируется на общенаучных дисциплинах:

математике, физике, инженерной графике и др. Знания, полученные в данном курсе, могут быть использованы в специальных дисциплинах, изучающих оборудование, с которым будут сталкиваться студенты в своей практической работе.

Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Статика – это раздел механики, изучающий равновесие тела под действием сил. Силы бывают статические и динамические. Статические силы постоянны во времени, к ним относят силу пружины, силу постоянного давления жидкости или газа, силу электромагнитного поля и т.д. Инерционные или динамические силы возникают в результате ускоренного или криволинейного движения. (Вспомним торможение автобуса или его крутой поворот.) Эти силы изучаются в динамике.

Статика решает две основные задачи:

Замену приложенных к телу сил одной равнодействующей силой (сложение и разложение сил).

2.Определение условия равновесия тел под действием сил (определение величины и направления уравновешивающей силы).

Прикладные задачи статики:

Определение реакций в опорах строительных конструкций.

Определение усилий в элементах конструкций.

3.Определение равновесия и устойчивости конструкций и т.д.

1.1.2. Абсолютно твердое тело и материальная точка Все тела в статике рассматриваются абсолютно твердыми, не изменяющими свою форму и размеры под действием сил. Дело в том, что изменения эти настолько малы, что ими можно пренебречь, т.к. они не влияют на условия равновесия тел.

В том случае, когда размеры тела не имеют значения в задаче, для удобства изучения в механике тело можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса тела. Так, например, при изучении движения планет, полета снаряда, движения автобуса по дороге и т.д. их считают материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с траекторией движения.

Сила, действующая на тело, возникает в результате действия какого-либо поля (например, сила веса) или при взаимодействии одного тела на другое (например, электровоз тащит вагоны, человек тащит санки, молоток бьет по гвоздю, газ давит на поршень и т.д.).

Эффект действия силы характеризуется тремя элементами:

численным значением силы (модулем), направлением силы и точкой приложения силы.

Сила - векторная величина. Вектор силы изображается отрезком, на конце которого ставится стрелка. Длина отрезка выражает численное значение силы. Чем сила больше, тем отрезок длиннее. Направление стрелки указывает направление вектора. Вектор как силу обозначают заглавной буквой латинского алфавита P, F, Q, G и т.д. В тексте вектор выделяют жирным шрифтом P, F, Q, G и т.д.

Линией действия силы (рис. 1.1, б) называют прямую, проведенную как продолжение вектора в обе стороны неограниченно.

Точкой приложения силы называют точку, в которой сила действует на тело (см. рис. 1.1, а – точка О, рис. 1.1, б – точка C, рис. 1.1, в – точка О).

Модуль, или численное значение силы, в Международной системе СИ измеряется в ньютонах (Н). Кроме этого применяют более крупные единицы: 1 килоньютон – 1 кН, 1 меганьютон – 1 МН.

Наиболее простой пример силы – сила тяжести, которую принято обозначать заглавной буквой G. Это хорошо согласуется с тем, что она порождена ускорением свободного падения, которое обозначается строчной буквой g латинского алфавита.

На рис. 1.1, а изображен шар 2, подвешенный на нити 1. Сила тяжести G приложена в точке О и направлена вертикально вниз. На рис.

1.1, б изображен груз 3, лежащий на плоскости 4. К грузу в точке С приложена сила F, направленная под углом к горизонту и плоскости 4.

На рис.1.1, в изображен молоток 5, бьющий по наковальне 6. Сила F приложена к наковальне в точке О и направлена вертикально вниз.

Если несколько сил приложены к телу в разных плоскостях в разные стороны, то такая система сил называется пространственной. Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то система называется плоской.

Если линии действия сил, приложенных к телу, пересекаются в одной точке, то такая система сил называется сходящейся, или системой сходящихся сил. Если линии действия всех сил параллельны друг другу, то такая система называется системой параллельных сил.

Одна сила, эквивалентная всей системе приложенных к телу сил, называется равнодействующей. Эквивалентная - значит, оказывающая одинаковое действие на тело. Силу, равную по величине равнодействующей, но направленную по той же линии действия в обратную сторону, называют уравновешивающей силой.

Если на тело действует система сил, то тело движется в направлении действия равнодействующей. Если к телу приложена система сил и к нему приложить уравновешивающую силу, то система сил будет находиться в равновесии, а тело – в покое.

Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу. Аксиомы – это теоремы, принятые без доказательства, которые основаны на опыте, накопленном человечеством в течение длительного периода времени.

Аксиома 1 (закон инерции Галилея). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Такое движение называют движением по инерции ( от латинского слова inertia – бездеятельность). Вывести материальную точку из этого состояния могут неуравновешенные силы (или сила), которые нужно приложить к материальной точке. Состояние покоя или движение по инерции называют равновесием. При этом сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Все мы ощущаем комфортно движение по инерции, когда автобус или троллейбус движется равномерно и прямолинейно. В этом случае сила тяги мотора уравновешивает силы сопротивления движения. На нее не действуют никакие силы, а за окном проплывают пейзажи.

Как только водитель затормозит автобус или троллейбус, уравновешенная сила тяги заменится противоположно направленной силой трения тормозов, состояние покоя нарушится. В случае разгона автобуса или троллейбуса сила тяги мотора превышает силу сопротивления и состояния покоя также не наблюдается.

Эта аксиома – фундаментальная, т.к. она лежит в основе всей статики. Аксиомы 2, 3 и 4 – оперативные, т.к. ими пользуются при решении задач.

Аксиома 2 (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.

На рис. 1.2 изображено тело, к которому приложены две уравновешенные силы F1 и F2.

Из аксиом 2 и 3 вытекает следствие: силу, действующую на тело, можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку тела, равновесие при этом не нарушится. На рис. 1.4, а изображено тело с приложенной в точке А силой F. Мы хотим перенести силу из точки А в точку В вдоль линии действия силы F. В точке В приложим две уравновешенные силы F, равные по модулю силе F и направленные вдоль ее линии действия в разные стороны (см. рис. 1.4, б), равновесие тела при этом не нарушится. Рассмотрим полученную систему сил. Силы F, перечеркнутые двумя черточками, уравновешивают друг друга и могут быть отброшены. Останется одна сила F (рис. 1.4, в), приложенная в точке В, равная исходной силе F и направленная в ту же сторону по линии ее действия.

параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенная в одной точке, изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах этих сил.

Эта аксиома является основной для сложения сил.

Равнодействующей двух сил F и F2 (рис. 1.5, а), приложенных в точке А, будет сила R, которая параллелограмма построенного на векторах сил F равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма называется векторным или геометрическим сложением и При графическом определении равнодействующей двух сил можно пользоваться правилом треугольника, которое вытекает из правила параллелограмма. К концу вектора F2, приложенному в точке А (рис. 1.5, б), пристраиваем вектор F1 в точке C, т.е. переносим вектор F1 из положения AB в положение CD. От этого параллелограмм не изменится и его диагональ останется на месте. Равнодействующая R также будет диагональю параллелограмма, но одновременно она будет стороной треугольника ACD. На основании аксиомы 4 одну силу R можно заменить двумя силами F1 и F2. Такая замена называется разложением силы на две составляющие и часто используется при решении задач механики.

Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Эта аксиома фундаментальная. Она объясняет происхождение механических сил вообще. Силы возникают при взаимодействии твердых тел друг на друга.

Свободными телами называют тела, которые не соприкасаются с другими телами и могут свободно двигаться в пространстве в любом направлении. Примерами могут служить снаряд, выпущенный из пушки, планер, запущенный в небо, гладкое тело, скользящее по плоскости, и т.д.

Несвободные тела соприкасаются с другими телами и могут двигаться только в свободном направлении. Например, вагонетка, которая свободно передвигается по рельсам, но только вдоль рельсового пути, а поперек пути ее не пускают реборды на колесах; маятник, который свободно качается на оси; поршень насоса и т.д.

Твердые или гибкие тела, ограничивающие свободу движения несвободного тела, называют связями.

Свободное тело в пространстве обладает шестью степенями свободы (рис. 1.7): x– вдоль оси X; y– вдоль оси Y; z– вдоль оси Z; – вокруг оси X; – вокруг оси Y; – вокруг оси Z.

Если тело ограничено движением в одной плоскости (рис. 1.8), то оно обладает тремя степенями свободы: x, y и z. Если свободному телу на плоскости поставить преграду на пути X, т.е. поставить связь по оси X, то останется только две степени свободы, если поставить две связи, то останется одна степень свободы, если три связи, то тело становится неподвижным и будет находиться в покое.

При взаимодействии между телом и связями возникают силы противодействия согласно аксиоме 4, которые препятствуют возможности движения тела. Тело действует на связи, т.е. преграды, а связи действуют на тело. Сила действия связи, т.е. преграды на тело, называется реакцией связи.

Связь ограничивает движение тела, поэтому реакция связи всегда направлена в сторону, противоположную тому движению, которому она препятствует.

На рис. 1.9 нить 1 препятствует движению тела 2 и реакция связи R направлена противоположно движению. Тело 4 упирается в преграду (связь) 5, поэтому реакция R препятствует движению.

Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики.

В статике изучают несвободные неподвижные тела. Рассмотрим реакции различных связей.

Гибкие связи (рис. 1.10, а), осуществляемые нитями, канатами или тросами, удерживают тело А, не давая ему двигаться вниз под действием веса G. Реакции R гибких связей направлены вдоль нитей в противоположную сторону, т.е. вверх. Нужно помнить, что гибкая связь может сопротивляться только растяжению (толкать нить не может, только тянуть).

На рис. 1.10, б изображено подъемное устройство. Блок 1 подвижный, к его оси подвешен груз G. Блок 2 неподвижный, его ось закреплена в кронштейне 3. Через блоки 1 и 2 переброшен канат 4, один конец которого закреплен в точке А, а за другой свободный конец в точке D его тянут вниз.

При этом канат вращает блоки 1 и 2, блок 1 поднимается вверх, поднимая груз G. Трением каната о блоки пренебрегаем. Поскольку канат- единое целое, то как любая нить он может иметь одну единственную растягивающую силу.

где F – внешняя сила, приложенная к канату, а R – реакция нити. Если рассмотреть блок 1, то он вместе с грузом G удерживается двумя канатами (как в предыдущем примере). Реакция R гибких связей направлена вверх.

Три катка 5, 6 и 7 сложены штабелем на гладкой плоскости 8.

Нижние катки 5 и 6, чтобы они не раскатились под весом верхнего катка 7, стянуты тросом AC. Вес трех катков воздействует на плоскость 8, которая согласно аксиоме 4 создает противодействие, т.е. реакции в точках касания катков 5 и 6.

Силы реакции в точках касания двух тел всегда направлены по нормали в точке касания. Нормалью к плоскости является перпендикуляр, восстановленный из точки касания. Нормалью к кривой является перпендикуляр, восстановленный из точки касания к касательной этой кривой.

На основании этого правила реакции R1 и R2 перпендикулярны к плоскости 8. Линии действия реакций R3 и R4 в точке касания катка 7 с катками 5 и 6 направлены по нормали и проходят через центры этих катков. Реакции T троса AC направлены вдоль него и удерживают катки 5 и Рама 1 установлена шарнирно (рис.1.11) на кронштейне 2 и может поворачиваться вокруг оси А. Свободным концом рама опирается на опору в точке В. Вес рамы G приложен в ее центре тяжести C. Шарнир А у тела (рамы 1) отнимает две степени свободы X и Y, следовательно, в шарнире возникают две реакции Rx и Ry. В опоре B возникает реакция RB, которая направлена по нормали к поверхности, то есть перпендикулярно к плоскости рамы.

Балка, поставленная наклонно (рис. 1.12), нижним концом опирается на гладкий пол в точке B, а верхним - на стенку в точке A. В точке B балка нитью BD привязана к стенке в точке D. Вес балки G приложен в центре тяжести C. В точке А угол стены создает реакцию RA, которая перпендикулярна к балке. В точке B гладкий пол создает реакцию RB, перпендикулярную к полу. Нить BD создает реакцию T, которая удерживает балку от сползания по гладкому полу вправо.

Существование реакций обосновывается аксиомой 4 о действии и противодействии.

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил. Другими словами – это система сил, приложенных к телу в одной точке.

Пусть дана система сил, приложенных к точке А (рис. 1.13, а). Для определения равнодействующей сил F1, F2, и F3 сложим последовательно попарно силы, используя правило треугольника. Сложим сначала силы F и F2 (рис. 1.13, б). Из произвольной точки О проведем вектор F1. Из конца вектора F1 (точка B) проведем вектор F2. Соединив точку О с концом вектора F2 ( точкой C), получим их равнодействующую R1, теперь сложим силу R1 с силой F3. Для этого из конца вектора R1 (точка C) проведем вектор F3, соединив точку О с концом вектора F3 (точка D), получим силу R, которая и есть равнодействующая заданных сил F1, F2 и F3.

Промежуточный вектор R1 можно не строить, а последовательно (рис. 1.13, в) в указанном выше порядке один вектор за другим откладывать все заданные силы, а начало первого вектора соединить с концом последнего. Это и будет равнодействующий вектор. Фигура OBCD называется силовым многоугольником. Замыкающая сторона силового многоугольника является равнодействующей системы сил.

Равнодействующая R всегда направлена от начала первого вектора к концу последнего вектора. Другими словами, стрелка равнодействующей всегда направлена навстречу последовательного потока слагаемых векторов.

Если при сложении сил вектор последней силы совместится с началом первой силы, то равнодействующая системы сходящихся сил будет равна нулю. В этом случае система сходящихся сил будет находиться в равновесии. Это и будет являться геометрическим условием равновесия системы сходящихся сил.

Многие задачи статики решают аналитическим методом, при котором используют не сами силы, а их проекции на оси координат.

Проекцией вектора на ось называется отрезок оси между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось.

Например, проекцией вектора силы F на ось X будет отрезок ab оси X, где a и b есть основания перпендикуляров, опущенных из начала А и конца В вектора F.

Проекцией силы F на ось Y будет отрезок аb оси Y.

положительна, если она совпадает с направлением оси и, наоборот, отрицательна, если направлена в сторону, противоположную оси. В приведенном примере на рис.1.14 обе проекции - положительны.

Чтобы найти величину проекции вектора силы F на ось X, опускаем перпендикуляры Aa и Bb (рис. 1.14) на эту ось. Длина проекции вектора определится из треугольника ABC:

Аналогично определяем величину проекции вектора силы F на ось Y:

Если сила F перпендикулярна оси X, то Если сила F перпендикулярна оси Y, то Если известна величина проекций силы F на оси X и Y, то применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC, стороны которого равны векторам F, Fx и Fy, можно записать где F – модуль (численное значение) вектора F; Fx – модуль вектора Fx;

Fy – модуль вектора Fy.

1.3.3. Разложение сил на две составляющие Зачастую при решении задач требуется одну силу F разложить на две составляющие. Например, требуется определить силу, которая растягивает нить BC (рис. 1.15, а), и силу, которая действует на стержень AB. Между стержнем и стеной установлен шарнир А. Стержень может воспринимать только силу, которая направлена вдоль его оси AB. Он может либо растягиваться, либо сжиматься. Итак, сила растягивающая нить, направлена вдоль BC в сторону BD, а сила действующая на стержень направлена вдоль AB. Задача сводится к тому, чтобы разложить силу F на две составляющие, параллельные AB и BC. Для этого из точки B (рис. 1.15, б) проводим вектор F. Из концов вектора F точек B и K проводим прямые BM, KD, BD и KM, которые параллельны AB и BC. В результате получим параллелограмм BDKM с диагональю BK. Из аксиомы 4 известно, что диагональю параллелограмма изображается равнодействующая сил, которые изображают стороны параллелограмма, т.е.

Силы F1 и F2 приложены в точке B. Сила F1 растягивает нить BC, Направление сил показано стрелками. При этом необходимо, чтобы равнодействующая F всегда была направлена от начала первого вектора F к концу второго вектора F2.

Разложение силы веса тела, лежащего на наклонной плоскости (рис.

1.16), на направление осей X и Y производится аналогичным образом.

Силы F и N построены на сторонах прямоугольника, диагональю которого является сила веса G.

Пусть дана система сходящихся сил F1; F2 и F3 (рис. 1.17, б), которые приложены к точке A. Требуется определить величину и направление равнодействующей аналитическим методом. Произведем вначале графическое сложение сил методом силового многоугольника. Из точки A (рис. 1.17, а) откладываем последовательно векторы F1; F2 и F3 методом их параллельного переноса с рис. 1.17, б. Получим разомкнутый многоугольник ACDB. Равнодействующая F является замыкающим отрезком AB этого многоугольника. Спроектируем все силы на ось X, которые будут изображаться отрезками:

Сумму проекций можно представить в следующем виде:

По аналогии для оси Y можно записать Для упрощения обозначений в дальнейшем будем суммы проекций обозначать Проекция векторной суммы на ось координат равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось и равна проекции равнодействующего вектора.

Итак, проекция равнодействующего вектора равна алгебраической сумме проекций всех сил, т.е.

Модуль равнодействующей силы F через ее проекции (см.

уравнение (1.7)) определяется по формуле Направление равнодействующего вектора, т.е. угол, определим, пользуясь формулой (1.3):

Если при сложении сходящихся сил равнодействующая будет равна нулю, то тело, к которому приложены силы, находится в покое. Это возможно, если Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сходящихся сил является равенство нулю алгебраической суммы проекции всех сил на каждую координационную ось:

Формулы (1.15) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Аналитический метод решения задач является универсальным и применяется чаще всего. Решение задач на равновесие плоской системы имеет следующую последовательность:

1.Выделяют тело или точку, где пересекаются линии действия сил, к этой точке прикладывают заданные силы.

2.Освобождают тело или точку от связей (принцип освобождаемости от связей) и заменяют их действие реакциями.

3.Выбирают координатные оси X и Y и относительно них составляют два уравнения равновесия (см. формулы (1.14)). Число неизвестных не должно быть более двух.

4.Решают систему уравнений (1.14) с двумя (или одним) неизвестными.

Линия действия реакций определяется сравнительно просто (см.

§1.2). Нить имеет только одно направление. Опора (стена, пол, угол, другое тело и т.д.) тоже по закону противодействия имеет одно направление, а вот стержень, закрепленный по концам шарнирами, линию действия реакции имеет вдоль оси, но при этом он может как растягиваться, так и сжиматься. В этом случае направление реакции можно выбирать в ту или другую сторону. При определении модуля данной реакции может получиться знак плюс или минус. Если знак плюс, то направление реакции на схеме выбрано правильно. Если знак минус, то направление реакции нужно изменить на обратное и внести исправления в расчет и в схему.

Пример. Груз G = 5 кН подвешен на канате в точке B. Определить усилия в растяжке AB и стержне BC (рис. 1.18).

1. В точке B пересекутся линии действия заданной силы G и искомых реакций в растяжке AB и стержне BC. Точку B выделяем как материальную точку, к которой приложены все силы.

2.Освобождаем точку B от связей: растяжки AB и стержня BC и заменяем их реакциями T и R соответственно. Направление реакции R выбрано произвольно (рис. 1.19).

3.Выбираем координатные оси X и Y и составляем уравнение равновесия.

Реакция R получилась с отрицательным знаком, поэтому нужно направление силы R исправить на обратное (пунктирное изображение).

После этого уравнение перепишется в виде и тогда Задачи на эту тему приводятся в задачнике [8, §2, с. 10 – 23].

1.4.Пара сил. Момент силы. Равновесие плоской системы сил Две равные по величине параллельные силы, приложенные к телу и направленные в противоположные стороны, называются парой сил.

Плоскость, в которой расположена пара, называют плоскостью действия пары сил. Сумма проекций пары сил на оси X и Y равна нулю:

Из этого можно сделать вывод: под действием пары сил тело не движется ни вдоль оси X, ни вдоль оси Y.

Пара сил характеризуется моментом, который вращает тело в плоскости XOY, то есть относительно оси Z, перпендикулярной плоскости XOY. Момент пары сил относительно оси Z равен произведению где F - одна из сил пары; а - плечо пары сил.

Из сказанного выше можно сделать вывод: пара сил может только вращать тело, не передвигая его в сторону ( на рис. 1.20 тело вращается по часовой стрелке).

между линиями действия пары сил называют плечом пары.

Формула (1.17) показывает, что вращательное действие пары сил зависит как от величины силы F, так и от расстояния между ними а.

считать положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки и отрицательным, Рис.1. если - по часовой стрелке.

вращаться вокруг точки A (рис. 1.21, а).

Что будет происходить с рычагом, если к нему приложить силу F в точке B?

На основании третьей аксиомы, не нарушая механического равновесия твердого тела, приложим к нему две уравновешенные силы F в точке А, которые параллельны заданной силе F (рис. 1.21, б).

В результате мы получим пару сил F (силы перечеркнуты двумя черточками), у которых момент равен и силу F, перенесенную параллельно Рис.1. самой себе из точки B в точку A.

В механике пользуются понятием момент силы относительно точки.

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

Точка А (рис. 1.21), относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра a- плечом силы относительно центра момента.

Момент силы F относительно центра А обозначается Момент силы измеряют в ньютонометрах (Нм).

Знак момента такой же, как у пары сил, т. е. плюс, если против часовой стрелки и, минус, если по часовой стрелке.

относительно точки А, MA (F).

Такой перенос силы называется приведением силы к другой точке.

Этим правилом широко пользуются в статике.

Когда линия действия силы проходит через центр (точку А), ее момент относительно этой точки равен нулю, так как в данном случае плечо a = 0.

Колодезный ворот (рис. 1.23) состоит из барабана 1, оси 2, установленной в опорах A и B, и рукоятки 3. При подъеме груза G момент, создаваемый грузом G, равен моменту, создаваемому силой F, приложенной к рукоятке.

При равномерном движении барабан является рассматриваемым нами телом, и при его остановке, согласно аксиоме 1, он должен находиться в равновесии. Поскольку в данном случае движение вращательное, его силовым фактором является момент. Вращение происходит вокруг оси n-n (правая проекция рис. 1.23), которая на левой проекции проектируется в точку B. Рассмотрим равновесие барабана на левой проекции. Центром вращения и центром моментов служит точка B.

Момент, создаваемый грузом G относительно точки B, имеет положительный знак (плюс). Момент, создаваемый силой руки F, приложенной к рукоятке в точке С, относительно точки B имеет отрицательный знак (минус). Сумма моментов относительно точки В равна нулю, т.к. система находится в равновесии.

Уравнение (1.21) является третьим уравнением равновесия плоской системы, когда силы приложены к телу произвольно.

Часто бывает необходимо привести несколько сил к одной точке.

Пусть даны силы F1; F2 и F3, приложенные в точках A, B и C. Требуется перенести эти силы в точку О.

Пользуясь правилом (рис.

1.22), переносим силу F1 из точки A в точку O и прикладываем момент Затем переносим из точки B в точку O силу F2 и прикладываем момент И, наконец, переносим силу дываем момент Силы F1, F2 и F3 приложены к одной точке O, поэтому их можно сложить графическим методом. Сложив геометрически силы, получим равнодействующую F, называемую главным вектором:

относительно центра O, получим главный момент Плоская система сил в результате приведения к данной точке O заменяется главным вектором и главным моментом.

Поскольку плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, для обеспечения равновесия системы необходимо, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю:

Эти уравнения называются векторными уравнениями равновесия.

Рассмотрим данную выше систему сил F1, F2 и F3 в координатных осях XOY (рис. 1.24).

Равнодействующая проекций сил на ось X определяется по формуле Равнодействующая проекций сил на ось Y определится по формуле Величина главного вектора Для обеспечения равновесия системы необходимо:

Уравнения (1.28) называются уравнениями равновесия плоской системы, выраженные в аналитической форме. В дальнейшем для упрощения записей будем писать:

1. Сумма проекций на ось X равна нулю:

2. Сумма проекций на ось Y равна нулю:

3. Сумма моментов относительно точки А равна нулю:

Уравнения (1.29 - 1.31) в дальнейшем будем называть уравнениями равновесия плоской системы сил.

.5. Составление уравнений равновесия Встречается много задач, в которых тело представляет собой балку, установленную по концам на две опоры. В §1.3.5 приведен порядок решения задач, воспользуемся им.

опирается на опоры A и B, действуют силы F1 и F2, приложенные в точке C жестко связанной с балкой AB. Все три точки AB и С принадлежат одному телу.

Требуется определить реакции опор A и B.

1. Выделяем тело (балку ABC) и прикладываем к ней известные силы F1 и F2 (рис. 1.25, б).

2. Освобождаем тело от связей и заменяем их действие реакциями. В точке А на балку (см. рис. 1.11) действуют две реакции Rx и Ry. Опора B может воспринимать только силу, которая действует вертикально, т.е.

вдоль оси Y, а сила вдоль оси X может свободно, без сопротивления двигать точку В влево и вправо. Поэтому в точке В на балку действует реакция RB (рис. 1.25, б).

3. Выбираем координатную систему XOY и составляем три уравнения равновесия:

Примечание. Сумму моментов выгодно составлять относительно точки, в которой пересекаются или приложены две неизвестные реакции (или силы), тогда моменты этих сил относительно выбранной точки равны нулю и мы избавляемся в одном уравнении сразу от двух неизвестных.

Общее число неизвестных не должно быть более числа уравнений статики, то есть трех.

4. Решение системы уравнений следует начинать с уравнения моментов, так как в нем содержится одна неизвестная. Решаем его относительно неизвестной RB :

Подставив значение RB во второе уравнение и решив его относительно Ry, получим Решаем первое уравнение относительно Rx :

Механическим движением называется перемещение одних тел относительно других в пространстве и во времени. При решении задач кинематики используются понятия о материальной точке и абсолютно твердом теле.

Материальная точка как объект исследования используется в том случае, когда форма тела и его размеры не влияют на изучение движения.

Например, движение планет, движение самолета, поезда, автомобиля и т.д.

В этих примерах используется кинематика точки.

Абсолютно твердое тело как объект исследования рассматривают в том случае, когда требуется исследовать относительное движение точек данного тела. Например, качение колеса по дороге, вращение маховика, движение шатуна двигателя внутреннего сгорания.

В этих примерах используется кинематика твердого тела, которая лежит в основе изучения вращательного и плоскопараллельного движений.

К основным понятиям кинематики относятся: направление движения, траектория движения, путь, пройденный материальной точкой, время, затраченное на движение, скорость движения материальной точки, ускорение, то есть интенсивность изменения скорости.

Направление движения определяет, в какую сторону движется точка (от А к В или от В к А). Более строго, направление определяет вектор скорости, куда он направлен: вверх, вниз, влево, вправо.

Траектория движения – это линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, Рис.2. т.е. след материальной точки.

Длина траектории при движении точки - это пройденный путь.

При движении по прямой путь равен расстоянию между начальной и конечной точками. При движении по кривой путь больше расстояния между точками Скорость – это быстрота перемещения тел от одной точки пространства к другой. Она определяется величиной пути, проходимого точкой за единицу времени. Движение тела с постоянной скоростью называется равномерным, а с изменяющейся скоростью - переменным.

Величина, определяющая изменение скорости с течением времени, называется ускорением.

Изучение движения точки может начинаться от начала траектории (точка А на рис.2.1) или из произвольного положения О, в котором включается секундомер, т.е. отсчет времени. В этом случае вводится понятие начального пути s0 для определения исходного положения точки.

Полный пройденный путь s будет определяться как алгебраическая сумма начального пути s0 и пройденного пути :

где s – путь, пройденный от начала отсчета А по кривой АМ; s0 – начальный путь, который пройден к моменту включения секундомера, измеряемый кривой АО; - пройденный путь за время t от точки О по кривой до точки М.

При движении точки по траектории путь s является функцией времени.

Уравнение (2.2) выражает закон движения точки в общем виде.

Материальная точка из положения О (рис. 2.1) может двигаться как в сторону положения В, так и в сторону положения А.

Движение точки в сторону В будем называть положительным, а пройденный путь будет иметь знак плюс +. Движение в обратном направлении в сторону А будет отрицательным, а путь будет иметь знак минус.

Движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки пути, называется равномерным движением.

Например, поезд каждый километр пути проходит за одинаковое время, следовательно, он движется равномерно.

Скорость равномерного движения определяется отношением пройденного пути ко времени.

Это основной закон равномерного движения. В общем случае, когда движение изучается с момента включения секундомера t0 = 0 в положении О (рис.2.1), основной закон записывается в виде где v t = – пройденный путь; v – скорость равномерного движения; t – время пройденного пути.

На рис. 2.3 приведен график пути и скорости в функции времени для равномерного движения.

Скорость измеряется в единицах пути, деленных на единицу времени – 1 м/с. Движение поезда измеряют в 1 км/ч = 0,278 м/с.

В общем случае материальная точка за равные промежутки времени проходит неравные отрезки пути, поэтому такое движение называют неравномерным.

Пусть материальная точка перемещается из положения А по дуге. За время t точка из положения А переместится в положение А1. Если дугу АА1 заменить хордой s, то погрешностью определить среднюю скорость vср, которая по величине и по направлению отличается от скорости v.

Переходя к пределу при t 0, т.е. приближая бесконечно точку А1 к точке А, материальной точки в положении А:

При стремлении t к нулю направление vср в пределе совпадает с направлением касательной к дуге в точке А. Поэтому направление скорости материальной точки в любой момент времени совпадает с направлением касательной в этой точке, а величина ее равна пределу отношения приращения пути к приращению времени.

При неравномерном движении скорость изменяется по величине непрерывно, в каждый момент времени. Такую скорость можно измерить только в какое-то одно мгновение, поэтому ее называют мгновенной.

Движение, при котором скорость возрастает, называют ускоренным, а приращение скорости за единицу времени – ускорением. Если скорость убывает, то – происходит замедление, ускорение при этом отрицательное.

Скорость и ускорение являются векторными величинами и с ними можно производить операцию геометрического сложения, как с векторами сил.

Пусть (рис. 2.5) материальная точка движется по дуге а – а с пристроен вектор v. Вектор v1 является замыкающим или суммирующим.

Вектор приращения скорости v направлен под углом и к вектору v, и к вектору v1. Это говорит о том, что на участке АА1 происходит изменение скорости как по величине, так и по направлению. Разложим вектор v на направление вектора v (составляющая тангенциальная vt) и направление радиуса дуги, перпендикулярного к вектору v (составляющая нормальная vn):

где vt - вектор тангенциального приращения скорости, которое увеличивает численное значение скорости v; vn – вектор нормального (радиального ) приращения скорости, которое изменяет направление скорости v, то есть поворачивает вектор от направления v до направления Ускорение точки – это отношение приращения скорости к приращению времени. Вектор среднего ускорения можно найти, если разделить вектор приращения скорости v на приращение времени t.

Переходя к пределу при t 0, т.е. приближая бесконечно точку А к точке А, найдем вектор истинного ускорения Вектор ускорения а характеризует как изменение численного значения скорости, так и изменение ее направления.

По аналогии можно записать где аt – вектор касательного или тангенциального ускорения, которое изменяет численное значение скорости; аn – вектор нормального или центростремительного ускорения, которое всегда направлено по радиусу к центру дуги и оно изменяет направление скорости.

В дифференциальной форме уравнения (2.6) и (2.8) запишутся в виде 2.5 и 2.6 выпрямить, то тогда тангенциальные сос-тавляющие v = vt; а = аt, а нормальные состав-ляющие vn = 0; аn = 0.

Неравномерное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным.

Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль оси ОX от точки А, которая соответствует начальному положению t0 = 0. Путь в этом положении равен s0; скорость v0 и ускорение а, которое является Путь, скорость и ускорение - величины алгебраические. Они могут иметь положительное и отрицательное значения. Отрицательное значение пути показывает, что он отмеряется влево по рис. 2.7. Отрицательная скорость означает, что она направлена влево по рис. 2.7. Отрицательное ускорение означает, что движение материальной точки равнозамедленное.

Если v = 0, то точка останавливается. Если а = 0, то движение равномерное.

Ускорение точки в дифференциальной форме имеет вид Откуда приращение скорости Интегрируя в пределах от t0 до t, получим Откуда Скорость точки в дифференциальной форме имеет вид Подставив значение v в уравнение (2.11), получим Проинтегрируем Уравнения (2.11) и (2.13) являются основными уравнениями равнопеременного прямолинейного движения. Из уравнения (2.11) можно определить ускорение Средняя скорость определяется как среднее арифметическое между начальной и конечной скоростями Она играет ту же роль, что скорость равномерного движения.

Умножая v0 на t, получим длину пути от точки А до точки М:

Пример. Задан закон движения материальной точки. Заданное уравнение имеет вид Определить скорость и ускорение материальной точки и проанализировать уравнения.

Проанализируем заданное уравнение. В начальный момент t0 = 0.

Подставив значение t0 в заданное уравнение, получим Продифференцировав заданное уравнение, получим Проанализируем уравнение (2.14). В начальный момент при t0 = скорость v0 = 9, т.е. скорость отрицательна. Это говорит о том, что в начальный момент точка двигалась назад в отрицательном направлении.

Приращение скорости 6t = v – положительное, поэтому должен наступить момент, когда скорость станет равной нулю, т.к. сравняются отрицательная начальная скорость v0 и приращение скорости v. Если в уравнении (2.14) скорость приравнять нулю, то получим откуда Во время движения tс материальная точка остановится в положении С, т.к. ее скорость станет равной нулю, а затем начнет двигаться в положительном направлении, т.к. в уравнении (2.14) положительное приращение скорости v = 6t будет больше по величине отрицательной начальной скорости v0 = 9. Например, в момент, когда t = 2c, скорость v Чтобы определить ускорение, нужно продифференцировать уравнение (2.14) Построим графики пути, скорости и ускорения в координатах tOs;

tOv и tOa в соответствии с уравнениями Построение начинаем с определения опорных точек. В начальный момент времени (рис. 2.8):

путь s0 = 5 соответствует точке А;

скорость v0 = 9 соответствует точке А' ;

ускорение а = 6 соответствует точке А''.

На графике пути видно, что материальная точка из положения А (ордината Os) начинает двигаться в отрицательном направлении до точки С1. При этом скорость благодаря положительному ускорению возрастает от положения А' до положения С', в котором скорость vс = 0 и материальная точка остановится. Время, соответствующее этой точке, равно tс = 1,5. Подставив это время в уравнение (2.13), получим Откладываем расстояния tс и sс на графике пути и получаем точку C, а на графике скорости для времени t c = 1,5 намечаем точку С', соответствующую скорости Уравнение (2.14) первой скорости – прямая линия, для проведения которой достаточно иметь две точки А' и С'.

Уравнение (2.16) есть константа, поэтому график параллелен оси абсцисс и для его построения достаточно иметь одну точку А".

Уравнение (2.13) второй степени описывается параболой, для построения которой нужно больше точек. При движении из начального положения А (s0 = 5) материальная точка проходит через начало координат и из положительной области заходит в отрицательную область, т.е.

проходит через положение О.

Приравняв нулю уравнение (2.13), получим Решив это квадратное tB = 0,74; tD = 2,26; sB = sD = 0.

На графике пути отмечаем точки В и D.

Плавно соединяя точки, получаем график пути - параболу ABCD. С помощью приведенных графиков удобно анализировать движение материальной точки и его параметры.

При криволинейном движении скорость и ее вектор величины переменные, которые изменяются по численной величине (модулю) и по направлению. Вектор скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения материальной точки и перпендикулярен к радиусу дуги траектории. Поэтому скорость материальной точки всегда касательная или тангенциальная к траектории v = vt.

Ранее было показано (рис. 2.5 и 2.6), что касательное ускорение нормальное ускорение где r- радиус кривизны в данной точке.

Из рис. 2.6 видно, что модуль полного ускорения можно определить по теореме Пифагора Путь при равнопеременном криволинейном движении определяется по формуле От уравнения (2.13) формула (2.20) отличается ускорением. Дело в том, что при прямолинейном движении an = 0 и a = at.

Если продифференцировать уравнение (2.20), то получим формулу для скорости Видим, что уравнения (2.11) и (2.21) идентичны.

Уравнения (2.17...2.21) являются основными уравнениями неравномерного криволинейного движения материальной точки.

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси, все его точки (например, точка С на рис. 2.9) вращаются вокруг этой оси и описывают окружности, которые являются траекториями этих точек.

Вращательное движение твердого тела характеризуется углом поворота (рис. 2.9). Пусть в начальном положении t0 = 0 вертикальная плоскость ACB занимала положение, соответствующее точке С0. При вращении тела плоскость ACB займет новое положение, повернувшись вокруг оси Z на угол.

Угол называется углом поворота тела. Он измеряется в радианах. Угол поворота играет ту же роль при вращении тела, что пройденный путь s при движении материальной точки.

Чтобы изучить вращательное движение тела, нужно задать угол поворота как функцию времени Это уравнение называют законом вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Проводя аналогию между движением материальной точки и вращением твердого тела, можем записать Это уравнение является законом вращательного движения, и к нему мы вернемся немного позже.

Угловая скорость вращательного движения равна первой производной от угла Средняя скорость равномерного вращения равна отношению приращения угла поворота к приращению времени Измеряется угловая скорость в радианах в секунду (1 рад/с или 1c-1), так как радиан безразмерная величина. Угол поворота в технике измеряют количеством оборотов N тела вокруг оси Z, поэтому, учитывая, что 1об.=2, Угловую скорость в технике задают числом оборотов в минуту, т. е.

частотой вращения n. Следовательно, если умножим 2 на n, то получим 2 n рад/мин, а чтобы перейти к секундам, нужно еще разделить на 60.

Тогда получим При грубых и прикидочных расчетах допускается С помощью формулы (2.26) заданную частоту вращения тела можно перевести в угловую скорость, и наоборот.

При равномерном вращении = const угол поворота определяют по формуле При равнопеременном вращении угловая скорость в единицу времени изменяется на одинаковую величину. Быстрота изменения угловой скорости во времени характеризуется угловым ускорением.

Угловое ускорение вращательного движения тела равно первой производной от угловой скорости по времени Угловое ускорение измеряют в радианах в секунду в квадрате ( рад/с или 1 с-2).

При равнопеременном вращении const. Уравнения равнопеременного вращения тела аналогичны уравнениям (2.11) и (2.13) равнопеременного движения материальной точки где 0 – начальный угол поворота, который предшествовал начальному положению тела при t0 0; 0 – начальная угловая скорость при t0 0.

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение – величины алгебраические. Они могут иметь положительное и отрицательное значения. Угол поворота считают положительным (рис. 2.9) при вращении тела против часовой стрелки, если смотреть на тело с конца оси вращения Z, то есть со стороны стрелки оси. При вращении тела по часовой стрелке угол поворота считают отрицательным. Угловая скорость будет положительной, если тело при этом вращается против часовой стрелки, и отрицательной, если – по часовой. Угловое ускорение будет положительно, если оно сообщает ускоренное вращение телу, и отрицательно, если оно сообщает замедленное вращение телу.

Рассмотрим движение любой точки С тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z (рис. 2.9).

Твердое тело состоит из множества материальных точек. Каждая точка движется вместе с телом, поэтому для всех точек тела общими характеристиками вращательного движения являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение. Траектории всех точек тела при вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения Z.

Взаимосвязь (рис. 2.10) между углом поворота, радиусом окружности r и длиной пути материальной точки по окружности s выражается формулой Таким образом, зная угол поворота и радиус окружности, определяют путь материальной точки.

Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, называется линейной, в отличие от угловой скорости тела. Дифференцируя уравнение (2.32) по времени и учитывая формулы (2.12) и (2.23), получим Линейная скорость материальной точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости тела на радиус окружности.

Касательное, или тангенциальное, ускорение точки тела, вращающегося вокруг оси, изменяет линейную скорость точки и определяется по формулам (2.17), (2.29) и (2.33):

Нормальное, или центростремительное, ускорение точки вращающегося тела изменяет направление линейной скорости точки и находится по формулам (2.18) и (2.33):

Полное ускорение определим, используя формулу (2.19):

Направление вектора полного ускорения можно определить по углу, образованному вектором a и радиусом r:

Круг ABED радиусом r катится по прямой N–N (рис. 2.11) с угловой скоростью. Аналогом может быть колесо велосипеда, автомобиля и т.д. Круг касается прямой N–N в точке А, которая принадлежит одновременно неподвижной прямой N–N и кругу. Эта точка касания А в данный момент является неподвижной, а весь круг вращается относительно точки А с угловой скоростью, поэтому все точки круга вращаются также относительно точки А.

Точка тела, скорость которой в данный момент равна нулю, называется мгновенным центром скоростей, или мгновенным центром вращения.

Линейная скорость любой точки тела (круга) в каждый момент времени равна произведению угловой скорости тела (круга) на радиус данной точки от центра вращения и направлена перпендикулярно этому радиусу в сторону вращения тела (круга):

принадлежащих прямой основании подобия треугольников Пример 1. Колесо радиуса r = 1 м катится по прямому рельсу. Скорость центра С колеса Определить угловую скорость колеса и скорости точек B, D, E (рис.

2.11).

Угловую скорость определим по формуле (2.33) Радиус точки Е относительно точки А равен диаметру колеса, то есть 2r, поэтому линейная скорость точки Е Радиусы точек B и D определятся из прямоугольных равнобедренных треугольников ABC и ACD:

Теперь найдём линейные скорости точек B и D Пример 2. Определить (рис. 2.12) скорость подъема груза G, если скорость подъема каната 1, поднимающего блок 2 vE 16 м/мин, а радиус блока r 0,1 м.

Канат 1 переброшен через блок 2 и закреплен другим концом в точке В. Ветвь каната АВ неподвижна, поэтому блок 2 катится по неподвижной ветви каната АВ как по рельсу, аналогично кругу на рис.

2.11.

3.1.Основные понятия и аксиомы динамики Раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением тел и действующими на них силами, называется динамикой.

В динамике решаются две основные задачи:

1. Прямая задача. По известным действующим на тело силам определяются параметры движения тела.

2. Обратная задача. По известному закону движения тела определяются силы, действующие на него.

Примеры. 1. Полет снаряда. Даны силы F и G. Определяются траектория, скорость, ускорения (прямая задача).

2. Движение поезда. Заданы путь, скорость, ускорение.

Определяются силы (обратная задача).

В основе динамики лежат законы Ньютона, опубликованные в его “Математических началах натуральной философии” в 1687 г.

Эти законы являются аксиомами динамики и объективными законами природы, которые были установлены на основании многочисленных опытов и наблюдений Ньютона и его предшественников.

Первая аксиома (I закон Ньютона) – закон инерции: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит этого состояния.

Свойство материальной точки или тела сохраняет постоянство скорости v const (v 0) и называется инертностью или инерцией.

Движение материальной точки или тела, не подвергающихся воздействию сил, называется движением по инерции.

Если скорость тела v 0, то это состояние покоя или статического равновесия. Если скорость тела v 0, но v const, то это состояние динамического равновесия.

Вторая аксиома (II закон Ньютона) – основной закон динамики:

ускорение, сообщаемое материальной точке (или телу), приложенной к ней силой, пропорционально модулю силы и совпадает с ней по направлению.

Основное уравнение динамики имеет вид Все физические величины, входящие в формулу (3.1), имеют самостоятельное определение. Определение силы F описано в статике, определение ускорения а – в кинематике. Опишем массу материальной точки m. Анализируя формулу (3.1), мы видим, что при увеличении массы нужно для разгона тела до одного и того же ускорения приложить большую силу. Чем больше масса, тем труднее вывести ее из состояния покоя или движения по инерции, например остановить катящийся по инерции вагон. Поэтому массу определяют как меру инертности тела.

Частный случай основного уравнения динамики:

из которого определяют массу где m – масса тела; G – вес тела; g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения тел в пустоте.

За единицу массы в СИ принят килограмм (1 кг), который согласно формуле (3.3) равен Третья аксиома (III закон Ньютона) – закон равенства действия и противодействия: действию одного тела всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие другого тела, то есть действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Эта аксиома соответствует 5 аксиоме статики.

Четвертая аксиома – принцип (закон) независимости действия сил: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил они сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые точка получила бы при действии каждой из этих сил в отдельности.

Формула (3.5) показывает, что равнодействующее ускорение, если сократить формулу (3.5) на m, равно геометрической сумме ускорений Ускорения a1, a2 и т. д. материальная точка получает от действия сил F1 и F2 и т.д. Сравнивая уравнения (3.4), (3.5) и (3.6), видим:

равнодействующее ускорение a (формулы (3.5) и (3.6)) то же самое Если материальная точка несвободна и имеет связи, то освободив ее от связей и заменив их реакциями, движение точки можно считать как свободное, а уравнение (3.7) примет вид где Fi – внешние силы ; Ri – реакции связей.

Пример 1. Груз G поднимают с ускорением Определить натяжение каната R.

примем за материальную точку О.

Выберем систему координат XOY, ось Y которой совпадает с ускорением а.

Освобождая материальную точку (груз) от связей (каната), заменим канат (связь) реакцией R.

Запишем основной закон динамики для несвободной материальной точки:

где R – реакция каната; G = m g – вес груза; m – масса тела (груза); а – ускорение.

Подставив значение груза G в уравнение и решив его относительно R, получим Пример 2. Какова должна быть скорость велосипедиста, чтобы пройти “мертвую петлю” радиусом r?

Принимаем велосипедиста с велосипедом за материальную точку.

Систему координат XOY располагаем таким образом, чтобы ось OY совместилась с ускорением an. При равномерном движении материальной точки по окружности тангенциальное (касательное) ускорение at = 0.

Поэтому полное ускорение а равно нормальному (центростремительному) ускорению, то есть а = а n.

относительно скорости, получим Из полученного уравнения видно, что если нормальное ускорение равно ускорению свободного падения, то наступает равновесие, которому соответствует скорость v g r. На этом задача окончена.

Согласно основному закону динамики Перенесем вектор ma в левую часть уравнения, получим Вектор m a имеет размерность силы.

Что же представляет собой эта сила? Во- первых, наличие этой силы уравновешивает систему сил F1 + F2 +... + Fn = Р. Во- вторых, сила m a имеет знак минус, поэтому она направлена в сторону, обратную равнодействующей Р и ускорению а. В - третьих, по величине (модулю) эта сила равна равнодействующей Р.

Сила, равная по величине произведению массы материальной точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называют силой инерции.

На основании сказанного можно сделать вывод, который называется принципом Даламбера:

Силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силой инерции Полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии, а уравнение (3.11) уравнением равновесия. Такое равновесие называют динамическим.

Силы инерции действительно существуют. Достаточно вспомнить поездку в автобусе или троллейбусе. При трогании с места в период разгона ускорение направлено вперед, но нас сила инерции тянет назад.

При резком торможении ускорение направлено назад, но нас сила инерции толкает вперед.

Принцип Даламбера позволяет при решении задач динамики использовать уравнение равновесия статики. Такой метод носит название кинетостатики.

Решим примеры 1 и 2 (рис. 3.2 и 3.3) методом кинетостатики.

Пример 1. Чтобы уравновесить силу G и реакцию R, приложим силу инерции Fu = m a (рис. 3.5).

Уравнение равновесия будет иметь вид или где G = mg, т.к. ускорение g и сила G направлены в сторону, обратную оси OY; Fu = ma – сила инерции, которая направлена в сторону, противоположную оси OY.

Из уравнения (3.13) находим Нужно помнить, что сила веса G – движущая сила и всегда совпадает по направлению с вызванным ускорением g, согласно основному закону динамики. Сила инерции – реактивная сила, которая порождается ускорением а и всегда направлена в сторону, обратную ускорению.

Пример 2. Чтобы уравновесить силу G (рис. 3.3), приложим силу инерции Fu = m a (рис. 3.6).

Уравнение равновесия будет иметь вид или где G = m g, так как ускорение g и сила G направлены в сторону оси OY;

Fи = ma – сила инерции, которая направлена в сторону, противоположную оси OY.

При равномерном движении по окружности После подстановки получим 3.2.1. Работа постоянной силы при прямолинейном движении Для оценки и характеристики действия силы, которая перемещает тело или материальную точку с постоянной скоростью, вводят понятие о мере этого действия – работа силы.

Пусть на тело (рис.

3.7) действует сила F, которая, преодолевая сопротивление трения Т, двигает тело по плоскости со скоростью v из положения M0 в положение M.

на две составляющие.

Вдоль оси X будет действовать составляющая Fx = F · cos, а вдоль оси Y будет действовать Составим два уравнения равновесия Из этих уравнений определяются реакция плоскости на тело R и сила трения Т при заданных F и G.

Реакция R вызывает силу трения T f R, а составляющая Fx=Fcos движет тело, преодолевая трение Т. На это перемещение затрачивается энергия, которая называется работой. Это понятие вводится для оценки действия силы. Мерой этого действия является работа силы, величина которой равна произведению силы на пройденный путь.

Величина работы определяется по формуле где А – работа силы; F – сила, действующая на тело; – угол между направлением силы и скорости тела. Если 0, то формула (3.14) примет вид Работа – скалярная величина. Она измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Нм.

Сила, направленная против движения, называется силой сопротивления (трение, сопротивление воздуха, сила сопротивления при вспашке земли и т.д.). Различают силы полезного и вредного сопротивлений.

Сила полезного сопротивления – сила технологического сопротивления рабочего органа машины: сила подъема груза, сила сопротивления плуга, сила забивания сваи и т.д.

Сила вредного сопротивления – это сила трения, сила сопротивления воздуха или воды и т.д.

3.2.2. Мощность и коэффициент полезного действия Два человека копают огороды по 500 м каждый. Один вскопал огород за полдня, а другой – за день. Кто из них более работоспособен, более мощный? То же можно сказать о тракторах. Следовательно, знание только величины работы для оценки работоспособности недостаточно. Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности.

Мощностью называется величина, выражающая работу, произведенную в единицу времени.

Если сила совпадает с направлением движения (3.15), то мощность можно определить по формуле Единицей мощности в системе СИ является ватт:

В технике применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой, 1 л.с. = 75 кгс м/с.

Если машина работает с постоянной мощностью, то работа, совершаемая за время t, равна Эта работа является затраченной электрической энергией, которую принято исчислять в киловатт-часах.

Трактор при вспашке помимо переворачивания земли вынужден затрачивать работу и мощность на вращение коробки скоростей, перемещение самого себя, излучение тепловой энергии и т.д. Как видно, кроме полезной работы совершается работа, не затрачиваемая непосредственно на переворачивание земли, то есть вредная работа.

Затраты энергии принято делить на полезную работу или мощность и потери.

Для оценки полезной работы или мощности введено понятие коэффициент полезного действия.

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной работы (мощности) ко всей затраченной.

Полезную мощность принято называть эффективной и обозначать N e, тогда КПД определяется по формуле Если мощность от двигателя передается через несколько механизмов к рабочему органу, КПД которых известны, то общий КПД машины равен произведению отдельных КПД.

КПД всегда меньше 1 и тем больше, чем меньше мощность N N N e, затрачиваемая на преодоление вредных сопротивлений.

3.2.3. Работа и мощность при вращательном движении При движении по окружности сила F совершает работу Произведение F r называют вращающим моментом Тогда работа будет равна Зная N и n, можно определить момент Если на материальную точку массой m, находящуюся в покое, начинает действовать сила F, то через t(с) ее скорость будет равна Подставив значения ускорения в основное уравнение динамики, получим Откуда Произведение вектора постоянной силы F на время действия силы t есть величина векторная, называется импульсом силы и обозначается S:

Произведение массы материальной точки на вектор скорости mv есть величина векторная и называется количеством движения.

Физический смысл: импульс силы – это толчок, создаваемый силой за время t; количество движения – это мера механического движения.

Количество движения, отнесенное ко времени, представляет собой силу.

Рассмотрим движение материальной точки из положения А в положение В, которое она проходит за время t. В начальном положении А время t0 = 0; скорость – v0. Ускорение на участке АВ определяется как отношение приращения скорости t, деленной на время t:

Если это значение скорости подставим в основное уравнение динамики, то получим или или Алгебраическое приращение количества движения материальной точки за время t равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

Это есть закон изменения количества движения. Пользуясь им, можно решать задачи по определению силы, времени ее действия, массы, начальной и конечной скорости при условии, что только одна из этих величин неизвестна.

При решении задач, если в условиях задается масса, скорость и время движения, нужно пользоваться законом об изменении количества движения, а не кинетической энергии.

3.3.2.Потенциальная и кинетическая энергия Энергией называется способность тела совершать механическую работу. Существует два вида энергии: потенциальная и кинетическая.

Потенциальная энергия представляет собой запас работы, которую может совершать тело. Название «потенциальная» происходит от латинского «потенция», т.е. возможность.

Например, тело весом G подняли на высоту h и удерживают его на этой высоте. На подъем тела затратили работу A = G h, которая и равна потенциальной энергии Если теперь отпустить тело, соединив его с механизмом, то оно может совершить работу. Так работает кузнечный молот или молот для забивания свай при подготовке фундамента дома.

Аналогично обладает потенциальной энергией сжатая пружина, электрическое, магнитное, гравитационное поля и т.д.

Во всех перечисленных случаях можно заметить два момента: вопервых, потенциальная энергия не возникает из ничего, а является продуктом проделанной работы (поднятие тела на высоту h, сжатие пружины, создание магнитного поля и т.д.); во- вторых, потенциальная энергия зависит от положения тела в силовом поле.

Потенциальная энергия может совершать статическую работу или переходить из одного вида энергии в другой. Например, пневмоцилиндр закрывает двери в троллейбусе (статическая работа); сжатый воздух в пневматическом ружье, применяемом в тире, сообщает пуле кинетическую энергию (переходит из потенциальной в кинетическую энергию).

Кинетическая энергия – это энергия движущегося тела.

Кинетическая энергия определяется способностью движущегося тела или материальной точки совершать работу. Например, если пневматическое ружье поднять вверх и выстрелить, то кинетическая энергия, сообщенная пуле, будет совершать работу по поднятию пули на высоту h.

Величина кинетической энергии численно равна полупроизведению массы материальной точки на квадрат скорости 3.3.3.Закон об изменении кинетической энергии материальной точки Воспользуемся рис. 3.9. Сила F на участке АВ совершает работу При равноускоренном движении ускорение равно приращению скорости, деленному на время (2.13, а):

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном движении, равен произведению средней скорости на время (2.13, б):

Подставив значения a и s в уравнение (3.32), получим или где E – кинетическая энергия в положении В; Е0 – кинетическая энергия в положении А.

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

Это есть закон об изменении кинетической энергии. При движении материальной точки под действием силы F сила совершает работу, которая затрачивается на создание ускорения, то есть изменение скорости точки.

Потенциальная работа силы F переходит в кинетическую энергию движущейся точки. Кинетическая энергия увеличивается за счет увеличения скорости.

Если скорость v в положении В больше скорости v0 в положении А, то работа, совершаемая силой F, положительная, а кинетическая энергия Е и скорость v возрастают. Потенциальная работа силы F переходит в кинетическую энергию.

Если v v0, то работа А отрицательная, а Е и v убывают. При этом часть кинетической энергии, которая «высвобождается», совершает механическую работу, то есть материальная точка, преодолевая какое-то сопротивление (сила F), совершает работу.

Например, молоток под действием силы F1 руки человека на некотором пути s1 получает запас кинетической энергии до встречи со шляпкой гвоздя:

При встрече со шляпкой гвоздя молоток испытывает сопротивление F2, которое он преодолевает, забивая гвоздь на глубину s2.

При этом скорость v убывает до нуля, а кинетическая энергия молотка переходит в работу, которая затрачивается на сопротивление гвоздя F2 на пути s2.

положительная и А – положительная, т.к. сила F1 направлена в сторону движения.

Во втором случае начальная скорость v02 v, а конечная скорость равнялась нулю, поэтому кинетическая энергия отрицательная. Работа А тоже отрицательная, т.к. сила F2 направлена в сторону, противоположную движению.

Знак кинетической энергии определяется разностью v2 v02.

Поэтому при разгоне приращение кинетической энергии т.е. положительно, а при вынужденном торможении т.е. отрицательно. Поэтому говорят, что кинетическая энергия при разгоне возрастает (Е > Е0), а при торможении убывает (E < E0).

При решении задач, если задается масса, скорость и путь материальной точки, нужно пользоваться законом об изменении кинетической энергии.

3.3.4.Основное уравнение динамики для вращательного движения Пусть ось N – N под действием момента М вращается с ускорением. На расстоянии ОА = r от оси прикреплена материальная точка массой m.

При равноускоренном вращении материальной точки возникают ускорения:

тангенциальное нормальное которые вызывают силы инерции:

тангенциальную нормальную Касательная сила инерции Ft уравновешивает внешний момент М.

На основании принципа Даламбера составим уравнение равновесия моментов откуда Величина I = mr2 называется моментом инерции материальной точки относительно оси и является мерой инертности при вращательном движении. С учетом момента инерции основной закон динамики для вращательного движения примет вид момент инерции определяется как где mi – масса i-го элемента; ri – расстояние центра тяжести i-го элемента тела от оси N – N.

Если к телу приложено много внешних моментов от внешних сил, то равнодействующий момент Произведение момента инерции тела I на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения При решении задач наиболее часто встречаются тела в виде цилиндра или шара.

Момент инерции сплошного цилиндра радиусом r и массой m, вращающегося относительно своей оси, где d – диаметр цилиндра.

Момент инерции шара радиусом r, вращающегося относительно оси симметрии, 3.3.5. Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия материальной точки (рис. 3.10) или Закон изменения кинетической энергии вращающегося тела по аналогии с поступательным движением запишется в следующем виде:

Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно работе сил, приложенных к телу.

Работа при вращательном движении по аналогии с поступательным движением определяется как произведение «силы», т.е. момента М, на «путь», т.е. угол поворота :

Движущиеся машины обладают двумя видами кинетической энергии: кинетической энергией поступательно движущейся машины E mv 2 2 и кинетической энергией вращающихся частей E I 2 2, поэтому полная кинетическая энергия машины равна их сумме:

Часть II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

4.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О МЕХАНИЗМАХ И МАШИНАХ

Машиной называется (механическое) устройство, выполняющее полезную работу.

Работа может быть связана с производственным процессом, транспортированием, преобразованием энергии, преобразованием информации и т.д. Например, экскаватор, подъёмный кран, автомобиль, воздушный компрессор, насосная установка, ЭВМ и т.д.

Машина состоит из трёх основных частей: приводного двигателя – 1;

передачи – 2; рабочего органа – 3.

Рабочий орган машины совершает полезную работу. Для этого ему нужно сообщать энергию и заданные скорость движения и траекторию. Примеры : ковш экскаватора, крюк крана, колёса автомобиля, поршень компрессора, Передача предназначена для преобразования движения, согласования скорости двигателя и рабочего органа и передачи энергии от двигателя к рабочему органу. У автомобиля – это коробка передач и трансмиссия, у крана – редуктор и канатная передача.

Передача механической машины представляет собой чаще всего механизм вращательного движения, состоящий из отдельных двухваловых механизмов, которые тоже называются передачами: ременная передача, цепная передача, зубчатая передача, червячная передача, канатная передача и т.д. Эти передачи вращательного движения состоят из двух звеньев: ведущего звена, получающего вращательное движение от двигателя, и ведомого звена, приводимого в движение от ведущего.

По характеру выполняемой работы различают машины:

1.Технологические – для выполнения производственных процессов и выпуска готовой продукции: станки, текстильные, полиграфические, сельскохозяйственные машины и т.д.

2.Транспортные – для перемещения грузов и перевозки пассажиров:

поезда, автомобили, транспортёры, конвейеры, насосы для перекачки жидкостей и т.д.

3.Грузоподъёмные – для подъёма грузов и тяжёлых предметов:

краны, тали, домкраты и др.

4.Энергетические – для преобразования механической энергии в другие виды энергии, и наоборот. Первые называют генераторами, а другие двигателями: электрогенераторы, компрессоры, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания и т.д.

5.Электронно-вычислительные машины (ЭВМ) – для преобразования и накопления информации.

4.2. Кинематические пары и кинематические цепи Механизм – это совокупность, которая состоит из неподвижных и подвижных деталей, которые называют звеньями.

Два звена, которые соединены между собой подвижно с помощью шарнира, поступательной направляющей или другим способом, образуют кинематическую пару.

Примеры. Ножницы образуют вращательную кинематическую пару. Шприц, состоящий из поршня и цилиндра, образует поступательную кинематическую пару, винт и гайка винтовую кинематическую пару.

Последовательное соединение звеньев, которые образуют между собой кинематические пары, называют кинематической цепью.

Рассмотрим кинематическую цепь кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.2).

Неподвижные звенья 1 соединены между собой в единый корпус, который называется стойкой, станиной.

Кинематические цепи, крайние звенья которых соединены вместе, называются замкнутыми.

Схема последовательного соединения звеньев кинематической цепи: стойка с шарниром 1 – кривошип 2 – шатун 3 – ползун 4 – направляющая со стойкой 1. Шарнир А и направляющая жёстко соединены со стойкой (станиной), на которой смонтирован весь механизм.

Неподвижную стойку принято обозначать цифрой 1.

Кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного из звеньев все остальные звенья получают вполне определённые движения, называется механизмом.

В механизме выделяют ведущее звено и ведомое звено. Ведущим называется звено, которому сообщают заданное движение. Ведомым называется звено, которое воспринимает преобразованное механизмом движение ведущего звена. На рис. 4.2 ведущее звено – 2, ведомое – 4.

На рис. 4.3 изображён механизм электрической тали. Ведущим звеном механизма является шестерня z1. Ведомым звеном является крюк 5, удерживающий груз 4.

Кинематические пары. Звенья z1 (шестерня) и z2 (зубчатое колесо) соединяются между собой посредством зубьев. Шестерня z1 соединяется со стойкой 1 посредством подшипника. Зубчатое колесо z2 и шестерня z посажены жёстко на вал II, который вращается в подшипниках 1. Звенья z (шестерня) и z4 (зубчатое колесо) соединяются между собой посредством зубьев. Зубчатое колесо z 4 и барабан 2 жёстко посажены на вал III, который вращается в подшипниках 1. На барабан 2 намотан канат 3, на конце которого имеется крюк 5, с помощью которого подвешен груз 4.

Ведущая шестерня z1 приводится во вращение электромотором 7, мощность которого N1 и частота вращения n1. С помощью двух пар звеньев z1 – z2 и z 3 – z 4 частота вращения вала I – n1понижается до частоты n3, с которой вращается вал III. На барабан 2 диаметром D наматывается канат, поднимая груз 4, равный G, со скоростью v.

Как определить скорость подъёма груза v, зная геометрические параметры механизма и частоту вращения ведущего звена z1?

Ниже будут рассмотрены понятия «передаточное отношение» и «передаточное число». Мы воспользуемся этими понятиями для определения частоты вращения ведомого вала. Между I и II валами существует зависимость Между II и III валами существует зависимость За 1 оборот барабана 2 канат 3 наматывается на длину окружности, равную D. Следовательно, за n3 оборотов канат будет наматываться за каждую минуту на длину Уравнение (4.1) называется уравнением кинематического баланса, которое связывает между собой движения ведущего и ведомого звеньев.

Уравнение кинематического баланса применяется для кинематического расчёта и анализа кинематических цепей механизмов.

Полезная или эффективная мощность N e определяется как произведение веса груза G на скорость его подъёма v:

Коэффициент полезного действия определится как отношение полезной мощности к затраченной двигателем, т.е. N:

Откуда определяется затраченная двигателем мощность N:

Кривошипно-шатунный механизм (см. рис.4.2) имеет в качестве ведущего звена кривошип 2, который обозначен на схеме как рычаг с двумя шарнирами на концах А и В. Чаще его выполняют в виде кривошипного диска 5, в центре которого (точка А) и в точке В выполнены шарниры, с помощью которых кривошипный диск (или кривошип 2) подсоединяется к стойке и к шатуну 3.

Кривошип 2 вращается с угловой скоростью. За время t кривошип поворачивается из положения B0 на угол, который определится через угловую скорость В начальный момент времени кривошип занимает положение AB0, а шатун 3 – положение B0C0. Поршень 4 находился в положении C0.

За время t поршень из положения C0 переместился в положение С на расстояние s. Это и есть путь поршня.

Поршень 4 является ведомым звеном, двигающимся со скоростью vc, которая является абсолютной, т.к. измеряется относительно неподвижной стойки 1.

Шатун 3 связан шарниром С с поршнем 4, следовательно, точка С шатуна движется с абсолютной скоростью vc, т.к. она отсчитывается от неподвижной стойки.

С другой стороны шатун связан шарниром В с кривошипом 2.

Скорость vB точки В кривошипа и шатуна тоже абсолютна, т.к. измеряется относительно неподвижной точки А.

Выберем систему координат XAY. Скорость vc совпадает с осью AX. Разложим скорость vB на две составляющие vx и vy. Если теперь рассматривать движение точки В шатуна относительно точки С, то можно прийти к выводу, что точка В движется поступательно вместе с точкой С со скоростью vx = vy, а также вращается вокруг точки С со скоростью vy.

Между скоростями и vc можно установить зависимость:

или Если к поршню приложена сила сопротивления F, то можно определить полезную мощность Если известен коэффициент полезного действия, то затраченную двигателем мощность определяют по формуле Наклонная плоскость – простейший и древнейший механизм, применяемый для поднятия тяжёлых предметов на высоту при ручной загрузке и выгрузке вагонов, грузовых автомобилей, в винтовых парах, клиновых механизмах и т.д.

Сила N прижимает груз 1 к наклонной плоскости (вспомните ледяную горку), а сила S стремится двигать груз 1 вниз по наклонной плоскости. Наклонная плоскость в ответ на силу N создаёт реакцию плоскости R, которая уравновешивает силу N. Чтобы груз не поехал вниз, нужно приложить силу F, которая уравновесит силу S.

Выберем систему координат XOY.Ось X направим вдоль наклонной плоскости, а ось Y перпендикулярно к ней. Сила S является проекцией силы G на ось X.

Сила F уравновешивает силу S, следовательно, Чтобы поднять груз вертикально от уровня точки А до уровня точки В, т.е. на высоту h, нужно совершить работу Если поднимать груз по наклонной плоскости от точки А до точки В, то, пренебрегая трением, работа будет равна Нетрудно увидеть, что работа в формуле (4.11) равна работе в формуле (4.12), т.к. в обоих случаях груз был поднят на одну и ту же высоту h. Только в первом случае путь был меньше и равнялся h, а сила была больше и равнялась G. Во втором случае путь был длиннее и равнялся e, а сила была меньше и равнялась F.

Во сколько же раз сила F меньше силы веса G ? Приравняем правые части уравнений (4.11) и (4.12):

Это уравнение выражает закон равенства работ для наклонной плоскости, откуда Во сколько раз путь по наклонной плоскости e больше высоты подъёма h, во столько раз сила F меньше силы веса G.

Когда мы не в состоянии вертикально поднять груз, применяется наклонная плоскость, которая позволяет поднять тяжёлый груз малой силой. При этом мы совершаем больший путь.

В работе механизмов выигрыш в силе всегда равен проигрышу в пути.

Это золотое правило механики. На основе этого правила действуют многие машины.

Из уравнения (4.13) находим что соответствует равенству (4.10), следовательно, наши рассуждения правильные.

Мужчина-рабочий в течение дня может нагружаться силой не более 20 кгс 200 Н. Под каким углом нужно поставить наклонную плоскость и какой длины выбрать направляющие, если вес груза G = 1000 Н = 1кН, а высота подъема h = 1,5 м?

угол = arcsin 0,2 = 11,5.

следовательно, длина наклонной плоскости должна быть равной 7,5 м.

Если нужно приподнять тяжёлый предмет весом G малой силой F, то применяют рычаг. Распространённым рычагом, с помощью которого приподнимают тяжёлые предметы, является лом.

Рычагом называется длинное твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Различают рычаги одноплечные и двуплечные.

У одноплечного рычага ось вращения расположена на одном из концов, а силы, действующие на рычаг, антипараллельны, т.е. параллельны и направлены в разные стороны (рис. 4.5).

У двуплечного рычага ось расположена между точками приложения сил и силы параллельны (рис. 4.6).

На рисунках обозначены:G – нагрузка; F – сила, уравновешивающая нагрузку; 1 - плечо нагрузки G; 2 - плечо силы F.

Чтобы рычаг находился в покое, т.е. был уравновешен, сумма моментов относительно оси вращения А должна быть равна нулю:

откуда или Сила F, приложенная к рычагу, во столько раз меньше нагрузки G, во сколько раз плечо силы 2 больше плеча нагрузки 1.

Для получения большого выигрыша в силе применяют систему рычагов (рис. 4.7). Двуплечный рычаг нагружен силой F. Точка В двуплечного рычага соединена канатом с точкой С одноплечного рычага.

Через канат на одноплечный рычаг передаётся сила Т, которая поднимает нагрузку G.

Сила Т определится по формуле Нагрузка G находится по формуле Если в эту формулу подставить значение Т, то получим отношением плеч 2 1 = 3, получим для одного рычага выигрыш в силе в 3 раза и для системы двух рычагов - в 32 = раз! А если применить три рычага, то выигрыш получим в = 27 раз!!

рычагов дают значительный выигрыш в силе. Одну из таких взвешивания больших грузов:

В этом случае огромный вес G автомобиля или вагона уравновешивается маленьким весом гири F:

где n – показатель степени, указывающей число рычагов в системе.

Пусть вес автомобиля с грузом составляет 6 т, что в системе СИ составляет 60 кН. Какую гирю нужно положить, чтобы уравновесить вес автомобиля, если отношение длин рычагов 2 5, а число рычагов – 4?

Отношение плеч рычагов выбирают таким, чтобы 2 было кратно 10, 100 или 1000. Например, если выбрать 2 5,62, то 2 1000. Тогда при взвешивании автомобиля весом 6 т на весы нужно будет положить гирю массой 6 кг.

К разновидностям рычагов относятся ворот, блоки и полиспасты.

Ворот – это цилиндрический барабан 1, установленный на подшипниках 2 и снабженный рычагом 3 для вращения барабана.

Примером может служить колодезный ворот. При вращении рычага канат 4 наматывается на ворот 1 (барабан) и груз 5 поднимается. Плечо рычага R делает больше радиуса ворота r, чтобы получить выигрыш в силе.

Из равенства моментов, приложенных к вороту и рычагу находим Сила F1, приложенная к рычагу ворота, во столько раз меньше поднимаемого груза G, во сколько раз плечо рычага R больше радиуса ворота r.

Блок 1 представляет собой колесо (рис. 4.9), на ободе которого имеется желобок, в котором помещается канат 2, огибающий блок.

К одному концу каната крепят груз G, а к другому прикладывают силу F. Так как ось закреплена, блок называют неподвижным. Он может только вращаться вокруг своей оси.

Условие равновесия блока Выигрыша в силе у неподвижного блока нет. Канат растягивается одной и той же силой. Это правило присуще для всех схем с блоками и канатами.

Рассмотрим схему подвижного блока с неподвижным (рис. 4.10, а).

Подвижный блок отличается от неподвижного тем, что ось его не закреплена и он может перемещаться вместе с осью. Подвижный блок 1 висит на двух ветвях каната 2, который огибает его снизу. Далее канат 2 огибает неподвижный блок 3, установленный на неподвижной оси 4. Один конец каната прикреплен к опоре 5, а за другой конец тянут его силой F. Груз 6 крепится к крюку 7, который прикреплен к оси подвижного блока 1. Из рисунка видно, что груз 6 вместе с блоком 1 висит на двух ветвях каната. Составим расчетную схему (рис. 4.10, б). Для этого освободим блоки (тела) от связей, т.е. канатов, и заменим связи реакциями.

Так как сила натяжения всего каната едина и равна силе F, то реакции связей будут равны силе F.

Рассмотрим равновесие блока 1 (рис. 4.10, б). Все силы действуют вертикально, поэтому на горизонтальную ось они проектируются в нуль.

Груз G обычно задан, поэтому количество неизвестных равно одному, т.е.

силе F. Достаточно составить уравнение равновесия Выигрыш в силе получается в два раза.

Полиспаст состоит из группы неподвижных блоков 1 и группы подвижных блоков 2. Канат 3 закрепляют одним своим концом к неподвижной группе блоков в точке А. Затем он пропускается через первый блок подвижной группы, через первый блок неподвижной группы и т.д. Второй конец каната, переброшенный через последний блок неподвижной группы, опускается вниз и к нему в точке В прикладывается сила F.

Груз подвешен к группе подвижных блоков 2, которая висит на т.е. шести канатах: три блока по два каната получается шесть. Уравнение равновесия будет иметь вид Если число подвижных блоков в полиспасте обозначить буквой n, число канатов будет равно 2n, тогда уравнение примет вид Рис.4. Клин применяют для выигрыша в силе при необходимости приподнять тяжелый груз в твердой оболочке.

На рис. 4.12 изображен тяжелый ящик 1, который приподнимается клином 2 от поверхности 3.

Примем все поверхности твердыми и гладкими.

Применим принцип освобождения от связей.

Отбросим от клина ящик 1 и реакциями N и R соответственно.

Клин находится в равновесии под действием трех сил N, R и F.

Составим уравнение равновесия клина откуда Клин вбивается силой F, приподнимая груз G. Их отношение Чем меньше угол, тем меньше сила F, тем больше выигрыш в силе. Обычно угол клина выбирают до 15 …20. Большой угол применять нельзя, так как груз будет сползать. Чтобы этого не произошло, угол выбирают меньше, чем угол трения, т.е. tg f tg, где f – коэффициент трения; – угол трения. При таком условии клин становится самотормозящим. Самотормозящие клинья используются для различных стопорящих устройств.

Винт (рис.4.13) можно представить как наклонную плоскость, навитую на цилиндрическую поверхность.

Если вращать винт вокруг своей оси, то винтовая линия будет играть ту же роль, что наклонная плоскость. Обозначим: r – средний радиус резьбы; t – шаг резьбы, который показывает, насколько переместится виток резьбы за 1 оборот винта; – угол подъема резьбы (угол наклонной плоскости); Р – сила, действующая в направлении оси винта; F – сила, действующая на виток на расстоянии r от оси винта и необходимая для поворота винта; R – плечо рукоятки.

Для наклонной плоскости (см. уравнение (4.13)) можно записать на основании равенства работ Пример. Требуется поднять груз Р = 3 кН с помощью винтового домкрата, у которого шаг резьбы t = 6 мм; длина рукоятки R = 250 мм.

Применив формулу (4.27), получим Выигрыш в силе равен Наибольшее распространение получили механические передачи вращательного движения. Механизмы с возвратно-поступательным движением имеют два существенных недостатка: потери времени на холостые ходы и большие динамические нагрузки при перемене направления движения. Вращательные механизмы движутся плавно, без рывков в одну сторону и с постоянной скоростью. Одноступенчатая передача вращательного движения состоит из двухвалового механизма.

Между двумя валами О1 и О2 (рис. 5.1) может быть только одна вращательная кинематическая пара, называть передачей.

действия передачи можно разделить на две группы:

осуществляемые силой трения и работающие на принципе зацепления двух звеньев. К первой группе относятся ременная, канатная и фрикционная передачи. Ко второй группе – зубчатая, цепная, червячная и другие передачи.

Валы в передаче могут располагаться параллельно и непараллельно.

Передачи, понижающие угловую скорость или частоту вращения, называются редукторами. Передачи, повышающие частоту вращения, называются мультипликаторами. Для ступенчатого регулирования скорости применяют передачи, называемые коробками скоростей или передач.

грузоподъёмных машинах, конвейерах и транспортерах, станках, сельхозмашинах и т.д.

Мультипликаторы применяют в турбокомпрессорах, насосах высокого давления (центробежных) и др.

В автомобилях, станках, дорожных машинах применяют коробки передач (скоростей).

В передаче различают ведущий О1 и ведомый О2 валы. Передача, состоящая только из ведущего и ведомого валов, называется одноступенчатой. Если валов больше двух, то передача – многоступенчатая.

5.2. Кинематические и силовые соотношения в передачах В каждой двухваловой передаче различают: ведущий вал I;

ведомый или выходной вал II; зубчатые колеса z1 и z2 или фрикционные колеса d1 и d2.

Такая передача называется одноступенчатой. Основные параметры передачи: мощности на ведущем валу N1 и на ведомом валу N2; угловые скорости 1 и 2 или частоты вращения n1 и n2 на ведущем и ведомом валах соответственно. Этих параметров достаточно для расчета любой передачи.

Зубчатое колесо с меньшим числом зубьев z1 называется шестерней, а с большим числом зубьев z2 – зубчатым коленом или просто колесом.

Рассмотрим производные параметры передачи. Между угловыми скоростями на ведущем и ведомом валах существует взаимосвязь.

Величина, которая показывает во сколько раз передача изменяет скорость вращения, называется передаточным отношением Эта величина определяется отношением угловых скоростей ведущего 1 и ведомого 2 звеньев по ходу движения или отношением зубьев или диаметров против хода движения.

Частным случаем передаточного отношения является передаточное число, величина которого обратная передаточному отношению:

Передаточное число применяется в уравнениях кинематического баланса (см.4.1), т.к. числа зубьев z1; z2; z3; z4 и т.д. или диаметры d1; d2; d3;

d4 и т.д. идут в этих уравнениях (УКБ) по ходу движения.

Зубчатая передача (рис.5.1, а) изменяет направление вращения ведомого вала. Ременная передача (рис.5.1, б) не изменяет направления вращения.

Коэффициентом полезного действия двухваловой передачи согласно определению есть отношение полезной мощности к затраченной.

Полезная мощность измеряется на выходе механизма, следовательно, это мощность N2. Затраченная мощность измеряется на входе механизма, следовательно, это мощность N1. Тогда КПД Окружная скорость зубчатых колес, т.е. скорость точки, лежащей на окружности колеса, (рис.5.2) определится по заданной угловой скорости (частоте вращения) и диаметру ведущего звена по формуле Окружная скорость ведомого звена определится аналогично:

Точка касания А (см. рис. 5.2) принадлежит одновременно и колесу z1, и колесу z2, следовательно, Если в это равенство подставить значение v1 и v2, то получим откуда т.к. n прямо пропорциональна, а z прямо пропорционально d, где – угловая скорость; n – частота вращения; z – число зубьев колеса; d – начальный диаметр колеса.

Ведущее колесо z1 воздействует на ведомое колесо z2 в точке А (см.