Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кубанский государственный аграрный университет»

Кафедра статистики и прикладной математики

Эконометрика

Методические указания и задания по выполнению

контрольной работы студентами факультета заочного обучения

экономических специальностей Краснодар – 2011 УДК 330. 115 (075.5) Методические указания и задания разработаны профессором Бондаренко П. С., профессором Кацко И. А., ст. преподавателем Кацко C. А., ст.

преподавателем Стеганцовой Е. Д.

Эконометрика: Методические указания и задания по выполнению контрольной работы студентами заочного факультета экономических специальностей.

Методические указания и задания рассмотрены и рекомендованы в печать кафедрой статистики и прикладной математики Кубанского государственного аграрного университета (протокол № 11 от 20 июня 2011 г), утверждены методической комиссией учетно-финансового факультета (протокол №1 от 15.09. 2011 г).

Рецензент: Ниворожкина Л.И. – заслуженный деятель науки РФ, доктор экономических наук, профессор, зав. кафедрой математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов Ростовского государственного экономического университета – РГЭУ (РИНХ) Содержание с Введение ………………………………………………………………….… 1 Методические указания к выполнению контрольной работы………..... 1.1 Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ …………. 1.2 Множественный корреляционно-регрессионный анализ………….………………………………………………………….. 1.3 Временные ряды……….…………………………………….………. 2 Задания по контрольной работе…………………………………………. Приложения……………………………………………………….……….

ВВЕДЕНИЕ

Успешная практическая деятельность специалиста экономического профиля все в большей мере зависит от рациональной организации сбора и обработки информации, от умения строить и анализировать эконометрические модели взаимосвязей экономических явлений и процессов. Совершенствование технологий получения, хранения и обработки данных – создание баз, хранилищ (банков) данных и знаний во всех сферах деятельности человека предъявляет новые требования к уровню подготовки специалистов.

Большой объем информации, которой сопровождается деятельность практически любого предприятия и учреждения, обычно содержит полезные сведения, благодаря которым можно значительно повысить эффективность работы, совершенствуя технологию, организацию, управление и т.д.

Методика получения, обработки и последующего анализа данных включает в себя описательную и аналитическую статистику, визуализацию данных и др.

Эконометрика это наука, изучающая конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических явлений, объектов и процессов с помощью статистических и математических методов и моделей. Она базируется на экономической теории, экономической статистике, статистикоматематическом инструментарии. Эконометрика придает количественное выражение качественным закономерностям экономических явлений и процессов.

Задачи курса:

а) освоение методов и приемов эконометрического анализа статистических данных;

а) изучение аппарата и техники разработки математических моделей связей и зависимостей между экономическими явлениями и процессами;

б) формирование навыков количественной оценки состояния, развития и прогнозирования социально-экономических явлений;

в) подготовка специалистов, обладающих навыками исследовательской деятельности.

Выделяется семь этапов построения эконометрической модели.

1. Постановка проблемы, исходя из целей и задач конкретного исследования.

Выбор включаемых в модель переменных, взаимосвязи между которыми подлежат изучению.

2. Предварительный теоретический анализ сущности изучаемых явлений, по результатам которого формируется априорная информация.

3. Информационный этап включает выбор объекта исследования, сбор необходимой статистической информации и предварительный анализ ее качества.

Определяются значения переменных по объектам и моментам времени.

4. Спецификация модели заключается в обосновании общего типа или вида модели, связывающей зависимые и независимые переменные (входные и выходные, экзогенные и эндогенные).

5. Идентификация модели включает ее статистический анализ и оценку параметров модели по имеющимся статистическим данным.

6. На этапе верификации модели осуществляется анализ ее точности и адекватности моделируемому явлению, строятся точечные и интервальные оценки (прогнозы).

7. Проводится интерпретация полученных результатов и дается оценка возможности использования формализованных выводов в практических целях.

Основные разделы эконометрики - это регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, статистические методы классификации и снижения размерности. Сферы применения: макроуровень (модели национальной экономики); мезоуровень (модели региональной экономики, отраслей, секторов); микроуровень (модели поведения потребителей, домашних хозяйств, фирм, предприятий). Эконометрику можно рассматривать как приложение методов математической статистики к изучению социально-экономических явлений, систем и процессов. Современные коммерческие организации интенсивно внедряют информационные базы, банки (хранилища) данных и знаний, многие из которых содержат средства интеллектуального анализа данных или предполагают возможность их применения. Изучение эконометрики является первым шагом к освоению современных компьютерных технологий интеллектуального анализа данных.

Настоящие методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. Студент, на основании изучения рекомендуемой литературы, выполняет одну контрольную работу, которая представляется на кафедру до начала лабораторноэкзаменационной сессии в соответствии с указанным в таблице 1 вариантом.

Контрольная работа, выполненная по другому варианту, не рецензируется.

Для самостоятельного изучения эконометрики рекомендуется следующая литература:

1 Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. Пособие / С.А. Бородич. - Мн.: Новое знание, 2001. 408с.

2 Доугерти К. Введение в эконометрику. Учебник. 2-е изд. / Пер. с англ. М.:

ИНФРА-М, 2007. 432 с.

3 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – М.: Дело, 2004. 576 с.

4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие. / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. 192 с.

5. Эконометрика: Учебник. / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. 576с.

6. Эконометрика: учебник / Под ред. проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2009. 384с.

Контрольная работа содержит три задания по основным темам. Задания выполняются в отдельной тетради. По каждому заданию записывается условие, даются подробные расчеты с необходимыми пояснениями, пишутся выводы по полученным результатам. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы, ставится дата и подпись студента.

Для облегчения выполнения контрольной работы по каждому заданию изложены необходимые краткие методические указания, приводится решение типовых заданий и формулируются краткие выводы.

Все расчеты рекомендуется выполнять на компьютере с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

Студентом контрольная работа выполняется по одному варианту заданий в соответствии с первой и второй буквой фамилии. Варианты и номера задач указаны в таблице 1.

Таблица 1 – Варианты и номера задач для контрольной работы Первая буква фамилии студента 1 Методические указания к выполнению контрольной работы 1.1 Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ При однофакторном анализе изучается влияние одного, как правило определяющего, фактора Х на изменение результативного признака Y.

Уравнение связи между двумя переменными имеет вид y f x, где у – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая переменная (факторный признак).

Уравнения регрессии подразделяются на линейные и нелинейные.

Модель линейной регрессии: y a bx, где случайный член, характеризующий отклонение фактических значений результативного признака от значений, найденных по уровню регрессии; a и b – параметры уравнения.

Наиболее часто применяемые нелинейные модели:

по объясняющим переменным по оцениваемым параметрам y a xb степенная;

y a ebx экспоненциальная;

y a b x показательная;

Задачами корреляционно-регрессионного анализа являются: установление типа уравнения регрессии; оценка параметров уравнения регрессии и их значимости; ; оценка тесноты связи между переменными; определение прогнозных значений зависимой переменной.

Выбор конкретной математической модели осуществляется графическим, аналитическим или экспериментальным методами.

Определение параметров уравнений регрессии обычно проводится методом наименьших квадратов, исходя из условия:

где yi – фактическое значение результативного признака по i – тому наблюдению; yi - теоретическое значение результативного признака, найденное по уравнению регрессии для i – того значения факторного признака.

В случае применения модели парной линейной регрессии, то нахождение её параметров методом наименьших квадратов сводится к составлению и решению следующей системы нормальных уравнений Гаусса:

Большинство нелинейных моделей с помощью соответствующих преобразований обычно удается свести к линейным моделям (линеаризовать).

Оценка тесноты связи при линейной регрессии проводится с использованием коэффициента корреляции, а при нелинейной регрессии – индекса корреляции. Значимость параметров уравнения регрессии и показателей тесноты связи осуществляется с помощью статистических критериев: t-Стьюдента, FФишера, 2- Пирсона и других.

Пример 1. Имеются выборочные данные по 15 хозяйствам центральной зоны Краснодарского края за 2010 г.(таблица 2).

Требуется:

1. Построить график зависимости между переменными, по которому необходимо подобрать модель уравнения регрессии, используя следующие наиболее часто применяемые функции: a) линейную, в) степенную, в) экспоненциальную, г) показательную, д) равносторонней гиперболы, е) полиномиальную.

2. Рассчитать параметры выбранного уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

3. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.

4. Найти коэффициент эластичности.

5. Оценить тесноту связи между переменными с помощью показателей корреляции и детерминации.

6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости 0,05.

7. Охарактеризовать статистическую надежность результатов регрессионного анализа с использованием критерия F – Фишера при уровне значимости 0,05.

8. Определить прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака составит 1,1 от его среднего уровня по совокупности.

Таблица 2 – Фондообеспеченность и выручка от реализации продукции на га сельскохозяйственных угодий по сельскохозяйственным организациям № Стоимость основных фондов на 1 га Выручка от реализации на 1 га п.п сельхозугодий, тыс. руб. (X) сельхозугодий, тыс. руб. (Y) 1. График зависимости переменных Х и Y строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат результативного признака У.

Рисунок 1 - Зависимость выручки от реализации продукции (тыс. руб.) от фондообеспеченности на 1 га сельхозугодий (тыс. руб.) Характер расположения точек на графике показывает, что связь между переменными может выражаться линейным уравнением регрессии 2. Параметры уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов, путем составления и решения следующей системы нормальных уравнений:

Для проведения всех расчетов строится вспомогательная таблица 3, расчеты в которой могут быть проведены как без применения средств вычислительной техники, так и с ее применением. В таблице 3 все средние значения находятся по формуле средней арифметической простой: х х : п. Результаты вычислений в таблице 3 округлены.

Таблица 3 – Результаты вычислений в Excel Подставим полученные суммы в систему уравнений, учитывая, что n=15.

Решив систему, например по формулам Крамера, получим Параметры уравнения регрессии также можно найти по формулам, вытекающим из системы нормальных уравнений:

Небольшие расхождения в результатах расчетов могут происходить за счет округления средних значений во втором случае.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид Замечание. Расчет данных в вспомогательной таблице можно осуществить в табличном процессоре Excel. Если исходные данные (x и y) приведены в виде, представленном в таблице 2, то:

1) введем для расчета остальных значений таблицы 3 следующие формулы в соответствующие ячейки (ввод – Enter) : D2: =B2^2; E2: =C2^2;

2) выделим диапазон ячеек B2:F2 и протащим с помощью маркера заполнения 1 до строки 16;

3) для вычисления сумм введем формулу в ячейку B17:=СУММ(B2:B16), и протащим с помощью маркера заполнения для диапазона B17:F17;

4) для расчета средних введем формулу в ячейке B18: =B17/15 и скопируем с помощью маркера заполнения для диапазона B18:F18;

5) после расчета параметров уравнения парной регрессии: G2: = =0,804*B2+7,651;

6) H2: =C2-G2;

7) I2:=H2^2;

8) J2: =ABS(H2/C2)*100;

9) Выделяется диапазон G2:J2 и с помощью маркера заполнения копируется до 16 строки;

10) для столбцов I и J находятся суммы и средние значения (см. выше).

Коэффициент регрессии (b) показывает, что при увеличении фондообеспеченности на 1 тыс. руб. стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий в сельскохозяйственных организациях в среднем увеличивается на 804руб. Если в уравнение регрессии подставить фактические значения переменной x, то определяются возможные (теоретические) значения переменной у, которые наносятся на график в виде прямой.

Маркер заполнения - небольшой черный квадрат в углу выделенного диапазона. Попав на маркер заполнения, указатель принимает вид черного креста. Чтобы скопировать содержимое выделенного диапазона в соседние ячейки или заполнить их подобными данными (например, днями недели), нажмите левую кнопку мыши и перемещайте мышь в нужном направлении. Чтобы вывести на экран контекстное меню с параметрами заполнения, перетаскивайте маркер заполнения, нажав и удерживая правую кнопку мыши. (Данные справочной системы Excel.) 3 Качество уравнения регрессии оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации Значит, фактические значения стоимости реализованной продукции на 1 га сельхозугодий от расчетных значений, найденных по уравнению регрессии в среднем различаются на 17,6% Качество уравнения регрессии считается хорошим, если ошибка аппроксимации не превышает 8-10 %. Полученное уравнение регрессии можно оценить как недостаточно хорошее, это обусловлено в значительной мере небольшим объёмом выборки.

4 Средний коэффициент эластичности при линейной форме связи находится по формуле: Э b x, где х и у - средние значения признаков.

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении фондообеспеченности сельскохозяйственных организаций на 1 % стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий в среднем возрастает на 0,78 %.

5 При линейной зависимости теснота связи между переменными Х и У определяется с помощью коэффициента корреляции:

где х и у – средние квадратические отклонения по Х и У.

Так как значение коэффициента корреляции довольно близко к единице, то между признаками связь тесная и прямая.

% различий в стоимости реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий между организациями объясняется вариацией фондообеспеченности, а 37,9 % другими, неучтенными факторами.

6 Так как исходные данные обычно являются выборочными, то необходимо оценить существенность или значимость величины коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу: коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю и изучаемый фактор не оказывает существенного влияния на результативный признак: Н о : rг 0, при H1 : rг 0.

Для проверки нулевой гипотезы применим критерий t – Стьюдента.

Найдем наблюдаемое значение t – критерия:

Критическое значение t находится по таблицам распределения t – Стьюдента при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы к = n2 = 152 = для двухсторонней критической области, tкр 2,16. Сравниваем tн с tкр. Так как tн > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Значит, фондообеспеченность оказывает статистически существенное влияние на стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий.

Статистическая значимость коэффициента регрессии также проводится с использованием критерия t – Стьюдента.

Находится наблюдаемое значение критерия Критическое значение t также равно 2,16. Так как tн > tкр, то коэффициент регрессии статистически значим. Подтверждается вывод о значимости влияния фондообеспеченности на стоимость реализованной продукции.

7. Статистическая надежность уравнения регрессии проверяется с использованием критерия F-Фишера – рассматривается нулевая гипотеза Н о : rг2 0, при альтернативной H1 : r 2 0 (или нулевая гипотеза Н о : b 0, при H1 : b 0 ). Наблюдаемое (фактическое) значение F – критерия находится по где m – число параметров при переменных Х, n – число наблюдений.

Если применяется линейное уравнение регрессии, то расчет Fн упрощается.

При уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы к1 m 1, к2 n m 1 15 1 1 15 2 13 по таблице находится критическое значение F – критерия. Fкр F 0,05 (k1 1, k2 13) 4,67. Так как Fн > Fкр, то уравнение регрессии статистически значимое или надежное.

При парной линейной зависимости оценка значимости всего уравнения, коэффициентов корреляции и регрессии дает одинаковые результаты, так как tb2 tr2 F (наблюдаемые отличия объясняются ошибками округлений).

8. Прогнозное значение результативного признака определяется путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного или возможного значения факторного признака (хр).

По условию Тогда прогнозное значение стоимости реализованной продукции составит Значит, при фондообеспеченности в 37,8 тыс. руб. возможная стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий составит 38, тыс. руб.

1.2 Множественный корреляционно - регрессионный анализ В экономических исследованиях результативный признак Y формируется, как правило, под влиянием не одного, а нескольких факторных признаков Х1,Х2,…,Хр. Уравнение множественной регрессии в таком случае имеет вид При построении уравнения множественной регрессии обычно используются следующие функции:

Довольно часто применяются и другие виды функций, например Если уравнение регрессии нелинейное, то оно вначале приводится к линейному. Параметры линейного уравнения множественной регрессии находятся методом наименьших квадратов, для чего строится и решается следующая система нормальных уравнений:

Множественный коэффициент регрессии ( ) показывает, на сколько единиц изменяется в среднем результативный признак У, если j – тый факторный признак увеличить на единицу, при условии, что все другие факторы в линейной модели закреплены на постоянном, обычно среднем, уровне.

Уравнение множественной регрессии может быть построено в стандартизованном масштабе, когда единицей измерения признаков принимается их среднее квадратическое отклонение:

где j - стандартизованные коэффициенты регрессии, – средние квадратические отклонения по переменным Х и У.

Для оценки тесноты связи между признаками применяются парные, частные и множественные коэффициенты (индексы) корреляции и детерминации. Если изучение зависимости проводится по выборочным данным, то оценивается значимость коэффициентов регрессии, корреляции и всего уравнения множественной регрессии в целом.

Пример 2. Исследовать влияние среднегодовой стоимости основных фондов на 1 га сельскохозяйственных угодий и численности работников на 100 га сельскохозяйственных угодий на стоимость реализованной продукции 1 га сельскохозяйственных угодий по сельскохозяйственным организациям Краснодарского края за 2010 год. Исходные данные для выполнения задания представлены в приложениях 1 и 3.

Результативным признаком (У) является стоимость реализованной продукции на 1 га сельхозугодий, тыс. руб.

Факторные признаки: х1 – среднегодовая стоимость основных фондов на 1 га сельскохозяйственных угодий, характеризующая оснащенность сельскохозяйственных организаций основными фондами; х2 – среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий, чел., выражающая обеспеченность сельскохозяйственных организаций рабочей силой.

Требуется определить:

1)параметры множественного уравнения регрессии в натуральной и стандартизованной форме;

2) средние коэффициенты эластичности для каждого фактора;

3) коэффициенты частной и множественной корреляции;

4) общий и частные критерии F – Фишера.

Уравнение регрессии принимает вид: y = b0 + b1x1 + b2x2 +.

Рассмотрим применение пакета анализа данных в Excel MS Office 2007 для решения задачи. Исходные данные введем на листе MS Excel в виде, представленном таблице 4.

Таблица 4 – Исходные данные для регрессионного анализа в MS Excel Для проведения анализа предварительно установим пакет анализа, выполнив последовательно действия: кнопка Office – Параметры Excel – Надстройки – Пакет анализа – Перейти (выделим в окне доступных надстроек Пакет анализа), после этого во вкладке Данные ленты появится инструмент Пакет анализа.

Выберем в Пакете анализа инструмент Описательная статистика и заполним параметры диалогового окна (рисунок 2). В результате будут рассчитаны обобщающие характеристики по каждому признаку (таблица 5).

Рисунок 2 – Диалоговое окно описательной статистики Таблица 5 – Обобщающие характеристики исследуемых признаков по совокупности сельскохозяйственных организаций Стандартная Данные таблицы 2 показывают, что по совокупности предприятий средняя стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий составила 35,3 тыс. руб. и в среднем она варирует в границах 35,3 ± 10,8, т.е. от 24,5 до 46,1 тыс. руб. Коэффициент вариации составил 30,6 %, что свидетельствует об очень больших различиях в выручке от реализации продукции на 1га сельскохозяйственных угодий между предприятиями. По значению медианы видно, что половина предприятий имеет размер выручки до 36,5 тыс. руб./га, а половина более. Распределение предприятий по данному признаку является симметричными (Кс=-0,002) и плосковершинным (Э = 0,715). Наименьшее значение выручки на 1 га сельскохозяйственных угодий составило 18,1, а наибольшее – 55,4 тыс. руб.

Аналогичные выводы можно сделать и по факторным признакам x1 и x2..

Для нахождения парных коэффициентов корреляции применим инструмент пакета анализа Корреляция, для этого заполним параметры диалогового окна как на рисунке 3.

В результате будет получена матрица парных коэффициентов корреляции между всеми изучаемыми переменными (таблица 6).

Таблица 6 – Парные коэффициенты корреляции между признаками Парные коэффициенты корреляции показывают, что связь между выручкой от реализации, фондооснащенностью и трудообеспеченностью довольно тесная, а между факторными признаками Х1 и X2 – средняя.

Линейное уравнение множественной регрессии в натуральной форме имеет вид:

Найдем параметры этого уравнения, используя инструмент Пакета анализа – Регрессия. Заполним параметры диалогового окна (рисунок 4).

Рисунок 5 – Вывод итогов регрессионного анализа Получим линейное уравнение множественной регрессии Коэффициенты множественной регрессии показывают, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов на 1 га сельскохозяйственных угодий на 1 тыс. руб. выручка от реализации продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий в среднем увеличивается на 520 руб. (при исключении влияния второго фактора Х2), а при росте численности работников на 100 га сельскохозяйственных угодий на одного работника она в среднем возрастает на 2824 руб/га.

В стандартизованной форме уравнение регрессии имеет вид Найдем – коэффициенты, используя их связь с коэффициентами bi уравнения регрессии в нормальной форме:

– коэффициенты, можно также найти с помощью парных коэффициентов корреляции по формулам:

Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

По абсолютной величине – коэффициентов можно сделать вывод об относительной силе влияния факторов на изменение результативного признака. Так как эти коэффициенты оказались примерно равными, то на выручку от реализации продукции одинаковое влияние оказывает как обеспеченность основными фондами, так и обеспеченность рабочей силой.

2. Средние коэффициенты эластичности находятся по формуле:

Значит, при увеличении обеспеченность основными фондами на 1% выручка от реализации продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий увеличивается в среднем на 0,507 %, исключив влияние второго фактора. Если увеличить численность работников на 100 га сельхозугодий на 1 %, то выручка от реализации в среднем возрастет на 0,454 %, исключив влияние фондооснащенности.

3. Коэффициенты частной корреляции определяются через парные коэффициенты корреляции по формулам:

Коэффициенты частной корреляции характеризуют тесноту связи между двумя переменными, исключив влияние третьей переменной. Значит, связь между фондооснащенностью и выручкой от реализации прямая и тесная, между трудообеспеченностью и выручкой от реализации также прямая и тесная. А связь между факторами х1 и х2 довольно слабая и обратная.

Коэффициент множественной корреляции находится по формуле:

Ryx1x2 1 ryx1 2 ryx2 0.511 0.7877 0.521 0. Величина коэффициента множественной корреляции показывает, что связь между выручкой и обеими факторами очень тесная, причем 81,3 % вариации выручки от реализации продукции объясняется влиянием фондо- и трудообеспеченности, из которой на долю фондообеспеченности приходится 40,2% вариации, а трудообеспеченности 41,2%.

4. Оценим значимость уравнения регрессии и множественного коэффициента детерминации R2 с помощью критерия F – Фишера. Фактически рассматривается нулевая гипотеза H0: R2 =0, (b1=b2=0) и альтернативная гипотеза H1: R20, (b10, b20).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле:

регрессии; n – число единиц наблюдения.

При уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы к1=m=2, к2=nm1=1521=12, по таблице значений критерия F – Фишера критическое значения составляет 3,80, т.е. Fкр=3,80. Сравниваем Fн с Fкр. Так как Fн > Fкр, то нулевую гипотезу о незначимости величины R2 отклоняем, т.е. уравнение множественной регрессии и R2 статистически значимы.

В уравнении множественной регрессии не все факторы могут оказывать статистически существенное влияние на изменение результативного признака. Оценка значимости факторов в уравнении регрессии может быть дана с помощью частного F – критерия или критерия t – Стьюдента.

При =0,05, k1=1, k2=12, Fкр=4,75. Так как Fнх1 Fкр, то в уравнение регрессии целесообразно включение фактора X1 после X2. Фактор Х1 оказывает статистически значимое влияние на У.

В этом случае также наблюдаемое значение критерия Фишера больше критического, это свидетельствует о статистической значимости влияния фактора Х2 и целесообразности включения его в уравнение множественной регрессии. В данной задаче на выручку от реализации продукции статистически значимое влияние оказывают оба фактора.

Экономические процессы и явления, их связи и зависимости могут рассматриваться как в пространстве, так и во времени, путем построения и анализа одного или нескольких временных рядов.

Временной ряд это совокупность числовых значений изучаемого показателя в последовательные моменты или периоды времени. Он состоит из значений или уровней временного ряда (Y) и периодов или моментов времени (t). Первый член временного ряда называют начальным (y1), а последний конечным (yn). Тогда временной ряд имеет вид:

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов или периодов времени, называются моделями временных рядов.

Уровни временного ряда формируются под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда – трендовая компонента факторы, формирующие циклические или сезонные колебания ряда – циклическая компонента (S);

случайные факторы - случайная компонента ().

Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных выше компонент, называется аддитивной моделью временного ряда (Y=T+S+). Если временной ряд представлен как произведение компонент, то она называется мультипликативной моделью временного ряда (Y=TS).

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда выявление и количественная оценка каждой из компонент с целью использования полученной информации для анализа и прогнозирования будущих значений ряда.

При наличии во временном ряду тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на один или несколько периодов или моментов времени, называемого коэффициентом автокорреляции.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, смещенных на одну единицу времени, определяется по формуле:

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка:

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции более высоких порядков.

Так как коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции, то по нему можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Чем ближе коэффициент автокорреляции первого порядка к единице, тем более выражена линейная тенденция. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Последовательность значений коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка, то ряд содержит циклические или сезонные колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один коэффициент не является значимым, можно сделать вывод о том, что либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо содержит сильную нелинейную тенденцию.

Число периодов или моментов времени, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Тенденция во времени может принимать разные формы, для ее формализации используют следующие функции:

экспонента : Параметры каждой из перечисленных выше функций определяются методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время (t), а в качестве зависимой переменной фактические уровни временного ряда (yt). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру линеаризации (таблица 7). При выборе конкретной функции предпочтение отдается той, которая имеет меньшую сумму квадратов отклонений фактических уровней временного ряда от теоретических, найденных по уравнениям тренда.

Таблица 7 Линеаризующие преобразования Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов. Для линейного тренда : a – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b –средний за единицу времени абсолютный прирост уровней ряда. Для экспоненциального тренда :

a – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; еb – средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда является значение скорректированного коэффициента детерминации: чем выше его значение, тем лучше форма тренда отражает тенденцию изменения уровней ряда.

Пример 3. Имеются данные о средней урожайности бахчевых культур в сельскохозяйственных организациях Краснодарского края.

Таблица 8 – Урожайность бахчевых культур в сельскохозяйственных организациях Краснодарского края Урожайность а) построить график динамики урожайности бахчевых культур;

б) рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка;

в) обосновать выбор типа уравнения тренда и рассчитать его параметры;

г) дать интерпретацию параметров тренда и сделать выводы по результатам решения.

а) Рассмотрим систему координат Y0t, где Yt – урожайность, ц с 1 га, t - порядковый номер года и нанесем в ней данные примера 7 на график.

Рисунок 6 Динамика урожайности бахчевых культур в сельскохозяйственных организациях Краснодарского края б) Определим коэффициент автокорреляции первого порядка, характеризующего степень тесноты связи между последовательными уровнями временного ряда урожайности, сдвинутыми на один год. Заполним вспомогательную таблицу 9.

Таблица 9 Вспомогательная таблица для расчета коэффициента в) Полученное значение коэффициента автокорреляции и графическое изображение временного ряда позволяют сделать вывод о том, что ряд урожайности бахчевых культур содержит тенденцию, близкую к линейной. Поэтому для моделирования его тенденции используем линейную функцию y=a+bt.

Для расчета параметров линейного тренда a и b используем метод наименьших квадратов, для чего составим и решим следующую систему:

Для решения системы заполним таблицу 10.

Таблица 10 - Вспомогательная таблица для расчета параметров тренда Среднее Воспользуемся формулами, вытекающими из системы:

а y bt 42,11 4,517 5 19,525 19,525 4,517t.

Таким образом, в среднем ежегодно за 2001–2009 гг. урожайность бахчевых культур в сельскохозяйственных предприятиях Краснодарского края увеличивалась на 4,5 ц с 1 га. Парный коэффициент корреляции между У и t составил 0.788, что свидетельствует о достаточно хорошем отражении тенденции роста урожайности линейным уравнением.

Задание 1. Имеются данные по 15 сельскохозяйственным предприятия Краснодарского края за 2009 г. По одному варианту требуется:

1.Построить график связи между двумя признаками, определив какой из них является факторным (Х), а какой результативным (У). По графику подобрать соответствующую модель уравнения регрессии.

2.Методом наименьших квадратов определить параметры уравнения регрессии.

3.Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Найти средний коэффициент эластичности.

5. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости 0,05.

7. Охарактеризовать статистическую надежность уравнения регрессии по критерию F – Фишера при уровне значимости 0,05.

8. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака на 15 % больше его среднего значения по совокупности.

1. Себестоимость молока и надой молока от одной коровы.

2.Прямые затраты труда на 1 ц молока и надой молока от одной коровы.

3.Себестоимость молока и прямые затраты труда на 1 ц молока.

4. Надой молока от одной коровы и поголовье коров на хозяйство.

5. Себестоимость молока и поголовье коров на хозяйство.

6. Прямые затраты труда на 1 ц молока и поголовье коров на хозяйство.

7. Затраты на корма на корову и годовой надой молока от одной коровы.

8. Прямые затраты труда на 1 ц молока и удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

9. Оплата труда на 1 человеко-час и надой молока от одной коровы.

10. Надой молока от одной коровы и затраты на корма на корову.

11. Надой молока от одной коровы и производственные затраты на корову.

12. Оплата труда на 1 человеко-час и прямые затраты труда на 1 ц молока.

13. Прямые затраты труда на 1 ц молока и поголовье коров на 100 гектаров сельскохозяйственных угодий.

14. Оплата труда на 1 человеко-час и поголовье коров на хозяйство.

15. Себестоимость молока и оплата труда на 1 человеко-час.

16. Реализованная продукция на 1 га сельхозугодий и численность работников на 100 га сельхозугодий.

17. Реализованная продукция на 1 га сельхозугодий и энергетические мощности на 1 га сельхозугодий.

18. Реализованная продукция на среднегодового работника и энергетические мощности на среднегодового работника.

19. Реализованная продукция на среднегодового работника и основные фонды на среднегодового работника.

20. Реализованная продукция на 1га сельхозугодий и площадь сельхозугодий на одно хозяйство.

21. Реализованная продукция на 1га сельхозугодий и оплата труда на среднегодового работника.

22. Реализованная продукция на среднегодового работника и оплата труда на среднегодового работника.

23. Реализованная продукция на среднегодового работника и площадь сельхозугодий на одно хозяйство.

24. Численность работников на 100 га сельхозугодий и энергетические мощности на среднегодового работника.

25. Численность работников на 100 га сельхозугодий работника и основные фонды на среднегодового работника.

Задание 2. Имеются данные по 15 сельскохозяйственным предприятиям Тимашевского и Брюховецкого районов Краснодарского края за 2009год.

По одному варианту задания требуется:

1.Определить параметры множественного уравнения регрессии в натуральной и стандартизованной форме.

2.Найти средние коэффициенты эластичности для каждого фактора.

3.Рассчитать коэффициенты частной и множественной корреляции.

4. Определить общий и частные критерии F – Фишера.

Написать выводы по результатам расчетов.

26. Надой молока от одной коровы, поголовье коров и удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

27. Себестоимость 1 ц молока, надой молока от одной коровы и прямые затраты труда на 1 ц молока.

28. Себестоимость 1 ц молока, прямые затраты труда на 1 ц молока и удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

29. Себестоимость 1 ц молока, надой молока от одной коровы и поголовье коров.

30. Себестоимость 1 ц молока, надой молока от одной коровы, удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

31.Себестоимость 1 ц молока, прямые затраты труда на 1 ц молока и поголовье коров.

32. Себестоимость 1 ц молока, поголовье коров и удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

33. Прямые затраты труда на 1 ц молока, надой молока от одной коровы, поголовье коров на одно хозяйство.

34. Себестоимость 1 ц молока, надой молока от одной коровы, поголовье коров на 100 га сельскохозяйственных угодий.

35.. Себестоимость 1 ц молока, прямые затраты труда на 1 ц молока и поголовье коров на 100 га сельскохозяйственных угодий.

36. Надой молока от одной коровы, затраты кормов на корову, поголовье коров на 100 га сельскохозяйственных угодий.

37. Надой молока от одной коровы, затраты кормов на корову, оплата труда на 1 человеко-час.

38. Прямые затраты труда на 1 ц молока, поголовье коров и удельный вес молока в реализованной продукции животноводства.

39. Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, численность работников на 100 га сельхозугодий, основные фонды на 1 га сельскохозяйственных угодий.

40. Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, численность работников на 100 га сельхозугодий и энергетические мощности на 1га сельхозугодий.

41. Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, площадь сельхозугодий на предприятие и энергетические мощности на 1 га сельхозугодий.

42. Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, численность работников на 100 га сельхозугодий и площадь сельхозугодий на предприятие.

43. Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, основные фонды на 1 га сельскохозяйственных угодий, площадь сельхозугодий на предприятие.

44.Реализованная продукция сельского хозяйства на 1 га сельхозугодий, материальные затраты на 1 га сельхозугодий и энергетические мощности на га сельхозугодий.

45. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, численность работников на 100 га сельхозугодий, площадь сельхозугодий на предприятие.

46. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, численность работников на 100 га сельхозугодий, оплата труда одного среднегодового работника.

47. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, численность работников на 100 га сельхозугодий, основные фонды на среднегодового работника.

48. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, численность работников на 100 га сельхозугодий, энергетические мощности на среднегодового работника.

49. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, площадь сельхозугодий на предприятие, энергетические мощности на среднегодового работника.

50. Реализованная продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, площадь сельхозугодий на предприятие, основные фонды на среднегодового работника.

Исходные данные для задач 26 –38 представлены в приложениях 1 и 3, а для задач 39 – 50 в приложениях 2 и 4.

Задание 3. По данным об урожайности сельскохозяйственных культур, указанным в приложении 5, в соответствии со своим вариантом: а) построить график временного ряда; б) рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка; в) обосновать выбор типа уравнения тренда и рассчитать его параметры; г) сделать выводы по задаче.

Приложение 1. Показатели производства молока в сельскохозяйственных предприятиях Краснодарского края, 2009г.

Обозначения:

Х1 – производственная себестоимость 1 ц молока, руб.;

Х2 – годовой надой молока от одной коровы, ц;

Х3 – затраты на корма на 1 ц молока, руб.;

Х4 – прямые затраты труда на производство 1 ц молока, чел.-ч.;

Х5 – среднегодовое поголовье коров на одно предприятие, гол.;

Х6 – удельный вес молока в выручке от реализации продукции животноводства, %;

Х7 – оплата труда на 1 человеко-час, руб.;

Х8 – поголовье коров на 100 гектаров сельскохозяйственных угодий, гол.;

Х9 – затраты на корма на среднегодовую корову, тыс. руб.;

Х10 –производственные затраты на корову, тыс. руб.

Приложение 2. Показатели производства продукции и факторов на 1 га сельхозугодий в сельскохозяйственных организациях Краснодарского края, 2009г.

п/п Обозначения:

Х1 – стоимость реализованной продукции сельского хозяйства на 1 гектар сельскохозяйственных угодий, тыс. руб.;

Х2 – стоимость реализованной продукции сельского хозяйства на среднегодового работника, тыс. руб.;

Х3 – среднегодовая стоимость основных фондов на 1 гектар сельскохозяйственных угодий, тыс. руб.;

Х4 – среднегодовая численность работников на 100 гектар сельскохозяйственных угодий, чел.;

Х5 – площадь сельскохозяйственных угодий на предприятие, га;

Х6 – энергетические мощности на 1 га сельскохозяйственных угодий, л. с.;

Х7 – годовая оплата труда одного среднегодового работника, тыс. руб.;

Х8 – энергетические мощности на одного среднегодового работника, л. с.;

Х9 – среднегодовая стоимость основных фондов хозяйства на среднегодового работника, тыс. руб.

Приложение 3. Парные коэффициенты корреляции между показателями производства молока в сельскохозяйственных предприятиях Приложение 4. Парные коэффициенты корреляции между стоимостью реализованной продукции на 1 га сельхозугодий и факторами Приложение 5. Урожайность сельскохозяйственных культур в сельскохозяйственных организациях Краснодарского края, ц/га.

вари анта Зернобобовые Сахарная свекла Подсолнечник Сено многолетних Сено однолетних Виноград