А.Л. ДМИТРИЕВ

С.В. ПЕРЕВЕРЗЕВА

ТЕОРИЯ

ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

МИКРОЭКОНОМИКА-II

Учебное пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2010

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

А.Л. ДМИТРИЕВ С.В. ПЕРЕВЕРЗЕВА

ТЕОРИЯ

ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

МИКРОЭКОНОМИКА-II

Учебное пособие

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

ББК 32.844. Д Дмитриев А.Л., Переверзева С.В.

Теория поведения потребителя. Микроэкономика-II: Учебное пособие / Под ред. д-ра экон. наук, проф. Л.А. Миэринь. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2010. – 44 c.

Учебное пособие ориентировано на изучающих магистерский курс микроэкономики.

Материал данного раздела настолько обширен, что не может быть полностью прочитан в рамках предлагаемого объема часов, поэтому, прежде всего, дается логика изучения раздела «Теория поведения» как для тех, кто имеет существенные знания по курсу «Микроэкономика», так и для тех, кто впервые предпринимает усилие к познанию современной экономической теории. Именно это обстоятельство определило необходимость значительного введения.

Рецензенты: канд. экон. наук, доц. А.П. Заостровцев канд. экон. наук В.Ю. Гессен © Издательство СПбГУЭФ,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Теория выявленных предпочтений

Глава 2. Выбор в условиях неопределенности

Глава 3. Теория технологии потребления (Ланкастера).................

Библиографический список

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

В изложении курса «Микроэкономика-II» мы придерживаемся неоклассической парадигмы, которая включает методологический индивидуализм, принципиальную несравнимость полезностей различных индивидуумов, поведение экономических субъектов как рациональных и целеполагающих, поскольку нет других предпочтений, кроме индивидуальных.

Микроэкономическая теория связана с понятием выбора (принятия решений) отдельного экономического субъекта.

Выбор осуществляется индивидуумом на основе каких-то мотивов или руководствуясь некоторыми критериями присущими данному индивидууму. Мотивы (критерии) принято называть предпочтениями.

Если Вы отвечаете на следующие вопросы и решаете задачи, то можете переходить к изучению главы 1. Если Вам не удается ответить, то необходимо внимательно ознакомиться с введением данного учебного пособия и учебниками [3, 9].

1. В чем заключается рациональность поведения потребителя?

2. Какая гипотеза лежит в основе количественной теории полезности?

3. Чем отличается общая полезность от предельной полезности?

4. В чем заключается закон убывающей предельной полезности?

5. Как каждый потребитель должен распределять свой денежный доход, чтобы соблюдать правило равновесия потребителя и максимизации полезности?

6. В чем заключается отличие порядкового подхода от количественного подхода?

7. Как строится кривая безразличия в системе координат, какую полезность она показывает? Как изменяется величина этой полезности в зависимости от положения кривой безразличия относительно начала координат?

8. Какую имеют форму кривые безразличия, если: два блага совершенные субституты или они совершенно комплементарны?

9. Что такое предельная норма замены?

10. Как потребитель, опираясь на свои предпочтения, при заданном бюджете и ценах может определить, какое количество благ следует потребить, чтобы получить максимум общей полезности?

11. Как строится бюджетная линия? Почему бюджетная линия – это прямая линия с отрицательным наклоном?

12. Какие факторы определяют бюджетное ограничение?

Как изменение дохода и цен приводит к сдвигам бюджетной линии?

13. Как на основе кривой «цена–потребление» строится кривая индивидуального спроса?

14. Какой наклон имеет кривая «доход–потребление» для различных благ: нормальных (качественных), некачественных?

15. Как на основе кривой «доход–потребление» можно построить индивидуальную кривую Энгеля? Что характеризует кривая Энгеля?

16. Что понимается под эффектом замены? Какое влияние он оказывает на величину спроса?

17. Что предполагается неизменным при анализе эффектов замены и дохода по Дж. Хиксу?

18. Что остается неизменным при подходе Е. Слуцкого к анализу эффектов замены и дохода?

19. Как определяется компенсирующее изменение дохода?

20. Что отражает кривая компенсированного спроса?

21. Что такое товар Гиффена? Парадокс Гиффена?

Две девочки Анна 5 лет и Юлия 10 лет собирали ягоды:

клубнику, а затем брали по одной и определяли: сладкая или несладкая ягода. Клубника была мелкая и крупная. Мелкая клубника – сладкая, а крупная – менее сладкая.

Полезность потребления Анны представлена в табл. 1.

Полезность от потребления ягод Юлии представлена в табл. 2.

1. Какое количество ягод должно лежать в вазе с тем, чтобы – Анна получила максимальную полезность от потребления ягод;

– Юля получила максимум полезности от потребления – Анна и Юля получили максимум полезности от потребления ягод.

2. Какое количество ягод должно быть в вазе с тем, чтобы девочки получили максимум полезности?

3. Какое количество денег должно быть у бабушки с тем, чтобы приобрести то количество ягод, которое позволило бы полностью удовлетворить потребности девочек в ягодах?

4. Построить функцию спроса бабушки на ягоды, если руб. = 2 ют. в представлении бабушки.

Функция полезности индивида имеет вид: U = XY, его бюджет M = 64, а цены благ PX = 2, PY = 1.

1. Какое количество каждого из благ должен купить индивид для максимизации общей полезности?

2. Вывести уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия.

3. Определить эффекты замены и дохода, если цена блага X повысилась до PX = 3:

4. Определить разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода.

«Рыба ищет где глубже, а человек – где лучше». Экономическая теория придает этому выражению более точный смысл:

«человек максимизирует полезность».

Делает ли это реальный человек? Это вопрос эмпирического изучения. Экспериментальная экономика (Вернон Смит, Амос Тверски, Даниэль Канеман и др.) показала, что он отклоняется от возможного максимума в силу разнообразных психических ограничений. Некоторые экономисты предполагают, что люди не макcимизируют полезность, а стремятся к некоторому удовлетворяющему их уровню (Герберт Саймон). Имея ввиду отклонение реального поведения от модели, мы будем далее предполагать все же максимизацию: это упрощает анализ, поскольку вносит определенность и часто позволяет использовать дифференциальное исчисление.

Напомним, что точку максимума полезности называют точкой (состоянием) равновесия, или оптимума, потребителя. В общем виде задача максимизации полезности выглядит так:

1) Целевая функция:

2) Ограничение:

Тогда можно составить оптимизационную задачу и воспользоваться методом множителей Лагранжа:

Из условия максимума функции получаем:

Поскольку есть предельная полезность блага (MU), то оптимум потребителя будет определяться следующим образом:

Более детальный анализ функций полезности см. в: [4, 7].

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫЯВЛЕННЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Концепция выявленных предпочтений подтверждает основные выводы теории потребительского выбора. У истоков этой концепции стоял американский экономист – П. Самуэльсон (1915–2009). Будем считать, что потребитель стремится к максимально возможному удовлетворению своих потребностей или максимизации полезности в том случае, если он ведет себя последовательно. Тогда максимизирующий потребитель придерживается следующего правила: потребитель из двух доступных корзин y и х выбирает корзину х, а корзина y выбирается тогда, когда недоступна корзина х.

Точка М принадлежит бюджетной линии KL. Она доступна потребителю. Любая точка в треугольнике OKL доступна потребителю, но он выбирает точку М.

Рис. 2. Потребитель, не максимизирующий полезность.

Дополним рис. 2 бюджетной линией К1L1 (рис. 3). Бюджетные линии KL и K1L1 различаются углом наклона, который представляет отношение цен. Бюджет потребителя не меняется.

Допустим при бюджетной линии К1L1 потребитель выбирает точку N. Значит потребитель не стремится к максимуму полезности, так как корзина N была доступна при ценах Рх0Ру0, а выбор был сделан в точке М. При новых ценах Р х1 и Ру1 точка М по прежнему доступна потребителю (потребитель не изменил своих предпочтений). Переход к точке N не ведет к росту полезности.

Теперь рассмотрим другую ситуацию, когда потребитель максимизирует полезность (рис. 4).

Рис. 3. Потребитель, максимизирующий полезность.

При ценах Рх0, Ру0 выбирает точку Е, а при ценах Рх1, Ру выбирает точку R.

Рассмотрим числовой пример. В табл. 4 представлены покупки А, B, C, состоящие из двух благ.

покупки На основе табл. 1 составим табл. 5.

1. XA = 2. XB = 3. XC = Нельзя сказать, что потребитель нарушил правило максимизации. Данные табл. 5 представлены на рис. 5.

покупки 1. XA= 2. XB= 3. XC= Точка А лежит на бюджетной линии (1). Точки В, C лежат выше бюджетной линии (1), т.е. точки В, C – не доступны.

Точка В на лежит на бюджетной линии (2). Точки А, C – выше бюджетной линии (2), т.е. точки А, C –не доступны.

Рассмотрим наборы А и В.

Переход из А в В может означать:

– рост благосостояния (рис. 5);

– снижение благосостояния (рис. 6).

Точка С лежит на бюджетной линии (3), а точки В, А расположены ниже бюджетной линии. В точке C индивид максимизирует полезность.

Как следует из рис. 8 точка D находится ниже бюджетной линии (1), следовательно: набор А лучше набора D (А > D). C другой стороны набор C лучше набора A (С > A).

корзина 1: х0, y0 … z корзина2: х1, y1 … z Цены заданы рынком. Бюджет потребителя известен.

Условие максимизации полезности. Пусть первая и вторая корзина доступна потребителю, но он выбирает первую.

Можно рассчитать индексы ценности эталонной потребительской корзины:

Соотношение индекса расходов (IR) и индекса Ласпейреса (IL) показывает изменение благосостояния потребителя. Поскольку IR и IL имеют одинаковые знаменатели.

то можно перейти к выражениям:

Тогда, если выполняется неравенство:

следовательно благосостояние возрастает.

Теперь рассмотрим соотношение индекса Пааше и индекса расходов.

Поскольку IP и IR имеют одинаковый числитель, то если благосостояние потребителя в отчетном году ниже, чем в базовом.

Для максимизирующего потребителя можно построить функцию спроса на благо х. На основе бюджетной линии.

Пусть KL – первоначальная бюджетная линия; А – точка выбора потребителя. Цена блага х снижается. Бюджетная линия из положения KL перемещается в положение KL1. Это означает, что потребитель имеет дополнительно площадь выбора (треугольника) LKL1.

Проведем через точку А линию, параллельную KL1. То есть МN KL1. Треугольник LKL1 разделен таким образом на две части:

– треугольник LAN;

– трапецию NAKL1.

Рассмотрим треугольник LAN. Бюджетная линия KL и линия MN имеют общую точку А, что означает равенство реального бюджета (KL и MN имеют одинаковый бюджет). Это означает, что любая точка треугольника LAN, в том числе и точки, лежащие на отрезке AN, не максимизируют полезность (благосостояние) потребителя. Из точки А восстанавливаем перпендикуляр и получаем точку В. Очевидно, что любая точка трапеции АВL1N представляет увеличение потребления блага х, т.е. условие максимизации потребления.

Таким образом, при снижении цены блага х (Рх) потребитель увеличивает объем спроса на благо. Это означает, что для блага х функция спроса имеет отрицательный наклон. И, следовательно, выполняется закон спроса.

Посредством концепции выявленных предпочтений можно определить достаточно узкую зону, в которой лежит кривая безразличия. То есть, определяем вид функции полезности. Чем больше будет число наблюдений изменений цен, доходов, ассортимента покупаемых благ, тем точнее представление о форме кривой безразличия и функции полезности. Концепция выявленных предпочтений дает возможность оценить кривую безразличия на основе статистических данных. Можно говорить, что и расчеты, проведенные согласно ординалистской концепции полезности, имеют практическую значимость.

Концепция выявленных предпочтений имеет самостоятельную область применения при оценке изменений благосостояния потребителя.

Теперь сформулируем две аксиомы выявленных предпочтений. Вначале дадим понятие прямого и косвенного выявленных предпочтений. Пусть есть два товарных набора: (x1, y1) и (x2, y2). Если известны цены этих благ (Px1, Py1) и выполняется равенство:

то набор (x1, y1) прямо выявлено предпочитается набору(x2, y2).

Пусть теперь имеется третий набор (x3, y3) и известно что набор (x2, y2) выявлено набор предпочитается набору (x3, y3). То есть выполняется следующее равенство:

основании аксиомы транзитивности можно заключить, что ( x1, y1 ) ( x3, y3 ). Тогда говорят, что набор (x1, y1) косвенно выявленно предпочитается набору (x3, y3).

В теории предполагается, что индивиды выбирают лучшие наборы из тех, которые они могли бы позволить себе и, тогда те наборы, которые им были доступны, но не выбраны, являются хуже выбранных. Эта идея получила название слабой аксиомы выявленных предпочтений (WARP – Weak Axiom of Revealed Preference). Если товарный набор (x1, y1) прямо выявлено предпочитается набору (x2, y2) и эти наборы не тождественны друг другу, то исключается ситуация, что набор (x2, y2) прямо выявленно предпочитался набору (x1, y1).

Это означает, что если товарный набор (x1, y1) приобретается по ценам (Px1, Py1), а другой набор (x2, y2) по ценам (Px2, Py2), то тогда:

WARP дает наблюдаемое условие, которому должны удовлетворять все индивиды, которые максимизируют свою полезность. В отличие от этой аксиомы сильная аксиома выявленных предпочтений (SARP – Strong Axiom of Revealed Preference), требует выполнения того же условия для косвенно выявленных предпочтений. Если товарный набор (x1, y1) выявлено предпочитается набору (x2, y2), и набор (x1, y1) отличается от набора(x2, y2), то набор (x2, y2) не может прямо или косвенно предпочитаться набору (x1, y1).

Известна функция полезности индивида, потребляющего два вида благ:

При первом наблюдении он израсходовал свой бюджет на 14 ед.

блага А и 20 ед. блага В, а при втором наблюдении – на 12 ед.

блага А и 25 ед. блага В.

1. Во сколько раз и в каком направлении изменился бюджет индивида между двумя наблюдениями?

2. Определите, как изменилось благосостояние индивида в момент 2-го наблюдения по сравнению с моментом 1-го наблюдения посредством:

а) сопоставления индекса расходов с индексом Пааше;

б) расчетов значения функции полезности в обоих наблюдениях.

3. Как должен был бы измениться бюджет индивида, чтобы его благосостояние было одинаковым в оба момента наблюдения?

1. Из условия равновесия потребителя MRSAB = PA/PB найдем соотношение цен в 1-м периоде:

Примем PB = 1, тогда PА = 2,5, а бюджет МО = 2,5 · 14 + 1 · 20 = 55.

Соответственно во 2-м периоде:

Примем PB = 1, тогда PА = 10, а бюджет МО = 10 · 12 + 1 · 25 = 145.

Бюджет возрос в 145/55 = 2,636.

2. Сравним индекс расходов 145/55 = 2,636 c индексом Пааше.

Равенство обоих индексов говорит о снижении благосостояния индивида во 2-м периоде.

3. Нужно определить при каких значениях QA и QB в первом периоде MRSAB = 10:

Добавим к полученному уравнению уравнение кривой безразличия в 1-го периода 2,402 = (QA – 10)0,4 (QB – 15)0,2.

Из совместного решения этих уравнений найдем QA = 12,5; QB = 27,6. Чтобы при ценах первого наблюдения купить такой набор нужен бюджет МО = 10 · 12,5 + 1 · 27,6 = 152,8, т.е.

он должен возрасти в 2,78 раза.

Рис. 9. Графическая иллюстрация задачи 1. Наблюдения за покупками потребителя представлены в таблице. Является ли потребитель максимизирующим полезность? Рассчитать все типы индексов.

покупки 2. Наблюдения за покупками потребителя представлены в таблице. Является ли потребитель максимизирующим полезность? Рассчитать все типы индексов.

покупки 3. Рассмотреть соотношение индексов и сделать выводы:

4. Наблюдения за покупками потребителя представлены в таблице. Проверить поведения индивида на соответствие WARP.

покупки

ГЛАВА 2. ВЫБОР ПОТРЕБИТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Первоначальная идея учета риска и неопределенности в поведении индивида принадлежит видному математику Д. Бернулли (1700–1782), изучавшему азартные игры, и опубликовавшему в 1738 г. статью о петербургском парадоксе [1]. В 1943 г.

идея Бернулли была аксиоматически обоснована Дж. фон Нейманом (1903–1957) и О. Моргенштерном (1902–1977) в работе «Теория игр и экономическое поведение» [8]. Ими была разработана система аксиом количественной теории полезности из которых следовала возможность существования такой функции полезности, математическое ожидание значений которой согласовано с предпочтениями индивида. Дальнейшее развитие подхода содержалось в статье М. Фридмена (1912–2007) и Л. Сэвиджа (1917–1971) [11].

Выбор потребителя в условиях риска и неопределенности основан на том, что ожидаемые ценности возможных альтернатив ранжируются самостоятельно.

Пусть индивид, принимающий решение, выбирает одну из взаимоисключающих альтернатив Ai, где i = 1,…, I. При этом предполагается, что число альтернатив конечно. В этом случае результат будет зависеть и от выбора индивида и от той ситуации, которая сложится. Будущие ситуации индивид может указать и они обозначаются символами Zs, где s = 1,..., S. Пусть веS альтернативу и случается s-я ситуация, то следствия однозначны. Тогда можно быть уверенным в результате xis. Это означает, что имеется результат i-ой альтернативы при наступлении s-й ситуации. Тогда получается матрица результатов:

Предполагается, что индивиды не могут договариваться между собой и согласовывать свои действия, результаты типа xis не имеют многопериодного изменения вступают в силу в один и тот же момент времени, результат xis означает будущее богатство лица, принимающего решение в том случае, если он выбирает i-ую альтернативу, приводящую к s-й ситуации.

Рассмотрим принцип Бернулли, который определяет оптимальную альтернативу индивида. Вначале матрица результатов трансформируется в матрицу полезности, с учетом функции полезности U = U(x). Если функция полезности задана, то каждому результату xis можно приписать однозначную величину полезности U(xis):

Каждую альтернативу можно изобразить с помощью возможного объема полезности и соответствующих вероятностей наступления конкретных ситуаций:

Рассчитаем значения предпочтений каждой альтернативы как ожидаемых величин соответствующих распределений полезности:

Если воспользоваться математическим ожиданием, то функция примет вид:

В этом случае лотерея с максимальной ожидаемой величиной будет оптимальной maxE[U(xi)].

Рассмотрим некоторые примеры функций полезности.

Почти все типы функций полезности из ординалистского подхода могут быть рассмотрены с точки зрения неопределенности.

Если товары полные субституты, то введение вероятности приводит к виду:

Другим примером является функция Кобба-Дугласа:

В этом случае полезность, приписываемая набору товаров, зависит нелинейно от структуры потребления. Поэтому для удобства практического использования функции Кобба-Дугласа берется логарифм этой функции:

В дальнейшем для удобства будем обозначать ожидаемую полезность (ЕU), как ожидаемую ценность каждого из возможных вариантов, а через U(М) – ожидаемая ценность денег (капитала).

Рассмотрим условия игры с подбрасыванием монеты. Выпадает «орел» – выигрываете 100 руб., выпадает «решка» – проигрываете 1 руб. Вероятность варианта выпадения «орел»

или «решка» одинаковы (0,5).

Тогда ожидаемая полезность:

Ожидаемая полезность – это средневзвешенное всех возможных вариантов результатов игры.

Ожидаемая полезность:

где МО – начальный уровень денег. Функция U представляет количественное измерение удовлетворенности, определяемое различными результатами игры.

Допустим МО = 1000 руб.

Тогда, в случае выигрыша, капитал составит:

или U(1100).

В случае проигрыша: 1000 руб. – 1 руб. = 999 руб. или U(999):

Вы принимаете участие в игре, если ЕU > Е(МО). В нашем случае ЕU > Е (МО):

то есть, Вы играете.

Это и есть критерий фон Неймана–Моргенштерна.

Рассмотрим другой пример. Пусть функция полезности имеет вид: U М М. Начальный капитал МО = 10000 руб.

Вы можете выбрать одну из трех игр.

1-я игра – пример 1.

2-я игра: выпадает «орел» – выигрываете 200 руб.

3-я игра: выпадает «орел» – выигрываете 20000 руб.

(Проигравший имеет право выплачивать долг небольшими суммами 20 лет ежемесячно.) Ожидаемая полезность:

Третья игра не привлекательна, так как ЕU3 < ЕМ0.

График U М М представлен на рис. 11.

U(М2)141, U(М1) Функция U(М) является вогнутой, так как для любой пары значений М1, М2 кривая расположена над хордой, соединяющей точки:

A[М1, U(М1)]; В[М2, U(М2)]; С[М3, U(М3)].

Функция U(М) имеет снижающуюся (МUМ) предельную полезность капитала.

Теперь рассмотрим справедливую, безобидную игру.

Ожидаемая ценность такой игры равна 0:

Ожидаемая полезность (М0 = 40).

ЕU = 0,5 U (40 – 30) + 0,5 U (40 + 30) = 0,5 U (10) +0,5 U (70).

Хорда (АС) на функции полезности.

Ожидаемая полезность от игры:

U(40) = 32 полезность капитала.

Все игры в результате которых ожидаемая ценность < дают более низкую ожидаемую полезность чем полезность ожидаемого капитала U(40).

0,5 х1 + 0,5 х2 = 0,5 (100) +0,5 (–100) = х1 = +1000 руб. «орел», х2 = –100 руб. «решка», ЕU = 0,5 х1 + 0,5 х2 0,5 (1000) + 0,5 (–100) = 500 – 50 = 450.

Игры за участие в которых игроки готовы заплатить их ожидаемую ценность (в нашем примере 450) называются справедливыми.

ЕV 36 6 – ожидаемая полезность.

ЕV < ЕU значит играйте.

р – вероятность выигрыша.

(1–р) – вероятность проигрыша.

Тогда точка ожидаемой полезности находится на расстоянии (1–р) от точки выигрыша С на хорде, соединяющей точки, соответствующие выигрышу и проигрышу на кривой функции полезности.

Определенный прирост капитала вызывает меньшее приращение полезности по сравнению с потерей, которую должно было бы выразить сопоставимая потеря капитала.

Рис. 12. Функция полезности: числовой пример U(М0+В) U(М0-В) х1 = +20 р1 = х2 = – Ожидаемая ценность ЕU с результатами больше 2-х является взвешенной суммой всех возможных результатов.

р1 + р2 +р3 = 1 р1U(В1) + р2U(В2) + (1 – р1 – р2)U(В3) ЕU А 0,6 1000000 0,4 ЕU Б 690000 830, Ожидаемый заработок А 0,6 1000000 + 0,4 250000 = Б заработок но вогнутая функция U(М) Какой должна быть заработная плата, чтобы А и Б имели одинаковую привлекательность?

Люди, оценивающие каждое событие отдельно, придают значение выигрышу меньшее, чем потере, причем многие могут отказываться принимать события в совокупности и рассматривать увеличение дохода в целом.

Согласно модели рационального поведения любое сочетание событий приводит к увеличению общей полезности.

Функция ценности Клиеманн-Тверски:

1) люди ассиметрично толкуют доходы и потери, потерям придают больший вес, чем доходам;

2) люди сначала оценивают отдельные события, а затем суммируют эти оценки.

1. У потребителя две возможности: купить определенный набор благ C или купить билет лотереи с двумя исходами: набор благ A или набор благ B. Полезности этих наборов по фон Нейману-Моргенштерну соответственно равны: U(A) = 48, U(B) = 0, U(C) = 12. Чему будет равна вероятность получения набора благ B в лотерее, если известно, что потребитель безразличен в выборе между набором благ C и лотерейным билетом?

2. Найдите полезность блага C по фон НеймануМоргенштерну, если известно, что полезность A превышает полезность C на столько, на сколько полезность C превышает полезность B, где A – покупка лотерейного билета с вероятностью выигрыша 0,2 и полезностью выигрыша 80, полезность проигрыша – 5; B – покупка кота в мешке с вероятностью белой масти 0,7, рыжей – 0,2, черной – 0,1. Полезность белого кота – 5, рыжего – 10, черного – 15.

3. Функция полезности имеет вид U M, а первоначальный капитал равен 36 ден. ед. Примет ли участие в игре индивидуум, в которой он выигрывает 13 ден. ед. с вероятностью 2/3 и проигрывает 11 ден. ед. с вероятностью 1/3?

4. Индивидуум с уровнем первоначального капитала в ден. ед. может и выиграть 20 ден. ед., и проиграть 20 ден. ед. с одинаковой вероятностью 1/2. Если функция полезности имеет вид U = M, следует ли принимать участие в этой игре? Что произойдет, если функция полезности примет вид: U = M2.

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ТЕХНОЛОГИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ

Первоначальная идея представления товара как набора характеристик принадлежала американскому экономисту К. Ланкастеру (1924–1999) и была сформулирована в работе [5]. По мысли Ланкастера индивид покупает не отдельные товары, а те характеристики (свойства), которые в них заключены.

Пусть потребитель выбрал набор благ х0 = ( х1,...x n ) и наборы свойств (характеристик) этих благ.

Потребитель рассматривает именно характеристики благ и таким образом можно моделировать процесс выбора – модель технологии потребления.

Характеристики благ должны удовлетворять следующим предпосылкам:

1. Характеристики выявлены и могут быть описаны качественно и количественно.

Допустим, продукт Q1 содержит а11 единиц свойства А1, а единиц свойства А2, …, am1 единиц свойства Am.

2. Существует однородность. Если одна единица продукта Qj содержит aij единиц свойства Ai, то xj единицы продукта Qj содержит aij xj единиц свойства Ai.

3. Аддитивность: если xj единиц продукта Qj содержат aij xj единиц свойства Ai, а xk единиц продукта Qk содержат aik xk единиц свойства Ai, то xi единиц продукта Qj и xk единиц продукта Qk содержат aij xj + aik xk единиц свойства Ai.

Модель технологии потребления является линейной:

где x = (х1, … xn) – потребительский набор, a1 – количество характеристики А1 в потребительском наборе х, am – количество характеристики Аm в потребительском наборе х.

Кроме того:

Аналогом модели технологии потребления является задача о диете.

Потребительский набор x = (х1, … xn) из продуктов Q1, … Qn, которые содержат m питательных веществ А1, … Аm. Необходимо найти такую диету, которая обеспечила бы нормы а1, … аm питательных веществ А1, … Аm и которая была бы самой дешевой.

Тогда в формальном виде задача примет вид:

где рj – цена продукта Qj, j = 1 … n; aji – количество питательного вещества Ai в единице продукта Qj, j = 1 … n.

Питательные вещества являются аналогами свойств (характеристик) в модели технологии потребления.

Рассмотрим пример перехода из пространства продуктов в пространство характеристик. Пусть:

Доход потребителя I = 12.

Одна единица Q1 имеет 0,4 единицы А1 и 0,3 единицы А2, то есть:

Одна единица Q2 имеет 0,6 единиц А1 и 0,8 единиц свойства А2, то есть:

Одна единица Q3 имеет 0,7 единиц свойства А1 и 0,7 единиц свойства А2, то есть:

Бюджетная плоскость описывается следующим равенством:

На рис. 17 имеет координаты N1, N2, N3:

Рис. 17. Бюджетная плоскость N1, N2, N3 потребителя На рис. 18 лучи ОL1, ОL2, ОL3 представляют характеристики или свойства осей рис. 1 Ох1, Ох2, Ох3.

Бюджетная плоскость N1, N2, N3 в пространстве продуктов на рис. 18 представлена в пространстве свойств (характеристик) рис. 19 треугольником Q1, Q2, Q3.

Бюджетная плоскость (N1, N2, N3) рис. представлена на рис. 19 Q1, Q2, Q3.

Рис. 18. Пространство характеристик Задача рационального поведения потребителя имеет вид:

Аналогично ставится задача оптимизации набора свойств (а1, … am):

при следующих ограничениях:

Таким образом, задача выбора оптимальной комбинации свойств сводится к следующей задаче рационального поведения потребителя:

рый выбирает потребитель и по уравнениям (2) находим оптимальную комбинацию ~1,..., ~m свойств.

БИБЛИГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия // Вехи экономической мысли. Вып. 1. Теория потребительского поведения и спроса. – СПб.: Экономическая школа, 1999.

2. Вэриан Х.Р. Микроэкономика: продвинутый уровень.

Современный подход: Пер. с англ. – М.: Юнити, 1997.

3. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. – СПб.: Экономическая школа, 2000. – Т. 1–2.

4. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. – СПб.: Питер, 2000.

5. Ланкастер К. Перемены и новаторство в технологии потребления // Вехи экономической мысли. Вып. 1. Теория потребительского поведения и спроса. – СПб.: Экономическая школа, 1999.

6. Левина Е.А., Покатович Е.В. Микроэкономика: задачи и решения. – М.: Издат. дом ГУ-ВШЭ, 2007.

7. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. – М.: Наука, 1985.

8. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970.

9. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Микроэкономика: Учебник. 6-е изд. перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2009.

10. Франк Р.Х. Микроэкономика и поведение / Пер. с англ.

– М.: Инфра-М, 2000.

11. Фридмен М., Сэвидж Л. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск // Вехи экономической мысли. Вып. 1. Теория потребительского поведения и спроса. – СПб.: Экономическая школа, 1999.

12. Barten A.P., Bohm V. Consumer theory. Handbook of mathematical economics. – N.Y., 1982.

13. Varian H. Microeconomic Analysis. Third ed. – N. Y., 1992.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Довольно часто в рамках решения проблем микроэкономики возникает задача максимизации (минимизации) некоторой функции при заданных ограничениях. В нашем случае – при определении структуры покупок индивида, максимизирующей его полезность при заданном бюджетном ограничении. В модели поведения потребителя множество всех альтернатив его выбора – это множество допустимых потребительских наборов х, которое отражает все физические (и некоторые институциональные) ограничения, налагаемые на выбор потребителя. Ограничения этого типа задают первичные границы, которые очерчивают область, в которой осуществляется потребительский выбор. Помимо этих ограничений на область определения, действия потребителя подчинены разного рода экономическим ограничениям. В условиях рынка расходы потребителя ограничены его доходами при данных рыночных ценах. Это так называемое бюджетное ограничение. Предполагается, что потребитель рассматривает как свои доходы, так и рыночные цены как данные (т.е., является ценополучателем). Множество потребительских наборов из х, удовлетворяющих бюджетному ограничению, называют бюджетным множеством. Эти бюджетные множества описывают ситуацию выбора в модели поведения потребителя. В наиболее простом случае, когда доходы потребителей фиксированы, а расходы представлены затратами на покупку потребительского набора, бюджетное множество имеет вид:

где р – вектор цен рассматриваемых благ; I – доход потребителя.

Если потребитель имеет фиксированный доход и осуществляет выбор среди наборов из В (р, I), то задача потребителя – максимизация его функции полезности U(x) при ценах р и доходе I принимается следующий вид:

Теоремы Куна-Таккера – родовое название для утверждений, представляющих собой обобщение теоремы Лагранжа на случай задач оптимизации с ограничениями в виде неравенств, т.е. задач следующего типа:

где Х R – множество из области действительных чисел; f : X R – так называемая целевая функция; gj : X R – множество функций ограничения.

Приведем формулировку двух основных теорем, опустив математическое доказательство.

Прямая теорема Куна-Таккера, необходимое условие оптимальности:

Пусть функции f (.), g1(.),…,gn(.) дифференцируемы, и х – решение задачи (*), такое что х Х и выполнено условие регулярности Куна-Таккера (линейная независимость градиg g g ность представить ни один из них в виде суммы других векторовградиентов, помноженных на ненулевые коэффициенты. Тогда существуют множители Лагранжа j 0, j = 1, …, m, такие, что выполняются следующие соотношения:

Обратная теорема Куна-Таккера, достаточное условие оптимальности:

Градиент – характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Для функции с переменными х1, x2 …, xn, заданной в nмерном пространстве, градиент имеет вид:.

Пусть f (.), g1(.),…,gn(.) дифференцируемы, f (.) – вогнутая функция, множество Х выпукло и точка х допустима в задаче (1), причем х Х. Пусть, кроме того, существуют множители Лагранжа j 0, j = 1, …, m, такие, что выполнены следующие соотношения:

Тогда х – решение задачи (1).

Как в прямой, так и в обратной теореме L(x, ) – это функция Лагранжа вида Рассмотрим применение данной теоремы на следующем простейшем примере:

Ux1, x 2 x1 a x 2, где х1, x2 – количество потребляемых блага 1 и блага 2, а бюджетное ограничение имеет вид I – p1х1 – p2p2 0. Решим для данной функции задачу (1).

Необходимость существования оптимального решения Заметим, что данная функция вогнутая (как сумма вогнутых функций), и при этом строго монотонна и дифференцируема (как сумма дифференцируемых функций). Условие регулярности Куна-Таккера в этом случае эквивалентно утверждению, что не все цены равны нулю и доход строго положителен, поскольку градиент функции ограничения единственный, и будет иметь вид (–p1; -–p2). Данные утверждения попадают под условия прямой теоремы Куна-Таккера. Необходимость доказана.

Достаточное условие существования оптимального решения.

Функция Лагранжа для данного индивида будет иметь следующий вид: Lx, x1 a x 2 I p1x1 p 2 x 2. Достаточные условия оптимальности для теоремы Куна-Таккера:

Из первого условия получим, что > 0. Следовательно, бюджетное ограничение имеет вид: I = p1x1 +p2x2 (1). Из первых двух условий получим х 2 а р1 х1, тогда, подставив полученр ное значение в бюджетное ограничение (1), получим:

Оптимальное решение задачи (1) найдено (выведены функции спроса на каждый товар в зависимости от цены на данный товар и цены другого товара). Достаточность доказана.

В чем же значимость теоремы Куна-Таккера для теории потребления? Теорема Куна-Таккера, в отличие от простого метода множителей Лагранжа, позволяет найти не только достаточные условия существования оптимального решения задачи потребителя, но и необходимые, т.е., не только найти количество единиц каждого блага, максимизирующее функцию полезности потребителя, но и установить, а существует ли решение задачи потребителя при заданных ограничениях вообще.

Особенно это актуально в многомерном случае, т.е., когда потребитель выбирает не из двух, а из гораздо большего числа благ. Но с другой стороны, более строгое решение задачи потребителя связано и с более строгими ограничениями, в частности, одним из достаточных условий существования решения задачи (1) является вогнутость целевой функции. Однако, поскольку функция полезности индивида при действии закона убывающей предельной полезности будет всегда вогнутой, данное ограничение нисколько не повлияет на решение задачи потребителя.

ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

МИКРОЭКОНОМИКА-II

Подписано в печать 6.07.10. Формат 6084 1/16.

Усл. печ. л. 2,75. Тираж 200 экз. Заказ 338. РТП изд-ва СПбГУЭФ.

Издательство СПбГУЭФ. 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.