Министерство образования Российской Федерации

Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова

Е.И. Щукин

МАТЕМАТИКА.

Теория вероятностей

Учебное пособие

для студентов экономических специальностей

университетов

Ярославль 2000

ББК В 171я73

Щ 95

Щукин Е.И.

МАТЕМАТИКА. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов экономических специальностей университетов; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2000. 68 с.

ISBN Учебное пособие написано в соответствии с программой дисциплины “Математика” для экономических специальностей университетов. Основной принцип, положенный в основу учебного пособия, - принцип единства трех линий математического анализа явлений действительности - стохастической (теоретико-вероятностной), детерминистской (связанной с элементами аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений) и компьютерной (связанной с программированием на Бейсике). В пособии рассматриваются две первых главы теории вероятностей (случайные события;

дискретные случайные величины и основные законы их распределения) и приводятся Бейсик-программы, моделирующие случайный выбор некоторых чисел с последующим применением этого для определения статистических вероятностей некоторых событий. Указаны также экономические применения рассматриваемых теоретических предложений.

Пособие предназначено для студентов I курса экономических факультетов университетов.

Рецензенты: кафедра теории и методики обучения математике Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского; доцент кафедры математики Ярославского филиала военного финансово-экономического университета, канд. физ.-мат. наук Н.И. Коршунова.

© Ярославский ISBN государственный университет, © Щукин Е.И., Оглавление ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ГЛАВА II. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

И ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГЛАВА III. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ БЕЙСИК

(элементы компьютерного моделирования)

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Основным принципом, положенным в основу этого учебного пособия, является сформулированный автором принцип единства трех линий математического анализа явлений действительности - стохастической (теоретико-вероятностной), детерминистской (связанной с элементами аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений) и компьютерной (связанной с программированием на Бейсике). Именно эти линии (представляющие стохастические, детерминистские и компьютерные модели реального мира) и развиваются в данном пособии.

Поясним сказанное решением следующих двух задач, которые могут быть предложены студентам в самом начале первого курса (а в принципе - даже любой группе молодежи, которая захотела бы принять участие в эксперименте, результаты которого проводящий этот эксперимент берется предсказать достаточно точно).

Задача 1. Случайным образом (наудачу) взяты два числа: < х 2; 0< y 2. Найти х*y и y/x и сравнить: х*y? 1; y/x ? 2.

Каждый из участников эксперимента выбирает свою пару чисел (х; y), выступая тем самым в роли “датчика случайных чисел” и сравнивает указанные выше произведения и отношение с 1 и 2. Проводящий эксперимент дает свой прогноз: примерно 4 человека из 10 выбрали свою пару (х; y) таким образом, что у них: х*y 1; y/x 2. Простым подсчетом узнаем реальную относительную частоту указанного выше события (выбор такой пары (х; y), что: х*y 1; y/x 2) и сравниваем с предсказанием.

Обсуждая с участниками эксперимента его ход и результаты, приходим к выводу, что мы методом статистических испытаний на небольшой, как правило, выборке, вычислили - и это мы уже указали - относительную частоту некоторого события. Как изменится результат, если объем выборки увеличить и - главное - как это сделать? Откуда проводящий эксперимент узнал число (0,4), к которому - в определенной, конечно, степени - сходится результат и по весьма большой выборке.

Ответами на эти вопросы являются следующие соображения: 1) можно придумать - на языке Бейсик, например, - компьютерную программу и даже не одну - смотрите ВМР 11 и ВМР 12, осуществляющие весьма большую выборку;

2) можно решить задачу на основе геометрического определения вероятности события (используя для вычисления площади некоторой фигуры понятие определенного интеграла - смотрите соответствующее решение на с....).

Результаты счета по программам ВМР 11 и ВМР 12 и сами программы приводятся ниже.

10 REM СЛУЧАЙНАЯ ПАРА ЧИСЕЛ

20 INPUT “ВВЕДИТЕ ЧИСЛО N”; N 140 PRINT “W = “;W *********************************************************** INPUT “enter N >“, n Задача 2. Наудачу (случайным образом) выбраны два целых числа:

-4 l 4; -4 m 4, которые затем используются для составления квадратного уравнения: х2 + 2lх + m = 0. Какова вероятность того, что составлененое таким образом уравнение не имеет действительных (вещественных) корней?

Как и в предыдущем случае, проведем эксперимент: предложим выбрать указанные два целых числа (l; m) группе студентов (молодежи) и затем подсчитаем - как и в предыдущем случае - относительную частоту события А, под которым понимаем выбор такой пары (l; m), что дискриминант указанного выше квадратного уравнения меньше нуля (l * l - m < 0). Аналогично предыдущему обсуждается вопрос о том, как увеличить объем выборки для уточнения полученных результатов и как другим способом отыскать указанную выше характеристику события А. В результате приходим к следующим соображениям: 1) можно - опять-таки! - придумать на языке Бейсик компьютерную программу (и снова не одну) - смотрите ВМР 13 и ВМР 131, которые осуществляют большие выборки; 2) можно - по существу на основе классического определения вероятности события - определить указанную характеристику события А, используя следующий чертеж:

Программы ВМР 13 и ВМР 131 и результаты счета по этим программам приводятся ниже.

10 REM СЛУЧАЙНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

20 INPUIT “Введите число N”; N 90 IF DI = > 0 THEN 100 ELSE 140 PRINT “W = “;W Результаты: N = 100 W = 0. ******************************************************** INPUT “enter t”, n metka1:

metka2:

IF znak2 < 5 THEN m = -1 * (F2 * 10) ELSE m = (F2 * 10) PRINT “d:”; d PRINT “it is”; w Таким образом, уже при решении только этих двух задач становится очевидным, что разумное соединение трех линий математического анализа явлений действительности - стохастической, детерминистической и компьютерной - позволяет смотреть на явления действительности с различных сторон и решать поставленные задачи различными способами, которые позволяют нам приходить к одному и тому же результату.

В заключении укажем рабочий план новой учебной дисциплины “Математика: общий курс”, который осуществляется на тех специальностях, где эта дисциплина изучается в течение 33 недель, причем в каждой неделе проводятся 2 лекционных часа и 2 часа упражнений.

1. Классификация событий. Определение вероятности события (классическое; статистическое; геометрическое) 2/ 2. Элементы комбинаторики (перестановки; размещения; сочетания) 2/ 3. Сумма и произведение событий. Теоремы о нахождении 4. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события.

Теоремы о нахождении вероятности произведения событий 2/ 5. Полная вероятность события. Теорема о переоценке вероятностей 6. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ.

7. Равномерное дискретное распределение. Теорема о повторении 8. Распределения Бернулли, Пуассона и геометрическое программирование на языке Бейсик (элементы компьютерного Метод координат (и его применение при изучении линий, функций и других множеств точек плоскости) 11. Основные числовые множества. Координаты точки на плоскости 2/ 14. Уравнение линии на плоскости. Окружность. Парабола 2/ 18. Резерв Дифференциальное и интегральное исчисления 19. Числовые последовательности; их сходимость или расходимость 2/ 20. Предел функции непрерывного аргумента. Теоремы о пределах 2/ 23. Основные правила дифференцирования.

26. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные 27. Определенный интеграл. Аналитические и численные методы.

29. Непрерывная случайная величина (НСВ). Интегральная и дифференциальная функции распределения; их свойства и 30. Числовые характеристики НСВ. Равномерные непрерывное и 31. Нормальное распределение. Правило “трех сигм” 2/ 33. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема) Название “стохастический анализ” происходит от греческого слова stochastikos, что означает “умеющий угадывать” (именно: “умеющий угадывать” – а не “гадающий”). И – как показывают рассмотренные во “Введении” задачи (“Случайная пара (двойка) чисел”, “Случайное квадратное уравнение” – действительно “умеют угадывать” (предсказывать, прогнозировать) те, кто знаком с основными положениями теории и практики стохастического анализа (теории вероятностей).

Заметим, что среди всех понятий теории вероятностей выделяются три ключевых понятия, с которых и начинается изучение этого раздела математики:

1. Опыт (эксперимент, испытание). 2. Событие (явление) – тот или иной исход опыта. 3. Вероятность события – количественная характеристика возможности того или иного исхода опыта.

Возвращаясь к задаче “Случайная пара чисел”, видим, что опыт здесь заключается в выборе (случайным образом) пары чисел (x;y): 0 < x 2; 0 < y 2. Событие, которое нас интересовало, заключалось в выборе такой пары чисел (x;y), для которой: xy 1; y/x 2 (ясно, что наш опыт имел и другие исходы).

Вероятность заинтересовавшего нас события (т.е. количественная оценка возможности именно этого исхода опыта) была нами вычислена, исходя из наблюдений, которые мы интуитивно связывали с геометрическими или некоторыми другими соображениями.

Можно указать и другие, даже более простые примеры, где действует эта интересующая нас триада: опыт – событие – вероятность события. Рассмотрим в качестве опыта подбрасывание монеты, в качестве события – появление цифры (герба) после подбрасывания монеты. Ясно, что вероятность появления герба и есть 1/2. Компьютерная модель этой ситуации, записанная в программе ВМР20, подтверждает это рассуждение.

Обратимся к другому примеру. Заметим, что исторически вероятность произошла, видимо, из анализа азартных игр. По крайней мере, известно, что в игры со случайным исходом люди играли более 5000 лет назад. Одна из таких игр – естественно модифицированная – популярна и сейчас – это игра “в кость” (ныне – кубик с шестью гранями, на которых помечены цифры: 1, 2, 3, 4, 5, или нанесено соответствующее число точек – “очков”). В качестве опыта рассмотрим подбрасывание игрального кубика; в качестве события – появление (на верхней грани) – числа 2 (например). Интуитивно ясно, что это число появится с такой же вероятностью, как и любые другие из оставшихся 5 чисел (1, 3, 4, 5, 6), а именно – 1/6.

Все наблюдаемые нами события (явления) можно разделить на 3 группы:

достоверные, невозможные, случайные (или возможные).

Определение 1. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий (в результате данного опыта).

Например: попадание или промах при одном выстреле; появление не белого шара из ящика, в котором лежат синие, красные и черные шары.

Определение 2. Невозможным называется событие, которое не может произойти при осуществлении определенной совокупности условий (в результате одного опыта).

Например: одновременное попадание и промах при одном выстреле;

появление белого шара из ящика, в котором лежат синие, красные и черные шары; появление грани с цифрой 7 при подбрасывании упомянутого выше кубика.

Определение 3. Случайным называется событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий (в результате данного опыта) может произойти, а может и не произойти.

Например: извлечение синего шара из ящика, в котором лежат синие, красные и черные шары; попадание в цель при одном выстреле; выпадение грани с цифрой “5” при подбрасывании игрального кубика; появление стандартной детали из ящика, в котором лежат стандартные и нестандартные детали.

Любое случайное событие – следствие очень многих причин и обычно невозможно учесть их влияние на результаты опыта, поэтому невозможно решить задачу: произойдет или нет единичное случайное событие.

Однако ситуация изменяется, когда рассматривается совокупность однородных случайных событий. Оказывается, что если взять достаточно большое число однородных случайных событий (явлений), то независимо от их конкретной природы они подчиняются определенным закономерностям, изучением которых и занимается теория вероятностей (стохастический анализ).

Определение 4. Теория вероятностей (стохастический анализ) есть наука (часть математики), изучающая закономерности массовых однородных случайных событий.

Классическое определение вероятности события Все указанные выше группы событий – достоверные, невозможные, случайные – можно объединить с единой точки зрения, для чего введем следующие определения (включая классическое определение вероятности события).

Определение 1. События называются несовместными, если появление одного из них в данном опыте исключает появление других событий в том же опыте.

Пример 1. Из ящика с радиодеталями извлечена наугад одна деталь. Ясно, что появление стандартной детали исключает появление в том же опыте нестандартной детали; следовательно, два события:

событие А – “появилась стандартная деталь”, событие В – “появилась нестандартная деталь” – несовместны.

Пример 2. Рассмотрим уже известный нам игральный кубик “Кубик-6”.

Ясно, что события:

“выпала цифра 2 (выпали 2 очка)”, “выпала цифра 5 (выпали 5 очков)” – несовместимы.

Определение 2. События образуют полную группу, если появление одного из них в результате опыта является достоверным событием.

Пример 1. Из ящика с деталями (стандартными и нестандартными) извлекается одна деталь. Она обязательно окажется или стандартной, или нестандартной. Указанные события образуют полную группу.

Пример 2. (“Кубик-6”). События:

“выпало 1 очко” “выпало 2 очка” “выпало 3 очка” “выпало 4 очка” “выпало 5 очков” “выпало 6 очков” образуют полную группу событий (так как в результате опыта – подбрасывания кубика – одно из них обязательно произойдет).

Если полная группа событий состоит из двух событий, то они называются противоположными ( так, в примере 1 события – “появилась стандартная деталь”, “появилась нестандартная деталь” – противоположные; они обычно обозначаются А и В).

Определение 3. События называются равновозможными, если нет оснований отдавать предпочтение одному из них.

Например, выпадение любого числа очков на игральном кубике – события равновозможные ( если этот кубик изготовлен из однородного материала и имеет действительно форму куба).

Определение 4. Те исходы опыта, при которых интересующее нас событие обязательно произойдет, называются благоприятствующими этому событию.

Пример 1. (“Кубик-6”). Событие, которое нас интересует, – “выпадение не менее 2-х очков”. Тогда благоприятствующие этому событию исходы – “выпадение 2 очков”, “выпадение 3 очков”, “выпадение 4 очков”, “выпадение очков”, “выпадение 6 очков”. Таким образом, исходов, благоприятствующих событию “выпадение не менее 2-х очков”, – 5.

Пример 2. (“Набор-10”). Имеется набор из 10 одинаковых на вид открыток, на обратной стороне которых – стихотворные тексты Лермонтова (3), Пушкина (2), Омара Хайяма (1), Веневитинова (1), Анны Ахматовой (1), на двух открытках текста нет. Пусть нас интересует событие – “извлечение открытки со стихотворным текстом”. Ясно, что число исходов, благоприятствующих этому событию, - 8 ( = 3+2+1+1+1).

Определение 5. (классическое определение вероятности события).

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, равновозможных исходов, образующих полную группу.

Обозначим: m – число исходов, благоприятствующих событию А;

n – общее число всех равновозможных исходов, образующих полную группу.

Тогда Р(А) = m/n; 0mn.

Если m = 0, то это означает, что А – невозможное событие и Р(А) = 0.

Если m = n, то А – достоверное событие; Р(А) = 1.

Таким образом, всегда: 0Р(А) 1.

Пример 1. (“Кубик-6”).

Событие А – “выпадение не менее 2-х очков” Пример 2. (“Набор – 10”).

Событие S – “извлечение открытки со стихотворным текстом” 2. Статистическое определение вероятности события Предварительно рассмотрим т.н. относительную частоту события А, которая определяется как отношение числа испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу произведенных испытаний. Обозначим:

W(А) – относительная частота события А;

m – число испытаний, в которых событие А наступило;

n – общее число произведенных испытаний.