Буратино, не глядя, перекладывает три каких-то монеты в левый карман.

Какова вероятность того, что обе золотые монеты оказались в одном кармане?

Эта задача, появляясь в разных формулировках в разных сборниках и на экзаменах, вызвала массу обсуждений. Как выяснилось, большинство специалистов видят в ней комбинаторную задачу со следующим решением.

Общее число комбинаций из 6 монет по 3 равно C6. Выбрать две золотые монеты из двух и одну серебряную из четырех и положить их в левый карман можно C2 C4 способами. Столько же есть способов положить эти выбранные монеты в правый карман. Получаем:

Вот типичное проявление проблемы: вероятность в вузах часто преподается как приложение комбинаторики, и этот подход проецируется на школу. Мы не против комбинаторики. Но важнее воспитание вероятностного мышления. Давайте учить в первую очередь этому. Недолгое раздумье позволяет резко упростить множество возможных исходов. Нам неважно, где оказалась первая золотая монета. Давайте рассмотрим возможные размещения второй Решение. Мысленно присвоим золотым монетам номера 1 и 2. Первая золотая монета окажется в каком-то кармане. В этот карман, кроме нее, попадут еще две монеты из пяти оставшихся. Значит, вероятность того, что вторая золотая монета случайно окажется в том же кармане, равна Важно то, что отсутствие комбинаторики не сужает класс возможных задач. В изучении и преподавании теории вероятностей комбинаторика должна играть вспомогательную роль, и нужна она там, где вероятностные пространства обширные и без нее нельзя обойтись. Нужно использовать хорошие и важные задачи с простыми вероятностными множествами, а не наполнять голову школьника комбинаторными отношениями, выдавая их за суть науки.

5. Прогнозы. В одном из методических изданий встретилась задача.

Две фирмы собирают компьютеры из комплектующих деталей. Первая фирма собирает «левые» компьютеры, вероятность их поломки равна 2,4%.

Вторая фирма собирает компьютеры из качественных деталей. Вероятность их поломки равна 0,6%. Первая фирма продала 6000 компьютеров.

Вторая фирма – 22500 компьютеров. Какая фирма получит больше жалоб на качество?

Решение. x1 - количество неисправных компьютеров первой фирмы, x2 второй фирмы. Тогда Вероятно, следует уточнить, что речь идет о поломке в течение какогото времени, скажем, в течение гарантийного срока. Неявно предполагается также, что жаловаться будут те и только те, у кого сломается компьютер. Но, даже абстрагируясь от нечеткости условия3, и оставив только суть, следует признать, что задача не корректна ни в постановке, ни, тем более, в решении.

Верный ответ на вопрос задачи в том виде, в каком он поставлен, может быть только один – неизвестно, какая фирма получит больше рекламаций (жалоб).

Неудачно использованное слово «левые» несет неоправданный негативный оттенок. Можно подумать, что фирма подпольная. В дальнейшем выясняется, что слово «левые» противопоставлено обороту «из качественных деталей». То есть, первая фирма просто закупает дешевые комплектующие. И, вероятно, продает свои компьютеры дешевле, чем вторая. Таким образом, клиенты второй фирмы просто доплачивают за надежность.

В чем ошибка? Автор задачи механически подходит к вероятностному вопросу, выдавая математические ожидания величин за их достоверные значения. На самом деле компьютеров сломается столько, сколько сломается, и клиентов с рекламациями будет столько, сколько будет. 144 и 135 – это вовсе не x1 и x2, а математические ожидания этих величин, то есть теоретические средние значения. Всего лишь центры, вокруг которых возникает случайное рассеивание. Более вероятно, что недовольных клиентов у первой фирмы будет больше. Это нам подсказывает интуиция и это можно доказать. Но интуиция говорит и другое: средние 144 и 135 довольно близки, а рассеивание обеих величин значительно, поэтому недовольных клиентов у второй фирмы может оказаться больше. Расчет4 показывает, что вероятность события x1 x2 равна 0,696, вероятность события x1 x2, равна 0,283 и есть еще событие x1 x2, вероятность которого равна 0,021.

Если событие x1 x2 (жалобщиков поровну), можно сбросить со счетов как маловероятное, то событие x1 x2 (жалоб больше у второй фирмы) вполне вероятно (0,283). Нельзя уверенно утверждать, что у первой фирмы жалоб будет больше.

Как удачно использовать задачу в 8 или 9 классе, и какие выводы следует сделать Сначала обсудим более простую задачу – сколько первой фирме ждать жалоб? Математическое ожидание числа гарантийных случаев у первой фирмы n1 p1 6000 0,024 144.

Не вдаваясь в тонкости, можно попытаться дать прогноз: предположим, что число обращений в первую фирму будет 144 20, то есть от 124 до (отклонение 20 взято на глазок). Это не очень определенный прогноз, и степень его достоверности нам неизвестна.

Попробуем дать прогноз 144 10, то есть от 134 до 154 обращений. Этот прогноз более определенный? Да. Он более достоверный? Конечно, нет, потому что вероятность более узкого интервала меньше:

Не вычисляя вероятности, мы сделали важное качественное наблюдение: чем прогноз определеннее5, тем он менее достоверен (вероятность его Чтобы точно выяснить, насколько более вероятно преобладание жалоб у первой фирмы, нужно провести обширные вычисления. При желании и возможности учитель с учениками в несколько приемов могут вывести формулу:

Вычисления на доске наверно будут несколько утомительными, зато компьютер (например, Excel) позволяет выполнить их за несколько минут. Результат, как уже сказано, равен 0,696.

Определенность здесь используется в бытовом смысле. Чем шире прогнозируемый интервал значений, построенный около некоторого центра, тем прогноз менее определен в том смысле, что он дает меньше информации.

осуществления меньше). Можно дать совершенно определенный прогноз x1 144, как это сделал автор задачи, но его достоверность крайне низка.

Сообщим учащимся без вычислений, что Таким образом, сделанный наугад прогноз 144 20 оказался вполне вероятным, прогноз 144 10 не очень хороший, а автор задачи взял за достоверный факт маловероятное событие.

Вернемся к исходной задаче. Как мы уже знаем, математическое ожидание числа рекламаций у первой фирмы Ex1 144. У второй фирмы математическое ожидание числа рекламаций вычисляется так же:

Будем прогнозировать количество жалоб 124 – 164 для первой фирмы и 115 – 155 (то есть 135 20 ) для второй фирмы, Опираясь только на это, мы уже понимаем, что жалоб у первой фирмы, скорее всего будет больше, но может случиться и иначе: ведь 155 заметно больше, чем Мы решили задачу на качественном, но интуитивном уровне. Точное количественное решение описано в ссылке на предыдущей странице, но оно и не требуется. Важно подвести учащихся к мысли, что прогнозирование – приложение теории вероятностей и что, как правило, любой прогноз – палка о двух концах: чем он более определенный, тем он менее достоверный. И наоборот. В каждом конкретном случае приходится искать промежуточное решение – компромисс между определенностью и достоверностью.

1. При работе на профильном уровне учащимся можно предложить провести вычисления вероятностей сделанных прогнозов, то есть доверительных интервалов. Требуется знание формулы биномиальной вероятности и умение работать с Excel или аналогичным средством. Выражение для расчета выглядит следующим образом:

При расчете в Excel формула записывается с помощью функции БИНОМРАСП() и размещается в одной ячейке (на рисунке в ячейке В9).

Аналогично можно вычислить вероятности подобных прогнозов для второй фирмы.

6. Объем случайной выборки. В другом методическом пособии, выпущенном институтом развития образования Якутии, обнаружилась интересная статья учителя математики, в которой описан урок о выборочных обследованиях. Процитируем текст, опуская несущественное.

Возникла проблема определения уровня знаний девятиклассников в некотором регионе России, например, в Республике Саха (Якутия). Понятно, что для получения точных результатов исследования необходимо, чтобы в исследовании участвовали все девятиклассники всего региона. Допустим, что мы провели контрольную работу из шести заданий и посмотрим, сколько учеников правильно решает то или иное количество задач. …Для получения вполне достоверной информации по интересующему нас вопросу достаточно провести выборочное исследование, ограничившись проверкой знаний сравнительно небольшой части школьников.

В ситуациях, подобных нашей, обычно ограничиваются обследованием 5 – 10 % всей изучаемой совокупности. Кроме того, осуществляют случайный отбор учащихся, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Пусть в некотором селении девятиклассников всего 716 учащихся. Выберем случайным образом из генеральной совокупности всего 50 учащихся (6,9 %).

В чем ошибка? На самом деле для достижения определенной уверенности в обследовании большой генеральной совокупности специалисты берут выборку вполне определенного объема, который не зависит от численности совокупности. Если изучаемый признак имеет всего лишь два значения (как в описанном случае: либо учащийся решил нужное число задач, либо нет), то можно рассуждать следующим образом.

Пусть интересующая нас случайная величина p – доля учащихся всей совокупности, верно решающих не менее пяти задач. Мы хотим оценить эту долю с точностью, например, 0,025. В качестве оценки мы используем соответствующую долю учащихся выборки, то есть частоту события «Учащийся в выборке верно решил не менее пяти задач». Обозначим эту частоту p.

Сделанная по выборке частотная оценка p должна отличаться от истинного значения p не больше, чем на 0,025. Допустимая вероятность ошибки пусть будет 0,05 (вероятность того, что отклонение оценки от истинной доли больше, чем 0,025 ). Иными словами, мы хотим получить такую выборочную оценку p, что Какого объема n выборку следует взять, чтобы это неравенство выполнялось? При больших значениях числа испытаний (учащихся в выборке) истинное распределение p заменяют нормальным распределением6, из свойств которого следует, что удвоенное стандартное отклонение величины p должно быть не больше допустимой ошибки7, то есть Поскольку p 1 p 0,25, можно положить n 6400 0,25 1600. Тогда нужное неравенство будет заведомо выполняться. Как видим, для оценки n не нужно знать p, а если все же про p что-то известно заранее, то оценку n можно несколько уменьшить8.

Обратим внимание – в оценке объема выборки n не используется размер совокупности. Поэтому странно измерять объем выборки долями генеральной совокупности. Если в селении 716 девятиклассников, то для получения почти достоверных результатов нужно обследовать намного больше, чем 50 человек. А вот если мы имеем, скажем, 70000 девятиклассников, то достаточно обследовать 1600 (при указанной допустимой ошибке и достоверности), не думая о том, сколько это процентов генеральной совокупности.

Что из этого и как следует сказать школьникам 7 – 9 класса Удивительным и важным свойством выборочного обследования является то, что объем выборки не зависит от размера совокупности. В несложных обследованиях достаточная точность (погрешность 3 – 5 %) с большой вероятностью (обычно берут 0,9 – 0,95) достигается при выборке объемом Близость нормального распределения и распределения оценки частоты является предметом центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Множитель перед стандартным отклонением зависит от допустимой вероятности ошибки. При допустимой ошибке 0,05 множитель следует взять 2. На самом деле это даже с небольшим запасом. При множителе вероятность ошибочного прогноза не превышает 0,0456. Если же мы хотим точно следовать допустимой вероятности ошибки 0,05, то можно взять не 2, а 1,96.

Например, если заранее известно, что пять или больше задач решает не менее 80 % учащихся, то p 0,8, поэтому можно взять n 6400 0,8 0,2 1024.

1600 – 2000. Таким образом, можно обследовать совокупность большого размера на распространенность какого-либо признака. Имеется и неудобная сторона: если совокупность невелика, то приходится обследовать ее всю или почти всю. В таких случаях применяют специальные выборочные методы.

Другой важный аспект – репрезентативность, то есть представительность выборки. Выборка должна хорошо отражать изучаемое свойство всей совокупности. Чаще всего наилучший способ создать репрезентативную выборку – сделать ее с помощью случайного выбора.

К сказанному можно добавить, что точность обследования растет медленно – пропорционально n. Пусть, например, в каком-то обследовании для достижения точности 10% пришлось взять выборку n 400 человек.

Предположим, заказчик исследования считает достигнутую точность недостаточной и требует, чтобы допустимая ошибка была понижена до 2%, то есть в пять раз. При той же достоверности исследования выборку придется увеличить в 52 25 раз. Теперь она должна быть 400 25 10000 человек. В результате расходы на составление выборки, само обследование и обработку данных вырастают даже не в 5, а в 25 раз. Не исключено, что, узнав об этом, заказчик ограничится более скромными требованиями.

7. Роль монеты и кубика. Учителя математики в преподавании теории вероятностей, к сожалению, мало используют эксперимент. Да и методик экспериментального обучения школьников пока еще очень мало, они бессистемны и разрозенны. При изучении статистики и вероятности эксперимент необходим так же, как лабораторные работы на уроках физики. К счастью, для проведения вероятностного эксперимента часто не нужны дорогостоящие установки или реактивы9.

На семинаре в Елецком университете в 2010 году учительница рассказала, что один ее ученик на уроке заявил: «Вы говорите, что теория вероятностей глубоко проникла во все сферы жизни, а мы на уроках все время решаем задачки про кубики и монеты. Зачем?». Учительница ответила так.

– Видишь ли, чтобы научиться вычислять вероятности событий окружающей жизни, сперва нужно потренироваться на простых событиях, вероятности которых вычислять легче.

Ответ, разумеется, верный. Действительно, в случайных опытах с монетами, кубиками, картами, жребиями элементарные события равновозможны, и поэтому эти опыты легко описывать, к тому же они позволяют иллюстрировать и проверять утверждения и рассуждения. Но главное не это.

Как хорошо ответить на такой вопрос Монета и кубик позволяют не только иллюстрировать вероятностные эксперименты, но и моделировать их.

Как правило, стоимость оборудования для проведения вероятностного эксперимента в классе, составляет рубля на одного ученика – пластиковый стаканчик за рубль и десять гривенников.

Предположим, нам нужно оценить, сколько мальчиков и девочек разумно ожидать среди 30 первоклассников на будущий год.

Можно ли провести расчет? Да, можно, но школьники этого, как правило, не умеют10. Можно ли провести такой эксперимент вживую? Нужно дождаться будущего года и посчитать пришедших детей, но это исследование будет уже неактуально. Зато уже сейчас можно бросить 30 монет и посмотреть, сколько выпадет орлов и решек11. Если этот эксперимент провести много раз (например, 100), то мы сможем по результатам наблюдений сделать разумные верхние и нижние оценки количества девочек и мальчиков, даже не зная многих фактов теории вероятностей. Это называется статистическим моделированием или методом Монте-Карло.

Чтобы провести такой эксперимент в классе, в котором 25 человек, достаточно, чтобы каждый ученик четыре раза бросил 30 монет, подсчитывая количество выпавших при каждом бросании орлов. Все 100 бросаний по монет в каждом будут проведены в течение 5 – 10 минут. Мы провели такой эксперимент. Результаты в таблице:

Ситуация снова сводится к расчетам по биномиальной формуле. Нужно уменьшать число числе испытаний мальчиков) не больше k, не станет меньше, чем мы готовы допустить. Мы получим разумную нижнюю оценку числа мальчиков и, тем самым, верхнюю оценку числа девочек. В силу симметрии те же оценки будут верны, если поменять мальчиков и девочек местами.

Будем считать, что появления мальчика и девочки равновозможны. На самом деле эти вероятности зависят от разных обстоятельств, но, как правило, мало отличаются от 0,5.

Как видим, при бросании 30 монет число орлов может сильно отличаться от 15. В этой серии опытов получилось от 8 до 20 орлов из 30 монет.

Поставим перед школьниками вопрос – следует ли директору школы рассчитывать на то, что число мальчиков в будущем первом классе будет от 8 до 20? Составим таблицу частот:

Дальше можно поступать по-разному. Например, договоримся считать маловероятными события с вероятностью не больше 0,1, и не будем на них рассчитывать. Возьмем 15 мальчиков (ожидание) за середину и будем отступать от этой точки влево и вправо на один шаг до тех пор, пока суммарная частота (оценка вероятности) внутри выбранного интервала не станет 0,9 или больше. В таблице нужный отрезок частот выделен. Сумма выделенных частот (в столбцах от 11 до 19 орлов) как раз 0,9. Таким образом, в наших допущениях о достоверности прогноза нужно ожидать от 11 до 19 мальчиков, и, видимо, остальные будут девочками12.

Непростая и важная вероятностная задача прогнозирования решена вообще без формул с помощью моделирования. Заодно мы показали, что обычная монета может быть инструментом изучения случайных явлений в природе и обществе.

Можно придумать много экспериментов, где статистическое моделирование с помощью монет и кубиков оказывается результативным. Но легко перестараться.

1. Для статистического моделирования лучше подходят компьютерные программы, чем монеты и кубики.

2. Моделирование действительно сложных экспериментов, которые представляют интерес, само по себе непростая задача.

Главное – убедить школьников, что монеты и кубики (и другие простые генераторы равновозможных событий) – это средства моделирования изменчивых процессов и явлений.

Справедливости ради скажем, что если бы на этом же уровне значимости 0,1 мы решали задачу теоретически, то получили бы тот же интервал – от 11 до 19. Так в данном случае проявился закон больших чисел.

Мы здесь не обсуждаем, насколько хорошо статистическое моделирование приближает результаты теоретических расчетов. Ясно, что это зависит от числа экспериментов – чем больше, тем, скорее всего, лучше.

Наши 100 экспериментов дали нулевую разницу между теорией и практикой. Может быть, нам просто повезло.

В заключение хотим отметить, что проблемы имеются не только в России. Во введении уже отмечалось, что во многих странах статистика и теория вероятностей давно вошли в школьные образовательные стандарты. Казалось бы, дело должно обстоять лучше, чем у нас. Однако и там нередко встречается непонимание сути методов и интерпретаций вероятностных фактов. Как правило, и это видно из содержания учебников, имеется перекос в сторону техники применения вероятностных методов без осмысления сути задач.

Приведем лишь два примера из большого числа имеющихся.

8. Что вероятнее? В одном из проектов АТЭС рабочая группа создавала тест для проверки готовности старшекурсников образовательных специальностей к профессии учителя математики. В разделе «Вероятность и статистика» была предложена следующая задача.

Баскетболист утверждает, что в среднем попадает в корзину 70 раз из 100 попыток. Тренер решил проверить это и обнаружил, что из 100 попыток баскетболист попал в корзину только 55 раз. Что более вероятно – что баскетболист преувеличил свои достижения, а 55 – его обычный результат или что он говорит правду, но у него просто неудачный день?

Предлагаемое авторами решение. Предположим, что вероятность попадания 0,7. Тогда стандартное отклонение числа попаданий при ста бросках равно 100 0,7 0,3 4,58.

Имеет смысл рассмотреть наиболее вероятное событие, включающее 55 попаданий, но не включающее 56 попаданий, то есть событие «при среднем числе попаданий 70 случилось 55 попаданий или меньше». В силу центральной предельной теоремы эта вероятность приближенно равна вероятности того, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, не превосходит Теперь предположим, что истинное среднее 55, то есть вероятность попадания в действительности близка к 0,55. Тогда стандартное отклонение числа попаданий при ста бросках равно Проверим, насколько вероятно событие «при среднем 55 случилось попаданий или больше». В этом случае вероятность не менее 70 попаданий близка к вероятности того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, окажется не меньше, чем 70 55 3,02.

Вероятности событий 3,27 и 3,02 показаны площадями закрашенных на рисунке фигур.

Очевидно, P 3,27 P 3,02. Значит, событие «Случайно не меньше 70 при среднем 55» более вероятно, чем «Случайно не больше 55 при среднем 70». Наверно, баскетболист привирает.

Здесь мы видим применение готового рецепта к искусно скомпонованной и более-менее естественной задаче. Казалось бы, все хорошо.

В чем ошибка? Нет ошибки. Есть глубокое непонимание полученных результатов. Почему? Давайте найдем эти вероятности, пользуясь, например, таблицей стандартного нормального распределения или Excel:

Если вы не сразу заметили фигуры на рисунке, так это потому, что это нелегко. Обе вероятности пренебрежимо малы. Бессмысленно сравнивать вероятности двух практически невероятных событий. Это все равно, что всерьез рассуждать, что более вероятно при прогулке по Москве: случайно встретить дикого пингвина или бродячего слона.

Как правильно распорядиться сюжетом Баскетболист утверждает, что в среднем попадает в корзину 70 раз из 100 попыток. Тренер решил проверить это и обнаружил, что из 100 попыток баскетболист попал в корзину только 55 раз. Насколько вероятно, что баскетболист говорит правду?

Получилась осмысленная задача на биномиальную вероятность. Можно воспользоваться нормальным приближением, как поступили авторы задачи.

Решение с помощью нормального приближения: вероятность попасть не более 55 раз в корзину при ожидаемом числе попаданий 70, приближенно равна вероятности того, что стандартная нормальная величина не превосходит Дополнительная вероятность 0,99946 за то, что баскетболист несколько преувеличил свою меткость. Такое событие многие люди склонны считать практически достоверным.

9. Эми готовится к экзамену. Еще одна задача из того же источника.

Школьники Вашего класса получили задачу: Эми готовится к экзамену по математике и еженедельно выполняет подготовительные тесты. Ее результаты (в процентах от максимального балла) показаны в таблице.

а) Постройте диаграмму рассеивания по данным таблицы;

б) Определите наиболее подходящую модель, которая описывает оценки Эми с течением времени.

Один школьник предложил линейную модель, другой школьник предложил квадратичную модель, а третий – логарифмическую.

А. Какой из ответов верный?

Б. Как убедить других школьников в том, что их модели не подходят?

Предлагаемое решение. А. Если мы рассмотрим диаграмму рассеивания, то увидим, что логарифмическая модель – правильная, потому что в целом повторяет форму диаграммы. Похоже, что оценки Эми со временем возрастают все медленнее.

Б. Линейная модель не подходит, потому что, используя ее для прогнозирования, мы увидим, что оценки Эми скоро превысят 100%, чего не может быть (логарифмическая модель также дает превышение 100%, но это случится много позже; можно считать, что к этому времени Эми уже закончит подготовку).

Если использовать квадратичную модель, то подходящий квадратный трехчлен имеет отрицательный старший коэффициент. В этом случае оценки со временем начнут уменьшаться. Кроме того, они достигнут отрицательных значений, что также неправдоподобно.

В чем здесь странность? Дело в том, что авторы задачи, говоря о модели, не указали никаких желаемых свойств этой модели – меру близости теоретических и наблюдаемых значений, непрерывность, возможность строить прогнозы и т.п. Если никакие свойства не указаны, то самой лучшей моделью, безусловно, будет точная модель. Например, сама таблица. Или можно построить многочлен Лагранжа, который пройдет точно через все точки.

Можно придумать множество хороших и разных моделей13.

Если линейная модель не устраивает авторов задачи, поскольку линейная функция преодолеет 100% рубеж, то почему устраивает логарифмическая? Рассуждение про «много позже» неубедительно. А если хороша логарифмическая, которая не скоро станет слишком большой, чем плоха квадратичная, которая тоже весьма не скоро станет слишком маленькой?

Как построить обсуждение со школьниками?

Скорее всего, никак. Если в российской школе когда-нибудь будут рассматриваться регрессионные модели14, то, вероятно, тогда мы и будем о них говорить. Но в любом случае мы должны понимать, что перед построением какой-либо модели следует иметь ясное представление, зачем она нужна и каковы ее свойства. Например, будет она использоваться для экстраполяции или для интерполяции? Должна ли она быть непрерывной? Должна ли отражать вероятностные характеристики процесса?

Учитель может найти множество примеров, связанных с неаккуратным толкованием корреляций и регрессионных моделей, в книге [7]. Заблуждения в этой области поистине неисчерпаемы в своем разнообразии. Мир полон ложных корреляций, а литература – неудачных моделей.

1. Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко, Преподавание теории вероятностей и статистики в школе по учебному пособию Ю.Н. Тюрина и др. «Теория вероятностей и статистика», Математика в школе, №7, Москва, Школьная пресса, 2009, с. 14-31.

2. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев, И.Р.Высоцкий и др., О теории вероятностей и статистике в школьном курсе, Математика в школе, №7, Москва, Школьная пресса, 2009, с. 3-13.

3. Е.А.Бунимович, И.Р.Высоцкий, А.А.Макаров и др., Терминология, обозначения и соглашения в школьном курсе теории вероятностей и статистики, Издательский дом Первое Сентября, Математика, №17, 2009, с. 13-27.

4. Ковалева Г.С. и др. Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся PISA-2006, М.: ЦOКО, 2007.

5. А.В.Петровский. Запрет на комплексное исследование детства // Репрессированная наука, Л.: Наука, 1991, с.126–135.

Возможно, лучшую модель может предложить сама Эми, как наиболее информированный персонаж, но у нас нет ее телефона. Справедливости ради скажем, что обе задачи – про баскетболиста и про Эми – были исключены из теста.

Некоторая попытка в качестве эксперимента поговорить о регрессиях, корреляциях и методе наименьших квадратов в учебном пособии для старшеклассников, предпринята в [10]. Но и там соответствующий раздел не содержит задач, поскольку отсутствие опыта преподавания не позволяет на данный момент понять, какие задачи и упражнения на эту тему важны, востребованы и возможны в настоящее время.

6. K.Kakihana, S.Watanabe. Statistic Education for Lifelong Learning. // The 6th East Asia Regional Conference on Mathematical Education. Vol.3, p. 318–322.

2013, ICMI, Phuket, Thailand.

7. Ю.Н.Благовещенский. Тайны корреляционных связей. М.: ИНФРА-М, 2009.

8. David S. Salsburg. The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century. NY.: 2001.

9. M.Isoda, O.Gonzales. Survey on Elementary, Junior and High School Teachers’ Statistical Literacy – The Need for Teacher training in Variability. //Journal of Scince Education Research, 2012, #37, Japan Society for Science Education, pp.61-76.

10. Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. Теория вероятностей и статистика. Экспериментальный учебник для 10-11 классов. М., МЦНМО, 2014.