1

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный агроинженерный университет

имени В.П. Горячкина»

УТВЕРЖДАЮ

Декан ФЗО проф. П.С. Силайчев _ _ 2011 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

по дисциплине

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Специальности 110302 – электрификация и автоматизация сельского хозяйства УМК рассмотрен и одобрен на заседании кафедры «Теоретическая механика и ТММ»

Протокол № 2б от 24 февраля 2011 г.

Разработчик, д.т.н. М.И. Белов МОСКВА – Содержание 1. Основные положения 2. Примерная программа дисциплины 3. Рабочая программа дисциплины и практики 4. Календарно-тематический план 5. Методические указания по проведению основных видов занятий 6. Тематика заданий курсовой работы 7. Методические указания для студентов по выполнению курсовых работ 8. Задания для контроля знаний студентов 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины 10. Литература Приложение. Курс лекций.

I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с положениями и

рекомендациями ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

подготовки дипломированного специалиста с квалификацией инженер по направлению 660300 Агроинженерия, специальность 110302 Электрификация и автоматизация сельского хозяйства (приказ Министерства образования Российской Федерации от 02.03.2000 г. № 686).

Нормативный срок освоения основной образовательной программы по направлению подготовки дипломированного специалиста "Агроинженерия" при очной форме обучения 5 лет.

Теоретическая механика - фундаментальная естественная дисциплина, изучающая законы механического взаимодействия и механического движения материальных точек и абсолютно твердых тел.

Предмет дисциплины – теоретические основы проектирования и строительства различных сооружений, механизмов и машин, а также разработки и эксплуатации автоматизированных объектов.

II. ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Курс дисциплины «Теоретическая механика» включает статику, кинематику, динамику и элементы аналитической механики.

В СТАТИКЕ изучаются условия равновесия точек и тел под действием приложенных к ним сил: понятия силы, момента силы относительно точки и оси, пары сил; методы преобразования систем сил, условия и уравнения равновесия твердых тел под действием приложенных к ним сил.

В КИНЕМАТИКЕ точки и системы изучаются характеристики движения геометрических точек и материальной системы точек без учета действующих на них сил: способы задания движения точки; скорость и ускорение точки; поступательное движение тела; вращение твердого тела вокруг неподвижной оси;

плоскопараллельное движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости; абсолютное и относительное движения точки; сложное движение твердого тела.

В ДИНАМИКЕ точки и материальной системы изучаются движения материальных точек и тел под действием приложенных к ним сил: законы Ньютона;

дифференциальные уравнения движения материальной точки и механической системы; количество движения материальной точки и механической системы;

момент количества движения материальной точки и системы относительно центра и оси; кинетическая энергию материальной точки и механической системы; работа сил, приложенных к точкам системы, общие теоремы динамики системы; понятия о силовом поле и потенциальном поле сил, законы движения и сохранения в потенциальном поле сил.

III. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ И ПРАКТИКИ

III.1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины – дать студентам знания о материалистических законах природы, проявляемых в виде механических взаимодействий и движений тел.

Задачи дисциплины – обеспечить понимание студентами области применения полученных знаний для освоения курсов детали машин и подъёмнотранспортных устройств, автоматизации и управления объектами сельского хозяйства и других, необходимых им в практической деятельности в области электроснабжения и автоматизации объектов сельского хозяйства.

III.2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины студент должен узнать основные положения механики взаимодействия и движения тел, формулируемые в виде аксиом и теорем, и уметь применять эти знания в дальнейшей учебе и работе.

Студент должен научиться правильно ставить задачу силового расчета и проектирования и оценки работоспособности машин и оборудования объектов сельского хозяйства, в которых выбирать расчётную модель и проводить необходимые расчёты, основанные на теоремах статики, кинематики и динамики, в процессе, типовых для данной отрасли, а также применять общенаучные положения теоретической механики для статического, кинематического и динамического расчетов механических систем, приборов, оборудования в условиях монтажа и эксплуатации рабочих машин.

III.3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

IV. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Лекция 1. Основные понятия, аксиомы и Занятие 1. Выпол- Прозадачи статики. Связи. Реакции связей. Решение за- нение верка рах сил. Примеры.

Лекция 2. Условия равновесия произволь- Занятие 2. Выпол- Проной системы сил в общем и частных слу- Решение за- нение верка задания движения точки. Естественный ление скорости и ускорения при естественном способе задания движения точки.

Лекция 3. Кинематика твердого тела. По- Занятие 3.

центр скоростей и способы его определения. Определения ускорений движения точки при вращательном и плоскопараллельном движениях тел.

Лекция 4. Динамика свободной матери- Занятие 4.

Центр масс. Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс.

Лекция 5. Элементарная и полная работа Занятие 5.

силы. Мощность. Работа сил, приложен- Решение заных к твёрдому телу при различных его дач системы. Дифференциальные уравнения вращательного и плоскопараллельного движений тела.

V. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ОСНОВНЫХ ВИДОВ

УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ

Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий и лабораторных работ.

При составлении планов лекций и практических занятий следует придерживаться следующего примерного распределения учебного времени по трем разделам теоретической механики:

При проведении лекций в аудиториях, оснащенных медийными средствами, необходимо иметь лекции в электронном виде и использовать компьютерные технологии подачи материала.

При проведении лекций и семинаров рекомендуется демонстрировать макеты и модели механических систем.

реакции связей.

3 Векторный и алгебраи- Лекция 1, Проекция вектора и суммы ческий момент силы от- Занятие 1 векторов на плоскость носительно центра и оси.

Уравнения движения Лекция 2, Модель, иллюстрирующая точки в естественном Занятие 2 естеств. триэдр для точки на Кинематика поступа- Лекция 2, Модель ТМ-63 для демонсттельного движения тела Занятие 2 рации поступательного движения твердого тела Теорема о сложении ус- Лекция 3 Прибор ТМ-36/2 для демонкорений (Теорема Ко- Занятие 3 страции кориолисовой силы Теорема о движении Лекция 3, Установка ТМ-35 для демонцентра масс системы Занятие 3 страции теоремы о движении Закон сохранения Лекция 4, Установка ТМ-46 (Скамейка кинетического момента Занятие 4 Жуковского) Теоремы об изменении Лекция 5, Математический и физичекинетического момента Занятие 5 ский маятники ТМ- точки и материальной системы относительно Преподаватели, ведущие практические занятия и лабораторные работы, обязаны выдавать студентам необходимые методические материалы, имеющиеся на кафедре, для выполнения курсовой работы.

Наряду с плановыми занятиями преподаватель обязан предусмотреть дни и часы для проведения консультаций и проверки заданий курсовой работы. Количество и продолжительность консультаций должно соответствовать времени, выделенному на проверку курсовой работы в учебных планах. Время и аудитория для консультаций должны быть согласованы со студентами и учебным отделом.

Дополнительные занятия организуются преподавателем по личной инициативе или по требованию студентов и согласуются с зав. кафедрой и учебным отделом. Они не должны носить принудительного характера.

VI. ТЕМАТИКА ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТЫ

Определение реакций опор балки, находящейся в покое под действием плоской системы сил Определение реакций опор балки, находящейся в покое под действием пространственной системы Сложное движение точки Динамика свободной точки Общие теоремы динамики механической системы

VII. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КУРСОВЫХ (КОНТРОЛЬНЫХ) РАБОТ

Для допуска к зачету студент должен выполнить задания контрольной работы.

Для сдачи зачета студент должен защитить сданные на проверку задания контрольных работ.

Для получения допуска к экзамену студент должен сдать зачет.

Задания вместе с исходными данными и методическими указаниями их выполнений выдаются преподавателем, к которому прикреплен студент.

Контрольные работы представляются на проверку в тетрадях в клетку с соблюдением требований к их выполнению. Они должны содержать исходные схемы и данные, расчетные схемы, алгоритмы и формулы расчетов, результаты вычислений в системе СИ.

При подготовке задания студент вправе получить консультации, а также информацию о сроках и аудитории защиты задания.

При размещении преподавателем заданий курсовой работы на портале дистанционного обучения МГАУ по адресу http:\\sysdo.msau.ru\ студент, по согласованию с преподавателем, вправе сдавать задания в электронном виде с соблюдением формы, указанной преподавателем.

VIII. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ

Контроль знаний студентов осуществляется на основе результатов проверки заданий контрольной работы,

VIII.1. ПРОВЕРКА ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для сдачи контрольной работы студент обязан сдать все задания в сроки, обозначенные преподавателем. Задание считается не принятым, если преподаватель оценил его с оценкой «неудовлетворительно». Студент, не сдавший курсовую работу и не получивший зачета, не допускается к экзамену.

Задание считается не принятым, если оно не представлено на проверку, имеет неправильный вариант или содержит одну из следующих ошибок:

расчетная схема составлена неверно;

расчетные уравнения составлены неверно;

расчетные уравнения решены неверно;

допущены грубые вычислительные ошибки.

VIII.2. ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ

Вопросы теста разрабатываются лектором, должны соответствовать программе дисциплины и утверждаются на заседании кафедры.

Как определяется механическая сила?

Как формулируется аксиома о параллелограмме сил?

Каковы условия равновесия тела, на которые действуют две силы?

Что называется механической связью?

Что такое реакция механической связи?

Какие силы называются сходящимися?

Каковы условия равновесия тела, на которые действуют три непараллельные силы?

Какая сила называется равнодействующей?

Как определятся момент силы относительно центра?

Как определятся алгебраический момент силы относительно центра?

Как определятся момент силы относительно оси?

Чем характеризуется пара сил?

В каких случаях две пары сил уравновешены?

Каковы векторные условия равновесия плоской системы сил?

Каковы векторные условия равновесия произвольной системы сил?

Каковы аналитические условия равновесия плоской системы сил?

Каковы аналитические условия равновесия произвольной системы сил?

Как определяется геометрическая точка?

Какие кинематические характеристики движения точки существуют?

21. Каково определение скорости движения точки и что характеризует скорость?

22. Каково определение ускорение движения точки и что и что характеризует ускорение?

23. Какие виды ускорения точки существуют?

24. Какое движение тела называется поступательным?

25. Какое движение тела называется вращательным относительно неподвижной оси?

Какими параметрами характеризуются поступательное и вращательное движения тела?

27. Какие кинематические характеристики вращательного движения тела существуют?

28. Как определяется угловая скорость и что она характеризует?

29. Как определяется угловое ускорение?

Какое движение тела называется плоскопараллельным?

31. Какое движение фигуры называется плоским?

32. Какая точка называется мгновенным центром скоростей?

33. Какие движения точки называются относительным и абсолютным?

34. Как определяются скорости переносного, относительного и абсолютного движений точки?

35. Как формулируется теорема о сложении скоростей?

36. Как определяются ускорения переносного, относительного и абсолютного движений точки?

37. Как формулируется теорема о сложении ускорений?

38. Как определяется вектор ускорения Кориолиса?

39. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?

40. Как определяется материальная точка?

41. Как записывается основное уравнение динамики точки в векторном виде?

42. Как записываются дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовой системе координат?

43. Как записываются дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в естественном виде?

44. Как определяется материальная система?

45. Как определяется центр масс материальной системы в векторном и аналитическом видах?

46. Как определяется центр масс тела в векторном и аналитическом видах?

47. Как записывается теорема о движении центра масс в векторном и аналитическом видах?

48. Какова формулировка закона сохранения центра масс механической системы?.

49. Каковы определения количества движения материальной точки и импульс силы?

50. Каково определение количества движения механической системы?

51. Как формулируются теоремы об изменении количества движения точки и системы?

52. Как формулируется закон хранения количества движения системы?

53. Как определяются моменты количества движения точки относительно центра и оси?

54. Как определяются кинетические моменты материальной системы относительно центра и оси?

55. Как определяются кинетические моменты тела относительно центра и оси?

56. Как определяется момент инерции тела относительно оси?

57. Как определяется радиус инерции тела?

58. Каковы моменты инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс и конец?

59. Каков момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс?

60. Как формулируется теорема теорему Гюйгенса-Штейнера.

61. Как формулируется закон хранения кинетического момента системы?

62. Какие примеры подтверждения закона хранения кинетического момента системы известны?

63. Как записывается дифференциальное уравнение вращения тела относительно неподвижной оси?

64. Как определяется работа силы в дифференциальном и интегральном видах?

65. Как определяется мощность, связанная с силой?

66. Какое поле называется силовым?

67. Какое силовое поле называется потенциальным?

68. Как определяется потенциальная энергия?

69. Как определяется кинетическая энергии точки и системы?

70. Как определяется кинетическая энергии тела при плоскопараллельном движении?

71. Какова формулировка и запись теоремы об изменении кинетической энергии точки ?

72. Какова формулировка и запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы?

VII.3. ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

1. Механические силы. Основная задача статики. Аксиома о параллелограмме сил.

2. Аксиома об абсолютно твердом теле и теорема о переносе силы. Аксиоматические свойства системы сил.

3. Механические связи и реакции связей.

4. Аксиома об освобождении от связей.

5. Векторное и графическое условия равновесия системы сходящихся сил.

6. Момент силы относительно точки.

7. Момент силы относительно оси и проекция момента силы на ось.

8. Пара сил и теоремы о паре сил.

10. Теорема о параллельном переносе силы.

11. Теорема о приведении сил к центру.

12. Условия равновесия свободного твердого тела в векторном виде.

13. Условия равновесия свободного твердого тела в аналитическом виде.

14. Частные случаи равновесия свободного твердого тела.

15. Условия равновесия рычага.

16. Основная задача кинематики. Векторный способ задания движения точки.

17. Координатный способ задания движения точки.

18. Закон движения точки, заданный в естественном виде.

19. Векторный и координатный способы определения скорости движения точки.

20. Определение скорости движения точки естественным способом.

21. Векторный и координатный способы определения ускорения движения точки.

22. Определение ускорения движения точки естественным способом.

23. Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях точек тела. Теорема о распределении скоростей и ускорений. Уравнения поступательного движения.

24. Вращательное движение тела относительно неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение.

25. Угловая скорость и угловое ускорение как векторы.

26. Линейная скорость и линейное ускорение точки твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси.

27. Определение плоскопараллельного движения тела. Уравнения плоского движения фигуры.

28. Распределение линейных скоростей точек плоской фигуры при плоском движении.

29. Мгновенный центр скоростей и частные случаи его определения.

30. Распределение линейных ускорений точек фигуры при плоском движении.

31. Понятие об абсолютном, относительном и переносном движениях точки.

32. Уравнения относительного и абсолютного движения точки в координатном виде.

33. Теорема о сложении скоростей.

34.Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

35. Способы определения кориолисова ускорения при движении точки в плоскости вращения фигуры и тела.

36. Основной закон динамики. Дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторном виде.

37. Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в координатном виде.

38. Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в естественном виде.

39. Две основные задачи динамики материальной точки.

40. Количество движения и теорема об изменении количества движения материальной точки.

41. Момент количества движения и теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

42. Элементарная и полная работа силы.

43. Теорема о работе равнодействующей сил.

44. Определение мощности, связанной с силой.

45. Кинетическая энергия и теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

46. Работа силы тяжести.

47. Работа силы упругости пружины.

48. Система материальных точек. Центр масс материальной системы.

49. Теорема о движении центра масс материальной системы.

50. Количество движения системы материальных точек. Теорема об изменении количества движения материальной системы. Закон сохранения количества движения.

51. Кинетический момент системы материальных точек.

52. Теорема об изменении кинетического момента материальной системы.

53. Закон сохранения кинетического момента.

54. Осевой момент инерции тела. Радиус инерции тела относительно оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера.

55. Осевые моменты инерции однородного стержня и кругового цилиндра.

56. Кинетический момент абсолютно твердого тела относительно оси.

57. Теорема об изменении кинетического момента тела при вращении тела вокруг неподвижной оси.

58. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси.

59. Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения тела.

60. Кинетическая энергия материальной системы и теорема Кёнига для системы.

61. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

62. Кинетическая энергия твердого тела при плоско-параллельном движении. Теорема Кёнига для тела.

63. Теорема о работе равнодействующей.

64.Работа силы и сил, приложенных к твёрдому телу. Работа пары сил.

65. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальное силовое поле. Потенциальные силы. Примеры.

66. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.

67. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

68. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы.

69. Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела.

IX. МАТЕРИАЛЬНО_ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Демонстрационные модели 1. Модель для демонстрации связей.

2. Разложение вектора по правилу параллелограмма (ТМ-2) 3. Проекция на плоскость суммы векторов (ТМ-1) 4. Перенос пары в параллельную плоскость (ТМ-3) Кинематика.

1. Модели для демонстрации поступательного движения тела (ТМ-63), (ТМ-63/2) 2. Кулисные механизмы 3. Прибор для иллюстрации мгновенного центра скоростей 4. Планетарный механизм (ТМ-62) Демонстрационные плакаты.

Статика.

1. Основные типы идеальных связей их реакции.

2. Приведение системы сил к простейшему виду.

3. Условия равновесия плоской системы сил.

4. Равновесие сочлененной системы тел.

5. Условия равновесия пространственной системы сил 7. Центр тяжести некоторых однородных фигур и тел.

Кинематика 1. Кинематические характеристики движения точки. Векторный способ задания движения 2. Кинематические характеристики движения точки. Задание движения точки в декартовых координатах 3. Кинетические характеристики движения точки. Естественный способ задания движения 4. Ускорение точки в частных случаях 5. Поступательное движение тела 6. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси 7. Сложное движение точки 8. Направление ускорения Кориолиса 9. Физическое обоснование возникновения ускорения Кориолиса 10. Плоскопараллельное движение тела 11. Мгновенный центр скоростей 12. Мгновенный центр ускорений 13. Сферическое движение. Мгновенная ось вращения. Скорости точек 14. Сложение угловых скоростей 15. Сферическое движение тела. Углы Эйлера Динамика 1. Аксиомы (законы) движения 2. Дифференциальные уравнения движения точки 3. Относительное движение точки 4. Моменты инерции простейших тел относительно главных центральных осей инерции 5. Центр масс механической системы 6. Количество движения и импульс силы 7. Теорема об изменении количества движения 8. Момент количества движения точки 9. Теорема об изменении момента количества движения 10. Работа силы 11. Мощность силы 12. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

X. ЛИТЕРАТУРА

С.М. Тарг Краткий курс теоретической механики. "Наука", г. и др. издания.

Н.Н. Никитин. Курс теоретической механики», М., Высшая школа, 2003 г.

М. И. Белов, Б.В. Пылаев. Теоретическая механика. М.МГАУ, 2011.

Электронный учебник. http://sysdo.msau.ru.

И.В. Мещерский Сборник задач по теоретической механике. М., "Наука", 1981 и посл. изд.

Б.И. Турбин. Теоретическая механика, Сельхозгиз, 1959 г.

М.И. Бать и др. Теоретическая механика в примерах и задачах, Статика. Кинематика», Т I, М. Наука., 1971 г.

Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. Курс теоретической механики», М. Наука, Т.1, 1979 г.

Методические указания и контрольные задания по теоретической механике, 4-е издание под ред. С.М. Тарга, М., Высшая школа, 1989 г.

М.И. Белов. Кинематика точки и простейших движений тела. Учебно-методическое пособие/ М.И. Белов. – М.: РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева, 2009.

Приложение Механика это наука о механическом движении материальных тел и взаимодействиях между ними.

Под материальным телом понимается объект, состоящий из вещества, непрерывно заполняющего ограниченную часть пространства, включая границу.

Твердое тело характеризуется стабильностью, проявляющейся в том, что частицы вещества находятся в устойчивом положении равновесия. Во время движения твердых тел и взаимодействий с другими телами форма и размеры их могут изменяться.

В теоретической механике рассматривается идеализированная схема твердого тела, а именно, абсолютно твердое тело.

Твердое тело называется абсолютно твердым, если расстояние между любыми его двумя точками не изменяется. Следовательно, форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются.

2.1. Механические силы. Основная задача статики В основе теоретической механики лежит система законов и аксиом, найденная в результате обобщения наблюдений над механическими движениями.

Основные законы классической механики впервые были сформулированы И.

Ньютоном в 1687 г. Из них следует, что механическая сила — это движение, которое в механической форме передается от одного тела к другому при их взаимодействиях и служит мерой взаимодействия тел.

Первый закон — закон инерции — формулируется так: всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или прямолинейного и равномерного движения, пока и поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.

Идеализацией абсолютно твердого тела, масса которого имеет важное значение, а размерами можно пренебречь, служит материальная точка.

Системой материальных точек называется такая совокупность точек, движение и положение которых взаимно связаны.

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, взаимное относительное расположение которых не изменяется.

Каждая сила характеризуется величиной, направлением в пространстве и точкой приложения. Таким образом, сила — вектор. Сила изображается направленным отрезком прямой. Длина отрезка, изображающего вектор силы, величина силы и модуль вектора силы — равнозначные понятия.

Основная задача статики состоит в установлении условий, которым должна удовлетворять система сил, приложенных к абсолютно твердому телу, чтобы это тело находилось в состоянии покоя.

Напомним: аксиома — положение, принимаемое без доказательства в силу его убедительности.

Правило параллелограмма сил аксиоматически сформулировал И. Ньютон. Современная формулировка этого правила такова:

если к материальной точке А приложены две исходные силы F 1 и F 2, то их действие можно заF менить действием одной силы — их равнодействующей; равнодействующая сила F приложена к определяется диагональю параллелограмма, по- Рис. 1.1. Равнодейстстроенного на отрезках прямых, которыми изовующая сила F бражаются исходные силы (рис. 1.1).

2.3. Аксиома об абсолютно твердом теле и теорема о переносе силы Определение: прямая, на которой отложен отрезок, изображающий силу, называется линией действия силы (рис.

положена в основу вывода условий равновеa сия твердых тел: две силы, действующие на абсолютно твердое тело, уравновешиваются тогда и только тогда, когда они действуют силы F, приложенной в т. О вдоль общей линии действия в противоположных направлениях и их модули равны.

Силы F 1 и F 2, приложенные в точках О1 и О2 абсолютно твердого тела, уравновешиваются только тогда, когда они лежат на линии действия аа, проходящей через точки О1 и О2, и F 2 =– F 1 (рис. 1.3).

Рис. 1.4. Механически этой теоремы следует из аксиомы о твердом теле и аксиоматических свойств системы сил, формулируемых ниже.

На основании аксиомы об абсолютно твердом теле и аксиомы о параллелограмме сил можно сформулировать аксиоматические свойства системы сил:

определение 1: если материальная точка движется равномерно, прямолинейно или находится в состоянии покоя( в состоянии равновесия), то силы, действующие на нее, уравновешиваются, то есть их векторная сумма равна нулевому вектору;

определение 2: если каждая точка системы материальных точек находится в равновесии, то система в целом находится в равновесии;

определение 3: движение системы материальных точек не изменяется при приложении к точке уравновешенной системы сил.

Определение: связями называются геометрические или кинематические ограничения движения точек системы.

Если на движение точек системы не наложены наперед заданные геометрические и кинематические ограничения, то система называется свободной. В противном случае система материальных точек называется несвободной.

Пример свободной системы — солнечная система планет, к которой принадлежит Земля. Движения планет не ограничены наперед заданными условиями.

Примером несвободной системы является механизм. Например, в кривошипно-ползунном механизме, схематически А В – по прямой аа. Геометрическими связями для точки А являются вращающийся относительно неподвижной оси кривошип ОА и шатун Рис. 1.5. КривошипноАВ, а для точки В – направляющие вв ползуна и ползунный механизм шатун АВ.

Наблюдая статические и динамические взаимодействия тел, И. Ньютон пришел к установлению закона, который называется третьим законом механики: действию всегда соответствует равное ему и противоположно направленное Рис. 1.6. Реакция связи RA и сила трения Rt ния тел А и В, ограниченных гладкими поверхностями, аа — общая касательная плоскость. На тело А, кроме внешних активных сил F 1, F 2, F 3, также будет действовать и сила R A со стороны тела В. Она приложена в т. М тела А.

Противодействие связи — сила R A — называется силой реакции связи или реакцией связи. Реакция связи — пассивная сила, зависящая от активных сил. В соответствии с третьим законом Ньютона на тело В будет действовать противодействующая сила R B, равная по величине и противоположно направленная силе R A. Сила R B приложена в т. М тела В. Силы R A и R B действуют на разные тела и приложены к разным точкам, поэтому их нельзя рассматривать как уравновешенные.

Применяя аксиому о параллелограмме сил, разложим силу R A на две силы: Rn и R t. Вектор Rn силы направим по внешней нормали к поверхности связи, а силу R t — по касательной. Касательную составляющую реакции связи называют силой трения. Она порождается ограничениями на скольжение тела по поверхности связи. В ряде случаев силой трения пренебрегают. Поверхность связи или связь в этом случае называют идеально гладкой.

Реакция идеально гладкой связи направлена по внешней нормали к поверхности связи.

ной касательной плоскости, а поверхность тела имеет и является гладкой, то реакция связи направлена по внутренней нормали к ней (рис. 1.7) 2. Реакция связи в виде нити, веревки, цепи отреакции связи лична от нуля только тогда, когда связь находятся в состоянии растяжения. Сила реакции при этом направлена вдоль нити, веревки, цепи от точки касания по нити, веревке, цепи (рис. 1.8).

3. Пусть связью является стержень с точечными шарнирами на концах, на который не действуют внешние силы между шарнирами.

Реакция связи отлична от нуля тогда, когда стержень находится в состоянии растяжения или сжатия. Сила реакции при этом направлена вдоль стержня по стержню или от стержня (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Реакция R стержня 2, приложенная в т. М стержня На рис. 1.10 схематично изображены опоры плоских систем стержней, когда внешние активные силы расположены перпендикулярно оси вращения шарниров опор, и их реакции.

Рис. 1.10. Реакции опоры А горизонтального стержня 1 в виде заделки (a), неподвижного шарнира (b), подвижного шарнира (с) Заделка стержня в точке А препятствует перемещению конца А стержня вдоль горизонтальной 0х и вертикальной 0у осей и повороту стержня 1. Поэтому со стороны связи в виде заделки на стержень действуют горизонтальная и вертикальная силы реакции X и Y, и пара сил реакции, создающая момент М (о моменте пары сил будет говориться в дальнейшем). В соответствии с аксиомой о параллелограмме сил силы X и Y можно заменить действием одной силы реакции.

Подвижный шарнир не препятствует повороту стержня 1 и его реакцию можно разложить на горизонтальную и вертикальную силы X и Y. Реакция Y изображенного подвижного шарнира направлена вдоль опорного стерженька 2.

Аксиома об освобождении от связей имеет важнейшее значение в теоретической механике:

механическое состояние (движения или покоя) абсолютно твердого тела (системы материальных точек) не изменится, если освободить его (её) от связи, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связи.

Пример. Пусть горизонтальная балка АВ в состоянии покоя опирается на неподвижный А и подвижный В точечные шарниры.

Будем считать, что балка — абсолютно твердое тело. В соответствии с аксиомой об освобождении от связей механические состояния систем 1 и 2, изображенных на рис. 1.11, эквивалентны. Эквивалентность механических состояний означает, что состояние покоя балки АВ не нарушится, если освободить ее от опор, приложив в точках А и В реакции опор. Будем придерживаться слеух но.

условия равновесия системы Определение: силы называются сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть в точках абсолютно твердого тела приложены силы F1, F2, F3, линии действия которых пересекаются в т. О (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Система сходящихся сил 1 и эквивалентные системы 2, 3, В соответствии с теоремой о переносе силы вдоль ее линии действия система 2 механически эквивалентна системе 1 сходящихся сил (рис. 2.1). В соответствии с аксиомой о параллелограмме сил R1 = F1 + F2 и система 3 сил R1, F R = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 и система 4 силы R эквивалентна системе 3. Таким образом, система сходящихся сил приводится к равнодействующей силе R. Она равна векторной сумме сил и приложена в точке пересечения линий действия сил (рис. 2.1).

Из аксиомы об абсолютно твердом теле следует, что сходящиеся силы уравновешиваются тогда, когда равнодействующая сила R равна нулевому вектору: R = 0. Векторное условие равновесия n сходящихся сил F1, F2, …, Fn можно записать в виде Начало вектора R есть точка пересечения линий действия сходящихся сил и для его определения достаточно найти его конец. Как видно на рис. 2.1, конец вектора, точку С, можно найти построением вершин О, А, В и С многоугольника ОАВСО, называемого многоугольником сил. Его первая вершина — точка пересечения линий действия сил. Каждая последующая вершина есть конец вектора любого из оставшихся векторов сил при помещении его начала в последнюю найденную вершину.

Графическое условие равновесия системы сходящихся сил выполняется тогда, когда последняя вершина (т. С) многоугольника совпадает с первой вершиной (т. О), и многоугольник сил замкнут.

Теорема (о сложении параллельных сил): если векторная сумма R двух параллельных сил F1, F2, приF О, которая лежит на прямой, О2, и отстоит от них на расстояниях, отношение которых обратно пропорционально отношению модулей векторов сил. Если направления сил совпадают, то точка О расположена на отрезке О1О2, иначе вне отрезка О1О2 ближе к точке приложения наибольшей по модулю силы (рис.

2.2).

Если векторная сумма двух параллельных сил равна нулевому вектору, то их равнодействующей не существует.

родного абсолютно твердого тела, имеющего вертикальную ось симметрии, равна весу тела и приложена к точке этой О1 О Действительно, разбиением тела на симметрично рас- F положенные материальные точки О1, О2 весом F и заменой двух сил F равнодействующей 2 F, приложенной в произвольной точке О оси симметрии, приведем все силы тяжести Следствие 2. Равнодействующая сил тяжести одноО О2 родного абсолютно твердого тела, имеющего две оси симО метрии, равна весу тела и приложена к точке пересечения этих осей.

Определение: векторным произведением векторов a и b, обозначаемым го равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними. Вектор c ортогонален векторам a и b. Если начала a векторов a, b, c поместить в одну точку, b то при наблюдении с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к веквектора c тору b должен происходить против часовой стрелки (рис. 2.3).

Определение: моментом силы F, приложенной в точке А тела, относительно точки О тела называется вектор M O, приложенный в точке О и равный векторному произведению векторов OA и F (рис. 2.4): M O = OA F.

Точка О называется центром моментов.

относительно точки О называ- F линии действия силы.

Пусть F=| F |, МО =| M O |. Рис. 2.4. Момент M O силы F (слева) и Из определения векторного про- плечо h (справа) относительно точки О изведения следует (рис. 2.4, справа):

где — угол между векторами OA и F, h — плечо силы.

Модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на плечо.

Опыт показывает, что момент силы характеризует вращательный эффект силы. Если силу измерять ньютонами (Н), а длину – метрами (м), то момент измеряется Н•м.

4. Момент силы относительно оси и проекция момента на ось Напомним, что осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой.

Определение: моментом МZ силы F относительно оси 0z называется проекция на ось 0z момента M C силы F относительно произвольной точки С на оси 0z. Под проекцией МZ вектора M C на ось понимается направленный отрезок на оси, характеризуемый его длиной и направлением вдоль оси, то есть числом со знаком. МZ — скалярная величина. Можно доказать, что МZ не зависит от выбора точки С на оси.

Пусть 0хуz — прямоугольная декартова система координат.

Момент МZ силы F относительно оси 0z можно также определить как модуль со знаком плюс или минус момента относительно начала координат проекции F xy силы F на плоскость 0ху (рис. 2.5). Очевидно, плечо силы F xy относительно начала координат и расстояние ме- ны МZ принято считать положительным, если при наблюF xy дении с конца оси 0z сила F xy стремится вращать тело воРис. 2.5. Проеккруг оси против хода стрелки часов, и отрицательным — по ходу стрелки.

Можно доказать что оба определения момента силы плоскость 0ху относительно оси эквивалентны.

Практический интерес представляет случай, когда ось 0z перпендикулярна вектору F силы. Рассмотрим его. В этом случае силы F и F xy совпадают.

Выберем точку С на оси 0z в плоскости, содержащей вектор силы и перпендикулярной оси 0z. В соответствии с определением момента силы в рассматриваемом случае момент M C параллелен оси 0z и его проекция МZ на ось 0z по екции МZ момента M C зависит от выбора положительного направле- ния оси 0z. Плечом сил F и F xy Принято следующее правило:

ной величине равен произведению оси 0z, проходящей через точку С модуля силы на плечо и считается положительным, когда при наблюдении с конца оси сила F стремится вращать тело относительно оси в направлении против хода стрелки часов, и отрицательным в противном случае (рис. 2.6):

Момент МZ силы относительно оси 0z равен величине момента силы относительно точки С на оси 0z с учётом знака плюс или минус, если сила и точка С находятся в плоскости, перпендикулярной оси (рис. 2.6).

Определение: две равные по величине и противоположно направленные силы F и (– F ), приложенные к разным точкам А и В тела, называются парой сил (рис. 2.7).

называется вектор M : M = BА F.

Определение: плечом пары сил называется Аh Очевидно, момент M пары сил перпендику- (– F ) и плечо h пары сил лярен плоскости действия пары сил и его модуль М равен произведению модуля F силы на плечо: М=Fh.

Проекция Мz момента M на ось 0z, перпендикулярную плоскости действия пары сил, равна величине М момента M со знаком плюс или минус.

Пусть ось 0z проходит через точку А или В.

Проекцию Мz момента M пары сил на ось 0z принято считать положительной, когда при наблюдении с конца оси сила, приложенная к точке В или А, стремится вращать тело относительно оси (точки А или В) в направлении против хода стрелки часов:

Приведем без доказательств формулировки ряда теорем, относящихся к парам сил.

Теорема 1. Пару сил нельзя привести к равнодействующей.

Теорема 2 (об эквивалентности пар сил): Две пары сил, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях твердого тела и имеющие одинаковые моменты M, эквивалентны (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Механически эквивалентные системы сил в плоскостях 1 и 2 тела На схемах момент M пары сил обычно изображается парой сил или круговой стрелкой, указывающей направление, в котором пара сил стремится вращать тело.

Следствие: пара сил полностью определяется своим моментом; момент пары сил – свободный вектор и может быть приложен к любой точке тела.

Теорема 3 (теорема сложения). Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой; момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар (рис 2.9).

Рис. 2.9. Механически эквивалентные системы сил Теорема. Не изменяя механического состояния абсолютно твердого тела (состояния движения или покоя), вектор силы можно переносить параллельно его линии действия в произвольную точку тела (центр приведения), прилагая при этом к телу пару сил; момент присоединенной пары сил равен моменту силы относительно центра приведения (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Геометрическое обоснование переноса силы F из точки А в точку В с добавлением момента M силы F относительно точки В 2.11). Произвольную F2,…, Fn, приложенных телу в точках О1, вести к одной силе R, приложенной в наперед фиксированной точке О (центре приведения) и к паре сил с моментом M O. Вектор силы R равен векторной сумме сил, приложенных к абсолютно твердому телу, и называется главным момент M O равен векторной сумме моментов сил системы относительно центра приведения О и называется главным моментом системы сил:

Доказательство теоремы следует из аксиомы о параллелограмме сил, теорем о сложении пар сил и параллельном переносе силы.

Свободное твердое тело находится в равновесии тогда, когда главный вектор R сил F1, F2, …, Fn, приложенных к абсолютно твердому телу в точках О1, О2,…On, и главный момент M O сил относительно произвольного центра О приведения равны нулевому вектору (рис. 2.11):

Обозначим: 0хуz — прямоугольная система декартовых координат, под которой в дальнейшем будет пониматься правая система координат (при наблюдении с конца оси 0z кратчайший поворот оси 0х к оси 0у происходит против часовой стрелки);

О — центр приведения, совпадающий с началом координат;

n — число сил, действующих на твердое тело;

F1, F2, …… Fn — силы, действующие на твердое тело;

Хi, Yi, Zi — проекции силы Fi на координатные оси 0х, 0у, 0z (i=1,2… n);

Rx, Ry, Rz — проекции главного вектора R сил на координатные оси 0х, 0у, 0z;

Mx ( Fi ), Mу ( Fi ), Mz ( Fi )— проекции на координатные оси 0х, 0у, 0z момента силы Fi относительно центра приведения (моменты силы Fi относительно осей 0х, 0у, 0z);

Mox, Moy, Moz — проекции на оси координат 0х, 0у, 0z главного момента M O системы сил относительно центра приведения.

Два векторных уравнения (3.1), (3.2) равновесия свободного твердого тела эквивалентны шести уравнениям связи между проекциями векторов на оси координат 0х, 0у, 0z :

Первые три равенства следует трактовать так: тело не движется вдоль осей 0х, 0y и 0z, если алгебраические суммы проекций на соответствующие оси приложенных к телу сил равны нулю; четвертое, пятое, шестое – тело не вращается относительно осей 0х, 0y и 0z, если алгебраические суммы моментов приложенных к телу сил относительно соответствующих осей равны нулю.

3. Частные случаи условий равновесия тела в аналитическом виде 3.1. Пусть система сил — сходящаяся. Поместим центр приведения и начало координат в точку пересечения линий действия сил (рис. 3.1). Тогда плечи сил относительно начала координат равны нулю, и векторное равенство (3.2) превращается в тождество и у F выполняется всегда. Поэтому условия равновесия (3.3) F твердого тела примут вид 3.2. Пусть силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости 0ху.

Поместим центр приведения на плоскость 0ху. Тогда главный вектор сил находится в плоскости 0ху и, следовательно, его проекция на ось 0z равна нулю:

Rz0. Моменты сил и главный момент M O перпендикулярны плоскости 0ху:

Mox Moy 0. В этом случае условия равновесия (3.3) примут вид 3.3. Пусть силы параллельны некоторой оси, например, оси 0z. Тогда их проекции и проекция главного вектора сил на оси 0х, 0у равны нулю: Rх Rу0, а моменты сил относительно произвольной точки перпендикулярны оси 0z, то есть Moz 0. Условия равновесия (3.3) в этом случае примут вид Рычагом называется опирающееся на неподвижный шарнир твердое тело, имеющее одно независимое движение – вращение относительно неподвижной оси, или оси вращения рычага.

Пусть на рычаг действуют силы F1, F2,…, Fn. В соответствии с аксиомой об освобождении от связи освободимся от опоры рычага, приложив к точкам касания тела и опоры реакции опоры. Помесу тим центр приведения реакций опор, точку О, в начало координат 0хуz с осью вращения рычага 0z.

Обозначим N - главный вектор реакций опоры, Nx, Ny, Nz — проекции N на оси 0х, 0у, носительно точки О, M x, M y, M z — проекРис. 3.2. Рычаг и система ции M O на оси 0х, 0у, 0z (рис. 3.2). Воспольсил F1, F2,…, Fn зуемся условиями (3.3) равновесия свободного твердого тела, на которое действуют силы F1, F2,…, Fn, N и пара сил с моментом M O. Так как, по условию, тело не движется вдоль осей 0х, 0y, 0z и не вращается относительно осей 0х, 0y, то первые пять равенств (3.3) позволяют найти неизвестные Nx, Ny, Nz, M x, M y и выполняются тождественно. Так как опора не препятствует вращению рычага относительно оси 0z, то при его равновесии M z = 0. Учитывая также, что момент силы N относительно оси равен нулю, последнее равенство (3.3) можно записать в виде:

Из (3.5) следует, что рычаг находится в равновесии, когда алгебраическая сумма моментов приложенных к рычагу внешних сил F1, F2,…, Fn относительно оси его вращения равна нулю.

5. Пример расчета реакций опор в случае плоской системы сил Пусть горизонтальная балка АВ опирается на неподвижный шарнир А и подвижный В, не препятствующий перемещению точки В балки по горизонтали. В т. С балки приложена сила F, направленная вертикально вниз, а в т. D — момент M пары сил в вертикальной плоскости. Требуется найти реакции опор, если длины участков АС и АВ и модули F, М векторов F, M заданы (рис. 3.3).

ментов и указанием их направлеА XA С В 2. Составляем расчётную Рис. 3.3. Схема балки АВ на опорах (слесхему балки:

2.1. Если на участке PS балки АВ действует распределенная силовая нагрузка постоянной интенсивности q Н/м, заменяем её сосредоточенной (рис. 3.4). В данной задаче q=0 Н/м.

зей, приложив в точках А и В реакРис. 3.4. Замена нагрузки силой ции RA, RB связей. Отмечаем, что стерженёк ВК связи не препятствует перемещению точки В балки по горизонтали, а препятствует её перемещению вдоль стерженька ВК. Поэтому реакция RB направлена по вертикали вверх или вниз.

2.3. Выбираем центр приведения сил. Центр удобно выбирать в точке пересечения линий действия наибольшего количества сил. В рассматриваемом случае точки A, D, C, B равноценны. Пусть т. A — центр приведения.

2. 4. Выбираем прямоугольную декартову систему координат 0хуz c началом в центре приведения, горизонтальной осью 0х, направленной вдоль балки, вертикальной осью 0у, направленной вверх, и перпендикулярной им осью 0z;

при этом силы будут находиться в плоскости 0ху.

2. 5. В соответствии с аксиомой о параллелограмме сил для удобства расчетов каждую силу разлагаем на две. Одну направляем параллельно оси 0х, Вектор силы на плоскости определяется двумя числами: модулем силы и углом с осью 0х или двумя проекциями силы на оси 0х и 0у.

2.6. Вычерчиваем расчетную схему балки с нанесением всех сил и моментов, включая реакции связей, и указанием их направлений и точек приложения (рис. 3.3, справа).

3. Обозначаем: Fx=| Fx |, Fу=| Fy |, Fqx=| Fqx |, Fqy=| Fy |, ХA =| X A |, YA=| YA |, YВ=| YB |. Отмечаем: Fx, Fу, Fqx, Fqy, ХA, YA, YВ — модули векторов, численные значения которых должны быть положительными.

4. Составляем уравнения равновесия (3.4) балки в аналитическом виде.

Отмечаем, что момент МZ силы относительно оси 0z равен величине момента силы относительно точки А на оси 0z с учётом знака плюс или минус (рис. 2.6). Так как момент M пары сил — свободный вектор, то его можно перенести в центр приведения, точку А. Его проекция на ось 0z отрицательна и равна (–М), так как пара сил стремится вращать балку относительно точки А по часовой стрелке. Плечо силы Fy относительно т. А равно АС. Сила Fy стремится вращать балку относительно точки А по часовой стрелке. Поэтому перед величиной её момента относительно т. А в уравнениях равновесия следует ставить знак минус. Перед величиной момента силы YB следует ставить знак плюс, так как сила стремится вращать балку относительно точки А против хода часовой стрелки. Моменты других сил равны нулю, так как центр А приведения находится на линиях их действия и плечи равны нулю.

5. Решаем систему уравнений с тремя неизвестными ХA, YA, YВ:

Так как YВ > 0, то направление силы YB выбрано верно. Значение величины YА (модуля силы YA ) не может быть отрицательным. Если же расчетное значение YА окажется отрицательным, то направление силы YA выбрано неверно, и его следует изменить на противоположное, а величину YА считать положительной.

6 Находим модули RA и RВ результирующих сил реакций опор А и В:

1. Основная задача кинематики 2. Закон движения точки и способы его задания 3. Скорость движения точки и способы её определения 4. Ускорение движения точки и способы его определения Часть механики, в которой изучаются геометрические свойства движений точки без учета её массы и действующих сил, называется кинематикой точки.

В основу классической механики положены базовые понятия о пространстве и времени. Они были высказаны И. Ньютоном в 1688 г. и содержат два основных положения: 1) абсолютное, истинное время не зависит от точек пространства, протекает равномерно и называется длительностью; 2) абсолютное пространство остается всегда одинаковым и неподвижным.

Единицей измерения времени считается секунда, воспроизводимая цезиевыми эталонами частоты и времени. Секунда связана заданным соотношением со временем оборота Земли вокруг своей оси, называемым основной единицей измерения времени. Время, протекающее между двумя явлениями, называется промежутком времени. Моментом времени служит граница двух последовательных промежутков времени.

Пространство в классической механике является метрическим, то есть в нем существует определение расстояния между двумя точками или длины отрезка прямой. Для количественного измерения длины пользуются единицей длины, называемой метром, эталон которого хранится в Международном бюро мер и весов в Севре близ Парижа.

Положение точки в пространстве определяется по отношению к заданной системе отсчета или системе координат. Понятие абсолютно неподвижного пространства связано с понятиями неподвижного тела, неподвижной системы отсчета и неподвижной системы координат, в которой координаты точек тела не изменяются. Классическая механика построена на этих понятиях. В действительности, как показывает опыт, абсолютно неподвижных тел не существует.

Однако, в рассматриваемых ниже задачах ошибки, обусловленные, например, допущением, что Земля – неподвижное тело, невелики. Будем считать, что существует условно неподвижная система координат, например, жестко связанная с Землёй.

Зависимости положения движущейся точки в пространстве от времени определяют закон ее движения. Закон движения точки известен, если её положение в пространстве можно определить в любой момент времени.

Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки. Основными кинематическими величинами, характеризующими движение точки в пространстве, являются скорость и ускорение движения точки.

Движение точки в пространстве определяется тремя способами: векторным, координатным и естественным.

1. Векторный способ позволяет находить движение в так называемой «инвариМ антной» форме, независимо от системы коr ординат.

Пусть О — неподвижная точка проО странства, М – движущаяся точка.

вектором r точки М ( рис. 8.1). Вектор r является векторной функцией от времени t Зависимость (8.1) определяет закон движения точки векторным способом.

Кривая, которую описывает конец векторной функции с началом в фиксированной точке пространства, называют годографом векторной функции.

Таким образом, траектория движения точки есть годограф ее радиуса-вектора.

2. Координатный способ базируется на разложении вектора r на векторы вдоль координатных осей. Пусть 0хуz— неподвижная прямоугольная декартова система координат с началом в т. О и ортами i, j, k по осям 0х, 0у, 0z. Из рис.

8.2 находим где х, у, z – координаты вектора r и точки М.

Функциональные зависимости (8.3) есть закон движения т. М, заданный координатным способом. Они позволяют найти числовые оценки положения точки в пространстве в любой момент времени.

3. Естественный способ применяется тогда, когда известна траектория фиксированную т. О1 на траектории и назоВ штаб, чтобы можно было измерить длину дуги O1M (рис. 8.3). Условимся считать одно направление от т. О1 вдоль траектории положительным, а другое — отрицательным. Тогда положение точки М на траектории однозначно определяется дуговой координатой s, равной длине дуги O1M со знаком плюс или минус. Координата s положительна, если положение точки М на траектории соответствует положительному направлению отсчета. Так как т. М движется, то Функция (8.4) определяет закон движение точки естественным способом, а именно, по заданной траектории, а не в пространстве.

3. Скорость движения точки и способы её определения Скорость движения точки – одна из основных кинематических величин.

Она определяется тремя способами: векторным, координатным и естественным.

1. Векторный способ следует рассматривать как определение скорости:

скорость v точки есть первая производная по времени t от радиуса вектора r точки:

изводной в момент времени t Направление вектора r приближается к направлению касательной с уменьшением t (рис. 8.4). Следовательно, первая производная по времени от векторной функции есть вектор, направленный по касательной к годографу радиуса-вектора. Это правило будет применяться в дальнейшем. В частности, скорость движения точки — вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки. Под величиной скорости будем понимать модуль скорости как вектора.

2. Пусть 0хуz — декартова система координат с началом в неподвижной точке пространства О и неподвижными ортами i, j, k. Координатный способ позволяет найти координаты vх, vу, vz вектора v скорости в ортонормированном базисе i, j, k (проекции на координатные оси 0х, 0у, 0z), величину скорости и углы х, у, z, образуемые вектором с координатными осями, в любой момент времени.

Скорость точки как вектор можно разложить по базисным векторам i, j, k (рис. 8.5):

Подставляя r из (8.2) в (8.5) и учитывая, что орты i, j, k — неподвижные, получим Сравнивая (8.6) и (8.7), получим Выражения (8.8) служат для определения скорости v координатным способом, если задан закон движения точки координатным способом. Отсюда 3. Естественный способ опирается на закон движения (8.4). Радиус вектор точки дуги траектории или с учетом (8.4) Пусть в положении М1 радиус-вектор точки М есть r (s), а в положении М2 — r (s+s), где s — приращение (положительное или отрицательное) длины M1M 2 дуги траектории (рис. 8.6). По определению производной в т. М Направление вектора r приближается к направлению касательной с уменьшением s, а модуль — к длине дуги M1M 2 (рис. 8.6). Следовательно, вектор в (8.10) есть единичный вектор, направленный по касательной к траектории, и формула (8.9) примет вид, определяющий скорость естественным способом:

— проекция вектора v на ось касательной, заданную ортом.

где v = Вектор всегда направлен в сторону положительного отсчета дуговой координаты s, независимо от направления движения точка М. Если точка М на рис. 8. переместилась бы из положения М2 в положение М1, то вектор r поменял бы направление на противоположное, но при этом изменился бы знак величины s (s < 0). Направление же вектора или в сторону положительного отсчета координаты s сохранилось бы. Очевидно, v = ± | v |.

4. Ускорение движения точки и способы его определения 1. Векторный способ следует рассматривать как определение ускорения.

Ускорение а движения точки есть первая производная по времени t от скорости v точки:

Ускорение движения точки — вектор, направленный по касательной к годографу вектора скорости движения точки.

2. Пусть 0хуz — декартова система координат с началом в неподвижной точке пространства. Координатный способ позволяет найти координаты aх, aу, az вектора a ускорения в ортонормированном базисе i, j, k, величину a ускорения и углы х, у, z, образуемые им с координатными осями, в любой момент времени:

Выражения (8.13) служат для определения ускорения a координатным способом, если задан закон движения точки координатным способом. Отсюда 3. Рассмотрим естественный способ. Будем считать, что траектория движения точки — плоская кривая. Подставим v из (8.11) в (8.12):

В (8.14) вектор направлен по касательной к годографу вектора. Так как — единичный перпендикулярно век- Рис. 8.7. Годограф вектора и ускорения a, an, a тору, а, значит, по радиусу и орту n нормали к траектории. Учитывая определения производных (рис 8.7, слева), Величина называется кривизной траектории в точке М, а обратная её величина — радиусом кривизны траектории в точке М. Если траектория — окружность радиуса R, то ds= Rd и = R. Если траектория — прямая линия, то — постоянная, d = 0 и =.

Подставляя в равенство (8.14), перепишем его в виде (рис. 8.7) где вектор a называют тангенциальным или касательным ускорением, а вектор an — нормальным ускорением, n — орт нормали, направленный в сторону вогнутости траектории, — орт касательной, направленный в сторону возрастания дуговой координаты;

где — радиус кривизны траектории движения точки.

Нормальное ускорение направлено в сторону вогнутости траектории. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Тангенциальное ускорение направлено по касательной и характеризует быстроту изменения скорости по величине. Модуль ускорения и угол, характеризующий направление ускорения, определяются по формулам (рис. 8.7) 1. Поступательное движение твердого тела 1.2. Теорема о распределении скоростей и ускорений 2. Вращательное движение твердого тела 2.3. Угловая скорость и угловое ускорение как векторы 2.4. Линейная скорость и линейное ускорение точки тела Различают поступательное, вращательное, плоско-параллельное, движение относительно неподвижной точки и сложное движения тела. Ниже под твердым телом или телом понимается абсолютно твердое тело.

Определение: движение твердого тела называется поступательным, если прямая, соединяющая любые две точки тела, движется параллельно самой себе.

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек при наложении совпадают.

Действительно, пусть 1 и 2 — траектории проВ вольную точку А1 на траектории 1. Переместим ее к 2, поскольку А1В1 положение отрезка АВ тела, когда точка А переместится в точку А1 (в соответствии с определением поступательного движения прямая АВ Рис. 9.1. Траектории двигается параллельно самой себе, а расстояние АВ 1 и 2 точек А и В тела между точками абсолютно твердого тела остается неизменным).

1.2. Теорема о распределении скоростей и ускорений Теорема. При поступательном движении твердого тела все точки тела двигаются с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Пусть О – неподвижная точка пространства, v A, vB - скорости произвольных точек А, В тела. Учитывая, что AB — постоянный вектор и его производная по времени — нулевой вектор, найдём (рис. 9.1):

Аналогично доказывается, что и ускорения a A, aB точек А, В равны.

На основании теорем в 1.2 и 1.3 можно заключить: поступательное движение тела полностью определяется движением одной его точки. Таким образом, к изучению поступа- z тельного движения твердого тела можно применить три способа определения движения точки в проzР прямоугольную декартову систему координат 0хуz. уР Пусть Р — произвольная точка тела. Назовем ее по- Рис. 9.2. Координаты люсом. Поступательное движение тела полностью хР, уР, zР полюса Р тела определяется движением полюса (рис. 9.2): хР = хР(t);

уР = уР(t); zР = zР(t).

Два одинаковых колеса локомотива двигаются по горизонтальному рельсу. Спарник АВ соединен с колесами шарнирами А и спарника остается параллельной рельсу и поэтому его движение поступательное. Следовательно, траектория любой точки М спарника совпадает при наложении с траекторией его точки А (рис. 9.3). Рис. 9.3. Спарник АВ 2.1. Вращательное движение тела относительно неподвижной оси Определение: движение твердого тела называется вращательным относительно неподвижной оси, если некоторая прямая, принадлежащая телу и называемая осью вращения, остается неподвижz z ной.

Пусть 0z — ось вращения тела (рис. 9.4). Вы- тело берем две прямоугольные декартовы системы коору динат с общей осью 0z. Одну, 0хуz, будем считать телом. Очевидно, в подвижной системе координат х положение произвольной точки М тела, то есть ее координаты х1, у1, z1, не изменяются. Следователь- Рис. 9.4. Вращение но, положение точки М в пространстве полностью тела вокруг оси 0z.

определяется положением подвижной системы координат относительно неподвижной 0хуz. Если выбрать оси 0х и 0х1 так, чтобы в начальный момент движения тела они совпадали, то угол, образуемый ими в произвольный момент времени, полностью определяет положение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Функциональная зависимость от времени = (t) называется уравнением движения тела вокруг оси, если задано направление отсчета угла.

По уравнению движения тела, или значению угла, можно определить координаты любой точки тела в любой момент времени.

Угол, образуемый осями 0х и 0х1, называется углом поворота тела.

Направление отсчета угла принято считать положительным, если при наблюдении с конца оси вращения угол возрастает, когда тело поворачивается вокруг оси против хода часовой стрелки.

Основными кинематическими величинами, характеризующими вращательное движение тела, являются угловая скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость является физической величиной, характеризующей быd строту изменения угла поворота тела: =.

Угловое ускорение является физической величиной, характеризующей быстроту изменения угловой скорости тела: =.

Единица измерения угловой скорости тела — рад/с, углового ускорения тела — рад/с2.

Значения угловой скорости и ускорения могут быть и положительными, и отрицательными. Вращение тела относительно неподвижной оси называется равномерным, если угловое ускорение равно нулю, равноускоренным, если угловое ускорение постоянно и модуль угловой скорости возрастает, и равнозамедленным, если угловое ускорение постоянно и модуль угловой скорости уменьшается.

Если >0, то вращение тела происходит в направлении, соответствующем направлению положительного отсчёта угла, иначе — в противоположном направлении. Вращение тела в данный момент времени равноускоренное, если знаки величин и совпадают, и равнозамедленное в противном случае.

2.3. Угловая скорость и угловое ускорение как векторы Пусть k — орт оси 0z, являющейся осью вращения тела (| k | = 1).

Определение: вектор k называется вектором угловой скорости (угловой скоро- z стью):

Вектор находится на оси вращения и при наблюдении с его конца вращение тела предх ставляется направленным против хода часовой Определение: вектор называется вектором углового ускорения (угловым ускорением): =.

Из кинематики точки известно, что первая производная вектора (векторафункции) по времени есть вектор, направленный по касательной к годографу исходного вектора. Следовательно, вектор направлен по касательной к траектории, описываемой концом вектора. При вращении тела вокруг неподвижной оси 0z конец вектора находится всегда на оси 0z, то есть его годограф — прямая линия. Поэтому вектор направлен вдоль оси вращения тела.

Векторы угловой скорости и ускорения часто изображаются круговыми стрелками, направленными соответственно направлению вращения и ускорения вращения или против хода стрелки часов при наблюдении с концов векторов.

2.4. Линейная скорость и линейное ускорение точки тела Скорости и ускорения точек вращающегося тела называют линейными, отмечая их отличия от угловой скорости и ускорения тела.

Пусть М — произвольная точка вращающегося вокруг оси 0z тела, находящаяся на расстоянии от оси вращения (рис.

9.6). Выберем неподвижную прямоугольную деz стояния точки до плоскости 0ху и до оси вращения тела не изменяются, то ее траекторией явля- М окружности, 02 — точка пересечения оси 01х1, поворота тела, отсчитываемый от оси 01х1 (рис.

9.6). Зададим движение точки М в естественном виде, принимая за дуговую координату s длину Формулы (8.11), (8.15), (8.16) для движения точки по окружности радиуса примут вид где v, a — проекции скорости v и ускорения a точки на ось, касательную к ее траектории с положительным направлением, задаваемым ортом, an — проекция ускорения движения точки на ось, направленную к центру 01 по нормали к траектории.

Скорость v точки тела направлена по касательной к траектории движения точки в сторону вращения тела. Нормальное ускорение an, равное an n, направлено по радиусу к оси вращения. Нормальное ускорение также называют осестремительным или в данном случае движения центростремительным. Касательное ускорение a, равное a, перпендикулярно радиусу окружности, оно направлено в сторону вращения тела, если угловое ускорение и угловая скорость имеют одинаковый знак, и в противоположную сторону в противном случае.

Формулы (9.1), (8.15) позволяют определить величины и направления векторов скорости v и ускорения a в случае 9.7):

считывается от нормали или от радиуса в направлении касательного ускорения. Угол не зависит от положения точки в теле.

Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела 1. Уравнения плоского движения фигуры 2. Распределение линейных скоростей точек фигуры при плоском движении 3. Мгновенный центр скоростей Определение: плоскопараллельным называется такое движение тела, при котором все его точки двигаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Следствие: точки фигуры тела, плоскость которой параллельна указанной неподвижной, перемещаются в этой плоскости. Такое движение фигуры называется плоским.

При плоскопараллельном движении прямая, проведённая в теле перпендикулярно указанной неподвижной плоскости, движется поступательно. Следовательно, скорости и ускорения движения точек тела на такой прямой равны в каждый момент времени скорости и ускорению движения точки фигуры на прямой, то есть движение фигуры полностью определяет движение тела.

Пусть 0ху — неподвижная прямоугольу движения фигуры;

жёстко связанной с телом, понимается такая, в Выберем произвольную точку М фигуры с координатами м, м в подвижной системе координат (рис. 10.1). Относительно системы координат Р точка М неподвижна, то есть ее координаты м, м не изменяются во время движения фигуры.

Проведем через точку Р ось Рх1 параллельно оси 0х. Пусть — угол между осями Рх1 и Р, отсчитываемый от оси Рх1 в направлении против хода часовой стрелки (рис. 10.1). Очевидно, в любой момент времени t положение (координаты хМ, уМ) точки М фигуры на плоскости с известными и неизменяемыми координатами м, м однозначно определяется координатами хР, уР полюса (начала подвижной системы координат) и углом :

В уравнениях (10.1) Функциональные зависимости (10.2), (10.3) называются уравнениями движения плоской фигуры.

Пусть угол постоянный. Тогда подвижная система координат не вращается вокруг полюса, и прямая линия фигуры, соединяющая две её произвольные точки, движется параллельно самой себе. Следовательно, в этом случае фигура движется поступательно, а закон ее движения определяется движением полюса, то есть функциями (10.2).

Пусть полюс не движется. В этом случае фигура вращается вокруг неподвижного полюса, а положение любой ее точки М зависит только от угла. Следовательно, функция (10.3) определяет вращательную часть движения фигуры вокруг полюса.

Вывод: так как полюс можно выбирать произвольно, то движение фигуры бесконечным числом способов можно разложить на два движения — поступательное, определяемое полюсом, и вращательное вокруг полюса.

Всякое изменение положения полюса можно связать с параллельным переносом осей подвижной системы координат без изменения угла.

Следствие: при изменении положения полюса угол, угловая скоd рость и угловое ускорение 2 не изменяются, то есть угловые скорость и ускорения фигуры не зависят от положения полюса.

Скорость и ускорение полюса зависят от положения полюса.

2. Распределение линейных скоростей точек фигуры при плоском движении Рассмотрим плоское движение фигуры. Найдем скорость произвольной ее точки.

Пусть О — неподвижная точка плоскости, полюс, М — произвольная точка фигуры (рис.

10.2).

В соответствии с определением скорости vM точки М векторным способом Дифференцируя по времени t левую и правую части равенства (10.4) и учитывая опреде- vM фигуры не изменяется, то годографом вектора rPM является окружность. Вектор PM направК лен по касательной к окружности, то есть пер- пендикулярно ее радиусу и вектору rPM.(рис.

10.3). Вектор называют скоростью точки М фигуры относительно полюса Р и обозначают vPM. Если считать полюс неподвижным, то vPM — линейная скорость точки М фигуры, вращающейся вокруг полюса.

Как было установлено для вращательного движения, скорость vPM направлена перпендикулярно вектору rPM в сторону вращения фигуры (рис. 10.3).

Если — модуль угловой скорости вращения фигуры, то из (9.1) можно найти | vPM |=| rPM |. Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости движения фигуры и, следовательно, вектору rPM, а вектор vPM перпендикулярен обоим векторам. Поэтому, в соответствии с определением векторного произведения, Равенство (10.5) с учетом (10.6) можно переписать в виде Если фигура не вращается ( = 0), то ее движение поступательное. Если положение полюса не изменяется ( vP = 0 ), то движение фигуры вращательное вокруг полюса В соответствии с равенством (10.7) скорость произвольной точки фигуры равна векторной сумме скорости ее поступательного движения вместе с полюсом и скорости вращательного движения вокруг полюса. Повторим, что скорость vPM вращательного движения вокруг полюса перпендикулярна отрезку РМ и направлена в сторону вращения фигуры относительно полюса Р.

Сформулируем теорему, которую примем без доказательства: произвольное перемещение фигуры в ее плоскости можно осуществить посредством одного вращения вокруг некоторого центра.

Из теоремы следует, что движение фигуры в каждый момент времени приводится к мгновенному вращательному перемещению вокруг некоторой точки, которая называется мгновенным центром вращения.

Мгновенным центром скоростей называется точка фигуры, абсолютная скорость которой в данный момент времени равна нулю. Мгновенный центр мгновенным центром скоростей. Тогда из фор- Итак, если положение мгновенного центра Р скоростей и угловая скорость известны, то скорость vM произвольной точки М фигуры перпендикулярна отрезку РМ, направлена в сторону вращения, а модуль вектора скорости равен произведению угловой скорости на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей (рис 10.3).

Рассмотрим приемы построения мгновенного центра С скоростей. Для определения положения т. С в некоторый момент времени достаточно найти прямые 1, 2 вдоль которых направлены скорости v А, vВ двух точек А и В плоской фигуры в этот момент времени. Если т. С — мгновенный центр скоростей, то отрезки СА и СВ должны быть перпендикулярны векторам v А, vВ и, значит, линиям 1 и 2 (рис. 10.4). Итак, если точки А, В фигуры и линии 1, 2, вдоль которых направлены скорости этих точек, известны, то мгновенный центр скоростей есть точка пересечения восстановленных из точек А, В перпендикуляров к прямым 1, 2. Если также известна скорость v А, то можно найти модуль и направление угловой скорости (направление вращения фигуры):

Направление вращения определяется направлением скорости v А (рис. 10.4). В Если скорости v А, vВ точек А, В фигуры нии, перпендикулярной векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей С определяется Рис. 10.5. Мгновенный способом, показанном на рис. 10.5. центр С скоростей Если скорости v А, vВ точек А, В фигуры равны и точки А, В лежат на линии, перпендикулярной векторам скоростей, то фигура в данный момент движется поступательно.

Рассмотрим пример: найти скорость vM передней точки М на горизонтальном диаметре обода колеса, катящегося без скольжения по неподвижному прямому и горизонтальному рельсу, если величина vО скорости vO точки О оси колеса равна 10 м/с.

Решение. Движение колеса плоско-параллельное. Рассмотрим движение точек фигуры (сечения колеса) в плоскости, перпендикулярной оси колеса.

Скорость точки С фигуры в момент соприкосновения её с рельсом равна нулю, так как скольжение колеса по рельсу отсутствует. Следовательно, в момент соприкосновения т. С vМ — мгновенный центр скоростей фигуры (рис. 10.6). По форvM муле (10.8) можно найти величину угловой скорости фиС гуры:

Направление вращения колеса определяется направлением скорости vO.

Скорость vM т. М перпендикулярна отрезку СМ, направлена в сторону вращения колеса, а её модуль vМ определяется из формулы (10.7): vМ = СМ= Распределение скоростей движения точек круга в плоскостях, параллельных рассмотренной, будет точно таким же. Скорости передних точек колеса равны.

Динамика точки. Уравнения движения свободной материальной точки с постоянной массой 2. Векторное уравнение движения 3. Уравнения движения в декартовой системе координат 4. Уравнения движения в естественном виде 5. Основные задачи динамики точки Введем основные определения, используемые в динамике.

Массой называется мера инертности и гравитационных свойств тела, движущегося поступательно.

Материальной точкой называется объект, масса которого влияет на изучаемые величины, а размерами и формой можно пренебречь.

Физические воздействия, отклоняющие материальную точку от равномерного прямолинейного движения или выводящие из состояния покоя, называются силами. Сила — вектор. Каждая сила характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются движения материальных точек и материальных тел под действием приложенных к ним сил.

Кинематические характеристики движения точки и абсолютно твердого тела, изучаемые в кинематике, обусловлены действующими на них силами.

Выявление закономерной связи между свойствами движения и свойствами сил служит предметом изучения динамики. Традиционно в динамике сначала рассматривается движение отдельной материальной точки, а затем системы материальных точек и материальных тел.

Законам движения точки в пространстве соответствуют собственные виды представления дифференциальных уравнений её движения: векторный, координатный и естественный.

Уравнения движения материальной точки основаны на втором законе Ньютона, а именно, где m — масса точки, a — ускорение движения точки, F — равнодействующая приложенных к точке сил.

Векторное уравнение (11.1) называют основным законом динамики.

Обозначим: t — время, О — неподвижная точка пространства, r — радиус вектор OM движущейся точки М (рис. 11.1). Согласно определению ускорения a движения точки векторным способом (8.12) перепишем второй закон Ньютона в виде сеть от времени, положения точки в про- О странстве, скорости и, в некоторых случаях, ускорения её движения: F F (t, r,, 2 ).

Векторное уравнение движения (11.2) практически не применяется для решения задач, оно используется при выводе уравнений движения в координатном и естественном виде.

3. Уравнения движения в декартовой системе координат Пусть 0хуz — неподвижная прямоугольная деМ картова система координат с началом в т. 0 и непод- F точки М с началом в т. 0;

X, Y, Z — координаты вектора равнодейстРис. 11.2. Координаты вующей F приложенных к точке М сил в базисе i, j, k или проекции равнодействующей на оси 0х, 0у, 0z (рис. 11.2):

Векторное уравнение (11.1) эквивалентно трем дифференциальным уравнениям движения точки в декартовых координатах. Они получаются при проецировании левой и правой частей векторного уравнения (11.2) на координатные оси 0х, 0у, 0z:

При движении точки в плоскости 0ху число дифференциальных уравнений движения сокращается до двух (первых уравнений), а по прямой 0х — до одного.

Пусть известно, что траектория движения точки — плоская кривая и положение точки М на траектории однозначно определяется дуговой координатой Обозначим (рис. 11.3): — единичный вектор (орт) касательной, направленный в сторону возрастания дуговой координаты s;

n — орт нормали к траектории, направленный в сторону её вогнутости;

v — проекция скорости движения точки на касательную к траектории с направлением, заданным ортом ;

a, an — координаты вектора ускорения ния на оси касательной и нормали, положительF ные направления которых заданы ортами и n );

F,Fn — координаты равнодействующей F приложенных к точке сил в базисе, n (проекFn силы F ции F на оси касательной и нормали), F = | F |;

— радиус кривизны траектории в точке М.

Спроецируем обе части векторного уравнения (11.1) на оси касательной и нормали к траектории с заданными направлениями положительного отсчета.

Учитывая выражения (8.16), определяющие проекции an, a ускорения движения точки в естественном виде, получим дифференциальные уравнения движения точки в естественном виде:

Если траектория точки — не плоская кривая то к уравнениям (11.4) следует добавить равенство проекций векторного уравнения (11.1) на ось, перпендикулярную касательной и главной нормали.

Различают две основные задачи динамики. Первая задача состоит в определении равнодействующей приложенных к материальной точке сил, вызывающих её заданное движение. Вторая задача заключается в определении закона движения точки по заданным силам, приложенным к ней.

Пусть известны масса m и закон движения точки в координатном виде: x = x(t); y = y(t); z = z(t). С использованием дифференциальных уравнений (11.3) в любой момент времени можно найти величину (модуль F) и направление силы F :

где x, y, z — углы, образуемые вектором F и координатными осями 0х, 0у, 0z.

Пусть закон движения точки задан в естественном виде s = s(t). Чтобы найти силу F, наряду с законом движения необходимо знать радиус кривизны траектории. Тогда из (11.4) где, с учетом (8.11), (8.16), v = Вторая задача сложнее первой. Для определения закона движения точки в координатном виде необходимо решить систему дифференциальных уравнений (11.3) с неизвестными функциями x(t), y(t), z(t). Чтобы решение было единственным, следует задать начальные условия: положение и скорость точки в начальный момент времени t0 или x(t0); y(t0); z(t0); x(t0 ) = vx(t0); y (t0 ) = vy(t0);

z (t0 ) = vz(t0). Вторая задача имеет аналитическое решение только в отдельных случаях.

Рассмотрим пример решения первой задачи.

Материальная точка массой m совершает гармонические колебания по горизонтальной оси 0х по закону х = Аsin(t). Найти силу F, действующую на точку, если m = 100 г, А = 40 см, = 10 рад/с.

Решение. Основными единицами измерений в Международной системе единиц (СИ) являются килограмм для массы, метр для длины, секунда для времени. Приведем размерности заданных величин к принятым в СИ : m=0,1 кг, А=0,4 м. Тогда сила и ее проекции на оси координат будут измеряться ньютонами Н (1 Н= 1 кг м/с2). Выберем декартову систему координат 0xyz с заданной осью 0x и найдем проекции искомой силы на оси координат из уравнений (11.3):

Отсюда F = X 2 Y 2 Z 2 =4|sin(t)|, x = arccos(X/F), то есть x = 0 или фиксированную точку пространства (рис. 11.4). Такие силы называются центральными.

Как пример решения второй задачи найдем закон движения материальной точки массы m в пустоте из состояния покоя под действием силы тяжести mg.

В декартовой системе координат с вертикальной осью 0z, направленной вертикально вверх, уравнения движения примут вид x = c1x t + c2x; y = c1yt + c2y; z= – gt2/2 + c1zt + c2z. Из начальных условий найдем постоянные c1x, c2x, c1y, c2y, c1z, c2z, c2x:

х(0) = c2x =0; x(0) = c1x = 0; y(0) = c2z = 0; y (0) = c1y = 0; z(0) = c2z = 0; z (0) = c1z = 0. Следовательно, x = 0; у = 0; z = – gt2/2.

Основные теоремы динамики свободной материальной точки 1. Количество движения и импульс силы 2. Теорема об изменении количества движения 3. Элементарная и полная работа силы. Мощность 4. Кинетическая энергия и теорема об изменении кинетической энергии 5. Теорема о работе равнодействующей 6. Вычисление работы в частных случаях Количеством движения материальной точки массы m, имеющей скорость v, называется вектор (m v ).

Количество движения точки — вектор, коллинеарный вектору скорости и по величине прямо пропорциональный величине скорости.

Пусть на точку действует переменная сила F (равнодействующая сил, приложенных к точке). Второй закон Ньютона (11.1) с учетом определения ускорения как первой производной по времени t можно записать в виде Вектор Fdt называется элементарным импульсом силы F.

реместилась из положения М1, в котором она v Вектор Fdt называется импульсом силы F за время от t1 до t2.

Напомним, что под интегралом от векторной функции следует понимать вектор, проекции которого на оси координат равны интегралам от соответствующих проекций векторной функции. Например, в декартовой системе координат Равенство (12.1) выражает теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме: элементарное приращение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, действующей на неё.

Проинтегрируем равенство (12.1) по частям в пределах времени от до t до t2:

На основании (12.2) сформулируем теорему об изменении количества движения материальной точки, которую также называют теоремой импульсов:

приращение вектора количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодействующей приложенных к точке сил за этот же промежуток времени.

Проецируя обе части векторного равенства (12.2) на оси декартовой системы координат 0хуz, получим где vx1, vy1, vz1 и vx2, vy2, vz2 — проекции скорости точки на оси 0х, 0у, 0z в моменты времени t1 и t2;

Х, У, Z — проекции силы F на оси 0х, 0у, 0z.

Равенство (12.2) следует из второго закона Ньютона. Его полезность состоит в том, что оно позволяет избавиться от ускорения точки или от вторых производных по времени в дифференциальных уравнениях движения, когда сила постоянна, зависит от времени или прямо пропорциональна скорости точки.

висящая от времени, а ds — бесконечно малое — угол между векторами силы F, приложенной к точке М, и ортом касательной, направ- Рис. 12.2. s =OM ленным в сторону возрастания дуговой координаты s; F = | F |; v = | v |.

Величина d’А, определяемая выражением (12.3), называется элементарной работой, выполняемой силой F на элементарном перемещении ds:

Полная работа А, выполняемая силой F при переходе точки М из положения М1 с дуговой координатой s1 в положение М2 с координатой s2, определяется равенством Мощностью N называется физическая величина, характеризующая быстроту выполнения работы силой, приложенной к материальной точке:

где — угол между векторами F и v ( = или = – ).

Единица измерения работы — джоуль (1 Дж = 1 Н м), мощности — ватт (1 Вт = 1 Дж/с).

Анализ равенства (12.4) показывает, что работа равнодействующей положительна, когда угол — острый, и точка движется в сторону возрастания дуговой координаты или когда угол — тупой, и точка движется в сторону уменьшения дуговой координаты. В других случаях работа, совершаемая равнодействующей — отрицательна. Аналогичный вывод можно сделать и по мощности, соответствующей равнодействующей.

4. Кинетическая энергия и теорема об изменении кинетической энергии Воспользуемся первым уравнением движения точки в естественном виде (11.4) и обозначениями предыдущего параграфа: m F cos. Так как v = Используя последнее равенство, перепишем первое уравнение в виде:

Величина mv 2 называется кинетической энергией материальной точки, имеющей массу m и скорость v. Равенство (12.5) с учетом (12.3) является математическим выражением теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме: приращение кинетической энергии точки на элементарном перемещении её по траектории равно элементарной работе равнодействующей приложенных к точке сил на этом перемещении.

Если точка перемещается по траектории из положения М1 в положение М2, то из (12.5) следует Равенство (12.6) с учетом (12.4) является математическим выражением теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме: приращение кинетической энергии точки при перемещении её на некотором участке дуги траектории равно выполняемой на этом же перемещении работе равнодействующей сил, приложенных к точке.

Пусть на точку действуют силы F1, F2,… Fn. Обозначим Fi = | Fi |, Спроецируем обе части последнего равенРис. 12.3. Равнодейстства векторов на ось касательной:

Отсюда после интегрирования Последнее равенство с учетом (12.4) позволяет сформулировать теорему о работе равнодействующей: работа равнодействующей системы сил, приложенных к точке, равна алгебраической сумме работ составляющих сил.

Пусть свободная точка массы m движется под действием силы тяжести m g. Найдем работу силы тяжести на перемещении точки в пространстве из положения М1 в положение М2.

Выберем декартову систему координат 0хуz с осью 0z, направленной вертикально вверх (рис. 12.4). Будем использовать М1(x1,y1,z1) М обозначения, принятые в предыдущих параграфах.

ментарного перемещения ds точки М по траектоМ2(x2,y2,z2) рии на ось, направленную вертикально вниз, как и сила тяжести. На ось 0z, направленную вверх, проу екция dz равна (–cos ds). Следовательно, при пе- х ремещении т. М из положения М1 с координатой z1 по оси 0z в точку М2 с координатой z2 по оси 0z выражение (12.4) можно представить так:

Как видно из равенства (12.7), работа А силы тяжести, действующей на точку, не зависит от траектории движения точки, а зависит только от расстояния по вертикали между ее крайними положениями. При этом работа положительная, если точка опустилась вниз (z2 < z1).

Найдем работу А, совершаемую силой F упругости пружины, закрепленной в точке О.

формированном и в деформированном состоянии;

ны — прямая линия. Положительным будем считать направление отсчета дуговой координаты s от точки Допустим, что пружина растягивается и точка соответствии с законом Гука величина силы упрурастяжении пружины гости пружины, приложенной к точке М и направленной в сторону, противоположную положительному отсчёту дуговой координаты, определяется выражением Так как =, из (12.4) найдем:

Можно проверить, что при любом изменении длины, растяжении или сжатии пружины от l1 до l2, работа силы упругости определяется по формуле:

Материалы лекций в полном объеме представлены в электронном учебнике М.И. Белов, Б.В. Пылаев «Теоретическая механика», размещенном на портале МГАУ http://sysdo.msau.ru