Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

«СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ:

ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе по дисциплине «Эконометрия»

для студентов специальностей:

7.050201 – «Менеджмент организаций», 7.050104 – «Финансы»

7.050106 – «Учет и аудит»

7.050107 – «Экономика предприятия»

всех форм обучения Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 681.5.015.:330. «Системы одновременных уравнений: идентификация коэффициентов» методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Эконометрия» для студентов специальностей: 7.050201 – «Менеджмент организаций», 7.050104 – «Финансы», 7.050106 – «Учет и аудит», 7.050107 – «Экономика предприятия» всех форм обучения / Сост.

А.Д. Горобец. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2007г. – 16с.

Методические указания подготовлены с целью закрепления теоретических знаний и получения практических навыков при проведении анализа систем одновременных уравнений. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей всех форм обучения.

Методические указания утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов, (протокол № 6 от «16» февраля 2007г.) Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний Рецензент:

Мараховская Т.А., доцент кафедры «Учет и аудит»

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Цель работы

2. Теоретическая часть

2.1. Системы одновременных уравнений. Общие понятия

2.2. Условия идентифицируемости

2.3. Структурная и приведенная формы модели системы одновременных уравнений…………………...……

3. Варианты заданий

4. Содержание отчета

5. Контрольные вопросы

Библиографический список

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания разработаны на основе материала из учебников Айвазяна С.А., Мхитаряна В.С. «Прикладная статистика и основы эконометрики» и Грубера Й., «Введение в эконометрию»

посвященного системам одновременных уравнений. В частности из учебника Айвазяна С.А., Мхитаряна В.С. использовались основные теоретические положения, связанные с системами одновременных уравнений, а из учебника Грубера Й. была взята базовая макроэкономическая модель Людеке для выполнения лабораторной работы. Кроме того, автором методических указаний была переработана информация из учебника Магнуса Я.Р., Катышева П.К., Пересецкого А.А.

«Эконометрика. Начальный курс», посвященная методам оценивания структурных параметров систем одновременных уравнений.

Получение теоретических знаний и практических навыков для анализа систем одновременных уравнений.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Системы одновременных уравнений. Общие понятия Системы одновременных уравнений (СОУ) - это математический аппарат многомерного статистического анализа, который является одним из разделов прикладной статистики и служит для исследования многопараметрических и многосвязных объектов управления. Наиболее характерными примерами которых являются экономические системы, такие как макроэкономика государства, модели спроса и предложения определенных товаров и услуг. В общем виде СОУ может быть представлена следующим образом:

где В = (ij) - матрица размерности m x mY (i = 1,2,...,m, j = 1,2,..., mY) 1,2,...,m; j = 1,2,...,p) коэффициентов при p предопределённых переменных X t ( x (t 1 ), x (t 2 ),..., x (t p ) ), в состав которых, если необходимо, включён и условиям: Еt = 0m; ковариационная матрица остатков U = E(UtUtT) положительно определена и не зависит от t; векторы Ut1 и Ut2 взаимно Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) некоррелированы при t1t2, a t(i) некоррелированы со всеми предопределёнными переменными системы, т. е. E[t(i) (xt(j) - E xt(j))] = при i = 1,2…,m, j = 1,2,…, p. Коэффициенты ij пронормированы с Таким образом рассматривается система из m уравнений, содержащая mY эндогенных и р предопределённых (т. е. экзогенных и лаговых эндогенных) переменных.

Необходимо по результатам n наблюдений над матрицей эндогенных переменных Y и предопределенных переменных X найти оценки неизвестных элементов матриц В и С, т.е. структурных коэффициентов При такой постановке задачи возникает две проблемы:

1) возможно ли вообще при заданном уровне априорной информации оценить элементы матриц В и С (параметрическая идентификация);

2) найти метод, дающий наилучшие в некотором смысле оценки элементов матриц В и С (проблема оценивания).

Можно сказать, что тот или иной структурный коэффициент идентифицируем, если он может быть вычислен на основе коэффициентов приведенной формы. Соответственно какое-либо уравнение в структурной идентифицируемы все его коэффициенты. Необходимо подчеркнуть, что проблема идентифицируемости логически предшествует задаче оценивания, отсутствие идентифицируемости означает, что существует бесконечно много моделей, совместимых с имеющимися наблюдениями, и это никак не связано с количеством наблюдений.

Прежде всего, для того, чтобы мы могли уединить эндогенные переменные Yt, выразив их через предопределённые переменные Xt (т. е.

осуществить переход к приведённой форме и установить соотношение показывающие коэффициенты структурной и приведённой форм), необходимо потребовать, чтобы матрица В была квадратной и обратимой Так мы приходим к формулировке 1-го (необходимого) условия идентифицируемости:

Первое условие (необходимое) идентифицируемости: число уравнений системы (m) должно быть равно числу анализируемых эндогенных переменных (mY), т. е. m = mY, а матрица В должна быть невырожденной.

Тогда приведённая форма анализируемой системы будет иметь вид:

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) где П - матрица размерности m x p коэффициентов приведённой Очевидно, необходимым условием возможности оценить все коэффициенты ij матрицы П параметров приведённой формы (2) является требование, чтобы предопределённые переменные Хt не были мультиколлинеарны.

Второе условие (необходимое) идентифицируемости: матрица наблюдений предопределённых переменных Х = (хt(j)), t = 1,2…, n, j = 1,2…,p, - размерности n x p должна иметь полный ранг р (очевидно при этом число наблюдений n должно существенно превышать полное число анализируеммых переменных m + p).

Выведем еще два важных условия идентифицируемости отдельного уравнения системы (1). Для этого выпишем i-e уравнение этой системы, полагая (без ограничения общности), что анализируемые переменные системы перенумерованы таким образом, что участвующие в этом уравнении рi предопределенных переменных (рi р) и mi эндогенных переменных (mi m) идут первыми в общих перечнях, соответственно, предопределенных и эндогенных переменных. Тогда это уравнение может Нас будут интересовать соотношения, связывающие между собой коэффициенты структурной и приведенной форм именно i-го уравнения системы (1) с точки зрения возможности однозначно выразить коэффициенты структурной формы (i) и c(i) no известным значениям коэффициентов приведенной формы (т.е. по элементам матрицы П из (2)).

Для этого мы, конечно, используем в качестве отправного пункта базовое соотношение (3), а точнее, — эквивалентное ему соотношение:

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Для того, чтобы извлечь отсюда интересующие нас соотношения, связывающие i-е строки матриц, стоящих в левой и правой частях (7), нам придется разбить матрицу П на четыре блока двумя воображаемыми линиями: одна (горизонтальная) отделяет первые mi строк от m-mi последующих, а вторая (вертикальная) — первые рi столбцов от р-pi Тогда мы можем записать приведенную форму (2) анализируемой СОУ Теперь выпишем вытекающее из (3) равенство i-х строк ВП и -С:

Произведя перемножение матриц в левой части (9), получаем:

Мы получили систему уравнений, связывающих элементы i-й строки структурной формы СОУ с параметрами приведенной формы. Эта система, как мы видим, распалась на две подсистемы: (10) и (11). По-видимому, сначала надо попытаться решить подсистему (11) относительно Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) коэффициентов (i), а затем, подставив найденные решения в (10), решить эту подсистему относительно параметров с(i).

Поэтому определим, в первую очередь, условия, при которых подсистема (11) имеет хотя бы одно решение. Соотношения (11) представляют собой систему из p - рi уравнений относительно i1, i2,………,imi c mi- неизвестными (поскольку в соответствии с условием нормировки один из коэффициентов ij - равен единице). Для того, чтобы параметры (i) в подсистеме (11) можно было бы выразить через элементы матрицы Пх(i), необходимо, чтобы число уравнений в (11) было бы не меньше числа Таким образом, мы пришли к еще одному необходимому условию идентифицируемости уравнения системы.

Третье условие (необходимое) идентифицируемости (правило порядка): число исключенных (при спецификации модели) из i-го уравнения системы предопределенных переменных (т.е. число (р - рi)) должно быть не меньше числа включенных в него эндогенных переменных, уменьшенного на единицу. Сформулированное условие называется правилом порядка. Заметим, что выполнение условия р - рi = mi - 1 является необходимым условием точной идентификации i-го уравнения, в то время как при р - рi > mi - 1 уравнение будет сверхидентифицируемым. Из анализа подсистемы уравнений (11) можно извлечь также необходимое и достаточное условие идентифицируемости i-го уравнения СОУ. Известно, в частности, что для разрешимости системы (11) относительно (i) необходимо и достаточно, чтобы матрица Пх(i) имела бы ранг, равный числу неизвестных (т.е. mi - 1). Таким образом, получаем:

Четвертое условие идентифицируемости отдельного уравнения системы (условие называется ранговым и является необходимым и достаточным): ранг матрицы Пх(i) = mi - 1.

Рассмотрим простой пример системы одновременных уравнений, который демонстрирует основные проблемы, возникающие при попытке оценить неизвестные параметры. Предположим, что исследуется зависимость спроса и предложения некоторого товара от его цены и дохода так называемые кривые спроса и предложения:

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) где Pt цена товара, Yt доход в момент времени t. Предполагается, что на рынке существует равновесие, т. е. в каждый момент времени наблюдается одна величина Записывая каждое уравнение, для простоты в отклонениях от средних значений получаем следующую систему:

Отметим, что в соответствии с этой моделью цена и величина спросапредложения определяются одновременно (отсюда и термин “одновременные уравнения”). И поэтому обе эти переменные должны считаться эндогенными. В отличие от них доход y t является экзогенной переменной. Подчеркнём, что деление переменных на эндогенные и экзогенные определяется содержательной стороной модели.

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные некоррелированны с ошибкой. В тоже время эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, как правило, имеют ненулевую корреляцию с ошибкой в соответствующем уравнении. Действительно, разрешим систему относительно qt и pt :

Система уравнений (16) и (17) называется структурной формой модели, соответственно коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. Система (18) и (19) называется приведённой формой модели и она отличается от структурной тем, что содержит в своей части только экзогенные переменные, которые некоррелируют со случайными возмущениями по определению. Для приведенной формы модели выполняются все предпосылки классической линейной модели множественной регрессии, поэтому ее коэффициенты могут быть состоятельно оценены с помощью обычного метода наименьших квадратов (МНК). Введем обозначения для системы (18),(19):

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Тогда ее можно переписать в следующем виде:

Таким образом, с помощью обычного МНК можно получить состоятельные оценки 1 и 2 для коэффициентов 1 и соответственно. Заметим, что 2 1 2, поэтому (в силу теоремы структурного параметра 2. Такой способ оценивания структурных коэффициентов приведённой формы называется косвенным методом наименьших квадратов (КМНК) (Indirect Least Squares, ILS).

Следовательно, для структурного коэффициента первого уравнения можно построить состоятельную оценку, используя косвенный МНК. Что касается структурных коэффициентов второго уравнения 2 и 3, то для них не удается получить состоятельную оценку с помощью КМНК. Второе уравнение структурной системы (17) является неидентифицируемым, так как для него не выполняется условие порядка. Первое уравнение структурной системы (16) является точно идентифицируемым, так как для него выполняется условие порядка со знаком равенства и ранговое В рамках данной лабораторной работы необходимо последовательно выполнить следующие задания:

1) в соответствии с вариантом выбрать модель экономического объекта, описываемого системой одновременных уравнений;

2) определить экзогенные и эндогенные переменные системы;

3) записать данную модель в матричном виде;

4) найти приведенную форму для данной системы;

5) проверить данную систему на идентифицируемость;

1) Макроэкономическая модель, впервые сконструированная Людеке (1964) и предназначенная для описания определенных аспектов развития экономики народного хозяйства открытого типа с государственным Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 2) Макроэкономическая модель, которая является простейшей версией мультипликаторной модели Кейнса и основанная на предположении, что народное хозяйство является системой закрытого типа без государственного регулирования экономики.

3) Макроэкономическая модель имеет следующий вид:

4) Экономика страны описывается моделью следующего вида:

5) Имеется макроэконометрическая модель в виде системы уравнений:

6) Модель макроэкономики описывается моделью вида:

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 7) Макроэкономика представлена моделью в виде системы уравнений:

взаимозависимой системой:

9) Для описания макроэкономики страны используется следующая 10) Эконометрическая модель, описывающая макроэкономику страны где Сt – личное потребление в постоянных целях; Imt – импорт; Yt – национальный доход; It – частные чистые инвестиции и основной капитал (без резерва инвестиций); Ut – доходы населения, получаемые от предпринимательской деятельности, дивиденды и нераспределенная прибыль предприятий до налогообложения; Gt – государственные расходы плюс госуд. чистые инвестиции и основной капитал плюс изменения в товарных запасах плюс экспорт минус косвенные налоги плюс субсидии.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

3) список экзогенных и эндогенных переменных;

5) приведенная форма системы одновременных уравнений;

6) результаты проверки системы на идентифицируемость;

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) В чем состоит сущность такого инструмента, как системы одновременных уравнений?

2) Объясните проблему идентифицируемости отдельных параметров и 3) Какие два основных условия идентифицируемости СОУ вы знаете?

5) Что можно сделать, если СОУ окажется неидентифицируемой?

6) Каковы основные цели построения моделей объектов в виде СОУ?

7) В чем отличие структурной формы модели от приведенной формы?

8) В чем состоит преимущество и недостатки СОУ по сравнению с другими математическими моделями?

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1) Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики.

Учебник для вузов/ С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 2) Горобец А.Д. Синтез оптимальной системы одновременных уравнений для экономики Севастопольского региона / А.Д. Горобец // Вестник СевГТУ. – Севастополь,2001. - Вып. №33 – С. 95 – 99.

3) Грубер Й. Эконометрия, том 1. Введение в эконометрию/ Й. Грубер.

4) Грубер Й. Эконометрия, том 2. Эконометрические прогнозные и оптимизационные модели/ Й. Грубер. - Киев: «Нiчлава», 1999.— 308 с.

5) Джонстон Дж. Эконометрические методы./ Дж. Джонстон. - М.:

6) Магнус Я. Эконометрика. Начальный курс/ Я. Магнус, П.К.

Катышев, А.А. Пересецкий. - М.: Дело, 1997. – 248с.

7) Маленво Э. Статистические методы эконометрии, выпуск 2/ Э.

Маленво. - М.: Статистика, 1976. - 330с.

8) Тейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование./ Г. Тейл. – М.:

9) Тихомиров Н.П. Эконометрика: Учеб. для студ. Вузов, обуч. по спец.

«Мат. методы в экономике» / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина; РЭА им.

Г.В. ПЛЕХАНОВА. – М. Экзамен, 2003. – 512с.

10) Цуканов А.В. Идентификация объектов управления, описываемых системой одновременных уравнений / А.В. Цуканов, А.Д. Горобец // Оптимизация производственных процессов. – Севастополь,1999. – Вып.

11) Цуканов А.В. Информационный критерий синтеза оптимальной системы структурных моделей экономических систем / А.В. Цуканов, А.Д.

Горобец // Вестник СевГТУ. – Севастополь,1999. - Вып. №19. - С. 10-14.

12) Эконометрика: Учеб. для студ. Вузов, обучающихся по спец.

061700 «Статистика»/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)