«А.В.КАРГОВСКИЙ, А.А.КОНОВКО, О.Г.КОСАРЕВА, С.А.МАГНИЦКИЙ, А.Б.САВЕЛЬЕВ-ТРОФИМОВ, Д.С.УРЮПИНА ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К СЕМИНАРСКИМ ЗАНЯТИЯМ. Москва Физический факультет МГУ 2012 Рецензенты ...»

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией Ei дается равенством где gi — кратность вырождения i-го уровня, а Z — постоянная нормировки, обеспечивающая равенство где N — полное число частиц в системе.

поэтому где Пример 12.5. Найти коэффициенты квазиупругой силы молекул Н2 и СО.

Решение.

Ответ: = µ 2 = 5, 7 Н/см и 19 Н/см.

Пример 12.6. Хорошим приближенным выражением для энергии взаимодействия атомов в двухатомной молекуле является формула Морзе:

где U0 и — положительные постоянные, r0 — равновесное межъядерное расстояние. Получить выражения для постоянных U0 и через энергию диссоциации D молекулы, ее собственную частоту и приведенную массу µ.

Решение.

Энергия диссоциации D отсчитывается не от нуля, а от нижнего колебательного уровня /2, тогда как минимальное значение U (r) = 0. При r, разумеется, U U0, поэтому Для определения следует воспользоваться тем, что при (r r0) r0 функция U (r) может быть записана в виде который соответствует потенциальной энергии гармонического осциллятора где = µ 2. Сравнивая U и U0, получаем:

Пример 12.7. Найти энергию, необходимую для возбуждения молекулы водорода из основного состояния на первый колебательный уровень (v = 1). Во сколько раз эта энергия больше энергии возбуждения данной молекулы на первый вращательный уровень (J = 1)?

Решение.

Согласно (12.3) энергия основного состояния молекулы определяется числом v = 0 и дается равенством в свою очередь энергия первого колебательного уровня определяется числом v = 1 и дается выражением поэтому энергия, необходимая для возбуждения молекулы водорода из основного состояния на первый колебательный уровень имеет вид Энергия первого вращательного уровня дается равенством (12.1), где полагаем J = Как следует из примера 13. где µ — приведенная масса молекулы, которая в случае молекулы водорода равна половине массы протона, поэтому Таким образом, поэтому энергия, необходимая для возбуждения молекулы водорода из основного состояния на первый колебательный уровень больше энергии возбуждения данной молекулы на первый вращательный уровень в Пример 12.8. Определить температуру, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна энергии, необходимой для возбуждения молекул Cl2 из основного состояния на первый колебательный уровень (v = 1).

Решение.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул дается известным равенством Энергия основного колебательного уровня (v = 0):

энергия первого колебательного уровня (v = 1):

Осуществить возбуждение молекул Cl2 из основного состояния на первый колебательный уровень можно при условии Объединяя записанные равенства, получаем ответ Пример 12.9. Исходя из формулы (12.5), получить выражение для молярной колебательной теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме. Найти приближенный вид этого выражения для низких и высоких температур (kT и kT ).

Решение. Согласно формуле (12.5) По определению поэтому в расчете на 1 молекулу В пределе низких температур kT а в пределе высоких температур kT, и Чтобы получить молярную теплоемкость, полученные выражения следует домножить на число Авогадро NA = R/k, где R — газовая постоянная.

Ответ:

12.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 12.1. Для двухатомной молекулы известны интервалы между тремя последовательными вращательными уровнями: 1 = 0.20 мэВ и E2 = 0.30 мэВ. Найти вращательную энергию среднего уровня.

Ответ:

Задача 12.2. Имея в виду, что кратность вырождения вращательных уровней g = 2J + 1, найти вращательное квантовое число Jm наиболее заселенного вращательного уровня молекул кислорода при T = 300 К. Изобразить примерный график заселенности вращательных уровней NJ /N0 в зависимости от J при этой температуре.

Задача 12.3. Найти разность энергий состояний с квантовыми числами v = 1, J = 0 и v = 0, J = 5 у молекулы ОН.

Ответ: E = (1 2x) BJ(J1) = 0.37 эВ.

Задача 12.4. Вычислить для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями, считая вращательные состояния не зависящими от колебательных.

Ответ: 13 уровней.

Задача 12.5. Определить максимально возможное колебательное квантовое число, соответствующую колебательную энергию и энергию диссоциации двухатомной молекулы, собственная частота колебаний которой ю и коэффициент ангармоничности х. Вычислить эти величины для молекулы водорода.

Ответ: vmax 1/2x; Emax /4x и D (1 2x)/4x. Для молекулы водорода vmax = 17; Emax = 4, 8 эВ и D = 4.5 эВ.

Задача 12.6. Определить возможные типы электронных термов молекулы ОН, образующиеся из нормальных термов атомов кислорода (3P ) и водорода (2S).

Ответ: = 0, 1, S = 1/2, 3/2. Термы: 2, 4, 2 3/2, 1/2, 45/2, 3/2, 1/2, 1/2.

Семинар Статистика тождественных частиц.

Распределения Бозе и Ферми.

Энергия Ферми. Бозе-конденсация.

13.1 Краткие теоретические сведения Две частицы называются тождественными, если все физические свойства этих частиц в точности совпадают, что исключает возможность различать их экспериментально. В квантовой физике частицы одного типа (например, электроны) являются тождественными. Перестановка двух одинаковых частиц не меняет состояния системы, поэтому должна сохраняться некоторая физическая величина, отвечающая этому преобразованию.

Рассмотрим оператор перестановки тождественных частиц 1,2 и найдем его СЗ. Для простоты рассмотрим волновую функцию (r1, r2) системы, образованной всего лишь двумя тождественными частицами 1 и 2, координаты которых заданы векторами r1 и r2 соответственно.

Подействуем на (r1, r2) оператором 1, кроме того выполняется равенство где — СЗ оператора перестановки.

Теперь подействуем оператором 1,2 на получившуюся функцию (r2, r1) После повторной перестановки система вернулась в исходное состояние, поэтому справедливо равенство откуда следует, что СЗ оператора перестановки тождественных частиц принимают всего два значения:

Частицы, для которых = 1, называются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, которая допускает, чтобы в одном квантовом состоянии могло находиться неограниченное количество одинаковых частиц. В частности, бозонами являются фотоны, благодаря чему существует такое устройство как лазер. Частицы, для которых = 1, называются фермионами и подчиняются статистике ФермиДирака. К фермионам относятся, например, электроны, протоны и нейтроны. В дальнейшем в качестве примера фермионов будем рассматривать электроны.

Распределение Бозе-Эйнштейна дается равенством распределение Ферми-Дирака имеет вид где T — температура в Кельвинах, k — постоянная Больцмана, а µ — некоторый нормировочный параметр, имеющий размерность энергии и называемый химическим потенциалом (энергией Ферми, уровнем Ферми).

Уровень Ферми сам зависит от температуры и от параметров системы, в частности, от количества электронов в ней. Он может быть найден из условия, что сумма по всем квантовым состояниям значений среднего числа электронов, находящихся в каждом из них, должно равняться полному числу электронов в системе. Как видно из формулы распределения Ферми–Дирака, среднее число электронов в любом квантовом состоянии не превышает единицы.

В металле при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, электроны заполняют все квантовые состояния с энергией вплоть до уровня µ0 = F, называемого нулевым уровнем Ферми. Все квантовые состояния с энергией выше уровня µ0 свободны от электронов. Распределение Ферми–Дирака приобретает вид ступеньки. Отсюда вытекает, что нулевой уровень Ферми совпадает с энергетическим состоянием, которое заполнено лишь частично. Если такого состояния нет, то нулевой уровень Ферми лежит строго посередине между последним заполненным энергетическим уровнем и первым пустым уровнем.

В статистической физике доказывается, что уровень Ферми обладает важным свойством: если система находится в тепловом равновесии и состоит из нескольких подсистем, то все уровни Ферми, вычисленные для каждой подсистемы, должны совпадать.

Если же система состоит из электронов, обладающих отрицательным зарядом e, и при этом между двумя подсистемами (телами) приложено внешнее напряжение V, то уровень Ферми тела, связанного с плюсом источника напряжения, понижается, а другого тела — повышается. При этом уровни Ферми первого и второго тела отличаются на величину eV.

Термодинамическое число частиц:

Внутренняя энергия:

Температура вырождения квантового газа дается равенством Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 13.2 Примеры решения задач Пример 13.1. Найдите выражения для импульса Ферми и энергии Ферми для вырожденного идеального нерелятивистского ферми-газа при T = 0. Можно ли считать электронный газ в металлах вырожденным? (И.А. Квасников, ТДиСФ, т.2, стр. 152-153).

Решение.

В нерелятивистском случае энергия каждой частицы газа задана равенством Следовательно при T = 0, согласно (13.2), где pF — импульс Ферми, а соответствующая этому граничному импульсу энергия F = p2 /(2m) = µ0 (она же химический потенциал при T = 0) — энергия Ферми.

Основное состояние системы представляется в импульсном пространстве p = (px, py, pz ) как заполненная сфера Ферми: все состояния с |p| < pF заняты (np = 1), все состояния с |p| > pF свободны (np = 0).

Для электронного газа (s = 1/2) g = 2s + 1 = 2 и, следовательно, при T = откуда следуют равенства:

Энергия основного состояния рассчитывается аналогичным образом:

Для электронного газа в металлах можно сделать следующие оценки:

а) для энергии Ферми б) для скорости Ферми в) для давления электронного газа Таким образом, несмотря на то что T = 0, граничные электроны двигаются с такими скоростями, что их энергия имеет порядок 105 K, а это значит, что при комнатных температурах (T 300 K) электронный газ существенно вырожден. Полученный результат для T = 0 с хорошей точностью справедлив и при комнатной температуре, а тепловые поправки имеют порядок kT /F.

Пример 13.2. В некоторой системе при температуре T = 2520 К в состоянии с энергией 5 эВ среднее число электронов n = 0, 0909.

Найти энергию Ферми.

Решение.

Ответ: µ 4.5 эВ.

Пример 13.3. Известно, что в системе при температуре T в состоянии с энергией 6, 35852 эВ среднее число электронов n = 0, 2, а в со стоянии с энергией 5, 64148 эВ среднее число электронов n = 0, 8.

Найти температуру T и уровень Ферми.

Решение.

Пользуясь выкладками предыдущей задачи, запишем систему уравнений, которую затем решим относительно T и µ:

Отсюда получаем Подставляя в полученные равенства численные значения, получаем Ответ: µ = 6 эВ, T 3000 K.

Пример 13.4. В двухуровневой системе находится N электронов при температуре T. Энергия нижнего уровня E1, энергия верхнего уровня E2. Количество состояний на нижнем уровне N, на верхнем уровне N g. Сколько электронов находится на нижнем и сколько на верхнем уровне при температуре, стремящейся к нулю, и при температуре, стремящейся к бесконечности? Вычислить ненулевую температуру, при которой уровень Ферми совпадет с одним из уровней E или E2. Рассчитать и нарисовать зависимость уровня Ферми от температуры. Найти пределы, к которым стремится уровень Ферми при T, стремящейся к нулю, и при T, стремящейся к бесконечности.

Решение.

При температуре, стремящейся к абсолютному нулю, все электроны расположены на нижнем уровне. При температуре, стремящейся к бесконечности, каждое состояние заполнено электроном в одинаковой степени, а именно:

поэтому на нижнем уровне будет N/(1+g) электронов, а на верхнем — N g/(1 + g). При этом, разумеется, полное число электронов остается равным N :

Введем обозначения a = exp(E1/kT ), b = exp(E2/kT ), c = exp(µ/kT ) и с их помощью запишем предыдущее равенство Решая квадратное уравнение относительно c, получаем:

откуда немедленно следует равенство Для нахождения ненулевой температуры T2, при которой уровень Ферми совпадает с одним из уровней E1 или E2, требуется решить соответственно одно из двух уравнений:

Ответ: При T 0 уровень Ферми расположен посередине между уровнями E1 и E2. При T и при g = 1 уровень Ферми линейно зависит от температуры: µ kT ln(g).

Пример 13.5. Оцените значение энергии Ферми µT для электронов проводимости в кристалле молибдена при T = 2000 K, если известно, что плотность кристалла = 10, 2 г/см3, атомный вес M = 96, число свободных электронов на атом z = 1, эффективная масса электрона проводимости равна массе свободного электрона в вакууме 9, 1·1028 г.

Решение.

Ответ: µT = 5, 846 эВ.

Пример 13.6. Определить максимальное значение кинетической энергии, которой может обладать электрон, движущийся в металле при T 0 K, если концентрация электронов проводимости в рассматриваемом металле 1023 см3.

Решение.

Ответ: 7, 85 эВ.

13.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 13.1. В двухуровневой системе находится N электронов при температуре T. Энергия нижнего уровня E1, энергия верхнего уровня E2. Количество состояний на нижнем уровне N g, на верхнем уровне N. Сколько электронов находится на нижнем и сколько на верхнем уровне при температуре, стремящейся к нулю, и при температуре, стремящейся к бесконечности? Вычислить ненулевую температуру, при которой уровень Ферми совпадет с одним из уровней E1 или E2. Рассчитать и нарисовать зависимость уровня Ферми от температуры. Найти пределы, к которым стремится уровень Ферми при T, стремящейся к нулю и бесконечности.

Ответ: Если T 0, то при g > 1 уровень Ферми совпадает с нижним уровнем E1, а при g < 1 уровень Ферми совпадает с верхним уровнем 2. При T и g = 1 уровень Ферми линейно зависит от температуры: µ kT ln(g).

Задача 13.2. Оцените n(E) — среднее число электронов в состоянии с энергией E = 7, 0 эВ при T = 3000 K в зоне проводимости кристалла вольфрама, если известно, что плотность кристалла = 19, 3 г/см3, атомный вес M = 184, число свободных электронов на атом z = 1, m/m0 = 1, где m — эффективная масса электрона проводимости, а m0 = 9.1 · 1028 г — масса свободного электрона в вакууме.

Ответ: n 9.66 · 103.

Задача 13.3. Определить концентрацию свободных электронов в металле, если известно, что при плотности тока проводимости j = 5 А/см2 средняя скорость направленного движения электронов составляет 0, 05 см/с.

Ответ: n = 6.24 · 1020 см3.

Задача 13.4. Оцените число электронов в зоне проводимости в кристалле вольфрама, объем которого равен 100 см3, при T 0 K, если известно, что значение энергии Ферми µ = 5, 81 эВ.

Ответ: n 6.35 · 1024.

Задача 13.5. Вычислите значение средней энергии электронов проводимости в кристалле хрома при T = 0 K, если известно, что плотность хрома = 7.19 г/см3, атомный вес M = 52, число свободных электронов на каждый атом z = 1, m/m0 = 1, где m — эффективная масса электрона проводимости, m0 = 9.11 · 1028 г — масса свободного электрона в вакууме.

Ответ: 4.182 эВ.

Подписано в печать 25.06.12. Формат 60х88/ Печать офсетная. Бумага офс. № Объем 8.25 п.л. Тираж 50 экз. Заказ № Москва, 119899, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова Физический факультет. Тел. (495)939- Интернет: http://publish.phys.msu.su Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова