«А.В.КАРГОВСКИЙ, А.А.КОНОВКО, О.Г.КОСАРЕВА, С.А.МАГНИЦКИЙ, А.Б.САВЕЛЬЕВ-ТРОФИМОВ, Д.С.УРЮПИНА ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К СЕМИНАРСКИМ ЗАНЯТИЯМ. Москва Физический факультет МГУ 2012 Рецензенты ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.Ломоносова

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

А.В.КАРГОВСКИЙ, А.А.КОНОВКО, О.Г.КОСАРЕВА,

С.А.МАГНИЦКИЙ, А.Б.САВЕЛЬЕВ-ТРОФИМОВ,

Д.С.УРЮПИНА

ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ

ФИЗИКУ.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

К СЕМИНАРСКИМ ЗАНЯТИЯМ.

Москва Физический факультет МГУ 2012 Рецензенты Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Государственной премии СССР, главный научный сотрудник ФИАН А.З. Грасюк доцент, доктор физико-математических наук А.Н. Рубцов Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета физического факультета МГУ Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 011200 - Физика Карговский А.В., Коновко А.А., Косарева О.Г., Магницкий С.А., Савельев-Трофимов А.Б., Урюпина Д.С. Введение в квантовую физику. Методическое пособие к семинарским занятиям. Под общей редакцией А.Б. Савельева-Трофимова и А.А. Коновко: Учебное пособие. - М.: Физический факультет МГУ, 2012, 132с.

Основная цель курса Введение в квантовую физику — помочь студентам второкурсникам, не владеющим еще в полной мере достаточно сложным математическим аппаратом квантовой теории, понять и освоить основные идеи и принципы квантовомеханического подхода при изучении фундаментальных основ физики.

Квантовая физика — понимая под этим термином совокупность физических теорий, в наборе констант которых содержится постоянная Планка, — рассматривается как основа современной физической картины мира. В этой связи в курсе важное место занимают, с одной стороны, вопросы экспериментального обоснования квантовой физики и, с другой стороны — вопросы соответствия результатов квантовых и классических теорий. В пособии, разделенном на 13 семинаров, приведены ключевые понятия и формулы, используемые при проведении семинарских занятий по курсу, характерные задачи с решениями, а также ряд задач для самостоятельной работы.

При составлении задач использовались книги А.Н. Матвеева Квантовая механика и строение атома, И.Е. Иродова Задачи по квантовой физике и И.А. Квасникова Термодинамика и статистическая физика. Пособие предназначено для студентов второго курса физического факультета МГУ, а также других ВУЗов, изучающих квантовую физику.

c А.В.Карговский, А.А.Коновко, О.Г.Косарева, С.А.Магницкий, А.Б.Савельев-Трофимов, Д.С.Урюпина, c Физический ф-т МГУ, Оглавление Предисловие 1 Фундаментальные константы и базовые соотношения. 1.1 Краткие теоретические сведения.............. 1.1.1 Релятивистская механика.............. 1.1.2 Элементы теории вероятностей........... 1.2 Примеры решения задач................... 1.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 2 Характерные масштабы квантовых систем 2.1 Краткие теоретические сведения.............. 2.1.1 Метод размерностей................. 2.1.2 Действие и постоянная Планка.......... 2.2 Примеры решения задач................... 2.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 3 Корпускулярные свойства излучения. Формула Планка. 3.1 Краткие теоретические сведения.............. 3.1.1 Абсолютно черное тело. Формула Планка..... 3.2 Примеры решения задач................... 3.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 4 Корпускулярные свойства излучения. Фотоэффект. 4.1 Краткие теоретические сведения.............. 4.2 Примеры решения задач................... 4.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 5 Модель атома Резерфорда-Бора 5.1 Краткие теоретические сведения.............. 5.1.1 Формула Резерфорда................ 5.1.2 Постулаты Бора................... 5.2 Примеры решения задач................... 5.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 11.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 12.1 Краткие теоретические сведения.............. 12.3 Задачи для самостоятельного решения.......... 13.1 Краткие теоретические сведения.............. 13.3 Задачи для самостоятельного решения.......... Предисловие Курс Введение в квантовую физику для студентов 2-го курса физического факультета появился сравнительно недавно — в 2009 году, хотя в той или иной форме разделы курса присутствовали в курсах Оптика, Атомная физика, Ядерная физика, читаемых в конце 2-го и на 3-ем курсах. Необходимость целостного введения в мир квантовых объектов на более раннем этапе обучения связана, очевидно, с все возрастающей ролью квантового подхода при описании явлений и желательностью усвоения студентами младших курсов ключевых идей и мировоззренческих основ такого подхода. Успешный трехлетний опыт преподавания курса Введение в квантовую физику на 2-ом потоке 2-го курса позволил коллективу авторов, ведущих семинары по курсу, подготовить методическое пособие к этим семинарам.

Курс является теоретическим базисом к ряду дисциплин и представляет собой первый элемент последовательности курсов: Ядерная физики, Физика атомного ядра и частиц, Квантовая теория и далее все специальные курсы кафедр, в которых рассматривается квантовая природа мира. В результате освоения дисциплины обучающийся должен познакомиться с экспериментальными свидетельствами недостаточности классического описания, приведшими к появлению квантовой физики, освоить основные принципы квантомеханического подхода к решению простых задач микросистем, изучить порядки величин в квантовой физике и шкалу масштабов физики атомов и наноструктур.

Отличительная особенность методического пособия состоит в реализации предложенной С.А. Магницким и Н.М. Нагорским методики адаптации материала к современным образовательным технологиям:

в каждом разделе пособия приведены интернет-ссылки в виде двумерных штрих-кодов (QR-кодов), при считывании которых мобильным устройством можно перейти на страницу сайта курса в сети Интернет и изучить дополнительные материалы к семинару (компьютерные демонстрации изучаемых опытов, явлений и эффектов, расширенные теоретические сведения, дополнительные задачи, а также ссылки на другие сайты, содержащие полезную информацию). Для читателей, не располагающих устройством, способным сканировать QR-коды, ссылка на интернет-ресурс приведена в текстовом формате.

Семинар Фундаментальные константы и базовые соотношения.

1.1 Краткие теоретические сведения Системы единиц Энергия Электрический заряд 1 Кл Напряженность элек- 1 В/м 108 с В/см = 3·104 В/м трического поля Электрическое напря- 1 В Электрическая емкость 1 Ф Электрическое сопро- 1 Ом 109 с2 Ом = 9·1011 Ом тивление Напряженность нитного поля Индукция магнитного 1 Тл Таблица 1.1: Единицы физических величин.

8 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

Наименование Напряженность поq Потенциал поля тоq Плотность энергии Теорема Гаусса Теорема о циркуляHdl = I [А] Магнитный момент Таблица 1.2: Некоторые формулы электродинамики.

ме, c Заряд электрона, e Масса электрона, me Масса протона, mp Постоянная Планка, h Приведенная постоянная 1.05 · 1034 Дж с 1.05 · 1027 эрг с Планка, Магнетон Бора, µB Магнитная постоянная, 1.26 · 106 Н/А2 1/c2 СГСЭ, 1 СГСМ Таблица 1.3: Некоторые физические константы Связь между диэлектрической и магнитной постоянными:

1.1.1 Релятивистская механика Импульс Уравнение динамики частицы Полная (E) и кинетическая (K) энергия частицы где E0 = mc2 — энергия покоя.

10 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

Связь между энергией и импульсом частицы 1.1.2 Элементы теории вероятностей Случайным событием называется такой исход испытания, который может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного испытания.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании; в противном случае события называются совместными.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов (т.е. приводящих к наступлению события А) к общему числу испытаний.

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло.

Для независимых событий Случайная величина Х есть числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Функцией распределения случайной величины называется функция F (x), которая для любого числа x R равна вероятности события {X 0 — параметр. Среднее значение x =, дисперсия D(x) =.

Это распределение определяет вероятность наблюдения x событий в данный интервал времени t, если эти события независимы и возникают с постоянной скоростью v ( = vt).

12 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 1.2 Примеры решения задач Пример 1.1. Найти отношение единиц измерения энергии в СИ и СГС.

Решение.

Выразим единицы измерения энергии в этих системах через базовые – длину, массу, время:

[Энергия] = [Масса] · [Скорость] = [Масса] ·, СИ: 1 Дж = 1 кг·м2 /c2, СГС: 1 эрг = 1 г·см2/c2.

Таким образом, Дж/эрг = 107.

Ответ: Дж/эрг = 107.

Пример 1.2. Напряженность электрического поля составляет E = 50 кВ/м. Чему она равна в единицах СГС?

Решение.

Воспользуемся тем, что Пользуясь полученным соотношением, находим: 1 В/м = 1 Дж/(Кл·м) = 107 эрг/(3·109 СГСЭ ·100 см) = 1/3 · 104 СГСЭ.

Таким образом, E = 1.7 СГСЭ.

Тот же самый результат можно моментально получить, воспользовавшись таблицей единиц измерений физических величин, приведенной в разделе 1.1.

Ответ: 1.7 СГСЭ.

Пример 1.3. Солнечная постоянная или интегральная интенсивность солнечного излучения за пределами земной атмосферы на среднем расстоянии Земли от Солнца (1 а.е.) равна Q = 1367 Вт/м2. Чему равно значение солнечной постоянной в системе СГС?

Решение.

Пользуясь полученным соотношением, находим: 1 Вт/м2 = 1 Дж/(с·м2 ) = 107 эрг /(с·104 см2) = 103 эрг/(с·см2), Откуда получаем ответ Q = 1367 Вт/м2 = 1.367 · 106 эрг/(с·см2 ).

Ответ: Q = 1.367 · 106 эрг/(с·см2).

Пример 1.4. Релятивистская частица с массой m и кинетической энергией K налетает на покоящуюся частицу той же массы. Найти массу и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.

14 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

Решение.

В процессе участвуют три частицы: налетающая (1), покоящаяся (2) и образовавшаяся в результате соударения (3). Пусть mi, Ei и pi — масса, энергия и импульс i-той частицы соответственно. По условию m1 = m2 = m. Запишем законы сохранения энергии и импульса до и после соударения:

До удара полная энергия покоящейся частицы E2 = mc2, а импульс равен нулю (p2 = 0). Пользуясь формулами E = mc2 + K, p = vE и p c = K(K + 2mc ), получаем систему уравнений относительно E3 и Путем несложных преобразований получим:

Чтобы найти массу составной частицы m3, воспользуемся определением релятивистской энергии в которую подставим полученные выше выражения для E3 и v3. Окончательно получаем Пример 1.5. В сосуде объемом V находится N молекул газа. Какова вероятность того, что в объеме V находится N молекул?

Решение.

Вероятность обнаружить молекулу в объеме V равна Будем считать, что молекулы газа независимы, т.е. нахождение одной молекулы в интересующем нас объеме не зависит от присутствия/отсутствия там других молекул. Тогда вероятность того, что в объем V попали N молекул, равна При этом оставшиеся N N молекул должны находится вне объема V. Вероятность нахождения молекулы газа вне этого объема равна 1 p1. Тогда, с учетом того что все молекулы одинаковые, будем иметь Легко убедиться, что полученное выражение удовлетворяет условию нормировки:

Пример 1.6. Плотность распределения случайной величины w(x) пропорциональна функции вида Найти коэффициент нормировки, среднее значение и дисперсию случайной величины.

16 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

Решение.

Согласно условию нормировки:

Найдем среднее:

Для нахождения дисперсии вычислим x2 :

Откуда для дисперсии получаем выражение:

Пример 1.7.

Найти чему равна диэлектрическая постоянная 0. Воспользуйтесь сопоставлением выражений для силы Кулона в системах единиц СИ и СГС.

Решение.

Воспользуемся формулами для силы Кулона в системах единиц СИ и СГС.

Посчитаем силу для q1 = q2 = 1 Кл, r = 1 м:

Сравнивая между собой два выражения, получим:

Пример 1.8.

Найти чему равна магнитная постоянная µ0. Воспользуйтесь сопоставлением выражений для силы взаимодействия двух проводников с током в системах единиц СИ и СГС.

Решение.

Воспользуемся формулами для силы взаимодействия двух проводников с током в системах единиц СИ и СГС.

Посчитаем силу для I1 = I2 = 1 А:

Сравнивая между собой два выражения, получим:

18 Фундаментальные константы и базовые соотношения.

1.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 1.1. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

Ответ: v = c, где c — скорость света.

Задача 1.2. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией K падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке равна I, заряд и масса каждой частицы равны e и m соответственно. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность.

Задача 1.3. Плотность распределения случайной величины w(x) пропорциональна:

2. exp (a |x b|), a > 0 (распределение Лапласа) Найти коэффициент нормировки, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Ответ:

Семинар Характерные масштабы квантовых систем: порядки величин, энергий и расстояний 2.1 Краткие теоретические сведения 2.1.1 Метод размерностей Метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин, называется анализом размерностей.

Запишем соотношения, возникающие между физическими величинами в силу существования констант h и c для электрона массой m (так называемые естественные единицы квантовой электродинамики).

скорость c импульс mc Таблица 2.1: Естественные единицы квантовой электродинамики.

Аналогичные соотношения для электрона массой m и зарядом e в комбинации с константой h определяют характерные масштабы величин для такой системы, как атом водорода.

кая величина Таблица 2.2: Характерные масштабы величин для атома водорода.

Для электрона массой m и зарядом e в комбинации с константой c, также можно сформировать комбинации констант, соответствующих масштабам величин в ядерной физике.

кая величина скорость Таблица 2.3: Характерные масштабы величин в ядерной физике.

Основываясь на приведенных соотношениях можно связать энергию с массой, частотой, обратной длиной, т.е. энергия может быть выражена через значения соответствующих ассоциированных с ней величин.

Одной из наиболее употребительных единиц энергии в физике микромира является электронвольт (эВ), т.е. энергия, приобретаемая элементарным зарядом при прохождении разности потенциалов 1 В.

Электронвольт особенно удобен при описании атомов, поскольку энергия связи внешних электронов составляет как раз порядка 1 эВ, а энергия связи электрона в атоме водорода — 13.6 эВ. В ядерной физике обычно используется МэВ, а в физике частиц – ГэВ (энергия покоя протона равна 0.94 ГэВ).

Температуру, обычно измеряемую в градусах, также можно измерять в энергетических единицах, при этом 1 эВ соответствует температуре в 11605 градусов (по Кельвину). Не следует при этом, однако путать эту энергию с кинетической или потенциальной энергией системы.

2.1.2 Действие как мера квантовости системы. Постоянная Планка Действие в физике — одна из наиболее фундаментальных физических величин, входящая в современную формулировку большинства основных физических теорий во всех фундаментальных разделах физики, имеющая при этом и огромное техническое значение в теоретической физике. Имеет физическую размерность энергия-время или импульс-расстояние, совпадающую с размерностью момента импульса и размерностью постоянной Планка h. Данное совпадение не случайно: для квантовых систем величина действия сравнима с h (S h), а для макросистем — намного превышает h (S h).

h = 6.626 · 1027 эрг·с= 6.626 · 1034 Дж·с Для оценки величины действия некоторой физической системы можно использовать одну из трех указанных выше комбинаций характерных масштабов изменения системы:

• произведение (кинетической) энергии системы на среднее время ее изменения;

• произведение импульса системы на характерный пространственный масштаб смещения системы;

• момент импульса системы.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 2.2 Примеры решения задач.

Постоянная Скорость света Заряд электрона e = 4.803 · 1010 СГСЭ e = 1.602 · 1019 Кл Авогадро Постоянная Больцмана Таблица 2.4: Таблица некоторых физических постоянных.

Пример 2.1. Методом анализа размерностей оцените классический радиус электрона.

Решение. Для оценки классического (не квантового) радиуса электрона можно воспользоваться зарядом e, массой m и скоростью света c. Запишем степенную комбинацию указанных констант где re — радиус электрона, а числа A, B и C предстоит найти. Будем решать задачу в системе СГС, так что закон Кулона принимает вид:

т.е. отношение квадрата единиц заряда к квадрату расстояния есть сила, которая в свою очередь имеет размерность [г] · [см]/[с] откуда получаем связь размерности электрического заряда с основными размерностями СГС Подставляя размерность заряда, массы и скорости в их степенную комбинацию, получаем Равенство выполняется, если откуда получаем значения степеней A, B и C Подставляя полученные числа в степенную комбинацию фундаментальных констант, получаем ответ Замечание: полученное равенство можно переписать в виде mc2 =. Этому результату можно дать следующую интерпретацию: классиre ческий радиус электрона — это радиус сферы, обладающей зарядом e, электростатическая энергия которой равна энергии покоя электрона.

Пример 2.2. Оцените электростатическую энергию отталкивания двух электронов, находящихся на расстоянии /(mc). Сравните ее с энергией покоя электрона.

Решение. Расстояние /(mc) 3.8 · 1011 см близко по величине к радиусу первой боровской орбиты атома водорода (a = 0.53·1010 м). В гауссовой системе единиц относительная энергия взаимодействия двух электронов, находящихся на расстоянии /(mc), дается равенством Поэтому можно сказать, что электрон в атоме водорода — нерелятивистский объект. Константа называется постоянной тонкой структуры и играет фундаментальную роль в атомной физике. Малость этой величины отражает слабость электромагнитного взаимодействия.

Пример 2.3. Оцените скорость v, радиус орбиты a и энергию E связи электрона в атоме водорода в сравнении с величинами, характерными для квантовой электродинамики.

Решение. Для электрона на круговой орбите в атоме водорода выполняется Второй закон Ньютона где a — радиус атома водорода. Поскольку электрон в атоме водорода — нерелятивистский объект, для оценки величины a можно воспользоваться константами e, m и (но не c) где e — комптоновская длина волны электрона.

Тогда полная энергия электрона равна По определению энергия связи — это разность между полной энергией связанного состояния системы частиц и энергией состояния, в котором эти частицы бесконечно удалены друг от друга и находятся в состоянии покоя. Отсюда следует, что энергия связи электрона с протоном в атоме водорода дается равенством где R = 13.6 эВ — постоянная Ридберга, а — постоянная тонкой структуры. Передав электрону такую энергию, его можно оторвать от протона, поэтому энергию |E| можно также назвать энергией ионизации атома водорода.

Для скорости электрона имеем:

Таким образом с точки зрения квантовой электродинамики атом водорода является слабо связанной нерелятивистской системой довольно больших размеров.

Пример 2.4. Движущиеся элементы ручных часов сравнительно малы. Сделав разумные оценки физических параметров для типичных ручных часов, покажите, что квантовая механика не управляет движением их частей. Оцените характерные параметры квантового маятника.

Решение. Поскольку в основе любых часов есть маятник, для оценки квантовости часов рассмотрим движение математического маятника, а в качестве оценки величины действия для этой системы — произведение периода T колебаний маятника и его максимальной энергии Пусть длина l нити маятника — 1 мм, масса m грузика — 1 г, а типичный угол отклонения составляет по порядку величин 1.

В точке максимального отклонения от вертикали энергия маятника определяется его потенциальной энергией. Разность потенциальных энергий в этой точке и в точке равновесия равна искомой энергии W маятника. Тогда действие равно Оценка на S дает S 1010. Таким образом, рассматриваемый маятник не является квантовым объектом. Для квантового маятника произведение l3/2m должно быть в 1024 раз меньше. Например, такому соотношению удовлетворяет протон на нити длиной 1 мм, либо несколько тысяч протонов на нити длиной 1 мкм.

Пример 2.5. Электрон движется в магнитном поле в направлении, перпендикулярном вектору напряженности этого поля. При каких напряженностях поля движение электрона становится неклассическим?

Проведите оценку для релятивистского электрона и для теплового электрона при комнатной температуре.

Решение. На электрон будет действовать сила Лоренца направленная перпендикулярно направлению скорости v.

Релятивистское уравнение движения дается равенством Взяв производную по времени от релятивистского импульса, получим уравнение движения в следующем виде Второе слагаемое параллельно направлению скорости, и если F v, оно равно нулю. Сила Лоренца удовлетворяет этому условию, поэтому уравнение движения упрощается Поскольку работа силы Лоренца равна нулю, энергия электрона сохраняется, и он движется по окружности. При этом ускорение a — это центростремительное ускорение, и a = v 2 /R. Запишем уравнение движения в проекции на радиальное направление В нерелятивистском случае v c, и радиус окружности, называемый также Ларморовским радиусом, дается равенством Действие в данной системе можно оценить как момент импульса электрона:

где p - импульс электрона:

В релятивистском случае для напряженности магнитного поля, при котором действие становится порядка, имеем При этом Ларморовский радиус составит порядка 1 нм. Следует отметить, что магнитные поля с такой напряженностью создать в земных условиях невозможно и поэтому электрон, движущийся со скоростью, близкой к скорости света, в магнитном поле не проявляет своих квантовых свойств.

Для теплового электрона скорость составляет примерно 3 · 104 м/c.

Поэтому соответствующее магнитное поле оказывается на 8 порядков слабее, Ларморовский радиус — на 8 порядков больше. Такие поля создать достаточно просто.

2.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 2.1. Оцените температуру человека в эВ. Какова (среднеквадратичная) скорость молекул, из которых состоит его тело? С какой скоростью должен двигаться человек, чтобы его температура была равна его кинетической энергии?

Ответ: менее 1011 м/с.

Задача 2.2. Детский волчок раскручивают относительно оси. Сделав разумные предположения о массе и размерах волчка покажите, что его движение всегда описывается классическими законами механики. При каких размерах волчка, в виде электрона, закрепленного на невесомой нити, его движение будет квантовым?

Ответ: для волчка действие т.е. длина нити меньше де-Бройлевской длины волны электрона. Для релятивистского электрона это – Комптоновская длина волны!

Задача 2.3. Оцените условия (температуру), в которых броуновское движение частиц нельзя описывать по законам классической механики? Массу броуновской частицы примите равной 1 мкг, размер мкм.

Ответ: T < 9.5 · 1011 К.

Задача 2.4. Рассмотрите электрический контур, состоящий из конденсатора емкостью 100 пФ и индуктивности 0.1 мГн. Пусть в данном контуре происходят колебания напряжения с амплитудой 1 мВ. Покажите, что данная система описывается в рамках классической теории.

При каких величинах емкости и индуктивности необходим учет квантовых эффектов?

Ответ: Для получения квантовой системы необходимо произведение LC 3 уменьшить на 22 порядка.

Семинар Корпускулярные свойства излучения.

Тепловое излучение. Формула Планка.

3.1 Краткие теоретические сведения • Фотон (квант электромагнитного излучения) обладает энергией = и импульсом p = k, где и k — круговая (радиальная или циклическая) частота и волновой вектор электромагнитной волны соответственно. Масса покоя фотона тождественно равна нулю.

• Мощность W электромагнитной волны пропорциональна числу фотонов в единицу времени:

• Объемная плотность P фотонов излучения рассчитывается как количество фотонов, прошедших через площадь s за время :

• Давление потока фотонов на поверхность площадью s определяется как где — коэффициент отражения излучения от поверхности полностью поглощающих веществ.

• Фазовая и групповая скорости даются равенствами 3.1.1 Абсолютно черное тело. Формула Планка.

• Формула Планка для спектрально-объемной плотности энергии излучения абсолютно черного тела:

где T – температура этого тела.

• Закон Стефана-Больцмана для полной мощности излучения абсолютно черного тела Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 3.2 Примеры решения задач Пример 3.1. Электромагнитная волна распространяется в диэлектрике с показателем преломления n. Каковы энергия и импульс фотона в диэлектрике?

32 Корпускулярные свойства излучения. Формула Планка.

Решение.

Частота колебаний поля электромагнитной волны не зависит от среды, в которой она распространяется. Следовательно энергия фотона также не зависит от среды. В то же время длина волны излучения зависит от показателя преломления среды в силу зависимости фазовой скорости распространения электромагнитной волны от n:

Таким образом импульс фотона в диэлектрике в n раз больше, чем в вакууме.

Пример 3.2. В некотором опыте сравнивались времена распространения импульсов электромагнитного излучения до Луны и обратно для двух, сильно различающихся длин волн в 1 = 20 см (радиодиапазон) и 2 = 0.5 мкм (видимое зеленое излучение). Было получено, что с точностью до неровностей поверхности Луны (около 100 м) эти времена совпадают. Сделайте оценку сверху на массу покоя фотона.

Расстояние до Луны L = 385000 км.

Решение. Разница во времени распространения электромагнитных сигналов связана с дисперсией среды, т.е. зависимостью между частотой и волновым вектором k. Если допустить, что масса покоя m фотона отлична от нуля, то соотношение между энергией (частотой) фотона и его импульсом (длиной волны) будет выглядеть, как Отсюда групповая скорость фотона Отметим, что при m = 0 данное выражение сводится к равенству vг = c, что и означает отсутствие дисперсии для фотона в вакууме.

Учитывая, что масса фотона очень мала (m2c2 По условию задачи разность времен прохождения сигнала на двух длинах волн меньше, чем разброс по времени, связанный с неровностью поверхности Луны:

Отсюда окончательно получаем с сохранением членов того же порядка малости и учетом 1 2:

Ответ: m Пример 3.3. Найти плотность потока фотонов, попадающих в глаз человека от лампочки накаливания мощностью P = 60 Вт на расстоянии L = 3 м. Считать, что средняя длина волны излучения лампочки равна 550 нм, а эффективность преобразования электрической энергии в световую 1%.

Решение.

Число фотонов, высвечиваемое лампочкой за время в полный телесный угол 4 стерадиан составляет Поскольку диаметр зрачка человеческого глаза d 1 мм, то соответствующий ему телесный угол 34 Корпускулярные свойства излучения. Формула Планка.

Таким образом, плотность потока фотонов есть Пример 3.4. Преобразовать формулу Планка к видам, соответствующим распределению по частотам и длинам волн. Показать, что произведение частоты m и длины волны m, соответствующих максимуму спектральных распределений, всегда меньше скорости света Решение.

Поскольку u d = u d и = 2, то d = 2d, и для формулы Планка в частотном представлении получаем Максимум данного выражения соответствует корню трансцендентного уравнения относительно величины = : m = 2.8, m = 2. Проводя аналогичный расчет для плотности излучения в пространc стве длин волн с учетом того, что u d = u d, = c/ и d = 2 d, получаем Максимум данного выражения соответствует корню трансцендентного уравнения Поскольку m > m, то произведение m m < c.

Пример 3.5. Считая, что спектр излучения Солнца близок к спектру черного тела с длиной волны, отвечающей максимуму спектра при 0.48 мкм, найти мощность теплового излучения Солнца. Оценить время, за которое масса Солнца следствие теплового излучения уменьшится на 1% (масса Солнца 2 · 1030 кг, его радиус 7 · 105 км).

Решение. Поскольку максимум в спектре излучения соответствует длине волны = 0.48 мкм, то, исходя из решения предыдущей задачи, находим температуру Солнца (эту же оценка можно получить, исходя из закона смещения Вина. ) Полная мощность излучения с единицы поверхности абсолютно черного тела определяется законом Стефана-Больцмана. Поэтому для мощности излучения Солнца получаем Для оценки потери Солнцем массы на излучение, считаем, что E = W t = mc2. Отсюда при m/m = 0.01 для времени получаем:

3.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 3.1. На зеркало, колеблющееся по гармоническому закону вдоль нормали к его поверхности, падает вдоль той же нормали монохроматическая волна (поток фотонов). Определить спектр отраженного излучения, рассматривая излучение как волну и как поток фотонов. (Вихман Э., Квантовая физика, Берклеевский курс физики, т. 4, стр. 147).

Задача 3.2. Оцените число фотонов, попадающих в глаз наблюдателя от звезды первой величины Альдебаран (поток энергии от такой звезды на поверхности Земли 106 лм/м2. На длине волны 36 Корпускулярные свойства излучения. Формула Планка.

= 0.55 мкм 1 лм соответствует 1.6 мВт). Может ли мерцание этой звезды быть связано с флуктуацией числа фотонов, попадающих в глаз наблюдателя (характерное время реакции глаза = 20 мс, радиус зрачка r 0.5 мм).

Задача 3.3. Антенна радиостанции излучает радиоволны на частоте 1 МГц при мощности 1 кВт. Сколько фотонов в 1 с падает на самолет, находящийся на расстоянии 100 км от этой станции? (характерные размеры самолета 50 на 5 м).

Задача 3.4. Найти, пользуясь классическим и квантовым подходами, среднее и максимальное давление, создаваемое сфокусированным в пятно диаметром 3 мкм пучком лазерного излучения со следующими параметрами импульса: длительность 30 фс, энергия 1 Дж, длина волны 800 нм, частота следования 10 Гц. (коэффициент отражения считать равным 0.5).

Ответ:

Таким образом давление не зависит от длины волны излучения и в конечный ответ не входит постоянная Планка.

Задача 3.5. При какой длине волны фотона его импульс равен импульсу электрона с кинетической энергией, равной энергии покоя (511 кэВ)?

Ответ:

Задача 3.6. Найти скорость электрона, при которой его импульс равен импульсу фотона с длиной волны 1 A?

Ответ:

Задача 3.7. Найти с помощью формулы Планка среднее значение частоты в спектре теплового излучения при T = 300 К.

Ответ:

Задача 3.8. В результате расширения Вселенной после Гигантского Взрыва возникло электромагнитное излучение, называемое реликтовым. В настоящее время это излучение имеет спектр близкий к спектру черного тела с максимумом излучения при = 1.07 мм. Какова температура этого излучения?

Ответ:

Семинар Корпускулярные свойства излучения.

Фотоэффект.

4.1 Краткие теоретические сведения • Соотношение между полной энергией E, импульсом p и кинетической энергией K релятивистской частицы массы m:

• Закон сохранения энергии при фотоэффекте можно записать в следующем виде:

где K – кинетическая энергия выбитого электрона, A – работа выхода фотоэлектрона, являющаяся характеристикой материала. Аналогичное соотношение можно записать для случая, когда изначально связанный электрон выбивается из атома фотоном (процесс ионизации). В этом случае под работой выхода надо подразумевать энергию ионизации электрона. Красная граница фотоэффекта соответствует появлению электрона с нулевой кинетической энергией.

• Возможен также так называемый многофотонный фотоэффект, когда электрон поглощает не один, а n квантов с частотами i, где i = 1, 2, 3, ... n. В этом случае Вероятность такого процесса значительно ниже, чем однофотонного.

• Эффект Комптона заключается в том, что неупругое рассеяние ра на угол приводит к увеличению длины волны фотона (уменьшению энергии фотона):

где комптоновская длина волны электрона Неподвижным можно считать электрон, энергия связи которого (либо кинетическая энергия) малы по сравнению с энергией рассеивающегося фотона.

• Аналогичные соотношения могут быть записаны и для рассеяния фотона на любой другой заряженной частице.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 4.2 Примеры решения задач Пример 4.1. Уединенный золотой шарик облучают электромагнитным излучением с длиной волны 300 нм или 200 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик в этих случаях? Работа выхода для золота A = 4.58 эВ.

40 Корпускулярные свойства излучения. Фотоэффект.

Решение. Выбивание одного электрона с энергией из шарика приводит к увеличению заряда шарика на один элементарный заряд e. При этом увеличивается потенциал U, создаваемый шариком и препятствующий удалению электрона на бесконечность.

Данный процесс прекратится, когда энергия K выбиваемого электрона станет меньше, чем энергия его взаимодействия с образующимся потенциалом eU. Поэтому максимальный потенциал, до которого может зарядиться шарик При = 200 нм Umax = 1.6 В, а при = 300 нм разность в скобках отрицательна, что означает недостаточность энергии фотона для выбивания электрона из шарика. Поэтому в последнем случае Umax = 0 В.

Пример 4.2. Найти максимальную кинетическую энергию электронов, выбиваемых из поверхности лития электромагнитным излучением, модулированным по амплитуде:

где 0 = 500 нм, а = 1 ТГц. Работа выхода для лития A = 2.39 эВ.

Решение.

В силу известных тригонометрических соотношений электромагнитное излучение можно представить в виде т.е. как сумму двух излучений с частотами Максимальной кинетической энергией будут обладать электроны, выбиваемые квантами с большей энергией. Поэтому Пример 4.3. Воспользовавшись законами сохранения показать, что свободный электрон не может поглотить фотон.

Решение.

Законы сохранения в релятивистском случае выглядят, как Отсюда или, возводя левую и правую часть в квадрат, что не может быть выполнено при любом отличном от нуля импульсе p электрона после столкновения. Последнее также невозможно в силу ЗСЭ.

Пример 4.4.

42 Корпускулярные свойства излучения. Фотоэффект.

На рис. 4.1 показан энергетический спектр электронов (кинетическая энергия), вылетающих из образца, сделанного из легкого элемента, при его облучении жестким моноэнергетическим рентгеновским излучением. Объяснить характер спектра и найти длину волны рентгеновского излучения, а также величины K1 и K2, если K2 K1 = 180 кэВ.

Решение.

Правый пик на спектре соответствует фотоионизации атомов образца. Учитывая, что энергия связи электронов в легких атомах составляет единицы-десятки эВ и пренебрегая этой величиной, можно записать закон сохранения энергии в виде откуда следует, что Широкий спектр электронов с отсечкой в области больших энергий соответствует процессу комптоновского рассеяния фотона на электронах образца. В силу тех же соображений эти электроны можно считать свободными. Тогда для второго процесса закон сохранения энергии будет выглядеть, как Максимальная кинетическая энергия электрона соответствует рассеянию фотона на угол. При этом сдвиг длины волны фотона составит Окончательно получаем 4.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 4.1. Найти работу выхода с поверхности некоторого металла, если при поочередном освещении его электромагнитным излучением с длинами волн 0, 35 мкм и 0, 54 мкм максимальные скорости фотоэлектронов отличаются в 2 раза.

Задача 4.2. Красная граница при двухфотонном фотоэффекте на некотором катоде равна 580 нм. Найти максимальную кинетическую энергию электронов, вылетающих из этого катода при трехфотонном фотоэффекте на длине волны 650 нм.

Задача 4.3. Фотон с длиной волны 17 пм вырывает из покоящегося атома электрон, энергия связи которого 69 кэВ. Найти импульс, переданный атому в результате такого процесса, если электрон вылетел под прямым углом к волновому вектору налетающего фотона.

Задача 4.4. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны падает на вещество и рассеивается. Найти длину волн излучения, если длин волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами 60 и 120 отличаются друг от друга 2 раза.

Задача 4.5. Фотон с энергией, превышающей энергию покоя электрона в 1.5 раза, испытал упругое лобовое столкновение с покоящимся свободным электроном, который находился однородном магнитном поле. В результате электрон стал двигаться по окружности радиусом R = 2.9 см. Найти индукцию B магнитного поля.

44 Корпускулярные свойства излучения. Фотоэффект.

Задача 4.6. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле 90 между направлениями их разлета.

Задача 4.7. Фотон с энергией 0, 46 МэВ рассеялся под углом на покоившемся свободном электроне. Найти энергию рассеянного фотона и энергию, переданную электрону.

Семинар Модель атома Резерфорда-Бора 5.1 Краткие теоретические сведения Формула Ридберга для спектральных линий излучения атома водорода:

где R = 109677 см1 — постоянная Ридберга для водорода, n = n +1, n +2,.... В таком виде формула обычно используется в спектроскопии.

Ту же формулу можно написать для энергий излучаемых квантов:

где постоянная Ридберга R = 13.6 эВ.

Серия Лаймана. Серия соответствует формуле Ридберга при n = и n = 2, 3, 4,.... Линия L = 1216 Aявляется резонансной линией водорода. Граница серии — 911, 8 A.

Серия Бальмера. Серия соответствует формуле Ридберга при n = и n = 3, 4, 5,.... Линия H = 6565 Граница серии — Серии, заданные числами n = 3, 4, 5 и 6 носят имена Пашена, Брэккета, Пфунда и Хэмпфри соответственно.

5.1.1 Формула Резерфорда Рассмотрим движение точечной частицы с массой m1 и зарядом eZ в кулоновском поле другой точечной частицы с массой m2 и зарядом eZ2. Будем считать, что масса m2 m1, так что вторую частицу можно считать неподвижной. Пусть v — скорость первой (рассеиваемой) частицы на бесконечности, b — прицельный параметр, т. е. расстояние наименьшего сближения частиц, если бы взаимодействие между ними отсутствовало.

Угол рассеяния частицы 1 на частице 2 дается равенством 5.1.2 Постулаты Бора 1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях с дискретным 2. Электроны не теряют энергию при своем движении по стационарным орбитам. Однако, они могут перескакивать с одной орбиты на другую, приобретая (либо теряя) энергию путем поглощения (либо испускания) электромагнитного излучения дискретными порциями в соответствии с соотношением Планка:

3. Правило квантования Бора Стационарными являются лишь такие круговые орбиты, при движении по которым момент количества движения равен целому числу постоянных Планка:

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 5.2 Примеры решения задач Пример 5.1.

Рассчитать энергию стационарных состояний водородоподобного атома с зарядом ядра Ze по Бору (в СГС) Решение. При движении электрона по стационарной (круговой) орбите, согласно классической физике, должен выполняться Второй закон Ньютона где r — расстояние от электрона до ядра.

Правило квантования Бора выделяет орбиты с определенными радиусами. Используя (5.5) получим для радиусов стационарных орбит:

так как полная энергия электрона E складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии его связи с ядром, то и для энергий стационарных орбит получаем Пример 5.2.

Вычислить величину боровского радиуса rB.

Решение.

Боровский радиус — радиус ближайшей к ядру орбиты электрона атома водорода в модели атома, предложенной Нильсом Бором.

Согласно (4) = h/(2) 1.05 · 1034 Дж·с — приведенная постоянная Планка, где me — масса электрона, e — заряд электрона, c — скорость света, Для перехода из системы СГС в систему СИ можно воспользоваться эмпирическим правилом, справедливым для электромагнитных величин — нужно заменить Соответственно, боровский радиус электрона в СИ 0 — электрическая постоянная, 0 = 8.85 · 1012A· с/(В· м) = 8.85 · 1012 Ф/м, = h/(2) 1.05 · 1034 Дж·с — приведенная постоянная Планка, me = 9.1 · 1031 кг — масса электрона, e = 1.6 · 1019 Кл — заряд электрона, c = 3 · 108 м/с — скорость света, a) Рассчитать энергию ионизации атома водорода Решение.

Энергией ионизации (которая равна энергии связи) называется модуль энергии 1-го уровня. Таким образом, энергией ионизации атома водорода равна модулю выражения (6) при n = 1, Z = 1.

Пример 5.4.

Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти скорость отдачи, которую получил атом.

Решение.

Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.

После испускания фотона атом приобрел импульс Так как скорость атома мала по сравнению со скоростью света, то закон сохранения энергии можно записать в нерелятивистском виде:

где M — масса атома, а E21 — изменение энергии атома при испускании фотона, соответствующего головной серии линии Лаймана L, т.е. эта энергия может быть определена по формуле Ридберга:

Из приведенных выше формул находим, что скорость отдачи атома равна Пример 5.5.

Энергия связи электрона в атоме He равна E0 = 24.6 эВ. Найти минимальную энергию для последовательного удаления электронов из этого атома.

Решение.

Энергия удаления первого электрона есть E0- задана по условию задачи. Однако, после удаления первого электрона, атом гелия превратится в водородоподобный однозарядный ион. Это значит, что его энергия ионизации будет определяться формулой (6) при n = 1 и Z = 2.

Значит, можем написать, что Здесь учтено, что 5.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 5.1. Атом водорода, двигавшийся со скоростью v0 = 3.26 м/с испустил фотон, соответствующий переходу из первого возбужденного состояния в основное. Найти угол между направлением вылета фотона и первоначальным направлением движения атома, если кинетическая энергия атома осталась прежней.

Ответ: = arccos Задача 5.2. Найти скорость электронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны 18 нм из ионов атома Не, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

Ответ: V = [2 ( 4R)/m]1/2 = 2.26 · 106 м/с.

Задача 5.3.

Сколько спектральных линий будет излучать атомарный водород, если его возбудить на n-й энергетический уровень.

Ответ: N = n(n 1)/ Задача 5.4.

Найти скорость электрона на второй боровской орбите для атома водорода. Чему равна энергия связи на второй орбите?

Ответ: v2 = 1.1 · 108 см/с, Eсв = 3.4 эВ Задача 5.5.

Чему равна минимальная и максимальная длина волны в серии Лаймана?

Ответ: min = 91.2 нм, max = 121.6 нм Задача 5.6.

Дифференциальное сечение рассеяния -частиц кулоновским полем неподвижного ядра d/d = 7, 0 · 1022 см2/ср для угла 0 = 30.

Вычислить сечение рассеяния -частиц в интервале углов > 0.

Задача 5.7.

Оценить время, за которое электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода по орбите радиусом 0.5 · 108 см, упал бы на ядро, если бы он терял энергию на излучение в соответствии с классической теорией:

где a—ускорение электрона, e — его заряд, c — скорость света, = (СГС) или 1/(40 (СИ). Для простоты считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.

Задача 5.8.

Частица массы m движется по круговой орбите в центральносимметричном потенциальном поле U = r2 /2. Найти с помощью боровского условия квантования разрешенные радиусы орбит и уровни энергии частицы.

Задача 5.9.

Вычислить для атомарного водорода:

а) длины волн первых трех спектральных линий серии Бальмера;

б) минимальную разрешающую способность / спектрального прибора, при которой можно разрешить первые N = 20 линий серии Бальмера.

Ответ: а) 656.6 нм, 486.4 нм, 434, 3;

Задача 5.10.

С какой минимальной скоростью должен двигаться атом водорода, чтобы в результате неупругого лобового соударения с другим, покоящимся атомом водорода, один из них испустил фотон? До соударения оба атома находились в основном состоянии.

Задача 5.11.

На какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической энергией K = 40 кэВ (при лобовом соударении):

а) к покоящемуся ядру атома свинца;

б) к первоначально покоящемуся ядру 7Li.

Ответ: 5.9 пм, rmin = (q1q2 /K)(1 + m /mLi) = 0.34 пм.

Задача 5.12.

Альфа-частица с импульсом 53 МэВ/c (c — скорость света) рассеялась под углом 60 в кулоновском поле неподвижного ядра атома урана. Найти прицельный параметр.

Ответ: b = q1q2 m p2 tg = 0.61 пм.

Задача 5.13.

Узкий пучок протонов с кинетической энергией K = 100 кэВ падает нормально на золотую фольгу толщиной d = 1, 0 мг/см2. Протоны, рассеянные под углом = 60, регистрирует счетчик, круглое входное отверстие которого имеет площадь S = 1, 0 см, отстоит от рассеивающего участка фольги на расстояние l = 10 см и ориентировано перпендикулярно падающим на него протонам. Какая доля рассеянных протонов попадает в отверстие счетчика?

золота.

Задача 5.14.

На рис. 5.1 показана вольт-амперная характеристика, полученная в опытах Франка и Герца по изучению неупругих столкновений электронов с атомами паров ртути. Найти с помощью этого графика первый потенциал возбуждения атома ртути и длину волны излучения; испускаемого парами ртути.

Ответ: U 4.9 В, 0.25 мкм.

Задача 5.15.

Атом водорода, двигавшийся со скоростью v0 = 3.26 м/с, испустил фотон, соответствующий переходу из первого возбужденного состояния в основное. Найти угол между направлением вылета фотона и первоначальным направлением движения атома, если кинетическая энергия атома осталась прежней.

Ответ: = arccos Задача 5.16.

Вычислить для мезоатома водорода (в нем вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую):

а) расстояние между мезоном и ядром в основном состоянии;

б) длину волны резонансной линии;

в) энергии связи основных состояний мезоатомов водорода, ядра которых протон и дейтрон.

Ответ: а) 2.85 · 1011 см, б) 654 пм, в) 2.53 кэВ и 2.66 кэВ.

Задача 5.17.

Найти для позитрония (система из электрона и позитрона, вращающаяся вокруг ее центра масс):

а) расстояние между частицами в основном состоянии;

б) потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения;

в) постоянную Ридберга и длину волны резонансной линии.

Ответ: а) 1, 06 · 108 см, б) 6.8 В и 5.1 В, в) 1.034 · 1016 c1, 243 нм.

Семинар Волны де-Бройля 6.1 Базовые теоретические сведения 6.1.1 Гипотеза Де Бройля и дифракция частиц Все частицы обладают волновыми свойствами, причем для любой из них справедливо соотношение Волна де-Бройля для релятивистских частиц имеет вид:

где Ep — энергия частицы с импульсом p:

E0 — энергия покоя частицы, k = p/ — волновой вектор, = Ep/ — циклическая частота, = 2/k = h/p — длина волны де-Бройля.

В опытах, выполненных К. Дэвиссоном и Л. Джермером была зарегистрирована дифракции электронов при отражении от поверхности монокристалла никеля (см. рис. 6.1). Пучок электронов из электронной пушки ( 50 эВ) падал перпендикулярно поверхности (111) находящегося в вакууме кристалла. Рассеянное излучение регистрировалось под разными углами по отношению к направлению падения. Условия дифракционных максимумов будет иметь вид:

где d — межатомное расстояние.

Рис. 6.1: Схема опыта Дэвидсона и Джермера.

6.1.2 Групповая и фазовая скорости частиц Волна де-Бройля может рассматриваться как некоторое стационарное состояние частицы. Однако частица может находиться и в суперпозиции стационарных состояний. В этом случае состояние частицы будет выражаться либо линейной комбинацией стационарных состояний (в случае дискретного спектра), либо интегралом по импульсу p.

В одномерном случае можем написать:

В первом приближении теории дисперсии волновая функция представляет собой плоскую монохроматическую волну, амплитуда которой имеет неизменную огибающую, перемещающуюся вдоль положительного направления оси x с постоянной скоростью которую называют групповой скоростью частицы.

Формально, фазовая скорость может быть определена как скорость распространения фазы:

Так, в нерелятивистских задачах удобно пользоваться следующим выражением для волны де-Бройля :

ма; Wвн — внутренняя энергия атома, куда входит энергия связи и возбуждения.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 6.2 Примеры решения задач Пример 6.1.

Показать, что условия квантования Бора соответствуют условию, что на длине орбиты электрона укладывается целое число его длин волн де-Бройля Решение.

Используя известное выражение для радиуса n-й орбиты электрона в теории Бора, получаем, что длина n-й орбиты равна:

C другой стороны, длина волны де-Бройля В последнем соотношении скорость электрона на n-й орбите вычислена из условия квантования Бора Следовательно, что и требовалось доказать.

Пример 6.2.

Найти кинетическую энергию электрона, при которой его дебройлевская длина волны равна комптоновской.

Решение.

Используя выражения для дебройлевской и комптоновской длин волн, условие их равенства можно записать в виде:

следовательно, p = mc.

Тогда полная энергия электрона и, вычитая из нее энергию покоя, получаем искомое значение кинетической энергии Пример 6.3.

Рассчитать групповую и фазовую скорости для релятивистской частицы. Докажите, что произведение этих скоростей равно квадрату скорости света.

Решение.

Для релятивистской частицы волна де-Бройля описывается выражением (6.2), поэтому фазовая скорость дается равенством Выражение для групповой скорости принимает вид Из двух последних формул видно, что Пример 6.4.

Узкий пучок нерелятивистских электронов с кинетической энергией K = 180 эВ падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол = 55 с направлением падающего пучка, наблюдается максимум отражения 4-го порядка.

Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния d.

Преломление волн не учитывать.

Решение.

Здесь речь идет о трехмерной дифракции. В этом случае дифракционные максимумы должны наблюдаться в соответствии с условием Вульфа-Брэгга:

где — угол скольжения.

Так как отражение должно быть зеркальным по отношению к кристаллическим плоскостям, то Так как электроны нерелятивистские, то — дебройлевская длина волны равна и, следовательно, 6.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 6.1.

Запишите выражение для волны де-Бройля. Чему равна длина волны де-Бройля нерелятивистской частицы с массой m, равной пяти массам протона, обладающей кинетической энергией K = 1 кэВ?

Ответ: 0.4 пм.

Задача 6.2.

Вычислить дебройлевскую длину волны электрона и протона, движущихся с кинетической энергией 1.00 кэВ. При каких значениях кинетической энергии их длина волны будет равна 100 пм?

Ответ: 39 и 0.91 пм; 0.15 кэВ и 0.082 эВ.

Задача 6.3.

Оцените длину волны де-Бройля для электрона на второй боровской орбите в атоме водорода Ответ: 0.66 нм.

Задача 6.4.

Какую дополнительную энергию необходимо сообщить электрону с импульсом 15.0 (c — скорость света), чтобы его длина волны стала равной 50 пм.

Задача 6.5.

Доказать релятивистскую инвариантность выражения для волны де-Бройля, записанной в виде (6.2).

Указание: Воспользоваться преобразованиями Лоренца Задача 6.6.

Показать, что одномерная волна де-Бройля нерелятивистской частицы удовлетворяет одномерному уравнению Шредингера:

Задача 6.7.

Рассчитать групповую и фазовую скорости нерелятивистской частицы Задача 6.8.

Докажите, что групповая и фазовая скорости фотона в вакууме равны скорости света Задача 6.9.

Протон, двигающийся со скоростью 108 см/c, переходит из одного ящика с потенциалом 1 = 100 В в ящик с потенциалом 2 = 200 В.

Определить, на сколько изменится длина волны де-Бройля.

Задача 6.10.

Имеется покоящийся атом водорода, возбужденный на первый энергетический уровень. Найти соответствующую этому атому волну деБройля.

Указание: воспользоваться формулой (6.6) Задача 6.11.

Постоянная кристаллической решетки равна d = 3 Пучок элекA.

тронов падает на естественную грань монокристаллов. Угол скольжения электронного пучка равен = 30. Наблюдение отраженных электронов производится под углом, равным углу падения. Пренебрегая преломлением электронных волн, определить энергии электронов, при которых наблюдаются два первых максимума отражения.

(А.Н.Матвеев, Квантовая механика и строение атома, пример 2.3, стр. 30, 1965г.) Задача 6.12.

Пучок электронов с кинетической энергией K = 10 кэВ проходит через тонкую поликристаллическую фольгу и образует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на расстоянии L = 10 см. Найти межплоскостное расстояние, для которого максимум отражения третьего порядка соответствует кольцу с радиусом r = 1. см.

Задача 6.13. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой m, чтобы можно было исследовать структуры с линейными размерами l? Решить этот вопрос для электронов и протонов, если l 1 фм.

протоны: K 0.33 МэВ.

Задача 6.14. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения = 30 на естественную грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d = 0.2 нм. При некотором ускоряющем напряжении U0 наблюдали максимум зеркального отражения Найти U0 если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения U0 в = 2.25 раза.

Задача 6.15.

Чему равна длина волны де-Бройля релятивистской частицы с массой 2m, равной двум массам электрона, и полной энергией E = 1 МэВ?

Семинар Соотношение неопределенности Гейзенберга 7.1 Краткие теоретические сведения 7.1.1 Соотношение неопределенностей Cоотношение неопределенностей Гейзенберга было введено им в 1927 г. Если встать на позиции, что все частицы обладают волновыми свойствами, то состояние частицы может быть адекватным образом представлено в виде волнового пакета, аналогично представлению световых импульсов в Фурье-оптике, с той лишь разницей, что в качестве спектральных компонент в выражении будут фигурировать волны де-Бройля. В одномерном случае для волнового пакета можем записать выражение:

Если в момент времени t = 0 произведено измерение, ограничивающее (x, t) по координате x d, то, как следует из свойств преобразования Фурье, пакет будет иметь спектральную ширину т.е. px.

Аналогичные соотношения будут иметь место и в трехмерном случае:

а также по времени Под символами x, p, E и т.д. следует понимать среднеквадратичные отклонения 7.1.2 Оценка состояний с минимумом энергии Для оценки таких состояний можно положить, что p p. Действительно, в общем случае p = p0 + p, но уменьшая энергию состояния мы автоматически уменьшаем и импульс p0. Уже отсюда видно, что энергия в системе может уменьшаться только до той величины, которая соответствует p p.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 7.2 Примеры решения задач Пример 7.1. Пучок электронов с энергией E = 1 кэВ падает на щель шириной b = 5 мкм. Оцените ширину изображения щели на экране, расположенном на расстоянии L м за щелью.

Решение.

Отметим, что E me c2 0.5 МэВ, поэтому E — кинетическая энергия электронов, и справедливо нерелятивистское выражение E = p2/(2me), откуда следует равенство p = 2me E.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре щели. Пусть ось y указывает направление распространения пучка, а ось x направлена вдоль щели. Тогда py = 2me E.

Координату пролетающей сквозь щель частицы можно записать следующим образом: 0 ± b/2. Поэтому погрешность измерения координаты x определяется как x = b/2.

Исходя из соотношения неопределенности, получаем:

Тангенс угла отклонения частицы от первоначального направления полета дается равенством поэтому уширение изображения, обусловленное соотношением неопределенности, имеет вид Ширина изображения на экране равна сумме ширины самой щели b и уширения w:

Пример 7.2. Оценить из соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и среднеквадратичный размер волнового пакета, соответствующего этой энергии Решение.

Для оценки наименьшей возможной энергии можно положить r r и p p. Тогда, согласно соотношению неопределенностей p /r, а энергия может быть записана в виде:

Для нахождения минимального значения энергии дифференцируем выражение по r и находим, что r =, что в точности совпадает с боровским радиусом. Подставляя полученное выражение в равенство для E, находим, что минимальная энергия равна 2 = 13.6 эВ.

Пример 7.3. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с очень высокими стенками. Ширина ямы L = 1 Оценить с поA.

мощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии.

Решение.

Полагаем, что внутри ямы потенциальная энергия = 0. Следуя логике предыдущей задачи, можем написать, что p /L. Энергия электрона т.к. потенциальная энергия в яме равна 0.

Для нахождения силы предположим, что стенка отодвинулась на dL под действием силы, с которой электрон давит на стенку. При этом сила совершила работу, которая была затрачена на уменьшение энергии электрона, т.е.

Отсюда находим, что F = Пример 7.4. Электрон с кинетической энергией K = 10 эВ локализован в области, размером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

Решение.

Как известно, px. Можно считать, что p = mv p.

Учитывая, что K =, получаем, что если считать, что x = l/2.

7.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 7.1. Поток электронов с дебройлевской длиной волны = 11 мкм падает нормально на прямоугольную щель шириной b = 0.1 мм.

Оценить с помощью соотношения неопределенностей угловую ширину пучка за щелью (в угловых градусах).

Ответ: Полагая x = b/2, получим /b 2.

Задача 7.2. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можно оценить скорость электрона и протона, локализованных в области размером 1 мкм.

Ответ: Полагая x = 0.5 мкм, получим 2 · 102 и 0, 1 м/c.

Задача 7.3. В некоторый момент область локализации свободного электрона x0 = 0.1 нм. Оценить ширину области локализации этого электрона спустя промежуток времени t = 1.0 c.

Задача 7.4. Атом испустил фотон с длиной волны = 0, 58 мкм за время 108 с. Оценить неопределенность x, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны.

Задача 7.5. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью v = 1.2 км/c падает нормально на диафрагму с узкой щелью b, за которой на расстоянии l = 100 см расположен экран. Оценить ширину щели b, при которой эффективная ширина изображения на экране будет минимальной.

Ответ: b 2 l/mv 10 мкм.

Задача 7.6. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределенность кинетической энергии порядка 1.6 · 104. Оценить, во сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебройлевской длины волны.

Ответ: x/ 1/(K/K) = 2 · 103.

Семинар Операторы физических величин и наблюдаемые величины 8.1 Краткие теоретические сведения Состояние квантовой системы можно описать наиболее полным образом, задав волновую функцию этой системы (q, t). При этом выражение |(q, t)|2 dq есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе dq конфигурационного пространства.

8.1.1 Принцип суперпозиции Если система может находиться в состояниях с волновыми функциями 1 (q, t) и 2 (q, t), то она может находиться и в суперпозиционном состоянии Каждой наблюдаемой физической величине ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор.

В результате измерения физической величины получается число, принадлежащее спектру соответствующего оператора.

Если система находится в состоянии, то вероятность того, что при измерении физической величины A будет получено значение An, равна |cn |2.

Среднее значение физической величины A в состоянии, определяемом волновой функцией, равно Состояние, в котором физическая величина имеет определенное, описывается собственной функцией соответствующего оператора.

Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости двух физических величин A и B является коммутативность их операторов:

8.1.2 Свойства линейных самосопряженных операторов 1. Собственные значения являются действительными числами 2. Собственные функции, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны 3. Система собственных функций полна 4. СФ ортонормированы:

дискретный спектр непрерывный спектр 8.1.3 Примеры операторов • момент импульса: L = [ p], • полная энергия (гамильтониан):

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 8.2 Примеры решения задач Пример 8.1. Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов.

Решение.

Найдем n из условия периодичности собственных функций:

Общее решение этого уравнения записывается в виде Подставляя полученное решение в граничные условия, получим Откуда Пример 8.2. Найти собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса.

Решение.

Для того, чтобы функция была однозначной, необходимо, чтобы она была периодична с периодом 2. Отсюда находим, что Константу найдем из условия нормировки Пример 8.3. Найти оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное расстояние a.

Решение.

По определению такого оператора (назовем его Ta ) должно быть Разлагая функцию (r + a) в ряд Тейлора, имеем или, используя оператор импульса p = i :

Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой оператор Это и есть искомый оператор конечного смещения.

Пример 8.4. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в состоянии, описываемом волновой функцией Найти среднее расстояние от центра поля.

Решение.

Ответ: r =.

Пример 8.5. Измеримы ли одновременно координата xи соответствующая проекция импульса px.

Решение.

Условием одновременной измеримости двух физических величин является равенство нулю коммутатора их операторов. Найдем коммутатор оператор координаты и проекции импульса на ту же ось:

или Следовательно, нельзя одновременно измерить координату и проекции импульса на ту же ось.

8.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 8.1. Найти среднее значение кинетической энергии частицы в состоянии (x) = eikx, k =. Функция (x) нормирована в интервале l < x < l, вне этого интервала (x) = 0.

Задача 8.2. Состояние 1-s электрона атома водорода описывается волновой функцией (r) = Aer/a0, где A — нормировочный коэффициент, a0 — первый боровский радиус. Найти для этого состояния средние значения:

а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон, б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.

Задача 8.3. Измеримы ли одновременно следующие величины: y и Задача 8.4. Коммутатор операторов A и B двух физических величин имеет вид A, B = iC (C — эрмитов оператор). Доказать справедливость соотношения неопределенности где все средние значения относятся к одному и тому же произвольному состоянию системы.

Семинар Стационарное уравнение Шредингера. Частица в потенциальной яме.

9.1 Краткие теоретические сведения Напомним, что если функция F соответствует физической величине, то ее среднее значение обязательно действительно. Условие действительности средних значений F = F сводится к интегральному равенству для операторов F и для произвольной функции (например, состояния системы) ( ):

Равенству (9.1) удовлетворяют самосопряженные, или эрмитовы, операторы. При этом интегралы в левой и правой части равенства должны иметь конечные значения.

С помощью уравнения Можно определять такие состояния F в которых величина F имеет определенное значение, т.е. F = F. Эти особые значения величины F называют собственными значениями (СЗ) оператора F, а соответствующие им решения уравнения (9.2) называют собственными функциями (СФ) оператора. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то говорят, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет собственные значения, пробегающие непрерывный ряд, то говорят, что он имеет непрерывный или сплошной спектр. Собственные функции оператора F обозначаются F. В случае дискретного спектра собственных значений оператора, эти значения можно пронумеровать как F1, F2... Fn. В этом случае в качестве индекса у собственной функции пишут не собственное значение, а его номер, т.е. Fn n.

Если на волновую функцию Шредингера, интегрированную в квадрате и нормированную так, что вероятность обнаружить частицу в бесконечном пространстве подействовать оператором полной энергии системы и представить, что система изолирована, т.е. ее полная энергия сохраняется, то получим уравнение Шредингера для стационарных (не зависящих от времени) состояний:

или где E0 – собственные значения оператора полной энергии H.

Для примера рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме U (x) c бесконечно высокими стенками.

Ширина ямы равна l, предполагается, что частица может двигаться только в направлении оси x.

Рис. 9.1: Одномерная прямоугольная потенциальная яма U (x) c бесконечно высокими стенками Уравнение Шредингера в этом случае записывается в одномерном виде Рассмотрим три области (I, II и III), в которых может находиться частица, и найдем решение в каждой из областей:

• Область III: т.к. UIII =, III = 0.

• Область II: т.к. UII = 0, Уравнение для II записываем в виде:

Получаем уравнение гармонического осциллятора, решение для которого пишется в виде Используем граничные условия Из условия при x=0 следует, что = 0, т.е.

II = A sin (kx), а на правой границе II (l) = A sin (kl) = 0 (10) Найдем нормировочный коэффициент A:

Итак, Итак, Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 9.2 Примеры решения задач Пример 9.1. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U (x) (рис.2), где U (0) =, U (x l) = U0. Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области E < U0. Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр.

Рис. 9.2: Одномерная прямоугольная потенциальная яма U (x) c одной конечной и одной бесконечно высокой стенками Решение.

Рассмотрим две области I, II, в которых может находиться частица, и найдем решение в каждой из областей:

Область I: т.к. UI = 0, то или Область II: т.к. UII = U0, то или или Для уравнения (12) ищем решение в виде гармонического осциллятора:

или, с учетом нуля функции на левой границе, Для уравнения (13) ищем решение в виде затухающей и возрастающей экспонент:

где B=0, т.к. вероятность обнаружить частицу вне ямы уменьшается, а не увеличивается с удалением от ямы.

На границе при x = l равны как функции, так и их производные:

Из 9.10 и 9.10 следует равенство отсюда по формуле sin2 x = tg2 x/(1 + tg 2 x) при E < U0 решением является ряд дискретных значений E в точках пересечения синуса и двух линейных функций y = ± E/U0.

Можно, также, представить условие на границе x = l в виде k1 = и рисовать график относительно переменной k1 l, а затем графически искать набор дискретных значений E.

Пример 9.2. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U (x) (рис. 9.2). Найти минимальные значения величины l2U0, при которых появляются первый и n-ый дискретные уровни.

Сколько уровней содержит яма, у которой l2U0 = 75 2/m?

Решение.

Представляя граничные условия для функций I, II и их производных в виде (9.12:

замечаем, что tg(k1l) < 0, а значит угол k1 l лежит во втором или четвертом квадрантах:

где j – целое число.

Поэтому, наименьший энергетический уровень n > 0, n = j + 1 = 0 + 1 = 1 соответствует k1l = /2, то есть, как видно из представления а значит и максимальное значение коэффициента все остальные прямые должны иметь меньший наклон к горизонтальной оси, чем штриховая кривая, см. рис. 9.3.

Рис. 9.3: Графическое представление трансцендентного уравнения Отсюда минимальное значение величины l2 U0, необходимое для возникновения стационарных дискретных уровней есть Переписывая 9.13 для уровней n = j + 1, j 0, имеем:

Если U0 = 75 2/m, то для максимального уровня l2E = 75 2/m, а k1 l = уровня.

Пример 9.3. Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно Pm. Найти ширину l ямы и энергию E частицы в данном состоянии.

Решение.

Собственные функции частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками:

Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы энергия частицы Основное состояние – минимально возможная энергия l = 2/Pm, отсюда Пример 9.4. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l и такова, что энергетические уровни расположены весьма густо.

Найти плотность этих уровней dN/dE, т.е. их число на единичный интервал энергии в зависимости от энергии E. Вычислить dN/dE, если E = 1.0 эВ, l = 1.0 см.

Решение.

Считаем — безразмерная величина.

уровней/эВ.

Пример 9.5. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти:

(а) Массу частицы, если ширина ямы равна l и разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна E.

(б) Квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как : 1, где = 1.4.

Решение.

(а) Разность энергий E между уровнями n = 3 и n = 2 определяется как отсюда (б) Известно, что 9.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 9.1. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти нормированные – функции стационарных состояний системы, взяв за начало отсчета координаты x середину ямы.

Задача 9.2. Яма, показанная на рис. 9.2, такова, что в ней есть всего один стационарный уровень с энергией E = U0 /2.

(a) Найти значение l2 U0 у такой ямы, (б) Наиболее вероятное значение координаты частицы, изобразить примерный график функции | (x)|2, (в) Найти вероятность нахождения частицы в области x > l.

Рис. 9.4: Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками и ступенчатым потенциалом между ними Задача 9.3. Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме, конфигурация которой показана на рис. 9.4, где U (±l) =.

Показать, что при E > U0 уравнение, определяющее возможные значения энергии E, имеет вид: Семинар Стационарное уравнение Шредингера. Прохождение частиц сквозь барьер.

10.1 Краткие теоретические сведения Проникновение частиц в область, где потенциальная энергия оказывается больше полной может проявляться в ряде физических явлений.

Рассмотрим области I и II на рис. 10.1. В отличие от потенциальной ямы на рис. 9.2, область, в которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает не все полупространство x > 0, а лишь его малую часть 0 < x < l. В этом случае область 0 < x < l называют потенциальным барьером.

Рис. 10.1: Одномерная прямоугольная потенциальная яма U (x), ограниченная c одной стороны бесконечно высокой стенкой, а с другой — потенциальным барьером конечной высоты и ширины Запрем в начале опыта серию частиц в области l < x < 0. Экспоненциально затухающее решение в точке x = l мало, но отлично от нуля. Попавшие в область III частицы уходят в область x > l и обратно не возвращаются, т.к. в области III решение записывается в виде бегущей (уходящей) волны. Через достаточно большой промежуПрохождение частиц сквозь барьер.

ток времени все частицы уйдут из области I. Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 10.2 Примеры решения задач Пример 10.1. Частица массы m падает на прямоугольный потенциальный барьер U0, причем E < U0. Найти коэффициент прозрачности D барьера (рис. 10.2).

Рис. 10.2: Одномерный прямоугольный потенциальный барьер U (x) Решение. Пусть частица летит слева из области отрицательных значений x. Поскольку имеет место отражение от барьера, то в области I существует и падающая, и отраженная волна:

I) Уравнение и решение в области I или II) В области II под барьером существуют и возрастающая, и затухающая волны:

или где III) В области III существует только прошедшая бегущая волна в положительном направлении оси x:

или Коэффициент прозрачности – это отношение прошедшей волны к падающей, т.е. надо найти отношение D = A3/A Условия на непрерывность функций на границах областей:

Условия на непрерывность первых производных функций на границах областей:

Сначала считаем сами производные:

Подставляем значение на границе I-II (при x=0) Подставляем значение на границе II-III (при x = l) Итак, имеем 4 уравнения Нам надо отношение плотности вероятности после и до барьера D = (A3/A1)2, поэтому выразим A2, B2 и A1 через A3.

Из уравнений 10.2 и 10.4 сложением и вычитанием получаем Тогда Из уравнений 10.1 и 10.3 сложением и вычитанием получаем:

куда и подставляем полученные выше выражения для (A2 + B2) и (A2 B2) 2A1 = или Отсюда Квадрат модуля полученного выражения дается равенством Таким образом, вероятность прохождения барьера Заметим, что при k2 l 1, т.е. когда барьер высокий или длинный, и вероятность для частицы оказаться за барьером мала, sh(k2l) exp(k2l), коэффициент прозрачности барьера D можно приближенно записать следующим образом:

10.3 Задачи для самостоятельного решения Рис. 10.3: Одномерный прямоугольный полубесконечный потенциальный барьер U (x) Задача 10.1. Частица массы m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (рис. 10.3). Энергия частицы равна E < U0. Найти эффективную глубину xэф проникновения частицы под барьер, т.е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в e раз. Вычислить xэф для электрона, если U0 E = 1 эВ.

Задача 10.2. Частица массы m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (рис. 10.3). Энергия частицы равна E > U0. Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности D этого барьера. Убедиться, что значения этих коэффициентов не зависят от направления падающей частицы (слева направо или справа налево).

Задача 10.3. Частица массы m движется слева направо в потенциальном поле (рис. 10.4), которое в точке x = 0 испытывает скачок U0.

Слева от точки x = 0 энергия частицы равна E. Найти коэффициент отражения R для случаев E U0 и E U0.

Рис. 10.4: Одномерный прямоугольный полубесконечный потенциальный уступ U (x) Задача 10.4. Частица массы m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной l и глубиной U0 (рис. 10.5). Энергия частицы вне ямы равна E. Найти: коэффициент прозрачности ямы D для данной частицы и его значение D для электрона при E = U0 = 1 эВ, если l = 0.1 нм.

Рис. 10.5: Одномерная прямоугольная потенциальная яма U (x), ограниченная стенками конечной высоты Семинар Стационарное уравнение Шредингера. Угловой момент.

11.1 Краткие теоретические сведения 11.1.1 Уравнение Шредингера Продолжая решать задачу на собственные значения вида H = E, заметим, что для реальных систем, как, например, атом водорода, оператор Лапласа в уравнении (11.1) удобнее представить в сферических координатах (r,, ) (рис.10), так что т.е., — угловая часть оператора Лапласа.

Можно показать, что квадрат оператора момента импульса (или углового момента) 2 электрона в атоме водорода равен угловой части оператора Лапласа:

11.1.2 Момент импульса Момент импульса является одной из важнейших характеристик движения, поскольку он сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. В отличие от классической механики, в квантовой теории модуль момента импульса |l| может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, lz.

Две другие проекции оказываются полностью неопределенными. Ограничимся пока рассмотрением момента импульса для одного электрона.

По определению угловой момент дается равенством Проекция углового момента на ось z в декартовой и сферической системах координат имеет вид В центрально-симметричном потенциале U (r) (таким является, например, потенциал ядро для электрона в атоме водорода) волновую функцию Шредингера (r,, ), можно представить в виде произведения угловой и радиальной частей Функция Y (, ), зависящая только от углов, является собственной функцией угловой части оператора Лапласа, и соответственно, оператора квадрата углового момента 2, при этом собственные значеl ния оператора, определяется равенством то есть где l = 0, 1, 2,....

Итак, величина l2 = 2 l(l + 1), есть собственное значение оператора квадрата углового момента, т.е. квадрат модуля вектора углового момента.

Длина вектора углового момента есть где l = 0, 1, 2,..., n 1, а n — главное квантовое число, которое определяет уровни энергии электрона в атоме водорода и собственные значения радиальной составляющей R(r).

Каждое собственные значения оператора проекции углового моменz имеет смысл величины соответствующей проекции вектора l на ось Z:

всего 2l + 1 значений.

Итак, проекция вектора углового момента дается равенством Число m может быть только целым, т.к. длина проекции кратна постоянной Планка. Кроме того, длина проекции не может быть больше длины самого вектора |l| = l(l + 1). Поэтому максимальная длина проекции углового момента на ось z равна l.

11.1.3 Спин Наряду с орбитальным моментом l у электрона есть собственный момент s — спин. Квадрат модуля спина дается равенством причем s может принимать только два значения: ±1/2. Проекция спинового момента на ось z также может принимать только два значения:

где ms = ±1/2.

11.1.4 Полный механический момент Орбитальный и спиновый моменты складываются векторно, образуя полный момент:

Традиционно для описания моментов одного электрона соответствующие векторы обозначаются строчными буквами, как и квантовые числа. Моменты многоэлектронных атомов обозначаются заглавными буквами.

Длина вектора полного момента j определяется так же, как и длины l и s:

где |l s| |l + s|, j – квантовое число полного механического момента, причем j > 0.

Длина проекции jz вектора полного механического момента на ось z есть Итак, состояния электрона в атоме записываются с помощью четырех квантовых чисел:

• n – главное квантовое число • l – орбитальное квантовое число • j - квантовое число, связанное с полным механическим моментом • mj - квантовое число проекции полного механического момента Обычно состояние электрона записывают так: nlj, причем число орбитальное квантовое число l обозначается не цифрами, а буквами:

l = 0 — s-орбиталь (sharp), l = 1 — p-орбиталь (principal), l = 2 — dорбиталь (diuse), l = 3 — f-орбиталь (fundamental), а далее орбитали обозначаются соответственно g- h- и т.д. При этом состояние электрона принято указывать в виде главного квантового числа и буквы, соответствующей орбитальному квантовому числу, например: 1s, 3d, Зная состояние электрона, можно нарисовать векторы всех его моментов.

11.1.5 Магнитный момент электрона С угловым моментом электрона непосредственно связан его магнитный момент. По определению Название и обо- Длина вектора и Проекция вектора значение механи- значения кванто- на ось z и значеских моментов вого числа чения квантового Орбитальный магнитный момент электрона Проекция орбитального магнитного момента электрона на Oz дается равенством где Собственный момент электрона — спин: s = 1/2. Проекция спина на некоторую ось Oz может принимать лишь два значения:

но при этом проекция собственного магнитного момента электрона на ось Oz принимает значения В единицах магнетона Бора (µB ) µl имеет ту же длину, что и l.

Но в тех же единицах µs в два раза длиннее, чем s, поэтому µl и j не параллельны. Можно сказать, что s и l вращаются вокруг j по конической образующей.

11.1.6 Угловой момент атомной оболочки Рассмотрим теперь не отдельный электрон, а атомную оболочку, на которой может находится несколько электронов, каждый из которых характеризуется своим набором квантовых чисел. Тогда имеют место следующие правила сложения угловых моментов:

следовательно, Таким образом, L может принимать 2l2 + 1 значение, если l1 > l2, и 2l1 + 1 значение, если l1 < l2.

При заданном значении L Механический момент атомной оболочки дается равенством:

Коэффициент g называется фактором Ланде.

Электронную оболочку атома принято обозначать следующим образом: слева вверху указывается мультиплетность терма 2s + 1, далее идет латинская буква, соответствующая орбитальному квантовому числу L, справа внизу указывается квантовое число J, например: 2 P3/2.

Главное квантовое число: n = nr + l.

Радиальное квантовое число: nr = 1, 2, 3....

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 11.2 Примеры решения задач Пример 11.1. Нарисовать угловой, полный и спиновый моменты электрона в атоме водорода в состоянии 2 p3/2. Определить длину всех трех векторов и углы между ними.

Решение.

В соответствии с обозначением состояния электрона, l = 1, j = 3/2, отсюда j = l + s, s = 1/2.

Находим угол треугольника напротив полного момента: J 2 = L2 + S 2 2LS cos Пример 11.2. Определить возможные значения полного спинового момента двух электронов.

Решение.

Так как s1 = s2 = 1/2, то S = 0 или S = 1. Спины либо параллельны, либо антипараллельны.

Пример 11.3. Выписать спектральные обозначения термов электрона в атоме водорода для n = 3.

Решение.

поэтому для n = 3 l = 0, 1, 2 (s, p, d).

следовательно, соответственно. Т.о., при n = 3 имеется 5 термов.

Ответ: 3s1/2; 3p1/2, 3p3/2; 3d1/2, 3d5/2.

Пример 11.4. Найти значения полных механических моментов электронных оболочек атомов в состояниях 4P и 5 D.

Решение.

Проведем решение для первого случая. Из обозначения терма следует, что 2s + 1 = 4 и l = 1, т.е. s = 3/2.

следовательно, j = 1/2, 3/2 и 5/2.

В свою очередь, полный механический момент в единицах определяется равенством j(j + 1), следовательно, J = 3/4, 15/4 и 35/4 соответственно.

Ответ: В единицах :

а) 35/4, 15/4 3/4 (4P );

Пример 11.5. Атом находится в состоянии 4 F, имея при этом максимально возможный полный механический момент. Определить кратность вырождения этого состояния по J. Каков физический смысл полученной величины?

Решение.

Из обозначения терма следует, что 2s + 1 = 4 и l = 3, т.о. s = 3/2 и j = |l + s| = 9/2. Кратность вырождения дается равенством 2jmax + 1 = 10. Физический смысл — количество проекций полного момента на ось Oz.

Ответ: кратность вырождения равна 10.

Пример 11.6. Убедиться, что магнитные моменты атомов в состояниях 4D1/2 и 6 G3/2 равны нулю. Интерпретировать этот факт на основе векторной модели атома.

Решение.

Рассчитаем фактор Ланде.

В случае 4 D1/2 s = 3/2, l = 2, j = 1/2, В случае 6 G3/2 s = 5/2, l = 4, j = 3/2, Ответ: в обоих случаях g = 0, т.е. µJ J.

Пример 11.7. Показать с помощью векторной модели и соотношения Jt = M, что угловая скорость прецессии J в магнитном поле с индукцией B равна где g — фактор Ланде.

Решение.

С одной стороны, dJ = [µ, B]dt, где µ — магнитный момент атома.

С другой стороны, |dJ| = |J| sin · dt, |J| = J(J + 1). Сравнивая оба выражения, получаем искомую формулу.

Пример 11.8. Рассчитать угловую скорость прецессии J в магнитном поле с индукцией B = 1 Тл б) 2 P3/2, Решение.

Как следует из предыдущей задачи = gµБ B/.

б)2 P3/2: s = 1/2, l = 1, j = 3/2, g = 2 + s(s+1)l(l+1) = 3, = 11, 7·1010.

Ответ:

а) 8, 8 · 1010 рад/с;

б) 11, 7 · 1010 рад/с;

в) 0 рад/с;

Пример 11.9. Газ из атомов в состоянии 2 D3/2 подвергли одновременному воздействию постоянного магнитного поля с индукцией и перпендикулярного ему переменного магнитного поля с частотой 2.8 ГГц. При каком значении возникает резонансное поглощение энергии?

Решение.

Резонансное поглощение энергии возникает при совпадении частоты переменного магнитного поля с частотой прецессии. Следовательно:

Ответ: B = 2 /gµБ = 2, 5 кГс = 0, 25 Тл.

11.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 11.1. Выписать все электронные состояния в атоме водорода если главное квантовое число n = 3. Для каждого состояния определить длину векторов J, L, S, угол между полным механическим и спиновым моментом, все возможные проекции каждого из трех векторов на ось z.

Задача 11.2. Найти возможные значения полных механических моментов электронных оболочек атомов в состояниях 3P и 5 D.

Ответ: В единицах :

Задача 11.3. Выписать возможные термы атомов, содержащие, кроме заполненных оболочек, а) 2 электрона (s и p), б) 2 электрона (p и d), в) 3 электрона (s, p и d).

Ответ:

а) 1P1 и 3 P0,1,2;

б) 1 P1, 1 D2, 1F3, 3 P0,1,2, 3 D1,2,3, 3 F2,3,4;

в) 2 P1/2,3/2, 2 D3/2,5/2, 2F5/2,7/2, 4P1/2,3/2,5/2, 4D1/2,3/2,5/2,7/2, 4 F3/2,5/2,7/2,9/2.

Задача 11.4. Найти угол между спиновым и полным механическим моментами в векторной модели атома:

а) находящегося в состоянии 3 D с максимально возможным значением полного механического момента, б) содержащего, кроме заполненных подоболочек, три электрона (p, d и f) и имеющего максимально возможный для данной конфигурации полный механический момент.

Ответ: 35, 2 и 34, 4.

Задача 11.5. Используя правило Хунда, найти основной терм атома, электронная конфигурация незаполненной оболочки которого:

Ответ:

б) 1 F3/2.

Задача 11.6. Убедиться на нижеследующих примерах, что две электронные конфигурации, у одной из которых столько эквивалентных электронов, сколько не хватает другой до заполнения подоболочки, имеют одинаковые наборы возможных типов термов:

Ответ:

Задача 11.7. Найти магнитный момент µ и возможные значения проекции µB атома в состоянии б) 2 D3/2.

а) µ = 12µБ, µB = 0, ±1, ±2, ±3 магнетона Бора;

б) µ = 12/5µБ, µB = 0, ±1, ±2 магнетона Бора;

Задача 11.8. Чему равны магнитные моменты атомов в состоянии а) 4D1/2, б) 6 D3/2.

Ответ: Для обоих термов g = 0; µJ J.

Задача 11.9. (И.4.112) Найти магнитный момент атомов никеля (в состоянии 3F), которые обнаруживают резонансное поглощение энергии при одновременном воздействии постоянного магнитного поля с индукцией B = 2 кГс и перпендикулярного ему переменного магнитного поля с частотой = 3.5 ГГц.

Ответ: µ = 5, 6µБ; J = 4.

Семинар Типы химических связей.

Колебательная, вращательная и электронная энергия молекул.

12.1 Краткие теоретические сведения Энергия стационарного состояния молекулы определяется суммой трех энергий — электронной, колебательной и вращательной. Соответствующие характеристические частоты обозначают как e, и r.

Совершая переходы между различными возможными уровнями энергии, молекула испускает или поглощает фотоны. При этом может меняется как электронное состояние молекулы, так и ее вращательное и колебательное состояния. Поэтому число возможных частот оказывается огромным, и молекулярный спектр представляет собой полосы, состоящие из большого числа близких линий. Колебательные и вращательные спектры можно изучать отдельно, исследуя переходы, при которых электронное состояние молекулы не меняется. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь двухатомных молекул.

Вращательная энергия двухатомной молекулы дается равенством где B — вращательная постоянная, I — момент инерции молекулы, J — вращательное квантовое число (J = 0, 1, 2,...).

Правило отбора J:

Колебательную энергию двухатомной молекулы можно рассчитать по следующей формуле где = /µ — частота колебаний, — коэффициент квазиупругой силы, µ — приведенная масса молекулы, v = 0, 1, 2,... — колебательное квантовое число, x — коэффициент ангармоничности (для гармонического осциллятора x = 0).

Правило отбора v:

Выражение для средней энергии квантового гармонического осциллятора имеет вид Состояние электрона в двухатомной молекуле характеризуют квантовыми числами n, l,,, где n и l — главное и орбитальное квантовые числа, = |lz | — квантовое число, определяющее модуль проекции орбитального момента l на ось молекулы, = 0, 1, 2,...; — спиновое квантовое число, = ±1/2. Электроны с одинаковыми n и l называют эквивалентными.

Квантовые числа, характеризующие суммарные значения проекций механических моментов L, S и J на ось двухатомной молекулы:

Для термов с = 0 ориентация спина относительно оси отсутствует, и квантовые числа, и физического смысла не имеют.

Обозначения состояний отдельных электронов и электронной оболочки молекулы:

Можно показать, что для типичных электронной, колебательной и вращательной частот выполняется следующее приближенное соотношение где m — масса электрона, а M — масса ядра.

Таблица 12.1: Межъядерные расстояния d и соответствующие частоты колебаний некоторых двухатомных молекул.

Более подробную информацию можно найти по адресу http://qp.ilc.edu.ru/?page_id= 12.2 Примеры решения задач Пример 12.1. Найти для молекулы HCl квантовые числа J двух соседних вращательных уровней, разность энергий которых 7, 86 мэВ.

Решение.

Согласно (12.1) Таким образом, первым делом следует рассчитать момент инерции молекулы. Молекула вращается вокруг оси, проходящей через центра масс атомов H и Cl с массами mH и mCl соответственно. Если межъядерное расстояние равно d, то центр масс расположен на расстоянии считая от атома водорода.

Следовательно, момент инерции I молекулы относительно указанной оси определяется равенством где µ = mH mCl /(mH + mCl ) — приведенная масса молекулы.

Соседние квантовые числа отличаются на единицу, поэтому следует рассмотреть разность энергий J + 1-го и J-го уровней:

Подставляя в полученное выражение соответствующие числа, получаем, что искомые номера соседних уровней — это 2 и 3.

Пример 12.2. Определить механический момент молекулы кислорода в состоянии с вращательной энергией 2, 16 мэВ.

Решение. Как известно, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг заданной оси дается равенством где I — момент инерции относительно указанной оси, а M — искомый механический момент, и следовательно, Пример 12.3. Найти температуры, при которых средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул H2 и N2 равна их вращательной энергии в состоянии с квантовым числом J = 1.

Решение.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул дается известным равенством По условию причем Объединяя эти равенства, получаем Ответ: T = 2 2/(3µd2k) = 18 K и 3, 9 K.

Пример 12.4. Вычислить с учетом кратности вырождения g вращательных уровней (g = 2J + 1) отношение количеств молекул водорода, находящихся в чисто вращательных состояниях с J = 1 и J = 2 при T = 300 К.

Решение.