[ «ЛИПЕЦК 2013 УДК 330.1 ББК 65.012 Сборник заданий математических олимпиад УНИКУМ для обучающихся 3-6 классов: Учеб. пособие / Сост.: Г.А. Воробьев, Е.А. Зайцев, И.А. Шуйкова. 1-е изд., МАОУ ДОД ЦДОД Стратегия. Липецк, ...»
Если не более десяти карандашей, то останется как минимум три или красных, или желтых. Синих будет больше четырех, условие задачи выполняется.
8. Два Уникума отправились одновременно навстречу друг другу из двух школ, расстояние между которыми 4 км. Первый шел со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч. Всё время движения Уникумов с плеча одного Уникума на плечо другого непрерывно перелетала муха (на плече она не задерживалась). Сколько километров пролетела муха до встречи Уникумов, если её скорость 6 км/ч?
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 1. 4 : (3 + 5) = 0,5 ч. – время движения Уникумов, а следовательно, и время движения мухи.
2. 6 · 0,5 = 3 км. – расстояние, которое пролетела муха.
Ответ: 3.
9. Гусеница за день с (6:00 до 21:00) поднимается на 40 сантиметров вверх по дереву, а вечером (c 21:00 до 24:00) опускается на сантиметров. Ночью (с 0:00 до 6:00 гусеница спит). В какой день недели гусеница первый раз достигнет высоты в 2 метра, если она Решение. За первые восемь суток гусеница поднимется на 1,6 метра.
Во вторник днем гусеница поднимется ещё на 40 сантиметров, и первый раз достигнет высоты 2 метра.
Ответ: вторник.
10. (Задача Л.Н. Толстого) Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна полвина осталась косить большой луг (и докосила его к концу дня), а другая перешла косить второй луг, вдвое меньший первого, но не успела к концу дня закончить косьбу. На другой день на этот луг вышел один косец и в течение всего дня докосил его. Сколько всего было косцов?
Косцы всё время работали одинаково.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 1. Примем объём работы, выполненной за день косцами, за единицу.
большем лугу.
того, чтобы завершить косьбу на втором лугу.
в первый день.
Ответ: 8 косцов.
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс 1. Выполните действия:
Укажите самый простой порядок выполнения действий.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. Пять отрицательных чисел, следовательно, произведение отрицательно.
125 · 25 · ( – 8) · ( – 183) · ( – 40) · ( – 11)= (125 · 8) · (40 ·25) · 183 · 11 = = 2 013 000 000.
Ответ: 2 013 000 000.
2. 9 кг вкусных конфет стоят дешевле 1000 рублей, а 10 кг тех же вкусных конфет — дороже 1110 рублей. Сколько стоит 1 кг конфет?
(Стоимость округляется до десятков копеек.) Решение. 1. По первому условию килограмм конфет стоит дешевле 111 руб.
2. По второму условию килограмм конфет стоит дороже 111 руб.
3. С учетом округления стоимости до десятков копеек единственный вариант ответа 111 рублей 10 копеек.
Ответ: 111 рублей 10 копеек.
3. Однажды 24 жителя острова правдолюбцев и лжецов встали в круг, и каждый из них заявил, что один из его соседей – правдолюбец, а другой лжец. Сколько правдолюбцев и сколько лжецов могло быть среди этих 24 человек? Укажите все ответы.
Решение. 1. Если среди 24 жителей острова есть правдолюбец, тогда его соседи лжец и правдолюбец: ЛПП. У второго правдолюбца соседи Математическая олимпиада «Уникум»
также лжец и правдолюбец: ЛППЛ. Лжец должен соврать, и так как один из его соседей правдолюбец, то другой также должен быть правдолюбцем: ПЛППЛП. Рассуждая аналогично, получим, что правдолюбцев в два раза больше лжецов. Получим 8 лжецов, правдолюбцев.
2. Если среди 24 жителей острова все лжецы, то условие задачи также выполняется.
Ответ: 1) 8 лжецов, 16 правдолюбцев; 2) 24 лжеца.
4. Сколькими нулями оканчивается произведение: 1 · 2 · 3 · … · 9 · 30?
Решение. 1. Количество нулей в конце числа равно наименьшей из степеней 2 и 5 в разложении данного числа на простые множители. В рассматриваемом произведении в разложении на простые множители 5 будет меньше, поэтому количество нулей совпадает со степенью 5.
2. Среди множителей данного произведения 6 чисел (т.к. 30 : 5 = 6), делящихся на 5; 1 число, делящееся на 25.
Следовательно, в разложении произведения на простые множители число 5 будет содержаться в 6 + 1 = 7 степени.
5. Незнайка сказал, что может разрезать шахматную доску (квадрат 8 * 8, рисунок 1) указанным на рисунке способом и собрать из полученных частей прямоугольник (рисунок 2). Уникум не поверил Незнайке и сумел Математическая олимпиада «Уникум»
объяснить, что собрать прямоугольник не удастся. Как Уникуму удалось опровергнуть Незнайку?
Отдельные части не должны накладываться друг на друга.
Прямоугольник не должен содержать участков не закрытых частями шахматной доски.
Решение. Квадрат имеет площадь 64, а прямоугольник 5 · 13 = 65.
Следовательно, прямоугольник собрать не удастся.
6. Все натуральные числа от 0 до 2012 записаны случайным образом в два столбца (получилось 1006 строка по два числа, в последней строке одно число). В каждой строке из большего числа вычли меньшее, и результат записали в третий столбец (в последней строке в третий столбец переписали единственное число). Все числа третьего столбца перемножили. Могли ли в результате получиться числа: а) 4022; б) 6033?
Решение. а) Разложив на множители получаем Теперь легко получить требуемое расположение чисел.
Математическая олимпиада «Уникум»
Ответ: число 4022 могло получиться.
б) Среди рассматриваемых чисел 1006 нечетных и 1007 четных, поэтому или, как минимум, в одной строке окажутся два четных числа, или четное число будет в последней строке. В любом случае в третьем столбце будет хотя бы одно четное число, а, следовательно, произведение должно быть обязательно четно.
Ответ: число 6033 не могло получиться.
7. Известно, что политическую карту (карту на которой изображены страны, регионы) можно раскрасить в четыре цвета так, что любые две страны, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета. Можно ли окрасить любую политическую карту в три цвета? Считается, что граница каждой страны непрерывная линия.
Решение. Приведем контр пример карты, которую нельзя окрасить в три цвета. Для трех пронумерованных областей обязательно нужно Математическая олимпиада «Уникум»
использовать три цвета. Непронумерованную область нельзя закрасить ни в один из указанных цветов.
Ответ: нет, существуют карты, которые нельзя окрасить в три цвета.
8. Имеются песочные часы, отмеряющие 12 минут. В 12 часов дня на часах нулевое состояние, и Уникум переворачивая часы, запускает их. Часы остановились в 12 часов минут, и за прошедшие 18 минут Уникум два раза их переворачивал. Один раз часы были перевернуты в часов 8 минут, когда Уникум ещё раз переворачивал часы?
Решение. 1. Возможны два варианта: в 12 часов 8 минут часы перевернули второй раз или в первый раз.
2. Если в 12 часов 8 минут часы перевернули второй раз, то в это время в часах должно остаться песка на 10 минут, чтобы в 12 часов минут весь песок высыпался. Если в 12 часов 5 минут часы перевернуть то через 3 минуты в них останется песка на 2 минуты, а после переворачивания на 10 минут, что и требовалось.
3. Если в 12 часов 8 минут часы перевернули первый раз, то в них после переворачивания песка будет на 8 минут. Через три минуты Математическая олимпиада «Уникум»
часы нужно перевернуть, тогда в них будет песка на 7 минут и весь песок высыплется ровно в 12 часов 18 минут.
Ответ: 12 часов 5 минут или 12 часов 11 минут 9. Два Уникума отправились одновременно навстречу друг другу из двух школ, расстояние между которыми 4 км. Первый шел со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч. Всё время движения Уникумов с плеча одного Уникума на плечо другого непрерывно перелетала муха (на плече она не задерживалась). Сколько километров пролетела муха, если её скорость 6 км/ч?
Решение. 1. 4 : (3 + 5) = 0,5 ч. – время движения Уникумов, а, следовательно, и время движения мухи.
2. 6 · 0,5 = 3 км. – расстояние, которое пролетела муха.
Ответ: 3.
10. На каждом километре дороги между городами Липецк и Тула стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Липецка, а на другой – до Тулы. Уникум заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 22. Каково расстояние от Липецка до Тулы?
Решение. 1. Сумма двух чисел записанных на одной табличке постоянная и равна расстоянию от Липецка до Тулы.
Математическая олимпиада «Уникум»
2. Докажем, что если у натурального числа любое его представление в виде суммы двух натуральных чисел имеет одинаковую сумму цифр, то все цифры числа кроме первой должны равняться 9.
Предположим противное, что не первая цифра отлична от 9. Оставим только рассматриваемую цифру и первую ей предшествующую отличную от нуля. Получим число вида 10x + y, с суммой цифр x + y.
Представим данное число следующим образом 10x + y = (10(x – 1) + 9) + (y +1), с суммой цифр x – 1 +9 + y + 1 = x + y + 9. Получили противоречие x + y + 9 > x + y. Следовательно, числа, у которых не первая цифра отлична от 9, не подходят.
Если у натурального числа все цифры кроме первой 9, то при разложении этого числа в виде суммы двух натуральных сумма цифр в каждом разряде не изменяется.
3. Искомое расстояние от Липецка до Тулы должно быть представлено натуральным числом, все цифры которого, кроме первой, равны 9. Для суммы цифр 22 такое число одно: 499.
Ответ: 499 км.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решения IV математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс 1. Восстановите пример ** + ** = 197. Вместо знака звездочки может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.
Ответ: 98 + 99; 99 + 98.
2. Вычеркните в числе 26052013 любые пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим. Объясните выбранный Вами вариант.
Решение. Самые большие цифры 6, 5 и 3.
Ответ: 26052013.
3. Три полицейских гнались по прямой дороге за одним жуликом, вырвавшимся от них. Усатый полицейский бежал со скоростью 6 км/ч, лысый полицейский – со скоростью 7 км/ч, а высокий – со скоростью 8 км/ч. Жулик убегал со скоростью 10 км/ч. Пробежав 3 часа, жулик залез на березу и притаился. А полицейские, пробежав по 5 часов каждый без завтрака, обеда и ужина, остановились и все трое подняли головы вверх. Один из полицейских увидел жулика на березе, обрадовался и арестовал его, а два других вернулись в полицию грустные. Какой полицейский арестовал жулика?
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 1. 3 · 10 = 30 км – пробежал жулик.
2. 5 · 6 = 30 км – пробежал усатый полицейский. Другие полицейские пробежали большее расстояние.
Ответ: усатый.
4. Нарисуйте 6 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались, и из каждой точки выходили бы ровно 4 отрезка.
Решение. Один из вариантов приведен на рисунке.
5. Уникум, готовясь к встрече с друзьями, положил в вазу фрукты:
яблок и груш вместе было 9 штук, яблок и мандаринов – 11, а груш и мандаринов – 8. Сколько всего было фруктов? Каких фруктов было меньше всего? А каких больше? Определите количество фруктов каждого вида.
Решение. 1. Меньше всего груш; больше всего яблок.
2. 9 + 11 + 8 = 28 – удвоенное количество фруктов.
3. 14 – общее количество фруктов.
Математическая олимпиада «Уникум»
4. 14 – 9 = 5 – количество мандаринов.
5. 14 – 11 = 3 – количество груш.
6. 14 – 8 = 6 – количество яблок.
Ответ: 14; меньше всего груш; больше всего яблок; 3 груши, мандаринов, 6 яблок.
6. Уникум придумал такую игру: он берет у дедушки большой кусок фанеры и раскрашивает его так, что у него получается шахматная доска из 5 строчек и 5 столбцов. Потом он берет кости домино и пытается покрыть ими полученную доску так, чтобы все клеточки были закрыты, не было наложений и никакие доминошки не торчали за края доски (каждая доминошка покрывает ровно две соседние клеточки). Помогите Уникуму понять, сможет ли он это сделать.
Решение. 1. 25 – общее число клеток на шахматной доске, число нечетное. Количество клеток, покрываемых домино – число четное, так как каждая доминошка закрывает ровно две клетки. Получили противоречие, Уникум не сможет покрыть доску костями домино.
Ответ: не сможет.
7. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на шесть равных частей по линиям сетки двумя различными способами, причем в каждой из полученных частей должна быть одна буква. Способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном Математическая олимпиада «Уникум»
способе разрезания, не совпадают при наложении с частями, полученным при другом способе.
Решение.
УНИКУМ УНИКУМ УНИКУМ
8. На острове правдолюбцев и лжецов живут правдолюбцы, всегда говорящие только правду, и лжецы, изрекающие только ложь. жителей острова правдолюбцев и лжецов встали в круг, и каждый из них заявил, что оба его соседа правдолюбцы. Сколько правдолюбцев и сколько лжецов могло быть среди этих 2013 человек? Укажите все ответы и обоснуйте их.Решение. 1. Если один из 2013 жителей правдолюбец, то и его соседи правдолюбцы, следовательно, все 2013 человек правдолюбцы.
2. Если один из 2013 жителей лжец, то среди 2013 человек правдолюбцев уже не будет (по первому случаю). Следовательно, все 2013 человек лжецы.
Ответ: все 2013 человек правдолюбцы или все 2013 человек лжецы.
Математическая олимпиада «Уникум»
9. Если ребят в парке посадить по три человека на скамейку, то останется 2 незанятых скамейки. Если же рассадить по 2 человека, то все скамейки окажутся занятыми и еще 7 человек останутся без места.
Определите, сколько учеников в классе и сколько скамеек.
Решение. 1. 3 · 2 + 7 = 13 человек – разность между количеством школьников в случае, когда на каждой скамейке сидело по 3 человека, и случаем когда на каждой скамейке сидело по два человека.
Полученная разность равняется количеству скамеек.
2. 3 · (13 – 2) = 33 ученика в классе.
Ответ: 33 ученика, 13скамеек.
10. У Уникума была полная корзина бокренков. Сначала он встретил Машу и дал ей половину своих бокренков и еще пол-бокренчика.
Потом он встретил Дашу и отдал ей половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Затем Уникум потерял половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Наконец, после того, как он встретил Сашу и снова отдал ей половину оставшихся бокренков и еще полбокренка, корзина опустела. Сколько бокренков было у Уникума вначале? Что такое бокренки выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 1. 1 бокренок – количество бокренков полученных Сашей.
2. 1 + 1 = 2 бокренка – количество бокренков потерянных Уникомом.
3. (2 + 1) + 1 = 4 бокренка – количество бокренков полученных Дашей.
4. (4 + 2 + 1) + 1 = 8 бокренков – количество бокренков полученных Машей.
5. 8 + 4 + 2 + 1 = 15 бокренков – общее количество бокренков, находившихся первоначально в корзине у Уникума.
Ответ. 15 бокренков.
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс 1. Восстановите пример 1*26 + 987 = 2 01*. Вместо знака звездочки может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.
Ответ: 1 026 + 987 = 2 013.
2. В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число 100.
Ответ: 1 · (2 + 3) · 4 · 5 = 100.
Математическая олимпиада «Уникум»
3. Сколько имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2.
Решение. 1. Сумма цифр числа равняется 2 только в двух случаях, когда две цифры 1, а остальные нули и когда одна из цифр 2, а остальные нули.
2. Пятизначное число второго вида единственно 20 000. Пятизначные числа первого вида – это числа, в которых первая цифра 1, а ещё одна единица стоит в одном из оставшихся четырёх разрядов. Таких вариантов 4.
Ответ: 5.
4. Компьютер умножает число на 2, затем из этого результата вычитает число К, затем умножает результат на 2 и снова вычитает К и так далее. Каждую операцию (умножение и вычитание) он выполняет 2013 раз. Придумайте число, которое в результате описанной работы на компьютере, не изменится.
Ответ: число К.
5. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на шесть равных частей по линиям сетки как можно большим количеством различных способов, причем в каждой из полученных частей должна быть одна буква. Способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не совпадают при наложении с частями, полученным при другом способе.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение.
УНИКУМ УНИКУМ УНИКУМ
6. У Уникума была полная корзина бокренков. Сначала он встретил Машу и дал ей половину своих бокренков и еще пол-бокренчика.Потом он встретил Дашу и отдал ей половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Затем Уникум потерял половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Наконец, после того, как он встретил Сашу и снова отдал ей половину оставшихся бокренков и еще полбокренка, корзина опустела. Сколько бокренков было у Уникума вначале? Что такое бокренки выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.
Решение. 1. 0,5 + 0,5 = 1 бокренок – количество бокренков полученных Сашей.
2. 1 + 1 = 2 бокренка – количество бокренков потерянных Уникомом.
3. (2 + 1) + 1 = 4 бокренка – количество бокренков полученных Дашей.
4. (4 + 2 + 1) + 1 = 8 бокренков – количество бокренков полученных Машей.
Математическая олимпиада «Уникум»
5. 8 + 4 + 2 + 1 = 15 бокренков – общее количество бокренков, находившихся первоначально в корзине у Уникума.
Ответ. 15 бокренков.
7. На острове правдолюбцев и лжецов живут правдолюбцы, всегда говорящие только правду, и лжецы, изрекающие только ложь.
Предполагается, что каждый обитатель острова или правдолюбец, или лжец.
Двое из трёх островитян А, В и С сделали следующие утверждения:
А: “Мы все лжецы.” В: “Один из нас правдолюбец.” Определите кто из трех островитян А, В и С правдолюбец и кто лжец?
Решение. 1. Высказывание A обязательно ложно. Следовательно, среди А, В и С один или два правдолюбца.
2. Если В правдолюбец, то А и С лжецы. В не может быть лжецом, так как в этом случае должно быть два правдолюбца, но A и B лжецы.
Ответ: В правдолюбец, А и С лжецы.
8. Три Уникума решили перекусить вместе, для этого один из них дал три бутерброда, второй – четыре бутерброда, а третий внёс 70 руб.
Сколько из этих денег должен взять первый и сколько – второй Уникум, чтобы затраты всех трёх Уникумов были равными? Будем считать все бутерброды одинаковыми, Уникумы поделили их поровну.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 1. 3 · 7 = 210 руб. – стоимость всех 7 бутербродов.
2. 210 : 7 = 30 руб. – стоимость одного бутерброда.
3. 3 · 30 – 70 = 20 руб. – должен взять первый Уникум.
4. 4 · 30 – 70 = 50 руб. – должен взять второй Уникум.
Ответ: 20 руб. – первый, 50 руб. – второй.
9. Назовем натуральное число «уникальным», если оно не изменяется при переворачивании листа, на котором записано число (нижняя и верхняя части листа меняются местами). Определите, сколько «уникальных» чисел среди четырехзначных чисел. В записи уникальных чисел будем использовать только цифры 0, 1, 6, 8, 9;
примеры «уникальных» чисел: 1; 8; 69; 609.
Решение. 1. Если в четырехзначном «уникальном» числе определены первые две цифры, то последние две цифры определяются однозначно.
2. Подсчитаем количество вариантов первых двух цифр четырехзначного «уникального» числа.
Первая цифра – это одна из четырех цифр 1, 6, 8, 9. Любой из первых цифр может соответствовать любая из пяти вторых цифр, стоящих на втором месте: 0, 1, 6, 8, 9. Таким образом, общее количество вариантов 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Математическая олимпиада «Уникум»
10. Уникум на досуге нарисовал лабиринт, в котором зашифровал путь от Входа до выхода П как 2210. Разгадайте шифр, предложенный Уникумом, и определите, на какой выход удастся попасть, если воспользоваться планом с шифром 3031?
Решение. 1. Шифр Уникума означает следующее: на каждом перекрестке все дороги нумеруются слева направо общей нумерацией (см. рисунок 1), в шифре указывается остаток от деления номера дороги на четыре.
2. Если воспользоваться планом 3031 и приведенным в пункте шифром, то удастся попасть на выход A (вторая буква А) (рисунок 2).
О И МП И АД А
Математическая олимпиада «Уникум»
О Л И МП И АД А
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс 1. Злая колдунья, работая не покладая рук, превращает в гусениц по принцесс в день. Сколько дней предстоит ей трудиться, чтоб превратить в гусениц 810 принцесс? Сколько принцесс в день придется ей превращать в гусениц, если она захочет управиться с этой работой за 15 дней?Решение. 1. 810 : 30 = 27 дней.
2. 810 : 15 = 54 принцессы в день.
Ответ: 27 дней; 54 принцессы в день.
2. Вычислите 201220122012 · 2013 – 201320132013 · 2012.
Математическая олимпиада «Уникум»
Решение. 201220122012 · 2013 – 201320132013 · 2012 = = 2013 · 2012 · (100010001 – 100010001) = 0.
3. Между некоторыми цифрами числа 1234567893 поставьте знаки арифметических действий так, чтобы значение полученного выражения равнялось 2013.
4. Уникум придумал такую игру: он берет у дедушки большой кусок фанеры и раскрашивает его так, что у него получается шахматная доска из 2013 строчек и 2013 столбцов. Потом он берет кости домино и пытается покрыть ими полученную доску так, чтобы все клеточки были закрыты, не было наложений и никакие доминошки не торчали за края доски (каждая доминошка покрывает ровно две соседние клеточки). Помогите Уникуму понять, сможет ли он это сделать.
Решение. 1. 2013 · 2013– общее число клеток на шахматной доске, число нечетное. Количество клеток покрываемых домино – число четное, так как каждая доминошка закрывает ровно две клетки.
Получили противоречие, Уникум не сможет покрыть доску костями домино.
Ответ: не сможет.
5. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на шесть равных частей по линиям сетки всеми возможными различных способов, причем в каждой из полученных частей должна быть одна буква.
Математическая олимпиада «Уникум»
Способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не совпадают при наложении с частями, полученным при другом способе. Докажите, что других способов, кроме предложенных Вами нет.
Решение. Решение должно включать доказательство отсутствия других способов кроме указанных. Доказательство может строиться на основе анализа применения различных фигур, состоящих из четырех клеток.
УНИКУМ УНИКУМ УНИКУМ
6. Три Уникума решили перекусить вместе, для этого один из них дал три бутерброда, второй – четыре бутерброда, а третий внёс 70 руб.Сколько из этих денег должен взять первый и сколько – второй Уникум, чтобы затраты всех трёх Уникумов были равными? Будем считать все бутерброды одинаковыми, Уникумы поделили их поровну.
Решение. 1. 3 · 70 = 210 руб. – стоимость всех 7 бутербродов.
2. 210 : 7 = 30 руб. – стоимость одного бутерброда.
3. 3 · 30 – 70 = 20 руб. – должен взять первый Уникум.
4. 4 · 30 – 70 = 50 руб. – должен взять второй Уникум.
Ответ: 20 руб. – первый, 50 руб. – второй.
Математическая олимпиада «Уникум»
7. Назовем натуральное число «уникальным», если оно не изменяется при переворачивании листа, на котором записано число (нижняя и верхняя части листа меняются местами). Определите, сколько «уникальных» чисел среди шестизначных чисел. В записи уникальных чисел будем использовать только цифры 0, 1, 6, 8, 9; примеры «уникальных» чисел: 1; 8; 69; 609.
Решение. 1. Если в шестизначном «уникальном» числе определены первые три цифры, то последние три цифры определяются однозначно.
шестизначного «уникального» числа.
Первая цифра – это одна из четырех цифр 1, 6, 8, 9. Любой из первых цифр может соответствовать любая из пяти вторых цифр, стоящих на втором месте: 0, 1, 6, 8, 9. Любому варианту первых двух цифр может соответствовать любая из пяти третьих цифр 0, 1, 6, 8, 9. Таким образом, общее количество вариантов 4 · 5 · 5 = 100.
Ответ: 100.
8. Уникум отправился на рыбалку, но забыл поплавок для удочки. В качестве поплавка он решил использовать кусочек жмыха взятого для подкормки. Забросив удочку, Уникум заметил, что часть поплавка находится над водой, а под водой. Такое соотношение надводной и Математическая олимпиада «Уникум»
подводной частей сохранялось всё время пока жмых не съели пять голодных мух, севшие на поплавок сверху, и карась, который ел жмых под водой. Скорость поедания жмыха одной мухой равна 0,1 грамма в минуту, карась съедал 1 грамм в минуту. Сколько съел карась, если первоначально жмых весил 9 граммов?
Примечание. Жмых – продукт, получаемый после отжима растительного масла из семян масличных культур.
Решение. 1. Вне зависимости от того какие части находились под водой и над водой всё время пока жмых плавал его поедали мухи и карась.
2. 5 · 0,1 + 1 = 1,5 г. – вес жмыха, съедаемого пятью мухами и карасем за минуту.
3. 9 : 1,5 = 6 м. – время, необходимое мухам и карасю на поедание всего жмыха.
4. 6 · 1 = 6 г. – вес жмыха, съеденного карасем за 6 минут.
Ответ: 6 г.
9. Сколькими нулями оканчивается произведение:
1 · 2 · 3 · … · 2012 · 2013?
Решение. 1. Количество нулей в конце числа равно наименьшей из степеней 2 и 5 в разложении данного числа на простые множители. В рассматриваемом произведении в разложении на простые множители 5 будет меньше, поэтому количество нулей совпадает со степенью 5.
Математическая олимпиада «Уникум»
2. Среди множителей данного произведения 402 числа (т.к. 2013 : 5 = 402,6), делящихся на 5; 80 чисел, делящихся на 25 (т.к. 2013 : 25 = 80,52); 16 чисел, делящихся на 125 (т.к. 2013 : 125 = 16,104); 3 числа, делящихся на 625 (т.к. 2013 : 625 = 3,2208).
Следовательно, в разложении произведения на простые множители число 5 будет содержаться в 402 + 80 + 16 + 3 = 501 степени.
Ответ: 501.
На плоскости нарисован 2013-угольник. Двое играют в следующую игру. Они поочередно красят некоторым цветом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10 соседних сторон 2013-угольника, повторно закрашивать сторону нельзя. Тот, кому нельзя сделать ход, проигрывает. Кто из играющих может добиться гарантированной победы? Как он сможет это сделать?
Решение. 1. Если первым ходом первый игрок закрасил нечетное число сторон, то следующим ходом второй игрок закрашивает четное число сторон, расположенных напротив хода первого игрока. В результате все незакрашенные стороны разбиваются на две группы с одинаковым числом сторон в каждой группе.
2. В дальнейшем второй игрок каждым своим ходом повторяет (по количеству закрашиваемых сторон и их расположению) предшествующий ход соперника, но из другой группы сторон. В результате у второго игрока всегда будет возможность хода и рано или поздно первый игрок проиграет.
Ответ: выигрывает второй игрок.
Математическая олимпиада «Уникум»
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс 1. Восстановите пример *71 · * = 20*3. Вместо знака звездочки * может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.
Ответ: 671 · 3 = 2013.
2. К прекрасной принцессе каждую ночь приходит принц и поет баллады. Ровно в полночь он выходит из своего замка и бредёт к башне принцессы со скоростью 5 км/ч. Два часа принц жутко воет под окном принцессы, а потом с той же скоростью бредет обратно домой. В 6 утра принц приходит в замок. Узнай расстояние от замка принца до башни принцессы.
Решение. (6 – 2) · 5 : 2 = 10км.
Ответ: 10 км.
3. Нарисуйте 6 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались, и из каждой точки выходили бы ровно 4 отрезка.
Решение. Один из вариантов приведен на рисунке.
Математическая олимпиада «Уникум»
4. Уникум может сделать уборку квартиры за два часа, а его младший брат за три часа. За сколько времени два брата могли бы вместе убрать квартиру?
Решение. 1. Уникум за час убирает квартиры, а его брат –.
совместной работе.
квартиры.
Ответ: 1 ч. 12 мин.
5. Между некоторыми цифрами числа 1234567893 поставьте знаки арифметических действий так, чтобы значение полученного выражения равнялось 2013.
6. Два Уникума выписывают 2012-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Может ли, Уникум, который ходит вторым, добиться того, чтобы полученное число делилось на 9?
Объясните ответ.
Решение. Второй Уникум может добиться нужно результата, если каждым ходом будет ставить цифру, образующую в сумме с Математическая олимпиада «Уникум»
предшествующей цифрой, поставленной первым Уникумом, число 9.
В итоги сумма цифр числа будет делится на 9, а, следовательно, и само число будет делиться на 9.
Ответ: может.
7. При делении числа на 56 в остатке получилось 30. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 14?
Решение. 1. Пусть a – исходное число, а b – частное от деления a на 56. Тогда a = 56b + 30.
2. Разделим a на 14, тогда 56b : 14 = 4b, 30 = 14 ·2 + 2. Таким образом при делении на 14 в частном получится 4b + 2, а в остатке 2.
Ответ: итоговое частное будет на 2 больше чем учетверенное исходное частное, остаток равен 2.
8. Уникум отправился на рыбалку, но забыл поплавок для удочки. В качестве поплавка он решил использовать кусочек жмыха взятого для подкормки. Забросив удочку, Уникум заметил, что часть поплавка находится над водой, а под водой. Такое соотношение надводной и подводной частей сохранялось всё время пока жмых не съели пять голодных мух, севшие на поплавок сверху, и карась, который ел жмых под водой. Скорость поедания жмыха одной мухой равна 0,1 грамма в Математическая олимпиада «Уникум»
минуту, карась съедал 1 грамм в минуту. Сколько съел карась, если первоначально жмых весил 9 граммов?
растительного масла из семян масличных культур.
Решение. 1. Вне зависимости от того какие части находились под водой и над водой всё время пока жмых плавал его поедали мухи и карась.
2. 5 · 0,1 + 1 = 1,5 г. – вес жмыха, съедаемого пятью мухами и карасем за минуту.
3. 9 : 1,5 = 6 м. – время, необходимое мухам и карасю на поедание всего жмыха.
4. 6 · 1 = 6 г. – вес жмыха, съеденного карасем за 6 минут.
Ответ: 6 г.
9. Всегда ли среди 3 000 произвольных натуральных чисел найдутся два числа, разность которых делится на 2013? Объясните ответ.
Решение. 1. На 2013 делится разность двух чисел имеющих одинаковые остатки при делении на 2013.
2. Различных возможных вариантов остатков при делении на 2013 всего 2013:
0; 1; 2; …; 2011; 2012. Поэтому среди 3 000 произвольных натуральных чисел обязательно найдутся, как минимум два числа, имеющих одинаковые остатки при делении на 2013, разность этих чисел будет делиться на 2013.
Ответ: да, найдутся Математическая олимпиада «Уникум»
10. Уникум придумал такую игру: он берет у дедушки большой кусок фанеры и раскрашивает его так, что у него получается шахматная доска из 2012 строчек и 2013 столбцов. Потом он вбивает в две из полученных клеток по гвоздю. Затем он берет кости домино и пытается покрыть ими полученную доску так, чтобы все клеточки были закрыты, не было наложений и никакие доминошки не торчали за края доски (каждая доминошка покрывает ровно две соседние клеточки). Клетки, в которые забиты гвозди, доминошками не прикрываются. Помогите Уникуму понять, сможет ли он это сделать.
Решение. 1. Первоначальное количество клеток каждого цвета на куске фанеры одинаково. Количество клеток каждого цвета, закрываемых домино, также одинаково. Поэтому если Уникум забил гвозди в одноцветные клетки, то покрыть оставшиеся клетки домино ему не удастся.
2. Если Уникум забил гвозди в разноцветные клетки, то соединим все клетки замкнутой цепью, как показано на рисунке.
Математическая олимпиада «Уникум»
Любые две разноцветные клетки, в которые Уникум забил гвозди, разобьют цепь на две части, с разноцветными концами. Каждую из этих частей можно перекрыть костями домино.
Ответ: не сможет, если гвозди забиты в одноцветные клетки; сможет – если клетки разного цвета.
Математическая олимпиада «Уникум»
Литература 1. Васильев, Н.Б. Избранные олимпиадные задачи. Математика [Текст] / Н.Б. Васильев, А.П. Савин, А.А. Егоров – М.: Бюро Квантум, 2007 – 60 с. (Библиотечка «Квант», вып. 100, приложение к журналу «Квант» №2 / 2007).
2. Дрозина В.В. Механизм творчества решения нестандартных задач / В.В. Дрозина, В.Л. Дильман. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 255 с.
3. Занимательные математические задачи. Дополнительные А.М.Быковская, Г.Я.Куклина. 2-е изд., испр.Новосиб.гос.ун-т.
Новосибирск, 2010 – 88 с.
4. Канель-Белов, А.Я. Как решают нестандартные задачи / Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. – М.: МЦНМО,2008. - 96 c.
– М.: Посев, 2003. – 128 с.
6. Турецкий, Е.Н. Как научиться решать задачи / Е.Н. Турецкий, Л.
М. Фридман. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.
Фарков– М.: Экзамен, 2006 – 160 с.
8. Чамян П.Г. Инварианты: одинаковые и разные [Текст] / П.Г.
Чамян, Г.А. Воробьев // Интеграционные тенденции современной Математическая олимпиада «Уникум»
науки: материалы III межвуз. Науч.-практ. конф. – Липецк: ЛГПУ, 2010.
– С. 25-29.
9. Чамян П.Г. Инварианты в школе / П.Г. Чамян, Г.А. Воробьев // [Электронный ресурс] / Сборник научных трудов III Международной научно-практической конференции. - Липецк, 09, 29-30 апреля 2010 г.
– Липецк: ЛГПУ, 2010. – 1 электрон. Опт. Диск (CD-ROM). — ISBN 978-5Шень, А. Игры и стратегии с точки зрения математики / А.
Шень. – М.:МЦНМО, 2007 – 40 с.
факультативных занятиях по математике / Г.А. Воробьёв, И.А.
Шипилов // Интеграционные тенденции современной науки. Сб.
матер. III межвузовской студенческой конференции. – Липецк: ЛГПУ, 2010. – С. 193-198.
12. http://www.rusolymp.ru/ – портал Всероссийской олимпиады школьников.
13. http://www.school.mipt.ru/ – ЗФТШ МФТИ.
14. http://www.turgor.ru/ – Турнир Городов – международная математическая олимпиада для школьников.
15. http://www.unikum.stratergy48.ru – Сайт математической олимпиады «Уникум».
Математическая олимпиада «Уникум»
Оглавление Предисловие
Задания I математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2010
Математическая олимпиада «Уникум». 3-4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5-6 класс
Задания II математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2011
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Задания III математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2012
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Математическая олимпиада «Уникум»
Задания IV математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2013
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Решения I математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2010
Математическая олимпиада «Уникум». 3-4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5-6 класс
Решения II математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2011
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Решения III математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2012
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум»
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Решения IV математической олимпиады для младших школьников «Уникум», май 2013
Математическая олимпиада «Уникум». 3 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 4 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 5 класс
Математическая олимпиада «Уникум». 6 класс
Литература
Оглавление
«