«Кафедра математики и информатики А.С. Кутузов ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть первая Учебное пособие Троицк 2012 Одобрено учебно-методической комиссией Троицкого филиала ФГБОУ ВПО Челябинский государственный ...»

Министерство образования и науки

Троицкий филиал федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет»

Кафедра математики и информатики

А.С. Кутузов

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Часть первая

Учебное пособие Троицк 2012 Одобрено учебно-методической комиссией Троицкого филиала ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Специальность: 010400 – Прикладная математика и информатика А. С. Кутузов, преподаватель кафедры математики и инСоставитель:

форматики В.Н. Павленко, д.ф.-м.н., профессор кафедры вычислиРецензент:

тельной математики ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Учебное пособие составлено на основе программы дисциплины «Функциональный анализ» (утверждена на заседании кафедры математики и информатики протоколом №2 от 08.09.2008). В пособии изложен теоретический и практический материал по теме «Линейные ограниченные операторы. Сопряженные пространства», изучаемой студентами специальности «Прикладная математика и информатика». Пособие отличает конспективная краткость и простота изложения. Решение наиболее сложных задач дано в качестве примеров, ко многим задачам для самостоятельного решения даны указания.

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов.

Может быть использовано для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов.

Издание второе, исправленное и дополненное.

© 2012 Троицкий филиал Челябинского государственного университета © А.С. Кутузов,

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

1.1. Понятие линейного ограниченного оператора, его норма

1.2. Понятие линейного ограниченного функционала

1.3. Пространство линейных ограниченных операторов

1.4. Последовательности операторов

1.5. Дополнительные задачи и задачи повышенной трудности

1.6. Образы шаров при действии линейных ограниченных операторов

РАЗДЕЛ II. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА................ 2.1. Общие виды функционалов

2.2. Продолжение линейных функционалов.................. 2.3. Базисы в линейных пространствах

2.4. Слабая и *-слабая сходимости

2.5. Рефлексивные пространства. Понятие сопряженного оператора

СПИСОК ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее доступными для изучения среди операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы.

Они представляют собой важнейший класс операторов, поскольку среди них можно найти многие операторы, известные из курса алгебры и математического анализа (матричные операторы, операторы дифференцирования и интегрирования и др.).

Теория линейных операторов принадлежит к числу традиционных направлений функционального анализа. Именно через теорию линейных операторов функциональный анализ сомкнулся с квантовой механикой, дифференциальными и интегральными уравнениями, теорией вероятностей и целым рядом других прикладных дисциплин.

Настоящее пособие является третьей частью курса классического линейного функционального анализа и по структуре повторяет предыдущие части курса. В пособии рассмотрены общие свойства линейных ограниченных операторов и функционалов, сопряженные пространства.

Во втором издании исправлены неточности и ошибки, встретившиеся в первом издании. Дополнения касаются только задач для самостоятельного решения.

РАЗДЕЛ I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА

ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Определение: пусть X, Y – линейные нормированные пространства.

Отображение A : X Y называется линейным оператором, если выполнены свойства линейности:

Замечание: в определении не предполагается, что область определения оператора A (т.е. множество тех значений x X, которым ставится в соответствие элемент y A( x) Y ) совпадает со всем пространством X.

Точно так же не предполагается, что множество всех значений y A( x) Y оператора A совпадает со всем пространством Y. Область определения оператора A будем обозначать D ( A), а множество значений Замечание: если A : n n, то любой линейный оператор представляется в виде умножения на матрицу и поэтому, по аналогии с умножением матриц, скобки у аргумента линейного оператора принято не писать, т.е., если это не вызывает недоразумений, то будем вместо A( x) писать Ax.

Замечание: для любого линейного оператора A0 A(x x) Ax Ax 0.

Замечание: по аналогии с математическим анализом, определение Замечание: оператор A называется непрерывным на множестве D ( A), если он непрерывен в каждой точке D ( A).

Определение: множество тех x D( A), для которых Ax 0 называется ядром линейного оператора A и обозначается ker A.

Определение: пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A : X Y – линейный оператор. A называется ограниченным, если Замечание: если A – ограниченный оператор, то он любое ограниченное множество x X переводит в ограниченное множество Ax Y (см. задачу 3).

Замечание: если A – ограниченный оператор, то M 0 : x X имеет точную верхнюю грань.

Определение: пусть A : X Y – линейный ограниченный оператор.

Замечание: таким образом, норма оператора – это наименьшее из чисел M 0, для которых Ax Y M x x X.

верно уже и при x 0.

Замечание: если это не будет вызывать недоразумений, в дальнейшем индексы у норм будем опускать.

Замечание: из курса математического анализа известно свойство точAx Теорема (эквивалентность ограниченности и непрерывности линейных операторов): пусть A : X Y – линейный оператор, причем D( A) X, тогда следующие условия эквивалентны:

1. A ограничен;

2. A непрерывен на всем пространстве X ;

Доказательство:

следовать, что Ax1 Ax2 M x1 x2 M, т.е. A – равномерно непрерывен, а значит, тем более, непрерывен на всем пространстве X.

2. 3. Очевидно.

Теорема доказана.

1.2. Понятие линейного ограниченного функционала Определение: пусть X – линейное нормированное пространство. Линейным ограниченным функционалом называется линейный ограниченный оператор : X.

Замечание: таким образом, функционал – это частный случай оператора при Y.

Определение: нормой линейного ограниченного функционала назыx) Определение: гиперплоскостью в линейном пространстве X называется совокупность точек этого пространства, удовлетворяющих уравнению ( x) C, где – линейный функционал на X, C const.

Замечание: гиперплоскости ( x) C1 и ( x) C2 считаются параллельными.

Определение: совокупность точек x, в которых ( x) C, называется полупространством, лежащим влево от гиперплоскости ( x) C ; совокупность точек x, в которых ( x) C, называется полупространством, лежащим вправо от гиперплоскости ( x) C.

Определение: гиперплоскость ( x) называется опорной к шару Замечание: это определение оправдано тем, что весь единичный шар x 1 лежит целиком слева от гиперплоскости ( x), но ни для какой из параллельных гиперплоскостей ( x) это свойство уже не выполняется.

Замечание: иногда значение функционала на элементе x обозначают x,.

(проверка линейности, ограниченности, вычисление норм операторов 1. Какие из следующих функционалов являются линейными и непрерывными:

дартна?

f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) и свойство линейности не выполняется.

Тем самым, в данном случае функционал не является линейным.

Проверим его непрерывность, т.е., что если xn, x0 C 0,1 и xn x0, Если покажем, что xn 2 (t ) x0 2 (t ), то по теореме о предельном переходе под знаком интеграла Римана это и будет означать, что Поскольку равномерная сходимость эквивалентна сходимости по Переходя к пределу при n, учитывая, что xn x0 0, по теореме о двух милиционерах, получаем, что xn 2 x0 2 0.

В силу теоремы об эквивалентности непрерывности и ограниченности линейного оператора, для установления его непрерывности достаточно установить его ограниченность.

то функционал f ограничен с константой M sin tdt 1.

в) Проверим линейность: пусть 1, 2, x1 ( k(1) ), x2 ( k(2) ) L, тогда т.е. функционал f – линеен.

Для проверки непрерывности снова достаточно проверить ограниченность.

нечное и положительное число, т.к. обобщенный гармонический ряд с показателем степени, большим единицы, сходится).

Проверим, что такой элемент xn L.

поскольку сумма получилась конечной. Таким образом, xn L.

чит, последовательность xn ограничена.

поскольку ряд является при 1 расходящимся (см. задачу 6).

Таким образом, последовательность f ( xn ) не ограничена.

Итак, функционал f перевел ограниченную последовательность в неограниченную, следовательно, он неограничен.

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Переходя к пределу при n, получаем, что A 2.

Из полученных неравенств следует, что A 2.

норм):

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из полученных неравенств следует, что A.

5. Найти норму функционала A(1, 2, 3,...) 31 4 2, если:

4sup С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из этих двух неравенств заключаем, что A 4.

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из этих двух неравенств заключаем, что A 7.

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из этих двух неравенств заключаем, что A 5.

Ax(t ) x(0) 2 x(1) x(2).

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Ax(t ) e3t 2 x( )d.

Поскольку 0,1 справедлива оценка x( ) sup x( ) x, то С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из этих двух неравенств заключаем, что A f ( x) tx(t )dt.

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

В данном случае для получения неравенства A 1 хотелось бы выt 0, брать нельзя, поскольку она не является непрерывной, т.е. не принадлежит C 1,1.

Выберем в качестве x0 (t ) функцию, “близкую” к нужной, но являющуюся непрерывной, как, например, на рисунке справа. Ясно, что x0 1.

Переходя к пределу при 0, получаем, что A 1 и тогда, окончательно, из двух неравенств следует, что A 1.

Решение: поскольку на отрезке 0, функция t 2 монотонно возрастает, то можно в интеграле сделать замену переменной t 2.

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

Из двух неравенств следует, что A.

Решение:

С другой стороны, для некоторого x0 0 :

данном случае можно руководствоваться: во-первых, как и в предыдущем примере, мы постарались, чтобы пределы интегрирования в числителе и знаменателе совпали. Во-вторых, функция x0 (t ) подобрана с таким расчетом, чтобы интеграл в числителе всегда был равен нужному нам значению. Ясно, что при этом x0 (t ) L1 0,1 для всякого n.

Как уже говорилось, в числителе при подстановке функции x0 (t ) мы получим (рекомендуется проверить это самостоятельно). Интеграл в Из полученных неравенств следует, что A.

II способ: в качестве x0 (t ) возьмем некоторую суммируемую на отрезке 0,1 функцию, удовлетворяющую условиям t 0,1 x0 (t ) 0 и при разований:

Таким образом, A находим, что A.

11. Оценить сверху норму оператора Ax(t ) Решение:

Вычисление последнего интеграла рекомендуется проделать самостоятельно.

Заметим, что эта оценка оказывается избыточной, поскольку численные расчеты показывают, что A не превосходит числа, а достигается значение A, к примеру, на элементе x0 (t ) sin t (см. задачу 11).

12. Найти норму функционала f ( x) x '(0), если f : C (1) 0,1.

Решение: напомним, что пространство C (1) 0,1 – это множество непрерывно дифференцируемых функций с нормой x sup x(t ) sup x '(t ).

С другой стороны, для некоторого элемента x0 (t ) C (1) 0,1 и x0 (t ) 0, получаем, что сплошной линией ( 0 1 – произвольно).

Важным является то, что вершина параболической части графика совпадает с точкой (,1).

Во-вторых, учитываем, что для выполнения условия непрерывной дифференцируемости, производная функции x0 (t ) не должна иметь скачков ни в одной точке отрезка 0,1, т.е. график функции x0 (t ) не должен иметь точек “излома”.

Наконец, если воспользоваться представлением о производной в точке, как об угловом коэффициенте касательной к графику функции в этой точке, то можно заметить, что x0 '(0) sup x0 '(t ).

Найдем уравнение параболической части, зная ее вершину (,1) и нули (0,0) и (2,0).

Подставляя в общее уравнение параболы x(t ) at 2 bt c последовательно эти три точки, и решая полученную систему уравнений, найдем коэффициенты a, b, c 0.

Ясно, что эта функция непрерывна во всех точках отрезка 0,1 и дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, точки t, где производная может иметь скачок.

Наконец, при 0 получаем, что f 1 и, окончательно, f 1.

1. Пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A : X Y – линейный оператор. Доказать, что множество значений R ( A) и ядро оператора ker A x D( A) : Ax 0 являются линейными многообразиями.

2. Пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A : X Y – линейный оператор, причем D( A) X. Доказать, что если A непрерывен, то его ядро ker A замкнуто, а значит, является подпространством.

3. Доказать, что если A – ограниченный оператор, то он любое ограx X 4. Доказать, что если A : X Y – линейный ограниченный оператор, 5. Доказать, что весь единичный шар x 1 лежит целиком слева от гиперплоскости ( x).

6. Доказать, что ряд расходится при 1.

Указание: воспользоваться формулой понижения степени и признаcos 2k делить частичную сумму на sin1.

8. Вычислить норму функционала A : C 1,1, если при фиксироx( ) x( ) 2 x(0) 9. Вычислить норму оператора A(1, 2, 3,...) 0, 1,0,0,..., если 10. Вычислить норму функционала f ( x) cos tx(t )dt x(0) x( ), 11. Проверить, что для оператора из примера 11 A на элементе x0 (t ) sin t. Убедиться на нескольких конкретных примерах, что A.

12. Оценить сверху норму оператора Ax(t ) 13. На пространстве L2 0,1 задан функционал f ( x) sin x(t )dt.

Проверить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.

Указание: для ответа на первый вопрос, используя неравенство Гельдера, установить, для всех ли x(t ) L2 0,1 значение f ( x) существует и конечно.

14. Найти норму функционала f ( x) x(1 cos t )dt в пространстве 15. Найти норму функционала f ( x) sin 2t x(t )dt x(0) x( ) в пространстве C 0,.

16. На пространстве L2 0,1 задан функционал f ( x) cos x(t )dt.

Проверить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.

17. На пространстве C 0, задан функционал f ( x) x(1 e t )dt.

Проверить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.

f ( x) (t 2 1) x(t )dt x(0) x(2). Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.

Проверить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.

f ( x) k x(tk ), где tk 1,1 – фиксированные числа.

24. В пространстве C 0,1 найти норму функционала f ( x) x(t )dt.

27. Проверить ограниченность в C 0,1 функционала f ( x) x t 2 dt.

Если функционал ограничен, то найти его норму.

f ( x) tx(t )dt.

Указание: при получении оценки сверху, проделать интегрирование по f ( x) tx(t )dt.

f ( x) tx(t )dt.

f ( x) x(t )sin tdt.

38. Вычислить норму линейного оператора A : C 0,1 C 0,1, если Ax(t ) sin( (t s )) x( s )ds.

39. Вычислить норму линейного оператора A : C 0,1 C 0,1, если Ax(t ) x( s )ds.

40. Вычислить норму линейного оператора A : C 1,1 C 1,1, если 41. Вычислить норму линейного оператора A : L2 0,1 L2 0,1, если 42. Вычислить норму линейного оператора A : L1 0,1 L1 0,1, если Ax(t ) x 43. Будет ли ограниченным оператор, областью определения которого является линейное многообAx(t ) разие непрерывно дифференцируемых функций.

Указание: рассмотреть последовательность xn (t ) sin nt C 0,1, 44. Найти норму оператора Ax(t ) Указание: при оценке снизу выбрать xn (t ) sin nt.

45. Является ли функционал f ( x) t x(t ) dt линейным и непрерывным в C 0,1 ?

46. Является ли функционал f ( x) x линейным и непрерывным в C 0,1 ?

47. Является ли функционал f ( x) x 2 (t )dt линейным и непрерывным в L2 0,1 ?

50. Найти норму функционала f ( x) x(t ) sgn t dt в пространстве C 0,1.

51. Найти норму функционала f ( x) x(t ) sgn t dt в пространстве L2 0,1.

53. Показать, что оператор A : C 0,1 C 0,1 является линейным и непрерывным и найти его норму, если Ax(t ) t x( )d, 0, 1.

56. Найти норму функционала f ( x) 1 k в пространстве l1, 57. Найти норму функционала f ( x) k, где k – фиксировано в пространстве l2, где x 1, 2,... l2.

58. Найти норму функционала f ( x) k k 1, где k – фиксировано в пространстве l2, где x 1, 2,... l2.

59. Найти норму функционала f ( x) x(0) x(1) x(1) в пространстве C 1,1.

60. Найти норму функционала f ( x) x(t )dt в пространстве L2 0,1.

61. Найти норму функционала f ( x) x(t )cos tdt в пространстве C 0,1.

63. Вычислить норму функционала f : L1 0,1, если он задается в виде f ( x) t 3 x(t )dt.

64. Найти норму оператора A : C 0,1 C (1) 0,1, если он задается формулой Ax(t ) x( )d.

65. Найти норму функционала f : C (1) 0,1, если он задается в Указание: учесть, что x(1) x(0) x '(t )dt. При получении оценки снизу использовать теорему Лагранжа и пример 12. Ответ: f.

66. Оценить сверху норму оператора 67. Вычислить норму диагонального оператора A : l2 l2, если A : x1, x2,..., xk,... 1, 2 ,..., k,....

68. Найти норму функционала f ( x) x '(0), если f : C (1) 1,1.

f ( x) tx(t )dt.

70. Установить ограниченность над пространством C 1,1 функциоx Указание: воспользоваться тем, что линейная комбинация линейных ограниченных функционалов, а также сходящийся по норме ряд, составленный из линейных ограниченных функционалов, представляют собой линейные ограниченные функционалы.

71. Проверить, является ли ограниченным в пространстве C 0, функционал f ( x) lim x(t n )dt.

Ax(t ) торая продолжается на множество t 0 нечетным образом.

1.3. Пространство линейных ограниченных операторов Определение: пусть A, B : X Y – линейные ограниченные операторы, тогда их суммой называется оператор A B : X Y такой, что x X Определение: пусть A : X Y – линейный ограниченный оператор, – действительное или комплексное число, тогда произведением оператора A на число называется оператор A : X Y такой, что x X Теорема (свойства нормы оператора): число A действительно определяет обычную норму, т.е.:

для них аксиомы нормы выполняются.

3. Очевидно, поскольку выйдет из числителя дроби и за знак sup.

4. Очевидно, т.к. к числителю применяется неравенство треугольника, верное для нормы в пространстве Y, а точная верхняя грань суммы не превосходит суммы точных верхних граней.

Теорема доказана.

Замечание: поскольку линейный оператор ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен, а сумма и произведение на число непрерывных функций всегда непрерывны, то сумма и произведение на число ограниченных операторов будут ограниченными операторами. Таким образом, множество линейных ограниченных операторов является линейным пространством. Поскольку норма в нем определена корректно, то оно является еще и нормированным. Обычно пространство линейных ограниченных операторов обозначается L( X, Y ) или L( X Y ).

Теорема (о полноте пространства линейных ограниченных операторов): пусть X, Y – линейные нормированные пространства, тогда если пространство Y полно, то пространство L( X, Y ) также полно.

Доказательство: надо доказать, что L( X, Y ) полно, т.е. что любая фундаментальная последовательность элементов этого пространства имеет предел.

Пусть An L( X, Y ) – фундаментальная последовательность операторов, т.е. 0 N : n, m N An Am.

Возьмем x X и рассмотрим последовательность An x Y. Покажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве Y. Для этого перепишем исходное определение фундаментальности в виде разом последовательность An x фундаментальна в Y при рассматриваемом x. По условию пространство Y полно, значит эта последовательность имеет предел в пространстве Y. Обозначим его Ax lim An x, Ax Y. Осn талось проверить, что A является линейным ограниченным оператором и что An A.

1. Линейность:

С множителем проверка аналогичная.

2. Ограниченность: пусть n, m N, тогда Фиксируя m получим в скобках константу c 0, т.е. An x c x. Поскольку An x Ax, то An x Ax и, переходя в неравенстве к пределу при n, получаем, что Ax c x, т.е. A – ограничен.

Переходя к пределу при m, учитывая, что Am x Ax, получим, Теорема доказана.

Замечание: из теоремы о полноте пространства линейных ограниченных операторов следует, что пространство линейных ограниченных функционалов всегда является полным (даже если пространство X не полно).

Определение: пространство линейных ограниченных функционалов, определенных на пространстве X, называется сопряженным пространству X и обозначается X *.

Определение: пусть A : X Y, B : Y Z, тогда сложная функция B( A( x)) называется произведением операторов и обозначается BA( x).

Теорема (об ограниченности произведения): пусть X, Y, Z – линейные нормированные пространства, A : X Y, B : Y Z – линейные ограниченные операторы, тогда их произведение BA : X Z также является Доказательство: линейность очевидна.

Из этого неравенства, в частности, следует и ограниченность произведения.

Теорема доказана.

Определение: последовательность операторов An L( X, Y ) называется равномерно сходящейся к оператору A L( X, Y ), если An A при n. Обозначение: An A при n.

Замечание: такую сходимость называют еще сходимостью по норме в пространстве L( X, Y ).

Определение: последовательность операторов An L( X, Y ) называется поточечно сходящейся к оператору A L( X, Y ), если x X Замечание: поточечную сходимость еще называют сильной сходимостью.

Теорема (о связи равномерной и поточечной сходимостей): пусть X, Y – линейные нормированные пространства, – линейные ограниченные операторы, тогда из условия An A следует, что Доказательство: предлагается проделать самостоятельно (см. задачу 1).

Замечание: из поточечной сходимости последовательности линейных ограниченных операторов может не следовать ее равномерная сходимость.

Теорема (о сходимости произведения): если An A 0, т.е. An A, и, значит, числовая последовательность A ограничена.

Переходя к пределу при n, по теореме о двух милиционерах, получаем, что An Bn AB 0, откуда An Bn AB.

Теорема доказана.

Теорема (принцип равномерной ограниченности): пусть X, Y – линейные нормированные пространства, причем X – банахово. Пусть задана пусть x X последовательность ограничена в пространстве Y (константой, которая может зависеть от x ), тогда c 0 : An c.

Замечание: теорема остается справедливой, если вместо ограниченности последовательности An x в каждой точке x X потребовать поточечную сходимость последовательности An, либо фундаментальность последовательности An x в каждой точке x.

Доказательство:

1. Докажем, что можно найти хотя бы один шар B и константу c1, что множество на этом шаре ограничено этой константой, т.е. x B От противного: допустим, что это не так, т.е. c1 и B x B n :

Возьмем c1 1 и шар B1. Тогда можно найти точку x1 B1 и число n такие, что An1 x1 1.

Операторы An ограничены, и поэтому непрерывны по теореме об эквивалентности непрерывности и ограниченности линейного оператора. Тогда по теореме об устойчивости строгого неравенства (из математического анализа), неравенство An1 x1 1 сохранится в некоторой окрестности точки x1. Окрестность – это открытый шар. Уменьшив радиус, можно выбрать в Аналогично, неравенство сохранится в некоторой окрестности точки x2 (открытом шаре). Уменьшим его радиус так, чтобы он стал замкнутым, а радиус стал меньше и при этом, чтобы он целиком лежал в B2. Обозначим этот шар B3, тогда B3 B2, R3 и x B3 An2 x 2.

что x B4 An3 x 3. И т.д.

По построению мы получили последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Эти шары лежат в полном пространстве X, значит по теореме о вложенных шарах, они имеют единственную общую точку. Обозначим ее x. Поскольку она принадлежит An3 x 3,..., т.е. последовательность получилась для этой точки x неограниченной, а по условию она ограничена x. Противоречие.

2. Нужно доказать, что An c.

Обозначим через a – центр найденного шара B, а через R – его раxa Тогда x a yR и любая точка y, для которой y 1 будет соответствовать точке x B. В силу п. 1 x B An x c1 для всех n.

Теорема доказана.

Теорема Банаха-Штейнгауза: пусть X – банахово пространство.

Для того чтобы последовательность линейных ограниченных операторов An : X Y поточечно сходилась к линейному ограниченному оператору A : X Y необходимо и достаточно, чтобы:

2. An x Ax для любого x M, где M – множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в X.

Доказательство:

Необходимость: пусть An : X Y сходится к A : X Y поточечно, тогда:

1. Следует из принципа равномерной ограниченности (см. замечание к нему).

2. Очевидно.

Достаточность: пусть выполнены п.п.1,2, c sup An, тогда n An c, L( M ) – линейная оболочка множества M. Поскольку An, A – Теорема доказана.

Теорема (о поточечном пределе последовательности операторов):

пусть X – банахово пространство, An : X Y – последовательность линейных ограниченных операторов. Пусть эта последовательность поточечно сходится к некоторой функции A( x), тогда A – также линейный ограниченный оператор.

Доказательство: по условию x X lim An ( x) A( x).

1. Линейность.

2. Ограниченность.

Поскольку x X lim An ( x) A( x), то, в частности, этот предел суn ществует и, значит, x X последовательность An ( x) ограничена. Тем самым выполнены условия принципа равномерной ограниченности, согласно которому c 0 : An c.

Тогда, поскольку любая норма – непрерывная функция, то и, таким образом, A ограничен.

Теорема доказана.

(исследование последовательностей операторов на равномерную и 1. Исследовать последовательность операторов An L(l2, l2 ) на равномерную и поточечную сходимость, если An x 1, 2,..., k,..., где Решение: при n, покоординатно An x (0,0,...) Ox. Проверим, будет ли эта сходимость равномерной.

таким образом, указанная последовательность операторов сходится к нулевому оператору равномерно, а значит и поточечно.

2. Исследовать последовательность операторов An L(l2, l2 ) на равномерную и поточечную сходимость, если An x 1, 2,..., n,0,0..., где где I – тождественный оператор (т.е. Ix x ). Проверим, будет ли эта сходимость равномерной.

значит последовательность не сходится равномерно.

Выясним, сходится ли она поточечно. Берем x l2, тогда следовательность операторов сходится поточечно.

3. Исследовать последовательность операторов An x(t ) t n (1 t ) x(t ), где An L C 0,1, C 0,1, на равномерную и поточечную сходимость.

Решение: поскольку x(t ) C 0,1 An x(t ) 0 Ox(t ), то сходиться последовательность операторов может только к нулевому оператору. Проверим равномерную сходимость:

Найдем sup t n (1 t ). Для этого обозначим f (t ) t n (1 t ) и заметим, что в концах отрезка данная функция принимает нулевые значения, т.е.

наибольшее ее значение достигается в критической точке.

лиционерах, An O 0 и последовательность операторов сходится равномерно, т.е. и поточечно тоже.

4. Исследовать последовательность операторов An x(t ) n x( )d, где An L C 0,1, C 0,1, на равномерную и поточечную сходимость.

Решение: пусть F (t ) – первообразная для x(t ), тогда т.е. данная последовательность может сходиться только к единичному оператору.

т.е. последовательность сходится поточечно.

Проверим равномерную сходимость:

значит равномерно данная последовательность не сходится.

5. Исследовать последовательность операторов An x(t ) t n x(t ), где An L C 0,1, C 0,1, на равномерную и поточечную сходимость.

Решение: ясно, что для произвольной фиксированной функции последовательность функций t n x(t ) сходится поточечно к разрывной функции, не принадлежащей пространству C 0,1. Следовательно, эта функция не может быть пределом в пространстве непрерывных функций, таким образом, последовательность операторов не может поточечно (а значит, и равномерно) сходиться в L C 0,1, C 0,1.

( k ) – сходящийся на всем степенной ряд.

Доказать, что последовательность Sn ( A) k Ak имеет при n предел ( A) L( X, X ). При каком условии на числовую последовательность k выполняется оценка ( A) A ?

Решение: заметим, что A0 I, и, кроме того, по теореме об ограниn ченности произведения n An A. Зададим оператор ( A) формальным соотношением ( A) x k Ak x x X. Необходимо установить корректность этой формулы, т.е., что ряд, стоящий справа, сходится в пространстве X.

Согласно критерию полноты линейного пространства в терминах рядов, в банаховом пространстве всякий абсолютно сходящийся ряд сходитk сходится в X и оператор ( A) x k Ak x действительно задан корректk но.

Поскольку A L( X, X ), то A – линеен и ограничен, откуда очевидным образом устанавливается, что оператор ( A) также линеен.

таким образом, ( A) ограничен. Итак, ( A) L( X, X ).

при условии k 0 k.

(применение принципа равномерной ограниченности и 1. Доказать, что если последовательность ( n ), такова, что Решение: пусть (1, 2,...) l p – произвольный вектор. Зафиксируn ем номер n и рассмотрим в l p функционал f n ( ) k k, который, очевидно, является линейным.

Поскольку, в силу неравенства Гельдера то функционал f n ограничен в l p. Таким образом, f n k.

С другой стороны, найдется элемент 0 такой, что Далее, поскольку по условию l1, то для любой точки и для любого n :

т.е. последовательность f n ( ) ограничена в каждой точке.

В силу принципа равномерной ограниченности заключаем, что послеf раничены сверху. Поскольку этот ряд является рядом с неотрицательными членами, то, в силу критерия Вейерштрасса, он сходится, что и означает, 2. Пусть задан числовой ряд ( pn )1 – некоторая неубывающая последовательность положительных чиn Решение: метод суммирования называется регулярным, если ряд, имея в обычном смысле сумму, равную a, имеет обобщенную сумму, также равную a. Другими словами, если Sn a, то и n a.

ны. Поскольку f n ( x) sup k x c, то функционалы f n ограничены.

полнено условие 1 теоремы Банаха-Штейнгауза.

Далее, найдется вектор x0 c, x0 0 такой, что откуда, f n 1.

ен и ограничен.

Рассмотрим векторы ek (0,0,...,0,1,0,...) c. Ясно, что f n (ek ) ловию f n (ek ) 0 при n. С другой стороны, очевидно, что f (ek ) 0, Из задачи 19 следует, что любой элемент x c является пределом линейных комбинаций элементов x0, e1, e2,..., т.е. указанные линейные комбинации являются всюду плотным множеством в пространстве c. Поскольку k f n (ek ) f (ek ) и f n ( x0 ) f ( x0 ), то выполнено условие 2 теоремы таточно для того, чтобы x c f n ( x) f ( x).

метод суммирования является регулярным.

довательность ( n )1, для которой выполнены условия:

Решение: в пространстве c0 последовательностей, сходящихся к нуn лю, рассмотрим функционалы f n ( x) ak k, x (1, 2,...) c0, n.

Очевидно, функционалы линейны.

чены и при этом f n ak. С другой стороны, возьмем при каждом фикk сированном n элемент x0 (1,1,...,1,0,0,...), тогда получим, что откуда f n ak.

в силу принципа фиксации особенности (см. задачу 2) делаем вывод, что существует элемент x (1, 2,..., n,...) c0 такой, что последовательность f n x ak k не является ограниченной, а значит и сходящейся, т.е. ряд a расходится. Кроме того, поскольку x (1, 2,..., n,...) c0, то 1. Показать, что из равномерной сходимости последовательности линейных ограниченных операторов следует ее поточечная сходимость.

2. Используя принцип равномерной ограниченности, доказать, что Ax(t ) x( )d и Bx(t ) tx(t ). Показать, что AB A B.

Ax(t ) x( )d и Bx(t ) tx(t ) линейны и непрерывны, но не являются перестановочными, т.е. AB BA.

5. Исследовать последовательность операторов An x(t ) x t n, где An L C 0,1, C 0,1, на равномерную и поточечную сходимость.

6. Исследовать последовательность операторов An L(l2, l2 ) на равномерную и поточечную сходимость, если An x 0,0,...,0, n, n1,..., где 7. Исследовать последовательность операторов An L(l2, l2 ) на равAn x n1, n2,..., где номерную и поточечную сходимость, если и поточечную сходимость.

Указание: воспользоваться теоремой о предельном переходе под знаком интеграла Римана.

9. Исследовать последовательность операторов An x(t ) t n n x( )d, где An L L2 0,1, L2 0,1, на равномерную и поточечную сходимость.

Указание: воспользоваться теоремой Лебега об ограниченной сходимости.

Ax(t ) e s x( s )ds и последовательность операторов такую, что An x(t ) x( s )ds. Сходится ли последовательность An к оператору A и если сходится, то каков характер сходимости?

Указание: воспользоваться теоремой о предельном переходе под знаком интеграла Римана.

11. Пусть ( pn )1 – фиксированная последовательность функций из пространства C a, b. Для каждого n определим оператор An соотношением An x(t ) pn (t ) x(t ), где x(t ) C a, b. При каких условиях на функции pn последовательность операторов An сходится равномерно? Поточечно?

12. Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора 13. Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора 14. Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора Указание: воспользоваться принципом равномерной ограниченности.

16. Пусть E – пространство непрерывно дифференцируемых на 0, функций с нормой x sup x(t ). Показать, что последовательность xn (t ) n 1 (2t ) n E фундаментальна в E, но не сходится в пространстве Указание: показать, что указанная последовательность сходится в C 0,1, т.е. является в C 0,1 фундаментальной, а, следовательно, является фундаментальной и в E, поскольку нормы в C 0,1 и в E совпадают, однако, не сходится в E.

17. Рассмотрим операторы An : E C 0,1, n 1, пространство E определено в предыдущей задаче, задаваемые формулой а) Последовательность An сходится поточечно и найти ее предел;

Как согласуются эти утверждения с принципом равномерной ограниченности?

Указания:

оператору Ax(t ) x '(t ) ;

б) Рассмотреть последовательность xn (t ) t n.

Воспользоваться задачей 16.

ek (0,0,...,0,1,0,...). Возьмем любой вектор x ( k ) c и обозначим 20. Пусть задан числовой ряд nk n,k 1 некоторая бесконечная матрица. Доказать теорему ТеплицаСильвермена: для того, чтобы матрица nk n,k 1 определяла регулярный метод суммирования (т.е. существовал предел последовательности n nk Sk ), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следуюk щие условия:

нейность и ограниченность, найти f n, рассмотреть последовательности x0 (1,1,1,...) c и ek (0,0,...,0,1,0,...) c k. Затем найти f n ( x0 ), f n ( xk ), f ( x0 ), f ( xk ) и использовать теорему Банаха-Штейнгауза.

казать, что утверждение x C a, b f n ( x) x(t )dt справедливо тогда и только тогда, когда:

Указание: воспользоваться аппроксимационной теоремой Вейерштрасса.

23. Доказать, что последовательность операторов умножения на функnt Осталось найти функцию xn ( ) C 0,1, для которой справедливо неравенство противоположного знака.

В качестве xn ( ) возьмем непрерывную функцию, такую, что что xn ( ) z ( ) всюду, за исключением точек некоторого множества En.

т.е.

Из получившихся неравенств заключаем, что A sup k (t, ) d.

Для установления ограниченности оператора осталось, таким образом и f (t ) непрерывна при t a, b. Исследуем ее на максимум оператора A совпадает со всем пространством l2 ? При каком условии на последовательность n оператор A ограничен и какова при этом его норма?

Решение: поскольку A : l2 l2, то, чтобы D( A) l2, необходимо, чтобы x l2 Ax l2, т.е., чтобы Ax k k.

Возможны два случая:

а) Последовательность n ограничена, т.е. c 0 : sup n c, Таким образом, в этом случае, D( A) l2, кроме того, оператор A огAx раничен и сразу получаем, что A sup Установим неравенство противоположного знака, для чего найдем элемент x0 l2, x0 0 такой, что:

Таким образом, n A n, следовательно, A sup n.

Итак, в этом случае A sup n б) Последовательность n неограничена, т.е. sup n.

В этом случае D ( A) состоит из тех векторов x l2, для которых Чтобы это доказать, возьмем элемент x 1, 1, 1,..., 1,..., где ский ряд с показателем степени 2 2 1.

щенного гармонического ряда 2 1.

В этом случае оператор неограничен, поскольку n откуда A sup n.

4.* Пусть X – банахово пространство, L, M – его подпространства, причем X L M. Доказать, что операторы P : X L и P2 : X M, определяемые равенствами P x x1 и P2 x x2 (где x x1 x2, x X, x1 L, x2 M ), являются линейными ограниченными операторами со свойствами: Pi 2 Pi ( i 1,2 ), P P2 I ( I – тождественный оператор, т.е. Ix x x X ), PP2 P2 P O. Такие операторы называются операторами проектирования.

Решение: линейность операторов очевидна.

Пусть x – норма в пространстве X, относительно которой это пространство является банаховым. Введем на X новую норму x 1 x1 x2.

норма x подчинена норме x 1.

Покажем, что пространство X банахово относительно нормы x 1.

Рассмотрим последовательность x ( n ) x1( n ) x2( n ), фундаментальную по норме x. Тогда последовательности x1( n ) и x2 ( n ) тем более фундаментальны по норме x. Поскольку X – банахово относительно нормы L, M – замкнуты, то x1 L и x2 M. Таким образом, x ( n ) x1 x2 x X как по норме x, так и по норме x 1. Значит, X – банахово по норме x 1.

По теореме об эквивалентных нормах заключаем, что c 0 :

– ограничены.

0 M, то P x1 x1. Аналогично, x X i 1,2.

x2 M, то P x2 0 Ox, откуда PP2 O и, аналогично, P2 P O.

5. Банахово пространство C 1,1 разложить в прямую сумму двух подпространств L, M так, чтобы Pi 1, где i 1,2, а операторы проектирования определены в предыдущей задаче.

Решение: пусть L – множество всех четных функций, непрерывных на отрезке 1,1, M – множество всех нечетных функций, непрерывных на отрезке 1,1. Очевидно, что L и M – линейные многообразия в C 1,1.

C 1,1, т.е., равномерно. Поскольку xn (t ) xn (t ), то, переходя к пределу при n, получаем, что x(t ) x(t ), т.е. x(t ) L, и, значит, L – замкнуто. Таким образом, L – подпространство в C 1,1.

Аналогично доказывается, что M – подпространство в C 1,1.

Поскольку x(t ) C 1,1 можно однозначно представить в виде Рассмотрим операторы Px(t ) 6. Пусть X – банахово пространство, A L( X, X ). Доказать, что ряд A сходится в L( X, X ) тогда и только тогда, когда для некоторого наk турального k выполняется неравенство Ak 1.

Решение: необходимость предлагается доказать самостоятельно (см.

задачу 20).

сходится в L( X, X ). Поскольку X – банахово, то L( X, X ) – тоже банахово, поэтому, в силу критерия полноты линейного пространства в терминах сходится ряд конечно убывающая геометрическая прогрессия, получаем, что ряд сходится. Поэтому далее считаем, что k 2.

Предположим противное, т.е., что ряд словой ряд – геометрическая прогрессия, то A 1 (иначе это была бы бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, и ряд бы сходился).

Итак, A L( X, X ) такого, что Ak 1 для некоторого k 2 получили, что A 1. Покажем, что найдется оператор A L( X, X ), для которого это неверно ни при каком k.

A L C 0,, C 0, (см. задачу 21). Кроме того, Ak x(t ) t k x(t ).

данного оператора не выполняется. Тем самым предположение неверно, и ряд 7.* Доказать, что пространство L( X, X ), где X L2 0,1 не сепарабельно.

Решение: рассмотрим оператор A : L2 0,1 L2 0,1, определяемый соотношением A x(t ) (0,1) оператор A линеен.

(0,1) оператор A ограничен. Таким образом, A L L2 0,1, L2 0,1.

Заметим, что множество M A, (0,1) L L2 0,1, L2 0,1 – несчетно, поскольку оно эквивалентно несчетному множеству точек интервала (0,1) (т.е. между M и (0,1) установлено взаимно однозначное соответствие).

Возьмем точки 1, 2 (0,1) такие, что 1 2. Тогда Найдем норму оператора A2 A1 :

С другой стороны, для некоторого элемента x0 (t ) L2 0,1 :

Поскольку множество M – несчетно, то множество таких шаров также несчетно. Кроме того, эти шары не пересекаются, поскольку расстояние между их центрами равно единице.

По определению пространство является сепарабельным, если в нем есть счетное всюду плотное множество. Допустим, что в пространстве L L2 0,1, L2 0,1 есть всюду плотное множество E. Тогда по определению всюду плотности, в любом шаре из L L2 0,1, L2 0,1 должна лежать хотя бы одна точка из E. Поскольку мы нашли несчетное множество шаров, лежащих в L L2 0,1, L2 0,1, которые не пересекаются, то множество E не может быть счетным, поскольку оно содержит элементы, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из построенных шаров.

8. Проверить, что формула f ( x) ck x(tk ), где t1,..., tn – некоторая система точек отрезка a, b, а ck, определяет линейный непрерывный в пространстве C a, b функционал и найти его норму.

то функционал f ограничен. Кроме того, f sup x0 (tk ) sgn ck, x0 (t ) – линейна на каждом из отрезков tk, tk 1 и постоянна образом, f ck.

вательностью n, тогда и только тогда переводит сходящиеся ряды в сходится абсолютно, то по теореме о перестановке слагаемых абсолютно сходящегося ряда, его сумма не зависит от порядка слагаемых (указанная теорема известна из курса математического анализа). Тогда:

Будем рассматривать последовательно 1 1, k,... Тогда найдем такие номера N1, N 2,..., N k,... соответственно, таk 2 сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, числа первых членов.

Далее, считая для определенности, что N k k, получаем:

Поскольку все ряды в правой части неравенства сходятся, то сходится Переходим к непосредственному решению поставленной задачи.

(a) k ak, где a (a1, a2,..., ak,...).

условия сходимости ряда lim an 0, поэтому действительно a c0. Линейn ность этих функционалов очевидна. Проверим их ограниченность:

Итак, для каждого n функционалы n ограничены, причем Найдем норму функционалов n, установив неравенство противоположного знака:

чит, выполнено условие 1 теоремы Банаха-Штейнгауза.

Далее, рассмотрим элементы ek (0,0,...,0,1,0,0,...) c0, линейные комбинации которых всюду плотны в c0 (проверяется это аналогично тому, как это было сделано для аналогичных элементов из c ).

n (ek ) (ek ), т.е. выполнено условие 2 теоремы Банаха-Штейнгауза, тоn гда, согласно этой теореме, a c0 n (a ) (a ), т.е.

Поскольку конечное число слагаемых на сходимость ряда не влияет, то утверждение справедливо и для рядов из условия задачи.

1. Пусть X, Y – линейные пространства, A : X Y – линейный оператор, B R( A) – выпуклое множество, M x D( A) : Ax B. Будет ли множество M выпуклым?

Доказать, что оператор A : l2 l2 такой, что Ax y, где x (1, 2,...) l2, y (1, 2,...) l2, j jk k, j является линейным и непрерывным.

3. Пусть X, Y – линейные пространства, A : X Y – линейный оператор и система элементов x1, x2,..., xn D ( A) линейно независима. Верно ли, что система элементов Ax1, Ax2,..., Axn линейно независима.

Указание: предположить, что система Ax1, Ax2,..., Axn линейно зависима.

6. Пусть a (t ) C 0,1 – фиксированная функция и Ax(t ) a (t ) x(t ).

Доказать, что A : L p 0,1 Lp 0,1 при p 1 – линейный непрерывный оператор и найти его норму.

7. Найти норму тождественного оператора, действующего:

Указание: тождественный оператор I : X X задается равенством Ix x, где x X.

8. Для каких 0 оператор Ax(t ) x(t ) линеен и непрерывен в C 0,1 ? Найти его норму.

9. Для каких 0 оператор Ax(t ) x(t ) линеен и непрерывен в L2 0,1 ? Найти его норму.

L2 0,1 ? Найти его норму.

Ax(t ) p (t )q ( ) x( )d, t a, b, является линейным и непрерывным.

Найти норму оператора A.

12. Для каких функций a (t ) оператор Ax(t ) a (t ) x(t ) непрерывен в C 0,1 ? Найти норму оператора A.

Указание: при получении оценки снизу взять x0 (t ) e t.

14. Пусть C 0, – пространство непрерывных на полупрямой 0, функций x(t ), удовлетворяющих условию sup x(t ), с норt 0, Указание: рассмотреть последовательность xn (t ) 15. Найти область определения оператора A из предыдущей задачи.

16. Пусть X – линейное нормированное пространство, A : X X – Указание: рассмотреть оператор A : 2 2, действующий по формуле A(1, 2 ) ( 2,0).

17. Пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A : X Y – линейный оператор, ядро которого является подпространством в X. Следует ли отсюда, что A – ограниченный оператор?

Ax(t ) x '(t ) : L C 0,1, где L множество непрерывно дифференцируемых на 0,1 функций с обычной нормой пространства C 0,1.

18. Проверить выполнение свойств проекционных операторов для операторов, найденных в примере 5.

Ax(t ) x( )d, t 0,1 и действующего в пространстве C 0,1.

20. Пусть X – банахово пространство, A L( X, X ). Доказать, что ессходится в L( X, X ) то 0 найдется k такое, что выk ли ряд полняется неравенство Ak.

21. Доказать, что оператор Ax(t ) tx(t ), A : C 0, C 0, линеен и ограничен. Найти Ak x(t ), A, Ak.

24. Проверить линейность, непрерывность и найти норму функционаk k Указание: представить функционал в виде положительная постоянная), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Доказать это утверждение. Показать, что условие а) следует из условия б).

(a) ak bk. Обосновать, что действительно a c0, перейдя в неравенk 26. Доказать, что для того, чтобы последовательность сходилась к элементу Ax(t ) x(t ) в пространстве L L1 a, b, L1 a, b поточечно, какова бы ни была суммируемая функция x(t ), необходимо и достаточно, чтобы:

ство, всюду плотное в L1 a, b ;

Указание: при оценке сверху нормы оператора An поменять порядок интегрирования. Учесть, что функции kn (t, ) должны быть интегрируемы, а значит, ограничены по всем переменным.

27. Используя результат задачи 11, вычислить норму оператора 1.6. Образы шаров при действии линейных Теорема (о плотном образе шара): пусть X, Y – банаховы пространства, A : X Y – линейный ограниченный сюръективный оператор. Тогда образ любого шара с центром в начале координат является всюду плотным множеством хотя бы в одном шаре с центром в начале координат.

Доказательство:

1. Покажем, что образ хотя бы одного шара с центром в начале координат является всюду плотным множеством хотя бы в одном шаре.

От противного: допустим, что для любого шара с центром в начале координат его образ не всюду плотен ни в одном шаре.

Обозначим через z этот образ, который не плотен ни в одном шаре, т.е., если возьмем любой шар, то z в нем не будет всюду плотным множеством. Значит, в этом шаре можно найти окрестность, в которой нет точек из z, т.е. z является нигде не плотным множеством. Итак, показали, что образ любого шара является нигде не плотным множеством в любом шаре.

Рассмотрим B1 – шар с центром в начале координат радиуса 1, B2 – шар с центром в начале координат радиуса 2,... Ясно, что X.

Поскольку A сюръективен, т.е. X отображает на все Y, то объединение образов этих шаров даст все пространство Y. Образы этих шаров – нигде не плотные множества ни в одном шаре. Таким образом, пространство Y оказалось представлено в виде счетного объединения нигде не плотных множеств, а поскольку по условию Y – полное, то по теореме Бэра его нельзя представить в таком виде. Противоречие.

2. Покажем, что образ хотя бы одного шара с центром в начале координат является всюду плотным множеством в некотором шаре с центром в начале координат.

Пусть B1 и B2 – те шары, существование которых доказано в п.1. Образ шара B1 всюду плотен в шаре B2, но B2 может не иметь центра в начале координат. Надо найти шары B3 и B4 с центрами в начале координат так, чтобы образ шара B3 был всюду плотен в B4 (см. рис.).

Рассмотрим произвольную точку y0 B2. Через x0 B1 обозначим точку, образом которой является y0, т.е. Ax0 y0.

Сдвинем шар B1 на вектор x0, тогда точка x0 перейдет в начало координат. Соответственно, шар B2 сдвинется на вектор Ax0 y0 и y0 перейдет в начало координат.

Обозначим эти сдвинутые шары соответственно B1 и B 2. Ясно, что при сдвиге всюду плотность не изменилась, значит, по-прежнему образ B является всюду плотным множеством в B 2 (см. рис.).

Через B4 обозначим шар, лежащий в шаре B 2, но уже с центром в начале координат. Раз образ шара B1 был плотен в B 2, то в меньшем множестве он тем более всюду плотен. Итак, образ шара B1 всюду плотен в B4.

Через B3 обозначим шар с центром в начале координат, который содержит шар B1. Раз мы шар увеличили, то его образ тем более увеличился, поэтому тем более является всюду плотным в шаре B4.

3. Пусть B – любой шар с центром в начале координат в пространстве X. Надо доказать, что его образ всюду плотен в некотором шаре с центром в начале координат.

В силу п.2 найдены шары B3 X и B4 Y с центрами в начале координат, такие, что образ шара B3 всюду плотен в шаре B4.

Сделаем сжатие шара B3 таким образом, чтобы он попал внутрь шара B. Ясно, что его образ сожмется в такое же число раз, и сжатый в это же количество раз шар B4 обозначим за B. Тогда образ сжатого шара B3 всюду плотен в B, а поскольку сжатый шар B3 содержится в шаре B, то образ шара B тем более будет всюду плотен в B.

Теорема доказана.

Теорема (об образе единичного шара): пусть X, Y – банаховы пространства, A : X Y – линейный ограниченный сюръективный оператор.

Тогда образ единичного шара содержит хотя бы один шар.

Доказательство: рассмотрим в пространстве X шар B1 радиуса, шар B2 радиуса, шар B3 радиуса,..., шар Bn радиуса n,... – все с центрами в начале координат.

В силу предыдущей теоремы образ каждого из этих шаров всюду плотен хотя бы в одном шаре с центром в начале координат. Обозначим их радиусы 1, 2, 3,..., т.е. образ шара B1 всюду плотен в B1, образ шара B всюду плотен в B2,... Ясно, что если радиус какого-либо из полученных шаров уменьшить, то всюду плотность в меньшем множестве сохранится, поэтому можно считать, что радиусы n стремятся к нулю.

Покажем, что образ единичного шара будет содержать B1, т.е., что B1 – и есть нужный нам шар. Возьмем y B1 и надо доказать, что x :

Поскольку y B1, а образ B1 всюду плотен в B1, то 0 x1 B1 :

y Ax1. В частности, беря 2, получим, что y Ax1 2, тогда вектор y Ax1 B2.

Образ B2 всюду плотен в B2, значит, аналогично, x2 B2 :

Аналогично, поскольку образ B3 всюду плотен в B3, получаем, что силу критерия полноты пространства в терминах рядов достаточно покаx по признаку сравнения.

тор x принадлежит единичному шару.

Осталось проверить, что Ax y, т.е., что A xk y, т.е., что Теорема доказана.

РАЗДЕЛ II. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теорема (об общем виде функционалов на пространстве l1 ):

Замечание: таким образом, пространство l1* изометрично и изоморфно пространству l.

Доказательство:

1. Пусть ( x) i yi. Надо доказать линейность и ограниченность данного функционала, а также равенство норм.

а) Линейность следует из соотношения б) Ограниченность:

Поскольку l – это пространство ограниченных последовательностей Следовательно, функционал ограничен.

в) Равенство для норм: разделим полученное в предыдущем пункте Установим неравенство противоположного знака для некоторого Возьмем x0 (0,0,..., 1,0,0,...), причем знак 1 будем выбирать совi падающим со знаком yi. Тогда при подстановке такого x0 в обеих суммах останется одно слагаемое с номером i, причем в числителе в этом слагаемом yi умножится на свой знак, т.е. даст yi, а в знаменателе останется 1.

Возьмем ei (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим (ei ) yi. Поскольку функционал линеен и ограничен, то он ограниченное множество векторов ei переводит в ограниченное множество векторов (ei ). Таким образом, множество yi ограничено, поэтому вектор y yi i 1 l.

Рассмотрим далее последовательность xn (1, 2,..., n,0,0,...), тогда xn 1e1 2e2... nen и, значит частичная сумма этого ряда. По определению суммы ряда, к ней стремятся В равенстве ( xn ) i yi перейдем к пределу при n, тогда, поскольку xn x, а Теорема доказана.

Теорема (об общем виде функционалов на пространстве c0 ):

Замечание: таким образом, пространство c0* изометрично и изоморфно пространству l1.

Доказательство:

1. а) Линейность доказывается аналогично предыдущей теореме.

б) Ограниченность: поскольку y l1, то лучаем, что x0 c0. Знаки выберем совпадающими со знаками соответствующих yi, 2. Пусть c0*, т.е. – линейный и ограниченный, а значит, непреx (1, 2,...) c Возьмем ei (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим (ei ) yi. Рассмотрим далее последовательность xn (1, 2,..., n,0,0,...), тогда xn i ei и знаi Таким образом, начиная с некоторого номера, sup n1, n 2,..., откуда Перейдем в равенстве ( xn ) i yi к пределу при n, учитывая, Осталось доказать, что построенный элемент y ( yi )i 1 действительно принадлежит пространству l1.

Рассмотрим вектор x0 sgn y1,sgn y2,...,sgn yn,0,0,... c0 при произвольном фиксированном n.

ства l1 это означает, что y ( yi )i 1 l1.

Теорема доказана.

Теорема (об общем виде функционалов на пространстве l p ):

Замечание: таким образом, пространство l p* изометрично и изоморфно пространству lq.

Доказательство:

1. Снова линейность очевидна, поэтому проверим ограниченность и установим равенство для норм.

значит, ограничен.

условия 1. Тогда получаем, что Возьмем ei (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим (ei ) yi. Пусть далее последовательность xn (1, 2,..., n,0,0,...), тогда xn i ei и значит это остаток данного ряда. По теореме об остатке сходящегося ряда, Принадлежность элемента y ( yi )i 1 пространству lq предлагается установить самостоятельно (задача 12).

Теорема (о частном виде функционалов на пространстве c ):

x (1, 2,...) c и для некоторого y l1.

Доказательство:

1. Линейность очевидна. Проверим ограниченность: x c значит, ограничен.

2. Поскольку c – пространство последовательностей, имеющих предел, то определим функционал следующим образом: ( x) lim i, Линейность очевидна в силу линейности предела.

Таким образом, c*.

Допустим теперь, что можно представить в указанном виде Аналогично, взяв x (0,1,0,...), получим, что y2 0. И т.д.

С другой стороны, возьмем x (1,1,...,1,...), тогда ( x) lim i 1. Поi скольку 0 1, то получили противоречие.

Теорема доказана.

Замечание: таким образом, в пространствах c0*, l1*, l p* сохраняется свойство конечномерных пространств, элементы которых могут быть представлены линейной комбинацией базисных векторов. Линейные комбинации “базисных” векторов в указанных пространствах образуют, таким образом, всюду плотные множества. Для пространства c* это свойство уже не имеет места.

Теорема (об интегральных функционалах на L1 ): пусть E – измеримое множество, g – измеримая функция, f L1, ( f ) f ( x) g ( x)d.

Доказательство:

функционал определен f L1 и ограничен. В силу свойств линейности интеграла Лебега, функционал – линеен. Таким образом, L1*.

Для некоторого f 0 0 получаем, что:

g ( x) M не может почти всюду выполняться, и значит, существует множество A ненулевой меры, на котором g ( x) M. Выберем f 0 так, чтобы вне множества A она была равна нулю, а на множестве A имела тот же знак, что и g.

Теорема доказана.

Теорема (об общем виде функционалов на L1 ): L1* g L :

Доказательство теоремы будет рассмотрено в разделе “Гильбертовы пространства”.

Теорема (о пространстве, сопряженном к L1 ): пространство L1* изометрично и изоморфно пространству L.

Доказательство: g L поставим в соответствие L1* такой, что I ( g ) и ( f ) f ( x) g ( x)d. Отображение I, очевидно, линейно и соE храняет норму по теореме об интегральных функционалах на L1, т.е. изометрично. По теореме об общем виде функционала на L1, I – сюръективно.

Таким образом, I – изоморфизм (линейное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение).

Теорема доказана.

Теорема (об интегральных функционалах на Lp ): пусть p 1, Доказательство: пусть g Lq, тогда таким образом, определен на Lp*, линеен и ограничен, значит, Lp*.

Для некоторого f 0 0 получаем, что:

Доказательство: если p 2, то существование нужного элемента g L2 следует из теоремы Рисса об общем виде функционала (которая будет рассмотрена в разделе “Гильбертовы пространства”), поскольку L2* изоморфно L2.

Пусть 1 p 2 и Lp*. Если проверим, что L2*, то этот случай сведется к случаю p 2 и утверждение будет доказано.

венство Гельдера при g 1, получаем, что:

значит, линеен и ограничен в L2, т.е. L2*.

Случай p 2 примем без доказательства.

Теорема доказана.

1, тогда пространство Lp* изометрично и изоморфно пространству Доказательство: g Lq поставим в соответствие функционал видно, линейно и сохраняет норму по теореме об интегральных функционалах на Lp, т.е. изометрично. По теореме об общем виде функционала на Lp, I – сюръективно.

Таким образом, I – изоморфизм.

Теорема доказана.

Замечание: отметим, что наличие изометричного изоморфизма между двумя пространствами позволяет отождествлять эти пространства друг с другом.

1. Пусть np – линейное пространство n -мерных вещественных векn щий вид линейного непрерывного функционала в np при 1 p и вычислить его норму.

Линейность очевидна. Проверим его ограниченность:

следовательно, ограничен, а значит, непрерывен.

Найдем норму этого функционала. Для этого разделим полученное получим, что sup С другой стороны, найдется x0 0 такой, что:

Осталось показать, что для всякого функционала ( np )* найдется Поскольку x (1,..., n ) np, а вектора ek (0,...,0,1,0,...,0) при k (ek ). Итак, нашли нужный элемент y (1,...,n ) n.

2. Найти общий вид и вычислить норму линейного оператора Решение: покажем, что для любой числовой действительной матрицы где x (1,...,m ) 1.

Перемножая матрицы, получаем, что Линейность оператора A очевидна. Проверим его ограниченность:

Таким образом, оператор A – ограничен.

Разделим полученное неравенство на x 1 и возьмем точную верхнюю грань по всем x 0.

Тогда получим, что sup С другой стороны, найдется элемент x0 0 такой, что:

значит, поскольку k – любое, то, переобозначив k через j, получаем, что A max aij. Таким образом, A max aij.

Осталось показать, что для всякого линейного ограниченного операn,m Поскольку x (1,..., m ) 1, а вектора ek (0,...,0,1,0,...,0) при k 1, m образуют базис в 1, то x 1e1 2e2... mem. Тогда:

вектор-столбец, состоящий из n элементов, всего таких столбцов m штук.

Таким образом, нашли матрицу A(e1 ) состоящую из действительных чисел, которая задает оператор A.

Решение: поскольку f – линейный ограниченный функционал, то В силу определения нормы функционала, для всякого 0 f Решение: по теореме о пространстве, сопряженном к Lp имеем, что По теореме об интегральных функционалах на Lp f L p* 0,1 тогда и только тогда, когда Lq 0,1, т.е., когда сходится интеграл q dt.

Решение: рассмотрим в пространстве c векторы e0 (1,1,1,...) и ek (0,0,...,1,0,0,...) при k 1, 2,3,.... Нетрудно проверить, что всякий векk тор x (1, 2,...) c можно представить в виде x 0e0 lim ( k 0 )ek, где 0 lim k (этот предел существует по определению пространства c ).

Пусть теперь c*, т.е. – линейный ограниченный функционал, Рассмотрим вектор x0 (sgn1,sgn 2,...,sgni,0,0,...) c (здесь i – произвольный фиксированный номер).

Поскольку i – произвольный номер, то при i получаем, что лютно, в силу неравенств Таким образом, показали, что если x (1, 2,...) c найдется элемент ( k )1 l1 такой, что справедливо предk Вторую часть утверждения предлагается доказать самостоятельно (см. задачу 11).

1. В условиях примера 1 найти общий вид линейного непрерывного функционала в np при p 1 и вычислить его норму.

2. В условиях примера 1 найти общий вид линейного непрерывного функционала в np при p и вычислить его норму.

3. В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного оператора A : m n.

4. В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного оператора A : 1 n.

5. В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного оператора A : m 1.

6. Пользуясь теоремой об интегральных функционалах на Lp, посчитать норму функционала из примера 4.

Доказать, что в сопряженном пространстве норма определяется формулой Доказать, что в сопряженном пространстве норма определяется формулой 10. Определим в пространстве C 1,1 линейный непрерывный функционал ( x) x(0). Существует ли такая функция g (t ) C 1,1, что Указание: рассмотреть функцию x(t ) t 2 g (t ). Воспользоваться теоремой о функциях с нулевым интегралом.

11. Доказать, что (k )k1 l1 всякий функционал (x) 00 kk c*, Указание: при получении оценки снизу зафиксировать номер m , взять x0 (sgn1,sgn 2,...,sgn m,sgn0,sgn0,sgn0,...) и перейти к пределу при m.

12. Завершить доказательство теоремы об общем виде функционалов на пространстве l p.

15. Найти норму в пространстве l1 функционала f ( x) sin k.

16. Найти норму функционала f ( x) x(t ) sgn t dt в пространстве L2 0,1.

18. Найти норму функционала f ( x) 1 k в пространстве l1, 19. Найти норму функционала f ( x) x(t )dt в пространстве L2 0,1 .

20. Вычислить норму функционала f : L1 0,1, если он задается в виде f ( x) t 3 x(t )dt.

Указание: использовать задачу 11.

Теорема (о продолжении линейного ограниченного функционала на большее подпространство): пусть X – линейное нормированное пространство, X 0 – его подпространство, 0 : X 0 – линейный ограниченный функционал. Тогда этот функционал может быть продолжен на большее подпространство без увеличения нормы, т.е. X 1 X 0, X 1 X 0, 1 : X 1 – линейный ограниченный функционал, такой, что x X X 1 x0 e : x0 X 0,. Покажем, что каждый элемент X 1 действительно однозначно представим в виде x0 e. Допустим, это не так, т.е.

имеется два представления x01 1e и x0 2 2e одного и того же элемента из X 1. Тогда ясно, что x01 1e x0 2 2e. Если 1 2, то x01 x0 2, т.е.

представление в таком виде единственно. Пусть 1 2, тогда e.

Это равенство невозможно, поскольку x01, x0 2 X 0, а e X 0.

Определим функционал 1 следующим образом: 1 (e) c и x0 X Ясно, что функционал 1 линеен, и на исходном подпространстве X совпадает с 0. Осталось проверить, что его норма не увеличилась, т.е., Для этого достаточно показать, что x X 1, x Итак, нужно найти такое c, чтобы y X 0 выполнялось последнее неравенство. Для этого, в силу аксиомы полноты, достаточно проверить, Теорема доказана.

Определение: пусть X – произвольное множество. Отношение называется отношением линейного порядка, если выполнены условия:

Замечание: ясно, что обычные неравенства этими свойствами обладают.

Определение: пусть X – произвольное множество. Отношение называется отношением частичного порядка, если выполнены условия:

Замечание: приведем пример отношения частичного порядка, не являющегося отношением линейного порядка.

“выше и правее”).

В этом случае неравенство a b В этом случае ни одно из неравенств Таким образом, не для всех точек 2 при таком отношении выполняется свойство быть сравнимыми.

Определение: пусть X – частично упорядоченное множество, E X – его подмножество. Элемент c X называется мажорантой для E, если x E x c. Элемент c X называется минорантой для E, если x E Замечание:

Определение: мажоранта, принадлежащая множеству, называется его наибольшим элементом. Миноранта, принадлежащая множеству, называется его наименьшим элементом.

Замечание: в предыдущем замечании таких элементов нет.

Определение: элемент c называется максимальным элементом множества E, если c E и в множестве E нет элементов, больших c. Элемент c называется минимальным элементом множества E, если c E и в множестве E нет элементов, меньших c.

Замечание: в предыдущих замечаниях максимальные элементы лежат на четверти окружности, отвечающей диапазону углов 0,. Их бесконечно много.

Замечание: таким образом, в частично упорядоченных множествах наибольший элемент и максимальный элемент – необязательно одно и то же.

Определение: пусть X – частично упорядоченное множество, E X – его подмножество. E называется цепью в X, если оно является линейно упорядоченным.

Лемма Цорна: пусть X – частично упорядоченное множество. Если любая цепь из X имеет мажоранту, то в X найдется хотя бы один максимальный элемент.

Доказательство леммы опускается.

Теорема Хана-Банаха (о продолжении линейных ограниченных функционалов): пусть X – линейное нормированное пространство, X 0 – его подпространство, 0 : X 0 – линейный ограниченный функционал.

Тогда этот функционал можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т.е. : X – линейный ограниченный функционал, такой, что x X 0 ( x) 0 ( x) и 0.

Доказательство: обозначим через E – множество всех продолжений функционала 0 без увеличения нормы, т.е. множество пар вида (, L), где L – подпространство, содержащее X 0, а – продолжение функционала Введем на этом множестве отношение частичного порядка, а именно, будем считать, что 1 2, если 2 – продолжение 1. Покажем, что в таком множестве E всякая цепь имеет мажоранту, т.е. выполнено условие леммы Цорна.

Пусть – множество функционалов, являющееся цепью, т.е., для любых двух функционалов один является продолжением другого. Надо найти мажоранту, т.е., функционал, который является продолжением их всех.

В качестве области определения нужного функционала возьмем объединение областей определений всех функционалов и для всех x из этого объединения определим ( x) ( x), где – тот функционал, в область определения которого попал этот x. Поскольку все линейны и ограничены, то тоже линеен и ограничен. Покажем, что 0.

Поскольку все – это продолжения 0 без увеличения нормы, то Таким образом, убедились, что всякая цепь имеет мажоранту, поэтому во всем нашем построенном частично упорядоченном множестве E есть хотя бы один максимальный элемент, т.е. есть функционал, который дальше продолжить уже нельзя. В силу теоремы о продолжении линейного ограниченного функционала на большее подпространство, если функционал определен не на всем пространстве, то его продолжить можно.

Таким образом, найденный функционал определен на всем пространстве. Норма его не увеличилась по сравнению с нормой исходного.

С другой стороны, поскольку функционал является продолжением функционала 0, то ясно, что 0 (sup по большему множеству больше или равен sup по меньшему).

Окончательно получаем, что 0.

Теорема доказана.

Теорема (о вычислении нормы вектора с помощью функционала):

пусть X – линейное нормированное пространство, x X, x 0. Тогда существует линейный ограниченный функционал : X такой, что:

Доказательство: берем вектор x и через X 0 обозначим одномерное пространство, образованное этим вектором, т.е. X 0 x :. ОпредеX Поскольку этот функционал имеет вид c, то он линеен. Сосчитаем По теореме Хана-Банаха 0 можно продолжить на все пространство, т.е. – линейный ограниченный функционал, определенный на всем пространстве, который на векторах вида x совпадает с 0 и норма которого не изменилась, т.е. 1.

Теорема доказана.

Теорема (о вычислении расстояния с помощью функционала):

пусть X – линейное нормированное пространство, L X – линейное многообразие, x0 X, x0 L и пусть x0 находится на расстоянии d 0 от L.

Тогда : X такой, что:

его элемент однозначно представляется в виде u x tx0, где x L, t (см. доказательство теоремы о продолжении линейного ограниченного функционала на большее подпространство). Построим функционал 0 таким образом, что, при u x tx0 0 (u ) t. Ясно, что x L 0 ( x) 0 и Напомним, что под расстоянием от точки x0 до множества L понимается величина d inf x0 x.

По свойству точной нижней грани, известному из математического получим, что lim 0 ( x0 xn ) 0 d.

По теореме Хана-Банаха, функционал 0 можно продолжить на все пространство с сохранением нормы и получить требуемый функционал.

Теорема доказана.

1. Пусть x1,..., xn – линейно независимые элементы линейного нормированного пространства X, c1,..., cn – некоторые действительные числа.

( k 1,2,..., n ).

Решение: покажем, что существуют такие линейные ограниченные функционалы f1,..., f n, определенные всюду на X, что f k ( xm ).

Рассмотрим вектор x1 и обозначим через L1 линейную оболочку векторов x2, x3,..., xn. Покажем, что ( x1, L1 ) inf x1 y 0.

От противного: допустим, что ( x1, L1 ) inf x1 y 0. Это означает, что x1 L1 (иначе, как известно из раздела, посвященного линейным нормированным пространствам, выполнялось бы неравенство ( x1, L1 ) 0 ) и y L1 (возможно, не единственный), такой, что ( x1, L1 ) x1 y 0, отy 2 x2 3 x3... n xn, поэтому x1 2 x2 3 x3... n xn, а это противоречит линейной независимости элементов x1,..., xn. Итак, ( x1, L1 ) 0.

Далее, по теореме о вычислении расстояния с помощью функционала, при k 2,3,..., n (поскольку все xk L1 при k 2,3,..., n ).

Аналогично, возьмем элемент x2 и найдем функционал f 2 X * такой, Рассмотрим функционал f c1 f1 c2 f 2... cn f n, определенный всюду на X. Этот функционал линеен и ограничен, как линейная комбинация линейных и ограниченных функционалов, и при этом:

2. Пусть xn – последовательность элементов линейного нормированного пространства X, cn – последовательность действительных чисел, M – положительное число. Доказать, что для существования функционала f X *, удовлетворяющего условиям f ( xn ) cn ( n ) и f M необходимо и достаточно, чтобы для всякого n и любых действительn n Решение: необходимость предлагается доказать самостоятельно (см.

задачу 4).

Покажем, что значение f 0 ( x) определяется элементом x однозначно.

Для этого предположим, что есть два представления x k xk k ' xk.

3. Пусть X – линейное нормированное пространство, x X. Доказать, что x sup f ( x).

Решение: обозначим c sup f ( x).

По свойству линейного ограниченного функционала x X f X * f ( x) f x. Возьмем в этом неравенстве точную верхнюю грань по С другой стороны, поскольку c sup f ( x), то f X * такого, что По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функционала, f ( x) x. Этот функционал и подставим в неравенство c f ( x), тогда получим, что c x. Окончательно, получаем, что x c.

4. Доказать, что линейное многообразие L всюду плотно в нормированном пространстве X тогда и только тогда, когда всякий линейный функционал f X *, равный нулю на L, обращается в нуль тождественно.

Решение: пусть всякий линейный функционал f X *, равный нулю на L, обращается в нуль тождественно, однако, L не всюду плотно в X, x0 X x0 L. По теореме о вычислении расстояния с помощью функционала f X * : x L f ( x) 0 и f ( x0 ) 1, т.е. f O. Таким образом, f ( x) 0 на L, но в то же время f не равен нулю тождественно. Противоречие.

Обратно: пусть L X. Тогда по определению всюду плотности x X xn L : xn x при n. Возьмем произвольный функционал f ( xn ) f ( x) при n, а раз f ( xn ) 0, то и f ( x) 0. Поскольку x выбирался произвольно, то f O.

5. Пусть X – линейное нормированное пространство. Доказать, что если пространство X * сепарабельно, то и X сепарабельно. Верно ли обратное утверждение?

Решение: пусть X * сепарабельно, т.е., по определению, в нем есть счетное всюду плотное множество M f1, f 2,.... По определению нормы функционала f k sup f k ( x). Из определения точной верхней грани слеx и f k ( xk ) f k k. Такой элемент xk найдем для каждого функционала f k. Поскольку множество f k счетно, то и множество xk – также счетно.

Множество линейных комбинаций элементов xk с рациональными коэффициентами тоже счетно. Обозначим его через L, т.е. L – линейное многообразие. Осталось показать, что L – всюду плотно в X, т.е., что Допустим, что L X. Тогда по теореме о вычислении расстояния с f ( y ) 1. Таким образом, f O.

произвольно, то f 0, откуда f O. Противоречие.

Обратное утверждение неверно, поскольку l1* l, пространство l1 – сепарабельно, а сопряженное к нему пространство l не сепарабельно (см.

раздел “Метрические пространства”).

6. Рассмотрим в пространстве L1 0,1 одномерное подпространство L t : и определим на L функционал f ( x), если x(t ) t.

Найти его продолжение на все пространство без увеличения нормы.

Решение: пусть : L1 0,1 – искомое продолжение функционала ционал будем искать так, чтобы 2.

По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве L1 0,1 L g (t ) L 0,1 : x(t ) 0,1 (x) x(t )g(t)dt.

При этом при x(t ) t получаем, что (x) tg(t )dt f (x), откуда tg(t)dt 1.

Таким образом, (x) 2 x(t)dt. Ясно, что построенный функционал линеен, ограничен и определен на всем пространстве L1 0,1.

Отметим, что один и тот же функционал может допускать несколько различных продолжений без увеличения нормы.

1. Пусть X – линейное нормированное пространство, x, y X, x y.

Доказать, что существует функционал X * такой, что ( x) ( y ).

Указание: воспользоваться теоремой о вычислении нормы вектора с помощью функционала, обозначить z x y.

2. Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве существует линейный ограниченный функционал, не равный тождественно нулю.

3. Пусть X – линейное нормированное пространство, x X. Доказать, что если f X * f ( x) 0, то x 0.

4. Пусть xn – последовательность элементов линейного нормированного пространства X, cn – последовательность действительных чисел, M – положительное число. Доказать, что если существует функционал f X *, удовлетворяющий условиям f ( xn ) cn ( n ) и f M то для всякого n и любых действительных чисел 1, 2,..., n выполняется Указание: учесть, что элемент x k xk X и рассмотреть f ( x).

стве M задан формулой f ( x) 2 k 1. Продолжить функционал f на все пространство l1 с сохранением нормы.

Указание: показать, что продолжение функционала f может быть найдено в виде ( x) k. Использовать теорему об общем виде функk ционалов на пространстве l1.

6. Пусть X – линейное нормированное пространство, x0 X и для любого f X * такого, что f 1 выполняется неравенство f ( x0 ) 1. Доказать, что x0 1.

Указание: предположить, что x0 1 и воспользоваться примером 3.

7. Пусть X – линейное нормированное пространство, A L( X, X ). Доказать, что A sup f ( Ax), где верхняя грань берется по Указание: воспользоваться тем, что A sup Ax и примером 3.

L x L2 0,1 : x(t ) 0 почти всюду на A. Построить линейный непрерывный функционал f на L2 0,1, равный нулю на L, и такой, что Указание: показать, что этот функционал может иметь вид 9. Пусть L x(t ) C 0,1 : x(0) 0. Построить линейный непрерывный функционал на C 0,1, равный нулю на L и принимающий на функции x(t ) t 1 значение 2.

10. Рассмотрим в пространстве C 0,1 одномерное подпространство L t : и определим на L функционал f ( x), если x(t ) t.

Найти его продолжение на все пространство без увеличения нормы.

11. Рассмотрим в пространстве C 0,1 одномерное подпространство x(t ) (1 2t ). Найти два его продолжения на все пространство без увеличения нормы.

12. Пусть X – линейное нормированное пространство. Доказать, что ( k, xk X, n ) тогда и только тогда, когда всякий линейный функn ционал f X, удовлетворяющий условию f k xk 0, удовлетворяет также условию f ( x0 ) 0.

Указание: обозначить L x : x k xk и воспользоваться примеk ром 4.

13. Используя пример 5 показать, что l* l1.

14. В пространстве 2 с элементами x (1, 2 ) на подпространстве L x 2 : 21 2 0 задан линейный функционал f ( x) 1. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы. Доказать, что такое продолжение единственно.

Указание: использовать тот факт, что в 2 общий вид функционала задается равенством ( x) 1 2. Ответ: ( x) 1 2.

15. В пространстве 2 с элементами x (1, 2 ) на подпространстве L x 2 : 21 2 0 задан линейный функционал f ( x) 2. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы. Доказать, что такое продолжение единственно.

16. Рассмотрим в пространстве L2 0,1 одномерное подпространство L t : и определим на L функционал f ( x), если x(t ) t.

Найти его продолжение на все пространство без увеличения нормы.

Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.

Определение: пусть X – линейное пространство, e – какая-то система векторов в этом пространстве. Эта система называется базисом Гамеля, если выполнены условия:

дует, что c1 c2... cn 0 для любого конечного числа векторов из исходной системы;

2. любой вектор x X можно представить в виде конечной линейной Определение: пусть X – линейное пространство. Система его векторов e называется базисом Банаха, если выполнены условия:

Замечание: базис Банаха существует не во всех пространствах.

Теорема (о существовании базиса Гамеля): в любом линейном пространстве существует базис Гамеля.

Доказательство: рассмотрим множество E, элементами которого являются всевозможные системы векторов e, обладающие свойством На множестве E введем отношение частичного порядка следующим образом: e e, если всякий e e тем более принадлежит e.

Покажем, что в так построенном множестве E всякая цепь имеет мажоранту.

Пусть имеется цепь, т.е. такое множество линейно независимых в конечном числе систем, что из любых двух систем одна содержится в другой.

Рассмотрим объединение векторов из всех этих систем. Ясно, что это объединение все эти системы содержит и нужно убедиться, что оно принадлежит множеству E, т.е. само является линейно независимой в конечном числе системой.

Действительно, если мы возьмем n векторов e1,..., en из этого объединения, то каждый из них какой-либо своей системе принадлежит. Поскольку вектора e1,..., en выбираются из цепи, т.е. из набора вложенных друг в друга систем, то все эти вектора принадлежат одной, самой большой из этих систем. Эта самая большая система состоит из линейно независимых в конечном числе векторов, т.к. все системы были такими. Тем самым вектора e1,..., en линейно независимы.

Итак, выполнено условие леммы Цорна, согласно которой в нашем множестве E найдется хотя бы один максимальный элемент, т.е. такая линейно независимая в конечном числе система, больше которой систем уже нет, т.е. при добавлении к ней любого другого вектора она уже перестает быть линейно независимой в конечном числе. Покажем, что она и является нужным нам базисом Гамеля.

Пусть e – максимальная система. Берем любой вектор x и нам его нужно выразить через конечное число векторов из этой системы. Добавим x к этой системе и рассмотрим новую систему x,e. Поскольку e – максимальная линейно независимая в конечном числе система, то новая система уже не является линейно независимой в конечном числе, т.е. из условия 0 x 1e1 2e 2... n e n 0 следует, что не все k равны нулю.

а) Пусть 0 0, тогда 1e1 2e 2... n e n 0, причем не все оставшиеся k равны нулю. Это противоречит линейной независимости в конечном числе системы e. Итак, данный случай невозможен.

мент x представили в виде конечной линейной комбинации элементов системы e. Значит, система e является базисом Гамеля.

Теорема доказана.

Определение: пусть X – линейное нормированное пространство, xn X – последовательность его элементов. Пусть x X. Последовательность xn называется слабо сходящейся к вектору x при n, если для любого линейного ограниченного функционала X * ( xn ) ( x).

Обозначение: xn x.

Теорема (о слабой замкнутости замкнутого шара): пусть X – линейное нормированное пространство, B – замкнутый шар радиуса R с центром в начале координат (т.е. B x X : x R ). Тогда этот шар явсл.

ляется слабо замкнутым множеством, т.е. из условий xn B, xn x следует, что x B.

( xn ) ( x). По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функn по теореме о предельном переходе в нестрогом неравенстве ( x) R, но, поскольку, ( x) x, то x R, что и означает, что x B.

Теорема доказана.

Теорема (о не слабой замкнутости замкнутой единичной сферы):

в пространстве l2 сфера радиуса 1 с центром в начале координат не является слабо замкнутым множеством.

Доказательство: пусть S x l2 : x 1 – сфера. Нужно построить последовательность которая слабо сходится к вектору, не принадлежащему S.

Рассмотрим вектора xi (0,0,...0,1,0,0,...). Ясно, что все они лежат на сфере S. Кроме того, ясно, что нулевой вектор на сфере S не лежит. Посл.

этому если покажем, что xi 0, то теорема будет доказана.

По теореме об общем виде функционала в пространстве l p l2* ности, yk 0. Применяя функционал к векторам xi, получим, что Теорема доказана.

Замечание: таким образом, видим, что последовательность, лежащая на сфере, может слабо сходиться к центру этой сферы.

Замечание: обычная сходимость последовательности по норме пространства называется иногда сильной сходимостью.

Теорема (о связи сильной и слабой сходимостей): пусть X – линейное нормированное пространство, xn X – последовательность его элесл.

ментов. Пусть x X. Тогда из условия xn x следует, что xn x.

Доказательство: пусть xn x, т.е. xn x 0. Возьмем X *, тогда n, по теореме о двух милиционерах, получаем, что ( xn ) ( x) 0, Теорема доказана.

Теорема (о связи сильной и слабой сходимостей в конечномерном пространстве): в конечномерном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой.

Доказательство: в силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что в конечномерном пространстве X из условия xn x следует, что Поскольку X конечномерно, то e1, e2,..., ek X такие, что x X x 1e1 2e2... k ek, где все ei линейно независимы, i – действительные числа.

стве покоординатная сходимость влечет за собой сходимость по норме, то Теорема доказана.

Теорема (о пределе линейных комбинаций): пусть xn x, тогда суkn n ществует последовательность линейных комбинаций вида ck xk, сильно сходящаяся к x.

Доказательство: пусть L – замкнутое линейное многообразие, порожденное элементами x1, x2,..., xn,.... Допустим, что x L, т.е. не является пределом линейных комбинаций из L. По теореме о вычислении расстояния с помощью функционала X * : ( x) 1 и n 1,2,3,... ( xn ) 0.

Отсюда следует, что ( xn ) ( x), т.е. xn x. Противоречие.

Теорема доказана.

Теорема (о слабой непрерывности линейного ограниченного оператора): пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A : X Y Доказательство:

f ( xn ) f ( x), т.е. ( Axn ) ( Ax). Поскольку Y * – произвольный, то Axn Ax.

Теорема доказана.

Замечание: существование функционала f X * нуждается в обосновании. Такое обоснование будет сделано в следующем пункте. Функционал f определяет так называемый сопряженный оператор.

Определение: пусть X – линейное нормированное пространство, функционалу X *, если x X n ( x) ( x). Обозначение: n.

Замечание: таким образом, *-слабая сходимость – есть не что иное, как поточечная сходимость функций.

Теорема (критерий *-слабой сходимости): пусть X – линейное нормированное пространство, n X *. Для того, чтобы последовательность n *-слабо сходилась к функционалу X * необходимо и достаточно, чтобы:

1. последовательность n была ограничена;

2. n ( x) ( x) x M, где M – множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в X.

Доказательство: следует из определения *-слабой сходимости и теоремы Банаха-Штейнгауза.

Теорема доказана.

Теорема (о *-слабой секвенциальной компактности шара в сопряженном пространстве): пусть X – сепарабельное линейное нормированное пространство, B – замкнутый шар с центром в начале координат, лежащий в сопряженном пространстве X *, тогда он является секвенциально *-слабо компактным множеством, т.е. из любой последовательности функционалов n B можно выбрать подпоследовательность nk, которая *-слабо сходится к элементу этого шара.

Доказательство: поскольку X – сепарабельно, то в нем существует счетное всюду плотное множество E x1, x2, x3,....

n ( xk ) n xk xk. Итак, xk E последовательность действительных чисел 1 ( xk ),2 ( xk ),3 ( xk ),... ограничена. Из математического анализа известно, что у любой ограниченной последовательности действительных чисел существует подпоследовательность, имеющая предел (теорема Больцано-Вейерштрасса).

В частности, возьмем x1 E, значит, из нашей последовательности можно выбрать подпоследовательность 11, 21,31,... такую, что последовательность 11 ( x1 ), 21 ( x1 ),31 ( x1 ),... имеет предел.

Возьмем x2 E и применим это же рассуждение к уже полученной последовательности, т.е. уже из полученной последовательности выберем ( x2 ), 2 2 ( x2 ),32 ( x2 ),... имеет предел. Отметим, что, поскольку это подпоследовательность предыдущей последовательности, и подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел, то последовательность 12 ( x1 ), 2 2 ( x1 ),32 ( x1 ),... тоже имеет предел.

Возьмем x3 E и уже из полученной последовательности выберем подпоследовательность 13, 23,33,... такую, что 13 ( x3 ), 23 ( x3 ),33 ( x3 ),...

имеет предел. Поскольку она – подпоследовательность двух предыдущих, то последовательности 13 ( x1 ),23 ( x1 ),33 ( x1 ),... и 13 ( x2 ), 23 ( x2 ),33 ( x2 ),...

также имеют предел. И т.д.

На k -м шаге получим подпоследовательность исходной последовательности (составленную из элементов всех ранее построенных последовательностей), которая сходится на первых k векторах x1, x2,..., xk из множества E. И т.д.

Сконструируем из всех этих последовательностей одну, а именно,, 2 2,33, 4 4,... (диагональная последовательность). Покажем, что эта последовательность сходится xk E.

Действительно, поскольку она является подпоследовательностью первой последовательности 11, 21,31,..., то на элементе x1 она сходится.

Начиная со второго номера, она является подпоследовательностью второй последовательности 12,2 2,32,..., значит, на элементе x2 она тоже сходится. Аналогично, начиная с третьего номера, она является подпоследовательностью третьей последовательности 13, 23,33,..., значит, на x3 она сходится и т.д.

Итак, на любом элементе xk E диагональная последовательность сходится.

Осталось доказать, что она сходится на любом x X, что и будет означать ее *-слабую сходимость, т.е. надо доказать, что числовая последовательность n n ( x) имеет предел. Для этого, в силу критерия Коши, достаточно проверить фундаментальность, т.е., что 0 N : n, m N Поскольку E – всюду плотно в X, то в любой окрестности точки Построенная нами последовательность n n сходится на всех элементах множества E, и, в частности, на xk, значит, на xk она фундаментальна, т.е. n n ( xk ) m m ( xk ), начиная с некоторого номера.

Таким образом, n n ( x) m m ( x). Итак, нашли подпоследовательность n, которая *-слабо сходится. Чтобы предел этой подпоследоваn тельности принадлежал нашему шару B, осталось убедиться, что этот шар является *-слабо замкнутым множеством (см. задачу 13).

Теорема доказана.

Замечание: аналогично рассуждая, можно доказать, что вообще всякое ограниченное множество линейных непрерывных функционалов, определенных в сепарабельном линейном нормированном пространстве, является *-слабо секвенциально компактным.

Определение: пространство, сопряженное к сопряженному пространству, называется вторым сопряженным пространством и обозначается X **.

Определение: естественным вложением пространства X во второе сопряженное называется отображение : X X **, которое каждому элементу x X ставит в соответствие функционал x X ** и действует следующим образом: X * ( ) ( x).

Теорема (о естественном вложении пространства во второе сопряженное):

1. x X x действительно принадлежит X ** ;

4. – инъективно.

Доказательство:

1. x X надо доказать, что x X **, т.е., что линеен и ограничен.

С множителем доказательство аналогичное.

б) Ограниченность : ( ) ( x) x, т.е., ограничен. Разделим полученное неравенство на и возьмем точную верхнюю грань по С множителем – аналогично.

3. Из полученного в п.1 неравенства x x следует ограниченность. Осталось установить неравенство противоположного знака.

По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функционала откуда следует, что x1 x2, т.е. – инъективно.

Замечание: таким образом, всегда справедливо вложение X X **.

Из доказанного следует, что если x X, то можно рассматривать, линейный ограниченный функционал x X. В силу равенства x x X,а также линейности и ограниченности для x будем сохранять то же самое обозначение x, если это не вызывает недоразумений. В этом случае X можно вместо равенства x( ) ( x) писать x( ) ( x).

Теорема (о связи равномерной, слабой и *-слабой сходимостей):

пусть X – линейное нормированное пространство, X * – его сопряженное пространство, n, X *, тогда из n следует, что n, а из n следует, что n.

дует, что n.

Берем x X и обозначим x, где – естественное вложение пространства X во второе сопряженное. Тогда X ** и ( ) ( x). Таn ( x) ( x) Теорема доказана.

Теорема (об ограниченности слабо сходящейся последовательносл.

сти): пусть X – линейное нормированное пространство, xn x, тогда Доказательство:

xn X, как последовательность линейных ограниченных функционалов, определенных на X * (т.е. xn : X ) и элемент x X, как линейный ограниченный функционал на X * (т.е. x : X ). Другими словами, считаем, что xn, x X. Это возможно по теореме о естественном вложении пространства во второе сопряженное (см. замечание после нее).

Тогда по теореме о слабой непрерывности линейного ограниченного оператора xn x, но уже в том смысле, что xn, x – линейные ограниченные функционалы. По предыдущей теореме слабая сходимость влечет за собой *-слабую, т.е. xn x, откуда получаем, что X * xn ( ) x( ).

Кроме того, X * – банахово. По теореме Банаха-Штейнгауза последовательность xn – ограничена.

Теорема доказана.

Теорема (критерий слабой сходимости): пусть X – линейное нормированное пространство, xn X. Для того, чтобы последовательность xn слабо сходилась к элементу x X необходимо и достаточно, чтобы: