ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

БЕЗМЕНОВ В.М.

КОСМИЧЕСКАЯ ФОТОГРАММЕТРИЯ

Лабораторные работы

Часть 1

Казань 2008

Печатается по решению Редакционно-издательского

совета физического факультета КГУ.

УДК 528.72

Методические указания разработаны в соответствии с программой курса «Космическая фотограмметрия».

В методическом указании даны расчетные работы по ряду вопросов, рассматриваемых в курсе космической фотограмметрии. Приводятся теоретические основы аппарата алгебры кватернионов и проективной геометрии, основные зависимости, которых используются при выполнении лабораторных работ.

Рецензент: доцент, к.ф.-м.н Боровских В.С.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Теоретические основы алгебры кватернионов ………………. Введение ………………………………………………………… 1.1. Система обозначений и определения …………………………. 1.2. Умножение кватернионов и матрицы ………………………… 1.3. Представление элементов матрицы вращения через компоненты кватерниона ……………………………………… 1.4. Случайные кватернионы ………………………………………. 1.5. Кватернионы и вращение векторов …………………………… 1.6.Связь параметров кватерниона с угловыми элементами ориентирования аэрокосмического снимка ………………….. 1.7. Прямой способ определения угловых элементов ориентирования аэрокосмического снимка ………………….. Литература …………………………………………………….. 2. Теоретические основы проективной геометрии …………….. Введение ………………………………………………………… 2.1. Группа проективных преобразований ………………………… 2.2. Проективное пространство и проективная плоскость ……...... 2.3 Однородные координаты ………………………………………. 2.4. Двойное отношение ……………………………………………. 2.5. Проективные координаты ……………………………………… 2.6. Определение сферических координат объекта с использованием векторной интерпретации проективных координат. Способ Ю.М. Трунина ……………………………. Литература ……………………………………………………… Лабораторная работа –1.

Прямое определение элементов ориентирования космического снимка ……………………………………………… Лабораторная работа –2.

Определение сферических координат объекта из обработки снимка звездного неба ………………………………… 1.Теоретические основы алгебры кватернионов Введение Необходимость расширения операций трехмерной векторной алгебры до операций умножения и деления привела Гамильтона (1843 г.) к созданию системы кватернионов. Кватернионы были незаслуженно забыты и до 60-х годов ХХ столетия практически не использовались. С середины 60-х годов того же столетия кватернионы начинают применять в аналитической фотограмметрии и других прикладных науках. Среди отечественных учных, уделивших достойное внимание применению кватернионов в фотограмметрии, космической фотограмметрии и геодезии следует отметить М.С. Урмаева, М.И.

Щербакова, Л.И. Араманович.

Выдающийся учный, профессор М.С. Урмаев в свом учебнике по космической фотограмметрии, в частности, отмечает: «В настоящее время кватернионное исчисление является составной частью математического аппарата современной космической фотограмметрии и космической геодезии».

Общепризнанным можно считать эффективность решения задач, связанных с композициями вращений пространства, при помощи кватернионов. Применение кватернионов имеет ряд несомненных преимуществ по сравнению с описанием вращений при помощи эйлеровых углов, поскольку они (кватернионы) дают возможность получить сразу координаты вектора в новой системе координат при повороте пространства на угол вокруг некоторой инвариантной оси Говоря об эффективности использования кватернионов при описании вращений, будет уместным отметить и тот факт, что именно кватернионы интенсивно используются в современной компьютерной графике, в частности, в компьютерных играх.

Существует несколько систем обозначений в записи кватернионов.

Наиболее удачной следует считать систему, используемую Л.И.

Араманович, которой мы и будем придерживаться.

геометрически реализуемое в четырхмерном пространстве.

Число, составленное из действительной единицы 1 и трх мнимых единиц с действительными элементами следующего вида:

где a0, a1, a 2, a3 есть любые реальные числа и i, j, k три мнимые единицы называется кватернионом. В отношении обозначения мнимых единиц следует отметить, что Гамильтон их так же обозначал через i, j, k. Далее, кватернион A будем записывать так Число a 0 называется реальной (или скалярной) частью кватерниона A, Мнимые единицы i, j, k можно идентифицировать с базисными векторами некоторой 3-х мерной референцной системы координат S.

Поэтому, величины a1, a 2, a3 можно рассматривать как координаты обозначений кватернион A запишется в виде Данное обстоятельство весьма важно и будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении отдельных вопросов фотограмметрии.

Отметим, вектор и соответствующий ему кватернион обозначены одной буквой - r. Отличие в том, что у кватерниона отсутствует знак присущий обозначению векторов.

Коэффициенты кватерниона A могут быть не только скалярами, но и функциями. Например, если коэффициенты кватерниона A зависят от параметра t, мы будем иметь Арифметические операции между кватернионами.

кватернионами.

1.Равенство двух кватернионов. Два кватерниона A (a0, a1, a2, a3 ) и (b0, b1, b2, b3 ) равны, если равны их реальные и мнимые части, т.е.

Сумма кватернионов. Суммой кватернионов A и B называется кватернион, элементами которого являются величины al bl, (l 0,1,2,3) :

С учтом представления кватерниона в виде (1.3) сумма двух кватернионов A и B запишется 3. Умножение кватерниона на скаляр. При умножении кватерниона A на скаляр c происходит умножение на это число всех его элементов:

Из этих определений следует, что сложение кватернионов и умножение их на скаляр подчиняются правилам обычной алгебры (эти дистрибутивными):

7. Умножение базисных единиц. В кватернионной алгебре вводятся следующие правила умножения базисных единиц:

Правила умножения мнимых единиц достаточно легко запомнить, пользуясь хорошо известным в физике правилом буравчика. При этом следует предположить, что i, j, k являются ортами правой системы координат. Вращение оси i против часовой стрелки до совмещения с умножение: ij k. Выкручиванию «буравчика» -- совмещение оси j с осью (вращение по часовой стрелке), будет соответствовать умножение: k. Аналогично устанавливаются оставшиеся соответствия.

Рис. 1.1 Умножение мнимых единиц по правилу буравчика Можно, так же, использовать следующее представление (Рис.1.2):

При умножении двух единиц расположенных по стрелке, получается третья единица с плюсом; при движении в обратную сторону (против стрелки) единица бертся с минусом.

8. Умножение двух кватернионов. Умножая два кватерниона коэффициенты которого равны:

соотношениями для мнимых единиц (10). С учтом выражения (3), принятого для записи кватерниона, произведение двух кватернионов A и B можно записать в следующем виде:

произведение векторов a и.

дистрибутивными свойствами. Для любых кватернионов справедливы равенства:

Умножение кватернионов не коммутативно, т.е. AB BA. Очевидно, что перестановка сомножителей допустима, т.е. AB BA, когда один из кватернионов есть скаляр, или когда их векторные части являются коллинеарными векторами (пропорциональны). Тем не менее, для двух произвольных кватернионов имеет место равенство:

Произведение двух кватернионов равно нулю, т.е. AB 0 только тогда, когда один из сомножителей равен нулю: либо A 0, либо B 0.

Правила умножения кватернионов чрезвычайно удачны – благодаря им алгебра кватернионов содержит в себе алгебру действительных и комплексных чисел, а также трхмерную векторную алгебру.

9. Сопряжённый кватернион. Кватернионом, сопряжнным данному кватерниону A, называется кватернион A равный:

Для сопряжнного кватерниона справедливы следующие соотношения:

10. Норма кватерниона. Норма кватерниона A обозначается через и N (A) находится следующим образом:

Норма кватерниона является действительным числом.

Кватернион называется нормированным, если его норма равна единице, т.е. N ( A) A 2 1. Для нормы кватерниона очевидны свойства:

A A AA AA

Очевидно, что тензор единичного кватерниона равен единице.

11. Обратный кватернион. Кватернионом обратным данному выполняется равенство A 1 A 1. Для нормированного кватерниона мы имеем A A. Для мнимого нормированного кватерниона, т.е. для кватерниона ассоциируемого с единичным вектором, имеет место Кватернион, обратный произведению кватернионов, находится следующим образом:

12. Тригонометрическая форма кватерниона. Любой кватернион с действительными элементами A (a0, a1, a2, a3 ) может быть представлен в следующем виде:

Здесь e есть единичный вектор, направленный по вектору a Im A :

Вектор e называется также осью кватерниона.

Величина ( ) называется верзором кватерниона. Заметим, что это – кватернион, норма которого равна единице. Очевидно, что ( 0 )= В выражении (1.20) для кватерниона знак угла определяется выбором направления единичного вектора e. По сути дела, в выражениях для e и Sin, следовало бы поставить знаки, поскольку, пока не установлен однозначный выбор положительного направления счта угла и положительного направления единичного вектора e.

Кватернион (1.20) запишем в следующем виде:

13. Кватернионы со специальными осями. Пусть S есть 3-х мерная, правя, ортогональная система координат с базисными векторами, идентифицируемыми с единицами (мнимыми) кватерниона.

Предположим, что A1 есть нормированный кватернион с базисным вектором i. Тогда в соответствии с (1.20) и (1.23) будем иметь Аналогично, кватернионы A2 и A3 с осями j и k соответственно:

Угол - произвольный параметр.

1.2. Умножение кватернионов и матрицы Интересным представляется представление операции умножения кватернионов в матричной форме. Пусть Пусть так же, вектор V A есть 4-х мерный вектор с координатами равными коэффициентам кватерниона А, т.е. кватерниону ставим в кватернионов А и В даст третий кватернион: С=АВ. Параметры этого кватерниона С вычислятся по формулам (1.11). Тем не менее, этому новому кватерниону можно поставить в соответствие свой 4-х мерный вектор, который можно определить следующим образом:

Матрица G1 ( A) и матрица G2 ( B) в выражении (1.26) соответственно равны:

Для некоторого произвольного кватерниона А матрицы G1 ( A) и G2 ( A) можно представить в виде:

где I 3 -- единичная матрица размером 3х3, Некоторые свойства матрицы K (a ) :

Некоторые свойства матриц G1 и G2 :

Лемма: Для любого кватерниона A 0 имеют место следующие равенства:

Используя матрицы G1 и G2 можно легко заменить уравнения в кватернионах на уравнения в матрицах. В частности, для кватерниона A B C D матричная форма записи будет следующая:

где с (c0, c1, c2, c3 )T -- 4-х мерный вектор, соответствующий кватерниону Для очень важного в дальнейшем случая A B A -- имеющего место при описании вращения, с учет всего выше изложенного будем иметь:

1.3. Представление элементов матрицы вращения через Элементы матрицы вращения П можно выразить через элементы нормированного кватерниона с нормой равной единице.

Данная форма представления матрицы П называется родригесовой формой ортогональной матрицы, а сама матрица П – матрица Родригеса, которую в кватернионной алгебре принято обозначать через где G0 ( A) :

приложениях, связанных с измерениями, «шумами» в теории контроля и т.д.

изменяемыми коэффициентами a0, a1, a2, a3 ; i, j,k – являются мнимыми единицами как и прежде. Кватернион А называется в этом случае случайным кватернионом.

Среднее значение E A (математическое ожидание) случайного кватерниона A есть:

Для случайного кватерниона существует ковариационная матрица, которая определяется следующим образом:

находится:

Так как реальные и комплексные числа можно рассматривать как точки на комплексной плоскости соответственно, алгебраические операции с числами соответствуют геометрическим преобразованиям точек. Например, умножение на комплексное число z, z 1 можно интерпретировать как конечное вращение в комплексной плоскости.

Кватернионы являются расширением комплексных чисел и можно ожидать, что алгебраические операции среди них имеют нетривиальную дополнительную геометрическую интерпретацию.

Существует теорема, которая гласит о следующем: Предположим S есть 3-х мерная правосторонняя ортогональная система координат с базисными векторами идентифицируемыми с i, j, k. Допустим, A и R относящейся к S. Далее, предположим, что A 1 и тригонометрическое представление кватерниона A является следующим:

где a 0 есть единичный вектор, ось вращения кватерниона A. Тогда норма и скалярная часть кватерниона является равной, что и кватерниона R. Коэффициенты мнимой части Im R являются равными координатам вектора r, являющегося результатами конечного вращения вектора r Im R на угол против часовой стрелки вокруг оси a 0.

Простейшим примером, иллюстрирующим данную теорему является Тогда кватернион R равный в матричной форме в соответствии с (1.33), (1.34) будет иметь вид Важным является представление в кватернионной форме привычного для нас геометрического преобразования – переход из одной системы координат в другую. В нашем случае -- преобразование вектора ri из вектор ~ ;

координат S, x, y, z :

Поставим в соотвествие вектору ~i кватернион Вектору ri, заданному в системе координат S, x, y, z поставим в соответствие кватернион ri :

Разворот двух систем координат: S, x, y, z относительно S, ~, ~, ~ ;

В нормированном пространстве элементы а1, а2, а3 кватерниона А фактически представляют собой направляющие косинусы оси вращения.

Вращение осуществляется вокруг этой оси против часовой стрелки на Преобразованию вектора ri в ~ будет соответствовать выражение:

где А* -- сопряжнный кватернион.

Согласно (1.47) в матричном виде для V~ будет иметь место следующее выражение:

где G1 ( A) и G2 ( A ) имеют вид аналогичный (1.27), но применительно к G1 ( A) G2 ( A ) может быть представлено следующим образом:

где G0 ( A) -- матрица Родригеса.

с угловыми элементами внешнего ориентирования Связь параметров кватерниона с системой углов ориентирования -углов Эйлера, используемых в космической фотограмметрии:

ориентирования аэроснимка (,, ):

a2 Sin( )Cos ( )Cos ( ) Cos ( ) Sin( ) Sin( ) ;

Вращение производится против часовой стрелки по каждому из углов, Матрица Родригеса, вычисляемая по параметрам кватерниона (1.51), вычисляются по углам Эйлера при любых значениях углов.

Зная матрицу Родригеса G0 A можно определить значения углов любой системы угловых элементов ориентирования. В частности, вычисления углов ориентирования, с учетом выше изложенного, будут производиться по следующим известным соотношениям:

-- для второй системы элементов ориентирования (,, ):

-- для угловых элементов ориентирования наземного снимка(,, ):

1.7. Прямой способ определения угловых элементов ориентирования аэрокосмического снимка ориентирования снимка состоит в следующем.

Пусть на снимке имеются изображения двух опорных звезд.

Зафиксируем положение снимка относительно инерциальной системы координат (ИСК) jxyz, которое он занимал в момент съемки t i. При этом R10 -- направление на первую звезду 1 в инерциальном пространстве, r -- направление на первую звезду в системе координат снимка.

Повернем систему координат снимка ixyz вокруг оси c10 так, чтобы направления r1 0 / и R10 совпали, т.е. чтобы направления на первую звезду в пространстве изображения и в инерциальном пространстве стали коллинеарны. В результате такого поворота система координат снимка ixyz перейдет в некоторую промежуточную систему координат ix y z, в которой направление на первую опорную звезду совпадает с направление на эту же звезду в ИСК, а направление на вторую звезду не совпадает.

совмещения с инерциальной ixyz.

Осью вращения второго поворота будет вектор направления на первую опорную звезду -- R10 L1 M 1 N1.

(нормированными кватернионами) можно найти кватернион общего поворота как их произведение.

родригесову форму ортогональной матрицы, а затем через е элементы углы ориентирования снимка.

ЛИТЕРАТУРА

фотограмметрии. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1986, № 2, с. 81 - 90.

2. Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия. М.: Недра 3. Арманович Л.И. Применение кватернионов для определения элементов внешнего ориентирования снимков. Изв. вузов.

Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, № 6, с. 110 - 119.

4. Арманович Л.И. Применение кватернионов для определения элементов взаимного ориентирования снимков. Изв. вузов.

Геодезия и аэрофотосъемка, 1990, № 46, с. 99 - 110.

5. Dr. Ljudmila Meister (geb. Armanovitch). Quaternions and their application in fotogrammetry and navigation, 1998.

6. Щербаков М.И. Определение угловых элементов внешнего ориентирования звездного снимка. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъмка, 1978, № 1, с. 117-122.

7. Щербаков М.И. Прямой способ определения кватерниона поворота системы координат снимка. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъмка, 1994, № 4-5, с. 116-128.

8. Dr. Ljudmila Meister (geb. Arаmanovitch). Quaternions and their application in fotogrammetry and navigation, 1998.

преобразования геодезических прямоугольных пространственных координат при произвольных значениях параметров. Изв. вузов.

Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, № 4-5, с. 3 - 14.

использованием алгебры кватернионов. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1999, № 4, с. 46- - 51.

11. Безменов В.М. Кватернионы в фотограмметрии. Уравнение коллинеарности. Геодезистъ, 2002, № 1, с. 12-14.

12. Куштин И.Ф., Бруевич П.Н., Лысков Г.А. Справочник техника фотограмметриста.М.: Недра, 13. Лобанов А.Н. Фотограмметрия. М. : Недра ,1984, 552 c.

2.Теоретические основы проективной геометрии Каждая область геометрии занимается изучением геометрических свойств, инвариантных по отношению к той или иной совокупности преобразований. Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур, которые не разрушаются при проективных преобразованиях операциях проектирования и сечения. Эти свойства являются более общими и более прочными свойствами фигур, чем свойства аффинные и метрические.

К основным инвариантам проективной геометрии относят двойное (сложное) отношение четырех коллинеарных точек, сопутствующее ему двойное отношение четырех прямых пучка прямых и четырех плоскостей пучка плоскостей, а также проективные координаты.

2.1. Группа проективных преобразований В начале Х1Х века Понселе установил точечное преобразование пространства, осуществляемое кратным проектированием, и получившее поэтому название проективного преобразования. Группа проективных преобразований лежит в основе проективной геометрии, включающей корреляции и коллинеации. Корреляции ставят в соответствие точке первого пространства единственную плоскость второго пространства, а коллинеации - точке точку, прямой прямую, плоскости плоскость. Коллинеарное соответствие в пространстве описывается дробно-линейными функциями с общим знаменателем где X i - координаты точки после преобразования;

X i - координаты точки до преобразования;

bij - параметры преобразования (i,j =1,2,3).

коэффициентов отличен от нуля, то уравнения (2.1) однозначно разрешаются относительно X 1, X 2, X 3, именно:

Каждой точке ( X 1, X 2, X 3 ), в которой знаменатель дробей (2.1) не обращается в нуль, отвечает определенная точка ( X 1, X 2, X 3 ) и обратно каждой точке ( X 1, X 2, X 3 ), в которой знаменатель дробей (2.2) не обращается в нуль, соответствует определенная точка ( X 1, X 2, X 3 ).

Коллинеации в пространстве представляют собой 15-ти членную группу проективных преобразований, так как дело идет только об отношениях 16-ти коэффициентов в уравнениях (2.1).

Таким образом, коллинеарное соответствие в пространстве вполне определится, если пяти произвольным точкам первого пространства, из которых никакие четыре не лежат на одной плоскости, задать пять соответствующих точек второго пространства, также не лежащих на одной плоскости.

Добавленные условия находят свое аналитическое обоснование в том, что при вычислении коэффициентов никакие определители четвертого порядка из координат четырех точек не должны обращаться в нуль.

Проективные преобразования всего 3-х мерного пространства, не сводящиеся к аффинным, могут быть рассматриваемы как взаимнооднозначные только в том случае (как это отмечается в следующем разделе), если евклидово пространство обогащено несобственными элементами, т.е. расширено до проективного. Чтобы охватить этот случай, переходят к однородным координатам (четырем в пространстве - x1, x 2, x 3, x 4 ), которые при любых их значениях определяют точку. В однородных координатах проективное преобразование в пространстве выражается уравнениями где есть функция от однородных координат x1, x 2, x 3, x 4 [18,35,41].

Для плоскости, если ограничиться собственными точками, формулы коллинеарного соответствия имеют вид:

где x, y - координаты точки после преобразования;

x, y - координаты точки до преобразования;

aij - параметры преобразования.

Формулы (2.4) проективного преобразования координат точек плоскости получены методами дифференциальной геометрии в начале ХХ века Шефферсом. Задача ставится с целью найти структуру функций которые прямую преобразуют в прямую Решая задачу, Шефферс получает систему дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять функции (2.5) при условии (2.6) и (2.7). Интегрирование этих уравнений приводит их к дробнолинейным выражениям (2.4).

Поделив числитель и знаменатель выражений (2.4) на один из восьмипараметрические. Поэтому, группу проективных преобразований плоскости называют восьмипараметрической (восьмичленной).

преобразования. При этом, четверки точек по три не должны быть коллинеарными, т.е. не лежать на одной прямой. Вместо четырех точек для определения параметров можно включить соответствующее число пар прямых или комбинаций прямых и точек.

зависимости точек с координатами x, y и x, y, когда знаменатель дробей в выражениях (2.4) равен нулю. Помимо этого, даже, если знаменатель не равен нулю, точки прямой a31 x a32 y a33 0 не имеют себе соответствующих образов и поэтому взаимно однозначное соответствие для точек этой прямой нарушается. Этот недостаток абстрактным образом устраняется путем введения несобственных элементов и замены неоднородных декартовых координат точек плоскости однородными координатами.

Геометрические представления о преобразованиях предлагают два поля точек в одной системе координат и при этом одно поле точек преобразуется в другое. Однако бывает целесообразным представлять одно поле точек в двух разных системах координат и говорить о преобразовании точек из одной системы координат в другую. В связи с этим вводят понятие проективной системы координат, состоящей из фиксированных четырех по три неколлинеарных точек.

2.2. Проективное пространство и проективная плоскость непосредственное расширение обычного евклидова пространства.

Дополнение евклидова пространства его несобственными элементами проективных преобразованиях геометрических образов и делает этот процесс взаимно-однозначным.

В подтверждение этому рассмотрим простейший пример. Пусть на некоторой евклидовой плоскости имеется произвольная прямая и точка S, не принадлежащая этой прямой (рис.2.1).

Прямые, проходящие через точку S, составят плоский пучок лучей. Устанавливая соответствие между лучами этого пучка и точками пересекает ее, т.е. не имеет соответствующей себе точки.

Таким образом, соответствие между прямыми пучка с центром в точке S и точками прямой не является взаимно однозначным.

Рис.2.1 Неоднозначность в проектировании.

Для того чтобы проектирование было взаимно однозначным необходимо, чтобы параллельные прямые и d n имели общую точку.

Иначе говоря, множество точек обыкновенной прямой евклидова пространства необходимо дополнить бесконечно удаленной (несобственной) точкой. В результате такого дополнения определится проективная прямая, имеющая единственную несобственную точку, независимо от того, в какой плоскости будет строиться пучок, ее определяющий. Таким образом, расширение евклидовой прямой до проективной приводит к тому, что процесс проектирования становится взаимно однозначным.

Под несобственной точкой прямой, лежащей в данной плоскости подразумевают то общее, что имеют все прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные данной прямой. При проектировании этих прямых на другую плоскость мы получим в ней не совокупность параллельных прямых, а совокупность прямых, проходящих через одну и ту же точку (рис.2.2).

Рис. 2.2 Геометрическая интерпретация несобственной точки.

пространстве, как носитель проективной прямой, превращается в проективную плоскость путем присоединения к плоскости евклидова геометрическим местом несобственных точек этой плоскости.

Можно показать, что геометрическим местом всех несобственных прямых всех плоскостей пространства является плоскость, которую называют несобственной плоскостью всего пространства. Данное пространство имеет одну несобственную плоскость. Существенным является то, что проективная геометрия признает полное равноправие между собственными и несобственными элементами. Поскольку при проектировании несобственные элементы могут переходить в собственные и наоборот, то проективного различия между ними не существует. Для каждой отдельно взятой и в проективном смысле равноправны между собой, и поэтому любую точку этой прямой можно назвать несобственной точкой. Точно так же, рассматривая отдельно какую-нибудь плоскость, каждую прямую, лежащую на ней, можно принять за несобственную прямую, а точки пересечения этой прямой со всеми другими прямыми той же плоскости считать несобственными точками этих прямых. Поскольку на проективной плоскости все элементы равноправны и не выделено несобственной прямой, то вопрос о метрических свойствах фигур, принадлежащих этой плоскости, не имеет проективного содержания. Последние, как известно, связаны с несобственными элементами плоскости.

Задача построения проективного пространства может быть также гильбертовых аксиом - аксиом соединения, аксиом порядка, аксиом конгруэнтности, аксиомы параллельности, аксиомы непрерывности, базой для построения проективного пространства являются лишь аксиомы соединения, порядка и непрерывности.

Рассмотрим возможные модели проективной плоскости.

В обычном трехмерном евклидовом пространстве можно построить геометрическому образу проективной плоскости. Наиболее простой дополненная несобственными точками. Другая модель проективной этой модели несобственная точка прямой изображается на сфере не Поверхность, полностью топологически эквивалентная проективной плоскости является замкнутой, односторонней поверхностью - конус, опирающийся на лист Мебиуса. Такая проективная плоскость может быть построена только в четырехмерном пространстве.

Для нас в дальнейшем будет иметь важную роль модель проективной плоскости, представляющая связку прямых в пространстве (рис.2.3).

Рис.2.3 Модель проективной плоскости. Связка прямых.

пространства, проходящих через одну точку пространства. Если связку пересечь плоскостью, не проходящей через центр связки, то в сечении получится проективная плоскость в обычном смысле. Каждая прямая связки при пересечении с плоскостью даст точку (рис.2.3), а каждая плоскость связки даст прямую (рис.2.4). Прямые линии связки, параллельные секущей плоскости, дадут несобственные точки, а плоскость, параллельная секущей плоскости, даст несобственную прямую. Здесь можно использовать принцип двойственности, согласно которому плоскому полю будет соответствовать совокупность всех прямых и плоскостей, проходящих через одну точку, т.е. связка прямых и плоскостей.

Эту модель проективной плоскости мы будем в дальнейшем использовать при векторной интерпретации инвариантных соотношений проективной геометрии.

Рис.2.4 Модель проективной плоскости. Связка плоскостей.

Под однородными координатами точек проективной плоскости понимается класс ненулевых пропорциональных между собой троек вещественных чисел ( x1, x 2, x 3 ). Ф.Клейн отмечает, что впервые однородные координаты были введены Мебиусом в 1827 г. под названием барицентрических координат. Мебиус фиксировал в подвешенными грузы. Положение четвертой точки он характеризовал как центр тяжести трех фиксированных точек с конкретными значениями грузов - барицентрическими координатами.

Более простую интерпретацию однородных координат. Рассмотрим проективную плоскость как связку прямых (рис.2.5) совместно с пространственной системой координат. Направлению каждой прямой связки можно поставить в соответствие тройку чисел x1, x 2, x 3 или тройку чисел, пропорциональных x1, x 2, x 3. Рассекая связку прямых плоскостью, которая не проходит через вершину связки, получим поле точек. Каждой точке соответствуют пары чисел x, y в плоской системе координат, их называют неоднородными координатами. Тройки чисел определяющие соответствующие направления прямых, называют однородными координатами точек плоскости. Говорят, что однородные координаты не изменяются, если их умножить на отличный от нуля быть разными.

Однородные координаты однозначно определяют положение точки на плоскости и это положение определяется отношением однородных координат x1 : x 2 : x 3. Геометрическая интерпретация однородных координат приведена на рис.2.5. На нем изображена прямая Se связки прямой с плоскостью определит точку e. Проекции отрезка Se на оси координат будут однородными координатами точки e. Им ставится в направлением или однородным вектором точки плоскости.

Рис.2.5 Геометрическая интерпретация однородных координат точки.

Будем считать, что однородному вектору r соответствует тройка координата x 3 =const.

Пусть - проективная плоскость, за модель которой принята соответствующая евклидова плоскость и пусть на плоскости задана декартова система координат. Если точка e является собственной однородными координатами точки e будет тройка чисел ( x1, x 2, x3 ), не равных одновременно нулю и таких, что Если точка расположена на бесконечно удаленной прямой, т.е.

является несобственной точкой плоскости, то у нее отсутствуют несобственной прямой.

Однородными координатами несобственной точки называют тройку чисел ( x1, x 2, x3 ), удовлетворяющих следующим условиям: 1) x3 0 ; 2) из двух чисел x1 и x 2 хотя бы одно отлично от нуля; 3) отношение координат x1 : x2 b a, где b и a коэффициенты уравнения (2.6) Однородным вектором можно описывать положение бесконечно удаленных (несобственных) точек плоскости П. Это объясняется возможностью изменять для каждой точки множитель. Например, все однородные векторы точек плоскости могут быть единичными, т.е.

концами задавать точки сферы с центром в точке S. В этом одно из координаты и заменяя ( x, y ), ( x, y ) отношениями формулы проективных преобразований (1.4) записывают в следующем виде:

в левой части этих уравнений показывает, что дело идет только об отношениях x1 : x2 : x3.

Выражения (2.10) проективных преобразований точек плоскости могут быть записаны в матрично-векторной форме где A - матрица коэффициентов aij ; r и r - однородные векторы.

Однородные координаты удобны не только для описания положения несобственных элементов. Они, что не менее важно, позволяют решать задачи проективной в векторной форме.

Недостатком однородных координат является зависимость их от выбора начала S и системы координат, в которой заданы векторнаправление (точки проективной плоскости) Лишено этого недостатка сопутствующее ему двойное отношение четырех прямых пучка и двойное отношение четырех плоскостей пучка плоскостей.

(рис.1.8); тогда двойным отношением называют отношение отрезков где и (e1e2 e3 e4 ) - обозначение двойного отношения.

Двойное отношение не изменяется при любых проективных преобразованиях; оно является основным метрическим инвариантом проективной геометрии.

Рассмотрим простейший пример. На рис.2.7 изображены четыре прямые d1, d 2, d 3, d 4 одной плоскости, проходящие через одну точку S (центр проекции) и пересекающиеся двумя секущими прямыми 1 и в точках e1, e2, e3, e4 и соответственно в точках e1, e2, e3, e4. Вследствие свойства инвариантности двойного отношения будет иметь место равенство В общем случае отношение (2.13) называют ангармоническим.

гармоническую группу, если их двойное отношение равняется - 1. Это значит, что базисная пара точек e1 и e2 разделена делящей парой точек e3 и e4 так, что простые отношения трех точек из гармонической четверки, равны по величине, но противоположны по знаку, т.е.

Сложное отношение обладает свойством При перестановке точек внутри какой-нибудь отдельной пары имеет место зависимость Рис.2.7 Инвариантность двойного отношения Рис.2.8 Двойное отношение компланарных векторов Двойное отношение может быть представлено скалярной функцией компланарных векторов. Пусть имеется четыре компланарных вектора r1, r2, r3, r4 перспективного ряда и сопутствующие им четыре коллинеарные точки e1, e2, e3, e4 прямолинейного ряда (рис.2.6). Тогда двойное отношение может быть выражено через скалярную функцию векторов ri (i = 1,2,3,4) по формуле:

где r1 r3 - скалярное произведение векторов r1 r3 и r2 r4 ;

r2 r3 - скалярное произведение векторов r1 r4 и r2 r3. Как r1 r видно из (1.13) и (1.14,) двойное отношение четырех коллинеарных точек и сопутствующее ему двойное отношение четырех компланарных системы координат, в которой заданы векторы-направления ri (i = 1,2,3,4) или точки ei (i = 1,2,3,4).

Действительно, правая часть выражения (2.16) не зависит от значения модулей векторов ri (i = 1,2,3,4), так как они содержатся как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Представляя, что векторы r1, r2, r3, r4 концами опираются на точки e1, e2, e3, e4 можно увидеть, что векторные произведения из r1, r2, r3, r будут пропорциональны площадям треугольников с вершиной в точке S.

В связи с этим, двойное отношение, выраженное через скалярную функцию векторов (2.16) можно рассматривать как число, образованное из отношений площадей треугольников, что равносильно отношениям их оснований.

Рассматривая рис.2.9, в плоскости, представим пять точек e0, e1, e2, e3, e4. В соответствие им поставим пять однородных векторов r0, r1, r2, r3, r4. Нормали к плоскостям пучка плоскостей с ребром r1 r4, r1 r0. Каждый из этих векторов определяет ориентацию соответственным прямым e1e2, e1e3, e1e4, e1e0 (рис.2.10).

r1 r2, r1 r3, r1 r4, r1 r0 : векторное произведение между двумя любыми парами из этих векторов определяет направление ребра Se пучка плоскостей Se1e2, Se1e3, Se1e4, Se1e0 (рис.2.10).

Рис.2.9 Двойное отношение. Однородные векторы и Рис.2.10 Двойное отношение. Компланарность четырех векторов Руководствуясь структурой формулы (2.16), составим двойное r1 r0 (рис.2.11).

также равное двойному отношению соответственных прямых.

Выполнив векторные преобразования в правой части выражения (2.17), получим где r1 r2 r4, r1r2 r0, r3 r1r4, r3 r1r0 - смешанные произведения, составленные из однородных векторов r0, r1, r2, r3, r4. Если построить пучки плоскостей с ребрами Se2 и Se3,которым в плоскости будут соответствовать пучки или Отмечается, что при коллинеарности точек e0, e2, e3, e4 двойное отношение не зависит от выбора точки e1 вне прямой e0 e2, а при коллинеарности точек e0, e1, e3, e4 двойное отношение не зависит от коллинеарности точек e0, e1, e2, e 4.

Таковы векторные представления двойного отношения - основного метрического инварианта проективной геометрии.

Метод декартовых координат, применяемый в аналитической геометрии, не может непосредственно применяться к решению задач проективной плоскости и проективного пространства в евклидовом пространстве не определяются.

определяется заданием четырех фиксированных неколлинеарных точек e1, e 2, e3, e 4 (рис.2.12). Точка e1 называется началом двух проходящих через нее прямых e1e2 и e1e3. Одна из этих прямых, допустим прямая e1e2, пусть будет осью X,а другая, т.е. e1e3 - осью Y. Если представить, что проективная плоскость "разрезана" вдоль несобственной прямой e2 e3, то точки e2 и e3 в таком случае принимают за собственные точки, соответственно оси X и оси Y. Точка e4, не принадлежащая ни оси X, ни оси Y, называется единичной. Заметим, что шкала проективных координат зависит от выбора точки e4.

проективной плоскости. Положение точки e0 на проективной плоскости определится проекциями данной точки на соответствующие оси проективной (неоднородной) системы координат. Пусть e0 X - проекция проективной системе координат на оси X имеет некоторую координату X, а точка e0Y на оси Y имеет координату Y. Значения координат, координатами точки e0 на проективной плоскости. Каждая точка, принадлежащая оси X будет иметь координаты ( x,0 ), а каждая точка оси Y - координаты ( 0, y ). Точки e4 X и e4Y, являющиеся проекциями единичной точки e4 на ось X и ось Y, соответственно будут иметь координаты (1,0) и (0,1). Если точка расположена на несобственной прямой, то у нее, как известно, отсутствуют неоднородные проективные координаты. Чтобы исправить это положение, на проективной плоскости вводят систему однородных проективных координат.

Введем на проективной плоскости однородные проективные координаты и заодно установим их связь с двойным отношением. За неоднородные проективные координаты произвольной точки на прямой, с тремя заданными на ней базисными точками, принимают число, равное двойному отношению. Принимая точки e1, e2, e4 X за базисные на оси X, а точки e1, e3, e4Y за базисные на оси Y, выразим проективные координаты X и Y точки e0 двойными отношениями. Согласно правилу составления двойного отношения (2.12), будем иметь (рис.2.12):

Свойство инвариантности двойного отношения (2.13) позволяет записать (рис.2.12) координатами.

Проективные координаты пропорциональны расстояниям от трех неподвижных прямых, Рис.2.12 Система проективных координат умноженным на постоянные множители (рис.2.13). Из подобных треугольников следует, что Сравнив формулы (2.28) и (2.29), получим однородные координаты точки e0 в виде отношений:

Рис.2.13. Проективные координаты. Пропорциональность расстояниям точки от трех координатных прямых и являются отношениями расстояний от точек e0 и e4 до сторон координатного треугольника с вершинами e1, e2, e3.

Обозначим аффинные координаты точек e0, e1, e2, e3, e соответственно через ( x0, y 0 ),( x1, y1 ),( x 2, y 2 ),( x3, y 3 ),( x 4, y 4 ). Тогда, как известно из аналитической геометрии, отношение расстояний точек e0 и определителей третьего порядка интерпретация.

пространственной системой координат ( X,Y, Z ),(рис.2.14). Векторы берут начало в некоторой точке S ( x S, y S, z S ), не лежащей в плоскости ri (i = 1,2,3,4) будут базисными векторами. Тогда для проективных следующие выражения.

В выражениях (2.32) в числителе и знаменателе суть смешанные произведения, составленные из векторов r0, r1, r2, r3, r4. Чтобы знаменатели в (2.32) были отличны от нуля, три вектора, составляющие его, не должны быть компланарными.

Формулы (2.32) интересны тем, что модули первых трех векторов, т.е. r1, r2, r3, сокращаются, так как они содержатся как в числителе, так и инвариантными относительно модулей этих векторов [62].

Смешанные произведения векторов в (2.32) можно записать при проекции и выражения (2.32) приводятся к виду (2.31).

Анализ векторных равенств (2.32) позволяет сделать вывод о том, что проективные координаты не зависят от выбора начала S векторов r0, r1, r2, r3, r4 вне плоскости и выбора системы координат.

Естественным образом будем считать векторы r0, r1, r2, r3, r4 за однородные векторы, которым соответствуют тройки чисел ( x, y, z ), где z = const, например, 1, изображений xi, yi точек дополняют третьей координатой z =1 и тройку чисел считают за векторы (1.34), из которых строятся проективные последовательно векторами r1, r2, r3, r4, получим соответственно четыре координатам соответствуют четыре точки (рис.2.14), из которых три первые - базисные, а четвертая - единичная.

Рис.2.14 Векторная интерпретация проективных координат Сравнение формул (2.32) для проективных координат с формулами двойного отношения четырех плоскостей пучка позволяет установить следующие зависимости:

Такова связь между однородными проективными координатами точки плоскости и двойным (ангармоническим) отношением.

2.6. Определение сферических координат объекта с использованием векторной интерпретации проективных координат.

Способ обработки снимков звездного неба, основанный на векторной интерпретации проективных координат, был предложен Ю.М.

Труниным.

Пусть в инерциальной (квазиинерциальной) системе координат по данным звездного каталога и в результате вычислений получены видимые координаты опорных звезд (рис. 2.15). Число таких опорных звезд для одного снимка (астронегатива) должно быть четыре.

Поскольку проективная система координат задается именно 4 точками.

Составим 4-е единичных вектора, определяющих направления на эти опорные звезды:

Пусть на снимке измерены координаты изображений этих опорных звезд и определяемого объекта. Из них можно составить однородные векторы изображений:

преобразований этих данных достаточно для определения направления R 0 на объект:

или где A1, A2, A3 -- смешанные произведения единичных векторов опорных звезд

ЛИТЕРАТУРА

1. Блажко С.Н. Курс практической астрономии. - М.: Наука, 1979,432 с.

2. Богуславская Е.Я. Фотографическая астрометрия.- М.-Л.: Гостехиздат, 1974, 342 с.

3. Безменов В.М. Алгоритмы уравнительных вычислений при проективных преобразованиях астронегатива //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1991, - N 3, - с.64-73.

4. Безменов В.М. Некоторые результаты исследований алгоритмов уравнительных вычислений при проективных преобразованиях астронегативов //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1991, - N 6, с.

84 - 89.

5. Губанова Е.П. Некоторые результаты исследования проективного метода редукции астронегативов. //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1978, - N 3, - с.47-52.

6. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. - М.-Л.: ОНТИ, 1963, 344 с.

7. Киселев А.А. Теоретические основы фотографической астрометрии. М.:Наука, 1989, 264 с.

8.Клейн Ф. Высшая геометрия. - М.-Л.: ГОНТИ, 1939, 399 с.

9.Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия. - М.: Недра, 1989, 279 с.

Прямое определение элементов ориентирования 1. Общие указания.

В данной лабораторной работе рассматривается способ прямого определения угловых элементов ориентирования космического снимка -геометрический способ. Данный способ основан на использовании аппарата алгебры кватернионов и служит для предварительного определения угловых элементов ориентирования.

2. Исходные данные.

Исходные данные -- координаты изображений x, y и сферические координаты звезд, относящиеся к макетным снимкам с угловыми Номера вариантов определяются согласно Таблице 1. звезды градусы минуты секунды градусы минуты секунды 3. Порядок выполнения работы. Вычислительные формулы.

При рассмотрении порядка выполнения лабораторной работы используется контрольный пример со следующими исходными данными:

Чтобы определить угловые элементы ориентирования снимка, нужно использовать следующий алгоритм.

представим в виде векторного произведения единичных векторов направлений на первую опорную звезду в системе координат снимка r10 ll m1 n1 и в инерциальной системе координат R10 L1 M 1 N1.

Угол поворота пространства определится из скалярного произведения векторов r10 и R10 :

или в координатной форме Направление оси вращения c 0 представим в виде векторного произведения векторов r10 и R10 :

т.е.

Причем 3.2. Первому повороту соответствует кватернион:

нормированный кватернион q1 будет следующим:

3.3. Второму повороту соответствует кватернион:

нормированный кватернион q 2 будет следующим:

Вычислим координаты второй звезды в ИСК.

3.4. Выполним в соответствии с правилами кватернионного умножения первое преобразование:

в результате получим вектор R2 / в промежуточной системе координат.

3.5. Умножив кватернионно этот вектор на кватернион q 2, найдем вектор второй звезды в ИСК.

Сравнивая результат второго умножения с исходными данными, констатируем их совпадение.

3.6. Умножение q 2 q1 по правилу (1.11) определяет значение кватерниона q, осуществляющего ортогональное преобразование:

3.7. Выразим элементы ортогональной матрицы П по формуле (1.35) через параметры кватерниона q – родригесова форма ортогональной матрицы:

3.8. Определим по формулам (8) углы ориентирования снимка (углы 1. Общие указания.

Определение сферических координат объекта выполняется с использованием прямого метода – метода Ю.М. Трунина, основанного на векторной интерпретации проективных координат.

Номера вариантов определяются согласно Таблице 2.1.

При выполнении работы необходимо учесть следующие нелинейные искажающие факторы: радиальную дисторсию, дифференциальную рефракцию аберрацию, собственные движения звезд.

При вычислении поправок за дифференциальную рефракцию, дифференциальную аберрацию и дисторсию в качестве номинальных значений координат главной точки снимка принять значения, приведенные в приложении к Таблице 2.

Поправки за дисторсию децентрации не вычисляются.

2. Исходные данные Основой для выполнения лабораторной работы являются результаты весьма тщательных измерений снимка звездного неба.

Исследуемым объектом является Плутон, изображение которого находится вблизи главной точки снимка. Наблюдательный материал получен на широкоугольном астрографе, имеющем следующие основные характеристики: фокусное расстояние f = 2300 мм, диаметр объектива D = 230 мм, поле зрения 2 6, масштаб M = 90"/мм, коэффициент измерялся дважды: после первого измерения снимок разворачивался на 180. Результаты измерений представлены в Табл. 2.2.

Экваториальные координаты опорных звзд и их собственные движения выбраны соответственно из каталога AGK3R и AGK3RN.

Значения экваториальных координат опорных звзд и их собственные движения приведены в Табл.3.

Расположение опорных звзд и исследуемого объекта (Плутона) показано на Рис.1.

Рис.1. Расположение опорных звезд и определяемого объекта ( Плутон), Измеренные координаты изображений опорных звёзд 1 +01 3018 588.6650 109.9109 408.9007 287. 2 - 02 3937 588.0554 272.8459 410.1135 124. 3 - 00 2921 578.4545 182.0308 419.3831 215. 4 - 00 2923 566.2952 175.7015 431.5079 222. 5 - 01 3020 552.5332 237.9512 445.5040 159. 6 +00 3304 548.1926 144.6182 449.4979 253. 7 - 03 3730 541.7933 296.5492 456.4603 101. 8 - 00 2936 522.6258 181.1656 475.2014 216. 9 - 03 3740 511.8495 289.0167 486.3749 108. 10 +00 3318 495.9718 161.2769 501.7846 236. 11 - 01 3035 482.5553 242.9423 515.4927 155. 12 - 01 3041 472.8403 242.8920 525.2115 155. 13 - 00 2946 471.0242 193.1380 526.8435 204. 14 +01 3052 462.0989 114.0900 535.4748 284. 15 - 00 2948 445.4292 185.6414 552.4131 212. 16 +01 3057 440.9345 113.6798 556.6465 284. 17 +01 3059 438.0628 108.4260 559.4964 289. 18 +01 3972 435.9561 258.5274 562.1528 139. 19 - 01 3047 414.4459 243.0668 583.6075 155. 20 +00 3348 410.7497 155.5384 586.9804 242. Примечания:

Дата наблюдений: 16 мая 1990 г.; UTC = 18 h 43 m - 19 h 13 m.

Координаты места наблюдения: = 38 41,3 ;

Координаты центра фотографирования: ц = 15 10; ц =-1 10.

Координаты центра фотографирования:

измерение 1 - x 0 = 498,4684; y0 = 198,5860;

измерение 2 - x 0 = 499,4225; y0 = 199,3806 мм.

Значения экваториальных координат опорных звёзд на снимке с изображением 3. Порядок выполнения работы. Вычислительные формулы.

3.1. Учет дифференциальной рефракции и аберрации:

Дифференциальная рефракция и дифференциальная аберрация вызывают изменение взаимного расположения звзд в поле изображения. При этом величина смещения зависит от зенитного расстояния и от расположения светил относительно апекса.

Поправки за действие дифференциальной рефракции и аберрации в непосредственно измеренные координаты изображений звзд необходимо получить, используя следующие формулы [10]:

yT - координаты изображения звзды, отнесенные к главной расстояние оптического центра; q - параллактический угол.

3.2. Учет дисторсии:

Поправки за совместное влияние радиальной дисторсии и дисторсии децентрации в координаты изображений определить по формулам Д.Брауна :

где K1, K 2,... - коэффициенты радиальной дисторсии; J 1, J 2,... коэффициенты дисторсии децентрации; xi, yi - координаты изображения до изображения звезды. Величины P1, P2, являются функциями от параметров дисторсии децентрации 3.3. Формирование однородных векторов изображений опорных звезд и определяемого объекта:

3.4. Вычисление проективных координат -- 1, 2, 3 :

Вычисление проективных координат осуществляется с использованием однородных векторов изображений опорных звезд и определяемого объекта.

3.5. Учет собственных движений звезд:

Исправляют координаты опорных звезд за собственное движение:

Здесь и -- соответственно собственное движение звезды по прямому восхождению и склонению. Сферические координаты 0 и 0 -средние экваториальные координаты звезды, заданные на эпоху каталога T0, момент времени t i -- момент фотографирования.

3.6. Вычисление единичных векторов направлений на опорные звезды:

Вычисляют компоненты единичного вектора Rm направления на опорную звезду в средней системе координат эпохи T0, исправленные за собственные движения звезды:

3.7. Вычисление смешанных произведений векторов направлений на 3.8. Вычисление направления на объект по формуле Ю.М. Трунина:

3.9. Вычисление сферических координат объекта: