На правах рукописи

Исламова Анна Фаридовна

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО “Челябинский государственный университет” на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Плеханова Марина Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Максимов Вячеслав Иванович доктор физико-математических наук Чистяков Виктор Филимонович

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 25 апреля 2012 года в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д.006.004.01 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Н. Ю. Лукоянов доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Высокий уровень развития современных технологий свидетельствует о важности использования систем управления различными процессами в промышленности и о необходимости исследования соответствующих задач управления. Поэтому теория оптимального управления является современным и актуальным направлением науки. О многообразии сфер применения теории управления распределенными системами, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами (работы А.Г. Бутковского, К.А. Лурье), с теорией игр и задачами позиционного управления, с обратными задачами динамики управляемых систем (работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина и др.) Большой вклад в развитие теории управления распределенными системами внесли Ж.-Л. Лионс, Ф.П. Васильев, Г. Фатторини и др.

Практическое исследование задач оптимального управления для различных систем многие исследователи зачастую проводят с помощью нахождения численного решения. Однако, для полного исследования необходимо выяснить при каких условиях на параметры задачи существует решение. Данная работа посвящена рассмотрению вопросов разрешимости задач оптимального управления для линейных распределенных систем, не разрешенных относительно производной по времени, а также нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности для таких задач. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или дифференциально-алгебраические системы), так и о распределенных системах.

Задачи управления для дифференциально-алгебраических систем исследуют в своих работах Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Г.А. Курина, Ф.Л. Льюис, Л. Пандолфи. Управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени, исследовалось в работах Г.А. Свиридюка, А.А. Ефремова, М.В. Плехановой, В.Е. Федорова.

Однако никто из перечисленных авторов не рассматривал ранее задачи с одновременным действием распределенного и стартового управления.

Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется актуальной.

Цель работы. Пусть U, X, Y – гильбертовы пространства, операторы L L(X ; Y) (линейный и непрерывный), ker L = {0}, B L(U; Y), оператор M Cl(X ; Y) (линейный, замкнутый плотно определенный в X ). Предполагается, что оператор M сильно (L, p)-секториален1, т. е пара операторов L, M порождает разрешающую аналитическую полугруппу уравнения Lu(t) = M u(t). Поскольку ядро оператора L нетривиально, эта полугруппа является вырожденной и параметр p {0}N является харакСвиридюк, Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 3. С.604-616.

теристикой ее вырожденности (максимальная высота M -присоединенных векторов оператора L, попадающих в ядро единицы полугруппы).

Рассмотрим задачу оптимального управления Lx(t) = M x(t) + y(t) + Bu(t), (1) x(0) = v, (2) (u, v) U, (3) J(x, u, v) = x x 2 r1 (0,T ;X ) + H N1 N u u 2 r2 (0,T ;X ) + v v 2 inf, + H Z (4) 2 где Z – пространство X или подпространство в нем, снабженное другой нормой, непустое выпуклое замкнутое подмножество U пространства U = L2 (0, T ; U) Z – множество допустимых управлений, пара (u, v) U задает управление, N1, N2 0, r1 {0, 1}, r2 {0, 1,..., p + 1}, y H p+1 (0, T ; Y), x H r1 (0, T ; Y), u H r2 (0, T ; Y), v Z – заданные функции.

Множество W троек (x, u, v) Zr U, удовлетворяющих условиям (1) – (3), назовем множеством допустимых троек задачи (1) – (4). Решение задачи (1) – (4) состоит в нахождении троек (, u, v ) W, минимизируюx щих функционал стоимости J:

Рассматриваются задачи с различными функционалами (4): с компромиссными функционалами (N1, N2 > 0, r1 = 1, Z = X ), с жесткими функционалами (не зависящими явно от функции управления, т. е.

N1 = N2 = 0), с функционалами со слабой по t нормой функции состояния (r1 = 0), с функционалами с нормой графика оператора M (Z = domM ) и др. Каждый из рассмотренных классов функционалов требует особенных методов исследования разрешимости соответствующих задач. Например, при рассмотрении задачи жесткого управления приходится требовать ограниченности множества допустимых управлений, переход к слабой норме по t в компромиссном функционале приводит к необходимости усиления нормы управления v по пространственным переменным в нем.

Таким образом, рассматриваемые в данной работе задачи управления предполагают одновременное управляющее воздействие двух типов – стартовое, т. е. управление процессом за счет выбора начальных данных v в условии (2), и распределенное, т. е. внешнее воздействие на систему посредством выбора функции u в уравнении (1). Назовем такое управление смешанным.

В приложениях часто возникают системы, описываемые в начальный момент времени не условием Коши (2), а так называемым обобщенным условием Шоуолтера где P – проектор вдоль ядра разрешающей полугруппы однородного уравнения (1). Для уравнений, не разрешенных относительно производной по времени, это условие часто является более "физичным", так как предполагает задание начального состояния только для динамически изменяющейся части системы (1).

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач смешанного оптимального управления вида (1) – (4) и (1), (3) – (5).

Методы исследования. В диссертации использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г.А. Свиридюка, В.Е. Федорова. В основной части работы рассматривается случай сильно (L, p)-секториального оператора M. Это позволяет установить однозначную разрешимость в смысле сильных решений x H 1 (0, T ; X ) задачи Коши (2) и Шоуолтера (5) для уравнения (1).

Задачи смешанного оптимального управления (1) – (4) исследуются в данной работе с использованием предложенной ранее в работах Ж.-Л. Лионса, А.В. Фурсикова схемы исследования задач оптимального управления для распределенных систем, состояние которых описывается некорректными начально-краевыми задачами. Она позволяет, используя лишь условие нетривиальности для рассматриваемой системы и свойства минимизируемого функционала, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления. При этом важно, что нет необходимости выражать функции состояния x через функции управления u и v, поскольку для рассматриваемых систем, не разрешимых относительно производной по времени, это возможно лишь для функций управления из неплотного множества в пространстве управлений.

Новизна полученных результатов. В данной диссертационной работе, по-видимому, впервые исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для вырожденных распределенных систем, описываемых уравнением (1), не разрешимым относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. При этом, в отличие от работ других авторов, касающихся систем, не разрешенных относительно производной по времени, в работе рассмотрены различные классы функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального состояния системы, задачи с жестким управлением.

Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач смешанного оптимального управления для линеаризованной системы Буссинеска, линеаризованной системы фазового поля с нулевым временем релаксации, для содержащего многие уравнения теории фильтрации и теории полупроводников класса уравнений вида (1), в котором операторы L и M являются многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора высокого порядка.

Помимо исследования разрешимости задач смешанного управления для вырожденных распределенных систем в диссертационной работе для ряда конкретных задач осуществлен вывод систем оптимальности – необходимых и достаточных условий экстремума.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. Они дают решения некоторых актуальных проблем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. И в то же время результаты диссертационной работы предоставляют методы исследования и поиска решений (с помощью систем оптимальности) задач оптимального управления для систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В.Е. Федоров), на семинаре Лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф.

Г.В. Демиденко, д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанов) и на следующих научных конференциях: Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", г. Стерлитамак, 2008 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г. Суздаль, 2008 г.; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, 2010 г.; IX Международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", г. Челябинск, 2010 г., Международная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", г. Екатеринбург, 2011 г.

Данное исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-96007-р_урал_а, и Фонда помощи молодым ученым ЧелГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы – в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий. Cписок публикаций автора диссертации приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановки задач и некоторые идеи доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 129 страниц. Библиография содержит 155 наименований работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе приведены результаты других авторов, которые используются при доказательстве основных утверждений диссертации во второй, третьей и четвертой главах. В первом параграфе определены пространства Лебега – Бохнера и Соболева – Бохнера, обозначенные для краткости L2 (0, T ; X ) = L2 (X ), H k (0, T ; X ) = H k (X ), k N. Второй параграф содержит определения и свойства относительно p-секториальных и относительно p-радиальных операторов.

При p {0} N ведем обозначения X 0 = ker((µL M )1 L)p+1, Y 0 = ker(L(µL M )1 )p+1, через X 1 и Y 1 обозначим замыкания образов im((µL M )1 L)p+1 и im(L(µL M )1 )p+1 в норме пространства X и Y соответственно. Дальнейшее изложение будет использовать эти обозначения и следующий результат.

Теорема 1. 2 Пусть p {0} N, оператор M сильно (L, p)-секториален.

Тогда (iii) существуют операторы M0 L(Y 0 ; X 0 ), L1 L(Y 1 ; X 1 );

(iv) оператор G = M0 L0 L(X ) нильпотентен степени не больше (v) существует аналитическая разрешающая полугруппа операторов {X t L(X ) : t 0} уравнения Lx(t) = M x(t).

Проектор вдоль X на X обозначим через P, а вдоль Y 0 на Y 1 – через В третьем параграфе приведены результаты о разрешимости задач с начальным условием Коши и обобщенным условием Шоуолтера для неоднородного уравнения соболевского типа. Четвертый параграф содержит абстрактные теоремы о линейной задаче управления, используемые далее при исследовании задач смешанного оптимального управления.

Вторая глава содержит новые результаты о существовании и единственности решений задач смешанного оптимального управления для систем, описываемых уравнением первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной и с заданным начальным условием Коши или Шоуолтера. В первом параграфе второй главы рассматривается задача смешанного оптимального управления (1) – (3) с Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

компромиссным функционалом где U = L2 (U) X – пространство управлений, заданы y H p+1 (Y), w H 1 (X ), u L2 (U), v X, константы N1, N2 > 0.

Условие согласования стартового управления и неоднородности в уравнении (1) в начальный момент времени задается множеством H (y), которое состоит из пар (u, v) H p+1 (U) X, при заданном y H p+1 (Y) удовлетворяющих равенству С использованием пространства Zr = {z H 1 (X ) : Lz M z H r (Y)} получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p)-секториален, U – непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства L2 (U) X, U H (y) =. Тогда существует единственное решение (, u, v ) Z0 U задачи (1) – (3), (6).

Аналогичный результат получен для задачи (1), (3), (5), (6). Необоходимость в условии U H (y) = при этом исчезает в силу особенностей задачи Шоуолтера.

Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, p)-секториален, U – непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства L2 (U) X, U (H p+1 (U) X ) =. Тогда существует единственное решение (, u, v ) Z0 U, задачи (1), (3), (5), (6).

Во втором параграфе рассмотрены задачи смешанного оптимального управления с функционалом где u H p+1 (U), S = L1 M1 Cl(U 1 ), v domS – заданы, функционал J0 – выпуклый, неотрицательный на линейном нормированном пространстве Y, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Y, причем предполагается непрерывное вложение Zp+1 Y.

Введем в рассмотрение пространство DS = domS = domM1, которое в силу замкнутости оператора S является гильбертовым относительно скалярного произведения ·, · DS = ·, · X + S·, S· X.

Теорема 4. Пусть оператор M сильно (L, p)-секториален, U – непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства H p+1 (U) DS, U H (y) =. Тогда существует единственное решение (, u, v ) Zp+1 U задачи (1) – (3), (7).

Как частные случаи функционала J1 рассмотрены функционал со слабой нормой функции состояния J0 (x) = 2 x w 2 2 (X ) и терминальный функционал J0 (x) = 2 x(T ) w 2.

Здесь же доказаны аналогичные теоремы о разрешимости задачи управления с функционалом качества J1 в случае обобщенного условия Шоуолтера (5).

В третьем параграфе в пространстве управлений U = L2 (U) X рассматриваются задачи с жестким управлением, когда функционал в явном виде не зависит от управления Существенным для разрешимости таких задач является требование ограниченности множества допустимых управлений, а для единственнсти решения – условие инъективности оператора B в уравнении (1).

В данном параграфе рассмотрен случай (L, p)-секториального оператора M, поскольку в некоторых приложениях, например, для рассмотренной в третьей главе линеаризованной системы Буссинеска, условие сильной (L, p)-секториальности оператора M не выполняется.

Ослабление условий на операторы приводит к отсутствию непрерывности у оператора L1 : imL1 U 1 и необходимости изменения множества H (y). Для y H p+1 (Y) через H (y) обозначим множество пар (u, v) U, таких, что Определим для k N {0} оператор Bk L(H k (U); H k (Y)), (Bk u)(t) = Bu(t), t (0, T ).

Теорема 5. Пусть оператор M (L, p)-секториален, U – замкнутое, выпуклое и ограниченное в L2 (U) X множество, причем U H (y) =.

Тогда существует непустое множество решений задачи (1) – (3), (8) где (1, u1, v1 ) – одно из решений задачи.

Исследование той же задачи с начальным условием Шоуолтера, после выбора подходящих пространств и доказательства коэрцитивности функционала приводит к утверждению.

Теорема 6. Пусть оператор M (L, p)-секториален, U – замкнутое, выпуклое и ограниченное в L2 (U) X множество, U (H p+1 (U) X ) =.

Тогда существует непустое множество решений задачи (1), (3), (5), (8), где (1, u1, v1 ) – одно из решений задачи.

Для задачи жесткого управления с абстрактным функционалом удовлетворяющим тем же условиям, что и во втором параграфе, получены следующие результаты.

Теорема 7. Пусть оператор M (L, p)-секториален, J0 – ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве Y, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Y функционал, имеет место непрерывное вложение Zp+1 в Y, U – выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений U = H p+1 (U) DS множество, причем U H (y) =. Тогда существует решение (, u, v ) Zp+1 U задачи (1) – (3), (9).

Теорема 8. Пусть оператор M (L, p)-секториален, y H p+1 (Y), Qy(t) imL1 при t (0, T ), L1 Qy H 1 (X ), J0 – ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве Y, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Y функционал, имеет место непрерывное вложение Zp+1 в Y, U – непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений U = H p+1 (U) DS множество.

Тогда существует единственное решение (, u, v ) Zp+1 U задачи (1), (3), (5), (9).

Как следствие получены результаты для терминального и со слабой нормой функции состояния функционалов стоимости.

В пятом параграфе рассмотрена задача (1) – (3) для функционала с нормой графика где u H p+1 (U) и y H p+1 (Y) – заданные функции, v DM = domM – заданный вектор, константы N1, N2 > 0.

Теорема 9. Пусть оператор M сильно (L, p)-секториален, U – непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства H p+1 (U)DM, функционал J0 выпуклый, неотрицательный на линейном нормированном пространстве Y, полунепрерывный снизу, U H (y) =. Тогда существует единственное решение (, u, v ) Zp+1 U задачи (1) – (3), (10).

В шестом параграфе второй главы содержатся комментарии по поводу рассмотренных задач в случае, если оператор M удовлетовряет более общему условию сильной (L, p)-радиальности.

Третья глава содержит приложения результатов второй главы к исследованию задач оптимального управления для уравнений или систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, которые возникают при моделировании реальных процессов. В первом параграфе проведена редукция задачи описывающей переходные процессы в полупроводнике в ограниченной области, к задаче (1), (2). Здесь, R. Во втором параграфе доказана теорема о разрешимости задачи смешанного управления системой (11) – (13) в случае компромиссного функционала стоимости и задачи жесткого управления с терминальным функционалом Рассмотрению начально-краевой задачи для уравнения Дзекцера ()wt (x, t) = w(x, t)2 w(x, t)+u(x, t), (x, t) (0, T ), (15) посвящен третий параграф главы. Показано, что при редукции к задаче (1), (2) получается уравнение с сильно (L, 0)-секториальным оператором M, если, R, > 0, = 0, = /. В следующем параграфе исследованы задача смешанного управления системой (15) – (17) в случае функционала и задачи жесткого управления для функционалов В пятом параграфе исследуется задача оптимального управления решениями начально-краевых задач для дифференциального уравнения с многочленами от эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов высокого порядка. В данном параграфе показано, что рассматриваемая начально-краевая задача для нее редуцируется к абстрактной задаче Коши с сильно (L, 0)-радиальным оператором.

К задаче для уравнения (1) с условием Шоуолтера (5) сводится рассмотренная в шестом параграфе начально-краевая задача для уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации. Доказана разрешимость задач смешанного оптимального управления системой (18) – (21) c функционалом со слабой нормой функции состояния и задача жесткого управления В седьмом параграфе начально-краевая задача для линеаризованной cистемы уравнений Буссинеска z(x, t) редуцируется к задаче Коши с (L, 0)-секториальным оператором при R,, > 0. Далее приведены условия разрешимости задачи жесткого смешанного управления для системы Буссинеска с функционалом Здесь L2 = (L2 ())3. Существование единственного решения следует из ограниченности множества допустимых управлений и инъективности оператора B.

Выводу необходимых и достаточных условий оптимальности в рассматриваемых задачах посвящена четвертая глава. В первом параграфе главы для задачи жесткого управления системой, описываемой уравнением переходных процессов в полупроводнике, с терминальным функционалом получена сопряженная задача и показана ее однозначная разрешимость. Во втором параграфе описаны множества H (0) и Z1, соответствующие рассматриваемой задаче, и доказан критерий оптимальности. Обозначим H0 () = {w H 2 () : w(x) = 0, x }.

Теорема 10. Пусть, = 0, U – непустое, выпуклое, замкнутое, ограниченное множество из пространства H 1 (0, T ; L2 ()) H0 (), U H (0) =, (, ) H (0, T ; H0 ()) L2 () – решение задачи (23) – (26). Тройка (w, u, v ) Z1 H 1 (0, T ; L2 ()) H0 () является решением задачи (11) – (14) в том и только в том случае, когда для всех (u, v) U выполнено неравенство которое в случае (, v ) int U превращается в равенство.

Третий параграф посвящен нахождению сопряженной задачи для задачи жесткого смешанного управления системой уравнений фазового поля с функционалом со слабой нормой функции состояния. Доказана однозначная разрешимость сопряженной задачи которая также является задачей для системы, не разрешенной относительно производной по времени, но с конечным условием типа Шоуолтера. В четвертом параграфе выведены необходимые и достаточные условия оптимальности для исследуемой задачи управления. Обозначим Aw = w, Теорема 11. Пусть 1 (A), U – непустое выпуклое замкнутое ограниченное множество пространства H 1 (0, T ; L2 ()) H 2 (), ( 1, 2 ) H 1 (0, T ; L2 ()) L2 () – решение задачи (27) – (31). Тройка (w, u, v ) Z1 H 1 (0, T, L2 ())H 2 () является решением задачи (18) – (22) в том и только в том случае, когда выполнено неравенство которое в случае (, w, v ) int U превращается в равенство.

Следует заметить, что результаты четвертой главы получены для абстрактных функционалов и вкупе с предлагаемым алгоритмом вывода сопряженной задачи могут быть использованы при исследовании других задач оптимального управления для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной.

Результаты, выносимые на защиту

:

I. Теоремы существования и единственности решения задач смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для систем, описываемых линейным уравнением первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной и с условием Коши или Шоуолтера.

II. Теоремы существования и единственности решения задач смешанного управления для уравнения с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка, уравнения, описывающего переходные процессы в полупроводнике, уравнения Дзекцера свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованной системы уравнений фазового поля, линеаризованной системы уравнений Буссинеска.

III. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задач смешанного управления системой, описываемой уравнением переходных процессов в полупроводнике, линеаризованной системой уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации.

Публикации автора по теме диссертации 1. Плеханова, М.В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Известия вузов. Математика. – 2011. – № 7. – С. 37-47.

2. Исламова, А.Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения / А.Ф. Исламова // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. – 2011. – Вып. 8 – № 17 (234) – С. 37-46.

3. Плеханова, М.В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 4 – С. 565Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Тр.

международ. науч. конф. – Стерлитамак, 2008. – С. 111-115.

5. Плеханова, М.В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика.

Информатика. – 2009. – Вып.11. – С. 62-70.

6. Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа / А.Ф. Исламова // Тр. Воронежск. зимн. мат. школы. – Воронеж, 2010. – С. 69-74.

7. Плеханова, М.В. Задача со смешанным управлением для одного класса линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова, А.Ф.

Исламова // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика.

– 2010. – Вып. 23. – С. 49-58.

8. Исламова, А.Ф. Смешанное оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам. – Владимир, 2008. – С. 123.

9. Исламова, А.Ф. Смешанное управление системой уравнений, описывающей переходные процессы в полупроводнике / А.Ф. Исламова // Тез. докл. Воронежск. зимн. мат. школы. – Воронеж, 2010. – С. 68.

10. Исламова, А.Ф. Жесткое смешанное управление решениями обобщенной задачи Шоуолтера для уравнения соболевского типа / А.Ф. Исламова // Физика и технические приложения волновых процессов. Тез. докл. международ. науч.-техн. конф. – Челябинск, 2010. – 11. Исламова, А.Ф. Задача смешанного управления для уравнения Дзекцера / А.Ф. Исламова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Междунар. конф., посвященной памяти В.К. Иванова.

Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. – С. 235.

Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,97.

ФГБОУ ВПО ”Челябинский государственный университет” 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 454021, г. Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57 б