МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.983.53

Пляшечник Андрей Сергеевич

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА

ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Смолянов Олег Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Орлов Юрий Николаевич, зав. отделом института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН кандидат физико-математических наук Толстыга Диана Сергеевна, компания Волга-Днепр, ведущий специалист

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита диссертации состоится 25 апреля 2014 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Трумена1 такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана. В лагранжевых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона2 при помощи теоремы Троттера. В гамильтоновых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе1, где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца. Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций(траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой теории поля (см., например, книги С. Вайнберга3, М.Е. Пескина и Д.В. Шредера4 ).

Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были поO. G. Smolyanov, A. G. Tokarev, A. Truman, "Hamiltonian Feynman path integrals via the Cherno formula", J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, с. 5161-5171.

E. Nelson, "Feynman Integrals and the Schredinger Equation", J. Math. Phys., 1964, 5, № 3, с. 332-343.

С. Вайнберг, "Квантовая теория поля"(в 2х томах), М.: ФМЛ, 2003.

М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, "Введение в квантовую теорию поля", Ижевск: РХД, 2001.

лучены самим Р. Фейнманом5 (опиравшимся на одно наблюдение П.А.М.

Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа;

многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова 6.

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова7 и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вйцзеккера и О.

Виттиха 8. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.

Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по типу соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.

Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности полученR. P. Feynman, "Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics", Reviews of Modern Physics, 1948, 20, №2, pp. 367-387.

O. G. Smolyanov, "Feynman formula for evolution equations", Trends in stochastic analysis, 2009, 453, pp. 284-302.

O. G. Smolyanov, "Schrodinger type semigroups via Feynman formulae and all that", Quantum bioinformation, 2013, 5, pp. 301-314.

М. Гадэлья, О. Г. Смолянов "Формулы Фейнмана для частиц с массой, зависящей от координаты", ДАН, 2008, 418, № 6, c. 727-730.

O. G. Smolyanov, H. von Weizsacker, O. Wittich, "Cherno’ theorem and discrete time approximations of brownian motion on manifolds", Potential Analysis, 2007, 26, № 1, pp. 1-29.

ного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а решение исходного уравнения представляется как интеграл по этой мере. Такое представление называется формулой Фейнмана-Каца. Хотя такой способ и дает точное представление решения, в случае переменных коэффициентов переходные вероятности соответствующего случайного процесса не выражаются через элементарные функции; поэтому на формулы Фейнмана можно смотреть как на применимый для практических вычислений способ приближенного нахождения таких интегралов по бесконечномерному пространству.

Уравнениям типа Шредингера также соответствует интегралы по траекториям; именно они и были введены Фейнманом2. Интегрирование в них производится по псевдомере, которая имеет локально неограниченную вариацию;

однако свойства таких интегралов во многом схожи со свойствами обычных интегралов. Здесь снова интеграл по траекториям дает точное представление решения, а формулы Фейнмана представляют собой применимый для компьютерных вычислений способ его нахождения.

Перечислим теперь несколько сравнительно недавних результатов о формулах Фейнмана и Фейнмана-Каца, полученных методами, близкими к используемым в диссертации. В работе О.О. Обрезкова9 рассматривается уравнение типа теплопроводности на компактном римановом многообразии без границы, где старшая часть дифференциального оператора является оператором Лапласа-Бельтрами. В ней также доказаны формулы Фенйнмана-Каца и явно выражена плотность полученной меры относительно меры Винера в терминах геометрических характеристик многообразия. Уравнения типа теплопроводности и Шредингера с оператором Владимирова, являющимся аналогом оператора Лапласа в p-адическом пространстве, с переменным множителем рассмотрены в работе О.Г. Смолянова и Н.Н. Шамарова10. ФормуO. O. Obrezkov, "The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold", Innite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topic, 2003, 6, № 2, с. 311-320.

О. Г. Смолянов, Н. Н. Шамаров, "Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова", Избранные вопросы математической физики и p-адического анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 2009, 265 c.229-240.

лы Фейнмана для операторов на разветвленных многообразиях изучаются в работе О.Г. Смолянова и Д.С. Толстыги11. В работе А. Трумена и О.Г.

Смолянова12 изучаются формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченной области. Применение формул Фейнмана для решения уравнения Шредингера в бесконечномерном пространстве изучается в работах О.Г.

Смолянова13 ; С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А. Хренникова14 ; О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе15. Отметим также пионерскую книгу В.П. Маслова16, в которой для получения формул типа Фейнмана-Каца используются не формулы Фейнмана, а разложение типа Дайсона, а также книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе17, в которой систематически рассматриваются еще несколько методов получения формул Фейнмана-Каца.

В отличие от перечисленных работ, в диссертации коэффициенты в уравнениях зависят как от пространственных координат, так и от времени; при этом соответствующие операторы могут быть не самосопряженными и даже не симметричными. Кроме того, в диссертации используется более широкий набор функциональных пространств.

При доказательстве результатов диссертации используется обобщение формулы Чернова18, его доказательство также приведено в диссертации. Это обобщение было анонсировано в статье19. Формула Чернова представляет собой обобщение формулы Троттера, с помощью которой в указанной ранее работе Е. Нельсона3 были впервые доказаны результаты, связанные с формулами Фейнмана. Формула Чернова дает способ приближенного представлеО. Г. Смолянов, Д. С. Толстыга "Формулы Фейнмана для стохастической и квантовой динамики частиц в многомерных областях", ДАН, 2013, 452, № 3, с. 256-260.

О. Г. Смолянов, А. Трумен, "Гамильтоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях", ДАН, 2004, 399, № 3, с. 310-314.

О. Г. Смолянов, "Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование Шредингера", ДАН, 1982, 263, № 3, с. 558-562.

S. Albeverio, A. Khrennikov, O. G. Smolyanov, "The Probabilistic Feynman-Kac Formula for innitedimensional Schrodinger Equation with Exponential and Singular Potentials", Potential Analysis, 1999, 11, с. 157-181.

О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе, "Бесконечномерные уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами и интегралы Фейнмана по траектория", ДАН, 2006, 408, № 1, с. 28-33.

В. П. Маслов, "Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана", М.: Наука, 1976.

О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе, "Континуальные интегралы", М.: Издательство МГУ, 1990.

R. P. Cherno, "Note on product formulas for operator semigroups", J. Funct. Anal., 1968. 2, № 2, с. 238-242.

О. О. Обрезков, О. Г. Смолянов, А. Трумен, "Обобщенная теорема Чернова и рандомизированная формула Фейнмана", ДАН, 2005, 400, № 5, с. 596-602.

ния сильно непрерывной полугруппы операторов в банаховом пространстве, а при достаточно общих условиях решения эволюционных уравнений выражаются именно через такие полугруппы в различных функциональных пространствах. Мы будем использовать обобщение формулы Чернова на случай, когда операторы зависят от времени. В этом случае полугруппа заменяется на двухпараметрическое эволюционное семейство.

Цель работы. Целью диссертации является доказательство формул Фейнмана, представляющих решения некоторых эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка в виде предела кратных интегралов при стремлении кратности к бесконечности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, опубликованы в статьях автора, и заключаются в следующем:

1. Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа теплопроводности. Формулы доказаны в пространствах интегрируемых функций Lp, 1 p < и в пространстве непрерывных функций. При рассмотрении уравнения в евклидовом пространстве коэффициенты при старших производных зависят от координат и времени и составляют положительно определенную матрицу. Оператор в правой части уравнений в римановых многообразиях содержит оператор Лапласа-Бельтрами, умноженный на зависящий от координат множитель.

2. Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа Шредингера. Формулы доказаны в пространстве квадратично интегрируемых функций. Старшие коэффициенты образуют матрицу, элементы которой зависят от времени, умноженную на зависящий от координат множитель. Стоит отметить, что в этом случае оператор, вообще говоря, не является ни самосопряженным, ни даже симметричным.

Основные методы исследования. При получении результатов диссертационной работы были использованы методы бесконечномерного анализа и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения приближенных решений уравнений типа теплопроводности и Шредингера.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Семинар механико-математического факультета МГУ под руководством О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе (2007–2012 гг., неоднократно) • XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учных Ломоносов (2012 г.) • Семинар "Проблемы необратимости"в МИАН им. В.А. Стеклова РАН под руководством И.В. Воловича, В.В. Козлова, С.В. Козырева, О.Г.

Смолянова (2011г.) Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведн в конце автореферата. Из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 1 тезисы в материалах международной конференции. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, глав и списка литературы из 27 наименований. Общий объм диссертации 82 страницы Содержание работы.

Во введении проводится обзор работ, связанных с темой диссертации, и кратко излагается основное содержание диссертации.

В первой главе приводятся используемые далее обозначения, определения, вспомогательные утверждения. Также в ней доказывается обобщенная теорема Чернова.

Рассмотрим некоторое банахово пространство X над полем действительных или комплексных чисел.

Определение 1. Однопараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {T (t), t 0}, действующих в X, называется сильно непрерывной полугруппой, если 1. T (t)T (s) = T (t + s).

2. t T (t) сильно непрерывно.

Сильная непрерывность означает, что для каждого x X функция t T (t)x непрерывна. Рассмотрим в пространстве X задачу Коши где H - линейный, не обязательно ограниченный оператор в X. Тогда при определенных условиях будет существовать такая сильно непрерывная полугруппа T (t), что T (t)u0 дает классическое решение задачи для некоторого класса начальных данных. Стоит отметить, что T (t)x определено для всех x X, хотя задача может иметь решение не для всех начальных данных.

Теорема Чернова задает условия на оператор H, достаточные для существования полугруппы, а также представляет способ вычисления ее элементов.

В общем случае оператор H зависит от переменной t и задача Коши принимает вид Определение 2. Двухпараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {U (t, s), 0 s t t0 }, действующих в X, называется эволюционной системой, если 2. (t, s) U (t, s) сильно непрерывно при 0 s t t0.

При определенных условиях существует такое эволюционное семейство U (t, s), что классическое решение задачи имеет вид U (t, s)u0.

Обобщенная теорема Чернова дает способ вычисления U (t, s).

Теорема 1 (обобщенная теорема Чернова). Пусть имеется семейство замкнутых операторов {H(t), 0 t T } таких, что их область определения Dom(H(t)) = D не зависит от t и плотна в X, для всех t оператор H(t) взаимнооднозначно отображает D на X и для каждого g D множество H(t)g ограничено в X. Рассмотрим эволюционное семейство {U (t, s), 0 s t T } такое, что при всех 0 s t T. Пусть для каждого g D выполнено при t 0 равномерно по t. Пусть для каждого g D выполнено U (t, s)g D и H(0)U (t, s)g непрерывно по совокупности переменных t, s на множестве 0 s t T. Пусть имеется семейство ограниченных операторов Q(t, s), 0 s < t T такое, что для любого набора 0 t1 <... < tk T выполнено и для каждого g D при t 0 равномерно по t.

Тогда для всех f X равномерно на множестве 0 a b T.

Во второй главе приводится доказательство формул Фейнмана для уравнений типа теплопроводности в различных функциональных пространствах.

Рассмотрим семейство дифференциальных операторов {H(t), 0 t T }:

Коэффициенты H(t) принимают действительные значения и удовлетворяют следующим требованиям:

1. Гладкость коэффициентов. Для каждого значения t коэффициенты перед частной производной k -го порядка лежат в Cb (Rn ) и ограничены равномерно по переменной t:

2. Непрерывность по Гельдеру. Существуют константы L и 0 < такие, что 3. Равномерная эллиптичность. Старший коэффициент симметричен ai,j (t, x) = aj,i (t, x) и существует такая положительная постоянная, что Рассмотрим семейства операторов (F1 (t, s)f )(x) = (2(t s))n/2 (det a(s, x))1/ где 0 s < t T и t s достаточно мало.

Пусть коэффициенты оператора H не зависят от переменной t. Пусть пространство X будет одним из пространств Lp (Rn )1p C > 0.

Пусть существует такое > 0, что в окрестности любой точки N в нормальных координатах a(x) дважды непрерывно дифференцируема, b(x) один раз непрерывно дифференцируема, c(x) - ограничена, причем функции и производные ограничены одной константой, независимо от исходной точки.

Кроме того, пусть функция вложения N в M и достаточное количество ее производных ограничены в том же смысле. Рассмотрим семейства операторов где U (x) - –окрестность точки x в многообразии N, а в качестве dM,N можно выбрать dN - расстояние в N или dM - расстояние в M, где (t, x) - интегральная кривая поля b(·) с начальной точкой x,