На правах рукописи

Геворкян Мигран Нельсонович

Анализ составных симплектических методов и

симплектических методов Рунге–Кутта на

длительных интервалах времени

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, до- Кулябов Дмитрий Сергеевич цент

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, про- Виницкий Сергей Ильич фессор, Объединенный институт ядерных исследований, лаборатория теоретической физики, ведущий научный сотрудник.

доктор физико-математических наук, до- Казаков Олег Андреевич цент, ГОУ ВПО МГТУ «Станкин» кафедра прикладной математики, профессор.

Ведущая организация:

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Защита состоится «19» апреля 2013 г. в 15 ч. 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо–Маклая, д. 6.

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 117198, г. Москва, ул.

Миклухо–Маклая, д. 6.

Автореферат разослан « » марта 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета М. Б. Фомин

Общая характеристика работы

Данная работа посвящена сравнительному анализу эффективности (точность и скорость) применения симплектических численных методов разных типов к уравнениям Гамильтона в зависимости от вида функции Гамильтона. Даны оценки точности сохранения физически значимых инвариантов на примере задачи Кеплера и задачи трех тел. Для задачи трех тел разработан составной симплектический метод неприводимый к методам из семейства Рунге–Кутта.

Актуальность темы При численном моделировании динамических процессов на длительных промежутках времени (колебательные процессы, орбиты планет, электромагнитные колебания) необходимо следить за сохранением физических инвариантов, иначе численная модель не будет адекватно описывать эти явления и не будет соответствовать непрерывной модели. Наиболее простой пример — очень точное сохранение полной энергии системы (гамильтониана) даже для больших шагов сетки. Эта особенность дает возможность определить характер динамического процесса, используя лишь грубые вычисления (с большим шагом сетки).

При создании классических численных методов основное внимание уделялось производительности: скорости вычисления, экономии памяти и т.д. Однако, по мере усложнения решаемых задач и развития вычислительной техники появилась необходимость в моделировании явлений и процессов продолжительных по времени. При этом проявились недостатки большинства классических численных методов — несохранение физических инвариантов и геометрических структур. В 90-х годах прошлого века стали активно развиваться методы, сохраняющие геометрические структуры. В случае гамильтоновой механики такими методами являются симплектические численные методы.

Стоит также отметить, что некоторые из типов симплектических методов (составные методы, в частности методы Йошиды) отличаются простотой построения компьютерных алгоритмов, так как изначально являются явными.

Следует отметить, что в сферу применимости симплектических численных методов входит такая сугубо прикладную область, как компьютерная графика и анимация.

Цель диссертационной работы Целью работы является оценка применимости симплектических раздельных методов типа Рунге–Кутта и симплектических составных методов к различным задачам гамильтоновой механики, оценка точности сохранения физически значимых инвариантов (полная энергия, момент импульса и т.д.).

Задачи диссертационной работы – Систематизация известных симплектических численных методов для достижения единообразия в терминах и обозначениях;

– оценка возможности записи конкретных симплектических численных методов в явном или диагонально-неявном виде (в случае раздельного метода Рунге–Кутта) в зависимости от функции Гамильтона;

– сравнения методов типа Рунге–Кутта и составных симплектических методов по точности сохранения инвариантов в зависимости от шага сетки;

– в ограниченной задаче трех тел гамильтониан не представим в виде H(p, q) = T (p) + U (q). Ввиду этого для этой задачи нельзя записать явные симплектические методы типа Рунге–Кутта и возникает проблема получения составных симплектических схем для ограниченной задачи трех тел;

– разработка комплекса необходимых программы, реализующих рассматриваемые в работе симплектические численные схемы (вплоть до 10-го порядка).

Результаты, выносимые на защиту

– Сформулированы и доказаны утверждения, касающиеся связи условий диагональной неявности и явности присоединенного метода к методу Рунге– Кутта с условиями симплектичности раздельных методов Рунге–Кутта;

– показана связь между составными методами и методами Рунге–Кутта для гамильтониана вида H(p, q) = T (p) + U (q);

– на основе численных моделей линейного осциллятора и задачи двух тел дана оценка точности сохранения физически значимых инвариантов симплектическими численными методами;

– записаны несводимые к методам семейства Рунге–Кутта симплектические численные методы типа SABA и SS для ограниченной задачи трех тел.

Научная новизна – Ввиду малого количества статей по симплектическим интеграторам на русском языке (автору известны лишь статьи [8], [9]) представляется актуальным подробный обзор и систематизация известных симплектических методов на русском языке для достижения единообразия в терминологии и обозначениях;

– получены утверждения, показывающие связь условий симплектичности раздельных методов Рунге–Кутта и условий диагональной неявности/явности присоединенных методов Рунге–Кутта.

– дана оценка точности сохранения инвариантов для большого количества симплектических методов на примера задачи двух тел и линейного осциллятора;

– получены формулы для симплектических численных схем для ограниченной задачи трех тел несводимые к раздельным методам Рунге–Кутта;

– для записи численных схем использована тензорная нотация, ввиду того, что для описания симплектической структуры используется дифференциальная геометрия и тензорный формализм. На примере доказательств теорем об условиях симплектичности методов Рунге–Кутта, раздельного Рунге–Кутта и Рунге–Кутта–Нюстрёма показано, что использование тензорной нотации упрощает выкладки и делает их технически проще.

Методы исследования Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы, методы дифференциальной геометрии, методы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебр Ли.

Обоснованность и достоверность результатов Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и проверенные методы: методы Рунге–Кутта, раздельные методы Рунге–Кутта, методы Рунге– Кутта–Нюстрёма, составные методы, методы группового анализа ОДУ, методы качественного анализа ОДУ. Везде, где это возможно, проводилось сравнения полученного численного решения с аналитическими решениями.

Практическая значимость Широкое применение симплектические численные методы находят в теоретических исследованиях гамильтоновых систем, где необходимы вычисления на длительных промежутках времени. В особенности это касается небесной механики и космологических задач, где временные промежутки могут достигать столетий. Другая область применения — задачи молекулярной динамики, где временные промежутки существенно меньше, но скорости движения тел (молекул) напротив существенно выше.

Отдельно необходимо упомянуть такую прикладную область, как компьютерная графика и анимация длительных процессов (маятник настенных часов).

С увеличением производительности компьютеров и появлением возможности создавать длительные анимированные сцены возникли проблемы классических численных методов, что привело к необходимости использования геометрических методов (в том числе и симплектических).

Апробация работы Результаты, полученные в ходе выполнения работы, были представлены на:

– Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2013) – Семинаре «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН (Москва, 23 января 2013 года) – Всероссийской конференции (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, РУДН, 2012) – Шестнадцатой научной конференции молодых учёных и специалистов ОИЯИ (Дубна, 2012) – Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2012) – Девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 30 января – 4 февраля 2012 г.) Публикации По теме диссертации опубликовано 7 работ [1–7], из которых 3 статьи [1, 6, 7] — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией.

Личный вклад автора Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором и состоят в следующем:

– Доказан ряд утверждений касающийся связи условий симплектичности раздельного метода Рунге–Кутта и условий диагональной неявности и явности присоединенного метода к методу Рунге–Кутта.

– Записаны симплектические численные схемы для ограниченной задачи трех тел не сводимые к раздельным методам типа Рунге–Кутта.

– Разработан комплекс программ на языках Fortran (вычислительная часть) и Python (использована библиотека numpy и библиотека для визуализации matplotlib), реализующий методы Рунге–Кутта, симплектические раздельные методы Рунге–Кутта, симплектические методы Рунге–Кутта– Нюстрёма, симплектические составные методы. Реализованы методы имеют порядок точности вплоть до 10-го.

– С помощью этого комплекса программ проведено сравнение различных симплектических методов на примере линейного осциллятора, нелинейного осциллятора, задачи двух тел и ограниченной задачи трех тел. Построены графические изображения фазовых портретов и зависимости исследуемых величин от шага h. Полученные с помощью вычислений результаты использовались для оценки точности сохранения инвариантов системы.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 168 страниц (из них 10 занимают приложения, 12 списки публикаций и литературы).

Кроме основного текста диссертация содержит 16 рисунков, и список литературы из 76 наименований.

Содержание работы Во Введении формулируются два подхода к построению численных методов [10]:

1. Подход, направленный на уменьшение локальной и глобальной ошибки аппроксимации, а также на увеличение быстродействия.

2. Подход, направленный на сохранение некоторых качественных свойств моделируемой системы (физических инвариантов, важных для корректного отражения свойств системы). В нашем случае этим инвариантом является симплектическая форма (скобки Пуассона).

Исторически все классические методы разрабатывались исходя из первого подхода, однако некоторые из них все же удовлетворяют требованиям и второго подхода. В качестве иллюстрации используется простая задача линейного осциллятора, к которой последовательно применяются несколько классических численных методов, большая часть из которых дает искаженный фазовый портрет. Этот пример обнаруживает недостатки методов из первого подхода, а именно: полная энергия систем не сохраняется при продолжительном по времени численном моделировании.

Глава I носит теоретический характер и содержит основные теоретические сведения о классических численных методах. Вначале главы приводится наглядная классификация численных методов по Батчеру [11]. Классификация включает многошаговые, многостадийные и мультидифференцируемые методы. В диссертации рассматриваются многостадийные методы, к которым относятся в том числе методы Рунге–Кутта.

В Разделе 1.1 излагаются теоретические сведения, связанные с явными методами семейства Рунге–Кутта. Вводятся понятия таблицы Батчера, активно используемой в дальнейшем.

В Разделе 1.2 явный метод Рунге–Кутта обобщается до неявного. В дальнейшем изложении используется обобщенная запись методов Рунге–Кутта, подразумевающая как явный так и неявный метод. Далее излагается раздельный метод Рунге–Кутта общего вида. Дается определение метода Рунге–Кутта– Нюстрёма общего вида, который является частным случаем раздельного метода Рунге–Кутта, но играет большую роль ввиду меньшей стадийности при том же порядке точности. Изложение ведется для многомерного случая В Разделе 1.3 изложены некоторые способы получения новых численных методов на основе уже известных. Это операция присоединения, композиция нескольких численных методов и расщепление векторного поля. С понятием присоединенного метода тесно связанно понятие симметричного метода (метод совпадающий со своим присоединенным). В качестве примеров приводятся: нахождение присоединенного метода для метода Эйлера, для метода Рунге– Кутта, для метода средней точки и для метода Штёрмера–Верле (последние два метода являются симметричными). Также рассмотрен решающий оператор задачи линейного осциллятора, который является симметричным. Таким образом симметричность численных методов часто требуется для более точного отражения свойств решаемых уравнений.

Глава II посвящена изложению теоретических сведений по симплектическим численным методам. Изложение теоретических сведений о симплектических численных методах дается параллельно обзору основных источников.

В Разделе 2.1 вводятся необходимые понятия из математических основ механики Гамильтона: симплектическая форма, симплектическое (каноническое) отображение, производящие функции, решающий оператор, однопараметрическая группа преобразований, гамильтоново векторное поле как инфинитезимальный генератор группы преобразований и т. д [12–14].

В этом же разделе приведена классификация симплектических численных методов на основе способа их получения, а именно выделяются четыре подхода:

1. Подход, основанный на наложении дополнительных условий на условия порядка методов из семейства Рунге–Кутта. Методы, полученные с помощью такого подхода будем называть симплектическими методами семейства Рунге–Кутта.

2. Подход, использующий понятия композиции численных методов, присоединенного численного метода и расщепления гамильтонова векторного поля.

Такие методы будем называть составными симплектическими методами.

3. Подход, на основе формулировки условия симплектичности на языке производящих функций и построение симплектических интеграторов как бесконечно малых канонических преобразований, генерируемых этими функциями. Такие методы будем называть методами производящих функций.

4. Получение симплектических интеграторов как частный случай более общих вариационных интеграторов. Вариационные интеграторы представляют собой обширную область исследований, поэтому в данной работе этот подход не изучается.

В следующих разделах дается обзор трех, вышеуказанных подходов.

В Разделе 2.2 приведены формулировки и доказательства теорем-условий симплектичности неявных методов Рунге–Кутта, раздельных методов Рунге– Кутта и методов Рунге–Кутта–Нюстрёма. Теория симплектических методов типа Рунге–Кутта опирается на следующие три теоремы Теорема (См. [8, 15]). Если коэффициенты метода Рунге-Кутта удовлетворяют условиям и гамильтониан — гладкая функция, то метод Рунге–Кутта является симплектическим.

Теорема была сформулирована независимо тремя учеными: Лазагни [16] (не опубликовано), Санс-Серной [17] и Сурисом [8].

Теорема (См. [8]). Для гладкого гамильтониана H(p, q ) раздельный метод Рунге–Кутта является симплектическим при выполнении следующих тождеств:

Для гамильтониана вида H(p, q ) = T (p ) + U (q ) выполнение условия bi = i i = 1,..., s не требуется.

Теорема (См. [18]). Чтобы метод Рунге–Кутта–Нюстрёма примененный к каноническим уравнениям с гамильтонианом вида:

с симметричной матрицей µ был симплектическим, необходимо выполнение условий:

Для раздельного метода Рунге–Кутта строятся явные численные схемы и рассматриваются конкретные реализации этих методов вплоть до 8-го порядка точности.

В Разделе 2.3 рассматриваются составные симплектические методы. Получение составных методов намного проще, так как не приходится выводить и решать громоздкие условия порядка методов Рунге–Кутта. За эту простоту приходится платить многократным увеличением стадийности метода и, следовательно, снижением быстродействия.

В Разделе 2.4 рассматривается подход, основанный на производящих функциях. Условие симплектичности формулируется с помощью производящей функции. Приведены примеры получения уже знакомых численных методов.

Глава III В Разделе 3.1 изложены теоретические результаты. Описан способ композиции раздельных методов Рунге–Кутта. Известно, что чем выше порядок точности методов Рунге–Кутта, тем сложнее условия порядка. Можно избежать решения громоздких нелинейных алгебраических уравнений используя понятия композиции и присоединения. Композиция метода Рунге–Кутта со своим присоединенным позволяет повысить порядок точности исходного метода без решения громоздких условий порядка, но за счет увеличения стадийности метода.

Автором даказаны следующие теоремы:

Теорема. Присоединенный метод (h) явного метода Рунге–Кутта (h) является диагонально неявным, если выполняется условие Теорема. Присоединенный метод d (h) диагонально неявного метода Рунге– Кутта d (h) является явным, если выполняется условие Третья доказанная теорема поясняет применимость этих теорем в области симплектических раздельных методов Рунге–Кутта.

Теорема. Пусть таблица Батчера раздельного метода Рунге–Кутта состоит из таблиц диагонально неявного метода d (h) и явного метода (h). Тогда условия симплектичности раздельного метода Рунге–Кутта совпадают с условиями явности метода d и диагональной неявности метода В этом же разделе устанавливается связь между составными методами, полученными с помощью расщепления гамильтонова векторного поля для H(p, q) = T (p) + U (q) и раздельными методами Рунге–Кутта. Показано, что запись в форме Рунге–Кутта приводит к нерациональному алгоритму вычисления.

В Разделе 3.2 проведен сравнительный анализ симплектических методов для линейного осциллятора и задачи Кеплера. Сравнение проводилось для следующих методов:

– методы Рунге–Кутта — RK, – симплектические раздельные методы Рунге–Кутта — SPRK, – симплектические методы Рунге–Кутта–Нюстрема — SRKN, – симплектические составные методы — SABA [19, 20], – симплектические симметричные составные методы с симметричными стадиями (методы Йошиды) — SS.

На основе полученных результатов сделаны следующие выводы:

– Симплектичность численного метода обеспечивает удержание глобальной ошибки в фиксированных рамках на всем отрезке (продолжительном по времени) численного интегрирования.

– При этом, однако, погрешность вычисления различных инвариантов также различна. Например, в случае задачи двух тел, момент импульса сохраняется численными методами в точности, полная энергия вычисляется с большой (порядка 107 –109 ) точностью, а вектор Лапласа–Рунге–Ленца вычисляется с большей погрешностью.

– Большую роль в точности вычисления инвариантов играет наличие отрицательных коэффициентов в конкретной реализации метода. Те методы, формулы которых характеризуются положительными коэффициентами, дают большую точность, монотонно увеличивающуюся с уменьшением шага.

В Разделе 3.3 рассмотрена ограниченная задача трех тел в синодических координатах и записаны две симплектические схемы типа SS м SABA не сводимые к раздельным методам Рунге–Кутта.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Gevorkyan M. N., Gladysheva J. V. Symplectic Integrators and the Problem of Wave Propagation in Layered Media // Вестник РУДН. Серия «Математика.

Информатика. Физика». –– 2012. –– no. 1. –– P. 50–60.

2. Геворкян Мигран Нельсонович. Исследование классических численных методов на предмет сохранения ими симплектической структуры // Математика. Компьютер. Образование. –– Москва Ижевск : АНО НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. –– 24 January- 30 February. –– С. 173.

3. Геворкян Мигран Нельсонович. Сохранение симплектической структуры классическими численными методами // Научная сессия НИЯУ МИФИ 2012 / МИФИ. –– Москва : Типография НИЯУ МИФИ, 2012. –– 30 January - 4 February. –– С. 137.

4. Геворкян Мигран Нельсонович. Условие симплектичности методов Рунге– Кутты // Шестнадцатая научная конференция молодых учёных и специалистов ОИЯИ / ОИЯИ. –– Дубна, 2012. –– February, 6–11. –– С. 41.

5. Геворкян Мигран Нельсонович. Изучение композиции метода Рунге– Кутты со своим присоединенным методом // Информационнотелекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем / РУДН. –– Москва, 2012. –– April, 23-27. –– 6. Геворкян Мигран Нельсонович. Условие явности и диагональной неявности при композиции метода Рунге–Кутты со своим присоединенным // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». –– 2012. –– № 3. –– С. 87–96.

7. Геворкян Мигран Нельсонович. Конкретные реализации симплектических численных методов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика.

Физика». –– 2013. –– № 1. –– С. 89–96.

Цитируемая литература 8. Сурис Ю.Б. Гамильтоновы методы типа Рунге-Кутты и их вариационная трактовка. // Математическое моделирование. –– 1990. –– Т. 2, № 4. –– С. 78– 9. Ракитский Ю. В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами численного интегрирования. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –– 1961. –– Т. 1, № 6. –– С. 947– 962. –– URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7998.

10. Budd C.J., Piggott M. D. Geometric Integration and Its Applications // in Handbook of numerical analysis. –– 2003. –– Vol. 11. –– P. 35–139. –– URL: http:// www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1570865902110027.

11. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. –– 2 edition. –– New Zealand : Wiley, 2003. –– 425 p. –– ISBN: 0-471-96758-0.

12. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. –– Москва : Факториал, 1995. –– 448 с.

13. В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. –– Москва :

УРСС, 2003. –– 416 с. –– ISBN: 5-354-00341-5.

14. Голдстейн Г. Классическая механика. –– 1 изд. –– Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. –– 410 с.

15. Sanz-Serna J.M., Calvo M.P. Numerical Hamiltonian Problems. –– 1 edition. –– London : Chapman and Hall, 1994. –– 207 p. –– ISBN: 0-412-54290-0.

16. Lasagni F. M. Canonical Runge-Kutta methods // Zeitschrift fr Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). –– 1988. –– Vol. 39. –– P. 952–953. –– 10.1007/BF00945133. URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF00945133.

17. Sanz-Serna J M. Runge-kutta schemes for Hamiltonian systems // BIT. –– 1988. –– Vol. 28, no. 4. –– P. 877–883. –– URL: http://www.springerlink.

com/index/10.1007/BF01954907.

18. Okunbor Daniel I., Skeel Robert D. Explicit canonical methods for Hamiltonian systems // Mathematics of Computation. –– 1992. –– Vol. 59. –– P. 439–455.

19. Laskar Jacques, Robutel Philippe. High order symplectic integrators for perturbed Hamiltonian systems. –– 2000. –– May. –– arXiv:astro-ph/0005074.

20. Mclachlan Robert I. Composition methods in the presence of small parameters. –– 2003. –– February.

Геворкян Мигран Нельсонович (Россия) Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге–Кутта на длительных интервалах времени В работе, проведена оценка точности сохранения физически значимых инвариантов различными симплектическими методами. Для численных экспериментов были использованы модели задачи двух тел, ограниченной задачи трех тел и линейного осциллятора.

Доказан ряд вспомогательных теоретических результатов, касающихся связи явности и диагональной неявности присоединенных методов Рунге–Кутта и условия симплектичности раздельного метода Рунге–Кутта. Показана связь между составными методами для распадающегося на кинетическую и потенциальную энергии гамильтониана и раздельными методами Рунге–Кутта.

Дана оценка применимости конкретных симплектических методов в зависимости от вида функции Гамильтона. Показанно, что для ограниченной задачи трех тел применение симплектических методов типа Рунге–Кутта невозможно. Для этой задачи построены составные численные схемы типа Йошиды не сводимые к раздельным методам Рунге–Кутта.

In this dissertation, the accuracy of the preservation of physical invariants by symplectic numerical methods are studied. For the numerical experiments, we use models of two-body problem, restricted three-body problem for a linear oscillator.

We prove a number of auxiliary theoretical results concerning relation of explicit and diagonal implicit Runge-Kutta methods with symplectic conditions of partitioned Runge– Kutta methods. In addition, the relation between the splitting methods and partitioned symplectic Runge–Kutta methods is shown (in case when the Hamiltonian splits on potential and kinetic parts) The estimation of the applicability of specific symplectic methods depending on the type of the Hamiltonian. We show that for the restricted three-body problem it is impossible to use symplectic Runge–Kutta methods. For this problem, we construct splitting numerical schemes (Yoshida’s type) which are impossible to reduce to partitioned Runge–Kutta methods.