На правах рукописи

СЕРГЕЕВА Ирина Евгеньевна

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА

ПРИ ИЗУЧЕНИИ ВВОДНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2011

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский педагогический государственный университет"

Научный руководитель: доктор педагогических наук, доцент ТИМОФЕЕВА Ирина Леонидовна

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор ЖОХОВ Аркадий Львович кандидат педагогических наук, доцент НЕИСКАШОВА Елена Валентиновна

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Московский городской педагогический университет"

Защита диссертации состоится «17» июня 2011 г. в «_» часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.18 при ГОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет" по адресу: 107140, г. Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет МПГУ, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Московского педагогического государственного университета по адресу: 119991, г. Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан «_» мая 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета Р.М. Асланов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одной из основных целей современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности, способной точно и грамотно выражать свои мысли. Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что развитие интеллекта каждого человека так или иначе связано со способностью логически правильно выстраивать речь. Обучение математике в силу специфики самого предмета предоставляет широкие возможности для формирования логически грамотной речи учащихся, в частности их математической речи. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного уровня логической грамотности школьников и студентов, поэтому требуется специальная работа в этом направлении – целенаправленная логическая подготовка учащихся.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе, в том числе связанным с обучением математическому языку в его логическом аспекте, уделяли внимание многие отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Л.А. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Ф. Клейн, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др. Некоторые логические аспекты математической подготовки школьников и студентов педвуза – будущих учителей математики – затронуты в работах известных специалистов в области методики преподавания математики: В.А. Гусева, В.А. Далингера, А.Л. Жохова, Ю.М. Колягина, А.Г. Мордковича, Г.И. Саранцева, В.А. Тестова, А.В. Ястребова и др.

Многочисленные исследования посвящены логическому развитию учащихся в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные работы А.А. Столяра и И.Л. Никольской. А.А. Столяр выявил и системно исследовал логические проблемы обучения математике.

И.Л. Никольская первой обозначила и исследовала проблемы формирования логической грамотности учащихся средней школы.

Проблемам формирования математической и логической культуры учащихся, прежде всего культуры их математической речи (применительно к разным ступеням обучения), посвящены диссертационные исследования Дж. Икрамова, Л.Н. Удовенко, Д.В. Шармина и др. Проблемам формирования логической грамотности школьников – первой ступени формирования их логической культуры, посвятили свои диссертационные исследования сначала И.Л. Никольская, а затем Е.П. Маланюк, О.Г. Сорока и др. Важные аспекты логической подготовки школьников (на разных ее этапах) исследованы в диссертациях О.В. Алексеевой, Т.П. Варламовой, В.Г. Ежковой, С.С. Елифантьевой, Б.Д. Пайсона и др.

На серьезность проблем логической подготовки студентов педвуза одним из первых обратил внимание А.А. Столяр. Позже проблемам совершенствования логической подготовки будущих учителей математики (на разных ее этапах) посвятили кандидатские диссертации М.Е. Драбкина, Т.В. Морозова, Ю.А. Моторинский, С.А. Севостьянова, А.В. Фомина и др., а также докторские диссертации В.И. Игошин, А.Х. Назиев, И.Л. Тимофеева и др. Проблемам формирования логической культуры будущих учителей математики, в том числе формирования их логической грамотности, уделяли внимание В.И. Игошин, А.Б. Михайлов, Т.В. Морозова, Ю.А. Моторинский, А.Х. Назиев, Б.Д. Пайсон, С.А. Севостьянова, И.Л. Тимофеева, Е.В. Яковлева и др.

Формирование логической грамотности учащихся является одной из целей их математической подготовки, а уровень их логической грамотности – важным показателем качества этой подготовки. Логическая грамотность характеризуется владением комплексом таких логических знаний и умений, без которых невозможно успешное обучение математике, невозможно формирование ни логической, ни математической культуры. Особо важной составляющей логической грамотности учащихся является логическая грамотность речи (как устной, так и письменной).

В связи со снижением уровня образования в целом (и среднего математического образования в частности) проблема формирования логической грамотности учащихся из проблемы средней школы превратилась в проблему высшей школы. Действительно, уровень логической подготовки при изучении школьного курса математики заметно снизился, а в такой ситуации трудно даже успешно начать обучение математике в вузе, особенно в педвузе, поскольку именно здесь важнее, чем в других вузах, формировать не умения технического характера, а умение точно и четко выражать свои мысли, умение рассуждать.

Особенностью математического языка (прежде всего, языка высшей математики) является особое понимание логических союзов и кванторных слов, а также использование специфических языковых конструкций с переменными и кванторными словами. Это отличает математический язык от естественного языка. Поэтому многие проблемы, возникающие у студентов при изучении математических дисциплин, по существу имеют логический характер и обусловлены тем, что студенты с большим трудом осваивают математический язык.

Ситуация усугубляется также тем, что сегодняшние студенты первого курса педвуза имеют, как правило, слабую логическую подготовку, недостаточную для изучения математических дисциплин. Как отмечают многие специалисты в области методики преподавания математики и как показывает опыт коллег и собственный опыт преподавания, логическая грамотность студентов, поступивших на математический факультет педвуза, находится на очень низком уровне, практически не сформирована. Разрыв между уровнем логической грамотности, имеющимся у абитуриентов – выпускников средних общеобразовательных школ, и уровнем, необходимым студентам для успешного изучения математических дисциплин в высшей школе, неуклонно увеличивается. В связи с этим возрастает опасность того, что студенты педвуза, будучи малоспособными преодолеть трудности овладения языком высшей математики, все хуже будут справляться с обучением в вузе в целом.

Несмотря на пристальное внимание специалистов в области методики преподавания математики к логической подготовке учащихся, осталось еще много нерешенных проблем, связанных с логической подготовкой студентов математического факультета педвуза. В частности, остается практически не изученной проблема формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза. В то же время, несомненно, от успешности формирования у студентов логической грамотности математической речи в самом начале их обучения в вузе во многом зависит и успешность их математической подготовки в целом, поскольку логическая грамотность математической речи служит базой для формирования логической культуры, являющейся составляющей математической культуры.

В связи с этим возникает необходимость в целенаправленной логической подготовке студентов первого курса математического факультета педвуза к изучению математических дисциплин. Такую подготовку можно осуществить в рамках Вводного курса математики (ВКМ), предназначенного в первую очередь помочь студентам овладеть математическим языком.

Проведенный анализ литературы, близкой по тематике нашему исследованию, показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с формированием логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза. Отметим, прежде всего, следующие противоречия:

– между необходимостью при изучении математических дисциплин оперировать языковыми конструкциями и понятиями логического характера, специфическими для языка высшей математики, и отсутствием опыта такого оперирования у студентов первого курса, а также недостаточно высоким фактическим уровнем логической грамотности их математической речи;

– между необходимостью овладения студентами логически грамотной математической речью и недостаточным вниманием к формированию у студентов логической грамотности речи при обучении математическим дисциплинам, а также малой эффективностью стихийного формирования соответствующих умений, характеризующих это качество речи;

– между существованием возможности в рамках Вводного курса математики специально организованного и целенаправленного формирования логической грамотности математической речи студентов и отсутствием методики такого формирования.

Указанные противоречия определили проблему исследования: какой должна быть методика эффективного формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.

Все изложенное подтверждает актуальность научно-методического исследования, посвященного проблеме формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.

Объектом исследования является процесс обучения математическим дисциплинам студентов первого курса математического факультета педвуза.

Предметом исследования является формирование логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.

Основная цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза в рамках Вводного курса математики.

Гипотеза исследования состоит в следующем: методика формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза в рамках Вводного курса математики будет эффективной, если она будет базироваться:

– на формировании основных логико-языковых знаний и умений;

– на использовании комплекса специально разработанных логико-ориентированных задач;

– на применении непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи.

Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования:

– на основе анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также опыта коллег и собственного опыта преподавания математических дисциплин в педвузе выявить психолого-педагогические особенности формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса педвуза; выявить и классифицировать типичные логико-языковые ошибки, которые допускают студенты первого курса математического факультета педвуза при изучении математических дисциплин;

– раскрыть понятие логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза, а именно: выделить основные логикоязыковые знания и умения, характеризующие логическую грамотность математической речи; изучить и раскрыть логические нормы математического языка;

– сформулировать концептуальные положения, которые могут быть положены в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза;

– в соответствии с концептуальными положениями разработать методику формирования у студентов в рамках Вводного курса математики основных логико-языковых умений, характеризующих логическую грамотность математической речи; комплекс задач, направленных на формирование логической грамотности математической речи студентов; методику контроля результатов формирования логической грамотности математической речи студентов (в частности, разработать методику оценки уровня логической грамотности математической речи);

– экспериментально проверить эффективность разработанной методики формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза в рамках Вводного курса математики.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования:

– теоретические методы (изучение и анализ соответствующей литературы, связанной с тематикой данного исследования; изучение и анализ опыта преподавания математических дисциплин коллегами из МПГУ и других педвузов, а также обобщение и систематизация собственного опыта преподавания Вводного курса математики и других математических дисциплин в МПГУ);

– экспериментально-диагностические методы, используемые при проведении педагогического эксперимента по проверке эффективности разработанной методики (беседы со студентами и преподавателями; изучение и анализ письменных диагностических работ студентов; анкетирование студентов; статистическая обработка некоторых результатов педагогического эксперимента).

Научная новизна исследования заключается в следующем:

– введено и раскрыто понятие логической грамотности математической речи – важнейшей составляющей логической грамотности – применительно к студентам математического факультета педвуза: выявлены основные универсальные логико-языковые умения, характеризующие логическую грамотность математической речи; раскрыты логические нормы математического языка;

охарактеризован минимум логико-языковых знаний и умений, необходимых для успешного изучения математических дисциплин;

– сформулированы концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов и выражают позицию автора относительно решения проблемы формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза;

– разработана методика формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики, включающая методику формирования основных универсальных логико-языковых умений, характеризующих логическую грамотность математической речи, методику непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи (отличающуюся от методики традиционного периодического контроля в высшей школе), а также методику оценки уровня логической грамотности математической речи;

– разработан комплекс задач нового типа, направленных на формирование логической грамотности математической речи – логико-ориентированных задач.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

– раскрыто понятие логической грамотности математической речи применительно к студентам математического факультета педвуза;

– сформулированы концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов педвуза в рамках Вводного курса математики;

– предложена классификация логико-ориентированных задач;

– разработаны критерии оценки уровня логической грамотности математической речи студентов.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанные методические материалы (комплекс логико-ориентированных задач и материалы для контроля) и методические рекомендации по формированию основных универсальных логико-языковых умений могут быть использованы преподавателями, ведущими практические занятия по Вводному курсу математики, а также в системе повышения квалификации учителей и в определенной степени учителями математики в курсе математики основной школы, при разработке элективных курсов для учащихся профильных классов; внедрение результатов исследования позволяет повысить эффективность формирования логической грамотности математической речи студентов.

Практическая значимость исследования подкрепляется успешным внедрением его результатов в практику преподавания Вводного курса математики на математическом факультете МПГУ. Результаты исследования нашли свое отражение в учебном пособии «Практикум по Вводному курсу математики», написанном в соавторстве с И.Л. Тимофеевой и Е.В. Лукьяновой.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются согласованностью разработанной методики с достижениями психологопедагогической науки и результатами других исследователей по проблемам логико-математической подготовки студентов математического факультета педвуза; корректным применением к исследуемой проблеме деятельностного подхода; использованием современных методов исследования; адекватностью системы методов цели, задачам и предмету исследования; результатами педагогического эксперимента; положительной оценкой разработанных методических материалов коллегами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Формирование способности пользоваться математическим языком в соответствии с его логическими нормами следует базировать на специально организованном и целенаправленном обучении минимуму логико-языковых знаний и умений, необходимых для успешного изучения математических дисциплин;

этот минимум определяется составом логико-языковой учебной деятельности студентов и типичными логико-языковыми ошибками студентов при изучении математики.

2. Неотъемлемым компонентом логико-языковой деятельности студентов при изучении любой математической дисциплины являются универсальные логикоязыковые умения, владение которыми составляет базу логической грамотности математической речи. Важнейшими из них являются следующие умения: умение переходить от безусловной формы теоремы к условной форме и наоборот;

умение строить для данного предложения обратное, противоположное, контрапозитивное ему предложения и понимать логическую взаимосвязь между ними;

умение переходить от теоремы, сформулированной в терминах необходимых и достаточных условий, к условной форме и наоборот; умение выявлять логическое строение и записывать символически теорему или определение и, наоборот, восстанавливать их по символической записи; умение преобразовывать отрицание предложения.

3. Использование комплекса логико-ориентированных задач при изучении Вводного курса математики способствует формированию универсальных логико-языковых умений студентов, а также позволяет, делая логические акценты, повторить теоремы и определения школьного курса математики и закрепить математический материал, изучаемый в вузе.

4. Методика непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи, осуществляемого при изучении Вводного курса математики, имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционной для высшей школы методикой периодического контроля и способствует повышению эффективности формирования логической грамотности математической речи студентов.

5. Формирование логической грамотности математической речи студентов по разработанной методике является эффективным, о чем свидетельствует абсолютное и относительное (по сравнению с контрольной группой) повышение уровня логической грамотности математической речи студентов экспериментальной группы, обучавшихся по этой методике.

Дальнейшим продолжением работы может служить разработка методики формирования логической культуры студентов математического факультета педвуза при изучении математических дисциплин; разработка содержания и методического обеспечения элективных курсов логического содержания для учащихся профильных классов.

Апробация исследования. Содержание, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на следующих восьми конференциях: V Колмогоровские чтения (Ярославль, 2007 г.); VII Международные Колмогоровские чтения (Ярославль, 2009 г.); VIII Международные Колмогоровские чтения (Ярославль, 2010 г.); VI всероссийская научно-практическая конференция "Актуальные проблемы математического образования в школе и педагогическом вузе" (Барнаул, 2007 г.); IV Международная научная конференция "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2009 г.); XXVIII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования" (Екатеринбург, 2009 г.); III международная научно-методическая конференция "Эвристическое обучение математике" (Донецк, 2009 г.); Всероссийская конференция "Математика, информатика и методика их преподавания" (Москва, 2011 г.).

Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных сессиях МПГУ по итогам НИР на секции методики преподавания математики (Москва, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.).

Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались на научно-методическом семинаре "Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе" под руководством действ. чл. РАН, действ. чл. РАО, д.ф.-м.н., проф. В.Л. Матросова (МПГУ, Москва, 2011 г.).

Внедрение результатов исследования. Разработанная нами методика в течение пяти лет (2006/07–2010/11 уч. гг.) используется при обучении Вводному курсу математики на математическом факультете МПГУ. Учебное пособие по этому курсу, а также разработанные методические материалы и рекомендации, реализующие концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов, активно используются студентами и преподавателями МПГУ, ведущими практические занятия по Вводному курсу математики. Кроме того, материалы исследования используются в процессе преподавания в других учебных заведениях.

По результатам диссертационного исследования опубликованы 14 работ общим объемом 12,26 п.л.: 1 учебное пособие, 13 статей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 11 приложений. Общий объем работы 235 с., из них 179 с. занимает основной текст, 56 с. – приложения; список литературы содержит 189 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены его объект и предмет, сформулированы цель и гипотеза, указаны задачи и методы исследования, раскрыты практическая и теоретическая значимость исследования, а также его научная новизна, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации и внедрении результатов исследования.

В первой главе "Психолого-педагогические основы формирования логической грамотности математической речи студентов педвуза" раскрыто понятие логической грамотности математической речи (ЛГМР) применительно к студентам математического факультета педвуза; выявлены психолого-педагогические особенности обучения студентов, в том числе формирования их ЛГМР; проведено сопоставление понятий "язык" и "речь"; раскрыты логические нормы математического языка; выявлены особенности языка высшей математики; проанализированы типичные логико-языковые ошибки студентов и проведена их классификация; предложен один из путей преодоления трудностей овладения языком высшей математики.

В первом параграфе этой главы проведен краткий обзор научнометодических исследований по проблемам формирования логической культуры учащихся, в том числе по проблемам формирования их логической грамотности – первой ступени формирования логической культуры.

Понятие логической грамотности введено И.Л. Никольской (1973 г.). Под логической грамотностью выпускников средних общеобразовательных школ она понимает "свободное владение некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис для его развития".

На основе анализа имеющихся трактовок понятий логической и математической грамотности учащихся мы предложили две трактовки понятия ЛГМР студентов математического факультета педвуза. Логическую грамотность математической речи студентов можно рассматривать как 1) способность понимать математическую речь в ее логическом аспекте и пользоваться математическим языком в соответствии с его логическими нормами, т. е. без логико-языковых ошибок; 2) владение минимумом логико-языковых знаний и умений, необходимых для успешного изучения математических дисциплин.

Две трактовки понятия ЛГМР связаны друг с другом следующим образом:

формирование способности понимать математическую речь в ее логическом аспекте и пользоваться математическим языком в соответствии с его логическими нормами следует базировать на формировании минимума логикоязыковых знаний и умений. Первая трактовка соответствует компетентностному подходу, а вторая – традиционному подходу к пониманию логической грамотности, идущему от И.Л. Никольской. Для измерения уровня ЛГМР в данном исследовании использовалась вторая трактовка.

Логико-языковые умения, которые можно применять в работе логического характера с математическим материалом (прежде всего, теоремами и определениями) или иным материалом независимо от содержания, мы назвали универсальными. В исследовании выделено пять основных универсальных логикоязыковых умений, которые характеризуют ЛГМР. При выделении этих умений мы учитывали их важность в логико-языковой учебной деятельности студентов и типичные логико-языковые ошибки, связанные с их несформированностью.

Перечислим основные универсальные логико-языковые умения: 1) умение переходить от безусловной формы теоремы к условной форме и наоборот;

2) умение строить для данного предложения обратное, противоположное и контрапозитивное ему предложения; 3) умение переходить от теоремы, сформулированной в терминах необходимых и достаточных условий, к условной форме и наоборот; 4) умение выявлять логическое строение и записывать символически теорему или определение и, наоборот, восстанавливать их по символической записи; 5) умение преобразовывать отрицание предложения.

Взаимосвязь этих умений представлена на схеме 1.

Схема 1. Взаимосвязь основных универсальных логико-языковых умений 2) умение строить предложения – обратное, противоположное и контра- 5) умение преобразовывать отрицание 3) умение переходить от теоремы в терминах 4) умение записывать символически теорему или "необходимо" и "достаточно" к условной определение и, наоборот, восстанавливать их по Именно эти умения необходимо сформировать у студента в качестве базы его ЛГМР в первую очередь. Посредством формирования этих умений мы формировали ЛГМР студентов.

Во втором параграфе формирование ЛГМР студентов рассмотрено с позиций деятельностного, компетентностного и личностно-ориентированного подходов к обучению. Рассмотрены виды логико-языковой учебной деятельности:

1) распознавание логико-языковых конструкций; 2) конструирование предложений с помощью логических операций (включая кванторные); символической записи математических теорем и определений и, наоборот, предложения по его символической записи; обратного, противоположного, контрапозитивного предложений для данного предложения; 3) воспроизведение формулировок теорем и определений; 4) преобразование предложений (переход к равносильному предложению; переход от одной формы теоремы к другой ее форме, в частности от безусловной формы к условной, и др.); 5) выявление и объяснение сути логико-языковых ошибок.

На основе анализа психолого-педагогических исследований выявлены психолого-педагогические особенности обучения студентов (преобладание словеснологического мышления; слабо развитая логическая рефлексия, но готовность к ее развитию; недостаточный языковой опыт и слабо развитая логическая интуиция и др.) и подтверждена возможность формирования ЛГМР у студентов первого курса. На основе теории поэтапного формирования умственных действий охарактеризованы особенности формирования ЛГМР студентов.

В этом же параграфе указаны возможности развития способности студентов к логико-языковой рефлексии и интуиции посредством решения логикоориентированных задач определенного типа.

В третьем параграфе сопоставлены понятия "язык" и "речь", в частности "математический язык" и "математическая речь". Реальный математический язык является фрагментом естественного языка, который дополнен символикой и специальной лексикой. Математический язык существует и реализуется в математической речи. Математическая речь оформляется в соответствии с нормами математического языка, т. е. к ней предъявляются определенные требования.

Логическая грамотность – важный показатель качества математической речи.

В этом параграфе раскрыты логические нормы математического языка. Эти нормы представляют собой правила использования логических средств математического языка, соблюдение которых обеспечивает точность выражения мысли и однозначность понимания смысла математических выражений, предложений и определений. Рассмотрены три группы логических норм математического языка:

I. Нормы логического конструирования математических выражений, предложений и определений. II. Нормы преобразования математических предложений.

III. Нормы использования логических символов для записи математических теорем и определений. Указано, к чему может привести несоблюдение этих норм.

Овладение "логическим минимумом" (формирование базовых логико-языковых знаний и умений, в частности ознакомление с логическими нормами математического языка) способствует формированию ЛГМР. Этот "логический минимум" является универсальным, поскольку используется в неизменном виде при изучении каждой математической дисциплины.

Здесь же выявлены особенности языка высшей математики, отличающие его от языка школьной математики, которые определяются: 1) явным использованием кванторных слов в формулировках теорем и определений; 2) использованием сложных комбинаций кванторов в формулировках теорем и определений;

3) систематическим использованием логической символики; 4) широким использованием теорем в безусловной форме; 5) широким использованием терминов логического характера.

В четвертом параграфе выявлены и проанализированы типичные логикоязыковые ошибки студентов первого курса математического факультета педвуза; приведены примеры этих ошибок и проведена их классификация. Выделены следующие классы типичных логико-языковых ошибок: ошибки при переходе от безусловной формы теоремы к условной форме; ошибки при построении обратного, противоположного и контрапозитивного предложений; ошибки в использовании терминов "необходимо" и "достаточно"; ошибки в употреблении логических союзов и кванторных слов; ошибки в символической записи теоремы и определения; ошибки в преобразовании отрицания предложения; ошибки в формулировке определения математического понятия.

В этом параграфе приведены сформулированные нами концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза и которые отражают наше видение сути проблемы этого формирования и пути ее решения: 1. Формирование ЛГМР студентов является одной из целей их математической подготовки, а уровень их ЛГМР – важным показателем качества этой подготовки. 2. Интенсивное формирование ЛГМР студентов необходимо начать с первых дней обучения в вузе, поскольку уровень их ЛГМР недостаточен даже для того, чтобы успешно начать изучение математических дисциплин в вузе. 3. Для эффективности формирования ЛГМР студентов необходимо, чтобы оно было целенаправленным и специальным образом организованным, поскольку стихийное формирование ЛГМР в процессе изучения математических дисциплин малоэффективно. 4. Интенсивное и целенаправленное формирование ЛГМР студентов возможно только в рамках Вводного курса математики, основное назначение которого – помочь студентам овладеть математическим языком на уровне, необходимом для успешного изучения математических дисциплин в педвузе. 5. Наиболее эффективным подходом к формированию ЛГМР является индуктивный подход, а наиболее эффективной формой организации обучения, в процессе которого формируется ЛГМР, – практические занятия. 6. Для формирования ЛГМР студентов необходим специальный комплекс логико-ориентированных задач, использующих как содержание школьного курса математики, так и содержание вузовских математических дисциплин. Сочетание в задачах школьного и вузовского материала должно базироваться на инвариантной логической основе. 7. В процессе формирования ЛГМР студентов целесообразно использование символьной наглядности, особенно для записи математических определений и теорем. Использование символики целесообразно не только и не столько для достижения краткости записи, сколько для точности и однозначности понимания студентами определений и теорем. 8. Принципиально важно не подменять обучение логическим основам математического языка обучением формальной логике.

Во второй главе "Методика формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики" описаны основные компоненты разработанной нами методики формирования ЛГМР студентов при изучении ВКМ; охарактеризован комплекс задач, направленных на формирование ЛГМР; раскрыты методика формирования основных универсальных логико-языковых умений и методика непрерывного контроля результатов формирования ЛГМР; приведены результаты педагогического эксперимента.

В первом параграфе описаны основные компоненты разработанной методики формирования ЛГМР студентов в рамках Вводного курса математики:

указаны цели формирования ЛГМР, средства и методы формирования ЛГМР, формы обучения в рамках Вводного курса математики; охарактеризовано содержание обучения; сформулированы требования, предъявляемые к результатам формирования ЛГМР, в которых учтены компетенции, указанные в ФГОС ВПО; приведены принципы разработки этой методики. Указана роль Вводного курса математики в формировании ЛГМР студентов.

Сформулированы требования к отбору содержания разделов Вводного курса математики, направленных на формирование ЛГМР. Одно из основных требований состоит в том, что в содержании должен быть представлен логический материал, усвоение которого необходимо студентам для успешного изучения математических дисциплин. Проанализировав состав логико-языковой деятельности студентов при изучении математики в педвузе, мы выделили комплекс логических знаний и умений, необходимых для освоения математики.

В него включены: логические операции над предложениями, кванторы, основные законы логики, символическая запись теорем и определений, анализ логического строения теорем разного типа (в частности, теорем существования и единственности), переход от одной формулировки теоремы (в частности, в терминах необходимых и достаточных условий) к другой, построение предложений, структурно ассоциированных с данным (обратного, противоположного, контрапозитивного).

Условно выделены два этапа формирования ЛГМР в рамках Вводного курса математики: 1) освоение базовых логико-языковых знаний и умений; 2) применение полученных на первом этапе знаний и умений в логико-ориентированной работе над формулировками теорем и определений.

Перечислены основные принципы, которыми мы руководствовались при разработке методики формирования ЛГМР студентов при изучении ВКМ:

1) принцип деятельностного подхода (прежде всего, использование только практических занятий в качестве формы организации обучения и логикоориентированных задач как основного средства формирования ЛГМР, мотивированное изучение каждой темы логического характера); 2) принцип индуктивного подхода (изучение каждой темы в следующем порядке: пример вопроса или задачи логического характера, часто встречающихся при изучении математических дисциплин; теоретические обобщения; решение логикоориентированных задач); 3) принцип символьной наглядности (систематическое использование логической символики для записи определений и теорем); 4) принцип минимальности использования средств формальной логики (только знание основных законов логики); 5) принцип универсальности (формирование универсальных логико-языковых умений); 6) принцип сопоставления математического и естественного языков; 7) принцип непрерывного контроля результатов формирования ЛГМР.

Во втором параграфе охарактеризован комплекс логико-ориентированных задач, используемых для формирования ЛГМР студентов в рамках Вводного курса математики. В данном исследовании под логико-ориентированными задачами понимаем задачи, в которых акцентировано внимание на логическом аспекте математического языка и которые направлены на формирование логико-языковых знаний и умений.

При разработке комплекса задач, помимо общих принципов, мы руководствовались следующими сформулированными нами принципами: 1) принципом бифункциональности (каждая задача должна выполнять две функции: формирование логико-языковых знаний и умений, а также закрепление и углубление математических знаний); 2) принципом преемственности (комплекс задач должен обеспечивать повторение с логическими акцентами материала школьного курса математики); 3) принципом реализации межпредметных связей (комплекс задач должен обеспечивать закрепление и углубление с логическими акцентами материала основных математических дисциплин); 4) принципом дифференциации (комплекс задач должен обеспечивать реализацию дифференцированного подхода к обучению и принципа "от простого к сложному");

5) принципом доступности (в задачах должен учитываться уровень математической и логической подготовки студентов, соблюдаться разумный уровень строгости); 6) принципом сведения к минимуму изучения формальной логики;

7) принципом учета и предупреждения логико-языковых ошибок; 8) принципом комплексности (формирование нескольких взаимосвязанных логико-языковых умений в одной задаче); 9) принципом значимости для изучения математических дисциплин (ориентация на задачи, которые возникают в качестве логической составляющей учебной математической деятельности).

Здесь же предложена классификация разработанных задач (в соответствии с видами логико-языковой учебной деятельности). Выделены следующие классы задач: 1) задачи на распознавание видов логико-языковых конструкций; отношений между предложениями; 2) задачи на конструирование предложений с помощью логических операций (включая кванторные); предложений посредством выбора слов (словосочетаний или условий) и заполнения пропусков; предложений, структурно ассоциированных с данным (обратного и т. п.); логически грамотной формулировки теорем и определений; символической записи теорем и определений и, наоборот, предложения по его символической записи; условия непринадлежности объекта понятию; 3) задачи на преобразование предложений (переход к равносильному предложению; переход от одной формы теоремы к другой – от безусловной к условной и наоборот; от формулировки в терминах необходимых и достаточных условий к условной форме и наоборот и др.).

Приведены примеры логико-ориентированных задач, сопровождающиеся методическими рекомендациями.

Указаны особенности разработанного комплекса логико-ориентированных задач. Комплекс задач, в частности: 1) отличается разнообразием (задачи различаются как по типу, так и по содержанию); 2) помимо традиционных содержит значительное количество авторских задач, в частности новых по типу; 3) содержит задачи, с помощью которых можно проверить, насколько у студентов сформировано понимание универсальности соответствующих логико-языковых умений.

В третьем параграфе раскрыта методика формирования основных универсальных логико-языковых умений в рамках Вводного курса математики.

Формирование каждого универсального умения происходило посредством решения логико-ориентированных задач, предлагаемых в порядке возрастания уровня сложности, зависящего от строения теоремы (определения), над которой осуществлялась логико-языковая деятельность.

На схеме 2 представлены выделенные этапы формирования каждого универсального умения с помощью логико-ориентированных задач: 1) мотивация (мотивационный); 2) объяснение теории (теоретический); 3) решение задач, формирующих одно универсальное логико-языковое умение (логическая практика, практический); 4) решение задач, в процессе которого наряду с логико-языковыми умениями требуются математические знания – интеграция универсальных логико-языковых умений с математическими знаниями (интегративный); 5) решение задач комплексного характера, в процессе которого требуются несколько универсальных логико-языковых умений и, возможно, математические знания (комплексный); 6) решение задач, демонстрирующих универсальный характер логико-языковых умений.

Схема 2. Этапы формирования универсальных логико-языковых умений (УЛУ) Задача Объяснение Решение задач, формимотивация) теории рующих одно УЛУ Решение задач, интегрирующих логико-языковые умения Например, формирование умения строить предложение, обратное данному, проходило так. Сначала предлагалась задача, в которой построение обратного предложения вызывает трудности (к примеру, построение предложения, обратного теореме Пифагора). Затем уточнялись понятия обратного, противоположного и контрапозитивного предложений и устанавливались логические взаимосвязи между ними. Далее предлагался ряд задач, причем с каждой задачей усложнялось строение данного предложения, а значит, усложнялся и процесс построения обратного ему предложения.

В таблице 1 приведены примеры предложений в порядке возрастания сложности их строения с указанием их формы (вида) и уровня сложности. Эти предложения взяты из шести заданий со следующим одинаковым требованием:

"Для каждого предложения постройте обратное, противоположное и контрапозитивное предложения. Из четырех предложений а) укажите те, которые являются теоремами; б) составьте две пары логически равносильных предложений".

Таблица 1. Примеры предложений для построения обратного предложения п/п Если число делится на 6, то ник, если он равносторонДля любого x, если A(x), то B(x)" ний, то он имеет ось симметx (A(x) B(x)) ) Всякое множество, имеющее в безусловной форме с квантором 3 наибольший элемент, "Для любого x такого, что A(x), График четной функции в безусловной форме без квантора 4 симметричен относительно "Для x такого, что A(x), В равнобедренном в заключении предложения истреугольнике углы при пользуется термин, определяемый Если прямая перпендикулярв посылке предложения на одной из двух параллельконъюнкция "Если A и B, то С" ных прямых, то она перпенA&B C) дикулярна и другой прямой Приведем некоторые типичные ошибки при построении обратного предложения: "Число делится на 3, если оно делится на 6" (п. 1); "Если всякое множество ограничено сверху, то оно имеет наибольший элемент" (п. 3); "Если углы при основании треугольника равны, то он равнобедренный" (п. 5).

При формировании умения строить предложение, обратное данному, особое внимание уделялось выяснению, справедливо ли обратное предложение. Ответ на этот вопрос требует не только логических умений, но и знания математических теорем, на которые достаточно сослаться в случае положительного ответа, и умения опровергать ложное предложение в случае отрицательного ответа.

В четвертом параграфе изложена методика контроля результатов формирования ЛГМР студентов и приведены критерии оценки уровня их ЛГМР. Не менее важной, чем контролирующая, для нас являлась обучающая функция контроля. Особенностью используемого нами контроля является его непрерывный характер, что отличает его от традиционного для вуза периодического контроля. Особое внимание уделено текущему контролю, осуществляемому в основном с помощью 5–7-минутных самостоятельных работ на каждом занятии. Такие работы позволяли оперативно выявить трудности, возникшие у студентов при изучении последней темы, и проследить динамику формирования логико-языковых умений. Нами разработаны материалы для текущего и итогового контроля (в традиционной форме, в формате ЕГЭ, в форме, адаптированной для компьютера). Важнейший принцип отбора содержания контроля (в любом его виде) – вынесение на контроль задач, значимых для изучения математических дисциплин, основанных на материале школьного курса математики (для текущих самостоятельных работ) и материале математических дисциплин, изучаемых в вузе (для контрольной работы и зачета).

Нами разработана методика оценки уровня ЛГМР. Логическая грамотность – комплексная качественная характеристика учебной математической деятельности учащегося (в частности, математической речи). В связи с этим мы оценивали ЛГМР только по определенным параметрам, а именно – по сформированности отдельных умений, т. е. проводили локальную количественно-качественную оценку уровня ЛГМР. Для каждого универсального логико-языкового умения были выделены четыре уровня его сформированности (нулевой, низкий, средний, высокий) в зависимости от уровня сложности логического строения предложения, над которым требуется произвести действия, предполагаемые умением. Диагностические работы, посредством которых выявлялся уровень ЛГМР, состояли из пяти логико-ориентированных задач, направленных на проверку сформированности соответствующих пяти основных универсальных логико-языковых умений. Каждая из этих задач содержала по три задания разного уровня сложности. С учетом баллов за каждую задачу определялся показатель ЛГМР студента, который выражался в баллах от 0 до 3.

В пятом параграфе описана экспериментальная часть исследования. Педагогический эксперимент проводился на математическом факультете МПГУ в период с 2005 г. по 2011 г., имел многоплановый характер и проходил в несколько этапов. За все годы в эксперименте участвовало 695 студентов (с 1-го по 6-й курс).

В ходе констатирующего этапа (2005/06 уч.г.) установлено, что многие студенты первого курса допускают большое количество логико-языковых ошибок, что свидетельствует об их низком уровне ЛГМР и затрудняет нормальное изучение высшей математики.

На поисковом этапе (2006/07 уч.г.) началась разработка методики формирования ЛГМР студентов при изучении Вводного курса математики: выделены универсальные логико-языковые умения, характеризующие ЛГМР; разработаны задачи разных типов, направленные на формирование и проверку сформированности универсальных логико-языковых умений.

На обучающем и контролирующем этапе (2007/08–2010/11 уч.гг.) завершена разработка методики формирования ЛГМР студентов при изучении Вводного курса математики. Среди студентов первого курса в самом начале осеннего семестра 2007/08 уч.г. выделены экспериментальная группа (ЭГ) и контрольная группа (КГ). Студенты ЭГ изучали Вводный курс математики, в рамках которого осуществлялось формирование ЛГМР по разработанной нами методике.

Студенты КГ не изучали этот курс, формирование их ЛГМР проходило стихийно, в процессе изучения основных математических дисциплин.

На протяжении четырех лет (2007/08–2010/2011 уч.гг.) происходило сопоставление результатов формирования ЛГМР в КГ и ЭГ (с первого по четвертый годы обучения). Уровень ЛГМР студентов оценивался с помощью письменных диагностических работ. Использовались следующие виды оценивания уровня ЛГМР студентов ЭГ: стартовая работа (перед изучением ВКМ, 1 курс); текущая работа (в течение изучения ВКМ, 1 курс); итоговая работа (в конце изучения ВКМ, 1 курс), а также четыре отсроченных работы (спустя три месяца, один, два и три года после изучения ВКМ соответственно). Одновременно проводились диагностические работы и в КГ. С помощью этих работ выявлялось изменение уровня ЛГМР студентов ЭГ и КГ, а также сопоставлялись уровни ЛГМР студентов ЭГ и КГ. С помощью отсроченных работ проверялась также прочность усвоения материала логического характера студентами ЭГ.

Статистическая обработка результатов стартовой и итоговой диагностических работ, осуществляемая на основе критерия Стьюдента, показала, что 1) различие в исходных уровнях ЛГМР студентов ЭГ и КГ не является статистически значимым (при этом исходный уровень ЛГМР у большинства студентов каждой группы близок к нулевому); 2) различие в итоговых уровнях ЛГМР студентов ЭГ и КГ является статистически значимым. Результаты итоговой диагностической работы показали, что к концу первого семестра ЛГМР сформирована на высоком и среднем уровнях у 65,81% студентов ЭГ и лишь у 14,71% студентов КГ (диаграмма 1).

Отсроченные диагностические работы показали, что выявленные различия являются устойчивыми во времени.

Диаграмма 1. Распределение студентов ЭГ и КГ по уровню ЛГМР (итоговая работа) В течение четырех лет наблюдалось увеличение показателя ЛГМР у студентов обеих групп, но темп роста этого показателя у студентов ЭГ в течение семестра, когда они изучали ВКМ, был существенно выше, чем у студентов КГ;

на остальных этапах таких скачков не наблюдалось. Это отражено на диаграмме 2 (по вертикали указан средний по группе показатель ЛГМР).

Диаграмма 2. Динамика изменения показателя ЛГМР по результатам диагностических работ студентов ЭГ и КГ за четыре года (2007/08–2010/2011 уч.гг.) Показатель ЛГМР Кроме того, в диагностические работы включен математический материал, который не изучался и не повторялся во Вводном курсе математики (задачи по теории вероятностей). Это позволило выявить способность студентов видеть логический аспект в задачах нелогического характера, применить для их решения логические знания и умения (37,6% студентов ЭГ и 9,9% студентов КГ соответственно решили задачи верно и обосновали свой ответ).

Анализ результатов ежегодно проводимого анкетирования студентов показал, что студенты, изучавшие Вводный курс математики, оценивают содержание курса в целом как доступное, интересное и полезное для освоения других математических дисциплин.

Результаты эксперимента показали, что предлагаемый для изучения материал и формы его изучения доступны студентам, усиливают познавательную мотивацию, развивают логико-языковую рефлексию.

Таким образом, эксперимент подтвердил эффективность разработанной методики формирования ЛГМР студентов при изучении Вводного курса математики.

В заключении сформулированы основные результаты исследования и намечены перспективы дальнейших исследований. В процессе теоретикоэкспериментального исследования получены следующие основные результаты.

1. Раскрыто понятие логической грамотности математической речи применительно к студентам математического факультета педвуза:

– выделены составляющие логической грамотности; охарактеризована логическая грамотность математической речи как важнейшая составляющая логической грамотности;

– раскрыты логические нормы математического языка;

– сформулированы требования к результатам формирования логической грамотности математической речи;

– выявлены основные универсальные логико-языковые умения, характеризующие логическую грамотность математической речи, а также основные логико-математические умения, характеризующие способность применять универсальные логико-языковые умения;

– выделены основные виды логико-языковой учебной деятельности.

2. Разработаны концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза.

3. Разработана методика формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса педвуза в рамках Вводного курса математики, которая включает в себя:

– методику формирования универсальных логико-языковых умений в рамках Вводного курса математики;

– комплекс логико-ориентированных задач, использующих как содержание школьного курса математики, так и содержание вузовских математических дисциплин;

– методику контроля результатов формирования логической грамотности математической речи (в частности, материалы для контроля, в том числе с помощью компьютера; методику оценки уровня логической грамотности математической речи).

4. Проведена классификация типичных логико-языковых ошибок студентов по видам логико-языковой учебной деятельности.

5. Экспериментально подтверждена возможность, доступность и эффективность формирования логической грамотности математической речи студентов по разработанной методике. Эффективность этого формирования заключается в абсолютном и относительном (по сравнению с КГ) повышении уровня логической грамотности математической речи студентов ЭГ.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сергеева, И.Е. Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности будущих учителей математики [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Ярославский педагогический вестник. Гуманитарные науки. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. – № 1.

– С. 69-72. – 0,5 п.л. (авторский вклад 50%).

Сергеева, И.Е. Кванторные обороты и обороты с кванторным смыслом в обучении математике [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Математика в школе. – 2009. – № 9. – С. 30-35, 44. – 0,63 п.л. (авторский Сергеева, И.Е. О типичных ошибках логического характера [Текст] / И.Е. Сергеева // Математика в школе. – 2011. – № 2. – С. 47-48. – 0,21 п.л.

Сергеева, И.Е. Практикум по Вводному курсу математики: Учеб. пособие для студентов высш. пед. учебн. заведений [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева, Е.В. Лукьянова; под ред. В.Л. Матросова. – М.: МПГУ, 2010.

– 130 с. – 8,1 п.л. (авторский вклад 35%).

Сергеева, И.Е. О содержании «Вводного курса математики» в Московском педагогическом государственном университете [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Труды пятых Колмогоровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2007. – С. 158-164. – 0,34 п.л. (авторский вклад 50%).

Сергеева, И.Е. О программе «Вводного курса математики» [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Актуальные проблемы математического образования в школе и педагогическом вузе: материалы IV всероссийской научно-практической конференции. – Барнаул, 2007. – С. 391-396. – 0, п.л. (авторский вклад 50%).

Сергеева, И.Е. О реализации межпредметных связей во «Вводном курсе математики» [Текст] / И.Е. Сергеева // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 13. – М.: МПГУ, 2008. – С. 125-128. – 0,25 п.л.

Сергеева, И.Е. О формировании логической грамотности студентов первого курса математического факультета педвуза [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Математическое образование: концепции, методики, технологии: сборник трудов IV Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура», 21-24 апреля 2009 г., Россия, г. Тольятти / под общ. ред. Р.А. Утеевой. В 3-х ч. Ч. 2. – Тольятти: ТГУ, 2009. – С. 321-325. – 0,3 п.л. (авторский вклад 50%).

Сергеева, И.Е. О преемственности Вводного курса математики на математическом факультете МПГУ и школьного курса математики [Текст] / И.Е. Сергеева // Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования: материалы XXVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УрГПУ, ГОУ ВПО РГППУ, 2009. – С. 231-232. – 0,12 п.л.

Сергеева, И.Е. О содержательных линиях и формировании логических 10.

компетенций во Вводном курсе математики на математическом факультете педвуза [Текст] / И.Е. Сергеева // Эвристическое обучение математике // Материалы третьей международной научно-методической конференции. – Донецк: Изд-во ДонНУ, 2009. – С. 284-285. – 0,12 п.л.

Сергеева, И.Е. Об опыте формирования логической грамотности студентов 11.

математического факультета МПГУ в рамках «Вводного курса математики»

[Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Труды VII Международных Колмогоровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2009. – С. 180-186. – 0,4 п.л. (авторский вклад 50%).

12. Сергеева, И.Е. Об организации контроля при изучении дисциплины «Вводный курс математики» на математическом факультете МПГУ [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Математика, информатика, физика и их преподавание. – М.: МПГУ, 2009. – С. 290-296. – 0,38 п.л. (авторский вклад 50%).

13. Сергеева, И.Е. Об оценке логической грамотности математической речи студентов педагогического вуза [Текст] / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Труды VIII Международных Колмогоровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. – С. 199-205. – 0,4 п.л. (авторский вклад 50%).

14. Сергеева, И.Е. О формировании универсальных логико-языковых умений студентов педвузов [Текст] / И.Е. Сергеева // Математика, информатика и методика их преподавания: Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ / Ответственный редактор В.Л. Матросов. – М.: МПГУ, 2011. – С. 183-185. – 0,13 п.л.