На правах рукописи

Чудова Софья Сергеевна

Оптимальное восстановление некоторых

линейных операторов на классах функций по

неточной информации.

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович доктор физико-математических наук, профессор Осипенко Константин Юрьевич

Ведущая организация: Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 5 октября 2010 года в 17 часов на заседании диссертацион­ ного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов, распо­ ложенном по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета друж­ бы народов) по адресу: 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан « » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Л.Е. Россовский

Общая характеристика работы

Актуальность работы Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или из­ вестны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются по­ добного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимально­ го восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объ­ ектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о на­ хождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.

Цели диссертационной работы:

Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматри­ ваются следующие задачи:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информа­ ции о самой последовательности.

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно задан­ ному спектру;

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных клас­ сах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Решена задача об оптимальном восстановлении й разности числовой последовательности по неточной информации о самой последовательно­ 2. Исследована проблема восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразова­ нию Фурье этих функций. Найдено семейство оптимальных методов.

3. Получено явное выражение оптимального метода восстановления функ­ ций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью, и найдена оценка погрешности опти­ мального восстановления;

4. Решена задача об оптимальном восстановлении интегралов по много­ мерным шарам на соболевских классах функций по информации о гра­ ничных значениях функций и их нормальных производных.

Научная новизна При решении поставленных задач использовался современный подход, основанный на применении общих методов теории экстремума и принципов выпуклой двойственности. Были построены и проанализированы новые мето­ ды оптимального восстановления.

Практическая значимость В различных областях науки при исследовании тех или иных сигналов (звуковых, оптических и т.д.) возникает необходимость восстановления их по коэффициентам Фурье. Это типичная обратная задача, примеры которой можно найти, например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондиро­ вание Земли, спектральном анализе. Задача восстановления разностей после­ довательностей по неточным данным возникает всякий раз, когда необходи­ мо численно продифференцировать некоторую экспериментальную кривую.

Используемые для численного дифференцирования формулы, как правило, содержат в себе конечные разности.

Апробация работы Основные теоретические положения и результаты диссертационной рабо­ ты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

научном семинаре кафедры «Общих проблем управления»

механико-математического факультета МГУ под руководством проф.

В. М. Тихомирова;

Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие пробле­ мы управления и их приложения. Проблемы преподавания математи­ ки.» («ОПУ-2007») 8-12 октября 2007 г., Тамбов;

XXVI Конференции молодых ученых механико-математического фа­ культета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004 г.

52-й научно-технической конференции МИРЭА, Москва, 2003 г.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них статья в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК [1 ].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка ли­ тературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 90 страниц.

Диссертация содержит 8 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 14 на­ именований и приложение.

Содержание работы обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ Во Введении мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе восстановления линейных операторов по неточной информации. Описывают­ ся основные подходы к решению таких задач с позиций теории экстремума и принципов выпуклой двойственности.

содержится небольшой исторический эксурс, посвященный раз­ витию теории оптимального восстановления, изучаемым задачам и подходам к их решению.

рассматривается общая постановка задачи восстановления линей­ ного оператора. Пусть задано множество (класс) в векторном пространстве и линейный оператор :, отображающий в некоторое нормиро­ ванное пространство. Про каждый элемент мы располагаем ин­ формацией (), где : отображение (называемое информационным ) из нашего класса в другое векторное пространство. Инфор­ оператором мация об элементах из может быть задана неточно, и поэтому, вообще говоря, – многозначное отображение. Задача заключается в том, чтобы вос­ становить (по возможности наилучшим образом) оператор на классе по имеющейся информации. Любое отображение : будем называть методом восстановления. Схематично эту задачу можно изобразить так:

Погрешностью метода называется величина Погрешностью оптимального восстановления где нижняя грань берется по всем методам восстановления, а метод, на ко­ тором она достигается, называется оптимальным методом восстановления.

Таким образом критерием оптимальности считаем минимум так определен­ ной погрешности. Заметим, что эта величина гарантирует нам восстановление любой функции из класса с погрешностью не большей данной.

Задача о нахождении величины (1) и оптимального метода мы называем задачей оптимального восстановления оператора на классе по информа­ ции.

оптимального восстановления и теорема об оценке сверху.

приводится определение задачи выпуклого программирования и формулировка теоремы Каруша-Куна-Таккера.

Во второй главе -ой разности числовой последовательности при условии, что сама последо­ вательность известна приближенно и принадлежит классу последовательно­ стей, у которых -ая разность ( > ) ограничена некоторой константой.

Данная задача рассмотрена в статьях ([1 ], [1 ]). Это дискретный аналог зада­ чи об оптимальном восстановлении -ой производной на соболевском классе функций, рассмотренной в работах ([1], [2]).

Интерес к такой постановке вызван тем, что в практических задачах ча­ сто имеют дело с функциями, значения которых известны лишь в некотором наборе точек и при этом приближенно.

множество всех последовательностей = { }Z, для которых Это нормированное пространство с нормой — -ая разность последовательности = { }Z. Положим Ставится задача о восстановлении -ой разности (1 1) после­ довательности 2 (Z, ) при условии, что эта последовательность извест­ на приближенно, а именно, известна последовательность 2 такая, что 2, где > 0. Под этим мы понимаем следующее. Любое отобра­ жение : 2 2 объявляем методом восстановления и погрешностью этого метода называем величину Нас интересует величина дом восстановления.

помним, что преобразование Фурье на 2 ставит каждой последовательно­ сти = { }Z 2 в соответствие 2-периодическую функцию по формуле:

При > 2 для всех последовательностей, таких что выполняется нера­ венство метод () = ( * ) является оптимальным.

При 2 оптимальный метод имеет вид () =.

В частности, метод где – последовательность, преобразование Фурье которой вычисляяется по формуле является оптимальным.

Напомним, что свертка последовательностей и определяется следую­ щим образом:

-ой разности последовательности по наблюдению заключается в том, чтобы использовать само наблюдение. Если же это условие не выполняется, то наблюдаемую последовательность нужно предварительно сгладить“.

В §2.4 приводятся результаты численного эксперимента. Восстанавлива­ ется первая разность последовательности, полученной дискретизацией функ­ ции () = 3 sin() с шагом 2/100 на интервале [, ] с дальнейшим слу­ чайным зашумлением полученных значений. Строится оптимальный метод, проводится анализ полученных результатов. Представим результаты расче­ тов в виде графиков:

На рисунке круглыми маркерами обозначены значения искомой первой разно­ сти последовательности, квадратными – значения первой разности последо­ вательности, элементы последовательности, полученной применением опти­ мального метода обозначены треугольными маркерами. Как видно из рисун­ ка, оптимальный метод оказался намного ближе к искомой первой разности, чем тривиальный метод, не использующий сглаживание.

В третьей главе ций из соболевских классов и их производных дробных порядков по неточной информации о спектре. Данная задача является обобщением проблемы, рас­ смотренной в работе [1].

ных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобра­ зованию Фурье этих функций. Доказывается, что существуют целые серии оптимальных методов восстановления функций и их производных, отличаю­ щиеся различными способами фильтрации исходной информации.

2 (R) пространство функций (·) 2 (R), для которых () (·) 2 (R) (() (·) обозначает производную порядка в смысле Вейля1 ).

класс функций. Поставим следующую задачу. Допустим, что про функцию (·) известно ее преобразование Фурье (·) на с точностью до в метрике 2 ( ), т. е. известна функция (·) 2 ( ) такая, что (·) (·)2 ( ).

Пусть : 2 (R) 2 ( ) — отображение, сопоставляющее (·) суже­ ние (·) на, а : 2 (R) 2 ( ) – многозначное отображение, опре­ деленное по формуле: (·) = { (·) 2 ( ) | (·) (·)2 ( ) }.

Тогда информация об (·) заключается в том, что известна функция (·) (·).

Как и раньше, любое отображение : 2 ( ) 2 (R) объявляется ме­ тодом восстановления. Погрешностью этого метода называем величину Нас интересует величина которую назовем погрешностью оптимального восстановления и метод = (,, ), на котором нижняя грань достигается, т. е. для которого называемый оптимальным методом восстановления.

Задачу нахождения величины (,, ) и соответствующего опти­ мального метода назовем (,, )-задачей.

ты.

Рассмотрим задачу оптимального восстановления -ой производной (0 < < ) на соболевском классе и для каждого такого, что метод является оптимальным в (, 2 (R), )-задаче.

ных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью.

содержатся необходимые предварительные сведения. Пусть T – единичная окружность, реализованная как отрезок [, ] с идентифици­ рованными концами. Обозначим через 2 (T) нормированное пространство вещественных функций (·) на T с нормой Если (·) 2 (T), то, как хорошо известно, (·) разлагаеся в ряд Фурье (в смысле сходимости в 2 (T)):

где Пусть > 0. Выражение называется ой (дробной) производной по Вейлю (подробнее см.[3]).

приведена постановка задачи. Пусть > 0. Соболевским про­ странством 2 (T) называется совокупность 2 периодических функций (·), у которых Мы хотим восстановить дробную производную порядка, (0 < ) функции из 2 (T) по следующей информации: для каждой функции (·) 2 (T) известны такие числа { }1, { }1, что где > 0, а { }, { } – коэффициенты Фурье функции (·). Другими словами, здесь информационным оператором является многозначное отобра­ жение, ставящее в соответствие каждой функции (·) 2 (T) множе­ ство В качестве метода восстановления будем рассматривать любое отобра­ жение : R21 2 (T). Погрешностью этого метода называется величина Погрешность оптимального восстановления будет значением экстремальной задачи а метод, на котором достигается нижняя грань – оптимальный метод восста­ новления.

формулируется и доказывается следующая теорема:

Теорема 3.

Тогда погрешность оптимального восстановления определяется форму­ лой При этом метод где = 1 2() (0 + 1)2(), являлется оптимальным.

Для восстановления самих функций ( = 0) имеют место формулы:

где – тождественный оператор, и – оптимальный метод.

Из теоремы вытекает, что каждому значению погрешности соответству­ ет такое число 0, что использование большего, чем это число количества коэффициентов Фурье не приводит к уменьшению погрешности (т. к. осталь­ ные коэффициенты в восстановлении не участвуют и являются избыточной информацией). Те коэффициенты Фурье, которые используются в оптималь­ ном методе сглаживаются“.

вым этапом является нахождение оценки снизу для погрешности оптималь­ ного восстановления. В соответствии с леммой об оценке снизу, погрешность оптимального восстановления в задаче (4) должна быть не меньше, чем зна­ чение следущей задачи:

Переходя к квадрату нормы и образам Фурье с помощью равенства Парсева­ ля, получим эквивалентную запись этой задачи:

где мы обозначили = 2, = 2 и 0 = 0. Это задача выпуклого про­ граммирования, её можно решить, воспользовавшись принципом Лагранжа.

Далее в работе доказывается, что к нашей задаче оптимального восстановле­ ния применима общая теорема об оценке сверху, и находится оптимальный метод.

Для этой задачи также был проведен ряд численных экспериментов (см.

§3.2.5).

В четверой главе восстановлением интегралов от функций, определенных на -мерных шарах по информации о граничных значениях самих функций.

содержатся необходимые сведения о дифференциальных формах, внешнем дифференцировании и интегрировании на многообразиях.

рассмотрена задача о восстановлении интеграла по -мерному шару от функции из 2 ( ) по её значению на границе.

задана функция (·), принадлежащая классу 2 ( ), т. е. удовлетворяющая условию (где обозначает кратный интеграл по шару). Известно её значение на границе шара: (·)| = (·). Требуется восстановить по этой информа­ ционный оператор : 2 ( ) R ставит в соответствие каждой функции из класса её значение на границе шара, т.е. ((·)) = (·). Методом восстанов­ ления будет всякая функция : 2 ( ) R, а погрешность оптимального восстановления Решение задачи содержится в теореме.

В задаче (10) погрешность оптимального восстановления вычис­ Теорема 4.

ляется по формуле:

Оптимальный метод имеет вид:

где означает, что множитель не входит в произведение.

В частности, при = 2 :

от функции из 2 (2 ) по значению на границе самой функции и ее нормаль­ ных производных до ( 1)-го порядка.

на классе 2 (2 ), т. е. на функциях (·), удовлетворяющих условию:

Информация о функции (·) из данного класса заключается в том, что нам известны её нормальные производные, т. е. (·) сопоставляется вектор ((·)) = (0, 1,..., 1 ), где = (·)|2 -я производная по норма­ ли. Здесь в качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции : R R. Погрешность оптимального восстановления такова:

Для данной задачи были получены и доказаны следующие результаты.

В задаче (11) погрешность оптимального восстановления вычис­ Теорема 5.

ляется по формуле:

где определяется из условий:

Оптимальный метод имеет вид:

где частные производные (·) по 1 и 2 однозначно выражаются через ком­ поненты 0, 1,..., 1.

ные в диссертации. При решении задач оптимального восстановления были использованы принципы выпуклой оптимизации. Полученные оптимальные методы являются лучшими для целого класса функций. Выражения для ме­ тодов записаны в аналитическом виде, но при желании могут быть адаптиро­ ваны к численным вычислениям. Произведена оценка погрешностей восста­ новления.

Список публикаций Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательно­ стей по неточной информации // Вестник Российского университета друж­ С. 12–15.

В других изданиях:

1. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательно­ стей // Вестник тамбовского университета. Серия Естественные и тех­ нические науки". 2007. Т. 12, вып. 4. С. 562–563.

2. Чудова С. С. Восстановление периодических сигналов и их производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью // 52 научно-техническая конференция МИРЭА. Сборник трудов. Ч.2. М.:

2003. С. 14–17.

3. Чудова С. С. Оптимальное восстановление интегралов от функций мно­ гих переменных по их граничным значениям // XXVI Конференция мо­ лодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ло­ моносова. М.: 2004. С. 139.

4. Чудова С. С. Оптимальное восстановление интеграла по d-мерному ша­ ру // Владикавказский математический журнал. 2004. Т. 6.

Цитированная литература 1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функ­ ций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешно­ стью // Матем. сб. 2002. Т. 193, вып. 3. С. 79–100.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функ­ ций и их производных по приближенной информации о спектре и нера­ венства для производных // Функц. анализ и его прилож. 2003. № 37.

С. 51–64.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дроб­ ного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.