САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АНАНЬЕВСКИЙ Алексей Сергеевич

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ -ТЕОРИЯ

НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ И

СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

Санкт-Петербург – 2013

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН ПАНИН Иван Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук КУЗНЕЦОВ Александр Геннадьевич (МИАН, ведущий научный сотрудник) кандидат физико-математических наук, доцент СТЕПАНОВ Алексей Вла­ димирович (Санкт-Петербургский государственный электротехнический уни­ верситет «ЛЭТИ», доцент)

Ведущая организация: Национальный исследовательский университет «Выс­ шая школа экономики»

Защита состоится « » 2013 г. в часов на заседании дис­ сертационного совета Д212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35, ауд. 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « » 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Нежинский В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В алгебраической геометрии существует боль­ шое число теорий когомологий, доставляющих различные инварианты мно­ гообразий. Однако зачастую эти инварианты с трудом поддаются вычисле­ нию. Существуют различные алгебраические, геометрические и топологиче­ ские подходы к этой проблеме.

Один из основных методов состоит в том, чтобы свести вычисление тео­ рии когомологий на данном многообразии к вычислению значения в простей­ шем случае — на базовом поле. К результатам такого плана можно отнести хорошо известное описание групп Чжоу однородных многообразий при помо­ щи циклов Шуберта, или же классическое вычисление Д. Квиллена, описы­ вающее алгебраическую -теорию проективного пространства, * (P ) * ()[]/ +1.

( ) (1) = Иногда при вычислениях удается использовать общие методы, позволяющие получать единообразные ответы для широкого круга теорий, удовлетворяю­ щих некоторым наборам аксиом. С другой стороны, при вычислениях кон­ кретных теорий когомологий можно использовать их специфические особен­ ности. Например, поскольку -теория основана на векторных расслоениях, то к её вычислению можно привлекать аппарат теории представлений. Боль­ ше всего результатов такой подход дает для однородных многообразий. По­ мимо уже упомянутого выше результата Д. Квиллена для проективных про­ странств, стоит отметить вычисление Р. Суона, описавшего -теорию про­ ективных квадрик. Случаи скрученных форм этих многообразий, т.е. много­ образий Севери-Брауэра и нерасщепимых проективных квадрик, были разо­ браны тогда же. Для скрученных форм ответ носит по сути аналогичный характер, только помимо -теории поля может возникать -теория некото­ рых центральных простых алгебр, в частности, для квадрик возникают ал­ гебры Клиффорда. Наиболее общий результат для однородных проективных многообразий получил И.А. Панин, который показал, что в этой ситуации -теория всегда может быть описана в терминах -теории некоторых цен­ тральных простых алгебр. Вычисления такого вида могут быть использованы в различных задачах, например, А. Меркурьев применил результат Р. Суо­ на для получения формул редукции индекса и построения полей с четным -инвариантом.

Вернемся к общим методам вычисления, работающим для целых клас­ сов теорий когомологий, удовлетворяющих некоторым наборам аксиом. Как оказалось позднее, описание, подобное формуле 1, может быть получено в до­ вольно широком контексте: аналогичный изоморфизм имеет место для всех так называемых ориентированных теорий когомологий, которые были опреде­ лены в алгебраическом контексте И. Панином и А. Смирновым и, независимо, М. Левинем и Ф. Морелем. Помимо групп Чжоу и алгебраической -теории к ним относятся, например, алгебраические кобордизмы и этальные когомо­ логии с коэффициентами в, где взаимно просто с характеристикой базового поля. Более того, адаптируя классические геометрические приемы в алгебраический контекст, в описанной ситуации можно получить вычисле­ ния для многообразий флагов / в терминах срезанных колец много­ членов от характеристических классов. Отметим, что описанные результаты не зависят от знания коэффициентов рассматриваемой теории, т.е. значения на базовом поле; к примеру, в случае алгебраической -теории * () для многих полей вообще не поддается вычислению. Хочется подчеркнуть, что используемые при таком подходе методы носят общий геометрический харак­ тер и довольное часто являются алгебраический адаптацией классических топологических и дифференциально-геометрических приемов.

Некоторые естественными образом возникающие теории когомологий, например, эрмитова -теория и производные группы Витта, не являются ориентируемыми, т.е. для них не выполняется формула 1. Это происходит, в частности, потому что для них невозможно определить классы Тома для всех векторных расслоений и отсутствуют изоморфизмы Тома. Однако для производных групп Витта и эрмитовой -теории можно при помощи ком­ плексов Кошуля определить классы Тома и Эйлера для векторных рассло­ ений с дополнительной структурой, а именно, для векторных расслоений с тривиализованным определителем, т.е. векторных расслоений со структурной группой (-расслоений). Таким образом, представляется осмысленной аксиоматизация понятия -ориентированной теории когомологий при помо­ щи фиксации классов Тома и Эйлера -расслоений и развитие возникающей теории характеристических классов, которые являются аналогами классов Понтрягина. Отметим, что аналогичный подход в литературе уже встреча­ ется: И.А. Паниным и Ч. Уолтером было сформулировано определение сим­ плектической ориентации и получена симплектическая версия формулы 1.

А именно, они показали, для -ориентированных теорий имеет место изо­ морфизм ( ) ()[]/(+1 ), где = 2+2 /(2 2 ) — ква­ тернионное проективное пространство. Далее авторами развивается теория характеристических классов, которые они называют классами Понтрягина.

Однако, как заметил В.М. Бухштабер, эти классы являются аналогами сим­ плектических классов Бореля, поэтому их естественнее называть классами Бореля. Развитая теория позволила вычислить когомологии кватернионных многообразий флагов и классифицирующих пространств 2, а также до­ казать мотивный аналог теоремы Коннера-Флойда, восстанавливающий эр­ митову К-теорию по алгебраическим -кобордизмам.

Как уже упоминалось выше, типичным примером -ориентированной теории когомологий могут служить производные группы Витта. На насто­ ящий момент известно описание производных групп Витта только неболь­ шого числа многообразий: Ч. Уолтер вычислил производные группы Витта проективизированных расслоений, П. Балмер и С. Жилль разобрали случаи пунктированного аффинного пространства и расщепимой квадрики, наконец, недавно появилось описание производных групп Витта грассманианов, кото­ рое получили П. Балмер и Б. Калмес. Отметим, что последнее вычисление использует проективные трансферы и не может быть перенесено на относи­ тельный случай. Доказательства всех приведенных результатов носят доволь­ но технический характер и весьма сложны. Поэтому представляет интерес задача развития теории характеристических классов в производных группах Витта, которые позволят единообразно проводить аналогичные вычисления.

Цель диссертационной работы состоит в вычислении алгебраиче­ ской K-теории внутренних форм однородных многообразий /, где — связные расщепимые редуктивные группы одинакового ранга, а также в развитии методов работы с -ориентированными теориями когомологий, построении теории характеристических классов и последующем применении полученных результатов к вычислениям производных групп Витта.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретиче­ ский характер. Ее результаты могут быть применены для решения различ­ ных вопросов, связанных с K-теорией однородных многообразий, и для по­ строения исключительных наборов векторных расслоений. Также результа­ ты могут использоваться для вычислений производных групп Витта и для дальнейшего изучения -ориентированных теорий когомологий.

Методы исследований. Для вычисления алгебраической -теории од­ нородных многообразий применяются методы алгебраической геометрии, тео­ рии представлений и комбинаторики. Для изучения -ориентированных тео­ рий когомологий привлекаются методы мотивной гомотопической алгебры и алгебраической топологии, в частности, используются трансферы и последо­ вательности Гизина, а также характеристические классы.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Описана алгебраическая -теория внутренних форм однородных мно­ гообразий / для связных расщепимых редуктивных групп одинакового ранга.

2. Получено новое наглядного доказательство теоремы Стейнберга о сво­ бодности кольца представлений () над () для связных расщепи­ мых редуктивных групп одинакового ранга при условии одно­ связности.

-ориентированных теорий когомологий в алгебраической гео­ метрии: определены классы Понтрягина и Эйлера, доказан принцип расщепления и мультипликативность полного класса Понтрягина по модулю -кручения.

4. Вычислены производные группы Витта специальных линейных грассма­ нианов и многообразий специальных линейных флагов.

5. Доказано, что обращение стабильного отображения Хопфа отождеств­ ляет эрмитову -теорию с многочленами Лорана над производными группами Витта.

6. Доказан мотивный аналог теоремы Коннера-Флойда, восстанавливаю­ щий производные группы Витта по алгебраическим -кобордизмам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва­ лись на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная конференция «Algebraic groups and related structures», посвященная 60-летию Н.А.Вавилова (Санкт-Петербург, 2012).

Д.К.Фаддеева.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 3 печатных ра­ ботах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1–3], входящих в список ВАК. Работа [2] написана в соавторстве, в ней диссертанту принадлежат ре­ зультаты параграфов 3 и 4: доказательство Теоремы А и Предложений 4.2 и 4.4.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Общий объем диссертации 148 страниц, из них страниц текста. Библиография включает 47 наименований на 5 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, пред­ ставлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе настоящей работы вычисляется алгебраическая -теория внутренних форм однородных многообразий /, где — связные расщепимые редуктивные группы одинакового ранга. А именно, в Теореме 4 доказано, что для некоторых центральных простых алгебр ( ). Здесь = [ () :

()] — индекс групп Вейля рассматриваемых алгебраических групп. От­ метим, что, как показано в последнем параграфе первой главы, известные результаты о -теории однородных проективных многообразий могут быть выведены из Теоремы 4.

Текст организован следующим образом. В первых двух параграфах рас­ сматриваются комбинаторные вопросы, связанные с ограничением представ­ лений со связной расщепимой редуктивной группы на связную редуктивную подгруппу максимального ранга. В третьем параграфе дается новое доказа­ тельство теоремы Стейнберга, которая утверждает, что если группа од­ носвязна, то кольцо представлений () является свободным модулем над (). В Теореме 2 мы даем новое наглядное доказательство этого результата, строя некоторый явный базис, состоящий из неприводимых представлений.

Полученный базис был использован не только в этой работе, но и для постро­ ения исключительных линейных наборов в статье [2]. В четвертом параграфе рассматриваются примеры базисов, возникающих из Теоремы 2.

В пятом параграфе напоминаются некоторые хорошо известные факты об эквивариантной -теории. Существенную роль в последующих рассужде­ ниях играет тот факт, что выбор рациональной точки на однородном мно­ гообразии индуцирует тензорную эквивалентность между категорией экви­ вариантных векторных расслоений над рассматриваемым многообразием и категорией конечномерных представлений стабилизатора выбранной точки.

Другим важным ингредиентом является спектральная последовательность А. Меркурьева, которая позволяет переходить от эквивариантной -теории к обычной. Оказывается, что для расщепимых редуктивных групп одинакового ранга, где односвязна, эта последовательность вырождается (Предложение 2).

В Теореме 3 шестого параграфе мы, пользуясь спектральной последова­ тельностью А. Меркурьева, доказываем формулу 2 в расщепимом случае. За­ тем, в Теореме 4 седьмого параграфа, переносим полученные вычисления на скрученые формы. Отметим, что для расщепимой редуктивной группы А. Бо­ релем и Ж. Титсом в 1965 году была полная классификация редуктивных подгрупп максимального ранга. А именно, такие подгруппы соответствуют квази-замкнутым (в характеристике ноль — замкнутым) симметричным под­ множествам системы корней группы, поэтому можно явно выписать список многообразий, покрываемых Теоремой 4. В последнем параграфе первой гла­ вы разбираются некоторые примеры, в частности, описывается -теория ква­ тернионных проективных пространств и плоскости Кэли. Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 2].

Во второй главе настоящей диссертации развиваются методы работы с -ориентированными теориями когомологий. В качестве первого шага на­ до выбрать специальную линейную версию проективного пространства, для которой можно будет получить формулу 1. Если действовать по аналогии ным кандидатом представляется +1 /. Но это многообразие является аффинным расслоением над A+1 {0}, поэтому с когомологической точ­ ки зрения они не различаются, а геометрически пунктированное аффинное пространство выглядит проще, поэтому мы будем рассматривать последнее.

Для этого многообразия есть известное вычисление П. Балмера и С. Жилля производных групп Витта:

Это вычисление не выглядит удивительным, если вспомнить, что рассматри­ ваемое многообразие является мотивной сферой в гомотопической категории, определенной В. Воеводским и Ф. Морелем, а производные группы Витта, как было показано Д. Хорнбостелем, представимы. Интересным представля­ ется тот факт, что при четном в качестве элемента можно выбрать класс Эйлера расслоения = +1 /(1), где под (1) мы понимаем тавто­ логическое линейное расслоение над A+1 {0}. К сожаление, для случая нечетного базис выглядит значительно сложнее. Кроме того, для ориенти­ рованных теорий (которые, конечно, -ориентированы) даже в четном слу­ чае соответствующий класс Черна тривиален. Поэтому нельзя ожидать, что 1 и ( ) будут образовывать базис для каждой -ориентированной теории когомологий.

Для того, чтобы разрешить возникшее затруднение, можно восполь­ зоваться следующей аналогией между алгебраическим и топологическим контекстами. Максимальная компактная подгруппа (R) совпадает с (R), поэтому с топологической точки зрения (т.е. над полем R) поня­ тие -расслоения совпадает с понятием ориентированного вещественного векторного расслоения. Хорошо известно, что вычисления, использующие классы Эйлера ориентированных расслоений, значительно упрощаются после обращения двойки в коэффициентах, поэтому мы желаем обратить некото­ рый аналогичный элемент в алгебраическом контексте. Есть два интересных элемента в стабильных когомотопических группах *,* (), которые при взя­ тии вещественных точек соответствуют двойке: обычная двойка в 0,0 () и стабильное отображение Хопфа 1,1 (), индуцированное морфизмом A2 {0} P1. Вообще говоря, двойка не обратима в производных группах Витта, поэтому мы будем обращать. Некоторой дополнительной мотива­ цией к этому может служить теорема Ф. Мореля, утверждающая, что для совершенного поля имеет место изоморфизм, ()[ 1 ] 0 ()[, 1 ], т.е. элемент в некотором смысле обратим в производных группах Витта.

Наиболее естественным контекстом для работы с ориентированными тео­ риями когомологий являются нестабильная и стабильная мотивные гомотопи­ ческие категории В. Воеводского и Ф. Мореля. Все необходимые определения приводятся в первом параграфе. Во втором и третьем параграфах устанавли­ ваются простейшие свойства -ориентированных теорий когомологий и опи­ сывается конструкция трансферов вдоль замкнутых вложений. В четвертом параграфе производятся предварительные вычисления в стабильных когомо­ топических группах. Далее мы в основном работаем с -ориентированными биградуированными представимыми теориями когомологий *,* (), а такие теории тривиальным образом являются алгебрами над стабильными когомо­ топическими группами. В пятом параграфе мы обращаем стабильное отобра­ жение Хопфа, получая периодическую теорию когомологий. Можно не ума­ ляя общности вместо обращения положить = 1, получая градуированную теорию * () = *,* ()/ (1 ).

Для таких теорий в Лемме 25 шестого параграфа второй главы устанав­ ливается аналог формулы 3:

Поскольку это равенство задается при помощи некоторого класса Эйлера, то имеет место и аналогичная относительная формула, вычисляющая когомоло­ гии дополнения к нулевому сечению -расслоения (Теорема 7 ). Отметим, что из приведенного выше изоморфизма следует, что любая ориентирован­ ная теория когомологий после обращения зануляется, т.е. в такой теории нильпотентно (Следствие 3).

В седьмом параграфе рассматриваются специальные линейные грассма­ нианы (, ), которые можно определить как дополнение к нулевому се­ чению определителя тавтологического расслоения над обычным грассманиа­ ном. Эти многообразия являются естественными алгебраическими аналогами двулистных ориентированных накрытий обычных грассманианов. Для них в Теореме 8 доказывается аналог формулы 1:

Здесь 1 и 2 — тавтологические расслоения над специальными линейными грассманианами. Относительный случай устанавливается в Теореме 9, а со­ отношения, которым удовлетворяют классы (1 ) и (2 ), выводятся в Теоре­ ме 12.

Отметим, что П. Балмером и Б. Калмесом недавно были получены описания скрученных производных групп Витта обычных грассманианов.

Скрученные группы возникают по причине использования трансферов, ко­ торые имеют место только в скрученной ситуации. Мы работаем с многооб­ разиями с тривиальным каноническим пучком и замкнутыми вложениями c -нормальными расслоениями, поэтому и удается избежать возникновения закруток. Кроме того, мы заинтересованы в вычислениях, которые могут быть перенесены на относительный случай, поэтому ищем базисы, выражаю­ щиеся через характеристические классы расслоений, в отличии от зависящих от трансферов базисов, построенных в упомянутой работе. Оказывается, что базисы из характеристических классов могут быть построены для грассма­ нианов (, ), где хотя бы одно из чисел, четно (Теорема 13).

В случае, когда оба числа нечетны, базис может быть описан при помощи трансферов, но такое описание не переносится на относительный случай.

В восьмом и девятом параграфах настоящей работе описываются когомо­ логии многообразий специальных линейных флагов. В частности, получены формулы да изоморфизмов влечет выполнение принципа расщепления (Теорема 10), который, нестрого говоря, утверждает, что с когомологической точки зре­ ния любое -расслоение представляется в виде суммы некоторого коли­ чества -расслоений рангов два и один. А поскольку любое двумерное -расслоение каноническим образом может быть снабжено симплектиче­ ской формой, мы получаем принцип симплектичности (Теорема 11), кото­ рый, неформально говоря, утверждает, что с когомологической точки зрения любое -расслоение четного ранга может быть снабжено симплектической формой, согласованной с -структурой.

Формулы 7-8 прекрасно согласуются с тем принципом, что яв­ ляется алгебраическим аналогом группы (R): тогда 2 соответствует 2 (R) = 1, и выбор максимального набора коммутирующих 2 в па­ раллелен выбору максимального компактного тора в (R). Поэтому то­ пологическим аналогом формул 7-8 являются хорошо известные описания ко­ гомологий 2 (R)/ и 2+1 (R)/ как коинвариантов групп Вейля ( ) и ( ) соответственно.

В последнем параграфе второй главы, в Теореме 14, показывается, что произведенные вычисления когомологий специальных линейных грассманиа­ нов позволяют описать когомологии классифицирующих пространств в виде однородных формальных степенных рядов от характеристических классов:

Результаты второй главы опубликованы в работе [3].

-ориентированными теориями применяются для доказательства мотив­ ного аналога теоремы Коннера-Флойда, восстанавливающего производные группы Витта по алгебраическим -кобордизмам. Непосредственный мотивный аналог теоремы Коннера-Флойда, восстанавливающий эрмитову -теорию по симплектическим кобордизмам, был получен И.А. Паниным и Ч. Уолтером. Он утверждает, что для каждого гладкого многообразия имеет место естественный изоморфизм Отображение индуцируется теоремой универсальности, утверждающей, что алгебраические симплектические кобордизмы являются универсальной симплектически ориентированной теорией когомологий. Однако эрмитова -теория не только симплектически ориентирована, но и -ориентирована, поэтому возникает вопрос, нельзя ли получить аналогичный изоморфизм, заменив на.

В первом параграфе производятся технические вычисления с мотивными сферами. Во втором параграфе изучаются теоремы универсальности для ал­ гебраических и кобордизмов. В третьем и четвертом параграфах рассматриваются эрмитова -теория и производные группы Витта, а также представлющий их спектр. Там же доказывается, что эрмитова -теория с обращенным стабильным отображением Хопфа становится изоморфна мно­ гочленам Лорана над производными группами Витта (Теорема 19):

В пятом параграфе доказывается мотивный аналог теоремы Коннера-Флой­ да, а именно, в Теореме 21 показано, что для гладких многообразий имеет место изоморфизм т.е. после обращения стабильного отображения Хопфа имеет место аналог формулы 11 для -кобордизмов. Ввиду формулы 12, полагая = 1, фор­ мулу 13 можно переписать в виде Отметим, что предложенное доказательство формулы 13 было основано на использовании уже упоминавшегося выше принципа симплектичности, по­ лученного во второй главе настоящей диссертационной работы. Результаты третьей главы опубликованы в работе [3].

Список публикаций 1. Ananyevskiy A. On the algebraic K-theory of some homogeneous varieties // Documenta Mathematica. 2012. Vol. 17. P. 167–193.

2. Ananyevskiy A., Auel A., Garibaldi S., Zainoulline K. Exceptional collections of line bundles on projective homogeneous varieties // Advances in Math. 2013. Vol. 236. P. 111–130.

3. Ананьевский А.С. О соотношении алгебраических MSL-кобор­ дизмов и производных групп Витта // Доклады Академии Наук.

2013. Т. 448, № 5. С. 503–505.