На правах рукописи

Клосс Юрий Юрьевич

РАЗРАБОТКА ПРОБЛЕМНО-МОДЕЛИРУЮЩИХ СРЕД

ДЛЯ АНАЛИЗА НЕРАВНОВЕСНЫХ ГАЗОКИНЕТИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ В МИКРОУСТРОЙСТВАХ НА ОСНОВЕ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре моделирования ядерных процессов и технологий Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный консультант: доктор физико-математических наук Черемисин Феликс Григорьевич

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физикоматематических наук, профессор Никитов Сергей Аполлонович, Институт радиотехники и электроники им. В.А.

Котельникова РАН, заместитель директора член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович Московский физико-технический институт (государственный университет), заведующий кафедрой информатики доктор физико-математических наук Кулешов Андрей Александрович Институт прикладной математики им. М.В.

Келдыша РАН, отдел 15, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

Защита состоится _ 2013 в часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физики-техническом института (государственном университете) по адресу:

141700, МО, г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ауд. 903 КПМ.

Автореферат разослан «_» 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Федько О.С.

Общая характеристика диссертации Актуальность темы Настоящая диссертация посвящена созданию математических методов компьютерного моделирования, эффективных алгоритмов численного решения кинетического уравнения Больцмана на многопроцессорных вычислительных системах с кластерной архитектурой и графических процессорах общего назначения разработке проблемноGP-GPU), моделирующих сред (ПМС) для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в микро- и наноструктурах.

Одной из главных причин проведения подобных исследований является необходимость разработки методов компьютерного моделирования, лежащих в основе вычислительного эксперимента для широкого круга фундаментальных и прикладных задач газовой кинетики. Перечислим основные прикладные области: микроэлектроника (GAS in MEMS), каскадные вакуумные микронасосы, микро- и наномембраны, аэрогели, молекулярные сита, трековые мембраны (ядерные фильтры), способные разделять смеси разных молекул и изотопов, турбомолекулярные механические насосы, микродвигатели и микроманипуляторы.

Для численного моделирования течений разреженного газа во второй половине ХХ века были разработаны два основных подхода: метод прямого статистического моделирования и конечно-разностное решение кинетического уравнения Больцмана. В первом подходе моделируется шестимерных векторов в фазовом пространстве, обозначающих молекулы газа. На их основе вычисляются среднестатистические значения физических величин, отождествляемые с макроскопическими параметрами газа. Данный разреженного газа, но для медленных течений этот подход может давать недостоверные результаты из-за присущего методам Монте-Карло статистического шума. В настоящих работах последовательно развивается второй из названных подходов, который не содержит статистических флуктуаций в решении и позволяет исследовать ничтожно малые изменения параметров течения газа. Последнее обстоятельство важно для разработки компьютерных моделей с высокой точностью, описывающих медленные течения разреженного газа, характерные для условий в микро- и наноустройствах.

Главной проблемой применения кинетического уравнения Больцмана является вычисление интеграла столкновений, ответственного за столкновение молекул. Значительное улучшение метода прямого решения уравнения Больцмана было достигнуто в работах Ф.Г. Черемисина, в которых был разработан проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений. Этот метод позволяет экономично рассчитывать сверх- и гиперзвуковые течения, но особенно эффективен при расчете медленных и слабо возмущенных течений, к которым относятся типичные течения в микроструктурах. Следует отметить, что большая размерность задачи, для которой необходимы значительные объемы оперативной памяти и вычислительной мощности, необходимость варьирования геометрических параметров микроустройств, физических характеристик газа требует использования современных суперкомпьютерных систем с различной архитектурой, в первую очередь вычислительных систем с кластерной организацией.

Решение подобного класса проблем возможно лишь при разработке надежных и эффективных проблемно-моделирующих сред для проведения полномасштабных вычислительных экспериментов для широкого круга задач в области фундаментальной физики, инженерных наук и прикладных технологий. Разработка проблемно-моделирующих сред (Problem Solving Environments) в различных прикладных областях знаний широко проводится в ведущих лабораториях США (LANL, LLNL, LBNL, BNL и др.) и университетах США (UC Berkeley, MIT, CALTECH и др.). В настоящей работе используются подходы и методы математических основ кинетической теории, вычислительной математики, информационных технологий и прикладной физики неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса. В основе математических методов решения кинетического уравнения лежит метод расщепления по физическим процессам и проекционный консервативный метод вычисления интеграла столкновений. Для эффективной реализации указанных методов необходимо применения суперкомпьютерных систем и технологий таких, как MPI (Message Passing Interface) для организации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах, CUDA (Compute Unified Device Architecture) для графических процессоров общего назначения (GPU-GP), объектных технологий для создания эффективных программных кодов. В ряде прикладных областей газовой кинетики экспериментальные результаты либо отсутствуют, либо являются неполными, что не позволяет сделать выводы о тех или физических характеристиках исследуемых явлений. В таких областях проблемно-моделирующие среды являются единственным инструментом, позволяющим проводить исследования широкого круга устройств и физических процессов методами вычислительного эксперимента с необходимой точностью.

Цели и задачи диссертации Главной целью диссертации является разработка проблемномоделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в сложных структурах на макро-, микро- и наноуровне, методов проведения вычислительных экспериментов на суперкомпьютерах с кластерной организацией, адекватно описывающих физические процессы в таких структурах.

В основе математических методов описания подобных физических процессов лежит кинетическое уравнение Больцмана, метод расщепления и консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений.

Последовательная реализация и развитие проекционного метода вычисления интеграла столкновений проведена впервые. Это позволило получить ряд важных результатов в прикладных областях газовой кинетики. В качестве конкретных прикладных задач рассмотрено моделирование процессов течения разреженного газа, включая смеси газов с произвольным отношением молекулярных масс, через системы периодических микроканалов различной геометрии (трековые мембраны); разработаны компьютерные модели вакуумных микронасосов Кнудсена различной конфигурации; исследовано поведение ударных волн в микроканалах, проведено моделирование турбомолекулярных насосов Холвека. Были развиты методы верификации проблемно-моделирующих систем на основе численных экспериментов на модельных задачах с известным точным аналитическим решением и проведено сравнение их результатов с классическими экспериментальными результатами. Общей особенностью моделирования явлений в этих устройствах является необходимость использования кинетического уравнения Больцмана для адекватного достижения точности исследуемых процессов, сложность вычислительных методов, необходимость разработки универсальных алгоритмов и программных средств для их компьютерной реализации.

В диссертации были решены следующие задачи:

Реализовать проекционный метод вычисления интеграла столкновений для численного решения кинетического уравнения и развить его для смесей газов с произвольным отношением молекулярных масс;

Разработать эффективные масштабируемые алгоритмы для численного решения уравнения адвекции и вычисления интеграла столкновений на вычислительных системах с кластерной организацией и вычислительных системах с графическими процессорами (общего назначения);

Создать на основе технологии MPI (кластерные вычислительные системы) и на основе технологии CUDA (GP-GPU) программные солверы вычисления интеграла столкновений на основе проекционного метода и солверы численного решения левой части кинетического уравнения на основе прямоугольных и тетраэдрических сеток;

Создать проблемно-моделирующие среды, включающие интерактивный ввод данных и вывод результатов компьютерного моделирования для их последующей визуализации;

Провести анализ программных систем в области генерации сеток, средств визуализации результатов компьютерного моделирования для их интеграции в проблемно-моделирующие среды;

Разработать технологии верификации предложенных алгоритмов и реализующих их программных солверов;

Разработать методы полномасштабного компьютерного моделирования и анализа исследуемых процессов и устройств из различных прикладных областей газовой кинетики на основе созданных проблемно-моделирующих сред.

Методы исследования В основе математического описания физических процессов лежит кинетическое уравнения Больцмана. Уравнение Больцмана решается методом расщепления: по очереди моделируются перенос молекул и их столкновения друг с другом. Для численного решения уравнения адвекции используются прямоугольные и неструктурированные тетраэдрические сетки и численные схемы различного порядка точности. Одной из главных проблем решения уравнения Больцмана было отсутствие строгого сохранения массы, импульса и энергии при вычислении интеграла столкновений. Разработанный консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений, является ключевым в плане математического аппарата для достижения поставленных в работе целей. В дальнейшем консервативный проекционный метод был обобщен на смеси газов с произвольным отношением молекулярных масс. Для вычисления интеграла столкновений в пространстве скоростей были впервые разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, использован метод кубатурных сеток Коробова, который наиболее эффективен с вычислительной точки зрения. Для численного решения кинетического уравнения используются численные схемы первого и ТVD-схемы второго порядка точности.

Реализация численных схем проводиться на прямоугольных и на неструктурированных тетраэдрических сетках.

Для программной реализации проблемно-моделирующей среды и программных солверов используются объектно-ориентированные технологии и соответствующие средства разработки программного кода в среде LINUX.

Для реализации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах используется технология MPI и технология Nvidia CUDA — для расчетов на графических процессорах. Для эффективной программной реализации вычислений интеграла столкновений используются технологии потоковой обработки в режиме SIMD (SSE, SSE2) для процессоров Intel.

Следует особо отметить программные системы, интегрированные в проблемно-моделирующую среду. Программный пакет GMSH, с открытым кодом, позволяет эффективно генерировать неструктурированные тетраэдрические сетки, которые лежат в основе моделирования физических процессов в устройствах с произвольной трехмерной геометрией. Для визуализации и анализа результатов компьютерного моделирования применяются различные программные продукты. Для наглядной визуализации потоков используется система NCL (NCAR Command Language), с трёхмерным распределением макропараметров удобно оперировать в среде Paraview, которая обладает возможностью обработки больших объёмов данных на кластерных системах. Для работы с прямоугольными сетками применяется разработанная автором диссертации система Bkviewer, ориентированная на анализ выходных данных в случае моделирования систем с прямоугольной геометрией.

Основные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся новые результаты по математическому моделированию, вычислительным методам и комплексам программ, полученные в рамках выполнения диссертации:

1 Разработан многоточечный проекционный метод вычисления интеграла столкновений для смесей газов с произвольным отношением молекулярных масс.

2 Разработаны вычислительные алгоритмы, значительно повышающие эффективность программного солвера вычисления интеграла столкновений на основе применении современных компьютерных технологий потоковой обработки в режиме SIMD (SSE, SSE2) и многомерных сеток Коробова с большим числом кубатурных узлов.

3 Разработан метод решения уравнения адвекции на основе разностных схем различного порядка точности на тетраэдрических сетках адаптирующийся к произвольной геометрии устройства.

4 Созданы эффективные вычислительные методы и параллельные алгоритмы с высокой степенью масштабируемости численного решения уравнения адвекции для кластерных вычислительных систем и дана их программная реализация.

5 Разработаны проблемно-моделирующие среды численного решения кинетического уравнения Больцмана на различного типа сетках для кластерных вычислительных систем и для графических процессоров общего назначения (GPU-GP).

6 На основе разработанных проблемно-моделирующих сред методами вычислительного эксперимента и математического моделирования проведены исследования неравновесных газокинетических процессов