[ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева»
Кафедра математики, ТиОМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Функциональный анализ »
по направлению подготовки 010200.62-«Математика. Прикладная математика»
УМК подготовлен доцентом кафедры Кушнир Т.И.
УМК переутвержден на заседании кафедры 08.09.2011 г.
2011 г.
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева»
Кафедра математики, ТиОМ
ПРОГРАММА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Функциональный анализ »по направлению подготовки 010200.62-«Математика. Прикладная математика»
Программа составлена доцентом кафедры Кушнир Т.И.
утверждена на заседании кафедры 18.09.2011 г 2011 г.
Пояснительная записка Данная учебная программа определяет объем знаний по дисциплине "Функциональный анализ" для студентов третьего курса направления подготовки Математика. Прикладная математика.
Целью данного курса является научное обоснование тех относящихся к нему понятий, первое представление о которых дается в школе, а также тех наиболее важных понятий, которые лежат в основе построения многих математических теорий и используются в приложениях. Курс «Функциональный анализ» имеет также общеобразовательное, общекультурное и прикладное значение. Многие вопросы содержат материал, способствующий формированию мировоззрения студентов.
Данная дисциплина способствует формированию научного мировоззрения студентов. Она дает возможность использовать этот материал при написании курсовых и дипломных работ.
Последовательность изучения учебного материала выбрана в соответствии с логикой развития предмета, с учетом преемственной связи со школьным курсом математики и межпредметной связи с другими математическими дисциплинами и может быть изменена лектором по согласованию с кафедрой.
Данная учебная программа определяет объем знаний по курсу «Функциональный анализ», необходимых для общего развития мировоззрения студентов.
По курсу«Функциональный анализ» предполагается провести две контрольных работы.
1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины – формирование представлений о понятиях и методах функционального анализа, его месте и роли в системе математических наук, использование в естественных науках, в школьном курсе математики.
Задачи дисциплины:
- выработать умения и навыки доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям функционального анализа;
- научить применять методы функционального анализа для решения задач геометрии, топологии и математического анализа;
- познакомить с современными направлениями развития математики и его приложениями;
- дать научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научнометодический виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессионально деятельности:
Выпускник по направлению подготовки 010200.62 – «Математика.
Прикладная математика» профиль «Компьютерная математика» подготовлен к решению следующих задач профессиональной деятельности.
1) научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:
- применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;
- решение математических проблем, соответствующих квалификации, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
- подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;
- участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ;
2) производственно-технологическая деятельность:
использование математических методов обработки информации, производственной деятельности;
- применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;
- сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники;
3) организационно-управленческая деятельность:
- применение математических методов экономики, актуарно-финансового анализа и защиты информации;
- создание эффективных систем внедрения в практику результатов научноисследовательских и опытно-конструкторских работ;
- применение методов теории вероятностей и математической статистики для принятия решений в условиях неопределенности;
Выпускник по направлению подготовки 010200.62 – «Математика.
Прикладная математика» профиль «Компьютерная математика» подготовлен для работы в научно-исследовательских и проектно-конструкторских центрах, государственных органах управления, организациях различных форм собственности в качестве специалистов, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии.
2. Требования к уровню усвоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен знать:
- основные понятия и методы теории функционального анализа;
- современные направления развития функционального анализа;
- основные этапы развития математики и иметь представление об основных тенденциях ее развития;
- знать важнейшие теоремы функционального анализа;
- владеть основными понятиями функционального анализа;
- доказывать основные свойства и теоремы функционального анализа;
- решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- применять методы математического анализа и функционального анализа к решению задач;
- уметь использовать теоретические знания на практике;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа»;
- системой основных математических структур и аксиоматическим - методологией построения математических моделей;
- целостное представление о математике, как науке;
- представление о роли и месте математики в современном мире и в системе наук;
- представление о возможностях использования математических знаний в работе учителя математики.
4.1. Разделы дисциплины и основные виды занятий а) дневное отделение Мощность множества Строение линейных множеств Метрические пространства семестр Соотношение ортогональности.
функций. Разложение непериодических функций. Четные Понятие мощности. Эквивалентные Раздел 1. Мощность множества. Счетные множества и их множества.
Множество мощности континуума. Раздел 1. Мощность Сравнение мощностей. Несчетность множества.
Основные понятия теории точечных Раздел 2. Строение совершенных множеств.
Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Раздел 3. Интеграл Мера Лебега. Понятие измеримой Лебега.
Интеграл Лебега, свойства интеграла Раздел 3. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Понятие метрического пространства, Раздел 4.
Принцип сжимающих отображений и его Раздел 4.
тригонометрический ряд. Соотношение Фурье.
ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Раздел 5. Ряды Фурье для функций с периодом 2, 2l.
Разложение четных и нечетных функций. Раздел 5. Ряды Разложение непериодических функций. Фурье.
4.2.3. Задания для самостоятельной работы студентов рабочей программы и других вопросов для выполнения часов для самостоятельного самостоятельного изучения множества. операции над множествами.
Раздел 1. Мощность Доказательство некоторых февраль множества. свойств счетных множеств.
множества. свойств множеств мощности линейных множеств теории точечных множеств.
линейных множеств. совершенные множества.
Раздел 3. Интеграл Знать основные свойства март Раздел 3. Интеграл Доказательство некоторых апрель Метрические метрических пространств пространства.
пространства применение.
Лабораторный практикум не предусмотрен 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1. Рекомендуемая литература.
а) основная литература:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 2009 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. - М.: Наука, 2001 г.
б) дополнительная литература 3. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ:
Мощность. Метрика. Интеграл. - М.: Просвещение, 1980.
4. Вулих. Краткий курс теории функций вещественной переменной.
Введение в теорию интеграла. - М.: Наука, 5. Давыдов Н.А. и др. Сборник задач по математическому анализу. - М.:
Просвещение, 1973.
6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.:
Наука, 1974.
7. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. - М.:
Просвещение, 1981.
7. Содержание текущего и промежуточного контроля 7.1. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для 1. Понятие мощности множества.
2. Биекция и равномощность бесконечных множеств. Эквивалентные множества.
3. Счетные множества и их свойства.
4. Множества мощности континуума.
5. несчетность множества точек отрезка [0;1].
6. Строение открытых и замкнутых линейных множеств.
7. Совершенное множество.
8. Множество Кантора. Точки конденсации.
9. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях.
10. Мера Лебега. Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства.
11. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции.
12. Предельный переход под знаком интеграла.
13. Метрические пространства. Примеры метрических пространств.
14. Линейные нормированные пространства.
15. Предгильбертовы пространства.
16. Сходимость в метрических пространствах.
17. Компактные.
18. Непрерывные отображения метрических пространств.
19. Связные метрические пространства.
20. Полные метрические пространства.
21. Принцип сжимающих отображений и его применение.
Соотношение ортогональности.
23. Тригонометрический ряд Фурье.
24. Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
25. Разложение четных и нечетных функций.
26. Разложение непериодических функций. Четные и нечетные продолжения.
27. Ряд Фурье в комплексной форме образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки по специальности 010200.62-«Математика.
Прикладная математика»
Содержание лекционного курса (тезисы лекций) Раздел 1. Мощность множества.
Тема Понятие мощности. Эквивалентные множества.
1. Биекция и равномощность бесконечных множеств.
2. Примеры равномощности.
3. Понятие мощности множества.
4. Признаки равномощности множеств.
5. Сравнение мощностей.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема Счетные множества и их свойства.
1. Определение счетного множества.
2. Теорема о счетности подмножества.
3. Свойства счетных множеств.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема Множество мощности континуума. Сравнение мощностей. Несчетность отрезка [0; 1].
1. Определение числового континуума.
2. Свойства множеств, имеющих мощность континуума.
3. Существование множеств сколь угодно высокой мощности.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 4. Основные понятия теории точечных множеств. Строение линейных замкнутых множеств.
1. Внешние, внутренние и граничные точки.
2. Всюду плотные подмножества.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 5. Строение совершенных множеств. Открытые множества.
1. Открытые и замкнутые множества.
2. Свойства открытых и замкнутых множеств.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 6. Множество Кантора. Точки конденсации.
1. Канторово множество и ковер Серпинского.
2. Примеры множеств.
3. Точки конденсации.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 7. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
1. Интеграл Римана.
2. Ступенчатые функции.
3. Функции, - малые по Лебегу.
- приближенная функция.
5. Мера Лебега и ее свойства.
6. Множества меры нуль.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 8. Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства.
1. Понятие измеримой функции.
2. Интеграл Лебега.
3. Свойства интеграла Лебега.
4. Примеры.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 9. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции 1. Связь интеграла Римана с интегралом Лебега.
2. Функция Дирихле.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 10. Понятие метрического пространства, примеры.
1. Метрические пространства.
2. Примеры.
3. Геометрия метрического пространства.
4. Линейные нормированные пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 11. Полные метрические пространства. Компактность.
1. Полные метрические пространства.
2. Сходимость в метрических пространствах 3. Компактные метрические пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 12. Принцип сжимающих отображений и его применение.
1. Непрерывные отображения метрических пространств.
2. Свойства непрерывных отображений.
3. Непрерывные отображения компактов.
4. Связные метрические пространства.
5. Принцип сжимающих отображений и его применение.
Раздел 5. 13. Ряды Фурье.
Тема Задача о разложении функции в тригонометрический ряд.
Соотношение ортогональности.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 14. Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 15. Разложение четных и нечетных функций. Разложение непериодических функций. Четные и нечетные продолжения.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 16. Ряд Фурье в комплексной форме.
Содержание практических занятий и методические указания к ним Раздел 1. Мощность множества.
Тема1. Понятие мощности. Эквивалентные множества.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема 2. Счетные множества и их свойства.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема 3. Множество мощности континуума. Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 4. Основные понятия теории точечных множеств. Строение линейных замкнутых множеств.
3. Внешние, внутренние и граничные точки.
4. Всюду плотные подмножества.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 5. Строение совершенных множеств. Открытые множества.
3. Открытые и замкнутые множества.
4. Свойства открытых и замкнутых множеств.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 6. Множество Кантора. Точки конденсации.
4. Канторово множество и ковер Серпинского.
5. Примеры множеств.
6. Точки конденсации.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 7. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
7. Интеграл Римана.
8. Ступенчатые функции.
9. Функции, - малые по Лебегу.
Тема Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства.
5. Понятие измеримой функции.
7. Свойства интеграла Лебега.
Тема Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции 3. Связь интеграла Римана с интегралом Лебега.
Раздел 4. Метрические пространства.
Практическое занятие №1. Метрическое пространство.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
( x, y) - Показать, что ( x, y) arctg x y является метрикой во множестве всех чисел.
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Тема Понятие метрического пространства, примеры.
5. Метрические пространства.
7. Геометрия метрического пространства.
8. Линейные нормированные пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема Полные метрические пространства. Компактность.
4. Полные метрические пространства.
5. Сходимость в метрических пространствах 6. Компактные метрические пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема Принцип сжимающих отображений и его применение.
6. Непрерывные отображения метрических пространств.
7. Свойства непрерывных отображений.
8. Непрерывные отображения компактов.
9. Связные метрические пространства.
Принцип сжимающих отображений и его применение.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема Задача о разложении функции в тригонометрический ряд.
Соотношение ортогональности.
Раздел 5. Ряды Фурье. Тема Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
Раздел 5. Ряды Фурье. Тема Разложение четных и нечетных функций.
Разложение непериодических функций. Четные и нечетные продолжения.
Раздел 5. Ряды Фурье. Тема Ряд Фурье в комплексной форме.
Содержание и методические указания для самостоятельной работы Раздел 1. Мощность множества.
Тема Понятие мощности. Эквивалентные множества.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема Счетные множества и их свойства.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема Множество мощности континуума. Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема Основные понятия теории точечных множеств. Строение линейных замкнутых множеств.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема Строение совершенных множеств. Открытые множества.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема Множество Кантора. Точки конденсации.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции Раздел 4. Метрические пространства.
Тема Понятие метрического пространства, примеры.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема Полные метрические пространства. Компактность.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема Принцип сжимающих отображений и его применение.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема Задача о разложении функции в тригонометрический ряд.
Соотношение ортогональности.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема Разложение четных и нечетных функций. Разложение непериодических функций. Четные и нечетные продолжения.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема Ряд Фурье в комплексной форме.
дисцип на СРС часов теории числовых рядов. опрос, проРазложение некоторых эле- верка консментарных функций в ряд пектов лекТейлора. Индивидуальное за- ций, проверка рования. Отыскание вычета для конспектов, вычисления определенных инте- примеров.
Содержание текущего и промежуточного контроля и методические указания к Коллоквиум по теме: «Теория функций действительного переменного.»
будет проводиться в форме индивидуальной беседы по вопросам, которые можно найти в приложении №4 УМК.
Тема: «Множество, мера множеств. Метрические пространства»
2.Найти неподвижную точку отображения С, y x 2 2 x 1.
4.Является ли пространство R, ( x, y) sin x sin y метрическим?
Тема: «Тригонометрические ряды. Интеграл Лебега»
где D- канторово множество, а CD – его дополнение до всего отрезка 0;1.
1. Понятие мощности множества.
2. Биекция и равномощность бесконечных множеств. Эквивалентные множества.
3. Счетные множества и их свойства.
4. Множества мощности континуума.
5. несчетность множества точек отрезка [0;1].
6. Строение открытых и замкнутых линейных множеств.
7. Совершенное множество.
8. Множество Кантора. Точки конденсации.
9. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях.
10. Мера Лебега. Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства.
11. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции.
12. Предельный переход под знаком интеграла.
13. Метрические пространства. Примеры метрических пространств.
14. Линейные нормированные пространства.
15. Предгильбертовы пространства.
16. Сходимость в метрических пространствах.
17. Компактные.
18. Непрерывные отображения метрических пространств.
19. Связные метрические пространства.
20. Полные метрические пространства.
21. Принцип сжимающих отображений и его применение.
22. Задача о разложении функции в тригонометрический ряд.
Соотношение ортогональности.
23. Тригонометрический ряд Фурье.
24. Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
25. Разложение четных и нечетных функций.
26. Разложение непериодических функций. Четные и нечетные продолжения.
27. Ряд Фурье в комплексной форме Методические материалы для преподавателей:
Данная учебная программа относится к блоку общих математических и естественнонаучных дисциплин и определяет объем знаний по дисциплине «Функциональный анализ». Вопросы, рассматриваемые в данном курсе, имеют важный мировоззренческий характер. Они направлены на изучение студентами математического описания функций действительного переменного и тем самым способствуют формированию у студентов математического мышления и правильных представлений о таких категориях математики, как функция, множество, интеграл, ряды Фурье. Рассматриваемые вопросы имеют также и важный прикладной характер. Они учат грамотному математическому описанию функциональных зависимостей, что, несомненно, будет полезно выпускникам при решении прикладных задач.
Последовательность изучения учебного материала выбрана в соответствие с логикой развития предмета, и может быть изменена лектором по согласованию с кафедрой.
Дисциплина «Функциональный анализ» изучается на 3 курсе в 5 и семестрах. На ее изучение отведено 200 часов, из которых на лекции – 72 часа, на практические занятия – 36 часов, на самостоятельную работу – 92 часа.
Изучение курса завершается в 5 семестре зачетом и в 6 семестре – экзаменом. В течение каждого семестра предусмотрена одна контрольная работа.
Цель дисциплины – формирование представлений о понятиях и методах теории функций действительного переменного, ее месте и роли в системе математических наук, использование в естественных науках, в школьном курсе математики. Более глубоко изучаются такие понятия, как множество и его мощность, открытые и замкнутые множества, функция, интеграл Лебега, метрические пространства. При изучении данного раздела используются понятия математического анализа, такие, как определенный интеграл Римана, функция Дирихле. Данная дисциплина способствует формированию научного мировоззрения студента, устанавливает межпредметные связи. Теоретический материал дает возможность использования для написания курсовых и дипломных работ по прикладной математике.
Основными идеями лекционного курса являются:
Функции действительного переменного. Метрические пространства.
Интеграл Лебега. Равнение интегралов Римана и Лебега. Ряд Фурье.
Методические указания студенту по изучению дисциплины «Теория Данная учебная программа относится к блоку общих математических и естественнонаучных дисциплин и определяет объем знаний по дисциплине «Функциональный анализ». Вопросы, рассматриваемые в данном курсе, имеют важный мировоззренческий характер. Они направлены на изучение студентами математического описания функций действительного переменного и тем самым способствуют формированию у студентов математического мышления и правильных представлений о таких категориях математики, как функция, интеграл. Они учат грамотному математическому описанию функциональных, что, несомненно, будет полезно выпускникам при решении прикладных задач.
Дисциплина «Функциональный анализ» изучается на 3 курсе в 5 и семестрах. На ее изучение отведено 200 часов, из которых на лекции – 72 часа, на практические занятия – 36 часов, на самостоятельную работу – 92 часа.
Изучение курса завершается в 5 семестре зачетом и в 6 семестре – экзаменом. В течение каждого семестра предусмотрена одна контрольная работа.
Цель дисциплины – формирование представлений о понятиях и методах математики, теории функций действительного переменного, ее месте и роли в системе математических наук, использование в естественных науках, в школьном курсе математики. Более глубоко изучаются такие понятия, как функция, интеграл, пространства. При изучении данного раздела используются понятия математического анализа, такие, как множества, определенный интеграл, функция. Данная дисциплина способствует формированию научного мировоззрения студента, устанавливает межпредметные связи. Теоретический материал дает возможность использования для написания курсовых и дипломных работ по прикладной математике.
Основными идеями лекционного курса являются:
Функции действительного переменного. Метрические пространства.
Интеграл Лебега. Равнение интегралов Римана и Лебега. Ряд Фурье.
Часть теоретического материала относится на самостоятельную работу, которую студент выполняет, изучая и конспектируя указанные источники:
разбор геометрического изображения действительных чисел; действий над множествами, метрических пространств, разложение функций в ряд Фурье.
При изучении некоторых тем, студенту необходимо консультироваться у преподавателя; с этой целью еженедельно проводятся индивидуальные консультации.
При изучении раздела «Теория функций действительного переменного»
студенту необходимо обратить внимание на следующие моменты:
1. прежде чем приступить к решению задач, нужно повторить все основные школьные формулы, основные понятия из теории алгебры.
2. При нахождении интеграла Лебега необходимо знать производную и первообразную функции действительного переменного, поэтому при подготовке к решению указанных задач необходимо, прежде всего, повторить элементы математического анализа.
3. При разложении в ряд Фурье необходимо знать все свойства рядов.
При подготовке к контрольной работе обратить внимание на следующие темы:
Тема: «Множество, мера множеств. Метрические пространства»
2. Найти неподвижную точку отображения С, y x 2 2 x 1.
4. Является ли пространство R, ( x, y) sin x sin y метрическим?
Тема: «Тригонометрические ряды. Интеграл Лебега»
2. где D- канторово множество, а CD – его дополнение до всего отрезка 0;1.
а) дневное отделение:
1. Знать аксиомы метрии- 1. Проведение самостояческого пространства, уметь тельной работы по метпроверять выполнение акси- рическим пространствам.
а) заочное отделение:
1. Знать аксиомы метрии- 1.Проведение самостояческих пространств, уметь тельной работы по метриипроверять выполнение акси- ческим пространствам.
2. Знать формулы разло- домашняя контрольная периодических, неперио- 3. Проведение самостодических, четных, нечетных ятельной работы.
3. Четные и нечетные продолжения.
4. Ряд Фурье в комплексной форме.
«