«СБОРНИК ТЕЗИСОВ ЛУЧШИХ ДИПЛОМНЫХ РАБОТ 2012 ГОДА МОСКВА 2012 Данный сборник посвящается ББК 22 С23 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Гнеденко – выдающегося математика, крупного специалиста в области теории ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ

МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

СБОРНИК ТЕЗИСОВ ЛУЧШИХ

ДИПЛОМНЫХ РАБОТ 2012 ГОДА

МОСКВА 2012

Данный сборник посвящается

ББК 22

С23 100-летию со дня рождения

Бориса Владимировича Гнеденко – выдающегося математика, крупного специалиста в области теории вероятностей Сборник тезисов лучших дипломных работ 2012 года. М.:

Издательский отдел факультета ВМК МГУ (лицензия ИД № 05899 от 24.09.2001), 2012 – 190 с.

Редакционный совет сборника:

Е. И. МОИСЕЕВ, С. А. ЛОЖКИН, Б. И. БЕРЕЗИН, В. Н. ЛЫКОСОВ, С. М. НИКОЛЬСКИЙ, А. Н. ТОМИЛИН, И. Г. ШЕВЦОВА, Ю. С. НЕФЕДОВА В настоящий сборник вошли тезисы выпускных квалификационных работ, выполненных студентами факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в 2012 году, представленные на конкурс лучших дипломных проектов.

Нефедова Ю. С., Шевцова И.Г.

ISBN 978–5–89407–483– составление, оформление, 2012.

Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2012.

Оглавление Кафедра математической физики Галанин Валерий Евгеньевич Контурный алгоритм обнаружения особенностей на изображениях магнитно-резонансного томографа................... Зимоздра Роман Евгеньевич Численный анализ электродинамических характеристик тороидальной диэлектрической антенны................ Малахов Кирилл Владимирович Методы регуляризации преобразования Радона в задачах томографии................................ Михеев Евгений Борисович Анализ речевой информации на основе метода разреженных представлений............................... Сергеев Владимир Владимирович Обработка и анализ области макулы на изображениях глазного дна Устинов Владислав Дмитриевич Математическое моделирование рассеяния лазерного пучка на неоднородном ансамбле красных клеток крови............ Кафедра вычислительных технологий и моделирования Буренко Илья Михайлович Моделирование и визуализация пространственно-временной динамики вирусной инфекции и иммунных реакций......... Желтков Дмитрий Александрович Улучшение стабильности тензорно-крестового метода........ Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Русаев Дмитрий Вячеславович Численное моделирование катабатических течений со взвешенными частицами......................... Телятников Илья Сергеевич Математические методы моделирования динамики квазивидов.. Кафедра вычислительных методов Розанцев Артем Викторович Разработка неотражающих краевых условий для нелинейного многомерного уравнения Шредингера с потенциалом........ Трыкин Евгений Михайлович Эффективность использования метода Розенброка для Кафедра функционального анализа и его применений Нефедов Павел Владимирович Задачи для уравнений смешанного типа в случае трехмерных Кафедра автоматизации научных исследований Алексеев Дмитрий Владимирович Применение изогеометрического метода для численного решения Иванников Сергей Олегович Разработка кода молекулярной динамики для изучения фазовых управления Мисатюк Наталья Сергеевна Кафедра общей математики Рогожников Алексей Михайлович Исследование колебаний стержня, состоящего из нескольких Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Кафедра квантовой информатики Сковорода Никита Андреевич Рассеяние двухатомных молекул с учётом запутанных состояний Кафедра исследования операций Блинов Никита Глебович Теоретико-игровой анализ правил ранжирования рекламодателей Завгородний Николай Сергеевич Модель функционирования взлетно-посадочной полосы для оценки эффективности системы вихревого прогноза......... Исмагилова Альфия Фаритовна Непрерывная модель крупных закупок с использованием меры риска Некрасова Ольга Валерьевна Оптимизация резервов по портфелю страхования жизни...... Одинокова Наталья Сергеевна Трофимов Сергей Александрович Исследование задач обеспечения безопасности с использованием Кафедра оптимального управления Губанова Маргарита Андреевна Задача оптимального управления для математической модели Дигайлова Анастасия Михайловна Оптимизация процессов разработки полезных ископаемых..... Молчанов Александр Александрович Некоторые прикладные задачи теории оптимального управления. Новикова Алина Олеговна Вычисление и визуализация множеств достижимости управляемых систем с использованием параллельных вычислений Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Орлов Сергей Михайлович Исследование некоторых нелинейных задач оптимального Романенко Юлия Александровна Оптимальная гауссова аппроксимация в модели Изинга...... Самыловский Иван Александрович Стрелковский Никита Витальевич Имитационная модель взаимодействия экономических агентов в Кафедра системного анализа Гончаров Андрей Сергеевич Синтез оптимального управления в математической модели Мандельбаум Константин Андреевич Эллипсоидальные оценки множеств достижимости гибридных Месяц Алексей Игоревич Целевое управление эллипсоидальнозначным движением в Одиноков Данила Олегович Координированное управление коллективным движением при Синяков Владимир Владимирович Задача управления конкретной нелинейной системой........ Сорокин Игорь Сергеевич Алгоритм оценки кривой доходности по нескольким группам Степанович Валентин Анатольевич Задача отслеживания движения при коммуникационных Ульянов Николай Николаевич Точные решения распределённой модели квазивидов........ Фатеев Кирилл Геннадьевич Многокритериальные задачи анализа раковых опухолей...... Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Кафедра математической статистики Ермаков Игорь Юрьевич Методы стохастического управления в задаче финансового Целищев Михаил Андреевич Кафедра математических методов прогнозирования Антипов Григорий Михайлович Бондаренко Николай Николаевич Нетрадиционные логические методы распознавания......... Колесников Александр Александрович Прогнозирование вероятности кликов на новые рекламные Макарова Елена Юрьевна Непрерывные алгоритмы морфологического анализа и сравнения Онищенко Алина Андреевна Методы анализа формальных понятий в задачах классификации. Суворов Михаил Андреевич Методы агрегирования метрических описаний на основе Кафедра математической кибернетики Авдюнин Максим Андреевич Исследование практической применимости атаки встречи Кафтан Дарья Владимировна Специальные задачи теории бесповторных функций......... Ковтунова Алиса Николаевна Алгоритмы гомоморфного шифрования................ Коноводов Владимир Александрович Методы синтеза и оценки сложности схем с некоторыми структурными ограничениями..................... Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Морозов Евгений Валерьевич О тестах для булевых функций при некоторых неисправностях Николаев Максим Владимирович Алгоритм решения двумерной задачи дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой с эффективным гомоморфизмом..................... Кафедра автоматизации систем вычислительных комплексов Афанасьев Владимир Владимирович Визуализация сцен с преломляющими объектами модифицированным методом трассировки пучков.......... Афанасьева Александра Евгеньевна Моделирование тонкопленочных покрытий.............. Беликов Владимир Юрьевич Анализ фрактальной структуры временных рядов.......... Зипа Кристина Сергеевна Моделирование восприятия разночастотных сигналов Лихогруд Николай Николаевич Распознавание нейронных сигналов методами машинного обучения Носеевич Георгий Максимович Обнаружение уязвимостей авторизации в веб-приложениях.... Пестун Максим Вадимович Система моделирования поведения (навигации) человека в Плакунов Артем Владимирович Алгоритмы построения расписания обменов по каналу с централизованным управлением на основе схемы муравьиных Сахаров Артур Сергеевич Распознавание жестов с помощью Microsoft Kinect......... Щербинина Анастасия Алексеевна Обнаружение полиморфного шеллкода в сетевом трафике на Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Кафедра алгоритмических языков Баранов Михаил Игоревич Алгоритмы локального поиска..................... Клычков Денис Михайлович Интерпретатор языка Плэнер для многостилевого окружения... Кудасов Николай Дмитриевич Инкрементальные структуры данных для многостилевого Куликов Василий Владимирович Диалект языка Лисп для обработки электронной почты...... Межебицкий Анатолий Алексеевич Разработка и оптимизация высоконагруженных интернет приложений реального времени..................... Мытрова Марина Вячеславовна Информационный поиск на основе методов автоматических Родионов Алексей Вадимович Разработка системы поиска нот с использованием закономерностей построения музыкальных произведений................ Кафедра системного программирования Бартунов Сергей Олегович Методы идентификации пользователей в онлайновых социальных Вартанов Сергей Павлович инструментирования байт-кода и отслеживания помеченных Коваленко Алина Игоревна Преобразование программ на языке C-DVM в программы для Куприк Илья Владимирович Предсказание времени и эффективности выполнения программ на графических процессорах........................ Мандрыкин Михаил Усамович Моделирование памяти при верификации программ методом CEGAR Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Меркулов Алексей Павлович Разработка компиляторных методов программирования ПЛИС с использованием открытых стандартов................. Пироженко Александр Александрович Построение наукометрического показателя, устойчивого к спаму. Платонов Владимир Александрович Разработка системной поддержки программирования ПЛИС как Спихальский Дмитрий Станиславович Использование MapReduce и параллельных СУБД для задач Отделение бакалавриата Жайворонок Юрий Юрьевич Анализ одной системы шифрования видеоданных на основе итерационных алгоритмов решения задачи изоморфизма матриц. Казарян Наири Ваникович Разработка специализированных социальных сетей......... Сасов Дмитрий Александрович Расширение средств мониторинга системного уровня для анализа производительности суперкомпьютерных приложений....... Отделение магистратуры Крюков Сергей Александрович Модель специализированного предметного поиска.......... Левашов Алексей Евгеньевич Метод поиска параметрических кривых на цифровых изображениях Мингалеева Зухра Тагировна Теорема о неявной функции и локальная разрешимость Огнев Александр Игоревич Некоторые оценки параметров локальных аффинностей булевых Темы дипломных работ, защищенных выпусниками года (отделение специалистов)................... Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Темы дипломных работ, защищенных выпусниками года (отделение бакалавриата)................... Именной указатель Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Контурный алгоритм обнаружения особенностей на изображениях магнитно-резонансного томографа Научный руководитель: проф., д.ф.-м.н. Крылов А.С.

В работе предложен, исследован и программно реализован метод полуавтоматической сегментации очагов диффузно-аксонального повреждения (ДАП).

ДАП относится к виду тяжелых черепно-мозговых травм и проявляется на изображениях магнитно-резонансной томографии в виде небольших тёмных пятен. Задача полуавтоматической сегментации состоит в точной фиксации области повреждения в выбранном врачомрадиологом на изображении регионе интереса. Дополнительно решена задача сопоставления выделенной области с данными ангиографического исследования головного мозга, для определения, является ли область очагом ДАП или кровеносным сосудом. Данное сопоставление позволяет существенно сократить объём ручной работы врача, связанный с просмотром набора изображений для каждого подозрительного случая.

Метод, предложенный для сегментации очагов повреждения, основывается на контурном алгоритме построения линий уровня [1].

Общая схема алгоритма выглядит следующим образом:

- На некотором интервале строится набор замкнутых линий уровня.

- Для каждой линии уровня строится вектор, состоящий из инвариантных характеристик области.

- Линии, выделяющие очаги повреждения отделяются от остальных по методу опорных векторов [2].

Метод был протестирован на наборах изображений, полученных в НИИ НДХиТ (клиника Рошаля) и показал свою эффективность в терминах ошибок первого и второго рода. Был проведен подробный статистический анализ инвариантных характеристик, используемых для создания обучающей выборки, а также было выполнено сравнение с известным алгоритмом сегментации медицинских изображений ISODATA [3]. Основными достоинствами метода является точность выделения границ области повреждения, а также фиксация практически всех, интересующих врача областей.

Для программной реализации метода было разработано настольное приложение с помощью среды разработки Microsoft Visual Studio 2010, системы созданий настольных приложений Windows Presentation Foundation, используемый язык программирования – C#. Приложение разработано на основе шаблона проектирования Model-View-ViewModel.

Результаты данной работы частично опубликованы на международной конференции [4], а также в журнале списка ВАК [5].

1. Перебрин A. B. Построение изолиний с автоматическим масштабированием // Вычислительные методы и программирование, Т. 2,2001, стр. 22.

2. C. Cortes, V. Vapnik. Support-Vector Networks // Machine Learning, Vol. 20, pp. 273-297, 1995.

3. Ball, Geoffrey H.; Hall, David J. Isodata, a novel method of data analysis and pattern classification // Tech. Rep. Stanford University, Stanford, 4. Senyukova O. V., Galanine V. E., Krylov A. S., Petraikin A. V., Akhadov T. A., Sidorin S. V. Diffuse axonal injury lesion segmentation using contouring algorithm // 21-th International Conference on Computer Graphics GraphiCon’2011. Moscow, Russia, 2011, pp. 84-87.

5. Сенюкова О. В., Галанин В. Е. Выделение областей интереса на основе классификации изолиний // Программные продукты и системы, №1, 2012, стр. 52-55.

Численный анализ электродинамических характеристик тороидальной диэлектрической Научный руководитель: проф. Захаров Евгений Владимирович В дипломной работе рассмотрена математическая модель линзовой антенны в форме тора с облучателем, помещённым на оси вращения.

Трёхмерная граничная задача для уравнений Максвелла была скаляризована и сведена к задаче на полуплоскости. Для её решения применялся метод интегральных уравнений. Подробный вывод интегрального уравнения Фредгольма второго рода по области описан в книге [1]. Поскольку ядро полученного уравнения является фредгольмовым, справедливы теоремы существования, единственности и устойчивости решения. С помощью метода коллокации интегральное уравнение было сведено к системе линейных алгебраических уравнений.

Подробнее о методе коллокации можно прочитать в книге [2]. Численное решение было получено из СЛАУ итерационным методом Якоби.

В работе проведён анализ характеристик антенны, представляющих собой функционалы от решения. Наибольшее внимание уделено Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года диаграмме направленности. Изучены её основные свойства, а также поведение в зависимости от параметров: размеров антенны, частоты излучения и положения источника на оси. Полученные результаты согласуются с имеющимися экспериментальными данными, приведёнными в книге [3] и статье [4].

Данная работа является одной из первых, где тороидальная антенна исследовалась подобным образом. Ранее для этой цели применялись либо методы физической оптики, либо сравнение со сферическими антеннами.

1. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. М.: МАКС Пресс, 2008.

2. Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

3. Пименов Ю. В. Линейная макроскопическая электродинамика.

М.: Интеллект, 2008.

4. Zakharov E. V., Levchenko S. N., Kharlanov Yu. Ya. Investigation and Optimization of Characteristics of Toroid Lens Antennas // Journal of Communications Technology and Electronics, Vol. 43, No. 5, 1998, pp. 524–526.

Методы регуляризации преобразования Радона Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Дмитриев Владимир Иванович В работе рассмотрено преобразование Радона для задач компьютерной томографии с регуляризацией. Получены аналитические формулы для обратной задачи, а также для обратной задачи с регуляризацией.

Для более качественного и точного исследования был разработан алгоритм получения исходных данных без использования интерполяции.

Все алгоритмы реализованы в программном комплексе с применением параллельного программирования на основе технологии CUDA. Тем самым скорость вычисления возросла на порядок. Это позволяет в дальнейшем рассматривать варианты обработки в режиме реального времени или разработки трехмерной томографии.

Проведен сравнительный анализ различных способов регуляризации.

Выведены необходимые формулы для численных экспериментов, а сам численный эксперимент проведен на реальных данных. Как было показано, локальная регуляризация лучше справляется с задачей восстановления сильно зашумленных данных, чем остальные методы, но этот способ требует больше вычислений. Глобальная регуляризация восстанавливает хуже, но в большинстве случаев результаты вполне удовлетворительны, а иногда и ничем не уступают локальной регуляризации. Метод без регуляризации показал себя хуже остальных, но требования к вычислительным возможностям системы самые низкие. Также с использованием локальной регуляризации можно восстанавливать объекты, информация о которых получена не полностью (томография земной поверхности при поиске полезных ископаемых), что раньше возможно было только с помощью алгебраических методов, требующих намного больше ресурсов вычислительных систем. При выборе способа восстановления необходимо ориентироваться на априорные данные исследуемого объекта.

1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. Москва: Наука, 1987.

2. Троицкий И. Н. Статистическая теория томографии. Москва:

Радио и связь, 1989.

3. Арсенин В. Я., Криксин Ю. А., Тимонов А. А. Метод локальной регуляризации линейных операторных уравнений I рода и его приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, т. 28:6, с. 793Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001.

5. Herman G. T. Fundamentals of computerized tomography: Image reconstruction from projection, 2nd edition Springer, 2009.

Анализ речевой информации на основе метода разреженных представлений Научный руководитель: к.ф.-м.н. Лукин Алексей Сергеевич В работе рассматривается задача автоматической идентификации диктора (АИД), т.е. определения личности говорящего человека по акустическим признакам его голоса и базе данных голосов. Данная задача встает во многих предметных областях (например: система автоматического поиска преступников с помощью телефонной связи или системы телефонного шпионажа). В работе также рассматривается задача сегментации звуковых файлов на дикторов (диаризации) [1], т.е.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года получения разметки речевых фрагментов в записях с речевым данными одного или нескольких дикторов.

Существует множество подходов к решению задачи АИД, наиболее популярные из которых GMM-EM [2] и GMM-SVM [3].

В качестве аккустических признаков почти во всех существующих системах используются мел-кепстральные коэффициенты [4]. В работе предложен метод идентификации диктора, основанный на разреженных представлениях [5]. В качестве классификаторов были использованы GMM-супервектора [6]. Данный классификатор строится методом MAPадаптации [7], с помощью универсальной фоновой модели [7], обученной на всей базе.

Пусть есть множество N непересекающихся классов дикторов, каждый класс представлен одним GMM-супервектором. Пусть есть супервектор, построенный на записи диктора, входящего в это множество. Тогда существует линейное разложение данного супервектора по супервекторам из данного множества, причем в идеальном случае только один из коэффициентов разложение отличен от нуля. Таким образом возникает недоопределенная СЛАУ. В работе рассматривается описанная выше задача, в предположении, что классы дикторов могут пересекаться.

Была разработана система идентикации диктора, основанная на предложенном методе, в которую был интегрирован модуль диаризации, основанный на СПО «LIUM SpkDiarisation» [8]. Система была протестирована на базе русскоговорящих дикторов телефонного качества, содержащей 47 дикторов. Каждый диктор представлен в среднем 5 записями. Использованный алгоритм идентификации диктора превосходит результаты других алгоритмов, полученных на той же самой базе, в среднем на 1,5%. Тестирование разработанной системы идентификации диктора с использованием модуля диаризации показало эфективность предложенных алгоритмов.

1. Evans N., Bozonnet S., Wang D., Fredouille C., Troncy R. A comparative study of bottom-up and top-down approaches to speaker diarization.

EURECOM, vol. 20, pp. 382 - 392, 2012.

2. McKenzie P., Adle M. The EM algorithm used for Gaussian mixture modeling and its initialization. Pattern Recognition in practice IV, Vlieland, p. 91–105, 1994.

3. Campbell W. M., Campbell J. P., Reynolds D. A.,Singer E. and TorresCarrasquillo P. A. Support vector machines for speaker and language recognition. Comput. Speech Lang., т. 20, pp. 210-229, 2006.

4. Zheng F., Zhang G., Song Z. Comparison of Different Implementations of MFCC. J. Computer Science & Technology, pp. 582-589, 2001.

5. Elad M. Sparse and Redundant Representations. New-York: Springer, 6. Campbell W. M., Sturim D. E., Reynolds D. A. Support Vector Machines using GMM Supervectors for speaker verification. IEEE Signal Processing Letters, т. 13, p. 308– 311, 2006.

7. Reynolds D. A., Quatieri T. F., Dunn R. B. Speaker Verification Using Adapted Gaussian Mixture Models. Digital Signal Processing 10, pp. 19Meignier S., Merlin T. LIUM SPKDIARIZATION: AN OPEN SOURCE TOOLKIT FOR DIARIZATION France:LIUM, 2010.

Обработка и анализ области макулы на изображениях глазного дна Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Крылов Андрей Серджевич Практически все заболевания глаз, даже на ранних стадиях, проявляются в виде участков поражения глазного дна, что позволяет на основе их своевременного обнаружения и диагностики предпринимать меры по их лечению. Одно из наиболее распространённых заболеваний глаз - диабетическая ретинопатия, которая на разных стадиях развития вызывает специфические поражения ткани глазного дна.

В данной дипломной работе использована выборка изображений глазного дна, предоставленная врачом-офтальмологом Родиным А.С.

(факультет фундаментальной медицины МГУ им. М.В.Ломоносова) с разных non-mydriatic глазных камер.

Большинство заболеваний, представляющих опасность для зрения человека, проявляется именно в центральной части глаза - в макуле.

Поэтому, для обнаружения эксудатов не рассматривается всё изображение глазного дна, а только его центральная часть.

Предобработка изображения включает в себя выравнивание освещения для зелёного канала изображения. Проводится математическое морфологическое раскрытие и закрытие для зелёного канала изображения с выровненным освещением и повышенным контрастом. В каждом пикселе вычисляется значение вариационной характеристики по формуле:

По заданному порогу определяются области предполагаемых кандидатов.

Области кандидаты заполняются средним значением фона изображения, Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года из исходного изображения вычитается изображение без микроаневризм и проводится пороговая обработка.

Для нахождения тёмных микроаневризм берётся изображение с выровненным освещением и увеличенным контрастом. Проводится медианное размытие. В каждом пикселе макулы вычисляется корреляция разности функции интенсивности и ее среднего значения в области вокруг рассматриваемого пикселя и функции Гаусса :

Каждому пикселю изображения глазного дна алгоритм ставит в соответствие максимальное значение корреляционной функции при различных дисперсиях и проводится пороговая обработка. Дальнейшая часть алгоритма сводится к разделению истинных микроаневризм от ложных областей.

Берётся маска сосудов, которая вычисляется на предыдущих этапах и убираются из рассмотрения области с большим значением компактности.

Для полученных областей применяется метод разрастания регионов.

Был применен метод опорных векторов (SVM алгоритм). Брались в рассмотрение следующие свойства: размер области, периметр, отношение яркости области к средней яркости фона, компактность и среднее значение вариационной характеристики на границе области.

В дипломной работе проанализированы особенности разработанных ранее другими авторами методов выявления заболеваний глаз, в том числе диабетической ретинопатии, по изображениям глазного дна. На основе анализа разработан и реализован алгоритм автоматического выделения поражённых участков макулы при диабетической ретинопатии с достаточно высокой точностью обнаружения ярких и тёмных микроаневризм на изображениях глазного дна.

Проведено тестирование алгоритма на изображениях, предоставленных врачом-офтальмологом, и из тестового набора Mesidor (чувствительность порядка 85 процентов, специфичность порядка процентов).

1. Walter T., Klein J., Massin P., Erginay A. A Contribution of Image Processing to the Diagnosis of Diabetic Retinopathy-Detection of Exudates in Color Fundus Images of the Human Retina. IEEE Trans Med Imaging.

2002 v. 21(10), pp. 1236-43.

2. Zhang B., Wu X., You J., Li Q. Hierarchical Detection of Red Lesions in Retinal Images by Multiscale Correlation Filtering. SPIE Medical Imaging 2009: Computer-Aided Diagnosis, art. no. 72601L, 3. Крылов A., Насонов A., Семашко A., Черноморец A., Сергеев В., Акопян B, Родин A., Cемёнова H. Компьютерный анализ изображений глазного дна. 8-я Российско-Баварская конференция по биомедицинской инженерии. Санкт-Петербург,2012, с. 129-133.

4. Chernomorets A., Krylov A., Nasonov A., Semashko A., Sergeev V., Akopyan V., Rodin A., Semenova N. Automated processing of retinal images. 21th International Conference on Computer Graphics GraphiCon2011, Moscow, 2011. pp. 78-81.

Математическое моделирование рассеяния лазерного пучка на неоднородном ансамбле Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Федотов Михаил Валентинович Данная работа посвящена математическому моделированию рассеяния лазерного излучения красными клетками крови. Главные актуальные вопросы рассматриваемой области следующие. Возможно ли по виду получающейся дифракционной картины (ДК) определить размер облучаемого эритроцита, его форму (цилиндр, шар, сфероид, двояковогнутый диск), концентрацию гемоглобина внутри клетки? При исследовании множества частиц можно ли рассчитать усреднённые величины, такие как средний размер облучаемых частиц? Каким требованиям должна удовлетворять для этого экспериментальная установка? Каким должен быть алгоритм обработки экспериментальных данных?

Красные клетки крови и другие малые частицы, находящиеся в крови, играют очень важную роль в функционировании человеческого организма. Известны различные подходы к измерению свойств эритроцитов. Их можно наблюдать с помощью микроскопов очень высокого разрешения, можно мерить объём крови, прошедшей через трубки микронных размеров, и др. Однако предложенный в 1975 году [1] метод лазерной дифрактометрии по многим параметрам превосходит предшествующие аналоги. В целом, этот метод состоит в исследовании ДК (т.е. интенсивность рассеянного поля) лазерного света, облучающего эритроциты. Такой подход открывает возможность создания новых приборов, куда более простых в производстве (а значит и более дешёвых), Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года нежели сверхточные микроскопы, и дающих куда больше информации об исследуемых частицах в сравнении с микронными трубками. Сегодня, такие приборы уже существуют, см. например эктацитометры. Однако целый класс задач математической обработки получаемых данных, а также и некоторые вопросы постановки эксперимента всё ещё остаются открытыми в данной области.

Действуя в рамках лазерной дифрактометрии, мы рассчитали, как особенным образом заданная видность ДК зависит от разброса частиц по размерам, т.е. грубо говоря, от того насколько облучаемые частицы разные по размерам. Эта зависимость оказалась монотонной, что позволяет при определённых достижимых в эксперименте условиях по известной легко измеряемой величине — видности ДК — сделать вывод о величине разброса эритроцитов по размерам. Этот результат частично опубликован в нашей статье [2] и является основным практическим достижением и главной целью этой работы. Вопросу о данной зависимости посвящена глава первая.

Для расчёта каждой отдельной ДК при заданных облучаемых частицах ставится краевая задача для уравнений Максвелла со специальными граничными условиями, например Дирихле. Уравнения Максвелла записываются везде во вне частицы, а её граница и есть граница области вычислений. Для решения таких задач мы тщательно выбираем наиболее подходящий для нашей ситуации метод.

Таким образом был сделан современный обзор по этой теме, причём мы концентрировались именно на частицах со свойствами кровеных телец. Собранные научные сведения ценны, как серьёзное дополнение единственного современного аналогичного обзора [3] о рассеянии света на эритроцитах. По итогам обзора для вычисления различных ДК был выбран метод Аномальной Дифракции [4].

Мы рассчитали указанную выше зависимость, выбирая разные входные параметры, такие как длина падающей волны, расстояние до экрана наблюдения, количество частиц. Оказалось, что на найденную зависимость эти величины влияют очень слабо. Далее мы выбирали разные типы облучаемых ансамблей. Во-первых, когда есть всего два типа частиц — меньшие и большие, затем когда они распределены равномерно от малых радиусов к большим, и наконец когда они распределены как функция Гаусса. Оказалось, что полученная функция-зависимость остаётся практически одной и той же для каждого из распределений.

Также важно отметить, что она является строго монотонной, что позволяет по измеряемой видности найти величину разброса частиц по размерам. В этом и состоит практический результат данной работы.

Эта работа проводилась совместно между кафедрой математической физики ВМК МГУ и лабораторией биофотоники Физфака МГУ. В частности, мы благодарим коллектив лаборатории биофотоники за постановку задачи.

1. Mohandas N., Bessis M. Blood cells. 1:307, 1975.

2. А.В. Приезжев, В.Д. Устинов, С.Ю. Никитин, А.Е. Луговцов. Связь между видностью дифракционной картины и разбросом частиц по размерам в эктацитометре. Квантовая электроника, 41(9):843–846, 3. Elena Eremina, Roman Schuh, Thomas Wriedt, Jens Hellmers. Light scattering by single erythrocyte: Comparison of different methods. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 100:444–456, 4. Geert. J. Streekstra, Alfons G. Hoekstra, and Robert M. Heethaar Anomalous diffraction by arbitrarily oriented ellipsoids: applications in ektacytometry Applied Optics, 33 (31), 1994.

Моделирование и визуализация пространственно-временной динамики вирусной инфекции и иммунных реакций Кафедра вычислительных технологий и моделирования Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Бочаров Геннадий Алексеевич В настоящем исследовании рассмотрены способы визуализации пространственно-временной динамики вирусной инфекции во вторичных лимфоидных органах. В ходе инфекции органы способны изменять объём в зависимости от некоторого параметра, например, концентрации вируса.

Разработана интерактивная система моделирования и визуализации, которая позволяет задавать набор параметров математической модели, описывающей динамику инфекции, и визуализировать решение математической модели с помощью трёхмерных геометрических моделей.

В качестве математической модели инфекции рассматривалась система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которая описывает динамику концентрации вируса, интерферона, количества заражённых и инфицированных плазмацитоидных дентритных клеток и макрофагов [1]. Разработан графический интерфейс пользователя средствами MATLAB, который позволяет задавать временной интервал, на котором решается система уравнений, начальную концентрацию вируса, а так же набор параметров, входящих в систему уравнений.

Интерфейс позволяет пользователю строить графики компонентов решений системы, выбирать набор отображаемых графиков. Рассмотрены два подхода к созданию трёхмерной модели органов: полигональная (используя Blender) и метод на основе -функций [2]. Полигональная Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года модель проще реализуема, однако, имеет недостатки при параметрическом задании границ органов. Подход, основанный на теории R-функций позволяет описывать границы органов в виде одной аналитической формулы и, таким образом, задавать границу параметрически. Если функция () 0 описывает некоторую область пространства, причём () = 0 описывает границу этой области, то можно использовать достаточно полную систему действительнозначных функций, которая позволяет описать пересечение, объединение двух функций или дополнение до функции, и получившаяся функция будет описывать область, которая является пересечением, объединением областей или дополнением до области. В текущей работе использована следующая достаточно полную систему функций [2]:

Геометрические модели были сопряжены с решением математической модели (средствами MATLAB). В зависимости от концентрации вируса границы органов окрашивались в разные цвета. Таким образом разработана интерактивная система моделирования и визуализации, позволяющая задавать все параметры математической модели и наблюдать временную и пространственно-временную динамику иммунных процессов [3].

1. Bocharov G, Zst R, Cervantes-Barragan L, Luzyanina T, Chiglintsev E, et al. (2010) A Systems Immunology Approach to Plasmacytoid Dendritic Cell Function in Cytopathic Virus Infections. PLoS Pathog 6(7):

e1001017. doi:10.1371/journal.ppat. 2. Рвачёв В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения, “Наукова Думка”, -К. 3. Буренко И. Моделирование и визуализация пространственновременной динамики вирусной инфекции и иммунных реакций, дипломная работа, кафедра ВТиМ ВМК МГУ им. Ломоносова, 36стр, Улучшение стабильности тензорно-крестового Кафедра вычислительных технологий и моделирования Научный руководитель: чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф. Тыртышников Пусть необходимо найти приближения матрицы R, которая не хранится в памяти, а представлена в виде функции (, ) от двух аргументов и. Для большинства алгоритмов аппроксимации необходимо вычислить все элементов этой матрицы. Матричный крестовый метод ([1], [2], [3]) позволяет найти приближение необходимой точности, вычислив всего (( + )) элементов матрицы и затратив всего ((+)2 ) арифметических операций. На практике метод является надёжным, и приближение будет близко к наилучшему -ранговому приближению, для метода существуют теоретические оценки.

В случае многомерных массивов (тензоров) число элементов растёт экспоненциально с ростом числа измерений. Например, для полного хранения тензора R1 2 ··· размерности = 10 и размером = 100 по каждому направлению требуется 10010 = 1020 ячеек памяти, что крайне много. Поэтому важно иметь компактные представления таких объектов.

В 2009 году был предложен новый формат представления тензоров — тензорный поезд (Tensor train, TT) [4]. Для хранения тензора в этом формате требуется всего 1 элементов памяти, где – TT-ранги тензора, 0 = = 1. Кроме того в данном формате существуют быстрые операции над тензорами, большинство операций выполняется за (3 ) арифметических действий, где = max ( ), = max ( ). Разработан крестовый метод [5], получающий приближение тензора в TT-формате, вычислив (2 ) его элементов и выполнив (3 ) операций.

Матричный крестовый метод и TT-крестовый метод играют важную роль для получения структурированных малопараметрических представлений матриц и тензоров, соответственно, заданных в виде функций от целочисленных переменных. С их помощью можно решать множество задач: многомерное интегрирование, решение интегральных уравнений и др.

Однако, оба этих метода не всегда являются надёжными. Поэтому необходимо разрабатывать способы повышения их надёжности. Кроме того, в случаях больших размеров матриц (тензоров) или затратного вычисления каждого элемента, методы могут работать достаточно долго.

Возникает необходимость повышения производительности. Это можно сделать с помощью создания параллельных алгоритмов.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года В данной работе выполнен обзор существующих крестовых методов, предложен новый способ поиска TT-рангов для TT-крестового метода, разработаны и реализованы эффективные параллельные крестовые алгоритмы, в которые введено несколько параметров повышения надёжности. Эти алгоритмы были применены для получения приближения ряда матриц и тензоров.

Приведём пример использования TT-крестового метода для интегрирования многомерных функций. Сравним вычисление интеграла (1 + 2 + · · · + ) с помощью метода квази-Монте-Карло и [0,1] TT-крестового метода. Для вычисления с помощью TT-крестового метода использовались 11 Чебышёвских узлов по каждому направлению.

Для квази-Монте-Карло генерировались 230 точек в пространстве. Также приведены результаты TT-крестового метода, полученные в [5].

1. S. A. Goreinov, E. E. Tyrtyshnikov, N. L. Zamarashkin, A Theory of Pseudoskeleton Approximations. // Linear Algebra Appl., 1997, 261, 2. Tyrtyshnikov E.E., Incomplete Cross Approximation in the MosaicSkeleton Method. // Computing, 2000, v.64, N 4, pp. 367-380.

3. Goreinov S.A., Tyrtyshnikov E.E., The maximal-volume concept in approximation by low-rank matrices. // Contemporary Mathematics, 2001, Vol. 208, pp. 47-51.

4. Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions // SIAM J. Sci. Comput. 2009.

Vol 31, 5. P. 3744-3759.

5. I. V. Oseledets, E. E. Tyrtyshnikov. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra and Applications. 2010. V. 432, Численное моделирование катабатических течений со взвешенными частицами Кафедра вычислительных технологий и моделирования Научный руководитель: чл.-корр. РАН Лыкосов Василий Николаевич Катабатическое течение — воздушный поток, образующийся над охлажденным склоном и направленный вниз по нему. Его формирование происходит за счет разности температур вблизи поверхности и в свободной атмосфере на той же высоте. В силу того, что такое явление часто возникает над заснеженными склонами, возможно поднятие в воздух большого количества снежных частиц, что по данным наблюдений [1] приводит к усилению скорости потока.

Первая одномерная стационарная модель ветра склонов (катабатическое течение — частный случай этого явления) была построена Прандтлем [2]. Более общая постановка задачи была рассмотрена в книге Гутмана [3]. По отдельности, процессы формирования ветра склонов и физики взвешенных частиц исследованы достаточно подробно, но их взаимодействие все еще слабо изучено.

Первые шаги в построении модели катабатических течений с находящимися в потоке частицами были представлены в работах [4, 5].

С этой целью были использованы уравнения из работы Прандтля [2] и к ним добавлены уравнения для концентрации частиц. В этих работах было получены аналитические решения и исследованы их зависимости от различных параметров задачи.

В данной дипломной работе была построена трехмерная модель, учитывающая как неоднородности рельефа и температуры его поверхности, так и источников частиц. Для численной реализации модели был использован метод расщепления задачи по физическим процессам, включающим перенос, адаптацию, учет силы Кориолиса, турбулентную диффузию и коррекцию поля скорости для выполнения уравнения неразрывности.

В дифференциальной постановке задачи, для случая отсутствия турбулентной вязкости и концентрации частиц выполняется закон сохранения полной энергии. Это означает, что в пренебрежении турбулентными процессами оператор исходной задачи кососимметричен, что позволяет в качестве схемы по времени использовать схему Кранка-Николсон, которая для случая кососимметрического оператора сохраняет вторую норму [6]. Это дало возможность достичь абсолютной устойчивости схемы и использовать при расчетах шаги по времени, обусловленные лишь аппроксимацией описываемых физических процессов.

Большинство задач в дискретной постановке, получаемых после Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года расщепления, представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Количество систем, возникающих на каждом шаге расщепления, сопоставимо с количеством узлов сетки по двум направлениям. Таким образом, большое число независимых задач на каждом шаге расщепления делает возможным создание эффективной параллельной реализации модели. Кроме этих задач, на этапе коррекции поля скорости возникает задача Пуассона для всей трехмерной области. Ее решение проводится методом дискретного преобразования Фурье по горизонтальным направлениям и последующего нахождения коэффициентов Фурье с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений также с трехдиагональной матрицей.

В ходе численных экспериментов была проверена устойчивость схемы и показано, что при независящем от времени наборе параметров и входных данных схема обеспечивает выход на стационарное решение.

Кроме того, результаты численных экспериментов показали качественное совпадение численного решения с решением аналитической задачи.

Важной особенностью используемых алгоритмов является хорошая вычислительная эффективность их работы и возможность создания параллельной версии, что является одним из основных направлений дальнейшего развития модели. Необходимым дальнейшим шагом является расчет параметров турбулентности, которые в данной работе приняты константами. Следующим этапом будет реализация описания физики отрыва частиц снега и их взаимодействия с турбулентностью.

Наконец, в процессе совершенствования модели следует уделить внимание более точному описанию процессов теплообмена между поверхностью склона и атмосферой с учетом радиационных процессов, потоков явного и скрытого тепла и процесса сублимации частиц.

1. Kodama, Y., Wendler G., Gosink J. The effect of blowing snow on katabatic winds in Antarctica. Ann. Glaciol., 1985, v. 6, p. 59-62.

2. Prandtl L. Fhrer durch die Strmungslehre. 3ed., Braunschweig, F.

Vieweg, 1949 (русский перевод: Л. Прандтль, Гидроаэромеханика, М.:, ИЛ, 1951).

мезометеорологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1969, 4. Рязанов Ф.А. Модель ветра склонов с наличием в потоке взвешенных частиц. Выпускная квалификационная работа бакалавра. Московский физико-технический институт, 2008, 5. Русаев Д.В. Аналитическая модель ветра над заснеженным склоном. Курсовая работа. Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2010.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, Математические методы моделирования Кафедра вычислительных технологий и моделирования Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Бочаров Геннадий Алексеевич Характерной особенностью вируса иммунодефицита (ВИЧ) является чрезвычайно высокая изменчивость генома, вследствие чего ВИЧ широко варьирует по своим биологическим свойствам и «ускользает»

от иммунных реакций, адаптируясь к действию противовирусных препаратов. Внутривидовое генетическое разнообразие вируса привело к необходимости использования понятия «квазивида» для описания популяции близкородственных, но не идентичных геномов. Квазивид — ансамбль цепочек вирусных РНК, которые отличаются друг от друга по нескольким основаниям, оставаясь вирусами заданного вида. Одним из подходов к изучению эволюции вирусных вариантов в популяции является использование генетических алгоритмов [1].

С применением стохастических подходов на основе генетических алгоритмов в работе построена модель динамики вирусной популяции с учетом точечных мутаций, рекомбинаций, репликаций вирусных геномов и отбора потомков по величине функции приспособленности.

Используется четырехбуквенный алфавит кодирования виртуального генома [2, 3]. Рассматриваются квазивиды, резистентные к действию препарата азидотимидина (AZT), блокирующего обратную транскрипцию вирусной РНК в ДНК, содержащие в 41 и 215 позициях аминокислотной последовательности метионин (ATG) и треонин (ACC) соответственно.

Рассматриваемая популяция подразделяется на восемь классов: W, M41L, T215N, T215S, T215Y, M41L/T215N, M41L/T215S, M41L/T215Y.

Инициализация проводится различными способами: 1) случайным образом генерируется вирусная цепочка, копируемая до размеров популяции; 2) случайным образом генерируются все геномы; 3) создается популяция, содержащая одинаковое количество геномов каждого класса.

В модели реализованы варианты моноинфекции и мультиинфекции клеток-мишеней.

Для численной реализации модели написана программа на языках Visual Fortran и Open MPI. Расчеты производились для следующих параметров: длина цепочки — 1800 оснований; размер популяции – Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года цепочек вирусной РНК; вероятность точечной мутации — 0.2; вероятность рекомбинации — 0.5. Мерой неоднородности популяции является среднее расстояние по Хеммингу. Был реализован оригинальный генератор случайных чисел. В целом, разработана модель высокого уровня разрешения, превосходящая существующие модели данного класса.

В дополнение к стохастической модели построена модель динамики квазивидов ВИЧ, резистентных к AZT, на основе систем ОДУ. При оценивании коэффициентов скоростей перехода («вероятности мутаций») выбраны оригинальные данные, полученные в ходе биологических экспериментов [4]. В модели учтены точечные мутации, процессы рекомбинации, а также возможность двукратного инфицирования клетки.

Исследовано влияние различных параметров модели (наличия мультиинфекций, концентрации противовирусного препарата AZT, значения коэффициента репликации) на изменение соотношения квазивидов в ВИЧ-популяции. Согласно полученным результатам, наличие противовирусного препарата практически не влияет на качественную структуру популяции, но количественное соотношение мутантов с разной приспособленностью зависит от концентрации препарата. Результаты моделирования позволяют также предположить, что в случае однократного инфицирования вирионы, имеющие обе резистентные мутации в одной цепочке, обладают преимуществом перед остальными, в то время как в случае многократного инфицирования наилучшее выживание потомков обеспечивают частично резистентные вирионы, так как вероятность удачной рекомбинации у потомков различных типов гораздо выше, чем вероятность удачной последовательности мутаций у потомков одного единственного типа.

Выбор значения коэффициента репликации существенным образом влияет на соотношение квазивидов ВИЧ-популяции.

При небольших значениях коэффициента репликации изначально разнородная популяция переходит в практически однородную (остается генотип, характеризующийся наибольшим значением функции приспособленности). Большой коэффициент репликации, наоборот, приводит к разнородной популяции с менее выраженным доминированием наиболее приспособленных квазивидов.

Работа выполнена при поддержке грантов Программы Президиума РАН «Фундаментальные науки — медицине» и РФФИ (11-01-00117а).

1. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor:

Univ. Michigan Press, 1975. 183 p.

2. Игнатович А.Н. [и др.] Математические технологии моделирования динамики вирусов и иммунных реакций // Структура и динамика молекулярных систем: Эл. журнал. No 4. С. 350–386.

3. Martнnez J.P. [et al.] Fitness ranking of individual mutants drives patterns of epistatic interactions in HIV-1 // PLoS ONE. 2011. 6(3):

4. Deforche K. [et al.] Estimating the relative contribution of dNTP pool imbalance and APOBEC3G/3F editing to HIV evolution in Vivo // Journal of Computational Biology. 2007. 14(8). P. 1105–1114.

Разработка неотражающих краевых условий для нелинейного многомерного уравнения Шредингера с потенциалом Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Трофимов Вячеслав Анатольевич Как известно, многие проблемы современной лазерной физики требуют компьютерного моделирования в неограниченной области пространства и времени или необходимо решить соответствующее уравнение в областях больших размеров для обеспечения нулевого значения условиям вблизи границы. Например, моделирование взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с фотонным кристаллом (ФК), который имеет периодическую структуру, сопровождающегося рассеиванием лазерного излучения во всех пространственных направлениях.

За последние 25 лет распространение лазерных фемтосекундных импульсов в различных нелинейных средах широко исследуется в литературе. В связи с этим, встает вопрос об эффективности проведения компьютерного моделирования в областях, содержащих тысячи безразмерных единиц, что в свою очередь поднимает вопрос о разработке искусственных граничных условий для снижения числа необходимых вычислений при проведении компьютерного эксперимента.

Первые работы по нахождению искусственных граничных условий были опубликованы еще в 1991, с тех пор эта тема активно развивалась, и в частности в в [1-2] были предложены искусственные краевые условия, которые просты в реализации и позволяют строить двухслойные консервативные разностные схемы.

В настоящей работе проведено сравнение эффективности указанные краевых условий на примере одномерного нелинейного уравнения Шредингера и показана их эффективность в двумерном случае для нелинейного уравнения Шредингера:

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года В результате компьютерного моделирования было показано, что в случае, отсутствия движения волного пакета = 0 искусственные условия, описанные в работе [2] дают лучший результат по сравнению с условиями [1], тогда как при наличии движения волнового пакета = 0, условия [1] дают лучшее результат, чем условия [2].

Одной из основных сложностей, которая имеет место при моделировании двумерного нелинейного уравнения Шредингера с произвольными краевыми условиями является отсутствие эффективного метода, который позволял бы построить и реализвать консервативную разностную схему (обычно в литературе использовался метод расщепления, который для нелинейный задачи приводит к неконсервативности метода). Для решения этой проблемы был разработан двухэтапный итерационный метод, который позволяет реализовать консервативную разностную схему. Важно отметить, что приведенный метод может быть легко расширен и на трехмерный случай и на случай пространства размерности, только в этом случае метод станет не двухэтапным, а трехэтапным и n-этапным соответственно.

Пример метода, для двухмерного нелинейного уравнения Шредингера представлен ниже:

(+2) Разработанный метод с искусственными краевыми условиями был применен для исследования взаимодействия Бозе-Эйнштейновского кондесата с потенциалом. В ходе компьютерного моделирования были найдены двумерные солитонные решения, новый механизм огибание кондесатом потенциала.. Для подтверждения экспериментальных данных было построено аналитическое решение двумерного уравнения Шредингера, которое показало правильность результатов моделирования.

Следует отметить, что в характере распространения лазерного импульса важную роль играет внешний потенциал и отраженная от этого потенциала волна, так как только в случае наличия потенциала можно наблюдать формирование солитонов.

По результатам работы сделано три доклада на международных конференциях и подготовлено две статьи.

1. Tereshin E.,Trofimov V.,Fedotov M. Conservative finite difference scheme for the problem of propagation of a femtosecond pulse in a nonКафедра ВМ linear photonic crystal with non-reflecting boundary conditions. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006.

2. Xu Z., Han H., Wu X. Adaptive Absorbing boundary conditions for Schrdinger-type equations: Application to nonlinear and multio dimensional problems. Journal of Computational Physics, 2007.

Эффективность использования метода Розенброка для моделирования задач Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Трофимов Вячеслав Анатольевич Одной из известных проблем современной лазерной физики является линейное и нелинейное распространение электромагнитных волн в веществе,в том числе и исследование Бозе-Эйнштейновского конденсата.

В данной работе исследуется эффективность использования метода Розенброка для моделирования решения указанных процессов. Метод Розенброка впервые был предложен английским ученым, профессором Говардом Гарри Розенброком в 1963 году в статье [1].

В последние 20 лет применительно к задачам в частных производных метод активно разрабатывался группой проф. Калиткина Н.Н. [2]. Как правило, в работах различных авторов рассматривалось применение метода Розенброка для решения ОДУ. В настоящей работе реализован метод Розенброка для одномерного нелинейного уравнения Шредингера с нулевыми и искуственными (неотражающими) краевыми условиями:

с начальным распределением 1) нулевые граничные условия 2) искусственные граничные условия Для использования метода Розенброка необходимо представить комплексную амплитуду в виде действительной и мнимой части и Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года ввести сетку по пространственной координате. Тогда исходную систему алгебраических уравнений можно представить в следующем виде В соответствии с методом Розенброка переход с одного временного слоя на следующий осуществляется при помощи формулы где - реальная часть вектора решения системы линейных уравнений здесь, (, ) - это правая часть системы алгебраических уравнений, Якобиан правой части, - комплексный параметр.

В дипломе показаны как положительные так и отрицательные свойства метода Розенброка в применении к решению уравнения Шредингера.

Проведено сравнение результатов компьютерного моделирования, полученных методом Розенброка с результатами, полученными консервативной конечно-разностной схемой.

Важным результатом работы является доказательство на основе результатов компьютерного моделирования условной консервативности схемы Розенброка для решения уравнения Шредингера.

Также в данной дипломной работе показано, что время решения задачи методом Розенброка значительно превосходит соответствующее время вычисления на основе консервативной конечно-разностной схемы.

Впервые показана возможность применения метода Розенброка для решения линейного и нелинейного уравнения в случае постановки искусственных граничных условий, один из возможных видов которых предложены в статье [3].

Результаты работы докладывались на двух международных конференциях [4] и [5], а также подготовлена статья в ЖВМиМФ [6].

1. Rosenbrock H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. The Computer Journal, 1963.

2. Альшина Е. А., Калиткин Н. Н., Корякин П. В. Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности. ЖВМиМФ, 2005.

3. Tereshin E.,Trofimov V.,Fedotov M. Conservative finite difference scheme for the problem of propagation of a femtosecond pulse in a nonlinear photonic crystal with non-reflecting boundary conditions. Journal Comp. Mathematics and Math. Physics, 2006.

4. 16th International Conference on Mathematical Modelling and Analysis, Sigulda, Latvia, May 25-28, 2011.

5. 17th International Conference on Mathematical Modelling and Analysis, Tallinn, Estonia, June 6-9, 2012.

6. Трофимов В. А., Трыкин Е. М. Эффективность метода Розенброка для численного решения нелинейных уравнений Шредингера.

ЖВМиМФ, направлена в печать.

Задачи для уравнений смешанного типа в случае трехмерных областей Кафедра функционального анализа и его применений Научный руководитель: академик РАН Моисеев Евгений Иванович Данная работа является продолжением цикла работ Е.И.Моисеева [1посвященных исследованию задач смешанного типа в случае трехмерных областей. Цель работы состоит в нахождении аналитического представления регулярных решений смешанных краевых задач Трикоми и Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях.

В первой части работы рассматривается краевая задача Трикоми в трехмерном случае. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в трехмерной области :

где = (,, ), (,, ), причем область можно представить в виде = (+) () :

В области уравнение (1.1) является уравнением смешанного типа [4].

Рассмотрим далее следующую краевую задачу (задачу Трикоми) уравнения (1.1).

В трехмерной области = (+) () требуется найти регулярное решение дифференциального уравнения (1.1), принадлежащее классу ((+) () ) 2 ((+) ) 2 (() ) и удовлетворяющее на границе краевым условиям:

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Решение задачи Трикоми (1.1)-(1.8) найдено в виде биортогонального функционального ряда, содержащего модифицированные функции Бесселя первого рода [5]. Далее сформулируем основные результаты, полученные нами при изучении поставленной выше задачи Трикоми (см. [6]).

Теорема 1. Регулярное решение краевой задачи Трикоми (1.1)-(1.8) существует и представимо в виде абсолютно и равномерно сходящегося биортогонального функционального ряда.

Теорема 2. Регулярное решение краевой задачи Трикоми (1.1)-(1.8) единственно.

Во второй части работы изучается нелокальная краевая задача Франкля в трехмерной области. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в трехмерной области :

где функция = (,, ), (,, ) и трехмерная область представима в виде объединения = (+) (1) (2) :

В трехмерной области уравнение (2.1) является уравнением смешанного типа. Рассматривается следующая краевая задача для уравнения (2.1).

В трехмерной области требуется найти регулярное решение удовлетворяющее на границе краевым условиям:

8. = — функция выигрыша игрока, занимающего позицию, где – платеж игрока, находящегося на позиции.

От конкретной схемы аукциона зависит пункт 6 – ранжирование рекламодателей. В данной работы были рассмотрены два способа ранжирования:

Одноэтапное ранжирование — по величине ставки ;

Двухэтапное ранжирование:

1. Сначала по величине произведения ставки и коэффициента качества объявления отбираются рекламодателей, попадающих на страницу;

2. Далее, отобранные рекламодатели ранжируются по величине Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года В рамках первой части работы были получены следующие результаты:

Аукционы с обоими типами ранжирования формализованы в терминах теории игр - определены игры G1 и G2:

Для G1 и G2 последовательно доказано следующее утверждение:

честная стратегия ( : = ) является равновесной по Нэшу.

В рамках второй части работы были получены следующие результаты:

Доказано утверждение: равновесие в честных стратегиях не является сильным в G1;

Формализовано понятие коалиции для G1;

Доказано утверждение: равновесие в честных стратегиях является коалиционно устойчивым по отношению к коалиции, заданной в предыдущем пункте;

Введено понятие свойства позиционной устойчивости и сформулирована игра G3, соответствующая аукциону, обладающему этим свойством: G3 = N,, (), N;

Доказано утверждение: для игры при ограничениях введенного определения коалиции честная стратегия является сильным равновесием.

1. А.А.Васин, П.С.Краснощеков, В.В.Морозов. Исследование операций.

Издательский центр "Академия". Москва, 2008.

2. Benjamin Edelman, Michael Ostrovsky, Michael Schwarz. Internet Advertising and the Generalized Second Price Auction: Selling Billions of Dollars Worth of Keywords. Harvard University, Stanford University, UC Berkeley, 2005.

3. А.А.Васин, В.В.Морозов. Теория игр и модели математической экономики. Макс пресс, Москва, 2005.

Модель функционирования взлетно-посадочной полосы для оценки эффективности системы Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Морозов Владимир Викторович Во многих странах существует проблема перегруженности аэропортов.

При взлете и посадке самолеты генерируют вихри, сходящие с их крыльев, что может создавать опасные ситуации для пролетающих самолетов.

В настоящее время создаются наземные и бортовые аэронавигационные системы вихревого прогноза, позволяющие, с одной стороны, увеличить безопасность полетов, с другой увеличить пропускную способность взлетно-посадочной полосы.

Дипломная работа посвящена построению модели, с помощью которой можно оценить задержки самолетов при использовании систем вихревого прогноза. С этой целью задается расписание прибытия самолетов в воздушное пространство аэропорта. Диспетчер выстраивает самолеты в эшелон, длина которого влияет на время прибытия самолета. Сравниваются осредненные по «розе» ветров задержки при использовании систем вихревого прогноза и при стандартных интервалах между самолетами разных типов, утвержденных ICAO (Международный комитет гражданской авиации). Проведены конкретные расчеты, которые демонстрирует явное преимущество предложенной модели. В первой части дипломной работы излагается на основе теории подобия Монина-Обухова метод расчета турбулентных характеристик атмосферы, позволяющий, в частности, находить величины EDR (скорость изменения дисперсии случайной составляющей ветра) и TKE (турбулентная кинетическая энергия), используемые в модели разрушения вихрей. В работе показано, что эти величины можно рассчитывать, используя только профили по высоте ветра и температуры.

1. Jongil Han, S. Pal Arya, Shaohua Shen, and Yuh-Lang Lin. An Estimation of Turbulent Kinetic Energy and Energy Dissipation Rate Based on Atmospheric Boundary Layer Similarity Theory. North Carolina State University, 2000.

2. S. Pal Arya. Atmospheric Boundary Layer and Its Parameterizations.

Wind Climate in Cities, 1995.

3. Монин А.С., Обухов А.М. Основные закономерности турбулентного Геофизического института, № 24, 1954.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года 4. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. ч. 1, М.: 1965, ч. 2, М.: 5. Обухов А.М. Характеристики микроструктуры ветра в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. гногр. геофиз., 1951, №3.

6. Седов Л.Н. Механика сплошной среды. Т.II – М.: Наука, 1976.

7. Горлин С.М., Слезингер И.И. Аэромеханические измерения. М.:

Непрерывная модель крупных закупок с использованием меры риска Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Морозов Владимир Викторович Одной из задач является поиск оптимальной стратегии исполнения заявки. С данной проблемой сталкиваются, например, крупные инвесторы, которые совершают сделки на покупку/продажу большого количества ценных бумаг, и крупную заявку часто разбивают на несколько небольших заявок, чтобы затраты на исполнение были управляемы.

Для решения данной задачи в [1-2] использовалась модель, основанная на следующих двух принципах:

1. изменение цены от торговли на рынке описывается статической функцией, которая зависит только от размера сделки и никак не отражает динамические свойства спроса/предложения ценных бумаг;

2. покупка/продажа ценных бумаг совершается дискретно, то есть в фиксированные моменты времени через определенные интервалы.

В статье [3] показано, что характеристики оптимальной стратегии исполнения главным образом определяются динамическими свойствами спроса/предложения, нежели их статическими свойствами. Кроме того показано, что если оптимально разбить закупки по времени на непрерывные, где покупка ценных бумаг совершается непрерывно в каждый момент времени, и дискретные, то оптимальная стратегия исполнения значительно отличается от стратегий, предложенных в ранних работах [1-2].

Для учета случайных факторов в статье [3] использовалось отношение к риску, однако более современным подходом является применение меры риска и условной меры риска.

Мера риска (value-at-risk, VaR) — это минимальная величина, которую с заданной вероятностью не превысят ожидаемые потери, а условная мера риска (conditional value-at-risk, CVaR) — это условное математическое ожидание потерь, превышающих меру риска.

В данной работе рассматривается непрерывная модель закупок, представленная в [3], с использованием меры риска и условной меры риска, и исследуется задача поиска оптимальной стратегии, минимизирующей VaR/CVaR для затрат на реализацию стратегии.

Как результат, были выведены необходимые и достаточные условия оптимальности стратегии, и была рассмотрена и решена задача минимизации верхней оценки VaR/CVaR затрат на исполнение заявки, и показано, что верхняя оценка также, как и мера риска, гарантирует, что затраты с заданным уровнем доверия не превысят величину этой оценки.

1. Almgren R. and Chriss N. Optimal execution of portfolio transactions.

Journal of Risk, 2000, v. 3, pp. 5–39.

2. Bertsima D. and Lo A. Optimal control of execution costs. Journal of Financial Markets, 1998, v. 1, pp. 1–50.

3. Obizhaeva A. and Wang J. Optimal Trading Strategy and Supply/Demand Dynamics. NBER Working Papers, 2005, No. 11444.

Оптимизация резервов по портфелю Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Денисов Дмитрий Витальевич Деление ответственности — один из важнейших инструментов рисковой политики страховщика, позволяющий влиять на структуру портфеля и ограничивать страховой риск. Приняв решение о необходимости повышения надежности своей деятельности, страховщик (цедент) может заключить договор с предназначенной для таких целей перестраховочной компанией, заменив тем самым часть неизвестных расходов по убыткам на фиксированные расходы. Перестрахование — это способ сокращения риска и повышения финансовой устойчивости страховой компании, как правило, проще альтернативных, таких как увеличение премиального фонда, пополнение начального капитала или улучшение распределения совокупного убытка.

В рамках дипломной работы разрабатывались методы и алгоритмы оптимизации параметров стратегии перестрахования для моделей индивидуального и коллективного риска.

Был проведен анализ краткосрочной модели индивидуального риска с точки зрения использования стратегии перестрахования. На примере дискретного неоднородного портфеля показано, как заключение эксцедентного договора с одним и двумя уровнями удержания Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года влияет на увеличение вероятности неразорения относительно отказа от перестрахования. Были рассмотрены некоторые из возможных критериев анализа риска и сформулировано утверждение относительно параметров стратегии, минимизирующих сумму дисперсий риска цедента и перестраховщика, и приведены примеры численной минимизации предложенных критериев.

Основной задачей была модификация модели коллективного риска (Крамера — Лундберга) путем рассмотрения страховой компании, работающей с конечным числом полностью независимых групп риска, каждая из которых характеризуется интенсивностью пуассоновского процесса наступления страхового случая и функцией распределения, описывающей размер риска. В работе было показано, что в таком случае вероятность неразорения удовлетворяет интегральному уравнению Вольтера II рода и описана стратегия двухуровневого эксцедентного перестрахования с выбором параметров по каждой из групп риска, выведено уравнение для определения вероятности неразорения в условиях составленной модели и описан алгоритм его решения, допускающий рекуррентное использование полученных на предыдущих шагах алгоритма результатов.

В качестве примера была рассмотрена страховая компания, работающая с двумя группами рисков, характеризующимися экспоненциальным и Гамма распределениями, и получен аналитический результат алгоритма по нахождению вероятности неразорения в явном виде.

Задача выбора оптимальных параметров для стратегии перестрахования проводилась на основе анализа квантильного критерия и была приведена численная минимизации в рамках рассматриваемой модели.

1. Bowers N. Actuarial mathematics. Itasca, Illinios: The Society of Actuaries, 1986.

2. Hipp C., Vogt M. Optimal dynamical XL reinsurance. ASTIN Bulletin, 2003. V. 33 pp. 193-207.

3. Григорьев Ю. Д., Ле Динь Шон О минимизации вероятности разорения при эксцедентном перестраховании. Автоматика и Телемеханика, 2007. Вып.6.

4. Мак Т. Математика рискового страховния. М.: ЗАО Олимп Бизнес, 2005. - 432 с.

5. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. М.: Факториал 1999.- 272 с.

6. Фалин Г. И. Введение в актуарную математику. М.: Физматлит, Оптимизация страховой премии Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Денисов Дмитрий Витальевич По прогнозам, правительство России и Союз автостраховщиков (РСА) в ближайшее время продолжат работу над внесением поправок в Закон об ОСАГО. В текущий момент стоимость полиса автострахования рассчитывается в порядке, установленном правительством РФ. Он определяет количество классов, соответствующие им коэффициенты, на которые умножается базовый тариф, и правила изменения классов.

Однако, в ближайшее время впервые государство планирует отойти от жесткого регулирования тарифов. Предполагается, что страховщики смогут не только менять размеры коэффициентов, но полностью изменить систему тарификации, в связи с чем изучение систем бонус-малус представляет особую важность.

Как известно, с помощью лишь априорных систем рейтингования часто невозможно исключить рисковую неоднородность внутри классов страхователей, поскольку некоторые из важнейших рисковых характеристик являются ненаблюдаемыми. Этот факт и вынуждает страховые компании применять системы бонус-малус для корректировки страховой премии по данному страховому полису в зависимости от исков по нему.

Для создания системы бонус-малус необходимо задать число классов, правила перехода между ними, начальный класс и шкалу премий. В данной работе проведено подробное изучение одного из методов расчета шкалы премий и его сравнение с двумя другими возможными методами;

Распределение числа страховых случаев по портфелю в целом, как правило, хорошо описывается смешанным распределением Пуассона:

число страховых случаев для каждого отдельного страхователя считается пуассоновски распределенным, а в качестве смешивающего распределения в работе рассматривается дискретное распределение, у которого может быть более двух значений.

Описываемый в работе метод вычисления оптимальной шкалы премий предполагает концентрацию на асимптотическом поведении системы – минимизацию ошибки рейтингования при достижении системой некоторого стабильного состояния. Его ключевой особенностью можно назвать использование кусочно линейной функции потерь вместо традиционной квадратичной, что является не только экономически обоснованным решением, но и позволяет свести задачу оптимизации набора премий к задаче линейного программирования. Удобство такого Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года представления состоит не только в простоте решения получившейся задачи, но и в возможности выставлять некоторые дополнительные требования к системе, которые могут быть записаны в виде линейных ограничений.

Важнейшим аспектом работы является численный эксперимент, показывающий результаты применения полученных с помощью изучаемого метода векторов премий к набору модельных статистических данных за достаточно большой временной период. Хорошие результаты проведенного эксперимента подтверждают обоснованность всех используемых в методе предположений, в том числе о дискретном распределении рискового параметра, о достаточно быстром достижении системой некоторого в целом стабильного состояния и об отсутствии принципиального влияния наложения дополнительных требований на финансовый итог работы системы.

1. A. Heras-Martines, J. A. Gil-Fana, P. Garcia-Pineda, J. L. Vilar-Zanon An application of linear programming to bonus malus system design.

ASTIN Bulletin, Volume 34.

2. A. Heras-Martines, J. A. Gil-Fana, J. L. Vilar-Zanon Claim counts modeling and stable distributions. ASTIN Bulletin, Volume 37.

3. M. Denuit, P. Lambert Smoothed NPML estimation of the risk distribution underlying bonus-malus systems. Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Volume LXXXVIII.

Исследование задач обеспечения безопасности с использованием математических моделей Научный руководитель: к.т.н., доц. Решетов Валерий Юрьевич Одной из наиболее актуальных задач по обеспечению безопасности в современном мире является задача по созданию систем защиты для предотвращения угрозы проведения террористического нападения. В данной работе на основе математических моделей, предложенных в [1] и [5] был предложен игровой подход к формализованной задаче обеспечения безопасности объектов от возможных атак потенциальных нарушителей, в том числе террористических. Определены две основные задачи, которые необходимо решать обороняющейся стороне:

Определение уровня безопасности, реализуемого системой защиты обороняющейся стороны;

Оптимизация системы защиты, гарантирующей заданный уровень безопасности.

В качестве условия достижения уровня безопасности для первой задачи используется результат оптимизационной задачи по минимизации ожидаемого ущерба. В качестве критерия оптимальности для второй задачи – минимизация средств, необходимых для обеспечения заданного уровня безопасности. Указанный подход широко применяется при моделировании террористической угрозы и хорошо согласуется с известными результатами (например [1]-[4]).

Для нахождения решения была рассмотрена следующая игра где – стратегия нападающих, стратегия обороняющихся, с естественными ограничениями:

Стратегией игроков является распределение по доступным средствам нападения и средствам защиты, где > 0 – стоимость единицы -того средства защиты, > 0 – стоимость единицы -того средства нападения, взаимодействие которых полагается известным.

Рассматриваются выигрыши сторон: функция ожидаемых потерь (для защиты – величина отрицательная), функция ожидаемого выигрыша для атакующей стороны:

где ( |, ) и ( |, ) - оценка вероятности успешного теракта, принимаемая игроками, а (, ) и (, ) - оценка затрат;

- случайная величина, принимающая значения в зависимости от исходов нападения (0, 1).

– параметр, определяющий вероятность наступления следующих событий в модели:

вероятностью 1);

преодоление средств защиты;

завершение нападения.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года С помощью построенной модели предложен общий подход к решению, основанный на нахождении оптимальных стратегий сторон исходя из условия равновесия Нэша:

Аналогичное выражение записывается для *. Известные подходы к решению этой задачи строятся с использованием вложенных задач, определяющих оптимальные решения исходя из выбранных стратегий противника. Основной проблемой является неопределенность выбора стратегий противоположной стороной. На основе известных результатов оптимизации стратегий, полученных в [1] и [5] была построена упорядоченная система вероятностных отношений между стратегиями нападения и обороны с помощью введения определенных уровней безопасности. Это позволило получить решения для поставленных задач.

С помощью разработанной модели и с использованием информационных и экспертных данных были получены числовые решения для объекта, аналогичного типовому торговому центру.

1. A.Major John Advanced Techniques for Modeling Terrorism Risk. г.

2. Bier Vicki Choosing what to protect: Strategic Defensive Allocation against an Unknown Attacker. - 2005 г.

3. Geoffrey Heal Howard Kunreuther Interdependent Security: A General 4. Jesus Rios David Rios Insua Adversarial Risk Analysis for Counterterrorism Modeling. - 2010 г.

5. А.А.Васин, П.С.Краснощеков, В.В.Морозов Исследование операций.

Задача оптимального управления для математической модели финансового кризиса Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент, Хайлов Евгений Николаевич На протяжении почти двухвекового периода становления и развития мирового индустриального общества в экономике многих стран происходили кризисы, во время которых наблюдался нарастающий спад производства, скопление нереализованных товаров на рынке, падение цен, крушение системы взаимных расчетов, крах банковских систем, разорение промышленных и торговых фирм, резкий скачок безработицы. Все эти события показывают, что наше экономическое будущее небезопасно, мировая экономика является очень неустойчивой системой и может быть сломлена. Это также приводит к вопросам:

можно ли этих событий избежать, что может быть сделано для недопущения или предотвращения подобных событий в будущем, или смягчения их последствий. Поэтому сейчас как никогда важно владеть актуальной информацией о современном экономическом кризисе.

В связи с этим большой интерес представляет статья [1], которая предлагает рассматривать модель финансового кризиса на основе модели распространения заболевания.

Первая часть дипломной работы посвящена двумерной математической модели взаимодействия фирм в условиях финансового кризиса, которая изучается на основе управляемой модели процесса распространения эпидемии [2]. Предполагается, что экономика — это совокупность взаимодействующих различных фирм. В соответствии с математической моделью управления эпидемий делим их на две группы:

стабильные («здоровые») — фирмы, подверженные влиянию кризиса, и нестабильные («больные») — фирмы, пострадавшие от влияния кризиса.

Считаем, что нестабильные фирмы имеют финансовые трудности (т.е. не в состоянии исполнить свои финансовые обязательства).

Вторая часть дипломной работы посвящена трехмерной модели взаимодействия фирм в условиях финансового кризиса. Она является развитием двумерной модели, поскольку в рассмотрение добавляются фирмы, восстановившиеся во время кризиса. Целью задач оптимального управления для рассматриваемых моделей является минимизация количества нестабильных фирм, а также затрат в виде вложения денежных средств.

1. Andrei Korobeinikov. Financial crisis: An attempt of mathematical modelling. Appl. Math. Lett. 22(12): 1882-1886 (2009).

2. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. — М.: Высшая школа, 2006.

3. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.

4. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. Мищенко Е. Ф.

Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года 5. Никольский М. С. О линейных нестационарных управляемых процессах. Труды математического института им. В. А. Стеклова, 2008, т.262, с.196–201.

Оптимизация процессов разработки полезных Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Григоренко Николай Леонтьевич В дипломной работе предложена модель и разработана программа численного решения задачи оптимизации скорости разработки слоя фазы месторождения, разрабатываемого открытым способом, в случае месторождения, содержащего несколько минералов, при квадратичных зависимостях концентраций минералов от глубины залегания и непрерывных функциях биржевых цен на чистые минералы.

Рассматривается процесс выкапывания слоя породы высотой и объемом, при предположении, что часть пласта объемом, высотой выкапывается мгновенно и частично отправляется на переработку.

Выкапывающие и перерабатывающие мощности ограничены константами и. Пусть () — объем выкопанного грунта в момент времени ; () — скорость выкапывания грунта в момент времени.

Динамика изменения объема выкопанного грунта имеет вид:

Рассматривается задача максимизации показателя экономической эффективности процесса управления:

Здесь 1 (, ()) = () — стоимость выкапывания грунта в единицу времени, — стоимость выкапывания единицы объема руды; 2 () = — стоимость переработки грунта в единицу времени, — стоимость переработки единицы объема руды; — коэффициент дисконтирования, 3 (, ()) — стоимость добытых минералов в единицу времени. При известных данных о концентрации минералов от глубины залегания (), где [0, ], = 1,..., и биржевой стоимости единицы объема -ого чистого минерала (), где [0, ], = 1,...,, имеем:

В работе показано, что для квадратичных функций концентрации минералов (): () = 1 2 + 2 + 3, = 1,..., подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной функции с коэффициентами, зависящими от времени:

где () = =1 (), = 1, 2, 3. Далее получено аналитическое выражение для функции 3 (, ). Показано, что эта функция является кусочно непрерывной и ее вид зависит как от знака коэффициента 1 (), так и от расположения вершины параболы на отрезке [0, ].

Для численного решения задачи оптимального управления нефиксированным моментом окончания и непрерывными функциями () использовался вариант метода проекции градиента [1].

Одной из целей дипломной работы было написание приложения на языке Matlab. В ходе выполнения работы было создано и протестировано на модельных и реальных данных компьютерное приложение, дающее возможность не только получать решение задачи при различных наборах параметров, но и обладающее богатыми возможностями для визуализации и сравнения результатов расчетов. Приложению позволяет сохранять результаты вычислений, как численные, так и графические, и предоставляет возможность проведения сравнительного анализа полученных результов. Программа протестирована на вариантах задачи, имеющих аналитическое решение [2], которое строится на основе принципа максимума Понтрягина [3].

1. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс: 2002.

2. Григоренко Н. Л. Камзолкин Д. В. Лукьянова Л. Н.

Пивоварчук Д. Г. О задаче оптимального управления с интегральным функционалом от рациональной функции управления // Дифференциальные уравнения, 2009 т. 45, №11, c. 1586–1600.

3. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.

Некоторые прикладные задачи теории Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Никольский Михаил Сергеевич Работа состоит из трёх глав, посвящённых различным аспектам и задачам оптимального управления.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года В первой главе изучается управляемая модель хронического миелолейкоза, предложенная в статьях [6,7]. В ходе исследования было изучено поведение траекторий, и получены оценки, которые позволяют сделать вывод о неотрицательности и продолжимости решений системы на полуинтервал [0, +). Данное условие играет важную роль в теоремах существования оптимального управления для задач с различными видами функционалов (к примеру, см. [2]) Вторая глава посвящена изучению и реализации методов решения задачи терминального управления летательным аппаратом с обходом препятствия. В данной работе рассматривается случай, когда препятствие представляет собой сферу переменного радиуса, которая движется в пространстве по заданной траектории. Задача заключается в том, чтобы перевести аппарат из одной заданной точки пространства в другую заданную точку за фиксированное время, обойдя при этом препятствие.

Был реализован алгоритм, основанный на идеях из книг [3,4] и статьи [5], который позволяет численно решить поставленную задачу терминального управления для одной математической модели летательного аппарата.

В третьей главе рассматривается один алгоритм построения множеств достижимости управляемых систем, и его реализация для высокопроизводительных вычислительных систем. Приводятся результаты расчётов некоторых известных примеров, а также исследование множеств достижимости упрощённой версии модели DICEпредложенной Нордхаузом для описания взаимосвязи экономического роста с процессами глобального потепления.

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов М.:Физматлит, 1961.

2. Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления М. :

Наука, 1972.

3. Батенко А. П. Системы терминального управления М.: Радио и связь, 1984.

4. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем:

нелинейные модели М.: Наука, 5. Канатников А. Н., Шмагина Е. А. Задача терминального управления движением летательного аппарата Нелинейная динамика и управление, вып. 7, с. 79–94, М.: Физматлит, 6. Moore H., Li N. K. A mathematical model for chronic myelogenous leukemia (CML) and T cell interaction. Journal of Theoretical Biology, 2004, vol.227, pp.513–523.

7. Nanda S., Moore H., Lenhart S. Optimal control of treatment in a mathematical model of chronic myelogenous leukemia. Mathematical Biosciences, 2007, vol.210, pp.143–156.

8. Nordhaus W. D., Boyer J. Warming the World — Economic Models of Global Warming MIT Press, 2001.

Вычисление и визуализация множеств достижимости управляемых систем с использованием параллельных вычислений на графических процессорах Научный руководитель: старший преподаватель, Оптимальное управление охватывает широкий круг задач, в которых, при определённых ограничениях на ресурсы, требуется минимизировать (максимизировать) заданный критерий качества.

Задачи оптимального управления встречаются в различных областях науки, техники, медицины, экономики, экологии. Актуальными являются задачи ядерной энергетики (управление охлаждением реактора), робототехники (движение роботов, управление всевозможными станками и автоматами), механики полёта (самонаводящиеся ракеты, автопилоты, автоматическая стыковка на орбите, управление самолетом), экономики (задачи долговременного планирования), экологии (расчёт допустимого воздействия на экосистему), биофизики и медицины (модели распространения эпидемии) и т. д.

В задачах оптимального управления важную роль играет множество достижимости [1]. Оно описывает все возможные положения управляемой системы в заданный момент времени.

В дипломной работе рассмотрены два метода построения множеств достижимости для управляемых систем: первый метод — метод, основанный на принципе максимума Понтрягина, второй — пиксельный метод [3].

Предлагаемые алгоритмы позволяют эффективно разделить процедуру вычислений на множество независимых параллельных процессов, поэтому для программирования используется технология CUDA (Compute Unified Device Architecture) [4] с Си-подобным языком программирования. Применение такой технологии сокращает время вычислений в несколько десятков раз.

Разработана программа, реализующая данные методы, исследованы контрольные задачи. Результаты вычислений сопоставлены с известными аналитическими решениями [1], [2]. Описаны преимущества применяемых Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года методов. Проведённые исследования показывают эффективность предлагаемых алгоритмов. Подготовленная программа позволила провести численные исследования множеств достижимости ряда линейных и нелинейных двумерных управляемых систем с различными областями управления и множествами начальных состояний управляемого объекта.

Разработанная программа может быть полезной при анализе управляемых моделей, представляющих прикладной интерес. Результаты дипломной работы докладывались на конференции “Ломоносов — 2012” [5].

1. Киселёв Ю. Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: Учебное пособие. М.:

МАКС Пресс, 2007.

2. Киселёв Ю. Н. Построение точных решений для нелинейной задачи быстродействия специального вида: Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. Выпуск 3, с. 847–868.

3. Гусейнов Х. Г., Моисеев А. Н., Ушаков В. Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем. — Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Выпуск 2, с. 179–187.

4. Боресков А. В., Харламов А. А. Основы работы с технологией CUDA: Учебное пособие. М.: ДМК-Пресс, 2010.

5. Новикова А. О. Построение множеств достижимости. Сборник тезисов XIX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов — 2012 ”, секция “Вычислительная математика и кибернетика”, с. 63.

Исследование некоторых нелинейных задач оптимального управления Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Киселёв Юрий Николаевич В дипломной работе рассматривается одномерная нелинейная задача оптимального управления (модифицированная модель) где в случаях конечного и бесконечного горизонтов планирования соответственно Здесь — одномерная фазовая переменная, — скалярное управление, подчинённое геометрическому ограничению [0, 1], > 0 — заданная, «достаточно большая», длительность процесса управления, параметры 1, 2 — заданные неотрицательные числа, такие что 1 + 2 = 1, — заданный положительный коэффициент дисконтирования.

Эта задача является модификацией задачи оптимального управления (модели «РОСТ», см. [2]) ограничению положительные параметры считаются заданными.

На основе принципа максимума Понтрягина (см. [1]) проведено исследование модели «РОСТ», в котором обосновано существование решения и доказана оптимальность экстремального решения с помощью теоремы о достаточных условиях оптимальности (см. [3]).

Решение модифицированной модели построено на основе специального интегрального представления функционала с привлечением принципа максимума Понтрягина, найдены оптимальные управления и траектории в случаях конечного и бесконечного горизонтов планирования.

Для численного исследования этих задач разработана программа в среде Matlab, использующая результаты работы над задачами и некоторые численные методы.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2012 года Часть материалов дипломной работы является продолжением статьи [4]; ещё одна статья автора (объёмом 25 страниц) сдана в печать.

По тематике дипломной работы состоялись выступления на научных конференциях [5,6].

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.

Москва. 1961. 391 с.

2. Аввакумов С. Н., Киселёв Ю. Н. Численный метод поиска оптимального решения: Модель «Рост». Математические модели в экономике и биологии. Материалы научного семинара. Планерное.

Московская обл. МАКС Пресс. 2003. с. 5–15.

3. Киселёв Ю. Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина. Математические модели в экономике и биологии. Материалы научного семинара.

Планерное. Московская обл. МАКС Пресс, 2003, с. 57–67.

4. Киселёв Ю. Н., Орлов С. М., Орлов М. В. Исследование одной нелинейной задачи оптимального управления с особыми режимами.

Проблемы динамического управления. Выпуск 5. Под редакцией академика РАН Ю. С. Осипова, академика РАН А. В. Кряжимского.

Москва. МАКС Пресс, 2010, с. 113–127.