[ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
Составители :
В.Н. Астахов
Г.С. Буланов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания,
индивидуальные и тестовые задания
для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей Утверждено на заседании метод совета ДГМА Протокол № от Краматорск 2006 УДК 517 Высшая математика: Методические указания, индивидуальные и тестовые задания для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей /Сост. В.Н. Астахов, Г.С. Буланов/ – Краматорск:
ДГМА, 2006. – 48 с.
Данные методические указания содержат в кратком виде основной теоретический материал по курсу высшей математики для студентов экономического направления. Приведены образцы решения контрольных заданий. Указаны тематика и примеры заданий для рейтингового тестирования модулей.
Составители: В.Н. Астахов, доц., Г.С. Буланов, доц.
Отв. за выпуск: Шевцов С.А.
Выбор варианта контрольных заданий Комплект контрольных заданий, которые должен самостоятельно выполнить студент-заочник данной специальности, объявляет лектор на установочной сессии.
Выбор варианта каждого контрольного задания производится в соответствии с таблицей:
Две последние 01 02 03... 23 24 цифры в 26 27 28... 48 49 зачётке 51 52 53... 73 74 (студ. билете) 76 77 78... 98 99 Номер варианта 01 02 03... 23 24 Например, если Ваш вариант 17, то Вам предстоит решать задания с номерами 1.17, 2.17 и т.д.
Методические рекомендации к контрольным заданиям Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. В помощь заочникам ДГМА организует чтение лекций и практические занятия.
Приступая к изучению курса высшей математики студент должен освоить из учебников [1] - § 5 – 11, гл. I, гл. III, гл. IV (аналитическая геометрия на плоскости), гл. II, гл. IV (аналитическая геометрия в пространстве); [2] - § 1 – 9, гл. II; § 2 – 24, гл.III; § 2 – 10, гл.V; [4] главы I, II, III. В пособии [3] имеется большое число решенных задач, с которыми студенту рекомендуется познакомиться при изучении соответствующего материала.
Ниже мы приведем формулы и понятия, необходимые для решения основных видов задач контрольных заданий. Все приложения математики, связанные с постановкой и решением экономических задач по линейной алгебре и математическому анализу, также приведены в данных рекомендациях.
Основные формулы и понятия «Аналитической геометрии»
Длина отрезка находится по формуле где ( x 1, y1, z1 ), ( x 2, y 2, z 2 ) - координаты данных точек.
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид где М( x 0, y 0, z 0 ) - точка на прямой, а m,n,p - координаты вектора l.
Угол между прямыми находим как угол между направляющими векторами по формуле где l1 l 2 - скалярное произведение векторов;
l1 l 2 - произведение длин направляющих векторов.
Скалярное произведение векторов:
Уравнение плоскости через три точки имеет вид Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, выходящих из одной вершины:
Прямая на плоскости определена следующими параметрами:
а) двумя точками б) точкой и вектором нормали A (x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 ;
в) точкой и направляющим вектором x x0 y y г) угловым коэффициентом k и точкой y y0 = k x x д) отрезками, которые отсекает прямая от осей координат (a,b) xy Все уравнения прямой приводятся к виду Ax + By + C = 0 общее уравнение прямой на плоскости.
Условие параллельности двух прямых - A 1 = B 1.
Условие перпендикулярности двух прямых A 1 A 2 + B1 B 2 = 0.
Основные формулы и понятия «Математического анализа»
соотношения эквивалентностей:
= 1 - первый замечательный предел и следствия из него lim следствия из него где (x ) - бесконечно малая величина;
(x ) - бесконечно большая величина.
Функция y = f(x) с областью определения D называется непрерывной в точке x, если выполняется условие Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из условий, то x называется точкой разрыва:
Пример 1. Задана функция y = f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Решение. На каждом промежутке изменения независимой переменной функция непрерывна. Разрыв может быть только в точках «стыка». Проверим условие непрерывности в точках x = 0, x = 1.
x = 0, В точке x = 0 выполняется условие непрерывности.
x = 1, Пределы слева и справа конечны, но не равны между собой.
Следовательно, точка x = 1 является точкой разрыва первого рода.
При изучении этой темы рекомендуется проводить аналогию с уже известными соответствующими фактами дифференциального исчисления функций одной переменной. Вместе с тем необходимо представлять, какие особенности возникают в трактовке того или иного понятия при переходе от функции одной переменной к многофакторной зависимости.
Приведем примеры некоторых функций, встречающихся в экономических задачах:
1 Функция Кобба–Дугласа - Z = Ax y, где Z – величина общественного продукта, х – затраты труда, y – объем производственных фондов.
2 Издержки производства данного изделия при данной технике производства есть функция материальных затрат х и расходов на оплату рабочей силы y: Z = f ( x, y).
3 Пусть предметами потребления будут два товара А и В, цены которых PA и PB соответственно. Если цены других товаров постоянны, а доходы потребителей и структура потребностей не изменяются, то спрос и предложение каждого из товаров зависит от их цен:
4 Функция затрат на приобретение товаров x и y Z = f ( x, y ).
Понятие частной производной также находит применение в экономике, например, расчет эластичности (см. далее).
Основные математические модели в экономике Пусть начальный вклад в банк составил QH денежных единиц.
Банк выплачивает ежегодно Р % годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет. Размер вклада ежегодно увеличивается в Пусть процент начисляют n раз в году, тогда за 1 -ю часть года процент начисления составит P, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит:
Примечание. При n процент начисляется непрерывно, при n = 2 - каждое полугодие, n = 4 - ежеквартально, n = 365 - каждый день.
Тогда при непрерывном начислении процентов Это есть экспоненциальный закон роста (при р>0) или убывания
«