РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей

080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии»,

080507 «Менеджмент организации»

Раздел 4

Методы оптимизации

и исследования операций

в экономике и управлении

(четвертый семестр)

Москва

2008

Рабочая программа составлена на основе государственного образо вательного стандарта высшего профессионального образования по спе циальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент орга низации», утвержденного 17.03.2000 г.

Составитель декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики, кандидат экономических наук, доцент В. И. Соловьев Ответственный редактор декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики, кандидат экономических наук, доцент В. И. Соловьев Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математической экономики и эконометрики 1 сентября 2008 г. (протокол № 2) Согласована с выпускающими кафедрами специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент организации»

ОРГАНИЗАЦИОННО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математика» составлена в соответст вии с Государственным образовательным стандартом высшего профессио нального образования по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Ме неджмент организации».

Согласно Государственному образовательному стандарту высшего про фессионального образования по специальности 080507 «Менеджмент органи зации», «область профессиональной деятельности менеджера — обеспечение эффективного управления организацией, организация систем управления, со вершенствование управления в соответствии с тенденциями социально экономического развития… Менеджер должен быть готов к следующим видам деятельности: управленческая, организационная, экономическая, планово финансовая, маркетинговая, информационно аналитическая, проектно исследовательская, диагностическая, инновационная, методическая, консуль тационная, образовательная,… должен знать принципы принятия и реализа ции экономических и управленческих решений, уметь выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты, использовать ос новные и специальные методы экономического анализа информации в сфере профессиональной деятельности, разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений, критически оценивать поведение эко номических агентов, тенденции развития объектов в сфере профессиональной деятельности, уметь использовать компьютерную технику в режиме пользо вателя для решения экономических задач». Аналогичные требования содер жатся в Государственном образовательном стандарте высшего профессио нального образования по другим экономическим специальностям.

В Государственном образовательном стандарте определяются требования к содержанию и уровню математического образования экономистов и менед жеров, в соответствии с которыми экономист и менеджер должен иметь пред ставление о месте современной математики в общечеловеческой культуре и ее роли в экономических исследованиях, об истории развития математики и ее экономических приложений, знать и уметь использовать основы математиче ского анализа, основы алгебры, геометрии и дискретной математики, основы теории дифференциальных уравнений и численных методов, основы теории вероятностей и математической статистики.

Целью преподавания дисциплины «Математика» студентам экономиче ских специальностей является обучение студентов основным математическим понятиям и методам применительно к решению задач принятия и реализации экономических и управленческих решений, анализа, прогнозирования и эф фективного управления экономическими системами с учетом неопределенно сти внешней среды и ограниченности внутренних возможностей управляемого объекта.

При преподавании дисциплины ставятся следующие задачи:

• ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходи мого для решения практических экономических и управленческих задач;

• привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу по математике и ее экономическим приложениям;

• выработать у студентов навыки математического исследования приклад ных экономических вопросов и умение перевести экономическую задачу на математический язык, найти подходящий метод решения задачи, вос пользоваться для ее решения вычислительной техникой, экономически проанализировать результаты решения и применить их на практике;

• развить у студентов логическое мышление и повысить общий уровень их математической культуры.

Овладение дисциплиной развивает у студентов аналитическое мышление, прививает навыки количественного обоснования принимаемых управленческих решений. Знания, умения и навыки, полученные в результате освоения дисцип лины, могут быть использованы выпускниками во всех видах их деятельности в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профес сионального образования. Все это имеет большое значение для последующей практической работы экономистов и менеджеров.

Особенностью программы является ее п р и к л а д н а я н а п р а в л е н н о с т ь, позволяющая развить у студентов навыки анализа экономических проблем, повысить мотивацию к изучению дисциплины, тем самым повысить эффективность обучения.

Дисциплина «Математика» состоит из четырех разделов («Линейная ал гебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ и дифференци альные уравнения с экономическими приложениями», «Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении», «Методы оптими зации и исследования операций в экономике и управлении») и изучается в те чение первых четырех семестров. Объем аудиторной нагрузки, необходимой для освоения программы, составляет 240 ч. для студентов очной формы обуче ния.

Методика преподавания дисциплины «Математика» строится на сочета нии лекций со следующими видами учебной работы: групповыми практиче скими занятиями, групповыми и индивидуальными консультациями по от дельным разделам программы; выполнением студентами индивидуальных и групповых домашних заданий; выполнением студентами контрольных зада ний, внеаудиторной самостоятельной работой студентов с учебным материа лом под контролем преподавателя (работа с учебниками, учебными пособия ми, методическими указаниями, заданиями, специальной литературой, поиск необходимой информации в сети Интернет). Кроме того, на практических за нятиях активно используются активные методы обучения, в том числе, метод конкретных ситуаций, когда студентам предлагается для рассмотрения ре альная проблема, и они находят ее решение при помощи изучаемых матема тических методов. Важной методической особенностью является интенсифи кация самостоятельной работы студентов с использованием персональных компьютеров, особенно в третьем и четвертом семестрах.

Особенно отметим обязательное выполнение студентами индивидуаль ных семестровых контрольных заданий, приведенных в настоящей програм ме (номер варианта индивидуального задания выбирается по последней циф ре номера зачетной книжки студента).

В конце первого, второго, третьего и четвертого семестров по дисципли не «Математика» проводятся экзамены.

Дисциплина «Математика» изучается параллельно с общепрофессиональ ными дисциплинами, что позволяет активизировать освоение математических методов применительно к решению экономических задач и выработке управ ленческих решений на основе математического моделирования. В свою очередь, после изучения дисциплины «Математика» студенты смогут легче осваивать все последующие дисциплины специальностей (умея формализовать экономические постановки задач и делать выводы на основе исследования соответствующих экономико математических моделей), а также использовать математические методы и модели при курсовом и дипломном проектировании.

пользованы в дисциплинах «Финансовая математика», «Математические моде ли и методы в экономике».

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ЛЕКЦИИ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

СТУДЕНТА

1 Примеры линейных оптимизацион 1 Решение задачи планирования Метод искусственного базиса.

ных моделей в экономике и управлении. производством симплексным мето Модифицированный симплекс дачи линейного программирования. Гео метрическая интерпретация задачи ли нейного программирования.

Каноническая форма задачи линей ного программирования. Допустимые решения. Свойства области допустимых решений. Алгоритм симплексного мето да линейного программирования.

Симплексный метод как метод на правленного перебора базисных допус тимых решений. Критерий оптимально сти. Экономическая интерпретация за дачи линейного программирования, симплексного метода, симплексных задач. Экономическая интерпретация рой основной теоремы двойственно Основное неравенство теории двойст и интерпретации результатов.

венности, его экономическая интерпре тация. Малая теорема двойственности.

Достаточное условие оптимальности пары взаимно двойственных задач.

Первая и вторая основные теоремы двойственности, их геометрическая и экономическая интерпретация.

3 Несимметричная пара двойственных 3 Задача о расшивке узких мест Понятие о параметрическом Третья основная теорема двойствен Постоптимизационный анализ за Двойственный симплексный ме ности, ее геометрическая и экономиче дач линейного программирования. тод.

вости двойственных оценок.

4 Транспортная задача по критерию 4 Решение транспортных задач с Контрольное задание. стоимости. Задача, двойственная к дополнительными требованиями транспортной. Замкнутая транспортная (обязательные и запрещенные по задача и ее решение методом потенциа ставки).

лов. Экономическая интерпретация оце нок клеток, потенциалов поставщиков и потребителей.

Вырожденная транспортная задача.

Фиктивные поставки. Открытая транс портная задача, фиктивные поставщики и потребители. Обязательные и запре щенные поставки.

5 Постановка и экономическая интер 5 Решение задач целочисленного Контрольное задание. претация задач целочисленного про программирования методом ветвей и граммирования. Методы отсечения. границ.

Общая характеристика комбинатор ных методов решения задач целочис ленного программирования. Метод вет вей и границ.

6 Общая задача нелинейного програм 6 Нелинейная производственная Контрольное задание. мирования, ее геометрическая интер задача. Задача оптимизации затрат претация и экономические приложения. на рекламу.

Необходимые и достаточные условия Детерминированные модели экстремума функции нескольких пере управления запасами, формула Вил менных. Теорема Ферма. Стационарные сона.

точки дифференцируемых функций. Производственные функции, тео Матрица Гессе. Критерий Сильвестра рия фирмы, анализ производствен для исследования стационарных точек. ной функции Кобба — Дугласа.

Окаймленная матрица Гессе. Функция спроса, поиск точки спроса Условный экстремум. Метод множи потребителя.

7 Выпуклые множества и их свойства. 7 Задача квадратичного програм Контрольное задание. Теоремы отделимости. Системы выпук мирования. Условия Каруша — Куна лых неравенств. Выпуклые функции и — Таккера в дифференциальной Задача выпуклого программирова шения задачи квадратичного про ния, ее геометрическая интерпретация граммирования.

и экономические приложения.

Условие регулярности. Функция Ла гранжа. Условие оптимальности. Теоре ма Куна — Таккера. Условия Каруша — Куна — Таккера в дифференциальной форме, их геометрическая и экономиче ская интерпретация.

8 Градиентные методы нелинейной оп 8 Решение задач выпуклого про Современные пакеты приклад Методы штрафных функций. дами и методами штрафных функ численных методов условной и 9 Специфика задач динамического про 9 Задача об оптимальном распреде Задача о наиболее рациональ сти Беллмана. Параметр состояния, Динамическая задача управления Задача о замене оборудования.

уравнение состояния. Рекуррентное со запасами и ее решение методом ди Контрольное задание.

10 Простейшая задача вариационного 10 Оптимальный экономический рост Оптимальное управление рас делях оптимального экономического Тема 4. Основные понятия теории графов. Поиск кратчайшего и критического пути 11 Граф. Дуги и вершины. Полный граф. 11 Задача о кратчайшем пути. Управ Современные пакеты приклад Изоморфизм графов. Связность, разрез ление проектами и сетевое планиро ных программ для автоматизации смежности и инцидентности. Дерево. Лес. Задача о критическом пути и ее задач управления проектами в Изображение графа. Плоский граф. Фор приложения к управлению проекта пакете Microsoft Project.

Куратовского. Алгоритм Дейкстры реше Задача о наиболее надежном пути..

ния задачи о кратчайшем пути.

мальном потоке. Алгоритм Форда — одно и многопродуктовых потоках.

Фалкерсона.

ных ситуаций. Антагонистическое пове сведения к пре двойственных задач дение игроков. Матричная игра, ее гео линейного программирования.

метрическая и экономическая интер претация. Чистые и смешанные страте гии. Оптимальные стратегии.

Основная теорема теории матричных игр, выражение оптимальных стратегий игроков через решения пары двойст венных задач линейного программиро 14 Матричная игра как модель сотруд 14 Решение биматричных игр в не Контрольное задание. матричная игра. Переговорное множе ство. Оптимальность по Парето. Равно 15 Матрица последствий и матрица со 15 Исследование ситуаций принятия Байесовский подход к приня жалений, их экономическая интерпре решений в условиях полной и час тию решений и его экономиче тация. Принятие решений в условиях тичной неопределенности. ские приложения.

Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Принятие решений в условиях частичной неопре деленности: критерии максимизации ожидаемого дохода, минимизации ожи даемых сожалений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Линейная производственная задача. Предприятие может вы пускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов.

Известны технологическая матрица затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [элемент aij этой матрицы равен количеству ресурса i го вида (i = 1, 2, 3), которое необходимо затратить в процессе производства единицы про дукции j го вида (j = 1, 2, 3, 4)], вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли на единицу продукции. Исходные данные для каждо го варианта компактно записаны в прил. 1 в следующем виде.

Требуется составить производственную программу, обеспечиваю щую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запа сов ресурсов.

Для этого необходимо обсудить экономическое содержание линей ной производственной задачи и сформулировать ее математическую мо дель, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каж дый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производствен ную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства (дефицитные ресурсы).

Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, обсудить ее экономическое содержание и за писать математическую модель, после чего найти решение двойственной задачи, пользуясь второй основной теоремой двойственности, обосновав экономический смысл этой теоремы.

Указать оптимальную производственную программу и оценки тех нологий, максимальную прибыль и минимальную суммарную оценку всех ресурсов, остатки и двойственные оценки ресурсов и обсудить эко номический смысл всех этих величин.

После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения»

пакета «Microsoft Excel» проверить правильность решения задачи и, кроме того, определить границы, в которых могут изменяться коэффи циенты целевой функции, в пределах которых не изменяется ассорти мент выпускаемой продукции, и границы, в которых могут изменяться правые части ограничений, в пределах которых сохраняется устойчи вость двойственных оценок.

2. Задача о расшивке узких мест производства. При выполнении оптимальной производственной программы в линейной производствен ной задаче некоторые ресурсы расходуются полностью и образуют уз кие места. Требуется определить план заказа дополнительных объемов этих ресурсов, обеспечивающий максимальный прирост прибыли пред приятия при условии сохранения устойчивости двойственных оценок, если поставщики могут предоставить дополнительно не более трети от первоначальных запасов соответствующих ресурсов.

3. Целочисленная задача о расшивке узких мест производства.

Если полученное решение задачи о расшивке узких мест производства оказалось не целочисленным, то требуется с помощью метода ветвей и границ найти целочисленное решение этой задачи.

4. Транспортная задача линейного программирования. Однород ный продукт, сосредоточенный на трех складах фирмы в количествах a1, a2, a3 единиц, необходимо распределить между четырьмя магазинами, которым необходимо соответственно b1, b2, b3, b4 единиц продукта. Стои мость перевозки единицы продукта из i го пункта отправления (i = 1, 2, 3) в j й пункт назначения (j = 1, 2, 3, 4) равна cij и известна для всех мар шрутов. Вектор запасов продукта на складах вектор запросов продукта магазинами и матрица транспортных тарифов известны и для каждого варианта компактно записаны в прил. 2 в сле дующем виде.

Требуется определить оптимальный план перевозок, при котором запросы магазинов были бы удовлетворены в наибольшей степени за счет имеющегося на складах количества продукта, и при этом обяза тельно были бы удовлетворены запросы первого магазина, а общие транспортные расходы по доставке продукта были минимальны.

Для этого необходимо составить математическую модель транс портной задачи, преобразовать ее к закрытой форме путем введения фиктивного поставщика или потребителя и найти решение этой задачи с помощью метода потенциалов, обосновывая каждый шаг вычислитель ного процесса.

Указать оптимальный план перевозок, минимальные транспортные расходы, потенциалы поставщиков и потребителей, оценки клеток и об судить экономический смысл всех этих величин.

5. Динамическая задача распределения инвестиций. Производст венное объединение состоит из четырех предприятий (n = 4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. руб. (b = 700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. руб. Если j е предприятие полу чает инвестиции в объеме тыс. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит f j () тыс. руб. в год. Значения функций f j () известны и для каждого варианта компактно записаны в прил. 3 в сле дующем виде.

Требуется найти такое распределение инвестиций между предпри ятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи распределения инвестиций и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса.

6. Динамическая задача управления производством и запасами.

Рассматривается трехэтапная система управления запасами с дискрет ной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Заявки потребителей на продукцию составляют на этапе j равен dj единиц (j = 1, 2, 3). К началу первого этапа на складе имеется только y1 единицы про дукции. Затраты на хранение единицы продукции на этапе j равны hj.

Затраты на производство xj единиц продукции на j м этапе определяют ся функцией Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наи меньшими. Для этого необходимо составить математическую модель ди намической задачи управления производством и запасами и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса. Исходные данные приведены для каждого ва рианта в прил. 4.

7. Задача о максимальном потоке в сети. Требуется определить максимальный поток в сети, изображенной на рис. 1, из вершины X i в вершину X j, где числа на дугах, снабженные стрелками, означают про пускные способности этих дуг в указанных направлениях. Номера вер шин i и j для каждого варианта приведены в прил. 5.

8. Задача о кратчайшем пути. Требуется определить кратчайший путь из вершины X i в вершину X j в графе, изображенном на рис. 2, где числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждо го варианта приведены в прил. 5.

9. Задача о критическом пути. Требуется определить кратчайший путь из вершины X i в вершину X j в графе, изображенном на рис. 2, где числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждо го варианта приведены в прил. 5.

Рис. 2. Граф в задачах о кратчайшем и критическом путях 10. Матричная игра. Предприятие имеет две стратегии рыночного поведения, тогда как его конкурент имеет четыре таких стратегии. При быль (в млн. руб.), которую получит предприятие при условии, что оно изберет стратегию i (i = 1, 2), а его конкурент — стратегию j (j = 1, 2, 3, 4), равна ij. Платежные матрицы для каждого варианта приведены в прил. 6. Требуется найти оптимальные смешанные страте гии предприятия и конкурента, а также цену игры — оптимальную при быль предприятия.

11. Принятие решений в условиях неопределенности. Возможные значения курса базовой валюты в течение ближайшего года представлены четырьмя интервалами. Банк рассматривает четыре инвестиционных про екта, каждый из которых связан с международным бизнесом. Матрицы последствий от принятия банком i го инвестиционного проекта при усло вии, что курс валюты окажется в j м интервале, приведены в прил. 7. Там же приведены прогнозируемые экспертами вероятности возможных ин тервалов курса базовой валюты. Требуется построить матрицу сожалений, найти решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, максималь ного ожидаемого дохода и минимального ожидаемого риска, а также опре делить проекты, оптимальные по Парето.

12. Оптимальность по Парето. Инвестор рассматривает четыре ин вестиционные операции со случайными эффективностями, описывае мыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения, приведенными для каждого варианта в прил. 8. Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.

13. Многокритериальная оптимизация. Методом последователь ных уступок (допустимые уступки по первым двум критериям принять равными 1 = 3 и 2 = 2 ) требуется решить следующую задачу векторной оптимизации:

где n — номер варианта.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Задача оптимального производственного планирования и ее матема тическая модель.

2. Общая задача математического программирования.

3. Различные формулировки задачи линейного программирования, функция цели, допустимые и оптимальные решения. Основная задача линей ного программирования, ее векторная и матричная формы записи.

4. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирова ния и симплексного метода. Графическое решение задачи линейного програм мирования с двумя переменными.

5. Симплексный метод линейного программирования: задача линейного программирования в предпочитаемой форме, выражение функции цели через свободные неизвестные, вычисление относительных оценочных коэффициен тов j и значения целевой функции, соответствующих данному базисному допустимому решению.

6. Симплексный метод линейного программирования: исследование данного базисного допустимого решения на оптимальность, условие опти мальности в случае минимизируемой и максимизируемой функции цели.

7. Симплексный метод линейного программирования: условие единст венности базисного оптимального решения. Условие неограниченности целе вой функции на множестве допустимых решений.

8. Симплексный метод линейного программирования: переход от одного базисного допустимого решения к другому, правила выбора разрешающей не известной и разрешающего уравнения, их обоснование. Монотонность и ко нечность симплексного алгоритма для невырожденной задачи линейного про граммирования.

9. Применение искусственных базисных неизвестных к решению ос новной задачи линейного программирования. Условие противоречивости сис темы условий исходной задачи.

10. Двойственные (расчетные) оценки ресурсов. Симметричная пара двойственных задач линейного программирования.

11. Несимметричная пара двойственных задач линейного программиро вания, правила составления двойственной задачи для данной задачи линейно го программирования со смешанными ограничениями.

12. Основное неравенство теории двойственности линейного программи рования. Малая теорема двойственности и ее экономическое содержание.

13. Теорема о достаточном условии оптимальности решений пары двой ственных задач линейного программирования.

14. Первая основная теорема двойственности и ее экономическое истол кование.

15. Вторая основная теорема двойственности (о дополняющей нежестко сти) и ее экономическое истолкование.

16. Третья основная теорема двойственности (об оценках влияния ре сурсов на выпуск продукции) и ее экономическое содержание.

17. Перераспределение ресурсов между предприятиями холдинга с по мощью двойственных оценок ресурсов.

18. Условие сохранения структуры производственной программы и двойственных оценок ресурсов при изменении объемов ресурсов.

19. Задача о расшивке узких мест производства, ее математическая мо дель и решение.

20. Транспортная задача по критерию стоимости: постановка и матема тическая модель, свойства закрытой модели. Преобразование открытой моде ли в закрытую.

21. Методы построения первого базисного решения транспортной зада чи.

22. Метод потенциалов для решения транспортной задачи.

23. Задача целочисленного программирования, понятие о методе ветвей и границ: основные идеи, описание алгоритмов.

24. Задача выпуклого программирования, ее геометрическая интерпре тация и экономические приложения. Функция Лагранжа. Теорема Куна — Таккера. Условия Куна — Таккера в дифференциальной форме, их геометри ческая и экономическая интерпретация.

25. Градиентные методы нелинейной оптимизации.

26. Методы штрафных функций.

27. Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Метод последовательных уступок.

28. Динамическое программирование как метод решения многошаговых задач управления. Параметр состояния и функция состояния. Принцип опти мальности и рекуррентные соотношения.

29. Задача распределения капитальных вложений: постановка, матема тическая модель и решение методом динамического программирования.

30. Динамическая задача управления запасами: постановка, математи ческая модель и решение методом динамического программирования.

31. Основные понятия теории графов.

32. Задача о максимальном потоке в сети и ее решение.

33. Задача о кратчайшем пути в графе и ее решение.

34. Задача о критическом пути в графе и ее решение.

35. Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матрица игры.

Верхняя и нижняя цена игры, седловая точка. Чистые и смешанные стратегии игроков.

36. Ряд распределения выигрышей в матричной игре. Средний ожидае мый выигрыш и риск. Оптимальные стратегии игроков и цена игры. Представ ление математического ожидания выигрыша первого игрока и дисперсии в иг ре с двумя стратегиями первого игрока.

37. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. Графи ческое решение игр с двумя стратегиями одного из игроков. Доминирование чистых стратегий.

38. Матричная игра типа с произвольным числом стратегий игроков.

Критерий оптимальности стратегий.

39. Теорема о преобразовании матрицы игры, сохраняющем оптималь ные стратегии игроков.

40. Основная теорема теории игр, выражение оптимальных стратегий игроков через решения пары двойственных задач линейного программирова ния.

41. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Матрица последствий и матрица сожалений. Критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

42. Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Крите рии максимизации ожидаемого дохода, минимизации ожидаемых сожалений.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Колемаев В. А., Соловьев В. И., Гатауллин Т. М. и др. Математиче ские модели и методы исследования операций: Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2008. – 386 с.

2. Колемаев В. А., Соловьев В. И., Бушуев А. Ю. и др. Практикум по ис следованию операций в экономике: Учебное пособие. – М.: Вега Инфо, 2008. – 208 с.

3. Соловьев В. И. Математика в экономической деятельности: Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2008.

4. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная матема тика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА М, 2001. – 256 с.

5. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика: Ма тематическое программирование: Учебник. – Минск: Вышэйшая школа, 2001.

– 351 с.

6. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. и др. Сборник задач и уп ражнений по высшей математике: Математическое программирование: Учеб ное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 2001. – 447 с.

7. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и зада чах. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

8. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.

– М.: ИНФРА М, 2003. – 326 с.

9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Факториал, 2002. – 824 с.

10. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972.

– 552 с.

11. Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методо логия. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.

12. Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров:

Компьютерно ориентированный подход. – М.: Дело, 2002. – 304 с.

13. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Фридман М. Н. и др. Исследование опе раций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 407 с.

14. Карандаев И. С. Решение двойственных задач в оптимальном плани ровании. – М.: Статистика, 1976. – 88 с.

15. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. – М: Высшая школа, 1980. – 300 с.

16. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев Е. Ю., Барановская Т. П. Мо делирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. – М.: Финансы и ста тистика, 2001. – 224 с.

17. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимиза ции. – м.: Наука, 1978. – 352 с.

18. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

19. Соловьев В. И. Математические методы управления рисками. – М.:

ГУУ, 2003. – 100 с.

20. Соловьев В. И. Обобщенный принцип максимума как необходимое ус ловие оптимальности в распределенной задаче оптимального управления с ограничениями в частных производных // Обозрение прикладной и промыш ленной математики. – 2004. – Т. 11. – № – С. 229–230.

21. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в эко номике: Учебник: В 2 х ч. Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 224 с.

22. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912 с.

Вариант 0.

30 28 1 0 2 3 6 0 2 4 1 для динамической задачи распределения инвестиций Вариант 8.

для динамической задачи управления производством и запасами П р и л о ж е н и е 6. Исходные данные для матричной игры принятия решений в условиях неопределенности 3. 1/2 1/4 1/5 1/20 7. 1/2 1/4 1/5 1/ В варианте с номером n необходимо выбрать проекты с номерами n + 1, n + 2, n + 3, n + из числа приведенных выше, после этого нужно выбрать набор вероятностей интервалов курса валюты.

1. (0, 1/2)(2, 1/4) (4, 1/8) (16, 1/8) 8. (2,1/2) (4,1/4) (6,1/8) (18,1/8) 2. (0, 1/4) (4, 1/4) (6, 1/3) (12, 1/6) 9. (2, 1/4) (6, 1/4) (8, 1/3) (14, 1/6) 3. (0, 1/3) (1, 1/3) (2, 1/6) (8, 1/6) 10. (2, 1/3) (3, 1/3) (4, 1/6) (10, 1/6) 4. (0, 1/5) (4, 1/5) (6, 1/5) (10, 2/5) 11. (2, 1/5) (6, 1/5) (8, 1/5) (12, 2/5) 5. (0, 1/5) (1, 2/5) (5, 1/5) (14, 1/5) 12. (2, 1/5) (4, 2/5) (6, 1/5) (18, 1/5) 6. (0, 1/2) (8, 1/8) (16, 1/8) (20, 1/4) 13. (2, 1/2) (12, 1/8) (18, 1/8) (22, 1/4) 7. (0, 1/4) (4, 1/4) (10, 1/4) (14, 1/4) В варианте с номером n необходимо выбрать операции с номерами n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 из числа приведенных выше (для каждой операции компактно записан ряд ее распределения:

первое число в скобках означает возможное значение эффективности операции, а второе — ве роятность соответствующего значения). Например, первая операция имеет эффективность, описываемую таким рядом распределения: