«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

x x

Вперёд

Назад

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

[Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] [Теоретический материал] [Задачи и упражнения] [Тесты] Настоящий электронный учебно-методический комплекс (ЭУМК) разработан по заданию Министерства образования Республики Беларусь коллективом авторов в составе Воротницкий Ю.И., Кастрица О.А., Ляликов А.С., Мазаник С.А., Мандрик П.А. — научный руководитель, Орлова Е.Н., Размыслович Г.П., Ровба Е.А., Смотрицкий К.А., Фалейчик Б.В., Филипцов А.В.

ЭУМК предназначен для информационно-методического обеспечения преподавания дисциплины «Высшая математика» по всем специальностям в высших учебных заведениях Республики Беларусь.

z z  x А-Я ?

Помощь Понятия Страница Страница Меню Вверх x x Часть I. Методические указания Вперёд Назад 1. Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска 2. Принцип построения и структура ЭУМК 3. Знакомство с ЭУМК 4. Рекомендации для преподавателя 5. Рекомендации для студента z z  x А-Я ?

Помощь Понятия Страница Страница Меню Вверх x x 1. Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска Вперёд Назад Комплект поставки ЭУМК поставляется на компакт-диске. Стандартный комплект поставки включает • файл электронного учебника с именем «Высшая математика» в формате PDF (размещается в корневом каталоге диска);

• инсталляционный комплект свободно распространяемых программных средств в составе программы для чтения файлов в формате PDF — Adobe Reader (находится в подкаталоге Adobe/Reader Installer) и программы-проигрывателя ash-анимации Adobe Flash Player (находится в каталоге Adobe).

Требования к системе ЭУМК не предъявляет никаких специальных требований к системе. Для работы с ним необходим компьютер, на котором установлена операционная система MS Windows (начиная с Windows 98) и программные продукты Adobe Reader и Adobe Flash Player (поставляются вместе с учебником).

Инсталляция программы Adobe Reader осуществляется стандартным образом: откройте папку Adobe/Reader Installer, запустите программу инсталляции Setup.exe и следуйте инструкциям.

Для просмотра ash-анимации, входящей в состав ЭУМК, необходимо наличие программного компонента Adobe Flash Player. Если данный компонент не установлен на Вашей системе, Вы можете установить его, запустив программу инсталляции install_ash_player.exe из папки Adobe.

Запуск ЭУМК УМК можно запустить непосредственно с компакт-диска или скопировав все файлы в каталог на жестком диске. Для запуска учебника обычно достаточно дважды щелкнуть левой кнопкой мыши, указав на файл.pdf. В том случае, если на Вашем компьютере установлено средство работы с файлами в формате PDF, отличное от Adobe Reader (например, Adobe Acrobat или другой программный продукт, с которым ассоциируются файлы с расширением pdf), поступайте следующим образом. Выделив файл Высшая математика с помощью мыши, нажмите на правую кнопку. В выпавшем контекстном меню выберите «Открыть с помощью Adobe Reader».

Назад Основным принципом построения настоящего ЭУМК является относительная независимость содержания (контента) от конкретных типовых программ по конкретным специальностям, а также от используемой программной оболочки.

Действительно, «время жизни» типовой программы — 5 лет. Примерно столько же остается современной программная оболочка, в которой разрабатывается УМК. В то же время, около 70% контента, даже по быстро развивающемуся и меняющемуся программированию, остаются актуальными на протяжении 10 лет и более.

Поэтому структура УМК не должна определяться последовательностью изложения и содержанием той или иной типовой или учебной программы, используемой в высшем учебном заведении для конкретной специальности.

Для реализации данной концепции была выполнена декомпозиция учебного контента УМК и его структуризация по разделам:

Все учебные материалы связаны между собой системой ссылок. Все гиперссылки набраны в тексте прямым шрифтом и выделены синим цветом. Ссылки, оформленные в виде отдельных кнопок, кроме того, заключены в квадратные скобки. Различаются следующие виды ссылок.

Назад • Ссылки из типовых программ курсов ведут к соответствующим статьям разделов «Основные понятия»

и «Теоретический материал», а также к задачам и упражнениям. Часть таких ссылок непосредственно размещена в тексте программ, а часть вынесена в конце каждого подраздела программ.

• В разделе «Основные понятия» ссылки, размещенные по тексту, отсылают в статье к другим затрагиваемым понятиям. В конце каждой статьи раздела «Основные понятия» имеется ссылка на соответствующую статью раздела «Теоретический материал», более подробно раскрывающую соответствующее понятие и содержащую необходимую сопутствующую информацию.

• Ссылки по тексту раздела «Теоретический материал» отсылают к определениям в разделе «Основные • В разделе «Задачи и упражнения» ссылки, представленные в виде отдельных «кнопок», ссылаются на ответы и решения.

Привязка образовательного контента ЭУМК к действующим учебным программам по конкретным специальностям осуществляется следующим образом. В состав УМК в качестве самостоятельного раздела включены типовые программы курсов. Каждое понятие, вводимое в типовой программе, связано гиперссылкой с соответствующей статьей ЭУМК. Таким образом, при изменении учебной программы нет необходимости радикально изменять структуру и содержание УМК. Достаточно дополнить его новыми материалами и по-новому расставить гиперссылки из типовой программы.

В результате, привязка образовательного контента данного ЭУМК к конкретной программе сводится к установлению ссылок из типовых программ конкретных курсов на отдельные статьи разделов «Основные понятия», «Теоретический материал», «Задачи и упражнения». Все остальные ссылки между материалами разделов также установлены в данном УМК и сохраняются при переходе к новым типовым программам.

Назад После запуска ЭУМК (см. выше) экран должен иметь следующий вид:

В левой части находится панель навигации, в котором на вкладке «закладки» все иерархически организованные материалы ЭУМК представлены в виде дерева. В правом окне по одной странице отображается содержание статей УМК. Все разделы, помеченные знаком + могут быть раскрыты для чтения подразделов. Используя окно навигации, можно легко увидеть структуру учебника и перемещаться по его разделам. Далее каждый раздел, отображаемый в правом окне УМК, будем называть статьей.

Одностраничное окно текста ЭУМК снабжено дополнительными кнопками навигации (в верхней части окна кнопки «Назад» и «Вперед», в нижней части - кнопки «На страницу назад», «Вверх». «Меню», «Понятия»

(переход к основным понятиям), «Помощь» (переход к методическим указаниям), «На страницу вперед»).

Назад Если внешний вид документа отличается от описанного, просто перейти к нему можно, последовательно нажав кнопку «Отображение страниц по одной» на панели Adobe Reader и выбрав в меню пункт «Просмотр»

«Панели навигации» «Закладки».

Дальнейшее перемещение по документу осуществляется с помощью перечисленных средств навигации, гиперссылок и встроенных средств навигации Adobe Reader. Следует иметь в виду, что ЭУМК представляет собой один PDF документ, по которому также можно перемещаться, используя полосу прокрутки или колесико мыши.

Назад Наличие у преподавателя и студента электронного УМК влечет за собой изменение методик преподавания дисциплины. В настоящем разделе даются методические рекомендации по преподаванию теоретического материала, а также организации практических занятий.

Лекции Несомненным достоинством данного ЭУМК является возможность его использования на лекциях в качестве презентационного материала. Для этого необходимо перейти к странице, которая будет использоваться в качестве начальной в презентации к данной лекции и нажать комбинацию клавиш Ctrl+L для перехода в полноэкранный режим. Далее по страницам перемещаются, используя гиперссылки и встроенные в страницы средства навигации.

Разумеется, данный ЭУМК целесообразно до начала чтения курса выдать студентам. Можно рекомендовать студентам распечатать разделы, включенные в изучаемый курс, на одной стороне листов бумаги, переплести и использовать полученный альбом в качестве конспекта лекций. При этом чистые стороны листов используются для записи пояснений и дополнений лектора к представленному материалу. Это избавляет студентов от необходимости переписывать содержание презентаций и, в то же время, позволяет зафиксировать комментарии и дополнения лектора.

В любом случае, эффективное использование ЭУМК для изучения теоретического материала предполагает организацию самостоятельной работы студентов перед лекциями. Следует требовать, чтобы студенты перед лекцией ознакомились с соответствующими статьями ЭУМК в разделах «основные понятия», «теоретический материал». При этом конкретные статьи студентам задавать, как правило, не нужно. Достаточно указать темы типового учебного плана, которые будут изучаться на следующей лекции. С помощью имеющейся системы гиперссылок студент сам перейдет оттуда к статьям в вышеперечисленных разделах: от определения понятий к необходимым разделам электронного учебника.

Организация практических занятий Для организации практических занятий целесообразно использовать систему задач и упражнений, включенную в ЭУМК.

Назад Задачи и упражнения структурированы по разделам курса, все они снабжены ответами, а часть - решениями. Кроме того, по ряду разделов, наряду с общематематическими, подобраны задачи из различных предметных областей: физики и техники, химии и биологии, экономики.

Тесты Тесты, включенные в данный ЭУМК, предназначены исключительно для самоконтроля студентов и носят вспомогательный характер. Это связано с тем, что в ходе изучения дисциплины студенты должны, прежде всего, научиться логически мыслить, приобрести навыки решения задач и основное внимание следует уделить построению математических рассуждений и выполнению студентами задач и упражнений. Можно рекомендовать студентам пройти тесты для самоконтроля перед экзаменом или зачетом.

Назад Изучение теоретического материала Перед лекцией обратитесь к разделу «Типовые программы курсов» и изучите материалы ЭУМК, связанные с темой следующей лекции, переходя по системе гиперссылок к статьям в разделах «основные понятия», «теоретический материал». Будьте готовы к тому, что преподаватель не будет повторять на лекциях материалы, включенные в настоящий ЭУМК. Зафиксируйте вопросы, которые у Вас возникли с тем, чтобы задать их преподавателю. Если лектор до начала чтения курса лекций выдал Вам презентационные материалы (или рекомендовал в качестве таковых отдельные разделы ЭУМК), распечатайте их на одной стороне листов бумаги, переплетите и используйте полученный альбом в качестве конспекта лекций. При этом чистые стороны листов можно использовать для записи пояснений и дополнений лектора к представленному материалу. Это избавит Вас от необходимости переписывать содержание презентаций и, в то же время, позволит зафиксировать комментарии и дополнения лектора.

Практические занятия Получите у преподавателя номера задач. Задачи снабжены гиперссылками на ответы, часть — на решения.

Тесты Тесты, включенные в данный ЭУМК, предназначены для самоконтроля. Пройдите эти тесты для самоконтроля перед экзаменом или зачетом.

Назад 1. Указатель по направлениям и специальностям 2. Список учебных программ Назад 1-01 02 01 Начальное образование 1-01 02 02-02 Начальное образование. Изобразительное искусство 1-01 02 02-03 Начальное образование. Музыкальное искусство 1-01 02 02-04 Начальное образование. Белорусский язык и литература 1-01 02 02-05 Начальное образование. Иностранный язык 1-02 05 04 Физика. Дополнительная специальность 1-08 01 01 Профессиональное обучение (по направлениям) 1-08 01 01-04 Профессиональное обучение (деревообработка) 1-27 01 01 Экономика и организация производства 1-31 05 01 Химия (по направлениям) 1-33 01 04 Экологический мониторинг, менеджмент и аудит 1-33 01 05 Медицинская экология 1-36 01 08 Конструирование и производство изделий из композиционных материалов 1-43 01 06 Энергоэффективные технологии и энергетический менеджмент 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах 1-54 01 04 Метрологическое обеспечение информационных систем и сетей 1-58 01 01 Инженерно-психологическое обеспечение информационных технологий 1-80 02 01 Медико-биологическое дело Назад 1-98 01 02 Защита информации в телекоммуникациях J Архитектура и строительство (кроме направления 69 Архитектура) Назад ТД-268 Высшая математика (общий курс) Учебная программа для экономических специальностей высших учебных заведений ТД-A.154 Основы высшей математики Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

1-02 05 04 Физика. Дополнительная специальность ТД-A.155 Основы высшей математики Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям профиля ТД-E.069 Основы высшей математики Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности:

ТД-G.145 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

ТД-G.156 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности:

1-31 05 01 Химия (по направлениям) ТД-H.001 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

1-33 01 04 Экологический мониторинг, менеджмент и аудит Назад ТД-H.009 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по направлениям образования:

1-33 01 05 Медицинская экология, 1-80 02 01 Медико-биологическое дело ТД-I.047 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по направлениям образования 1-39 Радиоэлектронная техника, 1-40 Компоненты оборудования, 1-45 Связь;по группе специальностей 1-36 04 Радиоэлектроника; по специальностям 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации, 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах, 1-54 01 04 Метрологическое обеспечение информационных систем и сетей, 1-58 01 01 Инженерно-психологическое обеспечение информационных технологий, 1-98 01 02 Защита информации в телекоммуникациях ТД-I.110 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по химико-технологическим, лесотехническим, полиграфическим специальностям и специальностям:

1-36 01 08 Конструирование и производство изделий из композиционных материалов, 1-43 01 06 Энергоэффективные технологии и энергетический менеджмент, 1-08 01 01 Профессиональное обучение (по направлениям) (направление специальности 1-08 01 01- Профессиональное обучение (деревообработка)) ТД-K.001 Высшая математика Учебная программа для высших учебных заведений по направлению образования Назад ТД-L.039 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности:

ТД-P.093 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по направлению образования 94 Защита в чрезвычайных ситуациях ТД-T.003 Математика Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям профилей J Архитектура и строительство (кроме направления 69 Архитектура), и по специальности 1-27 01 01 Экономика и организация производства Назад ТД-268 Высшая математика (общий курс)

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 1.1. Аналитическая геометрия на плоскости.

Предмет аналитической геометрии. Метод координат.

Декартова и полярная системы координат. Основные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Параметрическое и полярное представления линий.

1.2. Векторная алгебра.

Понятие вектора на плоскости и в трехмерном пространстве. Основные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Векторы в n-мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство.

1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве.

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.

1.4. Матрицы.

Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Понятие определителя п-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.

Назад 1.5. Системы линейных уравнений и неравенств.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Применение элементов линейной алгебры в экономике.

1.6. Комплексные числа.

Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами.

Формулы Эйлера.

Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения 2.1. Числовая последовательность и ее предел.

Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа е.

2.2. Функции одной переменной.

Функции и отображения, их области определения и значений, способы задания и график функции. Основные элементарные функции. Сложная функция. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

2.3. Непрерывные функции одной переменной.

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность функции на множестве. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной.

Производная функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций.

Логарифмическая производная. Дифференцируемость функции одной переменной. Дифференциал, его геометрический и экономический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры применения производной в экономике. Производные высших порядков. Неявные функции.

2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Назад Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

2.6. Приложения дифференциального исчисления.

Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.

Предельные показатели в экономике.Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

2.7. Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Множества уровней. Однородные функции. Выпуклые и вогнутые функции. Производственные функции. Линии изоквант и изокост. Предел функции в точке. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.

Частные производные. Примеры применения частных производных в экономике. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Градиент функции и его свойства. Производная функции по направлению.

Неявные функции.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Задачи на условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Выравнивание эмпирических зависимостей. Метод наименьших квадратов.

2.8. Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Таблица неопределенных интегралов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

2.9. Определенный интеграл.

Определенный интеграл. Условия интегрируемости функций. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Применение определенного интеграла в экономике. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.

2.10. Кратные интегралы.

Назад Определение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл. Приложения кратных интегралов.

2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Составление дифференциального уравнения первого порядка. Модели экономической динамики.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.12. Ряды.

Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область и интервал сходимости степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье.

Назад ТД-A.154 Основы высшей математики

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Теория вероятностей 1.1. Дискретные вероятностные распределения: моделирование опыта с конечным числом случайных исходов, статистическое определение вероятности, дискретное пространство событий и дискретная случайная величина, операции над случайными событиями, основные свойства вероятности, геометрическое распределение.

1.2. Непрерывные вероятностные распределения: моделирование опыта с несчетным числом случайных исходов, геометрическое определение вероятности, непрерывное пространство событий и непрерывная случайная величина, плотность и функция распределения, равномерное распределение.

1.3. Элементы комбинаторики и вероятность: размещения, перестановки, сочетания, схема Бернулли с п испытаниями, биномиальное распределение.

1.4. Дискретная и непрерывные условные вероятности: условная вероятность события, независимые события, формула Байеса, экспоненциальное распределение, условная плотность распределения, взаимно независимые случайные величины.

1.5. Основные распределения: распределение Пуассона и его связь с биномиальным и экспоненциальным распределением, функции случайных величин, моделирование непрерывной случайной величины с произвольной функцией распределения, нормальное и стандартное распределения.

1.6. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание функции дискретной случайной величины, математическое ожидание и дисперсия биномиального, геометрического и Пуассонова распределений.

1.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание функции непрерывной случайной величины, математическое ожидание и дисперсия равномерного, экспоненциального и Назад нормального распределений.

1.8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема: неравенство Чебышева, теорема об ожидаемой средней величине исходов последовательности п независимых испытаний, теорема о сумме п независимых одинаково распределенных случайных величин и ее следствия (локальная и интегральная теоремы Лапласа).

Раздел 2. Элементы математической статистики 2.1. Статистическая оценка параметров случайных величин: выборочный метод, несмещенные, эффективные и состоятельные точечные оценки, квантили, доверительный интервал и интервальное оценивание параметров генеральной совокупности.

2.2. Статистические гипотезы: нулевая и конкурирующая гипотезы, ошибки первого и второго рода, принцип выбора критической области, критерии согласия.

Назад ТД-A.155 Основы высшей математики

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Введение в теорию множеств 1.1. Множества1. Понятие множества. Элементы множества. Конечные и бесконечные множества. Способы задания множеств. Пустое множество. Определение подмножества. Несобственные и собственные подмножества. Операции над множествами. Равенство множеств. Объединение (сумма) множеств. Пересечение (умножение) множеств. Разность двух множеств. Свойства операций над множествами.

1.2. Соответствия. Прямое произведение множеств. Понятие соответствия. График соответствия. Сюръективное соответствие. Функциональные соответствия. Инъективное соответствие. Взаимно-однозначные (биективные) соответствия. Мощность множества. Счетные множества. Мощность континуума. Функция. Способы задания функции. Понятие обратной функции. Композиция функций. Простейшие свойства функций. Отображения. Обзор элементарных функций и их графиков.

1.3. Отношения.* Основные определения. Свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, асимметричность, антисимметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности. Отношение толерантности. Отношение порядка.

Раздел 2. Введение в дискретную математику 2.1. Математическая логика.* Алгебра высказываний. Операции над высказываниями (отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция высказываний, импликация высказываний, эквивалентность высказываний).

Булевы функции. Методы доказательств (метод цепочек импликаций, метод от противного, метод необходимого 1 Данная тема не изучается студентами естественных специальностей.

Данный раздел не изучается студентами гуманитарных специальностей.

Назад и достаточного). Алгебра предикатов. Логические операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

2.2. Графы.* Определение графа. Маршруты на графах. Деревья.

2.3. Основы комбинаторики. Основные правила комбинаторики (правило суммы, правило произведения).

Комбинации объектов (размещения, перестановки, сочетания, размещения с повторениями, перестановки с повторениями, сочетания с повторениями).

Раздел 3. Элементы линейной алгебры** 3.1. Матрицы. Основные определения. Детерминант (определитель) квадратной матрицы. Действия над матрицами (равенство матриц, сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц, транспонирование матриц). Обратная матрица. Матрицы в биологических исследованиях (популяционные матрицы, матрицы рационов).

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии и математического анализа** 4.1. Элементы аналитической геометрии. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Полярные координаты. Геометрическое истолкование уравнения с двумя переменными. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. Уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Каноническое уравнение окружности. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

4.2. Предел и непрерывность. Предел числовой последовательности. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах и их применение. Непрерывность функции. Простейшие биологические явления, которые описываются непрерывными или разрывными функциями.

4.3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Задача о скорости химической реакции.

Понятие производной и ее геометрический смысл. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Дифференциал функции. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы. Построение графиков функций.

4.4. Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Биологические приложения определенного интеz z Назад грала (численность популяции, биомасса популяции, средняя длина полета).

4.5. Функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремальные значения функций многих переменных.

4.6. Дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнения первого порядка, его общее решение и начальные условия. Частные случаи дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения. Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения в биологии (динамика численности популяции, дифференциальные уравнения в теории эпидемий, плотность муравьев вне муравейника, рост листьев растения, рост дерева).

Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики 5.1. Событие и вероятность. Случайные события и предмет теории вероятностей. Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Геометрические вероятности. Применение комбинаторики к подсчету вероятности. Правила сложения вероятностей. Условные вероятности. Вероятность произведения независимых событий. Формула полной вероятности.

Формула Байеса. Формула Бернулли.

5.2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Непрерывные случайные величины. Некоторые законы распределения случайных величин.

5.3. Элементы математической статистики.

5.3.1. Выборка. Эмпирические законы распределения. Числовые характеристики статистического распределения.

5.3.2. Оценка числовых характеристик. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия. Интервальные оценки параметров.

5.3.3. Метод наименьших квадратов. Корреляционная связь.

5.3.4. Статистическая проверка гипотез.

Назад ТД-E.069 Основы высшей математики

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Введение Предмет высшей математики. Исторические сведения. Роль и место математики в гуманитарных науках и социологических исследованиях.

Раздел 1. Элементы теории множеств и их применение к социальным объектам 1.1. Множества. Понятие множества. Примеры множеств в социологии. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна. Декартово произведение двух множеств. Применение теории множеств к анкетным опросам и социальным группам.

1.2. Бинарные отношения. Понятие и примеры бинарных отношений в социологических исследованиях.

Свойства бинарных отношений. Моделирование социальных процессов с помощью бинарных отношений.

1.3. Доли и проценты. Решение задач на нахождение долей и процентов. Примеры использования долей и процентов в таблицах социологических опросов и анализе социологической информации.

Раздел 2. Элементы линейной алгебры в социально-экономической сфере 2.1. Матричное исчисление. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядков и их свойства. Использование матриц при решении задач с экономическим и социологическим содержаниями.

2.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Математические модели в экономике и социологии в виде систем линейных алгебраических уравнений.

Назад Раздел 3. Основы математического анализа в социально-экономической сфере 3.1. Функции одной вещественной переменной, пределы. Основные сведения о функциях. Примеры функций из психологии, экономики и социологии. Понятие предела функции. Использование пределов в экономике и социологии.

3.2. Основы дифференциального исчисления. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее экономический смысл. Основные правила дифференциального исчисления. Предельные показатели в экономической сфере. Примеры использования производной в социологии и психологии.

3.3. Основы интегрального исчисления. Понятие неопределенного и определенного интегралов. Интегрирование простейших функций. Применение интегрального исчисления в экономике и социологии. Прогнозирование социально-экономических показателей.

Раздел 4. Элементы теории вероятностей в социологических исследованиях 4.1. Комбинаторика. Основные принципы комбинаторики. Выбор без повторений и с повторениями. Использование элементов комбинаторики для обработки и анализа социологических данных.

4.2. Случайные события. Понятие вероятности. Понятие случайности в социальных исследованиях. Случайные события и их классификация. Статистическое и классическое определение вероятностей. Свойства вероятностей. Вероятностное истолкование результатов социологических исследований.

4.3. Основные теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Независимые события, условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Использование основных теорем теории вероятностей в социологии.

4.4. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения случайных величин. Случайные величины и их числовые характеристики. Примеры случайных величин в социологии. Функция распределения и ее свойства. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Примеры использования законов распределения и их роль в социологических исследованиях.

Раздел 5. Основы математического моделирования в социологии 5.1. Математическое моделирование социальных процессов. Типы математических моделей. Математические модели в социологии. Математическая модель конфликтной ситуации.

5.2. Элементы теории игр в социологии. Матричные игры. Статистические игры. Биматричные игры и социальное поведение. Многокритериальные задачи и проблема социального выбора.

Назад ние графов как наглядного способа описания социальных отношений. Связь между графами и иерархической классификацией.

Назад ТД-G.145 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Введение 1.1. Предмет высшей математики. Исторические сведения. Роль ученых Беларуси в развитии математики.

Понятие о роли математики в биологии.

Раздел 2. Алгебра и аналитическая геометрия 2.1. Комплексные числа. Арифметическая форма комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.

2.2. Определители и матрицы. Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства. Матрицы, линейные действия над ними. Использование матриц и определителей при решении задач с биологическим и химическим содержаниями.

2.3. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса. Метод Крамера. Использование систем линейных уравнений при решении задач в биологии, химии и физике.

2.4. Метод координат. Координаты на прямой. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярные координаты на плоскости. Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Уравнение линии на плоскости. Пересечение линий. Параметрические уравнения линии.

2.5. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Пучок прямых. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Использование методов аналитической геометрии при решении задач с биологическим содержанием.

Назад Раздел 3. Математический анализ 3.1. Функции и пределы. Предел последовательности. Число е. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы. Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах функций.

Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва. Натуральные логарифмы. Предельные циклы в биологических моделях.

3.2. Производные и дифференциалы. Производная, ее геометрический, физически, биологический и химический смыслы. Уравнения касательной и нормали к линии. Основные правила дифференцирования. Основные формулы дифференцирования. Дифференциал функции (геометрический, физический и биологический смыслы, свойства, приложения). Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Бернулли-Лопиталя. Экстремум функции. Направления выпуклости графика, точки перегиба, асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Прикладные задачи из биологии, физики и химии. Приближенное решение уравнений: отделение корней, метод деления отрезка пополам, метод касательных, метод итераций.

3.3. Неопределенный интеграл. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование простейших рациональных и иррациональных функций.

3.4. Определенный интеграл. Определенный интеграл как предел интегральной суммы; геометрический смысл, основные свойства, теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения интегралов в физике, математике, биологии, химии и медицине.

3.5. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, частные производные, полный дифференциал, экстремум функции нескольких переменных. Эмпирические формулы. Примеры использования функций не- скольких переменных в биологии, физике, химии и медицине.

3.6. Дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные в полных дифференциалах. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения второго порядка. Системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в биологии, химии, физике (закон охлаждения тела, закон поглощения света Бугера-Ламберта-Бера, закон поглощения ионизирующих излучений веществом, законы реакций 1-го, 2-го и 3-го порядков, закон размножения бактерий с течением времени, закон роста клеток с течением времени, закон разрушения клеток в звуковом поле, закон Назад тематические модели роста численности популяций Мальтуса, Ферхюльста и Вольтерра).

3.7. Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение основных элементов функций в степенные ряды. Приложения рядов в приближенных вычислениях. Прикладные задачи биологии, физики и химии.

Раздел 4. Теория вероятностей и математическая обработка результатов измерений 4.1. Элементы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона.

4.2. Основы теории вероятностей. Классификация событий. Случайные события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость случайных событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Закон распределения дискретной случайной величины.

Математическое ожидание, дисперсия, их свойства. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Функция распределения. Плотность распределения. Равномерное распределение. Нормальное распределение.

Цепи Маркова. Биологические и экологические модели.

4.3. Элементы математической статистики. Случайная выборка и закон ее распределения. Эмпирическая функция распределения. Оценки параметров функции распределения по выборке. Надежность. Доверительный интервал. Понятие корреляционной зависимости. Приложения элементов математической статистики к решению задач с биологическим, физическим и химическим содержаниями.

4.4. Математические методы обработки результатов измерений. Изме рение и их погрешность. Приложение методов математической статистики к обработке результатов измерений. Оценка точного значения измеряемой величины. Оценка точности измерений. Метод наименьших квадратов в химии и биологии. Применение математических методов при изучении и прогнозировании биологических явлений.

Назад ТД-G.156 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Аналитическая геометрия и основы алгебры 1.1. Метод координат. Действительные числа как координаты точек на прямой. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос и поворот осей координат. [Деление отрезка в заданном отношении]. Координаты центра масс. Полярные координаты на плоскости. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. [Аффинная система координат]. Задачи о кристаллической решетке.

1.2. Прямая па плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

1.3. Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола; их уравнения и основные свойства. Окружность.

1.4. Матрицы и определители. Основные определения. Алгебра матриц. Определители n-го порядка и их свойства. Обратная матрица. [Теорема существования и единственности обратной матрицы]. Ранг матрицы.

1.5. Системы линейных уравнений. Формы записи линейных систем. Совместимые и несовместимые, определенные и неопределенные системы. Метод Гаусса. Правило Крамера. Критерии совместимости и определенности линейных систем. Однородная система линейных уравнений. Задачи о приготовлении сложных смесей.

Задачи экологической безопасности.

1.6. Векторная алгебра. Определение вектора. Условия коллинеарности и компланарности двух векторов.

Радиус-вектор точки. Орты, направляющие косинусы вектора. Линейная зависимость и независимость векторов.

1.7. Скалярное произведение двух векторов и его свойства; выражение через координаты сомножителей.

Угол между векторами; условия параллельности и ортогональности векторов.

1.8. Векторное произведение двух векторов и его свойства; выражение через координаты сомножителей Назад Момент силы.

1.9. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства, выражение через координаты сомножителей (в виде определителя), условие компланарности трех векторов.

1.10. Плоскость и прямая в пространстве. Уравнение плоскости. Уравнения прямой: канонические, параметрические, векторное. Угол между двумя плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

1.11. Простейшие поверхности. Понятие об уравнении поверхности. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения второго порядка. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Канонические уравнения поверхности.

1.12. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формула Муавра.

1.13. Линейные пространства. Линейное (векторное) пространство. Подпространство. Линейная зависимость и линейная независимость элементов линейного пространства. Базис и размерность. Изоморфизм линейных пространств. Сумма и пересечение подпространств] Линейные пространства атомных и молекулярных составляющих (построение атомной матрицы).

1.14. Линейное преобразование (линейный оператор) и его матрица. Ранг линейного оператора. Характеристическое уравнение и собственные векторы линейного оператора. [Инвариантные подпространства]. Евклидовы пространства. Ортогональные, унитарные, эрмитовы операторы. [Квадратичные формы].

1.15. Группы. Определение группы, примеры групп. Подгруппа. Группа лилейных преобразований: группа вращений, группа симметрических преобразований. Группа симметрии молекул формальдегида, аммиака. [Изоморфизм и гомоморфизм групп]. Линейные представления конечных групп. [Изоморфные представления]. Прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Характеры представлений и их свойства. [Разложение приводимого представления на неприводимые]. Растворы образованные двумя полярными компонентами.

Раздел 2. Математический анализ 2.1. Функции и пределы. Определение функции. Последовательности как пример функции. Предел последовательности. Сходящиеся и монотонные последовательности. Число е. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы. Бесконечно малые, бесконечно большие, ограниченные и неограниченные функции. Сравнеz z Назад ние бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сложные функции.

2.2. Непрерывные функции и их свойства, непрерывность сложной функции. Классификация точек разрыва.

2.3. Производные и дифференциалы. Производные элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Скорость реакции Дифференцирование сложной функции, неявной, параметрически заданной, вектор-функции и др. Дифференциал функции. Уравнение материального баланса.

2.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Формулы конечных приращений Лагранжа и Копти. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределенностей. Формула Тейлора.

2.5. Локальный экстремум функции. Исследование локального экстремума с помощью первой и второй производных. Глобальный экстремум. Направление вогнутости графика функции, точки перегиба. Асимптоты.

Исследование функций и построение их графиков. Задача о максимальной концентрации промежуточного вещества в случае двухстадийной и автокаталитической реакции. Приближенное решение конечных уравнений:

отделение корней, метод направленного перебора, метод хорд, метод касательных, [итерационный метод].

2.6. Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование рациональных функций, простейших иррациональных и трансцендентных выражений.

2.7. Определенный интеграл. Интегральные суммы, определенный интеграл, его геометрическое толкование. Основные свойства. Теорема о среднем, формула Ньютона-Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги, площади поверхности вращения, работы; статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс. Математическое описание процесса перегонки. Алгоритмы численного интегрирования.

2.8. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от неограниченных функций. Абсолютная сходимость несобственного интеграла Признаки сравнения. Интеграл Эйлера-Пуассона (сходимость, вычисление значения).

2.9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. [Множества в n-мерном пространстве, замкнутые и открытые множества, области, компакты]. Функции n переменных (n = 2, 3). Предел и непрерывность функции п переменных. Частные производные и дифференциалы первого и более высоких порядков.

[Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования].

2.10. Экстремум функции двух переменных. Описание процесса последовательной экстракции. Интерполяция и аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов (МНК). Условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Определение константы скорости реакций.

2.11. Касательная к пространственной линии, касательная плоскость, нормаль к поверхности. [Теорема о Назад существовании неявной функции].

2.12. Скалярные и векторные поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Физикохимические приложения.

2.13. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, приложения. Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, приложения.

2.14. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам, вычисление, приложения.

2.15. Циркуляция векторного поля. Формула Грина. Критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

2.16. Интегралы по поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Ротор векторного поля. Формулы Остроградского и Стокса. Критерий потенциальности векторного поля. Операторы Лапласа и Гамильтона.

2.17. Ряды. Сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение, предельный признак сравнения, признаки Коши, Даламбера, интегральный признак. Гармонический ряд, геометрический ряд. Описание десорбционных процессов.

Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Ряд Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Действия над рядами.

2.18. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

Формула Эйлера.

2.19. Ряды Фурье. Формулы для вычисления коэффициентов. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций. Теорема о сходимости ряда Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.

Преобразование Фурье.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Существование и единственность решения. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах. Определение порядка реакции, радиоактивный распад. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Численное решение дифференциальных уравнений; обобщение метода Эйлера в методах Рунге-Кутта.

3.2. Дифференциальные уравнения второго порядка: случаи понижения порядка. Системы независимых Назад функций. Функциональный определитель Вронского. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: структура решений однородного и неоднородного уравнений. Кинетические уравнения.

3.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: построение общего решения. Задача Коши. Уравнения колебаний.

3.4. Некоторые дифференциальные уравнения n-го порядка, допускающие интегрирование; уравнения с правыми частями специального вида. Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений. [Существование и единственность решения].

3.5. Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия. Линейные уравнения с частными производными первого порядка. Уравнения движения идеальной жидкости. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Линейные уравнения второго порядка: волновое уравнение, уравнение теплопроводности. Задачи о диффузии. Метод Фурье. Задача Коши и граничные задачи для уравнений параболического типа. Задачи о загрязнении окружающей среды. Задача Коши и граничные задачи для уравнений гиперболического типа. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле. Задача Дирихле для круга. Краевые задачи для стационарных уравнений. Система уравнений Максвелла. Уравнение Шредингера. Расчет энергетических уровней и волновых функций частицы.

Назад Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика 4.1. Основы теории вероятностей. Математические модели случайных процессов в практике химических экспериментов и в построении экологических проектов. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Схема Бернулли. [Аксиоматика А. А. Колмогорова]. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Формулы Байеса.

4.2. Случайные величины. Функции распределения случайных величин и их свойства. Дискретные случайные величины. Непрерывные (абсолютно непрерывные) случайные величины. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания значений случайные величины в заданный интервал.

4.3. Функции случайных величин. Задача о случайном блуждании частицы.

4.4. Совместное распределение случайных величин. Условная вероятность. Дискретные двумерные случайные величины. Непрерывные двумерные случайные величины. Плотность распределения вероятностей двумерных. Формулы умножения плотностей. Вероятность попадания значений случайных величин в заданный интервал, n-мерные случайные величины.

4.5. Числовые характеристики случайных величин и их свойства. Характеристики положения: математическое ожидание, мода медиана, квантили, критические точки. Характеристики рассеяния: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Начальный и центральный моменты k-го порядка. Числовые характеристики и их свойства двухмерных случайных величин. Корреляционный момент, коэффициент корреляции. [Ковариационная матрица]. Задачи о среднем содержании примеси и отклонениях от него в веществе.

4.6. Основные распределения. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Исследование нормальной функции плотности. Равномерное распределение. Показательное распределение. Характеристическая функция случайной величины. Законы сложения распределений случайных величин. Основные статистические распределения. Гамма-распределение, t-распределение Стъюдента, распределение хи-квадрат Пирсона, хи-распределение, F -распределение Фишера-Седекора. Вычисление квантилей и критических точек. Задача о распределении примеси в пробах. Вероятностная модель кинетики перемешивания.

4.7. Закон больших чисел, предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел Чебышева. Закон больших чисел Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа. Примеры экологических моделей.

Назад тод. Вероятностная модель выборки. Вариационные ряды. Статистическое распределение и его числовые характеристики. Статистическая (эмпирическая) функция распределения. Числовые характеристики дискретных и интервальных вариационных рядов. Графическое изображение вариационных рядов: гистограмма, полигон частот (относительных частот), кумулята, огива.

4.9. Статистическое оценивание. Точечное оценивание. Свойства оценок. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия (ММП). Построение доверительных интервалов для математического ожидания нормально распределенных случайных величин. Построение доверительных интервалов для дисперсии нормально распределенных случайных величин. Задачи о выбраковке результатов химического анализа.

4.10. Статистическая проверка статистических гипотез. Проверка статистических гипотез. Общая схема построения статистических критериев. Критерии значимости для параметров нормально распределенных совокупностей. Мощность критерия. Ошибки 1-го и 2-го рода. Методы построения оптимальных критериев. Критерии согласия. Критерий 2 построения оптимальных критериев. Критерии согласия. Критерий 2 Пирсона. критерий Колмогорова. Критерий Смирнова.

4.11. Элементы регрессионного и корреляционного анализа. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов. [Связь МНК и ММП]. Свойства МНК-оценок. Эмпирическая функция регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Свойства и проверка значимости выборочного коэффициента корреляции. Задача об определении гидратного числа при экстракции карбоновой кислоты. Множественная линейная регрессия. Регрессионная модель общего вида. Построение доверительных интервалов для регрессионных кривых при статистической обработке эксперимента. Математическая обработка результатов наблюдений с помощью современных компьютерных программ.

Примечание.

1. Практические занятия проводятся по всем разделам курса высшей математики. Перечень практических занятий утверждает кафедра, которой поручено чтение лекций по курсу математики.

2. По согласованию с кафедрами химического профиля утверждается перечень задач, связанных с применением математических объектов в химии, экологии и химической технологии.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТЕМЫ ТЕСТОВ

1. Основные понятия и методы школьного базового курса.

2. Элементы комбинаторики и математической логики.

3. Задачи матричной алгебры.

Назад 4. Векторы. Системы координат.

5. Дифференцирование функции одной действительной переменной.

6. Неопределенный интеграл от функции одной действительной переменной.

7. Применение производной и определенного интеграла в химии и экологии.

8. Дифференцирование функций многих действительных переменных.

9. Интегрирование функций многих действительных переменных.

10. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.

11. Сходимость рядов.

12. Линейные пространства. Начала теории групп.

13. Дифференциальные уравнения в частных производных.

14. Теория вероятностей.

15. Методы математической статистики.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Основы алгебры (матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений).

2. Аналитическая геометрия (на плоскости и в пространстве).

3. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной действительной переменной.

4. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих действительных переменных.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения и ряды.

6. Дифференциальные уравнения в частных производных. Элементы теории поля.

7. Теория вероятностей (случайные события, случайные величины, закон больших чисел, предельные теоремы).

8. Математическая статистика (выборочный метод, статистическое оценивание и проверка статистических гипотез, элементы регрессионного и корреляционного анализа).

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТЕМЫ КОЛЛОКВИУМОВ

1. Комплексные числа.

2. Основные понятия и теоремы матричной алгебры.

3. Основные формулы и теоремы аналитической геометрии.

4. Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной действительной переменной.

Назад 5. Ряды и их приложения.

6. Основные понятия и теоремы теория поля.

7. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

8. Закон больших чисел и предельные теоремы.

9. Основные теоремы вероятностей событий.

10. Основные понятия теории групп.

11. Численные методы.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ

1. Математика и химические постоянные.

2. Элементы теории погрешности эксперимента.

3. Функции от матриц.

4. Основные законы распределения случайных величин и их применение в химии и экологии.

5. Закон Бугера-Ламберта-Бера.

6. Седиментация частиц в жидкости.

7. Модели очистки грунтовых вод.

8. Уравнение Аррениуса и метод наименьших квадратов.

9. Математические методы решения обратной задачи кинетики.

10. Жидкие кристаллы: математическое описание физико-химических характеристик.

11. Построение и исследование линий рабочих концентраций.

12. Численные методы в химии.

13. Математические модели кристаллических решеток.

14. Кинетика последовательно-параллельных реакций второго и третьего порядка.

15. Исследование адекватности: опыт и теория.

16. Применение закона больших чисел и предельных теорем в экологии.

17. Стехиометрическое правило Гиббса.

18. Математическое исследование колебаний многоатомных молекул.

19. Кинетика химической реакции в условиях диффузии.

20. Математические методы компьютерной химии.

21. Статистическая обработка результатов химического эксперимента.

Назад ТД-H.001 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1.1. Основы теории матриц. Определение матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Операция транспонирования. След квадратной матрицы и его свойства. Символ Кронекера.

Блочное представление матриц.

1.2. Определитель квадратной матрицы. Ассоциированные матрицы и обратные матрицы. Понятие о перестановках. Некоторые свойства перестановок. Определитель (детерминант) квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Свойства определителя. Обратные матрицы. Вырожденные матрицы. Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования матриц. Преобразования подобия.

1.3. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Неоднородные системы линейных уравнений. Условие совместности. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный метод. Однородные системы линейных уравнений.Тривиальные и нетривиальные решения. Критерий существования нетривиальных решений. Фундаментальная система решений.

1.4. Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве. Системы координат. Простейшее представление о евклидовом пространстве. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Вектор перемещения. Радиус-вектор. Вектор как направленный отрезок. Координаты вектора.

Простейшие алгебраические операции над векторами. Коллинеарные векторы. Критерий коллинеарности векторов. Единичный вектор. Деление отрезка в заданном отношении. Понятие о линейной (не)зависимости. Компланарные векторы. Понятие о базисных векторах. Разложение вектора по базису.

1.5. Основы векторной алгебры. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на направление (геометрический смысл скалярного произведения). Направляющие косинусы. Представление скалярного произведения векторов через их декартовы компоненты. Критерий ортогональности. Векторное произведение векторов.

Назад Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения). Ориентация. Векторное произведение в декартовом базисе. Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда (геометрический смысл смешанного произведения). Критерий компланарности векторов.

1.6. Преобразования координат. Параллельный перенос (трансляция) декартовой системы координат. Поворот декартовой системы координат. Запись преобразований поворота систем координат в матричном виде.

Понятие о криволинейных системах координат. Простейшие криволинейные системы на плоскости и в пространстве (полярная, цилиндрическая, сферическая).

1.7. Прямые и плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположении прямых. Виды уравнений плоскости в пространстве. Критерии параллельности и ортогональности плоскостей, расстояние между параллельными плоскостями. Виды уравнений прямой в пространстве. Критерии параллельности и ортогональности прямых, расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми.

1.8. Кривые на плоскости. Общее понятие кривой на плоскости. Алгебраические кривые. Кривые второго порядка на плоскости. Парабола. Свойства параболы. Эллипс. Свойства эллипса. Гипербола. Свойства гиперболы. Уравнения кривых второго порядка на плоскости с осями симметрии параллельными осям координат.

1.9. Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве. Общее понятие поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Канонические типы поверхностей второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве. Эллипсоид. Двуполостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид. Конус второго порядка.

Кривые второго порядка на плоскости как конические сечения. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Эллиптический цилиндр. Гиперболический цилиндр. Параболический цилиндр. Вырожденные случаи.

1.10. Квадратичные формы. Определение и классификация квадратичных форм. Приведение квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа). Приложения: критерий типа кривых и поверхностей второго порядка. Примеры использования квадратичных форм в физике.

1.11. Линейные пространства. Определение линейного пространства и подпространства. Примеры линейных пространств. Понятие линейной комбинации векторов. Определение линейной (не)зависимости. Некоторые критерии линейной (не)зависимости. Базисы. Размерность линейного про- странства. Понятие гомоморфизма линейных пространств. Изоморфизм линейных пространств. Преобразование базиса как преобразование изоморфизма. Норма вектора. Скалярное произведение векторов. Вещественное евклидово скалярное произведение. Строгое определение вещественного евклидова пространства. Ортонормированные базисы.

Назад ственные значения линейного оператора. Ортогональные матрицы. Ортогональные операторы. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор.

Раздел 2. Математический анализ 2.1. Множества. Функция. Множество и его элементы. Простейшие операции над множествами. Числовые множества. Множество действительных чисел. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точная верхняя и нижняя грани множеств. Множество комплексных чисел и действия над ними. Изображение комплексных чисел. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность функции.

Сложная и обратная функции. Элементарные функции и их классификация.

2.2. Числовая последовательность. Понятие числовой последовательности. Монотонность и ограниченность последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел числовой последовательности. Число е.

2.3. Предел и непрерывность функции. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций.

2.4. Дифференциальное исчисление функций одной переменой. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Основные правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций, дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Дифференциал функции, его основные свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя. Формула Тейлора и ее применение в приближенных вычислениях. Применение производной к исследованию функций (монотонность, экстремумы, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

2.5. Неопределенный интеграл. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод подстановки и метод интегрирования по частям. Понятие рациональной функции, разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных, тригоz z Назад нометрических и иррациональных функций.

2.6. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Существование определенного интеграла для непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла и его оценка. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения, статические моменты и координаты центра тяжести пластин). Несобственные интегралы первого и второго рода.

2.7. Теория рядов. Понятие числового ряда, сумма и остаток ряда. Сходимость и расходимость рядов. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости рядов. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда, почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Понятие степенного ряда. Область и радиус сходимости степенного ряда. Теоремы Абеля и Коши-Адамара. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора.

Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Тригонометрический ряд Фурье, достаточные условия разложения функции в ряд Фурье.

2.8. Функции нескольких переменных. Понятие об n-мерном евклидовом пространстве. Ограниченные и замкнутые множества. Область и ее граница. Понятие функции нескольких переменных. График функции. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцирование сложной функции. Неявные функции одной и двух переменных. Дифференцирование не- явных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области. Условный экстремум.

2.9. Интегральное исчисление для функций нескольких переменных. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройные интегралы, их свойства и способы вычисления. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Важнейшие приложения тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого и второго рода: определение, свойства и вычисление.

Назад новные приложения. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.

2.10. Элементы теории поля. Скалярное и векторное поля. Производная по заданному направлению. Градиент скалярного поля. Циркуляция вектора. Ротор векторного поля. Оператор Лапласа и его связь с дивергенцией и градиентом. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения 3.1. Основные определения Понятие дифференциального уравнения. Роль дифференциальных уравнений в естественных науках. Виды дифференциальных уравнений, существование и единственность решения, первые интегралы, полные интегралы, общие интегралы. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Задача Коши. Существование и единственность решения. Зависимость решения от начальных значений и параметров. Теорема Пикара. Понятие об интегральных кривых. Изоклины.

3.2. Типы обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения, интегрируемые в квадратурах: уравнение, не содержащее искомой функции; уравнение с разделяющимися переменными; однородное уравнение; уравнение в полных дифференциалах; уравнение, допускающее интегрирующий множитель; линейное неоднородное уравнение (решение методом Лагранжа); уравнение Бернулли; уравнение Риккати. ОДУ первого порядка, не разрешенные относительно производной: уравнение Лагранжа, уравнение Клеро. Случаи понижения порядка ОДУ (уравнение, не содержащее искомой функции и ее производных до n-го порядка включительно; уравнение, не содержащее независимых переменных; уравнение, однородное относительно искомой функции и всех ее производных).

3.3. Линейные ОДУ. Принцип суперпозиции. Линейная независимость и фундаментальная система решений. Вронскиан. Фундаментальная система решений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случаи вещественных, комплексных, чисто мнимых и кратных корней. Понятие о краевой задаче для уравнения второго порядка и о функции Грина.

3.4. Одномерное движение. Свободные колебания. Период колебаний. Пружинный маятник. Математический маятник. Случай гармонических колебаний. Понятие о нелинейных (ангармонических) колебаниях на примере математического маятника. Сложение гармонических колебаний (метод векторных диаграмм). Классификация решений. Затухающие колебания. Декремент затухания. Применение метода Лагранжа для неоднородных ОДУ 2-го порядка. Случай вынужденных колебаний. Резонанс.

3.5. Системы линейных ОДУ. Общие свойства. Запись систем в симметрической форме. Нахождение интегрируемых комбинаций. Повышение порядка уравнений за счет сокращения их числа. Сведение уравнений высокого порядка в систему уравнений более низкого порядка. Запись систем ОДУ в матричной форме. Системы Назад ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами. Случай переменных коэффициентов.

3.6. Понятие об устойчивости решений ОДУ и систем ОДУ. Понятие о фазовом пространстве дифференциального уравнения и фазовых траекториях. Устойчивость решений по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

Точки покоя (узел, седло, фокус, центр). Траектории в окрестности точки покоя.

3.7. Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП) первого порядка. Общие определения.

Линейные и квазилинейные уравнения. Задача Коши. Краевая задача. Некоторые примеры ДУЧП первого порядка. Системы ДУЧП первого порядка.

3.8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда. Существование и единственность решения. Понятие о специальных функциях.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1. Матрицы и действия с ними.

2. Определитель матрицы и способы его вычисления.

3. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений и методы их решения.

5. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

6. Способы задания прямой на плоскости. Прямые и плоскости в трехмерном пространстве.

7. Кривые второго порядка на плоскости.

8. Поверхности второго порядка.

9. Квадратичные формы.

10. Линейные пространства.

11. Линейные операторы.

Раздел 2. Математический анализ 1. Числовые множества. Комплексные числа и действия с ними.

2. Функции и их свойства.

3. Предел числовой последовательности.

4. Предел функции.

Назад 5. Непрерывность функции и точки разрыва.

6. Производная функции.

7. Дифференциал функции.

8. Применение производной к исследованию функций и построение их графиков.

9. Неопределенный интеграл.

10. Определенный интеграл и его приложения.

11. Несобственные интегралы.

12. Числовые ряды.

13. Степенные ряды.

14. Функции нескольких переменных, предел и непрерывность функций.

15. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных.

16. Экстремумы функции двух переменных.

17. Криволинейные интегралы.

18. Двойные интегралы.

19. Тройные интегралы.

20. Элементы теории поля.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения 1. Интегральные кривые. Изоклины.

2. Уравнения, интегрируемые в квадратурах (уравнение, не содержащее искомой функции; уравнение, не содержащее независимой переменной; уравнение с разделенными переменными, уравнение с разделяющимися переменными, однородные уравнения).

3. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, допускающие интегрирующий множитель.

4. Линейные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.

5. Уравнения высших порядков (случаи понижения порядка).

6. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.

7. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.

8. Линейные однородные ОДУ с постоянными вещественными коэффициентами. Случаи простых и кратных вещественных корней характеристического уравнения. Случаи простых и кратных комплексных корней характеристического уравнения.

Назад 9. Линейные неоднородные ОДУ второго порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Квазиполином Эйлера. Метод Лагранжа.

10. Задачи на составление дифференциальных уравнений.

11. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Сведение системы к ДУ высшего порядка.

12. Решение систем путем нахождения интегрируемых комбинаций.

13. Матричный метод решения на примере системы из двух уравнений первого порядка.

14. Устойчивость решений ОДУ.

15. Линейные и квазилинейные ДУЧП первого порядка. Системы ДУЧП первого порядка.

Назад ТД-H.009 Высшая математика для высших учебных заведений по направлениям образования:

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Матрицы Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Произведение матриц. Обратная матрица.

Матричные уравнения и их решение.

Раздел 2. Определитель квадратной матрицы Понятие о перестановках. Свойства перестановок. Определитель квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Нахождение обратной матрицы. Вырожденные матрицы. Ранг матрицы.

Раздел 3. Системы линейных уравнений Матричная запись системы линейных уравнений. Определители и их основные свойства. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Правило Крамера. Понятие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

Раздел 4. Основы векторной алгебры Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства. Векторное произведение двух векторов.

Векторно-скалярное произведение трех векторов.

Раздел 5. Система координат на плоскости Назад Понятие о системе координат на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угловой коэффициент прямой. Взаимное расположение двух прямых. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.

Условие перпендикулярности двух прямых.

Раздел 6. Кривые второго порядка на плоскости Эллипс и его каноническое уравнение. Директрисы эллипса. Параметрическое уравнение эллипса. Гипербола и ее каноническое уравнение. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Уравнение гиперболы, отнесенное к асимптотам. Парабола и ее каноническое уравнение.

Раздел 7. Система координат в пространстве Общее уравнение плоскости. Направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Раздел 8. Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве Понятие об уравнениях поверхности второго порядка. Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Конус второго порядка. Эллиптический параболоид. Цилиндры второго порядка. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Раздел 9. Множества. Функция. Числовая последовательность Определение функции. Числовые последовательности. Сходящиеся числовые последовательности. Существование предела монотонной последовательности (без доказательства). Число е. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы.

Раздел 10. Предел и непрерывность функции Понятие о непрерывных функциях. Монотонная непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Непрерывность элементарных функций. Свойства функций непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Непрерывные и разрывные функции в биологии.

Назад Раздел 11. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная функции. Ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная неявной функции. Производная функций, заданных параметрически. Производная степенно-показательной функции. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Принцип линейности. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Исследование функций с помощью производной. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графика функции.

Раздел 12. Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства не- определенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

Раздел 13. Определенный интеграл Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Применение способов подстановки и интегрирования по частям. Приложения определенных интегралов в геометрии (к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения), физике и биологии. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.

Раздел 14. Функции нескольких переменных Функции нескольких независимых переменных. Предел. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Поверхности уровня. Градиент функции. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Ус- ловный экстремум.

Назад Раздел 15. Дифференциальные уравнения первого порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения первого порядка и его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства). Решения дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных).

Раздел 16. Дифференциальные уравнения второго порядка Решение некоторых дифференциальных уравнений высшего порядков, допускающих понижение порядка.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 17. Применение линейных дифференциальных уравнений второго порядка Примеры использования обыкновенных дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов (химические реакции, дифференциальные модели в экологии)

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Матрицы и действия с ними.

2. Определитель матрицы и способы его вычисления.

3. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений и методы их решения.

5. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

6. Способы задания прямой на плоскости. Прямые и плоскости в трехмерном пространстве.

7. Кривые второго порядка на плоскости.

8. Поверхности второго порядка.

9. Числовые множества. Комплексные числа и действия с ними.

10. Функции и их свойства.

11. Предел числовой последовательности.

12. Предел функции.

13. Непрерывность функции и точки разрыва.

14. Производная функции.

Назад 15. Дифференциал функции.

16. Применение производной к исследованию функций и построение их графиков.

17. Неопределенный интеграл.

18. Определенный интеграл и его приложения.

19. Несобственные интегралы.

20. Функции нескольких переменных, предел и непрерывность функций.

21. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных.

22. Экстремумы функции двух переменных.

23. Уравнения первого порядка: уравнение с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах.

24. Линейные уравнения первого порядка.

25. Уравнения, допускающие интегрирующий множитель.

26. Уравнения высших порядков (случаи понижения порядка).

27. Линейные однородные ДУ с постоянными вещественными коэффициентами. Случаи простых и кратных вещественных корней характеристического уравнения. Случаи простых и кратных комплексных корней характеристического уравнения.

28. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными вещественными коэффициентами и специальной правой частью.

Назад ТД-I.047 Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по направлениям образования 1-39 Радиоэлектронная техника, по специальностям 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации, 1-53 Информационные технологии и управление в технических системах, 1-54 01 04 Метрологическое обеспечение информационных систем и сетей, 1-58 01 01 Инженерно-психологическое обеспечение информационных технологий, 1-98 01 02 Защита информации в телекоммуникациях

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1.1. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Проекция вектора на ось и на вектор. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова система координат. Радиус-вектор и координаты точки. Деление отрезка в данном отношении. Полярная система координат.

1.2. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Условие ортогональности двух векторов. Скалярное произведение в координатной форме.

1.3. Определители второго и третьего порядка и их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Теорема Лапласа. Линейные алгебраические системы второго и третьего порядка. Правило Крамера.

1.4. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Понятие двойного векторного произведения и его физический смысл. Векторное произведение в координатной форме. Условие коллинеарности векторов.

1.5. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трех векторов.

1.6. Кривая на плоскости и способы ее задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Назад ных координатах.

1.8. Понятие поверхности и кривой в пространстве, их параметрические уравнения. Плоскость в пространстве и различные формы ее задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

1.9. Прямая в пространстве, ее канонические и параметрические уравнения. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися и параллельными прямыми.

1.10. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Технические приложения геометрических свойств поверхностей.

1.11. Матрицы и линейные операции над ними, умножение матрицы на вектор. Произведение матриц. Транспонирование матриц. След матрицы.

1.12. Перестановки и транспозиции. Определители n-го порядка и их свойства. Определитель произведения матриц.

1.13. Обратная матрица и ее построение методом присоединенной матрицы и методом Гаусса. Свойства обратных матриц.

1.14. Системы линейных алгебраических уравнений, общие понятия. Матричный способ решения линейных систем. Формулы Крамера, метод Гаусса.

1.15. Линейные пространства. Подпространство и линейная оболочка. Линейная зависимость векторов, базис и размерность линейного пространства.

1.16. Ранг матрицы и его вычисление. Условие равенства нулю определителя. Теорема о базисном миноре.