Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет

имени М.В. Ломоносова

В.А. Воробьёв, Ю.В. Березовская

ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ.

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 080800 «прикладная информатика (по областям)» и другим экономическим специальностям Архангельск

ИПЦ САФУ

УДК [512.64+519.21](075.8) ББК 22.143+22.171.5я В Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики Архангельского государственного технического университета В.Н. Попов; кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры информационных тех­ нологий Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова В.В. Березовский; доктор физико-матема­ тических наук, профессор, главный научный сотрудник РНЦ имени Курчатова Л.И. Меньшиков Воробьёв, В.А.

В751 Теория систем и системный анализ. Стохастические системы:

учебное пособие / В.А. Воробьёв, Ю.В. Березовская; Сев. (Арктич.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: ИПЦ САФУ, 2012. - 147 с.

ISBN 978-5-261-00616-Я Большая часть пособия посвящена рассмотрению стохастических систем, точнее эргодических динамических моделей: автономный ве­ роятностный автомат, поток случайных событий, система массового обслуживания, сложные линейные и нелинейные системы. Для ана­ лиза таких систем используются методы теории автоматов, теории ве­ роятностей, теории случайных процессов. Особенно выделяются мар­ ковские процессы, уравнения Колмогорова - Чепмена. Рассмотрены элементы теории массового обслуживания и различные виды систем массового обслуживания. Введены каузальные сети (К-сети) для моде­ лирования сложных систем из взаимодействующих элементов.

Для студентов прикладных математических и экономических специальностей вузов.

УДК [512.64+519.21](075.8) ББК 22.143+22.171.5я ISBN 978-5-261-00616-9 © Воробьёв В.А., Березовская Ю.В., © Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие Условные обозначения Глава 1. Элементы общей теории систем 1.1. Система и системный анализ 1.2. Алгебраические модели систем 1.3. Динамические модели систем Задачи к главе 1 Глава 2. Марковские системы 2.1. Марковские модели систем 2.2. Асинхронные марковские модели 2.3. Элементы теории массового обслуживания Задачи к главе 2 Глава 3. Сложные системы ' 3.1. Сложные системы и синергетика 3.2. Сети Петри : 3.3. Каузальная сеть (К-сеть) 3.4. Динамические модели популяций 3.5. Метод компьютерного моделирования популяций 3.6. Моделирование простых популяций Задачи к главе 3 Библиографический список

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие содержит краткий обзор основных идей общей тео­ рии систем: определение системы и ее основные свойства, проце­ дуры и задачи анализа и синтеза систем, конфигуратор системы, ее общее алгебраическое описание. Основное внимание уделено стохастическим системам, точнее, эргодическим динамическим моделям: автономный вероятностный автомат, поток случайных событий, система массового обслуживания, сложные линейные и нелинейные системы, обладающие синергией, т.е. совместным, согласованным функционированием многих элементов системы.

Последняя глава является оригинальной авторской разработкой.

Таким образом, пособие ориентирует читателя на прикладную те­ орию стохастических систем и современную синергетику.

От студента требуется некоторая математическая культура в пределах обычного курса высшей математики. Дополнительные понятия вводятся по мере надобности: понятия из алгебры и те­ ории алгебраических систем, автоматы, графы переходов, сети Петри и каузальные сети (К-сети), введенные авторами для моде­ лирования синергии сложных систем из взаимодействующих эле­ ментов. К-сети являются основой для популяционного моделиро­ вания сложных систем.

Издание снабжено примерами, поясняющими основные идеи и задачи теоретической части. В конце каждой главы есть сюжет­ ные задачи для самостоятельного решения и разбора на практиче­ ских и лабораторных работах. Как показывает опыт, наибольшие затруднения при решении сюжетных задач у студентов вызывает переход от словесной формулировки к математической. При этом особенно трудно осваивается задание системы интенсивностей переходов в единой системе единиц измерения времени для каж­ дого перехода. В сюжетных задачах эти интенсивности задаются по-разному. Даны рекомендации о порядке решения практических задач.

В теоретической части учебного пособия даны стандартные методы составления уравнений для переходного и стационарного режимов эргодических и синергетических систем. Пользуясь этой методикой, студент может самостоятельно составлять дифферен­ циальные уравнения Колмогорова - Чепмена, уравнения динами­ ки средних для линейных систем и нелинейные уравнения для си­ стем типа хищник-жертва, боевое столкновение, конкуренция за ресурсы и других. Практическая часть представлена примерами, для рассмотрения которых используется программа «Популяция», и задачами для самостоятельного решения. Программа «Популя­ ция» предназначена для компьютерного моделирования сложных линейных и нелинейных систем К-сетями. Она позволяет получать динамические характеристики стохастических систем, не при­ бегая к составлению и решению дифференциальных уравнений.

Пособие включает библиографический список.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

К= {Kj | i = \..п) - конфигуратрр;

А х В - декартово (прямое) произведение множества А на мно­ жество В;

А" - п-я декартова степень множества А;

/: А"—*. В- функция из множества А" в множество В;

А = - алгебра с носителем А и сигнатурой, состоящей из множества отношений Ф;

А = - модель с носителем А и сигнатурой, состоящей из множества предикатов Р\ А = - алгебраическая система с носителем А и сиг­ натурой, состоящей из множества отношений Ф и множества пре­ дикатов Р;

S = - алгебраическая модель системы в общем виде;

5ф - функциональная модель системы S, в которой система представляется «черным ящиком» с известными функциями от­ кликов на воздействия;

S - структурная модель системы S - «белый ящик»;

S - морфологическая модель, в которой показано, как элемен­ ты системы расположены в физическом пространстве;

Р(5ф, ), P(S, S ) - предикаты целостности, указывающие на гомоморфизм между S§ и S или между S и S соответственно;

5 = - динамическая модель системы;

X - множество (вектор) входных переменных, х, € X - компо­ нента вектора X;

Y - множество (вектор) выходных переменных, y € Y — компо­ нента У;

Z - множество (вектор) внутренних переменных - состояний, где Zj е Z;

F - вектор-функция выхода,^- е F - компонента вектор-функ­ ции выхода, где y,{t) =fj[X(t), Z(f)];

G - вектор-функция переходов, g, G G - компонента векторфункции переходов, где z,{f) = g,-[Z(0), Х(т)], т е [0, t];

Х(т) - траектория входа за период времени г - последователь­ ность значений, принимаемых вектором X на множестве моментов системного времени в сегменте г G [0, / ] ;

ZQ = {z (0), z (0), z„(0)} - начальное состояние системы в мо­ мент t = 0;

Autom = - дискретный автомат Мили;

А, В, Q - конечные алфавиты (наборы символов, букв) входа, выхода и внутренних состояний;

/ - функция выхода вида b{t) =f[q(t), a(t));

g - функция переходов вида q(t+\) = g(q(t), a(t));

qa - исходное состояние в момент времени t = 0;

a(t), bit), q(t) - буквы из алфавитов А, В, Q, соответственно, в момент t б Т;

G{Q, V, а : А —>V,ft: В —>V)- граф функционирования дискрет­ ного автомата;

Q - множество вершин, соответствующих состояниям автомата;

V - множество дуг, соответствующих переходам автомата со­ гласно функции переходов g;

а и р - отображения, помечающие дуги графа соответствующи­ ми символами входа и выхода;

G: А х Q —» Q - матрица переходов дискретного автомата, где Sij g(4j> i) ~ новое состояние автомата;

F: А х Q —> В - матрица выходов дискретного автомата, где fij АЧ]> i)~ выход автомата;

С - случайный фактор, переводящий автомат из состояния в со­ стояние;

if : Q —> Р - функция вероятностей переходов автономного ве­ роятностного автомата;

Р - множество вероятностей рц [0, 1] переходов (q —* qj) из i-ro состояния ву'-е, i,j G {0, 1, 2, п } ;

Q II Ptj II стохастическая матрица, задающая вероятности пе­ реходов;

Р= {Р\^2, Р } ~ стохастический вектор, задающий распре­ деление вероятностей состояний;

Е - единичная диагональная матрица;

D - девиатор или D-оператор, т.е. матрица девиации (измене­ ния, отклонения) вектора Р за единичное время At = 1, D = Q - Е;

X - интенсивность потока событий, т.е. среднее число событий, приходящихся на единицу времени;

г = УХ - средний интервал времени между событиями;

P„(t) - вероятность того, что в интервале времени [0, t] произой­ дет п событий;

G = — граф состояний марковского процесса, моделирующий систему с дискретными состояниями и непрерыв­ ным временем;

Q - множество состояний системы, \Q\ = п;

U - множество переходов (q —> qj) Е U, U С Q ;

Л - множество интенсивностей переходов Ху, приписанных отображением а дугам (переходам) графа G;

Л - матрица, задающая отображение а, в ее клетках расположе­ ны интенсивности Ху, i,j Е {О, 1, 2, п};

G(Q и Д Е) - ориентированный двудольный граф, модель сети Петри;

Q = {q #2>---> Чп) ~ вершины-позиции, изображаются символом О (кружок);

D = {d\, d, d } - вершины-переходы, изображаются симво­ лом | (черта);

Е C(Q х D)U(D х Q) - множество дуг;

*dj - множество входных позиций для перехода dj (множество позиций, из которых есть дуги в переход dj);

dj* - множество выходных позиций перехода df, Out - функция следования, которая каждой паре (d, qj) ставит в соответствие число дуг кц, Out: DxQ —> К;

In - функция предшествования, которая каждой паре (q^, dj) ставит в соответствие число дуг кц, In: QxD —> К;

M:N Q- функция маркировки, где N- множество целых не­ отрицательных чисел;

М= (M(q\), M{qi), M(q )) - маркировка сети Петри;

К - множество весовых коэффициентов дуг: кц, кр € A и T kjj, kjj > 0, если связи между позицией и переходом нет, то соответ­ ствующий вес ку или kjj равен нулю.

G = < Q, D, In, Out, М, R> - двудольный граф, модель каузаль­ ной сети;

M = {Nj(t) I i=\, 2,..., n) - вектор маркировки, задающий число автоматов, находящихся в момент времени t в каждом из состоя­ ний множества Q (M — 0 ; > R = {pj{M (*dj)) \j =1, т} - вектор-функция интенсивностей переходов;

D = Out - In -.D-оператор или девиатор, оператор изменения маркировки сети Петри (от Difference - разница, различие или Derivative - производная, дериват);

AM - вектор-столбец длины п - изменение маркировки сети при срабатывании любой допустимой последовательности перехо­ дов с характеристикой R;

• - матричное умножение.

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Общепринятого строгого определения понятия система до сих пор нет. Обычно оно обозначает совокупность элементов и связей между ними, обладающую целостностью, т.е. свойствами, невы­ водимыми из простого суммирования свойств частей. При таком широком понимании системность есть свойство наблюдаемого мира. Мир - бесконечная иерархия систем.

Признаки системности:

1. Структурированность - наличие элементов, из которых со­ стоит система.

2. Взаимосвязанность составляющих систему частей.

3. Целенаправленность.

Последнее свойство характеризует системы, построенные человеком. В любом случае человек строит системы, имея в виду некоторую цель - решение какой-то проблемы. Посколь­ ку эта цель не может быть достигнута наличными средствами, люди так соединяют уже имеющиеся элементы, что получен­ ная система позволяет достичь цели. Вот это новое свойство, возникающее из соединения частей, называется эмерджентность, сверхаддитивность или интегративность. Соедине­ ние частей (элементов), обладающее эмерджентностью, назы­ вается агрегированием, или композицией системы. Обратная процедура - выделение самостоятельных подсистем, агрега­ тов - называется дезагрегированием, или декомпозицией си­ стемы.

Агрегаты, полученные при декомпозиции, сами должны быть системами по отношению к своим частям и элементам. Иначе де­ композиция теряет смысл.

автомат А, получающий на входе целое положительное число п, а на выходе дающий число п+\ (рис. 1.1).

jv = 1,3,5,7,...

Рис. 1.1. Эмерджентность. Агрегирование автоматов и получение новых свойств: а - исходный автомат с функцией^ = п + 1; б - циклическое соединение двух автоматов, дающие систему, которая порождает две последовательности четных и нечетных чисел; в - параллельное соединение, увеличивающее надежность Функция этого автомата^ =Л ) = п + 1.

Различные способы агрегирования таких автоматов А облада­ ют различными новыми свойствами. Так, например, соединение этих автоматов в кольцевую структуру {рис. 1.16) позволяет полу­ чить генератор двух возрастающих последовательностей чисел, причем одна состоит только из нечетных чисел, а вторая - только из четных. Другой вариант соединения тех же автоматов - парал­ лельное (рис. 1.1 в) позволяет повысить надежность системы.

Задание. Придумайте еще один способ агрегирования.

Системный анализ. Агрегирование и декомпозиция являются основными методами исследования систем, которые называются системным анализом. Действительно, анализ, т.е. разделение си­ стемы на части разрушает ее целостность. Полное понимание си­ стемы как целого восстанавливается при ее синтезе. Итак, иссле­ дование систем есть единство анализа и синтеза - агрегирования и дезагрегирования, композиции и декомпозиции.

Существует ли общая теория систем? Вопрос далеко не празд­ ный, поскольку процессы композиции и декомпозиции зависят от природы системы, ее элементов и связей. Множество элементов системы обычно называют предметной областью, или носителем.

В разных предметных областях связи между элементами и спосо­ бы системного анализа существенно различаются. В примере 1. мы рассмотрели агрегирование абстрактных автоматов. Связи в этом случае - соединения (точнее, отождествления значений) полюсов автоматов: входов и выходов. Предметная область - аб­ страктные автоматы с функцией у = п + 1. Рассмотрим другую, более простую и реальную предметную область.

ласть - множество В ботинок разного размера, фасона и знака (ле­ вый, правый). Очевидно, что на множестве В можно задать следу­ ющие отношения:

1. Отношение а эквивалентности по размеру.

2. Отношение (3 эквивалентности по фасону.

3. Отношение у эквивалентности по знаку (левый - правый).

4. Отношение 8 комплементарное™ по знаку.

Пара {а, Ь) В комплементарна, если а и Ъ противоположны по знаку - один левый, другой правый.

Отношение - это подмножество из множества В пар элемен­ Отношение эквивалентности а имеет следующие свойства^ - транзитивность [(а, Ь) а] Л [(Ь, с) € а] —> {а, с) а.

Из теории множеств известно, что каждое отношение эквива­ лентности разбивает множество на непересекающиеся классы эк­ вивалентности. Множество этих классов обозначается В/а, где В - носитель, или предметная область. В нашем случае имеется три разбиения на классы эквивалентности: В/, 5/р, В/. Пересече­ ние классов эквивалентности - тоже классы эквивалентности для пересечения отношений.

Так, разбиение В/ пр задается отношением е = аПр. Классы это­ го отношения содержат ботинки, одинаковые по размеру и фасону одновременно.

Отношение комплементарности 8 не является эквивалентно­ стью. Его свойства почти противоположны:

- антирефлексивность: (а, а) $ 8;

- симметричность: (а, Ь) 8 (Ь, а) 8;

- антитранзитивность: [(а, Ъ) 8 ] Л [ (Ь, с) 8] —> (а, с) 0 8.

Нетрудно видеть, что дополнение комплементарное™ 8 до В есть отношение некомплементарности по знаку, т.е. эквивалент­ ности у: у = В - 8 = {(a, b) | (а, Ь) 8}.

Отношение у - эквивалентность по знаку, разбивающая множе­ ство В на два класса Вл и Вп левых и правых. Очевидно:

Теперь мы можем дезагрегировать бесполезную кучу ботинок по различным отношениям и вновь агрегировать их, получая по­ лезные свойства агрегатов.

Отношение аПрПу дает нам классы эквивалентности - кучи бо­ тинок - одинакового размера, фасона и знака. Отношение аПрПб задает множество пар ботинок одного размера и фасона, но разно­ го знака. Агрегируя такую пару, т.е. связывая ее или укладывая в коробку, мы получили новое свойство - эту пару можно одеть на ноги одного человека. Это уже обувь, и мы получили множество D пар обуви.

На множестве D имеют смысл только отношения а' С D и Р' С D, аналогичные уже введенным ранее одноименным отно­ шениям эквивалентности по размеру и фасону, а классы эквива­ лентности по отношению а П (3 образуют ассортимент обуви.

Взяв по одному представителю из каждого такого класса, мы имеем возможность выставить их на витрину магазина для обо­ зрения. Новые агрегаты мы можем строить исходя из решаемых задач. Так, если мы хотим одеть персонал фирмы в форменную одежду, мы должны выбрать один из классов эквивалентности по отношению р* (подходящий фасон) и такое количество пар из каждого класса по а (размер), чтобы каждому сотруднику доста­ лась подходящая пара.

Рассмотренный пример показывает, что, несмотря на разноо­ бразие предметных областей, все-таки возможно единообразное описание систем на языке алгебры.

Конфигуратор. Объекты любой предметной области вступают в различные отношения друг с другом и с внешним миром. Таким образом, полное описание системы должно состоять из множества различных ее описаний, взятых в разных отношениях. Так, опи­ сание точки содержит три координаты. Множество несводящихся друг к другу описаний системы называется конфигуратором.

где Kj - одно из описаний конфигуратора.

Так, например, вычислительная система может иметь такие описания: М- математическое, Ф - функциональное, А - алгорит­ мическое, С - структурное, или схема системы, К - конструктор­ ское, Д - дизайнерское, или эргономическое, Э - эксплуатацион­ ное, Г-технологическое.

Все это множество описаний можно представить как множе­ ство К= {И Ф, А, С, К, Э, Т,.:.}, или в общем случае К= {Kj \ i= \..п}.

Количество описаний можно увеличить, имея в виду их раз­ личное назначение.

Ясно, что одно описание Kj не задает систему целиком. Более того, само описание K не может быть единообразным и достаточ­ но точным. Чтобы достичь нужного уровня подробности и пони­ мания системы, любое описание Kj может быть подвергнуто де­ композиции и композиции. Декомпозиция позволяет разложить Kj на элементы, которые сами являются системами более низкого уровня и описываются уже на другом языке. Композиция делает возможным соединить известные элементы нижнего уровня нуж­ ным образом и тем самым понять, какую систему мы проектируем.

Целостное описание системы будет получено, если все элемен­ ты Kj конфигуратора К дезагрегируются и агрегируются совмест­ но, так что элементы различных описаний одного уровня соот­ ветствуют друг другу. Таким образом, полное описание системы представляет собой двумерный конфигуратор - матрицу где г - номер уровня,у - номер описания.

Все элементы строки Kj = {Кц, Кц, K } образуют конфигу­ ратор г'-го уровня для элементов г'-го уровня. Если таких элементов несколько, то можно ввести еще и третье измерение, соответству­ ющее разным элементам одного уровня.

Применим эту методику для построения конфигуратора вы­ числительной системы. Рассмотрим основные описания си­ стемы М, Ф, А, К с точки зрения разных специалистов и на че­ тырех уровнях: системном, функциональном, логическом и физическом. К специалистам, для которых будут предназначены эти описания относятня: архитектор системы, конструктор, си­ стемный аналитик, пользователь, системный программист, си­ стемотехник, схемотехник. Соответствующий конфигуратор по­ казан в таблице 1.1.

Конфигуратор вычислительной системы (часть) типам описания Уровень Физический дискретное, Примечание: МТ - машина Тьюринга, МП - машина Поста, РАМ - равнодоступная адресная машина.

РАСП - равно-доступная адресная машина с хранимой программой.

Мы видим, что полное описание вычислительной системы требует привлечения разнообразных дисциплин и специалистов.

Задача усложнится, если мы попробуем описать связи между раз­ личными описаниями, например, с целью автоматизации про­ ектирования и оптимизации программных решений. Здесь нам потребуется почти вся современная прикладная математика, за­ нимающаяся проблематикой исследования операций и оптимиза­ цией.

Задачи анализа и синтеза БИС. В этом пособии мы рассмо­ трим только отношения между функционально-алгоритмиче­ скими описаниями, схемами и конструкторскими описаниями.

Оказывается, между ними существует возможность формального перехода на функциональном и логическом уровнях {рис. 1.2).

Верхний (функциональный) уровень функциони­ функцио­ Рис. 1.2. Связи между описаниями процессора вычислительной машины на разных уровнях подробности Движение на рисунке 1.2 сверху вниз - это аналитическая де­ композиция, снизу вверх - синтетическое агрегирование. Дви­ жение слева направо - это задача синтеза структурной модели системы по функциональной модели, справа налево - это зада­ ча анализа системы, т.е. получение функциональной модели по структурной.

Задачи анализа и синтеза являются центральными при разра­ ботке информационно-вычислительной техники. Их решение тре­ бует применения супер ЭВМ.

Задача синтеза ставится так. Дано алгоритмическое описание устройства, абстрактный автоматный базис (логический базис) и эле­ ментный базис. Требуется получить схемы от функционально-логи­ ческой до БИС или СБИС. Задача имеет множество решений, и труд­ ность состоит в выборе наиболее приемлемого по многим критериям.

Задача анализа заключается в получении функциональной мо­ дели имеющейся конструкции. При переходе от схемы логической к автомату эта проблема решается довольно просто. Если же мы хотим построить функциональную модель СБИС, для которой нет никакой документации, то задача почти безнадежна.

На рисунке 1.3 показаны этапы анализа некоторого, например, кодирующего устройства с целью получения доступа к его функ­ циональному описанию, т.е. к принципу кодирования. При этом можно последовательно строить все упомянутые модели устрой­ ства: черный, серый и белый ящики, - после чего решается задача получения функции F(x). Можно пропустить этапы серого и бело­ го ящиков и исследовать черный ящик, подавая сигналы на вход и записывая решение на выходе. Такая задача легко решается для ав­ томатов с небольшим числом внутренних состояний. Если устрой­ ство - процессор с памятью и программой, то проблема осложня­ ется огромным перебором.

Рис. 1.3. Последовательность решения задачи анализа: а - исходный предмет неизвестного назначения, б - черный ящик (известны только вход и выход), в - серый ящик (известен логический базис и некоторые связи), г - белый ящик (известна вся логическая структура), д - «раскрытая» система (известна и структура, и функции) Ясно, что фирмы-изготовители не заинтересованы в облегче­ нии задачи анализа для конкурентов, поэтому даже получение черного ящика осложняется секретностью. Черный ящик также приходится делать серым или даже белым, «сдирая» слой за сло­ ем в кристалле БИС и получая технологическую структуру. Пере­ ход от этой структуры к электрическим и логическим схемам отдельная проблема, если известна технология. Современная W-технология размещает технологический рисунок СБИС на ре­ бристой поверхности (W), что лишает конкурентов возможности «сдирать» схему с готового изделия.

Для формального описания системы нам потребуются некото­ рые дополнительные понятия: операция, функция, предикат, гомо­ морфизм, изоморфизм, алгебра, модель, алгебраическая система.

Пусть АиВ - произвольные множества.

Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называ­ ется множество всех упорядоченных пар (а, Ь), где a G А, Ъ € В.

Обозначение: А * В (или А ® В).

Упорядоченная пара определяется не только своими элемента­ ми, но и порядком, в котором они записаны, т.е. пары (1,2) и (2, 1) это разные пары.

Можно обобщить определение декартового произведения на п множеств. Декартовым (прямым) произведением множеств А\, А2,...,А„ называется множество всех упорядоченных наборов длины п (щ, а,..., а ), где a, е А i = 1,..., п. Обозначение: К\ х А... А„.

Таким образом, Если А\ = А =... = А„ = А, то декартово произведение этих мно­ жеств называют и-й декартовой степенью множества А и обозна­ чают Л".

В частности, любое подмножество прямого произведения двух множеств А\, А называется бинарным отношением на множествах Функция п переменных - это (и+1)-арное отношение / н а множе­ стве А аргументов и В - значений функции. В языке теории мно­ жеств это записывается так:

При этом любому упорядоченному набору из А" соответствует единственный элемент из В.

Для обозначения функций в общем виде можно использовать различные записи:

или ются аргументами ф у н к ц и и / а у Е В - значение функции.

В общем случае для функции / : А" —> В может существовать несколько упорядоченных наборов длины п из А", значения функ­ ции для которых совпадают. Множество всех упорядоченных наборов (х\, х, х ) Е А", для которыхДх х, х„) =уо, называ­ ют прообразом элемента у® ЕВ при функции f.

Множество всех у € В, таких, что найдется упорядоченный на­ бор (х\, х, х„) Е А", для которого Дх х, х„) = у, называют областью значений ф у н к ц и и / Функция / : А" — В называется инъективной (инъекцией), если каждый элемент из ее области значений имеет единственный про­ образ, т.е. тДа\, а, o„) =f[b\, b, b ) следует Функция f: A" —> В называется сюръективной (сюръекцией), если ее область значений совпадает со всем множеством В.

Функция / : А" —• В называется биективной (биекцией), если она является инъективной и сюръективной одновременно.

Таким образом, если функция f:A —>B биективна, то каждо­ му упорядоченному набору множества А отвечает единственный элемент множества В и наоборот. Тогда говорят, что множества А и В находятся между собой во взаимно однозначном соответствии.

Операция (и-арная) на множестве А - это функция вида Таким образом, и-арная операция -*}, для чего следует указать отображение g. Оно очевидно по постро­ ению.

Подведем итоги нашего опыта моделирования.

На самом деле мы построили три модели одной и той же вооб­ ражаемой системы. Одна на рисунке 1.1, две других - ее описания на разных языках: схемном и функциональном. Такая ситуация типична при проектировании систем и отображается в конфигура­ торе. Разные типы описаний удобны для разных типов задач.

Наши модели содержат статическую и динамическую части подмодели. Статическая часть - структура системы - наиболее на­ глядно изображена на рисунке 1.1. Динамическая часть наиболее адекватно представлена в языке математики.

Все три модели не отображают проектируемое устройство с точки зрения конструктора и технолога. Как они устроены? Как проходят соединения в пространстве конструктива? Какие физи­ ческие характеристики имеют сигналы в системе?

Таким образом, модели имеют специализацию. Наша модель предназначена для решения задач анализа и синтеза системы, но не для конструирования или изготовления.

Алгебраические модели систем в общем виде. В общем виде алгебраическую модель системы можно представить кортежем где ф - функциональная модель системы S, в которой систе­ ма представляется «черным ящиком» с известными функциями откликов на воздействия; S - структурная модель системы S c «белый ящик»; 5 - морфологическая модель, или конструкция системы, в которой показано, как ее элементы расположены в фи­ зическом пространстве; Р(Бф, S ) и P(S 5 ) - предикаты целостно­ целостности P(S$, S ) и две модели ф и S должны обеспечить ре­ шение задач анализа и синтеза системы. Иначе они бесполезны и неадекватны.

Для решения других задач проектирования необходимо стро­ ить другие модели. Так, для конструкторского проектирования большой интегральной схемы (БИС) следует иметь морфологиче­ скую модель вида множество мест на кремниевой пластине, предназначенных для размещения элементов схемы, расстояний между этими местами и топология связей между элементами.

Динамическая модель общего вида. Мы видели, что в при­ мере 1.3 значения переменных функциональной модели зависят от времени. Такая ситуация характерна для большинства систем. Со­ ответственно эти системы называются динамическими, а их функ­ циональные модели - динамическими моделями систем.

Динамическая модель может быть представлена семеркой объ­ ектов:

понента вектора X; Y - множество (вектор) выходных перемен­ ных, у,- е Y - компонента Y, Z - множество (вектор) внутренних переменных - состояний, где z,- € Z ; F - вектор-функция выхода,