«Статистические методы прогнозирования в экономике Учебное пособие Т.А. Дуброва Практикум Тесты Программа Руководство Т.А. Дуброва по изучению дисциплины М.Ю. Архипова Москва, 2004 УДК 519.22 ББК 22.172 Д 797 ...»

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики

Евразийский открытый институт

Статистические методы

прогнозирования в экономике

Учебное пособие Т.А. Дуброва

Практикум

Тесты

Программа

Руководство Т.А. Дуброва

по изучению дисциплины

М.Ю. Архипова Москва, 2004 УДК 519.22 ББК 22.172 Д 797

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ:

Учебное пособие, практикум, тесты, программа курса / Дуброва Т.А.; руководство по изучению дисциплины / Дуброва Т.А., Архипова М.Ю. Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. — М., 2004. — 136 с.

© Дуброва Т.А., ISBN 5-7764-0453- © Московский государственный университет экономики, статистики и информатики,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Введение

Глава 1. Ведение в анализ временных рядов

Глава 2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних.......... Глава 3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста.............. Глава 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Глава 5. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях

Выводы

ПРАКТИКУМ

1. Тренировочные задания

1.1. Введение в анализ временных рядов

1.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

1.3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста

1.4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.5. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях

2. Решение тренировочных заданий

2.1. Введение в анализ временных рядов

2.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

2.3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста

2.4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

2.5. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях

3. Итоговый тест

4. Контрольные вопросы

ТЕСТЫ

ПРОГРАММА

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Сведения об авторах

2. Цели, задачи изучения, сфера профессионального применения

3. Необходимый объем знаний для изучения курса

4. Основная информация о курсе и его структура

Тема 1. Введение в анализ временных рядов.

Тема 2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних............

ОГЛАВЛЕНИЕ

Тема 3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста................ Тема 4. Проверка адекватности и точности выбранных моделей прогнозирования.

Тема 5. Статистический анализ и прогнозирование периодических колебаний... Тема 6. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях.

Тема 7. Модели стационарных временных рядов и их идентификация.

Методология Бокса-Дженкинса

6. Итоговый контроль знаний по курсу

7. Список литературы и ссылки на ресурсы ИНТЕРНЕТ

8. Глоссарий

ОГЛАВЛЕНИЕ

Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики — всю эту черновую работу выполняет компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа: постановка задачи, выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей, интерпретация результатов. Для этого необходимо иметь определенную подготовку в области статистических методов обработки данных и прогнозирования.

В данном учебном пособии в систематизированном виде изложены статистические методы анализа одномерных временных рядов и прогнозирования. Для изучения выбраны наиболее часто применяемые в экономической практике методы. Большое внимание уделяется анализу полученных результатов.

Структура изложения соответствует логической последовательности основных этапов анализа и прогнозирования временных рядов. Последний раздел посвящен развивающемуся направлению статистических исследований — прогнозированию временных рядов с помощью адаптивных моделей.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1.1. Классификация экономических прогнозов В современных условиях управленческие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Например, банк или совет директоров корпорации примет решение о вложении денег в какой-то проект лишь после тщательных расчетов, связанных с прогнозами состояния рынка, с определением рентабельности вложений и с оценками возможных рисков. В противном случае могут опередить конкуренты, умеющие лучше оценивать и прогнозировать перспективы развития.

Для решения подобных задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные прогнозы и оценивать вероятность их выполнения.

Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния.

Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. prognosis — предвидение, предсказание).

Прогнозирование должно отвечать на два вопроса:

• Что вероятнее всего ожидать в будущем?

• Каким образом нужно изменить условия, чтобы достичь заданного, конечного состояния прогнозируемого объекта?

Прогнозы, отвечающие на вопросы первого типа, называются поисковыми, второго типа — нормативными.

Например, ставится задача обеспечить каждую семью отдельной квартирой с улучшенной планировкой. Нормативные прогнозы продемонстрируют при каких капиталовложениях и к какому сроку возможно выполнение поставленной задачи.

В зависимости от объектов прогнозирования принято разделять прогнозы на научно-технические, экономические, социальные, военно-политические и т.д. Однако такая классификация носит условный характер, т.к. между этими прогнозами, как правило, существует множество прямых и обратных связей.

Важной характеристикой является время (период) упреждения прогноза — отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

На рис.1.1 показана экстраполяция тенденции показателя для периода упреждения, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (для периода наблюдения). При этом предполагается инерционность развития показателя, отсутствие существенных изменений тенденции в течение периода упреждения.

По времени упреждения экономические прогнозы делятся на:

• оперативные (с периодом упреждения до одного месяца);

• краткосрочные (период упреждения — от одного, нескольких месяцев до года);

• среднесрочные (период упреждения более 1 года, но не превышает 5 лет);

• долгосрочные (с периодом упреждения более 5 лет).

Наибольший практический интерес, безусловно, представляют краткосрочные и оперативные прогнозы.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

прогнозирования межрегиональные прогнозы развития народнохозяйственных комплексов

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Классификация экономических прогнозов показана на рис. 1.2. Следует обратить внимание на разнообразие прогнозов в зависимости от масштабности объекта прогнозирования. Экономические прогнозы могут охватывать все уровни: от микроуровня (рассматривающего прогнозы развития отдельных предприятий, производств и т.д.) до макроуровня (анализирующего экономическое развитие в масштабе страны) или — до глобального уровня, при котором существующие закономерности рассматриваются в мировом масштабе.

Прогнозирование экономических явлений и процессов включает в себя следующие этапы:

1. постановка задачи и сбор необходимой информации;

2. первичная обработка исходных данных;

3. определение круга возможных моделей прогнозирования;

4. оценка параметров моделей;

5. исследование качества выбранных моделей, адекватности их реальному процессу и выбор лучшей из моделей;

6. построение прогноза;

7. содержательный анализ полученного прогноза.

Рассмотрим более подробно существующие методы и подходы для реализации каждого из намеченных этапов.

Требования, предъявляемые к исходной информации Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов.

Временным рядом (рядом динамики, динамическим рядом) называется последовательность значений показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке, т.е. в порядке возрастания временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

В англоязычной литературе для временных рядов используется термин «time series».

Каждый временной ряд содержит два элемента:

1) значения времени;

2) соответствующие им значения уровней ряда.

Временные ряды имеют характерные отличия от пространственных выборок:

Во-первых, в отличие от пространственных данных уровни временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми.

Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

Очевидно, что эти особенности должны быть учтены в исследовательской работе.

В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться либо определенные моменты времени (даты), либо отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, полугодия, годы и т.д.). В зависимости от характера временного параметра ряды делятся на моментные и интервальные.

В моментных рядах динамики уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных рядов динамики могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени. Примерами могут служить ряды годовой (месячной, квартальной) динамики производства продукции в натуральном или стоимостном выражении.

В табл.1.1—1.2 приведены моментные временные ряды, а в табл.1.3—1.4 — интервальные.

Цены акций промышленной компании на момент закрытия торгов Цены акций компании Объем вкладов физических лиц в Сбербанке России Объем вкладов физических лиц на Фонд заработной платы предприятия (тыс. руб.) Источник: Россия в цифрах 2002: Крат. стат. сб./ Госкомстат России. — М., 2002. — (таб. 1.2,1,4).

Если уровни ряда представляют собой непосредственно не наблюдаемые значения, а производные величины: средние или относительные, то такие ряды называются производными. Уровни этих временных рядов получаются с помощью некоторых вычислений на основе абсолютных показателей. Примером производного ряда динамики может служить ряд среднесуточного производства промышленной продукции (табл. 1.5).

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Производство про- Количество рабочих Среднесуточное произМесяц Данные графы 4 (табл. 1.5) получаются с помощью деления данных графы 2 на графу 3.

Важной особенностью интервальных рядов динамики абсолютных величин является возможность суммирования их уровней. В результате этой процедуры получаются накопленные итоги, имеющие осмысленное содержание благодаря отсутствию повторного счета. Например, суммируя фонд заработной платы работников предприятия за первые три месяца и три последующих месяца (табл.1.3), получаем, соответственно, фонд заработной платы за первый и второй кварталы, а сумма этих квартальных данных дает фонд заработной платы за полугодие.

Суммирование уровней моментного ряда динамики не практикуется, т.к. полученные накопленные итоги лишены всякого смысла. Например, уровни моментного ряда «Объем вкладов физических лиц в Сбербанке России на рублевых счетах (на начало года)» (табл. 1.2) содержат элементы повторного счета. Второй уровень частично содержит вклады населения, учтенные первым уровнем и т.д. Таким образом, моментные ряды динамики, в отличие от интервальных не обладают свойством аддитивности. (Термин происходит от английского глагола to add — добавлять).

При исследовании моментного ряда динамики определенный смысл имеет расчет разностей уровней, характеризующих изменение показателя за некоторый отрезок времени. Например, за 2001 г. объем вкладов физических лиц в Сбербанке России на рублевых счетах увеличился на 109,6 млрд. руб.

На практике часто используются временные ряды с нарастающими итогами.

Уровни таких рядов дают обобщающий результат развития показателя с начала отчетного периода (квартала, полугодия, года и т.д.). В качестве примера рассмотрим данные о производстве телевизоров в России в первом полугодии 2002 г. (табл. 1.6). Данные 3 графы получены последовательным суммированием смежных уровней.

Уровни ряда могут принимать детерминированные или случайные значения. Примером ряда с детерминированными значениями уровней служит ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах. Естественно, анализу, а в дальнейшем и прогнозированию, подвергаются ряды со случайными значениями уровней. В таких рядах каждый уровень может рассматриваться как реализация случайной величины — дискретной или непрерывной.

Успешность статистического анализа развития процессов во времени во многом зависит от правильного построения временных рядов.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Большое значение для дальнейшего исследования процесса имеет выбор интервалов между соседними уровнями ряда. Удобнее всего иметь дело с равноотстоящими друг от друга уровнями ряда. При этом, если выбрать слишком большой интервал времени, можно упустить существенные закономерности в динамике показателя. Например, по квартальным данным невозможно судить о месячных сезонных колебаниях. Информация может также оказаться слишком «короткой» для использования некоторых методов анализа и прогнозирования динамики, предъявляющих «жесткие» требования к длине рядов.

В то же время, слишком малые интервалы между наблюдениями увеличивают объем вычислений, а также могут приводить к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

Безусловно, вопрос о выборе интервала времени между уровнями ряда должен решаться, исходя из целей каждого конкретного исследования.

Одним из важнейших условий, необходимых для правильного отражения временным рядом реального процесса развития, является сопоставимость уровней ряда. Для несопоставимых величин неправомерно проводить исследование динамики.

Появление несопоставимых уровней может быть вызвано разными причинами: изменением методики расчета показателя, изменением классификации, терминологии и т.д.

Например, уровни временного ряда, характеризующие количество малых предприятий, могут оказаться несопоставимыми из-за изменения самого понятия «малое предприятие».

Подразумевается, что это понятие должно быть одинаковым для всего исследуемого периода.

Чаще всего несопоставимость встречается в стоимостных показателях, что вызвано изменением цен в разные периоды времени, поэтому на практике осуществляют пересчет уровней в сопоставимые цены (цены одного периода).

Несопоставимость может возникнуть вследствие территориальных изменений, например, как результат изменения границ области, района, страны. При этом следует иметь в виду, что вопрос о сопоставимости будет зависеть от целей исследования. Например, при описании военной, экономической мощи страны следует учитывать данные в изменяющихся границах территории, а при сопоставлении темпов развития промышленности следует производить сравнение в одних и тех же территориальных границах.

Другой причиной несопоставимости могут служить структурные изменения. Например, произошло укрупнение нескольких ведомств путем слияния их в единое целое или укрупнение производства за счет слияния нескольких предприятий в одно объединение.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В большинстве случаев удается устранить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчета более ранних значений показателей с помощью формальных методов. Хотя далеко не всегда проведение такой обработки обеспечивает требуемую точность, что может привести к снижению ценности исходной информации, а, следовательно, и к затруднению дальнейшего анализа.

Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину (с учетом конкретных целей исследования).

Например, при изучении периодических колебаний желательно иметь информацию не менее чем за три полных периода колебания. Поэтому при анализе сезонных колебаний на базе рядов месячной или квартальной динамики желательно иметь информацию, как правило, не менее чем за 3 года. Использование же более тонкого статистического аппарата для исследования периодичности (например, рассматриваемого в гл.5) требует большей длины информации — не менее пяти полных периодов колебаний.

Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.

Во временных рядах не должны содержаться пропущенные уровни. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда). Если же в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.

Уровни рядов динамики могут содержать аномальные значения или “выбросы».

Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т.д.

Выявление, исключение таких значений, замена их истинными или расчетными является необходимым этапом первичной обработки данных, т.к. применение математических методов к «засоренной» информации приводит к искажению результатов анализа. Однако аномальные значения могут отражать реальное развитие процесса, например, «скачок» курса доллара в «черный вторник». Как правило, эти значения также заменяются расчетными при построении моделей, но учитываются при расчете возможной величины отклонений фактических значений от полученных по модели.

Соответствие исходной информации всем указанным требованиям проверяется на этапе предварительного анализа временных рядов. Лишь после этого переходят к расчету и анализу основных показателей динамики развития, построению моделей прогнозирования, получению прогнозных оценок.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты (составные части или структурно-образующие элементы):

• сезонную компоненту;

• циклическую компоненту;

• случайную составляющую.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Примером могут служить колебания цен на сельскохозяйственную продукцию, в частности на картофель. Из года в год наблюдается снижение цен в период после уборки урожая и последующее повышение цен, связанное с необходимостью хранения продукции. Своего “пика» цены достигают перед следующим урожаем. Таким образом, в колебаниях цен прослеживается устойчивая годовая периодичность.

Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

• факторы резкого, внезапного действия;

• текущие факторы.

Факторы первого вида (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывают более значительные отклонения. Иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго вида вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в виде произведения — мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3):

где yt — уровни временного ряда;

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ut — трендовая составляющая;

st — сезонная компонента;

vt — циклическая компонента;

t — случайная компонента.

Рис. 1.3. Месячная динамика производства отдельных видов промышленной продукции в натуральном выражении На рис. 1.3 приведены примеры временных рядов, иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно снижаются.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Иногда на стадии графического анализа можно определить характер сезонных колебаний: аддитивный или мультипликативный. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

В качестве примера рассмотрим временной ряд производства электроэнергии в России с 1994 по 1999 гг. (рис.1.4.).

На основании этого графика можно предположить, что тенденция ряда в исследуемом периоде была близка к линейному развитию, а амплитуда внутригодовых колебаний примерно постоянна. На рис. 1.4. видны устойчивые сезонные колебания, имеющие годовую периодичность: очевидны повторяющиеся подъемы производства в зимне-осенний период, спады — в весенне-летний период. Амплитуду периодических колебаний можно считать практически неизменной, не зависящей от уровня тренда, что приводит к выводу об аддитивном характере сезонности.

Таким образом, на стадии проведения графического анализа можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики и последующего прогнозирования.

Если присутствие тренда во временном ряду прослеживается нечетко, то прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Рис. 1.4. Месячная динамика производства электроэнергии в Российской Федерации за период с 1994 по 1999 гг. (млн. кВт.ч ) Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Среди наиболее часто используемых на практике подходов для проверки «наличия — отсутствия» тренда следует отметить метод Фостера-Стюарта.

Этот метод может быть реализован в виде следующей последовательности шагов.

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик mt и lt:

Таким образом, mt = 1, если yt больше всех предшествующих уровней. В свою очередь 1t = 1, если yt меньше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляется dt = mt — lt для всех t = 2 n.

Очевидно, что величина dt может принимать значения 0; 1; –1.

3) Находится характеристика D = d t.

4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D – 0 (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд).

Для этого определяется где D — средняя квадратическая ошибка величины D:

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Значения D затабулированы.

Расчетное значение tнабл сравнивается с критическим значением tкр, взятым из таблицы t — распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы = n – 1. Если tнабл > tкр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Также в литературе кроме рассмотренного подхода описаны и другие критерии, отличающиеся друг от друга мощностью, сложностью математического аппарата, например, критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе), метод проверки разностей средних уровней, критерий серий, имеющий две модификации: критерий серий, основанный на медиане выборки, и критерий «восходящих и нисходящих» серий и др.

[3,4,23].

1.4. Основные показатели динамики экономических явлений На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяются следующие основные аналитические показатели:

— абсолютные приросты;

— темпы прироста.

Причем каждый из указанных показателей может быть трех видов:

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. В качестве базы сравнения выбирается либо начальный уровень динамического ряда, либо уровень, с которого начинается новый этап развития. Например, при анализе динамики развития российской промышленности часто за базу сравнения выбирают 1990 год. Это объясняется тем, что до этого года во многих отраслях промышленности наблюдался замедлявшийся подъем, перешедший затем в спад производства. Поэтому начавшийся в посткризисный период подъем производства желательно оценивать не только по отношению к предыдущему году, но и в сравнении с 1990 г.

Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Абсолютный прирост у равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста Т характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах.

Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

В таблице 1.8 приведены выражения для вычисления базисных и цепных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста. При этом использованы следующие обозначения:

y1, y2,K, yt, K, yn — уровни временного ряда, t = 1, 2,..., n;

n — длина временного ряда;

yб — уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. Эти обобщающие характеристики динамики представляют наибольший интерес для статистического анализа. С их помощью можно строить прогнозы исследуемых показателей. Однако необходимо отметить, что их применение требует определенной осторожности.

Описание динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на L шагов вперед (L — период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой:

где yn — фактическое значение в последней n-ой точке ряда (конечный уровень ряда);

yn + L — прогнозное значение (n + L)-го уровня ряда;

y — значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для временного ряда y1, y2,K, yt, K, yn.

Очевидно, что такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на L шагов вперед может быть получено по формуле:

где yn — фактическое значение в последней n-ой точке ряда (конечный уровень ряда);

yn + L — прогнозное значение (n + L)-го уровня ряда;

— значение среднего темпа роста, рассчитанное для временного ряда y1, y2,K, yt,K, yn (не в %-ном выражении).

К недостаткам среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста (среднего темпа прироста) следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияния промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют весьма широкую область применения, что объясняется чрезвычайной простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Распространенным приемом при выявлении и анализе тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиесяна различные подходы:

• аналитический подход;

• алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции: yt = a bt.

Тогда на следующем этапе будет произведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра t в полученное уравнение (заданное в явном аналитическом виде). Процедуры моделирования, опирающиеся на этот подход, рассматриваются в следующей главе.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда ( l < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа:

l = 2p + 1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении l все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

где yt — центральный уровень активного участка;

yt p, yt p +1,K, yt 1 — последовательность из p уровней активного участка, предшествующих центральному;

yt +1,K, yt + p 1, yt + p — последовательность из p уровней активного участка, следующих за Тогда скользящая средняя рассчитывается по формуле:

где yi — фактическое значение i-го уровня;

yt — значение скользящей средней в момент t;

2p + 1 — длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний часто требуется использовать четырех- и двенадцатичленные скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4- (2.3) и 12-членные (2.4)

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

В (2.3) каждый активный участок содержит 5 уровней, в (2.4) —13, при этом крайние уровни имеют половинные весовые коэффициенты.

При использовании скользящей средней с длиной активного участка l = 2p + 1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо:

1). Вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке где l — длина активного участка;

yt + p — значение последнего уровня на активном участке;

yt p — значение первого уровня на активном участке;

y — средний абсолютный прирост на последнем активном участке.

2) Получить p сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях следует обратиться к взвешенной скользящей средней.

2.2. Использование взвешенных скользящих средних При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

где wi — весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (wi), а взвешенная средняя приписывает каждому

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного участка подбирается полином вида коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка.

Например, для длины интервала сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Проиллюстрируем процедуру определения весовых коэффициентов на следующем примере.

Пусть длина интервала сглаживания l = 5, а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. будем рассматривать моменты времени: t = –2, –1, 0, 1, 2.

Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т.е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал:

Находим частные производные и приравниваем их нулю:

Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала t k = 0, где k — нечетное число, получим упрощенную систему нормальных уравнений:

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом а0, который входит в первое и третье уравнения системы (2.6).

Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффициента а0:

Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного участка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок (см. (2.5)). Соответствующие весовые коэффициенты равны:

Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи:

Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания l = 2 р + 1 подбирается полином порядка m, то согласно МНК необходимо минимизировать функционал:

При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени m = 2k + 1 (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени).

В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).

Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка)

ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке yt 2, yt 1, yt, yt +1, yt + 2 будет оцениваться по формуле:

где соответствующие весовые коэффициенты уровней –3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 2. Разработаны специальные приемы, позволяющие восстанавливать потерянные значения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2p + 1 для восстановления p первых и p последних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используются расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по l = 2p + 1 первым и последним уровням временного ряда.

Следует отметить, что процедуры скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кривыми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследования в техническом анализе товарных и финансовых рынков.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ

МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени;

считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т. е.

на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

2) оценка параметров выбранных кривых;

3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу, оценка точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов.

Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п.

Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III типу кривых роста — к S-образным кривым.

Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой — с замедлением.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

где ai (i = 0, 1,...,p) — параметры многочлена, t — независимая переменная (время), t = 1, 2, …, n.

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a1), ускорение роста (a2), изменение ускорения (a3), начальный уровень ряда при t = 0 (a0).

Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени yt = a0 + a1t на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени yt = a0 + a1t + a2t 2 применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр a2 > 0, то ветви параболы направлены вверх, если же a2 < 0, то вниз. Параметры a0 и a1 не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет вид yt = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3.

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рис. 3.1).

Отличительная черта полиномов — отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt).

Оценки параметров в модели (3.1) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

где yt — фактическое значение уровня временного ряда;

yt — расчетное значение;

n — длина временного ряда.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

Не будем останавливаться на математическом аппарате метода наименьших квадратов, подробно описанного в литературе по математической статистике.

Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения (3.2):

Система (3.3) состоит из (p + 1) линейных уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (p + 1) коэффициентов a0, a1,..., aр. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще.

Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой (полинома первой степени yt = a0 + a1t ) имеют вид:

Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нормальных уравнений:

Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов a0, a1, a2.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины t, t2, … не зависят от конкретных уровней динамического ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

(Суммирование в (3.3) — (3.7) по t = 1 n).

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3,..., то после переноса:

• для четного числа членов ряда t =..., –5; –3; –1; 1; 3; 5;...;

• для нечетного числа членов ряда t =..., –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;....

Таким образом,, где k — нечетное число, равна 0. Такой подход существенно упрощает систему (3.3).

После переноса начала координат в середину ряда динамики оценки параметров соответствующих полиномов определяются с помощью следующих выражений:

В формулах (3.8) — (3.9) суммирование проводится по t, полученному после переноса начала координат в середину ряда динамики.

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1.

Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b — постоянный темп роста.

Действительно, темп роста равен

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

Соответственно и темпы прироста постоянны:

Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t; для этого прологарифмируем выражение (3.10):

Теперь, если тенденция ряда описывается с помощью модели yt = abt, то для оценивания неизвестных параметров можем использовать систему нормальных уравнений для прямой (3.4).

Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из минимизации:

Соответственно в нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы:

Найдем неизвестные параметры A и B. Зная значения A = ln a и B = ln b, определим значения a и b, и с помощью потенцирования получим показательную функцию, служащую для выравнивания ряда.

Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью. Однако следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказываются смещенными, т.к. при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы.

Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уровнями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный метод наименьших квадратов.

Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола Прологарифмировав выражение (3.12), получим параболу Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наименьших квадратов, используя систему нормальных уравнений для параболы (3.6). При этом остаются в силе сделанные выше замечания о смещении полученных оценок.

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без «насыщения».

Когда процесс характеризуется «насыщением», его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:

где y = k является горизонтальной асимптотой.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

Если параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a положителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a < 0, b < 1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу.

При решении экономических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

где k — заданное значение асимптоты.

Прологарифмировав (3.14), можно для оценивания параметров lna и lnb использовать систему нормальных уравнений (3.11).

Кроме того, для оценивания параметров модифицированной экспоненты возможно применение как нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов.

Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая (кривая Перла-Рида).

Уравнение кривой Гомперца имеет вид:

Кривая несимметрична.

Если log a 0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b < 1 — монотонно убывает; при b > 1 — монотонно возрастает.

Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой, когда log a < 0 и b < 1 (рис. 3.1).

Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте yt обратной величиной :

Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой:

При t – ордината стремится к нулю, а при t — к асимптоте, равной значению параметра k. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами: t = ln b : a; yt = k : 2.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА

Как видно из графика, логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и наконец рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

При этом возможны следующие варианты.

1) Если 4 d < d1, то гипотеза H 0 об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной ) в пользу гипотезы об отрицательной автокорреляции.

2) Если 4 d > d 2, то гипотеза H 0 не отвергается.

3) Если d1 4 d d 2, то нельзя сделать определенный вывод по имеющимся исходным данным.

ГЛАВА 4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА.

ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ И ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ

Значения d1 и d2 критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости (n — длина временного ряда, k — число объясняющих переменных в модели) Данный критерий нельзя использовать, если среди объясняющих переменных содержатся лагированные значения результативного показателя (например, он не применим к моделям авторегрессии).

Таким образом, можно считать, что в случае отсутствия автокорреляции в остатках расчетное значение статистики (4.12) «не слишком отличается» от 2.

Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели ее точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Таким образом, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность.

О точности прогноза можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза.

Ошибка прогноза — величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя.

ГЛАВА 4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА.

ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ И ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

где yt — прогнозное значение показателя;

yt — фактическое значение.

Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель, и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда.

На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:

Также используются средние ошибки по модулю (абсолютные и относительные):

где n — число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение.

Из (4.14), (4.15) видно, что если абсолютная и относительная ошибка больше 0, то это свидетельствует о «завышенной» прогнозной оценке, если меньше 0, то прогнозное значение было занижено.

Очевидно, что все указанные характеристики могут быть вычислены после того, как период упреждения уже закончился, и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

В последнем случае имеющаяся информация делится на две части: по первой — оцениваются параметры модели, а данные второй части рассматриваются в качестве фактических. Ошибки прогнозов, полученные ретроспективно (на втором участке) характеризуют точность применяемой модели.

На практике при проведении сравнительной оценки моделей могут использоваться такие характеристики качества как дисперсия (S2) или среднеквадратическая ошибка (S):

Чем меньше значения этих характеристик, тем выше точность модели. На практике часто в качестве знаменателя в формуле для дисперсии принимают величину (n – k), где k — число оцениваемых коэффициентов модели.

О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза. Например, если прогнозная оценка месячного уровня производства в июне совпала с фактическим значением, то это не является достаточным доказательством высокой точности модели. Надо учитывать, что единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, и наоборот.

ГЛАВА 4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА.

ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ И ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ

Следовательно, о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

Простой мерой качества прогнозов может стать µ — относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

где р — число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q — число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Когда все прогнозы подтверждаются, то q = 0 и µ = 1.

Если же все прогнозы не подтвердились, то р = 0 и µ = 0.

Отметим, что сопоставление коэффициентов µ для разных моделей может иметь смысл при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми.

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считается применение адаптивных методов.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических данных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Важнейшим достоинством адаптивных методов является построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Пусть модель находится в некотором состоянии, для которого определены текущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значением и полученным по модели). Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одного состояния в другое. В результате вырабатываются «компенсирующие» изменения, состоящие в корректировании параметров с целью большего согласования поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь.

Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой новой фактической точки ряда. Модель постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент. На рисунке приведена общая схема построения адаптивных моделей прогнозирования.

Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб.

В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно принимают критерий минимума среднего квадрата ошибок прогнозирования.

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов прогнозирования, объединенных общим названием «адаптивные».

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании на один или на несколько шагов вперед).

Указанное определение отражает основные характерные черты, присущие рассматриваемому подходу. В то же время деление на адаптивные и неадаптивные модели часто носит достаточно условный характер.

У истоков адаптивных методов лежит модель экспоненциального сглаживания.

1 Получение начальных коэффициентов модели Модификация модели с учетом ошибки прогнозирования 3 Прогнозирование на один шаг вперед, т.е. получение оценки y1 (t ) Использование полученной модели для прогнозирования на шагов вперед Рис. 5.1. Схема построения адаптивных моделей прогнозирования Обозначения:

y(t) — фактические уровни временного ряда;

y (t ) — прогноз, сделанный в момент t на единиц времени (шагов) вперед;

et+1 — ошибка прогноза, полученная как разница между фактическим и прогнозным значением показателя в точке (t + 1).

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

где a1 = сonst;

t — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2.

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула где St — значение экспоненциальной средней в момент t;

— параметр сглаживания, = сonst, 0 < < 1;

Если последовательно использовать соотношение (5.1), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда.

Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда.

Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина St названа экспоненциальной средней.

Например, пусть = 0,3. Тогда вес текущего наблюдения yt будет равен = 0,3, вес предыдущего уровня yt–1 будет соответствовать = 0,3 0,7 = 0,21; для уровня yt–2 вес составит 2 = 0,147; для yt–3 – 3 = 0,1029 и т.д.

Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда (2):

Из (5.3) видно, что при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением (согласно (5.2.)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение, при котором получена наиГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

меньшая дисперсия ошибки. Например, при построении этих моделей с помощью пакета «Мезозавр» в меню предусмотрена ветвь «оптимизация», реализующая поиск значения по этой схеме.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должно быть определено некоторое значение S0, предшествующее S1. Часто на практике в качестве начального значения S0 используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S0 погашается.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

где a1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда;

t — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2.

Прогнозная модель определяется равенством:

где y (t ) — прогноз, сделанный в момент t на единиц времени (шагов) вперед;

a1,t — оценка a1,t.

Единственный параметр модели a1,t определяется экспоненциальной средней:

Выражение (5.1.) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

Величину (yt – St–1) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St–1.

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков.

Выравнивание p-го порядка:

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р – 1)-го порядка.

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на шагов вперед осуществляется по формуле:

где a1, a2,....an+1 — оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (n + 1) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка a1, a2,....an+1 могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних St(i ), где i = 1 n + 1.

Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до n + 1, а затем через их линейные комбинации — к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка.

В табл. 5.1 приведены формулы, необходимые для расчета по этим моделям.

Процедура прогнозирования временных рядов на основе адаптивных полиномиальных моделей состоит из следующих этапов.

1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра сглаживания. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод последовательных разностей и др.

2. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели первого порядка необходимо определить a1, 0 ; a2,0.

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

3. Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних.

4. Находятся оценки коэффициентов модели.

5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t n, где n — длина ряда.

6. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t = n. Прогноз получается на базе выражения (5.6) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения.

К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания St(i ) и продолжить вычисления.

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Степень модели

ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. Как было показано ранее, в зависимости от характера этих колебаний их часто делят на два класса: мультипликативные и аддитивные.

При мультипликативных сезонных колебаниях предполагается, что амплитуда колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда (текущему среднему уровню ряда).

При аддитивном характере сезонности исходят из предположения о неизменности во времени, примерном постоянстве амплитуды периодических колебаний, ее независимости от уровня тренда. При этом для аддитивных колебаний характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах и отражаться в статистической модели в виде слагаемых, а для мультипликативных колебаний — в относительных величинах и представляться в моделях в виде сомножителей.

Таким образом, экономические временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны моделями как с аддитивным характером сезонности (5.7), так и с мультипликативным (5.8):

где а1,t — характеристика тенденции развития;

g t,g t 1,...,g t l+1 — аддитивный сезонный фактор;

f t,f t 1,...,f t l+1 — мультипликативный сезонный фактор;

l — число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений l = 12, для квартальных — l = 4);

t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.

В качестве примера рассмотрим модель с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на шагов вперед определяется выражением:

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Из (5.10.) видно, что а1,t является взвешенной суммой текущей оценки ) t, полуf t l ченной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных yt, и суммы предыдущих оценок а1,t 1 + a2,t 1. В качестве коэффициента сезонности ft берется его наиболее поздняя оценка, полученная для аналогичной фазы цикла ( f t l ).

Затем величина a1,t, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Оценки a2,t модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию.

Оптимальные значения для 1, 2, 3 П. Уинтерс предлагал находить экспериментальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки.

Примером другого подхода — с аддитивной сезонностью — может служить модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем.

Практическая значимость этой модели объясняется не только тем, что в экономических временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития.

Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика многих экономических показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным сезонным эффектом. Прологарифмировав исходный временной ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный эффект в аддитивный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и прогнозировать с помощью модели Г.Тейла и С.Вейджа.

Рассмотрим подробнее адаптивную тренд-сезонную модель, сочетающую линейный рост с аддитивной сезонностью.

Прогноз по этой модели на шагов вперед определяется выражением:

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

Прогнозные оценки на основе формул (5.9.) и (5.11) получаются экстраполяцией тенденции линейного роста на основе последних значений коэффициентов a1,t и a2,t, а также добавлением (в виде сомножителя или слагаемого) самой свежей оценки сезонного эффекта для этой фазы цикла ( f t l+ или g t l+ ). Это справедливо для случая, когда время упреждения удовлетворяет условию: 0 < l. Очевидно, что для l < 2 l самой последней оценкой сезонного эффекта будут значения f t 2l+ или g t 2l+ и т.д.

Таким образом, в двух рассмотренных моделях прогнозные оценки являются функцией прошлых и текущих уровней временного ряда, параметров адаптации 1, 2, 3, а также начальных значений как коэффициентов a1,0, a2, 0 так и сезонного фактора для каждой фазы цикла.

ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В качестве a1,0, a2, 0 на практике берут МНК-оценки коэффициентов линейного тренда yt = a1 + a2 t, определенные по исходному временному ряду или его части. Начальные значения сезонного фактора для аддитивной модели определяют усреднением отклонений фактических уровней от расчетных ( yt ) для каждой фазы цикла (например, для одноименных месяцев, кварталов). Для мультипликативной модели усреднением частного от деления фактических уровней на расчетные ( yt ) для каждой фазы цикла.

Отметим, что по аналогичной схеме строятся модели с экспоненциальным и демпфирующим трендом в сочетании с сезонными эффектами обоих типов.

Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных статистических пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования.

Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM [12]. В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из 5 первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений параметров адаптации :

Сравните графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при = 0,1 и = 0,5. Укажите, какой ряд носит более гладкий характер:

Найдем значения экспоненциальной средней при = 0,1.

S3 = y3 + (1 – )S2; S3 = 0,1 504 + 0,9 505,46 = 505,31 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 5.3.

ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Проведем аналогичные расчеты для = 0,5.

Результаты расчетов представлены в таблице 5.3.

На рис. 5.2 наглядно представлено влияние значения параметра адаптации на характер сглаженного ряда.

При = 0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т. к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Рис. 5.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций:

А — фактические данные; В — экспоненциальная средняя при =0,1;

Статистические методы все шире проникают в экономическую практику. С развитием компьютеров, распространением пакетов прикладных программ эти методы вышли за стены учебных и научно — исследовательских институтов. Они стали важным инструментом в деятельности аналитических, плановых, маркетинговых отделов различных фирм и предприятий.

При прогнозировании часто исходят из того, что уровни временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты: тренд, сезонную, циклическую и случайную составляющие. В зависимости от способа сочетания этих компонент модели временных рядов делятся на аддитивные, мультипликативные или модели смешанного типа.

Обобщенными показателями динамики развития экономических процессов являются средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. При выполнении ряда предпосылок эти показатели могут быть использованы в приближенных, простейших способах прогнозирования, предшествующих более глубокому количественному и качественному анализу.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является выравнивание временных рядов, в частности, с помощью скользящих средних. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса.

Выравнивание временных рядов может осуществляться с помощью тех или иных функций времени — кривых роста. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении тенденции как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде.

Прогнозные значения по выбранной кривой роста вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным. В дополнении к точечному прогнозу желательно задать диапазон возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный (определить доверительный интервал). Доверительный интервал учитывает неопределенность, связанную с положением тренда (погрешность оценивания параметров кривой), и возможность отклонения от этого тренда.

Для того, чтобы обоснованно судить о качестве полученной модели необходимо проверить адекватность этой модели реальному процессу и проанализировать характеристики ее точности. Проверка адекватности строится на анализе остаточной последовательности и базируется на использовании ряда статистических критериев. Показатели точности описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Все характеристики точности могут быть вычислены после того, как период упреждения уже закончился, или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

Одно из перспективных направлений развития краткосрочного прогнозирования связано с адаптивными методами. Эти методы позволяют строить самокорректирующиеся модели, способные оперативно реагировать на изменение условий. Адаптивные методы учитывают различную информационную ценность уровней ряда, “старение» информации.

Все это делает эффективным их применение для прогнозирования неустойчивых рядов с изменяющейся тенденцией.

В заключение отметим, что не может быть чисто формальных подходов к выбору методов и моделей прогнозирования. Успешное применение статистических методов прогнозирования на практике возможно лишь при сочетании знаний в области самих методов с глубоким знанием объекта исследования, с содержательным экономическим анализом.

ПРАКТИКУМ

Практикум

ПРАКТИКУМ

1. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. В табл.1.1 представлены данные об изменении курса акций промышленной компании в течение месяца.

Требуется проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью метода Фостера-Стюарта.

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2. Ежеквартальная динамика процентной ставки банка в течение 7 кварталов представлена в табл. 1.2.

Требуется:

а) обосновать правомерность использования среднего абсолютного прироста для получения прогнозного значения процентной ставки в восьмом квартале;

б) рассчитать прогнозное значение процентной ставки банка в восьмом квартале, используя показатель среднего абсолютного прироста.

3. Изменение ежеквартальной динамики процентной ставки банка происходило примерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов. Процентная ставка банка в I квартале равнялась 8,3%, а в 7 квартале — 14%.

Рассчитайте прогнозное значение процентной ставки банка в 8 квартале, используя средний темп роста.

4. По данным о вводе в действие жилых домов (табл. 1.3.) рассчитайте цепные, базисные и средние:

а) абсолютные приросты;

в) темпы прироста.

ПРАКТИКУМ

В качестве базисного уровня возьмите начальный уровень ряда.

Определите прогнозное значение общей площади вводимого жилья в течение следующего 6 года (время упреждения L = 1), используя показатель среднего абсолютного прироста.

Текущий номер года, t Общая площадь, млн. кв. м 1.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних 1. Рассчитайте взвешенную скользящую среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM (табл. 1.4). Длина интервала сглаживания l = 5, сглаживание на каждом активном участке - по полиному 2-го порядка.

2. По данным об урожайности за 16 лет (табл. 1.5) рассчитайте трех- и семилетние простые скользящие средние. Графически сравните результаты.

номер года t номер года t 3. В таблице приведены квартальные данные о прибыли компании за последние четыре года. Для сглаживания колебаний примените процедуру скользящих средних, приняв длину интервала сглаживания l = 4.

ПРАКТИКУМ

4. Выведите весовые коэффициенты для расчета взвешенных скользящих средних.

Длина интервала сглаживания l = 5, сглаживание на каждом активном участке - по полиному 2-го порядка.

1.3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста 1-3. В табл. 1.7 представлены данные за 11 лет о среднегодовой численности промышленно-производственного персонала, занятого в электроэнергетике.

Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала

ПРАКТИКУМ

Требуется рассчитать прогнозное значение среднегодовой численности промышленно-производственного персонала в следующем году (время упреждения L = 1), исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана:

2) параболической моделью y t = a0 + a1t + a 2 t 2 ;

4. На основе квартальных данных об объемах продаж продукции фирмы (тыс. шт.) за 5 лет была построена тренд — сезонная модель. Сезонность носила мультипликативный характер. Оценки коэффициентов сезонности представлены в таблице.

Коэффициент сезонности Рассчитайте прогнозную оценку уровня продаж в первом полугодии следующего года, если уравнение тренда имеет вид y t = 15,2 + 0,15 t (t = 1, 2, …, 20).

1. Для временного ряда розничного товарооборота региона (млрд. руб.) длиной n = 20 (t = 1, 2,..., 20) оценены параметры трендовой модели: yt = 10,2 + 1,2t. Дисперсия отклонений фактических значений от расчетных S2 = 0,25.

Используя эту модель, рассчитайте точечный прогноз и интервальный в точке t = 21. Доверительную вероятность принять равной 0,9.

2. Для прогнозирования численности промышленно-производственного персонала предприятия была выбрана модель yt = a0 + a1t. Оценка параметров трендовой модели осуществлялась по квартальным данным за период с I квартала 1999 г. по IV квартал 2003 г.

Значение статистики Дарбина-Уотсона для ряда остатков d = 1,39.

Проверить гипотезу об отсутствии в остатках автокорреляции первого порядка (уровень значимости = 0,05).

3. Программа выдала следующие характеристики ряда остатков:

— коэффициент асимметрии А = 0,6;

— коэффициент эксцесса Э = 0,7.

На основании этих характеристик проверить гипотезу о нормальном законе распределения остаточной последовательности.

4. В табл. 1.8 представлены квартальные данные о прибыли компании за последние четыре года. Для описания тенденции этого временного ряда построена линейная модель yt = 51,878 + 2,320t, (t = 1, 2, …, 16). Требуется проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка в остатках, полученных после построения линейной трендовой модели.

(Уровень значимости = 0,05).

ПРАКТИКУМ

1.5. Использование адаптивных методов прогнозирования 1. Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда объема продаж продукции фирмы (табл. 1.9) при значении параметра адаптации =0,1. В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из всех представленных уровней.

ПРАКТИКУМ

2. По данным задания № 1 рассчитайте экспоненциальную среднюю при двух различных значениях параметра адаптации: = 0,5 и = 0,9. Сравните графически исходный временной ряд и экспоненциально сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Укажите, какой временной ряд носит более гладкий характер.

3. Докажите, что в модели экспоненциального сглаживания веса отдельных уровней ряда экспоненциально убывают по мере их удаления в прошлое.

4. Докажите, что дисперсия экспоненциально сглаженного временного ряда меньше дисперсии исходного временного ряда.

ПРАКТИКУМ

2. РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера-Стюарта представлены в таблице 2.1.