«К. К. ВАСИЛЬЕВ, М. Н. СЛУЖИВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ Учебное пособие по дисциплине Математическое моделирование каналов и систем телекоммуникаций для студентов специальностей 21040665 Сети связи и ...»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

К. К. ВАСИЛЬЕВ, М. Н. СЛУЖИВЫЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СИСТЕМ СВЯЗИ

Учебное пособие по дисциплине

«Математическое моделирование каналов и систем телекоммуникаций»

для студентов специальностей 21040665 «Сети связи и системы коммутации»

и 21040465 «Многоканальные телекоммуникационные системы»

Ульяновск 2008 УДК 621.391 (075) ББК 32я7 В 19 Рецензенты:

кафедра радиоэлектроники Ульяновского высшего военного инженерного училища связи доктор технических наук, профессор Кумунжиев К. В.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Васильев, К. К.

В 19 Математическое моделирование систем связи : учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 170 с.

ISBN 978-5-9795-0100- Рассмотрены вопросы математического моделирования сигналов и помех, имеющих место в телекоммуникационных системах, а также основные сведения о системах передачи информации. Описаны методы построения математических моделей случайных величин, процессов и полей, а также случайных потоков, качественно отражающих процессы в реальных системах.

Для студентов, магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области математического моделирования инфокоммуникационных систем.

Книга печатается в авторской редакции.

УДК 621.391 (075) ББК 32я © Васильев К. К., Служивый М. Н., ISBN 978-5-9795-0100-0 © Оформление. УлГТУ, Учебное издание ВАСИЛЬЕВ Константин Константинович СЛУЖИВЫЙ Максим Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ

Учебное пособие Подписано в печать 10.04.2008.

Формат 6084/16. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 9,99. Тираж 100 экз.

Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец,

ВВЕДЕНИЕ

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта его образом – математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительнологических алгоритмов. Этот метод сочетает в себе достоинства, как теории, так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в системах передачи и обработки информации, к сокращению сроков исследования и разработки новых телекоммуникационных систем и сетей.

Учебное пособие посвящено методам математического моделирования сигналов в телекоммуникационных системах, которые в настоящее время интенсивно развиваются.

В первой главе описаны методологические основы моделирования, определены понятия аналитического и имитационного моделирования, приведены основные сведения из теории систем, кратко описан системный подход к моделированию, изложены принципы построения математических моделей, дана классификация моделей.

Во второй главе приведены сведения из теории вероятностей, описаны различные методы моделирования негауссовских случайных величин: метод обратных функций, метод суперпозиции, методы Неймана и кусочной аппроксимации. Приведен ряд моделирующих алгоритмов с использованием гамма-распределения. В общих чертах описано моделирование векторных случайных величин.

Третья глава посвящена методам моделирования случайных процессов.

Вначале дается понятие марковского случайного процесса. Далее приводятся основные сведения о стохастических дифференциальных и разностных уравнениях, используемых для описания нелинейных марковских моделей имеющих распределения Пирсона и Накагами. Затем описаны модели случайных последовательностей в виде временных рядов: процессы авторегрессии и скользящего среднего. Особое внимание уделяется методам формирующего фильтра и скользящего суммирования, а также представлению дискретных моделей стационарных случайных процессов с типовыми корреляционными функциями.

Четвертая глава посвящена моделированию случайных полей, которые являются хорошими математическими моделями многомерных массивов данных, таких как пространственно-временные сигналы, наблюдаемые на фоне помех. Значительное внимание уделяется алгоритмам формирования дискретных случайных полей и авторегрессионным моделям случайных полей.

Приведен ряд конкретных моделирующих алгоритмов для непрерывных случайных полей.

В пятой главе изложены основы теории случайных потоков, рассмотрены простейший поток, поток с ограниченным последействием, нормальный поток.

Подробно описаны фрактальные модели случайных потоков, а также алгоритмы моделирования самоподобных случайных процессов. Представлены модели систем массового обслуживания с отказами и с ожиданием (очередью) с использованием диаграмм состояний и переходов.

В шестой главе кратко дана классификация систем передачи информации, описаны основные характеристики систем связи, а также сигналов и помех в различных системах. Описаны обобщенные модели непрерывных и дискретных каналов связи. Приведены сведения о моделях реальных каналов связи и их параметрах.

В седьмой главе представлены основные сведения о математической программной среде MATLAB и пакете визуального моделирования Simulink.

Даны общие замечания по визуальному моделированию систем. Кратко описано создание и маскирование подсистем с помощью пакета Simulink на примере типичной радиосистемы передачи информации.

Материал, приведенный в пособии, будет полезен студентам и аспирантам, изучающим методы математического моделирования сигналов и систем.

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Современное состояние проблемы моделирования систем 1.1.1. Понятия модели и моделирования Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.

При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами [19]. Существует ряд общих требований к моделям:

1) адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:

физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому [10, 41]. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.

Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием [10].

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры [41]. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования [10, 18, 41].

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах.

1.1.2. Основные понятия математического моделирования Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т.д. [14] Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и может устранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами.

Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например, из области механики, электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.

Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.

Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

1.1.3. Аналитическое моделирование Для аналитического моделирования характерно, что процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений) [10]. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде и их решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые его свойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простых систем. Для сложных систем часто возникают большие математические проблемы. Для применения аналитического метода идут на существенное упрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенной модели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитические модели математически верно отражают связь между входными и выходными переменными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннюю структуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в виде аналитических выражений [14]. Например, подключив RC -цепь к источнику постоянного напряжения E ( R, C и E - компоненты данной модели), мы можем составить аналитическое выражение для временной зависимости напряжения u ( t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и является аналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическое решение, при начальном условии u ( 0 ) = 0, означающем разряженный конденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомую зависимость – в виде формулы:

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилия для решения ДУ (1.1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютерной алгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачи моделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (1.2) достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любых номиналах компонентов R, C и E, и описывает экспоненциальный заряд конденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E.

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическом моделировании оказывается исключительно ценным для выявления общих теоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.

Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий на модель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающих моделируемый объект. Можно получить более или менее обозримые результаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но уже при большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерно громоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простой электронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем не менее, многие современные СКМ, например, системы символьной математики Maple, Mathematica или среда MATLAB (глава 7), способны в значительной мере автоматизировать решение сложных задач аналитического моделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование [30, 37], которое заключается в получении необходимых количественных данных о поведении систем или устройств каким-либо подходящим численным методом, таким как методы Эйлера или Рунге-Кутта [37]. На практике моделирование нелинейных систем и устройств с использованием численных методов оказывается намного более эффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейных цепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1.1) или систем ДУ в более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но по данным численного моделирования можно получить достаточно полные данные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построить графики описывающих это поведение зависимостей.

1.1.4. Имитационное моделирование При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени [42].

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерное моделирование», которое все чаще используется в литературе. Будем полагать, что компьютерное моделирование - это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий [10]:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот - их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для аналитического и имитационного моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастической системы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтому для нахождения характеристик системы требуется многократное повторение и последующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяется разновидность имитационного моделирования - статистическое моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, процессов, полей [13, 30, 41].

По результатам статистического моделирования определяют оценки вероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующих функционирование и эффективность управляемой системы. Статистическое моделирование широко применяется для решения научных и прикладных задач в различных областях науки и техники. Методы статистического моделирования широко применяются при исследовании сложных динамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан на математической обработке полученных результатов. Здесь используют методы математической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание, проверку гипотез) [39]. Примером параметрической оценки является выборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрических методов большое распространение получил метод гистограмм.

Рассмотренная схема основана на многократных статистических испытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.

Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальной по затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто за счет использования более точных методов оценивания. Как известно из математической статистики, наибольшую точность при заданном объеме выборки имеют эффективные оценки [5, 38]. Оптимальная фильтрация и метод максимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок [38].

В задачах статистического моделирования обработка реализаций случайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайных воздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределений генерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача часто формулируется как задача проверки гипотез [5].

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложных управляемых систем является стремление к уменьшению времени моделирования, а также проведение исследований в реальном масштабе времени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентной форме, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации [4, 28, 29].

1.2. Принципы системного подхода в моделировании Основные положения теории систем возникли в ходе исследования динамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместно с целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяет определить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи, обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощью гипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начать построение системы, необходимо иметь общие характеристики технологических процессов. Это же справедливо и в отношении принципов создания математически сформулированных критериев, которым должен удовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделирование является одним из наиболее важных методов научного исследования и экспериментирования [22, 27, 40].

При построении моделей объектов используется системный подход, представляющий собой методологию решения сложных задач, в основе которой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующей в некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостности объекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связей с внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира, которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построения модели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель проектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающей средой [19].

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Она связана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией и энергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства, не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению до уровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня, дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объекта в виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания, исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представление системы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними, называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строения системы до уровня элементов – микроструктурой [19].

Наряду с системой обычно существует надсистема – система более высокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причём функция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира, существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но не входящих в состав системы и ее надсистемы [19].

В связи с системным подходом к построению моделей используется понятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ее окружением (средой).

При этом выделение, описание и исследование свойств объекта, существенных в рамках конкретной задачи называется стратификацией объекта, а всякая модель объекта является его стратифицированным описанием [19].

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный и функциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системы и их связи с помощью графов.

Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуется функциональный подход, определяющий функции, которые выполняет система.

На базе системного подхода может быть предложена последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:

макропроектирование и микропроектирование [19].

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критерии для оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает создание информационного, математического, технического и программного обеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаются основные технические характеристики созданной модели, оцениваются время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного подхода [19, 22]:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

1.3. Принципы построения математических моделей Рассмотрим основные принципы моделирования, отражающие опыт, накопленный к настоящему времени в области разработки и использования ММ [10].

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла.

Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время.

3. Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс.

4. Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы).

Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.

Степень реализации перечисленных принципов и каждой конкретной модели может быть различной, причем это зависит не только от желания разработчика, но и от соблюдения им технологии моделирования. А любая технология предполагает наличие определенной последовательности действий Общая цель моделирования может быть сформулирована следующим образом: это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности (ПЭ) для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Для критерия пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значений ПЭ для всего множества допустимых стратегий. При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение ПЭ [10].

Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования. Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований по производительности и по надежности. В этом случае целью моделирования является отыскание параметров сети, обеспечивающих минимальное значение ПЭ, в роли которого выступает стоимость.

Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т. п.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Приведенные примеры говорят о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, поскольку на этом этапе не определена концептуальная модель исследуемой системы.

В целом при решении любой задачи построения модели основную роль играют следующие четыре элемента [40]:

1) эксперимент;

3) показатели эффективности;

4) критерии принятия решений.

Необходимо должным образом определить перечисленные элементы и понять их взаимосвязь, поскольку они оказывают большое влияние на проектирование системы и на планирование ее работы в целом. Критерии принятия решений позволяют выбрать наиболее эффективные параметры системы. Обычно этот процесс называется оптимизацией [40].

1.4. Классификационные признаки и классификация моделей В процессе построения модели различают три вида или стадии построения:

мысленная модель, концептуальная модель и формальная модель [19].

При наблюдении за объектом в голове исследователя формируется мысленный образ объекта, его идеальная модель. Формируя такую модель, разработчик, как правило, стремится ответить на конкретные вопросы.

От реального очень сложного устройства объекта отсекается все ненужное с целью получения его более компактного и лаконичного описания.

Представление мысленной модели на естественном языке называется содержательной моделью [19].

По функциональному признаку и целям содержательные модели делятся на описательные, объяснительные и прогностические. Описательной моделью называется любое описание объекта. Объяснительная модель позволяет ответить на вопрос: почему это происходит? Прогностическая модель описывает будущее поведение объекта [19].

Концептуальная (содержательная) модель - это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования. Иными словами, это содержательная модель, при формулировании которой используются понятия и представления предметных областей, связанных с моделью. Например, ММ формулируется на языке математики – с помощью математических структур: формул, пространственных форм и т.п. [10] Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные [19].

Логико-семантическая модель – описание объекта в терминах соответствующих предметных областей знаний. Анализ таких моделей осуществляется средствами логики с привлечением специальных знаний.

рассматривается как целостная система, которую расчленяют на отдельные подсистемы или элементы. Части системы связывают структурными отношениями, описывающими подчиненность, логическую и временную последовательность решения задач.

Причинно-следственная модель прогнозирования поведения объекта. Такие модели ориентированы на следующие моменты: 1) выявление главных взаимосвязей между подсистемами; 2) выявление определенного влияния различных факторов на состояние объекта; 3) описание динамики интересующих разработчика параметров.

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью формальных языков. К таким языкам относятся математический аппарат, алгоритмические языки, языки моделирования.

Построение концептуальной модели включает следующие этапы [10]:

1) определение типа системы;

2) описание внешних воздействий;

3) декомпозиция системы.

На первом этапе осуществляется сбор фактических данных (на основе работы с литературой и технической документацией, проведения натурных экспериментов, сбора экспертной информации и т. д.), а также выдвижение гипотез относительно значений параметров и переменных, для которых отсутствует возможность получения фактических данных. Если полученные результаты соответствуют принципам информационной достаточности и осуществимости, то они могут служить основой для отнесения моделируемой системы к одному из известных типов (классов).

Одним из классификационных признаков моделируемой системы является мощность множества состояний моделируемой системы. По этому признаку системы делят на статические и динамические. Система называется статической, если множество ее состояний содержит один элемент. Если состояний больше одного, или они могут изменяться во времени, система называется динамической. Процесс смены состояний называется движением системы.

Различают два основных типа динамических систем [10]:

– с дискретными состояниями (множество состояний конечно или счетно);

– с непрерывным множеством состояний.

Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любой момент времени можно однозначно определить, в каком именно состоянии находится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тот признак, который отличает одно состояние системы от другого. Например, при исследовании систем массового обслуживания в качестве такого признака обычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числа заявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.

Если же не удается подобрать такой признак, либо его текущее значение невозможно зафиксировать, то систему относят к классу систем с непрерывным множеством состояний.

Смена состояний может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно (например, поступление новых заявок на обслуживание), либо непрерывно (изменение температуры тела при нагревании). В соответствии с этим различают системы с дискретным временем переходов (смены состояний) и системы с непрерывным временем переходов (точнее, «живущие» в непрерывном времени).

По условиям перехода из одного состояния в другое различают детерминированные системы и стохастические.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

Рассмотренная схема классификации систем важна не сама по себе.

На этапе разработки концептуальной модели она, во-первых, позволяет уточнить цели и задачи моделирования и, во-вторых, облегчает переход к этапу формализации модели. Кроме того, значительно позже, на этапе оценки качества разработанной модели, знание классификационных признаков дает возможность оценить степень ее соответствия первоначальному замыслу разработчика [10].

Необходимо отметить, что рассмотренные классификационные признаки применимы и для определения типа разрабатываемой модели. При этом исследуемая система и ее модель могут относиться как к одному, так и к разным классам. Например, реальная система может быть подвержена воздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классу стохастических систем. Если разработчик модели считает, что влиянием этих факторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную систему. Аналогичным образом возможно отображение системы с непрерывным временем смены состояний в модель с дискретными переходами и т. д.

Совокупность факторов, воздействующих на систему и оказывающих влияние на эффективность её функционирования, назовем внешними воздействиями (ВВ) [10].

Например, пусть оценивается производительность бортовой вычислительной системы (ВС) при управлении полетом космического корабля.

В качестве параметров внешних воздействий такой ВС целесообразно рассматривать поток информации, подлежащей обработке, и поток отказов, приводящий к нарушению вычислительного процесса. Оценки производительности ВС будут иметь смысл только в том случае, если известно, для какой рабочей нагрузки они получены. Это утверждение справедливо для любой задачи принятия решения, к какой бы предметной области она ни относилась. Нельзя говорить о прочности моста, не указывая, на какую максимальную нагрузку он рассчитан; точно так же некорректно сообщать максимальную скорость автомобиля, не уточнив, в каких условиях она была достигнута.

Описание ВВ является не только важной, но и достаточно сложной задачей. Особенно в тех случаях, когда приходится учитывать влияние случайных факторов, или когда речь идет о внешних воздействиях на проектируемую принципиально новую систему. В связи с этим введем понятие «модели внешних воздействий», подчеркивая сопоставимость уровня сложности описания собственно системы и внешних воздействий на неё.

Модель внешних воздействий должна обладать следующими основными свойствами:

– совместимостью с моделью системы;

– представительностью;

– управляемостью;

– системной независимостью.

Свойство совместимости предполагает, что, во-первых, степень детализации описания ВВ соответствует детализации описания системы; вовторых, модель ВВ должна быть сформулирована в тех же категориях предметной области, что и модель системы (например, если в модели системы исследуется использование ресурсов, то должны быть выражена в запросах на ресурсы) [10].

Представительность модели ВВ определяется ее способностью адекватно представить ВВ в соответствии с целями исследования. Другими словами, модель ВВ должны отвечать целям исследования системы. Например, если оценивается пропускная способность, то должны выбираться ВВ, «насыщающие» систему. Под управляемостью понимается возможность изменения параметров модели ВВ в некотором диапазоне, определяемом целями исследования.

Системная независимость - это возможность переноса модели ВВ с одной системы на другую с сохранением ее представительности. Данное свойство наиболее важно при решении задач сравнения различных систем или различных модификаций одной системы. Если модель ВВ зависит от конфигурации исследуемой системы или других ее параметров, то использование такой модели для решения задачи выбора невозможно, И, наконец, обратимся к этапу, завершающему построение концептуальной модели системы, - ее декомпозиции [10].

Декомпозиция системы производится исходя из выбранного уровня детализации модели, который, в свою очередь, определяется тремя факторами:

– целями моделирования;

– объемом априорной информации о системе;

– требованиями к точности и достоверности результатов моделирования.

Уровни детализации иногда называют стратами, а процесс выделения уровней, как уже упоминалось, - стратификацией. Детализация системы должна производиться до такого уровня, чтобы для каждого элемента были известны или могли быть получены зависимости его выходных характеристик от входных воздействий, существенные с точки зрения выбранного показателя эффективности. Повышение уровня детализации описания системы позволяет получить более точную ее модель, но усложняет процесс моделирования и ведет к росту затрат времени на его проведение. Например, если моделируется дискретная система, то увеличение детальности ее описания означает увеличение числа различных состояний системы, учитываемых в модели, и, как следствие - неизбежный рост объема вычислений. Поэтому при выборе уровня описания системы целесообразно руководствоваться следующим правилом:

в модель должны войти все параметры, которые обеспечивают определение интересующих исследователя характеристик системы на заданном временном интервале ее функционирования; остальные параметры по возможности следует исключить из модели.

Приступая к разработке или исследованию системы, мы, прежде всего, накапливаем информацию о данной, или подобной ей, системе. Эта информация далее реализуется в описании системы, которое и является основой для построения её математической модели. Поэтому, прежде всего, рассмотрим классификацию технических систем, моделированию которых посвящено настоящее пособие. Все системы подразделяются на непрерывные и с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами.

В системах с сосредоточенными параметрами переменные зависят только от времени и не зависят от прочих координат. Для систем с распределенными параметрами переменные зависят как от времени, так и от прочих координат.

В зависимости от задачи одна и та же система может рассматриваться и как система с сосредоточенными параметрами и как система с распределенными параметрами. Например, нельзя указать точные границы для тока в проводе.

Что касается классов моделей, то здесь имеется четкая граница. Системы с распределенными параметрами описываются с помощью ДУ в частных производных. Система с сосредоточенными параметрами – с помощью обыкновенных ДУ.

Дискретные системы подразделяются на синхронные и асинхронные.

В синхронных системах имеются точные метки времени, в которые происходят изменения состояния (например, тактовый генератор ПЭВМ).

В асинхронных системах смена состояния не привязана ко времени (например, появление заявки или пакета в телекоммуникационной сети).

В общем случае система определяется множеством признаков (особенностей), элементы i, i = 1... k которого характеризуют всю совокупность её свойств: алгоритм функционирования, структуру, численные значения параметров, особенности внешней среды, вид ВВ, начальные условия, реакцию системы и показатели качества системы [3]. Все это множество признаков и составляет описание системы.

Задача исследования состоит в расширении наших знаний о системе, т. е. в итоге сводится к уточнению её описания. Поэтому множество неизвестных на начальном этапе исследования признаков (или известных неточно), в общем случае можно представить неким потенциальным источником информации, а исследование системы, её описание, как процесс извлечения этой информации из источника.

Описание действующей системы, когда её структура неизвестна, формируется с помощью её идентификации, т.е. подбора аппроксимирующих соотношений с той или иной полнотой отображающих поведение наблюдаемой системы [3]. При этом единственной информацией, которой располагает исследователь, является вектор входных воздействий u и соответствующий ему вектор y реакций системы, а сама система представляется «черным ящиком». Принцип «черного ящика» может быть применен как к системе в целом, так и к отдельным её звеньям. В последнем случае система описывается совокупностью взаимодействующих «черных ящиков», каждый из которых наделен определенными функциями, которые можно выявить в процессе изучения реакций при заданных воздействиях или задать априорно.

1.5. Основные этапы математического моделирования Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели, что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей.

Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем, который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей;

экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости;

физического смысла; устойчивости модели [26].

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются.

Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из ММ, должны соответствовать физическому смыслу задачи.

Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие ММ граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММ дает однозначное решение.

Анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении ММ.

Проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

1.5.1. Понятие о вычислительном эксперименте В настоящее время основным способом исследования ММ и проверки ее качественных показателей служит вычислительный эксперимент.

Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ как технической базы при использовании ММ. Вычислительный эксперимент основывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях, и включает в себя следующие этапы [26].

1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается в математических, терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений;

создание ММ проводится специалистами, хорошо знающими данную область естествознания или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи [37].

2. Разрабатывается метод решения сформулированной математической задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающие последовательность применения этих формул; набор этих формул и условий носит название вычислительного алгоритма. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Между тем в результате такого эксперимента часто ставится задача определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим при организации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы, 3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ.

Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать.

Точность информации определяется при вычислительном эксперименте достоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы [35]. На этом этапе могут возникнуть необходимость уточнения ММ (усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих возможности получить необходимую информацию более простым способом.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической модели оказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрировать значение вычислительного эксперимента при исследовании влияния городской застройки на параметры распространения радиосигнала [17]. В связи с интенсивным развитием систем мобильной связи данная задача в настоящее время является особенно актуальной. С целью снижения затрат при частотнотерриториальном планировании производится оптимизация частотнотерриториального плана с учетом таких факторов как рельеф местности, конфигурация городской застройки, атмосферные воздействия. Кроме этого, с учетом динамичности развития города необходимо постоянное уточнение соответствующих моделей. То, что принято называть уровнем сигнала (средняя напряженность электромагнитного поля) представляет собой результат сложного взаимодействия физических процессов, протекающих при распространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и сооружения;

воздействие на сигнал помех искусственного и естественного происхождения;

атмосферная рефракция сигнала; отражения сигнала от зданий и от земной поверхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В данном случае окружающую среду можно исследовать, строя соответствующую ММ, которая должна позволять предсказывать уровень сигнала при заданной конфигурации застройки, рельефе местности, погодных условиях и т. п. Масштабы среды распространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в одном каком-то регионе требует существенных затрат.

Таким образом, глобальный эксперимент по исследованию распространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный, проводящий исследования не реальной системы (окружающей среды), а ее ММ.

В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложных систем.

Пригодность ММ для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами, основными из которых являются адекватность, устойчивость и чувствительность.

1.5.2. Оценка адекватности В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования.

В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики [6, 7, 39]. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них [10, 26]:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной Y среднему значению отклика реальной системы Y *.

В результате N 0 опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) Y. Выполнив N M экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной Y.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин Y и Y (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является t -статистика (распределение Стьюдента) [39].

Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением tkp, взятым из справочной таблицы [7]. Если выполняется неравенство tn < tkp, то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе.

На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.

1.5.3. Оценка устойчивости При проверке адекватности модели как существующей, так и проектируемой системы реально может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности получаемых результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчивости модели [10]. В теории моделирования это понятие трактуется следующим образом.

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Каким образом может быть оценена устойчивость модели? Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто полезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

В общем случае можно утверждать, что чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель.

Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики. Здесь уместно вспомнить основную задачу математической статистики, которая заключается в том, чтобы проверить гипотезу относительно свойств некоторого множества элементов, называемого генеральной совокупностью, оценивая свойства какого-либо подмножества генеральной совокупности (то есть выборки). В генеральной совокупности исследователя обычно интересует некоторый признак, который обусловлен случайностью и может иметь качественный или количественный характер.

В данном случае именно устойчивость результатов моделирования можно рассматривать как признак, подлежащий оценке. Для проверки гипотезы об устойчивости результатов может быть использован критерий Уилкоксона, который служит для проверки того, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности (т. е. обладают ли они одним и тем же статистическим признаком) [7, 39]. Например, в двух партиях некоторой продукции измеряется определенный признак и требуется проверить гипотезу о том, что этот признак имеет в обеих партиях одинаковое распределение;

другими словами, необходимо убедиться, что технологический процесс от партии к партии изменяется несущественно. При статистической оценке устойчивости модели соответствующая гипотеза может быть сформулирована следующим образом: при изменении входной (рабочей) нагрузки или структуры ММ закон распределения результатов моделирования остается неизменным.

1.5.4. Оценка чувствительности Очевидно, что устойчивость является положительным свойством модели.

Однако если изменение входных воздействий или параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях выходных параметров, то польза от такой модели невелика. В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению параметров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы [10].

Такую оценку проводят по каждому параметру модели в отдельности.

Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной [42].

1.6. Заключительные замечания Роль, которую играет математическое моделирование, безусловно, зависит от характера рассматриваемой задачи, мастерства экспериментатора, располагаемого времени и отпущенных средств, а также от выбранной модели.

Необходимо постоянно иметь в виду первоначальную задачу. Самая распространенная ошибка связана с тем, что теряется из виду основная цель.

Другой ошибкой является переход к моделированию при отсутствии достаточного количества данных о поведении системы в прошлом.

В работе [40] предложен основной метод последовательного решения задачи, состоящий из следующих этапов:

1) формулировка задачи;

2) накопление экспериментальных данных (в том числе, анализ возможных ошибок в системе регистрации данных, а в некоторых случаях разработка новой системы регистрации, которая будет давать соответствующие данные);

3) определение влияния рабочих параметров системы или процесса (анализ случайных колебаний процесса с целью выяснения статистической зависимости результатов от соответствующих параметров);

4) составление методики эксперимента (например, изменение параметров с целью определения фактического воздействия на результат);

5) уменьшение числа «рабочих» параметров (оставление лишь тех параметров, к изменению которых результаты наиболее чувствительны);

6) выяснение ограничений, свойственных методу.

Одной из основных ошибок при математическом моделировании является стремление к искажению реальных условий, т. е. условий, наблюдаемых в естественной или технической системе. Эти искажения часто делаются для того, чтобы воспользоваться определенной, уже созданной для другой цели моделью.

Такой порядок неразумен, даже если он кажется целесообразным. В отличие от таких типовых методов, как, например, методы линейного программирования [18], математическое моделирование требует применения довольно утомительных операций, поскольку в данном случае необходимо выводить специальные математические уравнения, адекватно описывающие рассматриваемую реальную систему.

Задача экспериментатора не ограничивается построением модели. После разработки модели в нее необходимо ввести определенную информацию, чтобы проверить, насколько приближаются воспроизводимые ею данные к ранее зарегистрированным экспериментальным данным, которые соответствуют введенной информации. Лишь в том случае, когда воспроизводимые данные достаточно близки к исходной информации, можно будет гарантировать определенный успех при использовании модели для экспериментирования.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.1. Общая характеристика методов моделирования Под моделированием случайной величины (СВ) принято понимать процесс получения на ЭВМ ее выборочных значений 1,..., N. Величины 1,..., N статистически независимы и имеют одинаковое распределение вероятностей, совпадающее с распределением СВ. Практически любая задача статистического моделирования содержит в качестве самостоятельного этапа получение реализаций СВ с заданными законами распределения.

Исходным материалом для формирования на ЭВМ СВ с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале (0, 1) случайные числа, которые вырабатываются на ЭВМ программным датчиком случайных чисел. Программы для получения псевдослучайных величин с равномерным законом распределения входят в математическое обеспечение современных ЭВМ и здесь не приводятся.

В настоящей главе рассматриваются основные методы моделирования СВ, применяемые при моделировании систем связи, такие как методы нелинейного преобразования, суперпозиции, Неймана, кусочной аппроксимации [1, 3, 4].

Рассмотрим сначала общие приемы получения СВ с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.

2.2. Моделирование случайных величин с негауссовским 2.2.1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции Задачи моделирования случайных процессов, имеющих место в системах передачи и обработки сигналов, часто приводят к необходимости получения СВ с негауссовским законом распределения. Наиболее эффективным аналитическим методом получения негауссовских СВ является метод монотонного нелинейного преобразования (метод обратных функций) [4].

Найдем закон распределения величины y полученной нелинейным преобразованием y = ( x ) непрерывной СВ x (рис. 2.1). Будем считать, что существует взаимно однозначное преобразование y = ( x ). Обратное преобразование обозначим x = 1 ( y ).

Рис. 2.1. Функциональное преобразование случайной величины Из рис. 2.1 видно, что всегда, когда СВ x попадает в интервал [ x0, x0 + x ], СВ y попадает в интервал [ y0, y0 + y ]. Поэтому выполняется равенство соотношение Рассмотрим типичный пример получения СВ с заданным законом распределения из СВ с равномерным распределением. Пусть задана СВ x с равномерным законом распределения w ( x ) = 1, x [ 0, 1], необходимо получить случайное число y с заданным законом распределения w ( y ), которому соответствует некоторое нелинейное преобразование, например, y = x3. Далее Теперь решим обратную задачу: найдем вид преобразования ( x ) по проинтегрируем левую и правую части (2.1) откуда находим функцию распределения F ( y ), тогда СВ y можно найти с помощью преобразования y = ( x ).

Описанный выше метод моделирования называется методом обратных функций. Для моделирования СВ с заданной функцией распределения необходимо осуществить нелинейное преобразование вида Формула (2.3) означает решение уравнения где x ~ Uni [ 0, 1] означает, что СВ x имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].

Комбинируя формулы (2.2) и (2.3), можно по реализации СВ x с произвольной функцией распределения моделировать величины с требуемой функцией распределения F ( y ). Моделирующий алгоритм дает суперпозиция нелинейных преобразований (2.2) и (2.3):

Получим с помощью метода обратных функций моделирующие алгоритмы для ряда распределений, используемых при моделировании случайных процессов и полей [4].

Рассмотрим СВ с рэлеевским законом распределения. В этом случае плотность распределения вероятностей (ПРВ), функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид:

где — параметр рэлеевского распределения. При этом СВ y можно получить решая уравнение (2.4), откуда получаем где x - равномерно распределенная в интервале [0, 1] СВ (переход от ln (1 x ) к ln x в последней формуле основан на том, что СВ 1 x и x имеют здесь одинаковые законы распределения).

Аналогично, для получения СВ, описывающей интервалы времени между соседними заявками, поступающими на вход телекоммуникационной системы и имеющей показательный закон распределения [6] решая уравнение F ( y ) = x, т.е. 1 e y = x, находим обратную функцию y = ln x. Таким образом, показательную СВ y можно сформировать из равномерной СВ x с помощью функционального преобразования y = ln x.

Путём преобразований можно сформировать СВ, распределенные соответственно по закону арксинуса и закону Коши Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения СВ у, формируемых согласно алгоритмам (2.6), не изменится, если аргумент ( x 1/ 2 ) у тригонометрических функций заменить аргументом 2 x.

Рассмотрим СВ y, имеющую ПРВ [41] Соответствующая функция распределения Уравнение (2.2) в данном случае примет вид Находя отсюда y, получим Рассмотрим моделирование СВ с плотностью [41] Интегрируя формулу (2.7), получим для функции распределения выражение Отсюда получаем уравнение из которого следует моделирующий алгоритм К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения СВ с заданным законом распределения из равномерно распределенных СВ. В частности, у СВ с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается через элементарные функции. В подобных случаях для формирования СВ с заданным распределением используются различные аппроксимации функции F 1 ( y ), а также другие подходы к решению задачи моделирования [3, 4, 28].

2.2.2. Метод суперпозиции Рассмотрим дискретную СВ y, принимающую n значений ak с вероятностями p1,..., pn. Эта величина задается рядом распределения Обычно используют следующий алгоритм моделирования. Отрезок [ 0, 1] разбивают на n последовательных отрезков 1,..., n, длины которых равны соответственно вероятностям p1,..., pn. Разыгрывается значение величины x [ 0, 1] с равномерным распределением и далее принимается Этот алгоритм применим и для дискретных СВ, принимающих бесконечное множество значений.

Для моделирования СВ с плотностью распределения вида осуществляется в два этапа. Сначала разыгрывается реализация дискретной СВ, принимающей значения 1, 2,..., n с вероятностями pk. После получения значения k, моделируется СВ с ПРВ wk ( y ). Ее значение и принимается в качестве y.

Модели вида (2.8) называются смесями распределений w1 ( y ),..., wn ( y ).

Описанный алгоритм по существу воспроизводит реальный физический механизм появления смесей распределений. Сумма в формуле (2.8) может содержать большое число слагаемых.

Рассмотрим пример применения метода суперпозиции. Пусть требуется промоделировать СВ с ПРВ вида [41] Функция (2.9) может рассматриваться как смесь двух распределений Коши, отличающихся параметрами сдвига b = ±. Вероятности pi равны p1 = p2 = 0.5.

Из второй формулы (2.6) для y следует моделирующий алгоритм где x, x - независимы; x ~ Uni [ 0, 1] ; x принимает равновероятно два значения Рассмотрим СВ, имеющую ПРВ Распределение (2.11) есть смесь двух нормальных распределений с равными дисперсиями 2 и средними ±, p1 = p2 = 0.5. Метод суперпозиции дает следующий моделирующий алгоритм:

Здесь ~ N ( 0, 1), x определена в формуле (2.10) и обе величины независимы между собой.

2.2.3. Моделирование случайных величин с помощью Ряд моделирующих алгоритмов может быть получен путем сведения к типовым распределениям, отличным от равномерного и нормального закона, например, к гамма-распределению [41]. CВ x имеет гамма-распределение x ~ (, ) с параметрами и, если ее ПРВ равна где > 0, > 0, ( ) = t 1e t dt - гамма-функция. В частности, при = 1 2, = n 2 распределение (2.12) сводится к n = k, k ~ N ( 0, 1). СВ x может быть представлена в виде Соответствующий моделирующий алгоритм имеет вид В частности, для целых = n имеем где СВ k ~ Uni [ 0, 1] и независимы в совокупности.

Нелинейное преобразование y = xµ ; µ 0 ; x ~ (, ) дает СВ с ПРВ вида п/п Эта формула следует из формул (2.1), (2.2) при ( x ) = xµ, 1 ( x ) = x1 µ.

В частности, при µ = 1 2 имеем СВ y с ПРВ имеет обобщенное распределение вида (2.14) и может быть представлена в виде y = 2 y1, y1 ~ (1, 1). Отсюда и из формулы (2.13) при n = 1 получаем известный моделирующий алгоритм для СВ с рэлеевским распределением:

Для удобства, рассмотренные выше и другие распределения и алгоритмы, моделирующие соответствующие СВ, сведены в таблицу 1.1. Все ПРВ равны нулю при y < 0. В таблице 1.1 первый номер имеет гамма-распределение, x ~ (, ), его частные случаи: при = 1 - показательное распределение; при = 1 2 и = n 2 - распределение «хи-квадрат» с n степенями свободы.

Распределения 2, 3 являются µ -й степенью гамма-распределения; µ = 1 2 - для распределения 3. Обобщенное распределение Фишера моделируется алгоритмом 4, где величины xi ~ ( i, i ) независимы. СВ с распределениями 5, 6 моделируются как µ -я степень обобщенного распределения Фишера; для ПРВ 6 µ = 1 2. Алгоритм 6 при 1 = 1 2, 2 = n 2, = 1 n позволяет получить распределение СВ y = tn, где tn = 2 n - статистика Стьюдента. СВ в 7-й строке таблицы 1.1 имеет бета-распределение, > 0 - любое число.

2.3. Некоторые специальные методы моделирования Для моделирования СВ с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел [4].

Например, путем суммирования большого числа (12) случайных чисел xi с равномерным законом распределения в интервале (0, 1) можно получить СВ y, ПРВ которой близка к нормальной ПРВ N (0, 1):

Известно также, что распределение произведения двух независимых СВ, одна из которых имеет рэлеевское распределение, а другая распределена по закону арксинуса (2.6) с нулевым средним значением и дисперсией, равной 1/2, является нормальным. Это позволяет формировать нормальную СВ путем распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел x1 и x2 :

Параметры получаемой этим способом нормальной СВ будут (0, ). Из этих же чисел можно получить еще одну нормальную СВ некоррелированную (а значит и независимую) с СВ y.

Для моделирования СВ с некоторыми законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Например, СВ с рэлеевским и показательным законами распределения можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел x1 и x2 с параметрами (0, ) в виде соответственно. При этом для рэлеевского распределения параметр будет совпадать с параметром исходного нормального распределения, а для показательного распределения параметр связан с параметром исходного нормального распределения соотношением = 0.5 2.

Алгоритмы y = x 12 + x 22 и y = x1 + x2 основаны на известных свойствах преобразований нормальных СВ. Немного изменив эти алгоритмы, можно моделировать СВ с другими распространенными законами распределения.

Полагая получим соответственно СВ с законом распределения Райса [4, 16] и СВ с законом распределения 2 с m степенями свободы где I 0 ( x ) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; Г ( х ) гамма-функция.

2.3.1. Метод Неймана Для моделирования СВ, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала ( a, b ), а также СВ, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными, достаточно универсальным является метод Неймана, состоящий в следующем [4].

С помощью датчика равномерно распределённых в интервале (0, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чисел k x1, k x2. Из них формируются преобразованные пары где ( a, b ) - интервал возможных значений СВ y с заданной ПРВ w ( y ) ; wM максимальное значение ПРВ w ( y ). В качестве реализации СВ берется число Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, отбрасываются. Можно легко убедиться в справедливости такого метода моделирования СВ.

Действительно, пары случайных чисел ( k x1, k x2 ) можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей y и w ( y ) внутри прямоугольника a a ' b ' b (рис. 2.2).

( x1, k x2 ), удовлетворяющие условию неравенства, представляют собой координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей y и w ( y ) внутри той части прямоугольника a a ' b ' b, которая расположена под кривой w ( y ). Вероятность того, что случайная точка плоскости, находящаяся под кривой w ( y ), окажется в элементарной полосе точки под кривую w ( y ) по условию равна единице, что и требуется.

2.3.2. Метод кусочной аппроксимации Существуют различные приближенные приемы моделирования СВ:

численное решение уравнения x = F ( y ) относительно y при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения;

замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы и другие приёмы. Среди них универсальным и наиболее простым является метод кусочной аппроксимации [4].

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить СВ y с функцией плотности w ( y ). Предположим, что область возможных значений СВ y ограничена интервалом ( a, b ) (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал ( a, b ) на n достаточно малых интервалов ( am, am+1 ), m = 0,..., n 1, a0 = a, an = b, так, чтобы распределение заданной СВ в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением (рис. 2.3), например, равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением.

Рис. 2.3. Кусочная аппроксимация кривой плотности вероятности Пусть Pm - вероятность попадания СВ y в каждый из интервалов ( am, am+1 ). Получать реализации величины y с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью Pm реализация y получается по формуле Случайный выбор интервала ( am, am+1 ) с вероятностью Pm означает, по существу, моделирование дискретной СВ, принимающей n значений am, m = 0,..., n 1, x0 = 0, xn = 1, с вероятностью Pm каждое, что можно сделать достаточно просто. Интервал ( 0, 1) разбивается на n интервалов ( xm, xm+1 ), случайных, равномерно некоторая реализация k x. Путем последовательного сравнения k x с xm определяется тот интервал ( xm, xm+1 ), в котором находится k x.

B основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале ( 0, 1) СВ в некоторый подынтервал ( xm, xm+1 ) равна длине этого подынтервала. Рассмотренный выше процесс представляет интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных СВ и случайных событий.

Для моделирования СВ методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы ( am, am+1 ) одинаковыми Pm = 1 n, а число n таким, что n = 2 N, где N - целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел. В этом случае величины am должны быть выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство При равенстве вероятностей P m для случайного выбора индекса m можно использовать первые N разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения. Из датчика равномерно распределенных в интервале ( 0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций k x1, k x2. Первые N = log 2 n разрядов числа k x1 используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины am и am+1, a затем по формуле k y = am + k x2 ( am+1 am ) получается реализация k y СВ y с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа n, т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин am, m = 0,..., n, что является недостатком рассмотренного метода при больших значениях n.

2.4. Моделирование векторных случайных величин транспонирования.

Стандартный метод моделирования векторных СВ основан на представлении w ( x ) в виде произведения [41] частной (маргинальной) ПРВ величины 1 и условных ПРВ k при условии, что 1 = x1,..., k 1 = xk 1. Из формулы (2.17) следует, что вектор, может моделироваться покомпонентно: сначала величина 1 с ПРВ 1 ( x ) = w1 ( x ), далее - 2 по ПРВ 2 ( x ) = w2 ( x 1 ), потом - 3 как величина с ПРВ 3 ( x ) = w3 ( x 1, 2 ) и т. д. Последней моделируется m -я компонента m, имеющая ПРВ m ( x ) = wm ( x 1,..., m ). Стандартный метод требует определенной вычислительной работы, связанной с нахождением условных и частных ПРВ компонент. После вычисления ПРВ каждая компонента моделируется как скалярная величина методами, изложенными выше.

нормального распределения. Случайный вектор = ( 1, 2,..., m ) имеет невырожденное m -мерное нормальное распределение, если его ПРВ имеет вид где µ = ( µ1,..., µ m ) - математическое ожидание ; R = ij - заданная симметрическая положительно определенная ( x µ ) R ( x µ ) - квадратичная форма переменных x µ с матрицей B = R 1.

Матрица R = M ( µ )( µ ) является ковариационной матрицей вектора ;

обратная ей матрица B часто называется матрицей точности. Распределение (2.18) полностью описывается двумя параметрами: вектором µ и матрицей R.

Далее используется краткое обозначение ~ N ( µ, R ).

Если математическое ожидание равно нулю, а корреляционная матрица R равна единичной матрице I, т. е. ~ N ( 0, I ), то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты равными независимым реализациям СВ ~ N ( 0, 1).

В общем случае распределение (2.18) моделируется с помощью линейного преобразования x = A + µ, ~ N ( 0, I ). Здесь m m -матрица A = aij определяется разложением ковариационной матрицы R в произведение двух треугольных матриц В уравнении (2.19) будем считать A нижней треугольной матрицей:

В этом случае явный вид коэффициентов aij определяют следующие уравнения [1, 41]:

После определения a11 вычисление элементов A осуществляется пo строкам: сначала по формуле (2.20) вычисляется первый элемент ak 1 k -й строки, далее по формуле (2.21) находятся последующие элементы ak 2,..., ak,k 1. Диагональный элемент вычисляется с помощью уравнения (2.22).

После вычисления диагонального элемента осуществляется переход на следующую, ( k + 1) -ю строку.

Плохая обусловленность (вырожденность) матрицы A требует проверки на каждой строке условия зависимость k -й компоненты вектора. Здесь * - малое число. Если это условие выполняется, то нужно положить akk = 0, длина k -й строки L ( k ) совпадает с длиной предыдущей. Индекс l принимает значения 2, 3,..., L ( k ) его предельное значение L ( k ) - переменно. Число L ( k ) является счетчиком числа линейно независимых элементов последовательности 1,..., k.

Присвоение L ( k ) последующего значения L ( k + 1) = L ( k ) + 1 осуществляется лишь при условии akk > *. После расчета последней m -й строки значение L ( m ) равно рангу матрицы R.

2.5. Заключительные замечания Существует довольно большое количество методов моделирования СВ [1, 3, 4, 13, 28]. В данном разделе были изложены некоторые из них. При этом преследовалась цель привести примеры алгоритмов для моделирования СВ с распространенными законами распределения. Рассмотрим краткую сравнительную характеристику различных методов моделирования СВ и некоторые рекомендации для выбора того или иного подхода для решения конкретных задач.

В тех случаях, когда требуется высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, целесообразно использовать методы моделирования, не обладающие методической погрешностью. К ним относятся описанные в пп. 2.2, 2.3 алгоритмы получения СВ (2.5), (2.6), (2.15), (2.16). Погрешностью таких алгоритмов часто можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнения на ЭВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного. Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, являются системы приёма цифровых радиосигналов с низкой вероятностью ошибки (порядка 10–4... 10–6).

Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических зависимостей. Такие алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования СВ. Например, изменение ПРВ семейства Райса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметров a и в алгоритме (2.16).

Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как выполнение на ЭВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.

B задачах, не предъявляющих высоких требований к качеству СВ, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближённые методы (п. 2.3).

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайная величина позволяет представить поведение изменяющегося случайным образом сигнала в определенный момент времени. Однако при проектировании целого ряда систем связи важно учитывать изменение случайных сигналов не только по уровню, но и во времени. В качестве моделей случайных сигналов и помех, позволяющих отразить их динамические характеристики, используются случайные процессы (СП), представляющие собой случайные функции времени. При этом конкретный вид, который принимает СП в отдельном эксперименте, называется реализацией СП [4, 6].

3.1. Моделирование марковских случайных процессов Во многих радиотехнических приложениях СВ ( x1, x2,..., xn ) связаны со значениями непрерывного процесса x ( t ) в моменты времени t1, t2,..., tn, т. е. x1 = x ( t1 ), x2 = x ( t2 ),..., xn = x ( tn ). В этом случае упорядоченная система последовательностью, которую можно также интерпретировать как реализацию СП в данном опыте [5].

Простейшее вероятностное описание СП соответствует независимым СВ x1, x2,..., xn, тогда совместная ПРВ последовательность независимых СB представляет собой ММ довольно узкого класса реальных процессов. Действительно, с помощью СП с независимыми значениями невозможно дать описание «гладких», коррелированных помех или медленно изменяющихся параметров полезных сигналов, например, координат радиолокационных целей. Поэтому во многих задачах необходимо использовать модели СП с зависимыми значениями. В общем случае совместная ПРВ таких СП определяется по формуле Математические трудности применения этой формулы для вероятностных расчетов быстро нарастают с увеличением n. В связи с этим необходимо из всех возможных СП с зависимыми значениями выделить класс СП, имеющих относительно простое математическое описание. Очевидно, наиболее простые соотношения для ПРВ получатся, если положить Это равенство означает, что условная ПРВ и, следовательно, любые другие вероятностные характеристики СП для момента времени ti являются функциями только значения xi 1, принятого СП в предшествующий момент времени. Случайные последовательности, удовлетворяющие (3.1), называются марковскими по имени русского математика А.А. Маркова, разработавшего основы теории таких СП. Марковская последовательность называется однородной, если условные ПРВ w ( xi xi 1 ), называемые ПРВ перехода, не зависят от i. Марковская последовательность называется стационарной, если она однородна и все состояния x i имеют одну и ту же безусловную ПРВ w( x ).

При моделировании марковских СП для формирования на ЭВМ случайных чисел с заданным законом распределения могут быть использованы методы, рассмотренные выше.

В более общем случае рассматриваются N -связные марковские процессы, т. е. N взаимосвязанных между собой процессов x1 ( t ),..., x n ( t ), в совокупности обладающих марковскими свойствами [1, 4, 11]. Эти процессы характеризуются условной ПРВ перехода, которая имеет вид:

Моделирование N -связных марковских процессов по заданной условной ПРВ перехода в принципе не отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение N связных дискретных реализаций с ростом N усложняется.

Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские процессы N -го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что ПРВ перехода в очередное состояние зависит не от одного, а от N предшествующих состояний.

соответствующих начальных условиях порождает марковский процесс N -го порядка, который можно рассматривать как компоненту N -связного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов N -го порядка может быть сведено к моделированию N -связных марковских процессов.

Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида:

на характеристики процессов не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше. Распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительным условиям, чаще всего, условию нормальности нормальности и стационарности одновременно. В этих случаях моделирование марковских процессов упрощается.

Действительно, у стационарных марковских СП ПРВ перехода вида зависит лишь от разности tn = tn tn1. Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), так как уменьшается число аргументов функции w0 ( xn, xn 1, tn, tn 1 ), которую требуется хранить в памяти ЭВМ при моделировании.

Как уже отмечалось, наиболее полное описание стационарных СП дает многомерная ПРВ. Однако этот подход требует большого количества информации. Для описания негауссовских СП используются различные преобразования гауссовских процессов и марковские процессы. Реальные СП можно с требуемой точностью аппроксимировать многомерными марковскими процессами [44]. Действительно [1, 38], любой СП, спектральная плотность которого является дробно-рациональной функцией частоты, является компонентой многомерного марковского процесса.

3.2. Разностные и дифференциальные стохастические уравнения Одним из достоинств марковских процессов является возможность их описания с помощью стохастических ДУ. Для этого вводится понятие формирующей динамической системы. При этом СП характеризуется параметрами линейных или нелинейных фильтров, на вход которых подается белый гауссовский шум или другое известное возмущение [32]. Так как любая динамическая система может быть описана ДУ, то и СП на ее выходе так же может быть описан стохастическим ДУ соответствующего порядка.