«В.А. Хангулян, И.С. Шапиро ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЯДРА Часть 1 Проблема двух тел в ядерной физике Учебное пособие Москва 2009 УДК 539.1(075) ББК 22.383я7 Х19 Хангулян В.А., Шапиро И.С. Избранные вопросы теории ядра. ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

В.А. Хангулян, И.С. Шапиро

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ

ТЕОРИИ ЯДРА

Часть 1

Проблема двух тел в ядерной физике

Учебное пособие Москва 2009 УДК 539.1(075) ББК 22.383я7 Х19 Хангулян В.А., Шапиро И.С. Избранные вопросы теории ядра.

Часть 1 Проблема двух тел в ядерной физике: Учебное пособие. М.

МИФИ, 2009. – 156 с.

В пособии, являющимся первой частью лекций по курсу «Теории ядра», изложены проблема двух тел в ядерной физике (потенциал нуклоннуклонного взаимодействия, дейтрон, np-рассеяние при низких энергиях), а также вопросы разложения амплитуд процессов по инвариантным амплитудам и понятие полного опыта.

Пособие предназначено для студентов четвертого курса, обучающихся по направлению «Прикладные математика и физика» и по специальности «Физика атомного ядра и элементарных частиц», а также для аспирантов.

Рецензент д.ф.-м.н. профессор Далькаров О.Д. (ФИ РАН им. П.Н. Лебедева) Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия ISBN 978-5-7262-1121-3 © Московский инженерно-физичский институт (государственный университет) Редактор Е.Н. Кочубей Подписано в печать 16.03.2009. Формат 6084 1/ Печ.л. 9.75 Изд. №028–1. Тираж 100 экз.Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет) Типография МИФИ. Москва, Каширское ш.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………………………………….. Введение……………………………………………………………………… 1. Общие замечания……………………………………………………... 2. Характеристика ядерных сил………………………………………… Глава 1. Общая структура гамильтониана взаимодействия двух нуклонов…………………………………………………………..... 1.1. Спиновая структура потенциала взаимодействия двух нуклонов……………………………………………………………. 1.2. Интегралы движения гамильтониана двух взаимодействующих нуклонов……………………………………………………………. 1.3. Изотопический спин. Зарядовая независимость ядерных сил…………………………………………………………………... Контрольные вопросы к главе 1……………………………………….. Главе 2. Взаимодействие двух нуклонов…………………………………... 2.1. Классификация состояний системы двух нуклонов……………………………………………………………. 2.2. Дейтрон как чистое S-состояние………………………………….. 2.3. Рассеяние нейтрона на протоне. Синглетное состояние дейтрона……………………………………………………………. 2.4. Рассеяние нейтрона на орто- и параводороде……………………. 2.5. Дейтрон как смесь S- и D-состояний. Структура волновой функции дейтрона………………………………………………….. 2.6. Магнитный момент дейтрона……………………………………... 2.7. Электрический квадрупольный момент дейтрона………………. Контрольные вопросы к главе 2……………………………………….. Глава 3. Инвариантные амплитуды………………………………………… 3.1.Определение инвариантных амплитуд……………………………. 3.2. Разложение по инвариантным амплитудам амплитуды упругого рассеяния частицы со спином на частице со спином нуль……………………………………………………... 3.3. Разложение по инвариантным амплитудам амплитуды упругого рассеяния нуклона на нуклоне…………………………………... 3.4. Разложение амплитуды треххвостки по инвариантным амплитудам……………………………………………………….. 3.5. Разложение амплитуды произвольной четыреххвостки по инвариантным амплитудам…………………………………... Контрольные вопросы к главе 3……………………………………… Глава 4. Поляризационные эффекты в упругом рассеянии. Полный опыт……………………………………………………………….. 4.1. Общие замечания. Постановка задачи………………………….. 4.2. Вектор поляризации. Спиновая матрица плотности частицы со спином 1 / 2 ………………………………………….. 4.3. Восстановление из эксперимента амплитуды упругого рассеяния частицы со спином 1/2 на частице со спином нуль………………………………………………………………... Контрольные вопросы к главе 4……………………………………… Рекомендуемая литература………………………………………………... Данное учебное пособие представляет собой обработанный курс лекций по теории ядра, читаемый студентам теоретикам 8 семестра МИФИ.

Курс был разработан И.С. Шапиро и читался им в течение 1967 1984 гг.

Далее курс читался мною, однако все изменения, вносимые в курс, обсуждались с ним вплоть до его болезни.

Поскольку у значительной части студентов-теоретиков МИФИ в дальнейшем интересы находятся вне области ядерной физики, то при создании курса И.С. Шапиро включил в него те избранные вопросы ядерной физики, которые имеют общетеоретическое значения и не входят в иные курсы. Этим и определяется содержание данного курса. И.С. Шапиро неоднократно высказывал пожелания включить в курс уравнения Фаддеева и глауберовское или эйкональное приближение в теории рассеяния. Однако это не было сделано из-за нехватки лекционного времени. По этой причине, включая И.С. Шапиро в соавторы, я подчеркиваю связь данного учебного пособия с его идеями.

Ввиду того, что настоящий курс читается после курса квантовой теории поля (7-8 семестр) многие вопросы, которые рассматриваются там, используются в данном курсе без подробного обсуждения (дискретные преобразования C,P,T, унитарность S-матрицы, и т.д.).

В заключение хочу подчеркнуть, что все недостатки данного издания полностью лежат на мне.

ВВЕДЕНИЕ

Современная теоретическая ядерная физика возникла в 1932 г., когда Дж. Чедвиком был экспериментально обнаружен нейтрон. В том же году В. Гейзенберг и Д. Иваненко независимо друг от друга высказали предположение, что атомные ядра состоят из нейтронов и протонов. В работе В. Гейзенберга была введена зарядовая переменная, в зависимости от которой некая частица, названная нуклоном, может быть либо протоном, либо нейтроном. Таким образом, согласно В. Гейзенбергу ядро состоит из A нуклонов. Число A называется массовым числом. Каждое ядро характеризуется зарядом Ze (где e заряд протона). Число Z атомный номер, т. е. число протонов в ядре. Атомный номер характеризует химические свойства вещества. Следующей характеристикой ядра является его масса М. Отношение массы ядра к массе протона весьма близко к целому числу, которое и есть массовое число A.

В настоящее время атомный номер Z принимает значения от нуля (нейтрон) до 112. В то же время массовое число A меняется от единицы (нейтрон, протон) до 261 (ядро с атомным номером 107).

Ядра с Z > 92 в природе не встречаются и получаются искусственно либо на нейтронных пучках из реактора (ядра с Z до 100), либо на пучках тяжелых ионов (ядра с Z > 100). В частности, элемент с Z = 107 получен на пучке ионов хрома Cr24, который падал на мишень из висмута Bi83. В результате ядерной реакции Cr24 + Bi83 A107 + 2n получался элемент с Z=107 и массовым числом 261 с вылетом двух нейтронов.

Поскольку отношение кинетической энергии нуклона в ядре к энергии покоя нуклона где ядра ( R = r0 A1/3, где r0 = (1,2 1,4) нахождении характеристик ядра, состоящего из A нуклонов, или задача об описании ядерной реакции (в частности, реакции синтеза трансурановых элементов), в которой участвуют A нуклонов, сводится к решению нерелятивистского уравнения Шредингера для системы A частиц:

где ri = ( ri, i, ti ) пространственные, спиновые и изоспиновые координаты i -го нуклона. Отклонение от этой простой протоннейтронной модели, связанные с составной природой нуклонов и кварк-глюоной плазмой невелики (порядка 1 2% ). В частности, находясь внутри ядра, нуклон может деформироваться или поляризоваться и уже не будет представлять собой физический нуклон, а будет вести себя как некоторая суперпозиция состояний N, N, и т. д. В первом приближении спектр возбужденных состояний нуклона можно аппроксимировать -изобарой. Вклад этих ненуклонных степеней свободы мал, так как нуклоны в ядрах слабо связаны, и вероятность найти нуклонный резонанс в ядре мала. Поэтому простая протон-нейтронная модель хорошо работает при низких энергиях.

Следовательно, для ответа на большинство вопросов, возникающих в ядерной физике, необходимо решить уравнение Шредингера (В.2). Для его решения необходимо два пункта:

1) знание конкретного вида ядерной потенциальной энергии для записи самого уравнения Шредингера;

2) нужны методы, которые позволили, хотя бы приблизительно решить уравнение Шредингера для A тел.

Рассмотрению этих двух вопросов будет посвящен данный курс.

Рассмотрим вид ядерной потенциальной энергии, действительная форма которой точно не известна. Точный ядерный потенциал возникает в результате цветного взаимодействия между составными частицами (кварки и глюоны), которые образуют нуклоны, не обладающие цветом. Теория ядерных сил на основе кварковых представлений до сих пор не построена. То взаимодействие, которое вводится в уравнение Шредингера, является бесцветным и рассматривается как косвенное проявления основного цветного взаимодействия. Здесь имеется полная аналогия с силами Ван-дерВаальса, действующими между электронейтральными атомами и молекулами, но возникающими за счет электромагнитного взаимодействия составных частиц атомов и молекул.

Будем предполагать, что в ядерном потенциале многочастичные силы несущественны, и ими можно пренебречь. Иными словами, силы, действующие на нуклон, не обязательно совпадают с векторной суммой элементарных двухнуклонных сил, но могут содержать члены, которые возникают только в присутствии третьей, четвертой и т.д. частиц, и характерны только для систем из трех, четырех и т.д. нуклонов. Такие силы называются многочастичными. Следовательно, пренебрегая этими силами, ядерный потенциал для A нуклонов имеет вид Таким образом, в этом предположении потенциал уравнения (В.2) полностью определяется двухчастичным нуклон-нуклонным потенциалом. При выборе нуклон-нуклонного потенциала будем придерживаться феноменологической точки зрения, т.е. потребуем, чтобы двухчастичный нуклон-нуклонный потенциал удовлетворительно согласовывался с данными по рассеянию двух нуклонов, давал правильные характеристики дейтрона и правильно воспроизводил эффекты насыщения.

Прежде всего, оценим радиус действия ядерных сил. Согласно специальной теории относительности не может существовать взаимодействие, которое мгновенно передавалось бы на расстояние. В частности, взаимодействие между двумя электронами передается фотоном, и он некоторое время находится в пути между электронами. Именно безмассовость фотона приводит к кулоновскому закону 1 / r. В 1935г. Х. Юкава предположил, что силы между двумя нуклонами аналогичны электромагнитным, но осуществляются за счет обмена мезонами, которые имеют массу покоя c.

Рассмотрим процесс обмена мезоном между двумя нуклонами (рис.

1). Будем рассматривать этот процесс в Ц-системе сталкивающихся нуклонов, где Е1 = Е1, Е2 = Е2, тогда до испускания мезона энергия системы двух нуклонов равна зона E = E1 + E2 + E, т.е. энергия не сохраняется на величину E = E.

Это возможно в течение времени t (соотношение неопределенности):

и поэтому расстояние, на которое может распространиться такой виртуальный мезон (точнее - мезон):

где комптоновская длина волны - мезона. Таким образом, расстояние, на которое может быть передано взаимодействие между нуклонами легчайшим мезоном ( -мезоном) не может превышать комптоновскую длину волны -мезоном.

Получим в рамках модели Х. Юкавы радиальную зависимость нуклон-нуклонного потенциала V (r ). С этой целью вспомним, что лагранжиан взаимодействующих спинорного (нуклонного) и псевдоскалярного (пионого) полей имеет вид где L0 (), L0 () лагранжианы свободных спинорного и псевдоскалярного полей. Этот лагранжиан приводит к уравнению КлейнаГордона с источником [7] (здесь i i, а масса частицы). В правой части этого уравнения стоит источник псевдоскалярного поля подобно тому, как в уравнении Максвелла ток jk является источником вектор-потенциала электромагнитного поля Ak.

Будем искать стационарное решение уравнения (В.5), т.е.

( x, t ) = ( x ). Кроме того, предположим, что источник псевдоскалярного поля бесконечно тяжелый и находится в начале координат, т.е. g 5 g ( x ), тогда уравнение (В.5) примет вид Решение этого уравнения имеет вид Таким образом, комптоновская длина волны пиона характеризует экспоненциальное затухание потенциала (В.7), который называется потенциалом Юкавы. Потенциал Юкавы определяет радиальную зависимость ядерных сил.

*) В этой и последующих формулах релятивистской квантовой теории этого пособия Глава 1. ОБЩАЯ СТРУКТУРА ГАМИЛЬТОНИАНА ДВУХ

НУКЛОНОВ

1.1. Спиновая структура потенциала взаимодействия Необходимо построить потенциал взаимодействия двух нуклонов частиц со спинами 1 / 2. Такой потенциал, в общем случае, может зависеть от координат нуклонов r1, r2, их скоростей или импульсов p1, p2, а также от их спинов S1, S 2, т.е.

Начнем рассмотрение со спиновой зависимости потенциала.

Волновая функция двух невзаимодействующих частиц представляется в виде прямого произведения волновой функции каждой частицы [5] (если частицы бесспиновые, то имеет место обычное произведение), где 1, 2 проекции спинов частиц 1 и 2 на ось 3 соответственно. Волновая функция 12 (1,2) имеет размерность (2 j1 + 1)(2 j2 + 1) (где j1, и j 2 спины частиц 1 и 2 соответственно).

Поэтому в случае двух нуклонов ( j1 = j2 = 1 / 2) функция 12 (1,2) должна быть в нерелятивистском приближении 4рядным столбцом, а 1 (1) и 2 (2) обычными спинорами.

Если теперь две частицы взаимодействуют, то волновая функция, вообще говоря, не распадается на прямое произведение, однако число компонент волновой функции не меняется и в случае двух взаимодействующих нуклонов. Волновая функция двух нуклонов должна быть 4-рядным столбцом. В соответствии с этим гамильтониан двух взаимодействующих нуклонов и, соответственно, их потенциальная энергия должны быть матрицами 4 4 в спиновом пространстве.

Матрица 4 4 содержит 16 элементов, поэтому необходимо построить 16 независимых матриц в спиновом пространстве. Обозначим через S i(1) и S i( 2 ) спиновые матрицы первого и второго нуклона. Как хорошо известно, квадрат каждой из этих матриц, которые связанны с матрицами Паули i, равен а их коммутаторы определяются соотношением Следовательно, каждая из матриц S i(k ) (где i = 1,2,3, k = 1,2 ) может входить только один раз в сконструированные 4 4 матрицы в спиновом пространстве. После сказанного сконструировать независимых матриц 4 4 легко, а именно 1) I единичная матрица 4 4, 2) S (1) I ( 2 ) три матрицы 4 4, получаемые в результате прямого перемножения спиновых матриц S (1) первого нуклона на единичную матрицу 2 2 в спиновом пространстве второго нуклона – I (2), 3) I (1) S ( 2 ) три матрицы 4 4, получаемые с использованием матриц S ( 2 ) и I (1), 4) Si(1) S (j 2 ) девять матриц 4 4, получаемые в результате прямого перемножения матриц Si(1) на S (2).

Все перечисленные выше матрицы 4 4 независимы по построению и, следовательно, любую матрицу 4 4 можно разложить по этим матрицам. Преобразуем эти матрицы. Во-первых, вместо шести матриц S (1) I ( 2 ), I (1) S ( 2 ) введем суммарный спин системы и разность спинов нуклонов Во-вторых, тензор второго ранга S i S j разложим на неприводимые величины а) скаляр ijk дает вектор в) симметричный тензор второго ранга со шпуром равным нулю Полученные 16 матриц 4 4 (единичная матрица и спиновые матрицы (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7)) независимы, и любую матрицу 4 4, в частности, и потенциальную энергию взаимодействия двух нуклонов можно разложить по этим матрицам в спиновом пространстве.

Потенциальная энергия двух взаимодействующих нуклонов должна быть инвариантной относительно:

а) пространственных трансляций (из-за однородности пространства), б) преобразований Галилея (из-за принципа относительности), в) вращений (из-за изотропии пространства).

Рассмотрим требование инвариантности относительно трансляций в пространстве. С этой целью перейдем от радиусов r1 и r2 к радиусу-вектору центра инерции R и относительному радиусу r :

Тогда для удовлетворения требованию однородности пространства потенциальная энергия должна зависеть только от относительного радиуса r.

Требование инвариантности относительно преобразований Галилея означает эквивалентность инерциальных систем отсчета. В соответствии с этим потенциальная энергия должна быть инвариантна относительно этих преобразований. Это означает, что потенциальная энергия должна зависеть от вектора относительной скорости v = v1 v2, которая инвариантна относительно преобразований Галилея. В случае, если предполагать, что m масса нуклона ( m1 = m2 = m ), то потенциальная энергия зависит от относительного импульса p = mv. Если же (m1 m2 ), то где ( p1 = p2 = p ) импульс в Ц-системе.

Таким образом, получили два вектора r и p, из которых можно построить:

а) три скаляра б) три вектора в) три тензора второго ранга со шпуром, равным нулю Для построения скалярных матриц 4 4, которые инвариантны относительно вращений (т.е. учет изотропии пространства), необходимо свернуть тензоры, построенные из спиновых матриц ((1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7)) с тензорами, построенными из векторов ri и pi ((1.8), (1.9), (1.10)). Умножая каждую из этих комбинаций на некоторую функцию Vk ( r ), получим наиболее общую форму спиновой структуры потенциала взаимодействия двух частиц со спинами 1 / В выражении (1.11) (и далее) опущен знак прямого произведения в произведениях матриц. Например, в произведении S (1) S ( 2), которое в дальнейшем записывается в виде S1S2. В соответствии с этим в прямых произведениях S (1) I ( 2 ), I (1) S ( 2 ) опускаются единичные матрицы, как это делается обычно. Это не вызывает недоразумений, так как операторы с индексом k (k = 1,2) действуют на соответствующие переменные.

Величины Vk (r ), вообще говоря, могут быть функциями всех трех скаляров r 2, p 2,( rp ). Однако требование сохранения уравнения Шредингера как динамического уравнения для ядерных процессов ограничивает гамильтониан квадратом оператора импульса.

Поэтому в выражении (1.11) величины Vk (r ) зависят лишь от r.

В случае взаимодействия двух нуклонов эксперимент показывает, что имеются дополнительные требования инвариантности. Гамильтониан должен быть инвариантен относительно инверсии пространства:

и обращения времени Следовательно, и потенциал V (r ) должен быть инвариантен относительно этих преобразований.

Рассмотрим, как ведет себя волновая функция двух нуклонов при инверсии пространства. Напомним, что волновая функция одного нуклона при инверсии пространства преобразуется следующим образом [6]:

где унитарный оператор U p является произведением оператора I, который действует только на координаты волновой функции и оператора который действует на спиновую волновую функцию нуклона. В выражении (1.16) I – единичная матрица. Эти два оператора коммутируют между собой. Соответственно, волновая функция двух нуклонов, компоненты которой определяются равенством 12 (1,2) = 1 (1)2 (2), при инверсии пространства преобразуется следующим образом:

(U p (1))11 (U p (2))22 1 (1)2 (2) = (U p (1)U p (2))12,12 1 2.

Таким образом, матрица U p (1,2), преобразующая волновую функцию двух нуклонов при инверсии пространства, является прямым произведением матриц U p (1) и U p (2) Как известно, при унитарном преобразовании волновой функции (1.14), операторы физических величин преобразуются следующим образом Следовательно, инвариантность потенциальной энергии относительно инверсии пространства выражается условием где оператор U p определяется выражением (1.17). Поскольку функции Vk (r ) (k = 0,....15) зависят от r 2 и, следовательно, инвариантны относительно инверсии пространства, то поведение потенциала определяется скалярными величинами, сконструированными из спиновых матриц ((1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7)) и тензоров ((1.8), (1.9), (1.10)). Рассмотрим, как они ведут себя при таком преобразовании. Легко убедиться, что каждая скалярная величина в результате инверсии пространства умножается либо на +1, либо на 1, т.е.

где Z – какая-либо скалярная величина, а p = ±1. В результате получим, что величины ( S1S 2 ), ( S1S 2 ) p 2, ( S1S2 )(r p), ( S [r p ]), ([r p]), [ S1S 2 ][r p], Sij rij, Sij pij, S ij X ij при инверсии пространства умножаются на p = +1, а величины ( Sr ), ( Sp), (r ), (p), Таким образом, шесть величин не инвариантны относительно инверсии пространства, и они не могут входить в потенциальную энергию, т.е.

Поэтому потенциальная энергия принимает вид:

Рассмотрим обращение времени. При обращении времени волновая функция частицы преобразуется по антиунитарному закону [6]:

где оператор U t имеет вид а I 2 – генератор группы вращений. В случае нуклонов, частиц со спином 1 / 2, I 2 = 2, следовательно, Соответственно, волновая функция двух нуклонов, являющаяся прямым произведением нуклонных волновых функций, при обращении времени преобразуется следующим образом:

Из цепочки равенств (1.26) следует, что при обращении времени волновая функция двух нуклонов преобразуется с помощью матрицы Следовательно, любой оператор A, в частности, и потенциальная энергия, при таком преобразовании волновой функции должен преобразовываться по закону [6]:

Требование инвариантности гамильтониана двух нуклонов относительно обращения времени означает следующее условие на потенциальную энергию:

где оператор U t определяется выражением (1.27). Поскольку функции Vk (r ) ( k = 0,..,15) зависят от r 2 и, следовательно, инвариантны относительно обращения времени, то рассмотрим, как ведут себя скалярные величины, составленные из спиновых матриц ((1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7)) и тензоров ((1.8), (1.9), (1.10)) при таком преобразовании. Легко убедиться, что каждая скалярная величина в результате обращения времени умножается либо на +1, либо на 1. Действительно, в качестве примера рассмотрим преобразование матрицы S (1) S ( 2) при обращении времени:

т.е. для величины ( S (1) S ( 2) ) T = +1.

Проведя аналогичные вычисления со всеми 4 4 матрицами, входящими в потенциальную энергию взаимодействия двух нуклонов (1.22), получим, что три матрицы ( S1S 2 )(r p), [ S1S2 ][r p ], Sij X ij приобретают T = 1, в то время как все остальные приобретают T = +1. При получении этого результата необходимо учитывать, что при обращении времени вектор r не меняется, а оператор импульса преобразуется по закону:

Поэтому требование инвариантности потенциальной энергии относительно обращения времени, а следовательно, и инвариантности гамильтониана двух нуклонов относительно этого преобразования, приводит к следующим условиям:

Таким образом, потенциальная энергия, инвариантная относительно инверсии пространства и обращения времени, имеет вид:

В п. 1.3 будет показано, что нуклоны имеют зарядовую переменную, которая определяет, является нуклон протоном или нейтроном. В соответствии с этим, два нуклона можно рассматривать как два тождественных фермиона. Следовательно, гамильтониан, а соответственно, и потенциальная энергия должны быть симметричны относительно перестановки 1 и 2, т.е.

Единственным членом в потенциальной энергии двух нуклонов, который не удовлетворяет этому требованию, это – член, содержащий, т.е. V9 (r )([r p ]), поскольку при перестановке частиц 1 и меняет знак. В соответствии с этим потребуем, чтобы Таким образом, требования инвариантности потенциальной энергии взаимодействия двух нуклонов относительно инверсии пространства, обращения времени и перестановки двух частиц оставляют в ней из 16 членов только шесть, и потенциальную энергию можно записать в виде:

В заключение этого параграфа получим спиновую структуру потенциала взаимодействия частицы со спином нуль с частицей со спином 1 / 2. Для получения этого потенциала положим в выражение (1.35) S2 = 0, тогда в выражении для потенциала отличными от нуля остаются лишь два члена, и потенциал принимает вид В выражение (1.36) учтено, что в этом случае S =. Это выражение легко понять. Действительно, такой потенциал должен быть 2 2 матрицей и может зависеть от r1, r2, p1, p2, S = (1 / 2).

Требование однородности пространства и принципа относительности приводят к ограничению: в потенциал могут входить лишь относительный радиус r и относительная скорость v, которая связана с импульсом p. Кроме того, из векторов r и p можно сконструировать еще один вектор [r p]. Следовательно, для удовлетворения требованию изотропии пространства необходимо свернуть три указанных вектора с матрицей. В результате получим четыре ( r ),( p ),( [ rp ]). Поэтому потенциал должен иметь вид:

Однако, как было показано выше, требование инвариантности относительно инверсии пространства приводит к условию поскольку матрицы ( r ),( p ) меняют знак при инверсии пространства. Тогда полученный потенциал сводится к выражению (1.36). Отметим, что требование инвариантности относительно обращения времени никаких новых ограничений не накладывает, поскольку потенциал (1.36) автоматически ему удовлетворяет.

1.2. Интегралы движения гамильтониана двух В предыдущем параграфе была получена потенциальная энергия взаимодействия двух нуклонов, которая содержала шесть членов.

Рассмотрим каждый из этих членов.

Первый член в выражении (1.35), содержащий V0 (r ), – обычный центральный потенциал, независящий от спина. Он хорошо известен из курса квантовой механики.

Второй член V1 (r )( S1S 2 ) – спин-спиновые силы. Это центральные силы, зависящие от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. В дальнейшем вместо потенциала V1(r ) будем писать VS (r ), отмечая его зависимость от взаимной ориентации спинов. Преобразуем спиновую часть потенциала. Используя (1.3), можно написать:

Следовательно, имеем:

Соответственно, спин-спиновый член в потенциальной энергии двух нуклонов примет вид:

Поэтому центральные силы между двумя нуклонами различны, если система находится либо в триплетном ( S = 1), либо в синглетном ( S = 0) состояниях где Vтрип ( r ) и Vсинг (r ) – центральные потенциалы в триплетном и синглетном состояниях соответственно.

Перейдем к рассмотрению пятого члена в выражении (1.35). Используя соотношения (1.7) и (1.10а), определяющие Sij и rij соответственно, легко получить:

В последнем равенстве цепочки (1.40) введены следующие обозначения:

Эти силы в потенциале взаимодействия двух нуклонов называются тензорными. Они являются нецентральными. Действительно, воспользуемся соотношением (1.3), которое представим в виде Умножив это соотношение на единичный вектор n (где n = r / r ), и возведя затем его в квадрат, получим откуда следует С другой стороны, из соотношения (1.37) следует, что Подставляя (1.43) и (1.44) в (1.40), получим для тензорных сил следующее выражение:

Из этого соотношения видно, что тензорные силы зависят от ориентации полного спина системы двух нуклонов S относительно единичного вектора n, который определяется относительным радиусом r, т.е. от угла между этими векторами.

Объединяя выражения (1.39) и (1.45) получим потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия V ( r ) в виде Три члена, входящие в потенциал (1.46), исчерпывают все силы между двумя нуклонами независящие от скорости.

Перейдем к рассмотрению сил, которые зависят от скорости.

Член потенциальной энергии V6 ( r )( S [ rp ]) можно представить в виде В выражении (1.47) введен орбитальный момент l = [r p ] и обозначена функция V6 ( r ) как VLS ( r ). Этот член называется спинорбитальным взаимодействием двух нуклонов или спинорбитальными силами. Он зависит от взаимной ориентации полного спина системы S и его относительного орбитального момента l. Как известно [6], спин-орбитальное взаимодействие можно рассматривать как взаимодействие магнитного момента нуклона с магнитным полем в сопутствующей системе, т.е. в системе, движущейся с нуклоном.

Член V3 ( r )( S1S2 ) p 2 в потенциальной энергии взаимодействия двух нуклонов описывает центральные спин-спиновые силы, зависящие от скорости. Используя соотношение (1.37) и обозначая функцию V3 ( r ) как VS( r ), представим его в виде Член V14 ( r ) Sij pij в потенциальной энергии взаимодействия двух нуклонов описывает тензорные силы, зависящие от скорости. Аналогично обычным тензорным силам, используя соотношения (1.7) и (1.10б), этот член можно представить в виде где введены обозначения Для оператора S12p ) можно получить выражение через полный спин системы так же, как для оператора S. Используя выражение для полного спина системы (1.3) легко показать, что Окончательно потенциальная энергия взаимодействия двух нуклонов запишется в виде:

В соответствии с этим гамильтониан системы двух нуклонов запишется в виде где V ( r ) определяется соотношением (1.53). Кроме того, в (1.54) предполагается, что m p = mn = m. Рассмотрим интегралы движения этого гамильтониана. В соответствии с требованиями, заложенными при построении потенциала взаимодействия двух нуклонов, этот гамильтониан, кроме закона сохранения энергии и импульса, инвариантен относительно вращения в пространстве, т.е. сохраняется полный момент количества движения. Таким образом, гамильтониан H коммутирует с компонентами J i,( J = l + S ) и его квадратом:

Однако, кроме указанных выше интегралов движения, имеется еще один интеграл движения – сохраняется суммарный спин системы двух нуклонов:

При этом величина l 2 не сохраняется, т.е.

Действительно, из выражений (1.45) и (1.62) следует, что поэтому, учитывая, что S 2 коммутирует с Si, имеет место соотношение (1.56). Однако легко проверить, что поэтому l 2 не является интегралом движения. Отметим, что существование дополнительного интеграла движения у гамильтониана двух взаимодействующих нуклонов связано с двумя условиями:

а) рассматриваются частицы со спином 1/ 2 и б) частицы тождественны, ибо коммутатор с S 2 отличен от нуля:

Следовательно, присутствие члена V9 ( r )([ rp ]) в потенциальной энергии привело бы к нарушению соотношения (1.56).

Отметим, что требование инвариантности гамильтониан относительно инверсии пространства приводит к сохранению четности, т.е. оператор четности P коммутирует с H :

Таким образом, волновая функция двух нуклонов обладает следующими квантовыми числами: полным угловым моментом (или спином систем) J, его проекцией на ось 3 J 3, суммарным спином двух нуклонов S, который принимает значения 0, 1, и четность системы.

В качестве примера, рассмотрим связанное состояние двух нуклонов. Нейтрон и протон образуют связанное состояние – дейтрон. Основное состояние дейтрона характеризуется спином, равным единице, и положительной четностью, т.е. 1+ состояние. Поскольку, как упоминалось выше, система двух нуклонов характеризуется также суммарным спином, то при заданных J и S значения орбитального момента l определяются неравенствами Следовательно, если S = 0, то J = l = 1. Однако, поскольку шаровая функция Ylm ( n ), описывающая движение с орбитальным моментом l, при инверсии пространства приобретает множитель ( 1)l, то состояние с орбитальным моментом l = 1 нечетно (внутренняя четность нейтрона и протона одинакова). Поэтому дейтрон может находиться только в состоянии с S = 1 и, следовательно, l = 0 или 2 и, соответственно, волновая функция дейтрона является суперпозицией состояний с l = 0 и 2:

В заключение отметим, что спин-спиновые силы и тензорные силы, зависящие от скорости, обычно не рассматриваются, т.е. полагают Это вызвано тем обстоятельством, что в мезонной теории ядерных сил в рамках OBEP (One Boson Exchange Potential – потенциал однобозонного обмена), когда ядерные силы описываются обменом шестью мезонами (двумя скалярными ( 0, 1 ), двумя псевдоскалярными (, ) и двумя векторными (, )), силы, зависящие от скорости, возникают лишь от обмена векторными мезонами. Однако масса векторных мезонов равна 770 и 780 МэВ, поэтому комптоновская длина волны таких мезонов близка к комптоновской длине волны протона:

На таких расстояниях понятие потенциала теряет силу, и нерелятивистское приближение уже неприменимо. Однако следует подчеркнуть, что учет векторных бозонов приводит к отталкивательному кору на малых расстояниях в ядерных силах, без чего невозможно объяснить устойчивость ядерных систем.

1.3. Изотопический спин. Зарядовая независимость Несмотря на то, что протон обладает зарядом, а нейтрон нет, свойства нейтрона и протона одинаковы. Масса протона mn = 939,56563 ± 0,00028 МэВ, так что mn m p = 1,293 МэВ. Спин и четность протона и нейтрона одинаковы и равны (1 / 2) + и, соответственно, они подчиняются статистике Ферми–Дирака. Поэтому В.

Гейзенберг в своей работе 1932 г. предложил рассматривать нейтрон и протон как почти вырожденное состояние одной частицы – нуклона. Таким образом, делается предположение, что различия между нейтроном и протоном играют второстепенную роль в формировании сильного взаимодействия.

В соответствии с этим нуклон может существовать в двух состояниях: нейтронном и протонном. Следовательно, волновая функция нуклона зависит от некоторой переменной, которая принимает два значения. Это зарядовая переменная, которую обозначают через t3. При этом, если t3 = +1 / 2, то нуклон находится в протонном состоянии, а если t3 = 1 / 2, то в нейтронном. Поэтому можно утверждать, что волновая функция нуклона зависит от пяти переменных: пространственных r, спиновой и зарядовой (или изоспиновой) t3.

Зарядовая переменная, так же как и спиновая переменная, для нуклона принимает два значения, поэтому по аналогии со спином волновая функция нуклона записывается в виде столбца, содержащего две компоненты:

где p и n – в нерелятивистском приближении двухкомпонентные функции, описывающие протон и нейтрон соответственно. В частности, если нуклон находится в протонном состоянии, то если же в нейтронном, то Зарядовую переменную обычно называют изоспином, и можно сказать, что волновая функция нуклона есть прямое произведение спиновой функции на изоспиновую:

Следовательно, в нерелятивистском приближении волновая функция нуклона – 4-компонентный столбец. Приведем волновую функцию протона в состоянии с проекцией на ось 3 = ±1 / 2 :

и волновую функцию нейтрона в состоянии с = ±1 / 2 :

В релятивистском случае, когда волновая функция частицы со спином 1 / 2 является биспинором Дирака, волновая функция нуклона – 8-компонентный столбец.

Так же, как и в нерелятивистской квантовой механике, где любые операторы в спиновом пространстве (в случае частиц со спином 1 / 2 ) записываются через единичную матрицу и матрицы Паули, в пространстве изотопического спина, в котором изменяется зарядовая переменная, имеется всего четыре независимых линейных оператора:

Следовательно, имеется группа из четырех линейных операторов, обладающая следующим свойством: сами эти операторы и их линейные комбинации представляют все возможные линейные операторы в рассматриваемом изоспиновом пространстве.

Рассмотрим несколько примеров. Оператор 1 переводит протонное состояние нуклона в нейтронное и наоборот:

Введем операторы:

т.е.

Оператор + переводит нейтронное состояние в протонное, а оператор – протонное состояние в нейтронное:

где введены обозначения:

Отметим, что Введем операторы проектирования протонного и нейтронного состояния. Оператор проектирования протонного состояния Pp, действуя на протонное состояние, оставляет его неизменным, а нейтронное обращает в нуль, т.е.

и, соответственно, действие оператора проектирования нейтронного состояния Pn определяется как Эти операторы имеют вид В частности, если имеется волновая функция нуклона N (1.60), Используя операторы Pp и Pn, можно записать гамильтониан нуклона так, чтобы он правильно действовал вне зависимости от того, является эта функция нейтронной или протонной. Действительно, пусть гамильтониан протона имеет вид а гамильтониан нейтрона где U p ( r ) и U n ( r ) – потенциальная энергия протона и нейтрона соответственно. Тогда искомый гамильтониан имеет вид Этот гамильтониан действительно удовлетворяет тем требованиям, которые сформулированы выше, поскольку т.е. правильный гамильтониан.

Можно ввести оператор заряда нуклона, который запишется в виде тогда Таким образом, из чисто формального рассмотрения можно прийти к выводу, что нуклон обладает изотопическим спином t равным 1 / 2. Компоненты вектора t в изотопическом пространстве определяются операторами Оператор квадрата изотопического спина t 2 равен где I – единичная матрица. В соответствии с общими правилами можно написать Построенные выше волновые функции, описывающие зарядовую переменную нуклона (1.60), являются собственными функциями операторов t 2 и t3 соответствующими собственным значениям t = 1 / 2 и t3 = ±1 / 2 соответственно для протона и нейтрона, т.е.

Перейдем к рассмотрению системы двух нуклонов, координаты которых обозначаются ( ri, i, ti ) i = 1,2 для первого и второго нуклона соответственно. Обозначим волновую функцию двух нуклонов через ( r1, 1, t1 ; r2, 2, t2 ). Два нуклона могут находиться в четырех зарядовых состояниях, так как прямое произведение двух изоспиновых волновых функций нуклонов дает 4-компонентную величину. Этими состояниями являются p1 p2, p1 n2, n1 p2, n1 n2. Тогда волновую функцию двух нуклонов можно представить в виде суперпозиции Волновая функция двух нуклонов согласно принципу Паули должна быть антисимметричной относительно перестановки частиц, т.е.

Приравнивая это выражение для волновой функции двух нуклонов к выражению (1.76), получаем:

для зарядового состояния p1 p2, для зарядового состояния n1 n2, для зарядового состояния p1 n2, для зарядового состояния n1 p2. Из соотношений (1.78а) и (1.78б) видно, что если зарядовые состояния являются состояниями двух протонов или двух нейтронов, то спиново-координатные волновые функции антисимметричны, как и должно быть для двух тождественных фермионов. Однако для состояний p1 n2 и n1 p такого утверждения сделать нельзя. Чтобы устранить это, введем волновые функции следующего вида при этом и подставляя их в волновую функцию двух нуклонов, получим для ( r1, 1, t1 ; r2, 2, t2 ) следующее выражение В этой записи координатно-спиновые волновые функции 1, 2, a антисимметричные и умножаются на симметричные изоспиновые волновые функции, в то время как s – симметрична, и умножается на антисимметричную изоспиновую волновую функцию. В случае, когда изоспиновые функции двух нуклонов описываются выражениями p1 p2, n1 n2, p1 n2 и n1 p2, зарядовые состояния двух нуклонов характеризуются собственными значениями: t3 = + 1, t3 = + 1 ; t3 = 1, t3 = 1 ;

ражении (1.79) изоспиновые волновые функции характеризуются суммарным изоспином T двух нуклонов и его проекцией T3. При этом получили изотриплет и изосинглет В этом случае оператор заряда двух нуклонов Q равен где e – заряд протона. Подействовав этим оператором на состояние T, T3, получим, что заряд системы двух нуклонов где T3 = ±1,0.

Обобщая выше изложенное, можно сказать, что сложение изоспина совершенно аналогично сложению обычного спина. Следовательно, для системы из A нуклонов оператор изоспина имеет вид а его собственные значения равны T 2 = T (T + 1), где 0 T A / 2.

Для каждого значения T существует 2T + 1 значений T3, которые являются целыми или полуцелыми числами в интервале:

Поскольку собственные значения оператора проекции спина на ось 3 для нейтрона и протона равны 1 / 2 и +1 / 2, то собственные значения оператора T3 системы из A нуклонов равны где Z – число протонов, а N – число нейтронов. В соответствии с этим оператор заряда Q имеет вид:

а его собственные значения равны Ze, т.е. получили правильный заряд ядра.

Введем гамильтонианы H pp, H nn, H a, H s, которые описывают систему двух протонов, двух нейтронов, систему протон-нейтрон в антисимметричном состоянии и систему протон-нейтрон в симметричном состоянии соответственно. Введем также операторы проектирования, Ppp, Pnn, Pa, Ps, которые оставляют неизменным одно зарядовое состояние двух нуклонов, а остальные приравнивают к нулю. В соответствии с этим имеем для системы двух протонов;

для системы двух нейтронов;

для системы протон-нейтрон в антисимметричном состоянии;

для системы протон-нейтрон в симметричном состоянии.

Можно ввести также как в случае одного нуклона (1.70), правильный гамильтониан двух нуклонов:

Сформулируем еще один физический принцип – зарядовую независимость ядерных сил: силы, действующие между двумя нуклонами, не зависят от T3, а определяются только T, т.е.

Таким образом, силы между двумя протонами, двумя нейтронами и протоном и нейтроном в состоянии с T = 1 равны. Следовательно, гамильтониан взаимодействия двух нуклонов имеет вид:

Поскольку учитывая соотношение (1.86г), окончательно получим для гамильтониана двух нуклонов выражение В соответствии с этим потенциальная энергия двух нуклонов должна иметь вид где при этом k = 0,1.

Таким образом, гамильтониан взаимодействия двух нуклонов где m – масса нуклона, а V ( r ) – потенциальная энергия, определяемая выражением (1.93), коммутирует с компонентами Ti суммарного изотопического спина двух нуклонов:

и, соответственно, с T 2, т.е.

Это означает, что гамильтониан двух нуклонов (1.94) инвариантен относительно вращений в изотопическом пространстве. Действительно, оператор вращения в изотопическом пространстве вокруг оси n на угол записывается как и, соответственно, Таким образом, зарядовая независимость ядерных сил означает инвариантность гамильтониана двух нуклонов относительно вращений в изотопическом пространстве.

Отметим, что принцип зарядовой независимости ядерных сил – приближенный принцип. Он применим лишь к сильным взаимодействиям. В случае электромагнитных и слабых взаимодействий он нарушается. Включение электромагнитных взаимодействий приводит к поправкам двух типов: учет разности масс m p и mn, а также в потенциальной энергии появляется кулоновское взаимодействие протонов.

Рассмотрим поправки, возникающие в кинетической энергии. С учетом разности масс протона и нейтрона оператор кинетической энергии двух нуклонов запишется как или Кулоновское взаимодействие действует между двумя протонами, следовательно, в случае взаимодействия двух нуклонов ее можно представить:

где Ppp определяется выражением (1.86а), а T3 - оператор проекции третьей компоненты изоспина двух нуклонов (1.82).

Слкдовательно, с учетом поправок на электромагнитное взаимодействие, гамильтониан двух взаимодействующих нуклонов можно представить в виде где В выражении (1.101а) V ( r ) ядерный потенциал взаимодействия двух нуклонов (1.92). Потенциал H 0 коммутирует с T 2 и Ti ( i = 1,2,3 ). Следовательно, он инвариантен относительно вращений в изотопическом пространстве. В гамильтониане H имеется выделенное направление T3, и поэтому он не коммутирует с T1 и T2 :

Однако он коммутирует с T Значит, T3 коммутирует с H. Коммутацию T3 с H легко понять.

Действительно, оператор T3 связан с оператором заряда Q (1.58), поэтому сохранение заряда эквивалентно коммутации T3 и H.

Таким образом, включение электромагнитного взаимодействия приводит к появлению члена H, который не коммутирует T 2 и, следовательно, T 2 не является точным квантовым числом для системы двух нуклонов. Однако следует отметить, что, во-первых, если e 2 0 и mn m p 0, то T 2 становится точным квантовым числом; во-вторых, нарушение T 2 связано с H, который содержит два члена. Однако эти два члена входят в H с разными знаками и, следовательно, в результате эффект компенсируется. Для оценки эффекта нарушения изотопического спина кулоновским взаимодействием сравним кулоновскую энергию с потенциалом Юкавы (В.7), т.е.

Поэтому эффекты кулоновского взаимодействия могут проявиться в тяжелых ядрах, в то время как в нуклон-нуклонных взаимодействиях они малы.

В заключение этого параграфа построим гамильтониан A взаимодействующих нуклонов. В соответствии сказанному выше, оператор кинетической энергии A нуклонов можно записать как Потенциальная энергия состоит из двух членов. Ядерной потенциальной энергии где Vij ( r ) – потенциальная энергия взаимодействия двух нуклонов (1.92), и кулоновской энергии взаимодействия протонов:

Тогда гамильтониан A взаимодействующих нуклонов запишется в виде где Член H 0 гамильтониана (1.105) инвариантен относительно вращения в изотопическом пространстве и, следовательно, коммутирует с Ti (i = 1,2,3) и T 2. В то же время в H, который имеет вид имеется выделенное направление (ось 3). Следовательно, присутствие слагаемого H в гамильтониане H приводит к неинвариантности гамильтониана относительно вращений в изотопическом пространстве. При этом H и T3 коммутируют.

1. Вычислить радиус сил, зависящих от скорости.

2. Пусть гамильтониан взаимодействия частицы со спином 1 / 2 с частицей со спином нуль инвариантен относительно обращения времени, но не инвариантен относительно инверсии пространства. Написать потенциальную энергию взаимодействия таких частиц.

3.Перечислить интегралы движения системы частиц, рассмотренных в вопросе 2.

4. Пусть гамильтониан взаимодействия двух тождественных частиц со спинами 1 / 2 инвариантен относительно обращения времени, но не инвариантен относительно инверсии пространства. Написать потенциальную энергию их взаимодействия.

5. Перечислить интегралы движения системы частиц, рассмотренных в вопросе 4.

Глава 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ НУКЛОНОВ 2.1. Классификация состояний системы двух нуклонов В предыдущей главе было показано, что система двух нуклонов обладает следующими интегралами движения: J – момент количества движения (спин системы), J 3 – его проекция на ось 3, S – суммарный спиновой момент, – четность системы, T – изотопический спин системы, T3 – его проекция. При этом суммарный спиновой момент системы S = 1,0, и спиновая волновая функция системы симметрична ( S = 1 ), или антисимметрична ( S = 0 ). В соответствии с этим при данном моменте количества движения J (спине системы двух нуклонов) и данном суммарном спиновом моменте системы двух нуклонов S угловой момент l лежит в пределах Аналогично, полный изотопический спин двух нуклонов T равен либо нулю, либо единице. В случае T = 1 изоспиновая волновая функция симметрична, а при T = 0 – антисимметрична.

Полная волновая функция системы двух нуклонов является прямым произведением координатной, спиновой и изоспиновой волновых функций:

С другой стороны, полная волновая функция двух нуклонов, как любая волновая функция двух тождественных фермионов, должна быть антисимметричной. Следовательно, если координатная волновая функция ( x1, x2 ) симметрична, тогда если спиновая волновая функция симметрична ( S = 1), то изоспиновая – антисимметрична (T = 0), и наоборот. В случае, если координатная волновая функция антисимметрична, то она должна умножаться либо на симметричные спиновые и изоспиновые волновые функции ( S = 1, T = 1), либо на антисимметричные спиновые и изоспиновые волновые функции ( S = 0, T = 0). Поскольку симметрия координатной волновой функции определяется относительным орбитальным моментом и равна ( 1)l и поскольку допустимые значения l определяются соотношением (2.1), возможны следующие состояния двух нуклонов, которые приведены в табл. 2.1.

Классификация состояний двух нуклонов для J = 0,1, Как уже упоминалось, система из нейтрона и протона может находиться в связанном состоянии. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном, который является простейшим атомным ядром.

Важнейшей характеристикой дейтрона является его энергия связи, которая определяется как разность масс, образующих его частиц и дейтрона:

Другой важнейшей характеристикой дейтрона является его спин и четность. Спин дейтрона равен единице, а четность положительна, т.е. основное состояние дейтрона есть состояние 1+.

Дейтрон обладает магнитным и электрическим квадрупольным моментом. Его магнитный момент, измеренный в ядерных магнетонах, Эта величина близка к сумме магнитных моментов протона и нейтрона, которые в ядерных магнетонах равны Электрический квадрупольный момент дейтрона Эта величина мала по сравнению с поперечным размером системы. Действительно, если считать, что размер системы определяется радиусом ядерных сил, т.е. r0 = =, то поперечные разc довательно, Q / Q0 5 102.

Рассмотрение этих экспериментальных фактов приводит к следующим выводам. Во-первых, поскольку не существует связанных состояний двух нейтронов (бинейтрона) и двух протонов (бипротона), то изотопический спин дейтрона равен нулю ( T = 0 ) и, следовательно, его изотопическая волновая функция антисимметрична:

В соответствии с этим спиново-координатная волновая функция дейтрона должна быть симметричной.

Во-вторых, малость электрического квадрупольного момента дейтрона и приближенная аддитивность магнитных моментов протона и нейтрона в дейтроне означают, что основное состояние дейтрона сферически симметрично. Согласно квантовой механике, это возможно в том случае, если взаимодействие центрально. Поэтому в первом приближении будем считать, что ядерное взаимодействие между протоном и нейтроном в дейтроне центральное.

В предыдущей главе был получен потенциал нуклоннуклонного взаимодействия (1.92), который записывался в виде:

где V ( r ) (k=0,1) определяется выражением (1.93). В дальнейшем, как упоминалось на с. 26, спин-спиновые и тензорные силы, зависящие от скорости, рассматриваться не будут. Следовательно, каждый из потенциалов V (0) ( r ) и V (1) ( r ) содержит два центральных потенциала: потенциал V0 ( r ) и спин-спиновый потенциал VS ( r ), а также тензорный потенциал VT ( r ) и спин-орбитальный потенциал VLS ( r ). В соответствии с этим потенциал взаимодействия двух нуклонов при данном изотопическом спине T примет вид где определяется значением T и принимает значение либо -3, либо +1 в зависимости от того находится система двух нуклонов в изотриплетном или в изосинглетном состоянии, поскольку Таким образом, центральный потенциал, который описывает систему нейтрон-протон в изосинглетном состоянии, имеет вид где V0( T =0) ( r ) и VS( T =0) ( r ) определяются соотношениями Из табл. 2.1 следует, что при изотопическом спине системы равном нулю S -состояние может присутствовать, если система нейтрон-протон находятся в триплетном спиновом состоянии ( S = 1).

При этом орбитальный момент относительного движения равен либо нулю, либо двум ( L = 0,2), а спин и четность равны 1+, так как четность такой системы есть (1) l. Следовательно, центральный потенциал, описывающий взаимодействие нейтрона и протона в основном состоянии дейтрона, имеет вид где V0( T =0) ( r ) и VS( T =0) ( r ) определяются соотношением (2.7а). При получении потенциала U ( r ) использовалось соотношение (1.39).

Следовательно, для описания свойств дейтрона необходимо использовать решение уравнения Шредингера:

Учитывая, что для описания дейтрона оставлена только S -волна, будем искать его волновую функцию в виде Тогда для радиальной волновой функции основного состояния u( r ) получим уравнение В выражение (2.11) подставлена приведенная масса двух нуклонов = (1 / 2)m (где m - масса нуклона), а также энергия основного состояния дейтрона E0 =. При этом радиальная волновая функция u( r ) должна удовлетворять следующим граничным условиям:

Ядерное взаимодействие двух нуклонов характеризуется радиусом r0, т.е. при r > r0, U ( r ) = 0. Следовательно, в этой области уравнение (2.11) примет вид где Тогда при r > r0 решение уравнения (2.13) с учетом граничных условий (2.12) имеет вид:

Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными. Значит, решение уравнения (2.13), описывающее волновую функцию во внешней области ( r > r0 ), должно быть сшито с решением уравнения (2.11) во внутренней области ( r r0 ). Это означает равенство логарифмических производных при r = r0. Логарифмическая производная во внешней области равна:

Следовательно, из-за непрерывности логарифмической производной для волновой функции во внутренней области имеем:

Однако логарифмическая производная волновой функции во внутренней области при r = r0 определяется потенциальной энергией U ( r ) и, таким образом, является основным параметром, характеризующим систему нейтрон-протон (Г. Бете, Р. Пайерлс 1937 г.).

Волновая функция основного состояния дейтрона вне области действия ядерных сил убывает по экспоненциальному закону. Следовательно, величину 1 / T можно рассматривать как параметр, характеризующий пространственные размеры дейтрона, т.е. радиус дейтрона равен Rd = 1 / T. Сравним эту величину с радиусом действия ядерных сил r0 :

В этой оценке учтено, что r0 = / c (где – масса пиона).

Видно, что радиус дейтрона Rd заметно превосходит r0 радиус действия ядерных сил. Таким образом, можно сказать, что дейтрон слабосвязанная система, в которой нейтрон и протон значительную часть времени проводит вне области действия ядерных сил.

Поскольку радиальная зависимость волновой функции дейтрона вне области действия ядерных сил ( r > r0 ) полностью определяется заданием энергии связи или параметром T, то, учитывая слабосвязаность дейтрона, возникает возможность построить приближенную волновую функцию основного состояния дейтрона в приближении нулевого радиуса действия сил. Эта волновая функция совершенно не зависит от вида ядерного потенциала и имеет вид Нормировочная константа этой волновой функции выбирается из условия Пусть ядерный потенциал U ( r ) имеет форму прямоугольной ямы радиуса r0 и глубиной U 0, т.е.

тогда во внутренней области радиальное уравнение Шредингера запишется как а его решение имеет вид где Соответственно, логарифмическая производная волновой функции дейтрона во внутренней области равна и, приравнивая ее к логарифмической производной во внешней области, получим тогда k0 r0 ctg(k 0 r0 ) = - 0 > r0. Поскольку волновой вектор нейтрона в системе координат, где покоится центр инерции сталкивающихся частиц, равен где E – энергия относительного движения нейтрона и протона в Цсистеме, а EЛ – энергия нейтрона в Л-системе, где до столкновения протон покоился, Следовательно, Поэтому, учитывая, что r0 = 1.4 10 13 см, получим для энергии E следующее неравенство:

В дальнейшем будем предполагать, что нейтроны в Л-системе имеют энергию меньше 10 МэВ ( E Л < 10МэВ).

Покажем, что для таких нейтронов имеет место S -рассеяние, т.е. в разложении амплитуды рассеяния по парциальным волнам все члены, кроме первого с l = 0, равны нулю. Напомним, что в выражении (2.31) f l ( k ) – парциальная амплитуда, Pl ( z ) – полиномы Лежандра ( z = cos ), а – угол рассеяния:

С этой целью оценим параметр соударения b. В классической механике b равен:

где L – относительный момент количества движения сталкивающихся частиц, а v – их относительная скорость на бесконечном расстоянии между ними. Учитывая, что в квазиклассическом приближении L = l, то можно написать, что b = l (где = – длина волны). Ясно, что взаимодействие между частицами может произойти, если параметр соударения не превышает радиуса действия ядерных сил, т.е. b < r0 =, тогда Учитывая соотношение (2.29), из соотношения (2.32) следует, что l = 0 и имеет место S -рассеяние.

Следовательно, возникает задача о рассеянии нейтрона на протоне с орбитальным моментом l = 0. Будем исходить из уравнения Шредингера (2.9) с потенциалом, определенным соотношением (2.8):

где энергия сталкивающихся частиц положительна и равна Волновая функция (r ) на бесконечности (r ) удовлетворяет граничному условию Амплитуда рассеяния f ( k, ), определяющаяся выражением (2.31), связана с сечением рассеяния соотношением В последнем равенстве соотношений (2.35) учтено, что рассматривается S -рассеяние. Следовательно, необходимо найти f 0 ( k ).

Для нахождения f 0 ( k ) разложим k (r ) по полиномам Лежандра:

где l ( r ) – волновая функция с относительным орбитальным моментом l. Подставляя это разложение и разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам (2.31) в соотношение (2.34), а также учитывая разложение плоской волны по сферическим волнам (где jl ( kr ) – сферическая функция Бесселя), получим граничное условие для волновой функции с относительным орбитальным моментом l, которое запишется в виде Поскольку в случае рассеяния нейтронов с энергией Eл < 10 МэВ возможно только S -рассеяние, то рассмотрим 0 ( r ).

Так как j0 ( kr ) определяется соотношением то учетом, что u( r ) = r 0 ( r ), получим для радиальной волновой функции S -волны следующее граничное условие Логарифмическая производная радиальной волновой функции в точке r = r0 (r0 0), т.е. в приближении нулевого радиуса действия сил, имеет вид Логарифмическая производная FT ( k ) является функцией k. Однако, поскольку энергия налетающих нейтронов мала по сравнению с глубиной потенциальной ямы, т.е. E 0 и l = 0 система нейтрон-протон может находиться также и в состоянии с T = 1 и S = 0 (см. табл. 2 1). Поэтому рассеяние нейтрона происходит как в триплетном ( S = 1), так и в синглетном ( S = 0) состояниях. Следовательно, сечение, измеряемое на эксперименте, является усредненным по спиновым состояниям сечением рассеяния, и оно определяется соотношением где S – сечение рассеяния в синглетном состоянии. При получении соотношения (2.45) предполагается, что падающий нейтронный пучок и протонная мишень неполяризованны, поэтому все спиновые состояния равновероятны.

Следовательно, необходимо рассмотреть рассеяние нейтрона на протоне, когда потенциал взаимодействия двух нуклонов имеет вид (2.6):

где В соответствии с этим необходимо найти решение уравнения Шредингера с граничным условием (2.34) на волновую функцию при r.

Аналогично рассмотрению уравнения (2.33), можно получить граничное условие на радиальную волновую функцию, описывающую движение с орбитальным моментом l = 0 :

где f 0( s ) – синглетная парциальная амплитуда рассеяния с l = нейтрона на протоне в потенциале U ( r ), т.е. в состоянии с T = 1 и S = 0. Следует отметить, что связанных состояний с такими квантовыми числами нет, следовательно, имеет место неравенство Логарифмическая производная радиальной волновой функции в приближении нулевого радиуса действия сил в таком состоянии равна Так же как и в случае триплетного состояния, пользуясь малостью энергии E по сравнению с потенциальной энергией U ( r ), можно перейти от уравнения (2.47) к рассмотрению уравнения Шредингера с нулевой энергией:

Значит, логарифмическая производная FS ( k ) заменится на некоторую константу:

Однако, учитывая неравенство (2.49), при переходе от потенциала U ( r ) к потенциалу U ( r ) эта константа может изменить знак.

Поэтому в отличие от рассеяния в триплетном состоянии, когда в системе нейтрон-протон имеется связанное состояние и F (0) = T отрицательна, константа FS (0) может оказаться положительной, т.е. величина S отрицательна.

Из соотношения (2.50) следует, что амплитуда рассеяния в синглетном состоянии имеет вид В этом случае полюс амплитуды f 0( S ) может лежать на мнимой оси в нижней полуплоскости комплексной плоскости k (рис. 2.1). Знак S экспериментально определяется из рассеяния нейтрона на молекулярном водороде, и он отрицателен. Такие состояния называются виртуальными состояниями или вигнеровскими резонансами.

В следующем параграфе будет показано, как из рассеяния нейтрона на молекулярном водороде можно определить знак S.

Используя соотношение (2.53), можно написать сечение рассеяния нейтрона на протоне в синглетном состоянии:

Здесь по аналогии с рассеянием в триплетном состоянии, введена некоторая энергия, которая связана с S соотношением Эта величина называется виртуальным или вигнеровским уровнем. Говорят, что дейтрон имеет синглетное состояние. Определим величину этого уровня. Сечение рассеяния нейтрона на протоне в синглетном состоянии при нулевой энергии запишется:

Используя соотношения (2.43), (2.45) и (2.56) получим значение энергии. Она оказывается равной 72 кэВ. Следовательно, у дейтрона имеется синглетное состояние с энергией, лежащее в непрерывном спектре.

Введем понятие длины рассеяния. По определению длина рассеяния a равна амплитуде рассеяния при нулевой энергии взятой с обратным знаком:

В последнем равенстве данной цепочки равенств учтено, что при малых энергиях имеет место S -рассеяние.

Следуя этому определению в случае нуклон-нуклонного рассеяния можно ввести синглетную ( aS ) и триплетную ( aT ) длины рассеяния. Используя определение длины рассеяния и соотношение (2.41), получим для триплетной длины рассеяния значение:

В то время как эксперимент дает для триплетной длины рассеяния значение Знак триплетной длины рассеяния положительный.

Совершенно аналогично получаем для синглетонй длины рассеяния:

В то же время эксперимент дает для синглетонй длины рассеяния значение Подчеркнем, что из рассеяния нейтрона на протоне нельзя определить знак синглетной длины рассеяния.

Покажем, что если длина рассеяния положительна, то в таком потенциале возможно связанное состояние, если же длина рассеяния отрицательна, то связанного состояния в потенциале нет. Действительно, рассмотрим радиальное уравнение Шредингера при нулевой энергии вне области действия потенциала, т.е. когда r > r0, где r0 – радиус потенциальной ямы. Оно имеет вид Решением этого уравнения является прямая линия В выражении (2.61) константа a является длиной рассеяния.

Действительно, запишем логарифмическую производную волновой функции (2.61) при нулевом радиусе действия сил ( r = r0 ( r0 0)) :

Сравнивая это выражение с соотношениями (2.59), (2.50) и (2.58), (2.38) видим, что a – длина рассеяния.

Решение (2.61) в плоскости (u, r ) является прямой линией, которая пересекает ось r в точке a. Эта линия, которая является волновой функцией вне области действия сил, должна сшиваться с волновой функцией во внутренней области (функция и ее производная непрерывны). Поэтому эта прямая должна быть касательной к волновой функции во внутренней области при r < r0 в точке r = r0. На рис. 2.2 показана зависимость радиальной волновой функции u ( r ) при нулевой энергии в случае положительной (а) и отрицательной (б) длины рассеяния (где r0 – радиус потенциала).

Из рис. 2.2,а видно, что в этом случае волновую функцию во внутренней области, т.е. функцию и ее производную, можно непрерывно сшить с экспоненциально затухающим решением во внешней области, соответствующим связанному состоянию (пунктирная кривая на рисунке). При этом следует отметить, что поведение волновой функции основного состояния в области r < r0 почти не зависит от энергии, поэтому оно такое же, как в случае, если энергия связи невелика. Следовательно, в случае положительной длины рассеяния связанное состояние возможно. В случае отрицательной длины рассеяния (рис. 2.2,б) волновая функция во внутренней области ( r < r0 ) не может быть сшита непрерывно в точек r = r0 с экспоненциально затухающим решением, поэтому связанное состояние в этом случае невозможно.

Длина рассеяния выражается через фазу 0. При l = 0 радиальное волновое уравнение вне области действия потенциала имеет вид где Общее решение этого уравнения при положительной энергии записывается как Значит, логарифмическая производная волновой функции (2.63) в точке r = r0 в приближении нулевого радиуса действия сил имеет вид Сравнивая это выражение с соотношением (2.61а), имеем Легко показать, что в правой части соотношения (2.65) стоит нулевая парциальная амплитуда. Как хорошо известно из квантовой механики, парциальная амплитуда связана с фазой 0 соотношением откуда следует соотношение Поэтому имеет место Из рассмотрения рассеяния нейтронов с энергией E л < 10 МэВ на протонах следует, что в потенциале нуклон-нуклонного взаимодействия играют существенную роль центральные спин-спиновые силы. Эта зависимость от спин-спиновых сил приводит к различным потенциалам для синглетного и триплетного состояний. Кроме того, определена величина синглетной длины рассеяния. Однако ее знак определить из экспериментов по рассеянию нейтронов на протонах нельзя. Было показано, что в случае отрицательной длины рассеяния невозможно связанное состояние в потенциале. В следующем параграфе покажем, как из экспериментов по рассеянию нейтронов на молекулярном водороде можно определить знак синглетной длины рассеяния. Она отрицательна. Синглетное состояние дейтрона – виртуальный уровень.

2.4. Рассеяние нейтрона на орто- и параводороде Для определения знака синглетной длины рассеяния рассмотрим рассеяние нейтрона на молекуле водорода. В природе существуют две модификации водорода: параводород и ортоводород. В параводороде спины протонов антипараллельны, и суммарный спин двух протонов равен нулю ( I = 0). В то время как в ортоводороде спины протонов параллельны и, соответственно, суммарный спин двух протонов равен единице ( I = 1). Изучение рассеяния нейтронов на пара- и ортоводороде позволяет определить знак синглетной длины рассеяния.

Однако, прежде чем рассматривать рассеяние нейтронов на молекуле водорода обобщим некоторые формулы теории рассеяния на случай столкновения двух частиц со спинами. Пусть налетающая частица имеет спин j1, а мишень – j2. Тогда волновая функция всей системы является прямым произведением волновых функций налетающей частицы и мишени:

где Rц – радиус центра масс, r – относительный радиус, ji, i ( i = 1,2 ) – спины и их проекции на ось 3 падающей частицы и мишени соответственно, а pц и p – импульсы центра масс и относительного движения. Волновая функция (2.68) – столбец размерностью (2 j1 + 1)(2 j2 + 1). Следует напомнить, что имеется два ортонормированных базиса, по которым можно разложить любое спиновое состояние сталкивающихся частиц. Эти базисы можно характеризовать двумя квантовыми числами либо 1, 2 (где 1, 2 – проекции спинов частиц на ось 3), либо j, (где j изменяется от j1 j2 до j1 + j2, а от j до j ). Эти два базиса связаны соотношением Отметим, что любое спиновое состояние двух сталкивающихся частиц можно характеризовать коэффициентами разложения либо c12, либо c j по этим базисным состояниям:

Так же как и в случае бесспиновых частиц, граничное условие на волновую функцию в случае частиц со спином должно иметь вид где и (, ) – спиновые функции, описывающие спиновые состояния частиц до и после рассеяния. Если разложить эти спиновые волновые функции по какому-либо полному ортонормированному базису, граничное условие на волновую функцию запишется как где g = (2 j1 + 1)(2 j2 + 1), а c = и c (, ) = (, ) – коэффициенты разложения функций и (, ) по полному ортонормированному базису. Пусть начальное спиновое состояние нормировано на единицу, т.е.

Тогда конечное состояние нормировано так, что величина является плотностью рассеянных частиц в спиновом состоянии.

Следовательно, коэффициенты c (, ) связаны с дифференциальным сечением рассеяния соотношением Рассмотрим частный случай. Пусть начальное состояние является одним из базисных состояний i, а конечное состояние (, ) разложим в сумму по базисным состояниям где индекс i в коэффициенте разложения Fif (, ) конечного спинового состояния по базовым состояниям указывает, что начальное состояние является базисным. В этом случае граничное условие (2.70) на волновую функцию примет вид Коэффициенты Fif (, ) разложения конечного спинового состояния по базису представляют собой элементы матрицы рассеяния F (, ), зависящей от направления рассеяния. Очевидно, что дифференциальное сечение рассеяния из состояния i в состояние f равно:

Тогда сечение рассеяния в случае неполяризованных частиц получается в результате усреднения по начальным и суммирования по конечным спиновым состояниям:

где g определяется соотношением (2.70а). Последние равенства в цепочке соотношений (2.75) используют то обстоятельство, что суммирование проводится по полному ортонормированному базису. При этом таким базисом может служить любой из указанных выше базисов. Окончательно для сечения рассеяния неполяризованных частиц получим выражение В выражении (2.76) индекс 0 в левой стороне равенства указывает на то, что это – сечение неполяризованных частиц.

Перейдем к рассмотрению рассеяния нейтрона на молекуле водорода. Будем рассматривать нейтроны с такой энергией, чтобы длина волны его была больше расстояния между протонами в молекуле водорода, т.е. n > d (d = 0,75 10 8 см). В этом случае рассеяние нейтрона происходит когерентно, и имеют место интерференционные явления, которые позволяют определить знак aS (или S ). Из соотношения n > d немедленно следует, что энергия нейтрона определяется условием где – комптоновская длина волны протона. Нейтроны с энерp гией 0,5 5 10 3 эВ называются тепловыми.

При таких энергиях нейтрон не может возбудить ротационные уровни молекулы водорода, т.е. в этих условиях происходит лишь упругое рассеяние. Это упругое рассеяние нейтрона на пара- и ортоводороде различно, так как взаимодействие нейтрона и протона зависит от взаимной ориентации их спинов.

Следует подчеркнуть, что вращательное квантовое число основного состояния параводорода равно нулю ( I = 0 ), в то время как для ортоводорода равно единице ( I = 1 ). В соответствии с этим, несмотря на то, что переход параводорода в ортоводород невозможен, обратный процесс, т.е. переход ортоводорода в параводород, возможен, когда нейтрон получает энергию в результате такого перехода. Таким неупругим процессом будем пренебрегать.

Запишем амплитуду рассеяния нейтрона на протоне в произвольном спиновом состоянии. С этой целью введем операторы проектирования PT и PS, которые выделяют триплетное и синглетное спиновое состояние соответственно, т.е.

где T и S – триплетная (симметричная) и синглетная (антисимметричная) спиновые волновые функции соответственно. Операторы проектирования записываются как где n и p – матрицы Паули, описывающие операторы спина нейтрона и протона соответственно.

Тогда амплитуду рассеяния нейтрона на протоне в произвольном спиновом состоянии можно представить в виде где введены обозначения:

а f 0( S ) и f 0( T ) – амплитуды рассеяния нейтрона на протоне в синглетном (2.53) и триплетном (2.41) состоянии соответственно.

Используя амплитуду (2.79), амплитуду рассеяния нейтрона на молекуле водорода можно представить в виде суммы амплитуд рассеяния нейтрона на каждом из протонов, входящих в молекулу водорода:

где p1 и p2 – спиновые операторы первого и второго протона молекулы водорода. Введем в это соотношение оператор спина молекулы водорода S :

Тогда амплитуду рассеяния нейтрона на молекуле водорода можно представить в виде Подставляя данную амплитуду в выражение (2.76), запишем сечение рассеяния неполяризованного нейтрона на молекуле водорода:

где I H 2 – спин молекулы водорода (для параводорода I H 2 =0, для ортоводорода I H 2 =1). Проведя вычисление шпура, получим выражение сечения рассеяния нейтрона на молекуле водорода окончательно в виде Следовательно, для параводорода имеем и, соответственно, В случае же ортоводорода имеем и, соответственно, Из соотношений (2.85а) и (2.86а) имеем Используя определение длины рассеяния (2.57) и введя синглетную (2.59) и триплетную (2.58) длину рассеяния, получим из соотношения (2.87) следующее равенство:

Из выражения (2.88) видно, что, измеряя на эксперименте сечение рассеяния нейтрона на пара- и ортоводороде, можно определить величину aT aS и, соответственно, их относительные знаки.

Оказывается, что у aT и aS разные знаки, т.е. состояние 1S0 является виртуальным уровнем или резонансом Вигнера.

2.5. Дейтрон как смесь S- и D-состояний.

Структура волновой функции дейтрона Рассматривая выше дейтрон, мы предполагали, что силы, действующие между нейтроном и протоном, являются центральными, зависящими от спина. В этом случае орбитальный момент относительного движения является хорошим квантовым числом и равен нулю ( l = 0 ). Следовательно, дейтрон – сферически симметричная система. Однако, как известно из теории поля, у сферически симметричной системы квадрупольный момент равен нулю, т.е. Q 0.

Эксперимент же дает маленькую, но отличную от нуля величину.

Кроме того, в случае сферически симметричного состояния для магнитного момента дейтрона имеется соотношение d = p + n.

Оно также не согласуется с экспериментом. Наличие у дейтрона квадрупольного момента и разница между магнитным моментом дейтрона и суммой магнитных моментов нейтрона и протона указывают на нецентральный характер ядерных сил. В первой главе было показано, что силы между нейтроном и протоном содержат тензорные силы, которые не являются центральными, а значит, орбитальный момент относительного движения не является квантовым числом такой системы. Поэтому для описания квадрупольного и магнитного моментов дейтрона необходимо учитывать тензорные силы. Поскольку изотопический спин дейтрона равен нулю, и он находится в триплетном спиновом состоянии, то потенциал, описывающий взаимодействие нейтрона и протона в дейтроне, запишем как где U ( r ) определяется соотношением (2.8), а U T ( r ) – тензорный потенциал. Учитывая, что дейтрон находится в состоянии с изоспином, равным нулю, согласно (2.6) тензорный потенциал запишется:

где VT( 0 ) (r ) и VT(1) ( r ) – тензорные потенциалы, входящие в потенциалы V ( 0) (r ) и V (1) (r ) соответственно (1.93).

Следовательно, для описания свойств дейтрона необходимо получить решение уравнения Шредингера, описывающее дейтрон:

В случае нецентрального взаимодействия, как указывалось выше (см. п. 1.2), гамильтониан не коммутирует с оператором l 2, поскольку l 2, S 0. Следовательно, орбитальный момент не является квантовым числом такой системы и в соответствии с этим (п.

2.1) дейтрон должен быть смесью S - и D -состояний, т.е. его волновая функция записывается как Учитывая, что нейтрон и протон в дейтроне находятся в триплетном спиновом состоянии, S - и D -волновые части волновой функции дейтрона запишем в виде:

В выражениях (2.91а) и (2.91б) 1 – триплетная спиновая функция нейтрона и протона, Ylm ( n ) – шаровые функции, описывающие их орбитальный момент, CSJM,lm – коэффициенты Клебша–Гордона ( JM – спин дейтрона и его проекция, S – суммарный спиновый момент и его проекция, lm – орбитальный момент и его проекция), а u( r ) и w( r ) – радиальные функции S - и D -состояний.

Введем спин-угловые функции S - и D - состояний:

где l = 0 для S- и l = 2 для D-состояний. Тогда волновая функция дейтрона запишется как Покажем, что спин-угловая часть D -состояния дейтрона связана со спин-угловой частью S -состояния соотношением:

где C – некоторая константа. Действительно, спиновая функция нейтрон-протонной системы в триплетном состоянии 1M при вращениях преобразуется по представлению группы вращений D (1) ( g ), в то время как оператор S12 – скаляр относительно вращений, Значит, величина S при вращениях преобразуется по представлению D (1) ( g ) группы вращений. С другой стороны, по такому же представлению группы вращений преобразуется и функция 1M1,l = 2 ( n ). Покажем теперь, что функция CS121M Y00 (n ) описывает D -волну. С этой целью воспользуемся тем, что если некоторая функция углов F (, ), умноженная на r l (где l – целое число), удовлетворяет уравнению Лапласа, то она описывает волну с орбитальным моментом l, т.е. покажем, что Действительно, учитывая определение S12 (1.41), можно написать:

поскольку Таким образом, соотношение (2.95), а соответственно, и соотношение (2.94) доказаны.

Величины 1M1,l = 2 ( n ) ортонормированны. Действительно, имеем Это условие ортонормированности 1M1,l = 2 ( n ) легко позволяет опS= ределять нормировочную константу C в соотношении (2.94):

Учитывая эрмитовость оператора S12, имеем В предпоследнем равенстве данной цепочки равенств учтены следующие соотношения:

При получении последнего равенства цепочки равенств (2.96а) учтено, что нейтрон и протон в дейтроне находятся в триплетном спиновом состоянии, поэтому ( 12 ) = 1.

Следовательно, соотношение (2.96) можно представить в виде:

так как имеет место соотношение:

Равенство (2.97а) следует из соотношения (1.45):

При написании данной цепочки равенств, использовались соотношения:

Окончательно, из соотношения (2.97) следует, что нормировочная константа C равна Тогда волновую функцию дейтрона с учетом S - и D -состояний можно записать в виде:

Эта волновая функция называется функцией Рарита и Швингера.

Волновая функция дейтрона нормирована условием Подставляя в это соотношение функцию Рарита и Швингера (2.98) и учитывая ортонормируемость спин-угловых функций S - и D состояний, которая следует из равенства (2.97а), получим, что радиальные волновые функции u( r ) и w( r ) удовлетворяют условию Величины pS = u( r ) dr и pD = w( r ) dr можно трактовать как вероятность находиться дейтрону в S - и D -состояниях соответственно. При этом соотношение (2.99) означает Подставляя функцию Рарита и Швингера (2.98) в уравнение Шредингера (2.90), получим систему связанных дифференциальных уравнений для радиальных функций u( r ) и w( r ) :

При получении данной системы уравнений необходимо учитывать соотношение (2.96а) для S 2, а так же ортонормируемость спин-угловых функций S - и D -состояний.

В систему уравнений (2.100) входят два потенциала: центральный потенциал, зависящий от спинов U ( r ) (нейтрон и протон находятся в триплетном спиновом состоянии), и тензорный потенциал U T ( r ). Даже в простейшем случае, когда потенциалы заданы в виде прямоугольных ям, решение системы (2.100) зависит от четырех параметров: глубины центрального потенциала U 0, глубины тензорного потенциала U 0T ) и радиусов действия центрального и тензорного потенциалов r0 и rT соответственно. Найти аналитическое решение даже в этом простом случае не удается.

Из соотношений (2.100) видно, что вне области действия сил, т.е. при r >> r0 и rT, эта система уравнений для радиальных волновых функций распадается на два независимых уравнения:

для функции u( r ) и для функции w. Учитывая, что E = (где – энергия связи дейтрона), и введя параметр T (2.13а), уравнения (2.100а) и (2.100б) примут вид:

Уравнение (2.101) рассматривалось выше в п. 2.2 и его решение имеет вид Получим решение уравнения (2.102). При запишется в виде Поскольку в пределе больших r оно должно быть затухающим, так как рассматривается связанное состояние дейтрона, то необходимо взять решение:

т.е. решение уравнения (2.101) следует искать в виде При этом функция f ( r ) удовлетворяет уравнению Обезразмерим переменную r, введя новую переменную x :

тогда функция f ( x ) удовлетворяет уравнению Решение этого уравнения будем искать в виде ряда Подставляя этот ряд в уравнение (2.104), получим соотношение Из этого выражения следует рекуррентное соотношение между ak или В случае, если k = n, получим соотношение, определяющее первый член ряда. Оно имеет вид:

Откуда следует, что n может принимать два значения: либо n = 2, либо n = 3. Из этих двух значений n допустимо лишь первое, т.е. n = 2. Действительно, решение w( r ), описывающее связанное состояние нейтрона и протона, т.е. дейтрон, вне области действия ядерных сил, должно быть экспоненциально затухающим.

Следовательно, ряд (2.105) должен обрываться. Из соотношения (2.106) следует, что обрыв ряда происходит лишь при n = 2, поскольку все коэффициенты ak 0 с k 1. Из всего сказанного следует:

Тогда радиальная волновая функция D -состояния дейтрона имеет вид Таким образом, асимптотические выражения для радиальных волновых функций, описывающих дейтрон в S - и D -состояниях, описываются выражениями (2.103) и (2.107) соответственно. В этих выражениях T определяется соотношением (2.13а), C и C – нормировочные коэффициенты.

Отметим, что выражение для радиальной волновой функции S состояния (2.103) справедливо на расстояниях r, превосходящих как r0, так и rT, в то время как асимптотическое выражение для w( r ) (2.107) справедливо при r > rT. Действительно, при получении уравнения (2.102) необходимо пренебречь членами, содержащими потенциал U T ( r ), поскольку членом U ( r ) w( r ) можно пренебречь уже при r > rT, так как он мал по сравнению с центробежной энергией. В то время как при получении уравнения (2.101) необходимо отбросить члены, содержащие как потенциал U ( r ), так и потенциал U T ( r ).

Отметим, что при малых r ( r 0) радиальные волновые функции u (r ) и w(r ) ведут себя по-разному:

Поэтому функция w(r ) имеет резкий максимум при r rT. Действительно, из выражения (2.107) для w(r ) видно, что в области rT < r < 1 / T она ведет себя как 1 / ( T r ) (где T r < 1 ). Следовательно, интеграл, определяющий вес D -состояния дейтрона pD, сидит на расстояниях r ~ rT.

Как упоминалось выше, дейтрон обладает магнитным моментом. Вычислим его. Магнитный момент, создаваемый нуклонами в ядре, складывается из собственного магнитного момента нуклона и его орбитального момента, обусловленного движением заряженной частицы, когда нуклон является протоном. Таким образом, магнитный момент дейтрона d можно представить как где p – вектор собственного магнитного момента протона, l – вектор его орбитального магнитного момента, а n – вектор собственного магнитного момента нейтрона.

Согласно классической электродинамике магнитный момент, возникающий из-за движения заряженной частицы (протона), определяется выражением где rp – радиус-вектор протона, v p – его скорость, p p = m p v p – импульс протона, а e – его заряд. Введем момент количества движения протона, измеренный в единицах :

тогда вектор орбитального магнитного момента протона запишется в виде раз (где me – масса электрона). Обычно магнитные моменты ядерных частиц измеряются в ядерных магнетонах.

Таким образом, в ядерных магнетонах вектор орбитального магнитного момента заряженной частицы (протона) пропорционален его орбитальному моменту (2.111). Для обобщения данной формулы на квантовую механику введем оператор вектора орбитального магнитного момента протона l и оператор вектора орбитального момента количества движения l p. Эти два оператора связаны соотношением Обобщая это соотношение, запишем связь между оператором спина нуклона и оператором его собственного магнитного момента в виде и g n – гиромагнитное отношение для протона и нейтрона где g p соответственно. Вообще, гиромагнитные отношения g p и g n не равны единице, так в случае электрона, g e = 2. Как следует из соотношения (2.111), гиромагнитное отношение для оператора орбитального магнитного момента l равно единице. В соответствии с выше сказанным оператор магнитного момента дейтрона можно записать в виде С другой стороны, оператор магнитного момента дейтрона можно выразить через его спин J d :

Обычно приводящийся в таблицах магнитный момент частицы определяется как среднее значение оператора 3 в состоянии с максимальным значением проекции спина на ось 3 и выражается в ядерных магнетонах. Следовательно, для магнитного момента дейтрона можно записать в то время как для нейтрона и протона имеем соответственно:

Оператор момента импульса протона l p выражается через радиус-вектор протона и его импульс. В дальнейшем при вычислении магнитного момента дейтрона необходимо провести усреднение по волновой функции дейтрона с M = 1. Однако волновая функция дейтрона зависит от радиуса-вектора взаимного расстояния r = rp rn. Поэтому необходимо момент импульса протона выразить через орбитальный момент импульса относительного движения. Следовательно, необходимо выразить через радиус-вектор r и p орбитальный момент количества движения протона. Так как в Ц-системе имеет место В последнем равенстве данной цепочки равенств положили, что mn = m p = m (где m – масса нуклона). В соответствии с этим имеем Следовательно, момент импульса протона в дейтроне можно записать через орбитальный момент импульса относительного движения После всего сказанного выше, для оператора магнитного момента дейтрона, используя равенства (2.114), (2.114а), и (2.117), можно записать откуда имеем Преобразуем это выражение. С этой целью введем в него суммарный спин протона и нейтрона S = S p + S n и его разность = S p Sn, тогда соотношение (2.118) запишется как Умножим скалярно это соотношение на J, и получим Учитывая, что J d = S + l, соотношение (2.118) можно представить в виде Для вычисления магнитного момента дейтрона возьмем матричный элемент от этого операторного равенства между волновыми функциями дейтрона d ( r ) (2.91), тогда левая часть запишется как Так как спин дейтрона равен единице, а так же учтено соотношение (2.115). Следовательно, после усреднения соотношение (2.119) примет вид Рассмотрим правую часть этого соотношения. Спинкоординатная часть волновой функции дейтрона должна быть симметрична относительно перестановки нейтрона и протона, поскольку изотопический спин дейтрона равен нулю. Это означает, что Действительно, симметрия спин-координатной волновой функции дейтрона d ( r ) относительно перестановки нейтрона и протона означает, что при замене n p или, что тоже самое, при замене r r имеем:

в то время как операторы S и l антисимметричны относительно такой перестановки. Это и приводит к соотношению (2.121).

Кроме того, как показано в п. 1.2, оператор суммарного спина двух нуклонов коммутирует с гамильтонианом H и, следовательно, эта величина – квантовое число. В дейтоне она равна S = 1, поэтому:

Рассмотрим второй член правой стороны равенства (2.120), Учитывая соотношение J d = S + l, можно записать Усредняя это операторное соотношение по волновой функции дейтрона, можно получить:

При написании этой цепочки равенств учтено, что S = J d = 1.

Тогда, подставляя соотношения (2.123),(2.122) и (2.121) в равенство (2.120) и учитывая определение магнитного момента протона и нейтрона (2.116), получим выражение для магнитного момента дейтрона в следующем виде:

Рассмотрим матричный элемент волновая функция является чистым S -состоянием, т.е. d = S, то Следовательно, Однако, при учете D -состояния в дейтроне, т.е. когда При написании этой цепочки равенств учитывалось, что Таким образом, для магнитного момента дейтрона с учетом D волны окончательно получаем следующее выражение:

Зная экспериментальные значения магнитного момента дейтрона и магнитных моментов нейтрона и протона, можно оценить вклад D -волны в дейтрон:

Таким образом, экспериментальные данные по магнитному моменту дейтрона указывают, что вклад D -волны в волновую функцию дейтрона составляет 4%.

2.7. Электрический квадрупольный момент дейтрона Другой характеристикой электрических свойств ядра является электрический квадрупольный момент. Как известно из теории поля, тензор квадрупольного момента определяется как где суммирование проводится по всем заряженным частицам, а e – их заряды. В случае, если все заряженные частицы имеют один и тот же заряд e, как в случае ядра, то Обычно квадрупольный момент ядра измеряется в барнах ( 1барн = 10 -24 см 2 ). Для этого в определении квадрупольного момента опускается множитель e, а расстояние измеряется в 10 12 см, т.е. он определяется выражением Тогда компонента где сумма берется по всем заряженным частицам, связана с формой ядра. Если тело вытянуто вдоль оси 3, то Q33 > 0, т.е. среднее значение квадрата координаты z больше среднего значения квадрата радиуса. Если же тело сплюснуто, то Q33 < 0.

В случае, когда распределение заряда непрерывно и характеризуется плотностью (r ), квадрупольный момент определяется как В соответствии с этим в случае квантово-механических систем, описываемых волновой функцией (r ), электрический квадрупольный момент такой системы записывается как Квадрупольный момент, подобно магнитному моменту, можно связать с вектором спина, так как имеется всего одна векторная характеристика ядра – вектор спина J. Для нахождения этой связи воспользуемся следующими свойствами квадрупольного момента.

Во-первых, тензор квадрупольного момента – симметричный тензор второго ранга (Qik = Qki ). Во-вторых, шпур тензора Qik равен нулю ( SpQik = 0). Тогда, построив из вектора J симметричный тензор второго ранга со шпуром, равным нулю, можно написать для оператора квадрупольного момента следующее выражение где A – некоторая константа.

Обычно квадрупольный момент Q, приводимый в таблицах, определяется как среднее значение оператора Q33 по состояниям с максимальной проекцией спина на ось 3 ( J 3 = J ), т.е.

Используя это соотношение и выражение для оператора квадрупольного момента (2.131), получим Из этого соотношения следует, что Q 0, если J = 0 или 1 / 2, т.е.

ядра со спином нуль или 1 / 2 не могут иметь электрического квадрупольного момента. Наконец, из соотношения (2.132) имеем и, следовательно, оператор тензора электрического квадрупольного момента ядра записывается в виде Теперь перейдем к вычислению электрического квадрупольного момента дейтрона. Поскольку спин дейтрона равен единице, то он может обладать электрическим квадрупольным моментом. Как указывалось выше, эксперимент дает значение Q = 2,82 10 см = 2,82 10 барн. Оператор электрического квадрупольного момента дейтрона записывается в виде где rp – радиус-вектор протона. Введя в это выражение относительный радиус-вектор r = rp rn, который согласно предыдущему параграфу связан с радиусом-вектором протона соотношением rp = r, можно записать тензор квадрупольного момента дейтрона в виде В соответствии с этим, оператор Q33 можно записать как или, введя шаровую функцию получим для Q33 следующее выражение:

Следовательно, электрический квадрупольный момент дейтрона определяется выражением где d =1 – волновая функция дейтрона с проекцией спина на ось равной единице.

Как было показано в п. 2.5, волновая функция дейтрона является суперпозицией S - и D -состояний и определяется выражением (2.91). Если предположить, что дейтрон описывается лишь S состоянием, т.е. положить в соотношении (2.137) d = S, то для электрического квадрупольного момента получим:

из-за ортогональности шаровых функций Y20 (n ) и Y00 (n ). В выражении (2.138) 1 – триплетная спиновая волновая функция двух нуклонов.

Таким образом, сам факт существования электрического квадрупольного момента дейтрона указывает на существование в дейтроне D -волны. Следует напомнить, что магнитный момент дейтрона получается из-за наличия магнитных моментов у нейтрона и протона и равняется их сумме при l = 0, в то время как при l =0 Q 0.

Пусть волновая функция дейтрона является суперпозицией S - и D -состояний, т.е. d (r ) = S (r ) + D ( r ), тогда квадрупольный момент дейтрона запишется как Первое слагаемое, как было показано выше, равно нулю из-за сферической симметрии волновой функции S (r ). Последним слагаемым можно пренебречь, так как из вычисления магнитного момента дейтрона следовало, что присутствие D -волны в дейтроне мало – порядка 4%, поэтому этот член мал по сравнению с двумя другими. Следовательно, квадрупольный момент можно представить в виде Оператор электрического квадрупольного момента эрмитов, как любой оператор физической величины, поэтому можно написать Таким образом, окончательно для электрического квадрупольного момента получаем выражение Подставляя в это выражение волновые функции S - и D -состояний дейтрона (2.91а) и (2.91б), получим Рассмотрим интегрирование по телесному углу. Подставляя в этот интеграл выражение для спин-угловых волновых функций S и D -состояний дейтрона и проведя интегрирование, получим При написании этой цепочки равенств учитывалась ортогональность спиновых и шаровых функций:

а также численное значение коэффициента Клебша–Гордона:

Окончательно для электрического квадрупольного момента получим выражение Так как под знак интеграла входит r 2, то область малых значений r вносит малый вклад в интеграл, поэтому для оценки квадрупольного момента дейтрона можно для радиальных волновых функций u (r ) и w(r ) воспользоваться асимптотическими выражениями (2.103) и (2.107) соответственно. Кроме того, учитывая, что в u (r ) и w(r ) входит одна и та же затухающая экспонента, запишем:

Тогда квадрупольный момент дейтрона можно представить в виде:

где r 2 – среднее значение квадрата радиуса в S -состоянии дейтрона:

В этом выражении T определяется соотношением (2.13а), а Rd – радиус дейтрона. Таким образом, электрический квадрупольный момент дейтрона запишется в виде:

Если в выражение (2.141а) подставить радиус дейтрона Rd = 4.2 10 см, а для квадрупольного момента Q использовать экспериментальное значение, то можно найти величину a. Она оказывается равной 0,24, т.е. вклад D -волны оказывается около 6%.

1. Написать волновую функцию непрерывного спектра с импульсом k системы нейтрон-протон в приближении нулевого радиуса действия сил в триплетном спиновом состоянии.

2. Показать, что написанная в первом вопросе функция ортогональна к волновой функции дейтрона в приближении нулевого радиуса действия сил (2.17).

3. Может ли длина рассеяния ( a ) быть положительной и a < r0, где r0 – радиус потенциала? Привести пример такого потенциала.

Глава 3. ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ 3.1. Определение инвариантных амплитуд В п. 2.4 при рассмотрении рассеяния нейтрона на молекулярном водороде в амплитуде рассеяния нейрона на протоне выделялись спиновые переменные, и амплитуда записывалась в виде:

В этом выражении величины a и b являются функциями импульса k, и вся информация о динамике процесса рассеяния содержится в функциях a ( k ) и b( k ). При получении выражения (3.1) рассматривались лишь малые энергии. Попытаемся обобщить выражение (3.1) на произвольные нерелятивистские энергии.

Рассмотрим трансформационные свойства амплитуды рассеяния. Как известно [7], S -матрицу можно представить в виде где T-матрица несет всю информацию о процессе рассеяния. Выделим из T-матрицы закон сохранения 4-импульса и запишем ее в виде где pi и p f – 4-импульсы начального и конечного состояния, а M – амплитуда рассеяния.

В релятивистском случае амплитуда рассеяния M, входящая в выражение (3.3), связана с инвариантной амплитудой F соотношением где Ek ( k = 1,2,...., n ) энергии частиц, участвующих в процесс i f ( i – начальное состояние, а f – конечное). Амплитуда F, как показано в квантовой теории поля, инвариантна относительно собственных преобразований Лоренца, т.е.