«Гуцанович, С. А. Г93 Математика. 5 класс. Тропинками математики : пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : Аверсэв, ...»
-- [ Страница 2 ] --
8. Какие числа называются простыми; составными?
9. Какие числа называются четными; нечетными?
10. Можно ли назвать самое большое четное число; про стое число; составное число?
11. Назовите пятизначное число, все цифры которого раз личны, делящееся на 4; на 25; на 8.
12. Некоторое натуральное число делится на 7, будет ли делиться на 7 число, следующее за ним в натуральном ряду?
13. Существует ли натуральное число, которое не являет ся ни простым, ни составным?
14. Существует ли четное простое число?
15. В каких десятках первой сотни натуральных чисел име ется три и только три простых числа?
16. Есть ли среди натуральных чисел первой сотни такой десяток, в котором было бы лишь одно простое число?
17. Сформулируйте правила нахождения НОД и НОК чисел.
18. Четной или нечетной будет сумма двух четных чисел?
А трех нечетных?
19. Маша говорит, что знает четыре числа, сумма и произ ведение которых — нечетные числа. Права ли Маша?
20. Можно ли заплатить без сдачи:
а) 20 000 рублей семью купюрами по 1, 5 и 10 тысяч рублей;
б) 20 000 рублей семью купюрами по 1, 5 тысяч рублей;
в) 25 000 рублей восемью купюрами по 1 и 5 тысяч рублей?
Скачано с сайта www.aversev.by 13. К двузначному числу прибавили 5, сумма оказа лась кратной 5. Когда из него вычли 3, разность оказа лась кратной трем. А когда его разделили на 2, оказа лось, что и частное делится на 2. Найдите число.
14. К двузначному числу приписано такое же число.
Может ли образовавшееся четырехзначное число быть простым?
15. Покажите, что сумма двух любых последователь ных нечетных чисел делится на 4.
16. Какое число при делении его на любое из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 каждый раз дает в остатке 1?
17. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число.
В первом случае в остатке получили 4, а во втором — 18.
На какое число делили?
18. Можно ли утверждать, что среди любых трех по следовательных четных чисел (или же трех последова тельных нечетных чисел) всегда есть число, кратное 3?
19. Числа a и b — взаимно простые. Будут ли взаимно простыми числа a + b и a b?
20. Произведение двух чисел равно 5292, а их НОК равно 252. Найдите НОД этих чисел.
21. Произведение двух чисел равно 21 600, а их НОД равен 60. Найдите НОК этих чисел.
22. Найдите разность НОК и НОД чисел 330 и 44.
23. Найдите наибольшее целое число, дающее при де лении на 13 с остатком частное 17.
24. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
25. Найдите наибольшее число, в записи которого каж дые две соседние цифры образуют число, делящееся на 17.
Скачано с сайта www.aversev.by 26. Сколько чисел от 1 до 1000 включительно не делят ся ни на 2, ни на 5?
27. Напишите наименьшее целое число, составленное из всех цифр, которое делится на: а) 5; б) 20.
28. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное 3, но не кратное 9.
29. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?
30. Объясните, почему разность между двумя соседни ми простыми числами (кроме чисел 2 и 3) равна четному числу.
31. Сколько есть четырехзначных чисел, все цифры ко торых четные?
32. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расста вить между ними знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Тема 6 во времени Занятия 1—4. Математические задачи загадки античных времен. Старинные занимательные истории по матема тике. Занимательные задачи. Задачи математического содержания на основе народных сказок. Некоторые задачи русских писателей.
Скачано с сайта www.aversev.by я нашла много интересного и сейчас вас с этим материа лом познакомлю.
Во времена античности большой популярностью поль зовались задачи загадки. В Древней Греции были рас пространены многочисленные виды загадок: числовые, буквенные, загадки с рисунками и др., а также составля лись сборники задач. В VIII в. до н. э. наибольшей попу лярностью пользовался сборник задач «Греческой анто логии», составленный в стихотворной форме, в котором были написаны и знаменитые поэмы Гомера «Илиада»
и «Одиссея».
В основе многих задач, составленных математиками Древней Греции, часто лежали легенды и мифы — исто рии из жизни богов. Приведу примеры таких задач.
Собрались однажды на Олимпе боги, и Геракл, сын богини Земли Геры, рассказал им о состязании в стрель бе из лука с самым метким богом стрелком Евритом и кентавром Хироном, от которого произошло созвездие Стрельца.
«Было у нас полторы дюжины стрел (дюжина равна 12). Каждому досталось по 6 стрел. Мы их пометили и начали соревнование. Еврит первой стрелой выбил 3 очка. Мне повезло больше: 2 стрелы — и сразу 22 очка.
Когда мы закончили выпускать свои стрелы, то оказа лось, что каждый из нас набрал поровну, по 71 очку.
И тогда мы решили, что победителем будет тот, кто сделал самый удачный выстрел — 50 очков, т. е. попал в центр мишени. Угадайте, кто выиграл это соревно вание».
Если вы затрудняетесь ответить, то предлагаю реше ние задачи.
Скачано с сайта www.aversev.by Думали боги, думали, но не смогли назвать победите ля. И тогда Геракл выписал молнией на скале очки Еври та, Хирона и свои. У него получилась следующая запись:
Если Гераклу первые 2 выстрела принесли 22 очка, то его достижениям соответствует первый ряд чисел. Ведь только там можно набрать столько очков двумя выстре лами, если попадешь в 20 и 2.
Но тогда первый выстрел, который принес Евриту всего 3 очка, может относиться только к третьему набору чисел: ведь первый то уже «забрал» себе Геракл! Таким образом, вторая строка соответствует выстрелам Хиро на. Получается, что в третьей строке находится и высшее достижение этого состязания — 50 очков. Значит, побе дил Еврит: он сделал самый точный выстрел!
Скачано с сайта www.aversev.by странствий и подвигов возвратились посланцы и при везли ровно три дюжины больших кусков металла.
«Сколько кусков, столько должно быть и амфор», — ска зал Зевс Гефесту. Гефест лишь улыбнулся в ответ, ведь во время изготовления амфоры на станке остается стружка. Из стружки, оставшейся после 6 амфор, можно выплавить новый слиток металла, которого хватит на новую амфору.
Подскажите Зевсу, сколько амфор может сделать бог кузнец Гефест из 36 привезенных ему кусков драгоцен ного металла?»
В а с я З а д а ч к и н: «Если вы не справились само стоятельно с решением, то предлагаю разобраться в мо ем решении.
У Гефеста было 36 кусков металла. Из каждых 6 кус ков Гефест выплавляет 6 амфор (по амфоре из куска), а из оставшейся после выплавки стружки — еще одну амфору. Таким образом, из 36 кусков можно сделать до полнительно еще 6 амфор (36 : 6 = 6). Но стружки, кото рая останется после этих 6 амфор, хватит еще на одну новую амфору. Значит, Гефест выточил 43 амфоры (36 + + 6 + 1 = 43), 36 — для богов, а 7, сделанных им дополни тельно из стружки, Зевс оставил ему в подарок.
Ответ: 43».
К а т я К н и ж к и н а: «А теперь я познакомлю вас с задачами математического содержания на основе на родных сказок.
Во времена античности многие задачи составлялись на основе народных сказок. Вы также можете составить такие задачи, выбрав за основу сказочный сюжет или сказочных героев. Приведу некоторые примеры задач на основе народных сказок.
Скачано с сайта www.aversev.by Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, по зволь мне взять из твоего сада одно яблоко». Царь ска зал: «Мой сад огорожен тремя заборами. В каждом забо ре есть только одни ворота и около каждых ворот стоит сторож. Если скажешь, сколько яблок нужно тебе взять, чтобы выполнить следующее условие: первому сторожу отдать половину яблок, которые возьмешь, и еще одно яблоко; второму сторожу отдашь половину из тех, что остались, и еще одно; третьему сторожу отдашь полови ну из того, что осталось, и еще одно яблоко, а тебе, чтобы осталось только одно яблоко, то я разрешу тебе пойти в сад». Крестьянин подумал немного и ответил царю.
Царь разрешил крестьянину пойти в сад. Какое число назвал крестьянин?»
П е т я В о п р о с о в: «Ребята, попробуйте решить эту задачу сами, а если не справитесь, то Вася поможет вам».
В а с я З а д а ч к и н: «Предлагаю вам свое решение.
Заметим, что одно яблоко останется у крестьянина по сле того, как он отдаст третьему сторожу половину какого то числа яблок и еще одно. Значит, (1 + 1) 2 = 4 (яблока) — было перед тем, как отдать треть ему сторожу, или после того, как отдал второму сторожу;
(4 + 1) 2 = 10 (яблок) — было перед тем, как отдать вто рому сторожу, или после того, как отдал первому сторожу;
(10 + 1) 2 = 22 (яблока) — было перед тем, как отдать первому сторожу, или нужно было взять из сада.
Подставляя полученный ответ в условие задачи, про веряем его. Можно записать решение задачи числовым выражением (((1 + 1) 2 + 1) 2 + 1) 2, значение которо го равно 22.
Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка и кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки — не могут. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смог ли сами вытащить репку?»
В а с я З а д а ч к и н: «Я предлагаю решить эту задачу так.
П е т я В о п р о с о в: «Я тоже хочу предложить вам за дачу.
В дремучем Муромском лесу из под земли бьют де сять источников мертвой воды — от № 1 до № 10. Из первых девяти источников мертвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.
На вкус и цвет мертвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако если человек попьет из какого нибудь источника, он умрет. Спасти его может только одно: если он запьет ядом из источника, номер которого больше. Например, если он попьет из седьмого источни ка, то ему надо обязательно запить ядом № 8, 9 или 10.
Если он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может по мочь только № 10. А если он выпьет сразу десятый яд, то ему ничто не поможет.
Скачано с сайта www.aversev.by Иванушка дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и дает ее выпить своему противнику. Ко щей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10, и Иванушка ду рачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка дурачок мне принесет, запью его своим деся тым и спасусь!»
В назначенный день оба противника встретились в условленном месте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказа лось, что Кощей умер, а Иванушка дурачок остался жив!
Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке победить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.
А если у вас возникнут проблемы, то Вася и Катя вам помогут».
«В зависимости от того, когда выпит яд, он может слу жить и ядом, и противоядием. Иванушка дал Кощею обыкновенной воды, поэтому яд № 10, выпитый Кощеем как противоядие, подействовал как яд.
Перед тем как выпить яд № 10, который дал Кощей, Иванушка выпил любой другой яд, поэтому Кощеев яд стал противоядием».
К а т я К н и ж к и н а: «Попробуйте самостоятельно ре шить еще одну задачу.
Скачано с сайта www.aversev.by один квадратный кусок пирога на четыре квадратных куска и пошел искать остальных. Потом пришел третий коротышка и опять разрезал один квадратный кусок пи рога на четыре квадратных куска и пошел искать осталь ных. То же самое проделали все остальные коротышки.
Сколько квадратных кусков пирога лежало на столе после ухода последнего коротышки?»
В а с я З а д а ч к и н: «Я уже решил задачу:
Каждый коротышка резал один квадратный кусок пи рога, а оставлял 4, т. е. добавлял 3 квадратных куска пи рога. Следовательно, после ухода седьмого коротышки на стуле будет лежать 1 + (3 7) = 22 квадратных куска пирога.
Ответ: 22 квадратных куска пирога».
К а т я К н и ж к и н а: «Собрался Иван царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым.
— Вот тебе меч кладенец, — сказала царевичу Баба яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо го лову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста.
Запомни: срубишь голову — новая вырастет; срубишь хвост — два новых вырастут; срубишь два хвоста — голо ва вырастет; срубишь две головы — ничего не вырастет.
За какое наименьшее число ударов Иван царевич мо жет срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?!»
В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, давайте решать задачу вместе.
Скачано с сайта www.aversev.by срубит по два хвоста за каждый удар — останется шесть голов. Последними тремя ударами он срубит по две го ловы за каждый удар — ничего не останется.
Давайте подумаем, может ли Иван царевич побе дить Змея Горыныча, нанеся меньше или больше чем 9 ударов.
При большем количестве ударов, конечно же, может.
Пока есть хотя бы одна голова, Иван царевич может сколько угодно раз отрубать Змею одну голову. Вид Змея при этом не изменится, а число ударов может быть любым. А вот ударив меньше чем 9 раз, убить Змея не возможно. Последним ударом Иван царевич должен срубить две головы (это единственный удар, после кото рого ничего не вырастет). Значит, нужно действовать так, чтобы нечетное число голов (три головы у Змея уже есть) стало четным числом. Голову можно получить, срубая два хвоста. Значит, надо сделать так, чтобы общее число хвостов было четное и при делении на 2 давало не четное число, т. е. как минимум у Змея должно быть шесть хвостов. Три хвоста уже есть — надо добавить еще три. Единственная возможность добавить хвост — отру бить один хвост, тогда вырастут два хвоста. Значит, надо отрубать по одному хвосту 3 раза. Всего хвостов станет шесть. Затем еще тремя ударами отрубить по два хвоста.
Хвостов не останется. Но прибавятся три головы. А все го голов станет шесть. Последними тремя ударами нуж но отрубить по две головы. Следовательно, предложен ный нами способ действительно самый короткий.
Скачано с сайта www.aversev.by вер самолет будет летать только тогда, когда имеет пря моугольную форму».
У Ивана царевича был ковер самолет размером 9 12.
Как то раз Змей Горыныч подрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 8. Иван Царевич очень расстроился и хотел было отрезать еще кусочек 1 4, чтобы получился прямоугольник 8 12, но Васи лиса Премудрая предложила поступить по другому. Она разрезала ковер на три части, из которых волшебными нитками сшили квадратный ковер самолет размером 10 10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Пре мудрая переделала испорченный ковер?»
К а т я К н и ж к и н а: «Сейчас я предлагаю вам не сколько простых задач.
1. Баба яга принесла на обед Кощею Бессмертному 33 летучие мыши. Он съел ровно на 13 мышей больше, чем осталось. Сколько мышей съел Кощей?
Скачано с сайта www.aversev.by 2. Илья Муромец вместе с конем весит 720 кг. Сколь ко весит Илья, если конь без Ильи весит в 5 раз больше, чем Илья без коня?
3. В сказке «Маугли» удав Каа с Маули на спине про плыл по течению реки 72 км со скоростью 42, назад — за 3 часа. Найдите скорость реки».
В а с я З а д а ч к и н: «Предлагаю вам свои решения этих задач.
1. Вычтя из 33 число 13, мы узнаем, сколько нужно мышей, чтобы осталось столько же, сколько он съел, т. е.
20 мышей. Разделив на 2, получим, сколько осталось, — 10. Тогда он съел на 13 больше, т. е. 23.
Ответ: 23 мыши.
2. Вес Ильи — 1 часть, вес коня — 5 частей. Всего 6 час тей. 720 : 6 = 120.
Ответ: 120.
3. Следует найди скорость против течения. Всего Каа проплыл 72 км. Значит, скорость против течения 72 : 3 = = 24 Разность скоростей по течению и против тече ния — а против течения отнимала 9. Скорость реки равна Ответ: 9 ».
Скачано с сайта www.aversev.by 1. У трех граций было одинаковое число плодов, и, встретив девять муз, каждая грация отдала каждой из них по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?
2. «Помогу тебе, Иван, найти Василису Прекрас ную, — сказала Баба яга. — По душе ты мне пришелся.
Вот тебе волшебный клубок. Он приведет тебя к вол шебному камню. От этого камня идут три дороги: на од ной из них ты встретишь свою смерть, на другой с тобой ничего не случится, третья дорога приведет тебя к Васи лисе Прекрасной. Но учти, что все три записи на камне неверные — сделаны Кощеем Бессмертным». Бросил Иван клубок на землю. Покатился он, а Иван за ним.
Долго ли, коротко ли шел Иван, но пришел он к огром ному камню. На камне написано: «Пойдешь налево — встретишь свою смерть», «Пойдешь направо — вызво лишь из неволи Василису Прекрасную», «Пойдешь пря мо — с тобой что то случится». Помогите ему вызволить Василису Прекрасную.
3. По тропинке вдоль кустов Шло одиннадцать хвостов.
«