МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт»

С.Н. Барсуков

Введение в теорию электромагнитного поля

Математические основы теории

Учебное пособие

Харьков «ХАИ»

1. Элементы векторной алгебры и теории поля

Скалярное произведение двух векторов определяется следующим соотношением a b = a b cos.

a b Результатом скалярного произведения является число (скаляр). Операция скалярного произведения Рис. включает в себя два этапа:

определяется проекция вектора a на вектор b, 2) проекция этого вектора умножается на модуль вектора b a b = (Прb a ) b.

Прb a = a cos, Эта формула определяет геометрическую интерпретацию скалярного произведения: оно представляет собой произведение модуля второго вектора b и спроектированного на него первого вектора a (рис. 1).

Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю (проекция вырождается в точку). В частном случае, если один из векторов – единичный вектор b0 = 1, то a b0 = Прb a.

Следовательно, скалярное произведение вектора a и единичного вектора b0 дает проекцию первого вектора на второй.

Скалярное произведение векторов в декартовой (прямоугольной) системе координат определяется при представлении каждого из векторов в декартовом базисе. Эта система координат задается тремя ортогональными единичными векторами – ортами: x0, y0, z0 или i, j, k (рис. 2). Условие ортогональности базисных векторов i j = j k = i k = 0, очевидно, справедливо и такое соотношение i i = j j = k k = 1.

a a k j z0 i k y j a x i a Рис. Рис. Произвольный вектор в декартовом базисе задается суммой трех векторов по соответствующим координатам (рис. 3) a = a1 + a2 + a3 = a xi + a y j + a z k.

Для выделения одной из проекций вектора нужно вычислить скалярa i = ax.

ное произведение с соответствующим ортом Скалярное произведение двух векторов, заданных в декартовом базисе, равно сумме произведений одноименных проекций a b = a x bx + a y b y + a z bz.

a0 b0 = cos.

В частном случае для единичных векторов Единичный вектор в декартовом базисе определяется через направляющие косинусы углов (рис. 4) k a a0 = i cos 1 + j cos 2 + k cos 3 = i a1 + ja2 + k a3, а проекция вектора на единичный вектор 1 2 j Прb a = a b0 = a x cos 1 + a y cos 2 + a z cos 3.

Векторными характеристиками электрической i компоненты электромагнитного поля являются Рис. следующие вектора: соответственно вектор напряженности электрического поля E и вектор электрической индукции D Кл В D.

E, м м Размерности векторов определяются из закона Кулона Qq k= F =k r0,, - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в вакууме диэлектрическая постоянная Вектор напряженности электрического поля является силовой характеристикой откуда определяется размерность вектора здесь использована зависимость Q = CU.

Электрические вектора поля взаимосвязаны или с учетом вектора E следовательно Таким образом, вектор D не зависит от диэлектрических свойств среды, т.е. от параметра.

Сравнивая силы электрического взаимодействия в среде и вакууме определяем физический смысл параметра r - относительной диэлектрической проницаемости среды.

Определим размерность скалярного произведения векторов электрической компоненты поля и физический смысл этого произведения:

Переход к джоулям проведен в соответствии с формулой энергии конденсатора Размерность энергии может быть получена также из формулы работы Таким образом, скалярное произведение электрических векторов определяет объемную плотность энергии электрического поля Аналогично, на основании симметрии электрического и магнитного полей записываем плотность энергии магнитного поля Векторное произведение двух векторов ный плоскости, которая образована данными векторами и образует с ними правую тройку векторов. Модуль этого вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах: с = ab sin (рис. 5). Векторное произведение коллинеарных (однонаправленных) векторов равно нулю, так как соответствующая площадь параллелограмма равна нулю. В частном случае, если один из векторов является единичным, то модуль скалярного произведения с = a sin определяет проекцию на направление, нормальное к единичному вектору.

(циклических) перестановок векторов (рис. 6).

ного вектора на орт a i соответствует таким геометрическим преобразованиям:

проекцией вектора a на плоскость j, k, которая перпендикулярна орту i ;

поворотом спроектированного вектора в этой плоскости на 900 (рис.

7).

Векторное произведение векторов, ляется из определителя, составленного из проекций векторов Определим физический смысл векторного произведения двух векторов, являющихся векторами напряженности электрической и магнитной компоненты поля E H. Размерность вектора напряженности магнитного поля H определяется из закона Ампера тогда размерность результирующего вектора что соответствует поверхностной плотности мощности (рис. 8).

Двойное векторное произведение a b c вычисляется по методу определителя при двойном последовательном применении этого правила. Наилучший алгоритм вычисления этого произведения соответствует следующей формуле При этом вначале вычисляются скалярные произведения, указанные в скобках, а затем берется разность двух векторов.

Cмешанное произведение обладает правилом перестановочной симметрии При вычислении векторного произведения d = b c определяется вектор d, модуль которого равен площади парал- d лелограмма, построенного на этих двух векторах a (рис. 9). Причем, этот вектор направлен по нормаc ли указанной плоскости и образует с этими векто- h рами правую тройку. Последующее скалярное произведение h = a d определяет проекцию h векто- b ра a на вектор d. Если на трех исходных векторах Рис. построить параллелепипед, то произведение площади основания b c на высоту этого тела h определяет его объем.

Векторное произведение вычисляется по правилу определителя последующее скалярное произведение рассчитывается как сумма произведений одноименных проекций векторов Сравнивая решение с результатом векторного произведения, очевидно, что для получения итогового решения нужно вместо ортов i, j, k подставить проекции первого вектора: a x, a y, a z. Окончательный алгоритм вычисления смешанного произведения соответствует следующему определителю 2. Основы теории поля. Дифференциальные и интегральные Геометрическая структура поля представляется в виде линий вектора. Уравнение линии вектора находится из ее определения: это такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора. Математически это определение соответствует условию параллельности двух векторов: самого вектора, линия которого определяется, и вектора элемента длины линии E dr = 0. В координатной форме векторное произведение записывается через определитель Отсюда взаимная пропорциональность элементов двух строк определителя является тривиальным условием равенства определителя нулю:

В частности, один из векторов является следствием растяжения (сжатия) другого вектора или пропорционального изменения его проекций Семейство линий вектора получается при интегрировании его элемента длины.

В обобщенной криволинейной системе координат x1, x2, x3 элементами третьей строки определителя являются линейные приращения, которые связаны с координатными приращениями коэффициентами Ламэ - h1, h2, h3 :

Задача. Найти проекции линий вектора E на координатные плоскости Запишем дифференциально малый вектор элемента длины линии применим условие параллельности векторов и далее определяем семейство линий вектора в координатной плоскости XOY где С – произвольная константа. Уравнения линий в остальных проекциях находятся аналогично.

Интегральными характеристиками поля являются: поток и циркуляция вектора, которым соответствуют дифференциальные аналоги:

дивергенция (плотность потока) и ротор (плотность циркуляции).

Поток вектора D через поверхность S является скалярной величиной и определяется следующим выражением где dS - дифференциально малая вектор-площадка. Это вектор, модуль которого численно равен площади площадки и направлен в сторону внешней нормали к площадке (рис. 10). Следовательно, это векторное представление ориентированного в пространстве элемента площади.

Элемент потока dN = D dS является скалярным произведением данного вектора и вектор-площадки.

Интегрирование элементов потока по всей поверхности дает полную величину потока. Элемент потока макси- dS dS мален, если вектор D пересекает площадку по нормали, и равен нулю, если вектор направлен параллельно площадке (см. рис. 10).

Если исходным вектором является вектор Пойнтинга который имеет размерность поверхностной плотности мощности, то элемент потока этого вектора dN = П dS [Вт] представляет собой мощность, переносимую сквозь этот элемент поверхности.

Задача. Определить поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность цилиндрического проводника с током I, длиной l c радиусом поперечного сечения r и удельной проводимостью.

Задача решается в цилиндрической системе ко- r ординат, заданной системой ортов r0 0 = z0 (рис. 11). Вектор Пойнтинга определяется векторE ной комбинацией векторов напряженности электрической и магнитной компоненты П = E H. Выра- rd зим эти вектора через электрический ток на осноH вании дифференциальной формы закона Ома равномерном распределении тока в плоскости поперечного сечения По закону Ампера магнитная компонента на поверхности проводника а вектор Пойнтинга Поток вектора Пойнтинга подставляя модуль вектора, имеем Энергия, проникающая в проводник, поглощается им и рассеивается в виде тепла. При вычислении интеграла использовано выражение для элемента поверхности в цилиндрической системе координат dS = rddz.

тора D через поверхность, определяющую элемент объема в цилинд- d (рис. 12). Элемент объема dV образован координатными плоскостяz dr n ми:

Цилиндрическая система координат тов Поток вектора D через заданную поверхность содержит три составляющих. Каждая составляющая потока рассчитывается через пару граней фигуры вдоль соответствующей координаты. При этом нужно учитывать, что векторы единичных нормалей n для противоположных граней направлены в противоположные стороны (ориентированы в сторону внешних нормалей). Например, составляющая потока вдоль координаты z где индексы за скобками определяют верхнюю и нижнюю грань, а dl1, dl2 - это длины ребер, образующих данную грань. В криволинейных координатах в общем случае приращение координат dr, d, dz не совпадает с величиной смещения вдоль соответствующей координатной линии В данном случае это относится к угловой координате, при изменении которой координатная линия есть дуга окружности радиуса r.

Вдоль этой координаты наблюдаются линейные искажения. Вдоль координат z, r линейных искажений нет, поэтому h1 = h3 = 1.

Отметим, что полный дифференциал функции определяется следующим соотношением поэтому элемент потока вдоль координаты z записывается такой формулой Аналогично вычисляются элементы потока вдоль координат r и Общий поток через замкнутую поверхность, которая ограничивает заданный элементарный объем, Таким образом, рассчитанный поток представляет величину третьего порядка малости.

Поток вектора можно вычислить через его дифференциальный аналог - дивергенцию вектора. По определению дивергенция вектора – это объемная плотность потока Поэтому интегральную характеристику – поток можно рассчитывать путем интегрирования дивергенции по объему:

divD - объемная плотность потока, dN = divD dV - элемент потока, Два алгоритма вычисления потока определяют соотношение Остроградского-Гаусса Дивергенция – это скалярная функция, которая формально рассчитывается как скалярное произведение формального вектора «наdivD = D. В декартовой бла» и заданной векторной функции D системе координат оператор «набла» имеет следующий вид:

а собственно дивергенция В цилиндрической системе координат объемная плотность потока (дивергенция) рассчитыва6тся с учетом координатных искажений. Учитывая, что элемент объема dV = dl1dl2 dl3 = (h1dr )(h2 d )(h3dz ) = h1h2 h3drddz = rdrddz, принимая во внимание элемент потока dN получаем Очевидно, что в обобщенной криволинейной системе координат x1, x2, x3 выражение для дивергенции имеет вид Задача. Определить дивергенцию (расходимость) радиального симметричного векторного поля Применяя оператор «набла» в декартовой системе координат, получаем Задача. Определить поток вектора D, который задан точечным зарядом, через любую замкнутую поверхность, не охватывающую заряда где текущий радиус-вектор модуль вектора Так как поверхность не конкретизирована, при вычислении потока воспользуемся соотношением Остроградского-Гаусса т.е. рассчитываем поток через дивергенцию вектора Вычислим составляющие дивергенции Подставляя в предыдущее соотношение, имеем Используя симметричный характер поля, запишем по аналогии остальные компоненты дивергенции Общее выражение для дивергенции так как r 0, то после сокращения на r получаем divD = 0.

Следовательно, поток через любую заданную поверхность также будет нулевым. В любой точке пространства, исключая начало координат, расходимость линий вектора D отсутствует.

Циркуляцией вектора E по замкнутому контуру L по определению является интегральная сумма скалярных произведений данного вектора на дифференциально малый вектор перемещения вдоль заданного контура (рис. 13) Элементом циркуляции является проекция данного вектора на элементарный вектор перемещения Элемент циркуляции и сама циркуляция являются скалярными функциями.

Задача. Определить циркуляцию вектора E по дифференциально малому контуру в плоскости YOZ (рис. 14) Элементы циркуляции по сторонам 3 и 4 направлены против соответствующей оси координат, поэтому они взяты со знаком «минус».

Разность E z 2 E z 4 представляет собой изменение E z при изменении аргумента от y + dy до y, поэтому приращение функции можно представить как Разность E y1 E y 3 возникает при изменении аргумента от z до z + dz, поэтому Циркуляция вектора E по заданному элементарному контуру Задача. Определим циркуляцию вектора E в цилиндрической системе координат (рис. 15) так как dl = h d = rd.

аргументов Аналогично Циркуляция по заданному элементарному контуру В обобщенной криволинейной системе координат циркуляция по элементарному контуру (рис. 16) Дифференциальный аналог циркуляции – это ротор или вихрь вектора. По определению ротором вектора E является векторная функция, удовлетворяющая следующему предельному равенству где n0 - единичный вектор нормали к поверхности S, причем, этот вектор образует с направлением обхода правостороннюю систему (рис. 17).

Модуль ротора представляет собой поверхностную плотность циркуляции и имеет направление, совпадающее с максимальной плотностью циркуляции.

Циркуляция может вычисляться непосредственно через определение этой операции или через плотность циркуляции (ротор) Это соотношение носит название формулы Стокса.

Вычисление ротора. а). Декартова система координат. В частном случае, если контур, по которому вычисляется циркуляция, лежит в координатной плоскости YOZ, то ротор имеет одну составляющую.

Переходя от циркуляции по элементарному контуру к плотности циркуляции, имеем б). Цилиндрическая система координат. Контур лежит в плоскости в). Обобщенная система координат В общем случае при произвольной ориентации контура ротор имеет три проекции и вычисляется по формальному правилу с использованием оператора «набла» rotE = E. В декартовой системе координат при использовании правила расчета векторного произведения, а затем при обобщении имеем соответственно в частности, для цилиндрической системы Задача. Определить характер поля (вихревой или безвихревой), которое задано следующей векторной функцией Вычислим составляющие ротора Так как rotA = 0, то поле является безвихревым.

Сложные операции теории поля выполняются на основе оператора «набла», который в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Этот оператор имеет две особенности: с одной стороны – это некоторая сложная производная, с другой – это некоторый формальный вектор. В зависимости от конкретной операции теории поля этот оператор может действовать на векторную функцию (векторное поле) E ( x, y, z ) или на скалярную функцию (скалярное поле) ( x, y, z ).

Причем, формальный вектор «набла» может действовать на векторное поле по принципу скалярного или векторного произведения:

E - скалярное произведение, E - векторное произведение.

Результатом скалярного произведения является скалярная функция теории поля – дивергенция (объемная плотность потока) а при векторном воздействии в результате получаем векторную функцию – ротор Воздействие оператора «набла» на скалярное поле в результате дает векторную функцию – градиент (направление и интенсивность наибольшего изменения потенциала скалярной функции) В некоторых двойных операциях теории поля оператор «набла» проявляет свои векторные свойства Операторы теории поля: div, rot, grad заменяются на и далее устанавливается принцип воздействия (скалярный или векторный) в зависимости от вида операции теории поля. Первое равенство представляет собой смешанное произведение трех векторов, а второе – векторное произведение двух векторов и некоторой скалярной функции. Смешанное произведение при двух совпадающих векторах равно нулю (нулевой объем параллелепипеда). Векторное произведение при двух совпадающих векторах также равно нулю (нулевая площадь параллелограмма) Следовательно, дивергенция (расходимость) линий ротора (вихрей) для любого вектора равна нулю (линии вихрей не расходятся). Вихри (роторы) линий градиента произвольной скалярной функции всегда равны нулю. Иначе говоря, поле градиента не является вихревым.

Определим вихри вихрей произвольного вектора E, т.е. rotrotE, для чего проводим формальную замену ротора на :

Здесь «набла» воздействует через векторное произведение, так как ротор – это вектор. Рассчитаем двойное векторное произведение с помощью скалярных произведений, воспользовавшись формулой где векторы в скобках перемножаются скалярно. Для нашего случая где оператор Лапласа в декартовой системе Возвращаясь к операторам теории поля, переписываем выражение в следующем виде Здесь учтено, что результатом скалярного произведения является скаляр (дивергенция – это скалярная функция). Воздействие «набла»

на скалярную функцию дает вектор (градиент).

При вычислении дивергенции и ротора от сложных полей оператор «набла» проявляет свойства формальной производной и формального вектора. Вычислить расходимость (дивергенцию) вектора Пойнтинга, исходя из заданных векторных полей E и H Действие «набла» рассматривается в два этапа. Вначале «набла»

воздействует как формальная производная, для чего применяем формулу производной от произведения В первом слагаемом «набла» воздействует на первый сомножитель (при константе второго сомножителя – индекс «с»). Во втором слагаемом ситуация противоположная.

На втором этапе преобразования «набла» рассматривается как формальный вектор, т.е. каждое слагаемое представляет собой смешанное произведение трех векторов. Зафиксированный вектор выносится за знак действия «набла», т.е. в смешанном произведении производится перестановка векторов. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке векторов и изменяет свой знак при перестановке соседних векторов. Результаты перестановок отражает следующая формула Возвращаясь к операторам теории поля, получаем окончательную формулу Определим расходимость линий вектора сложного векторноскалярного поля Применяя формулу дифференцирования произведения, имеем Каждое слагаемое представляет скалярное произведение двух векторов, третий сомножитель является скалярной функцией. Перестановка сомножителей двух векторов в скалярном произведении не изменяет результат, поэтому Возвращаясь к операторам теории поля, получаем окончательно Определим вихри сложного векторно-скалярного поля Применим формулу дифференцирования выносим зафиксированные сомножителя за знак действия «набла»

переставляем сомножители в первом слагаемом (векторное произведение), изменяем знак, тогда окончательная формула принимает такой вид Определим расходимость сложного скалярно-градиентного поля После применения формулы дифференцирования выносим зафиксированные сомножители за знак действия «набла» (в первом слагаемом переставляем сомножители скалярного произведения) Возвращаясь к операторам теории поля, окончательно получаем Вычисление градиента от сложной функции очевидно из следующей формулы 3. Скалярный и векторный потенциал поля Уравнения Максвелла для статического поля являются частным вариантом этих уравнений, в которых отсутствуют временные производные или переходя к единому вектору, переписываем второе уравнение где для вакуума Обоснуем размерность абсолютной диэлектрической проницаемости. Размерность определяется из следующей последовательности формул:

тогда размерность Размерность этой величины может быть определена непосредственно из уравнения Максвелла Установим взаимосвязь между векторным полем статического электрического поля и некоторым скалярным полем ( x, y, z ).

Безвихревое поле имеет нулевое значение ротора rotE = 0, воспользуемся тождеством откуда следует искомая взаимосвязь Скалярная функция пространственных координат носит название скалярного потенциала. Напряженность поля можно интерпретировать как интенсивность изменения скалярного потенциала по пространственным координатам. Причем, вектор напряженности поля направлен от высокого потенциала к низкому, а вектор градиента – в противоположном направлении, в сторону увеличения потенциала.