Мирошникова О.В., Филимонова З.А

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ИНФОРМАЦИИ

Учебное пособие для специальностей

050100 «Педагогическое образование»

030401 «Клиническая психология»

ТЕМА 1. Представление информации в виде формул, таблиц, графиков, диаграмм

Математическая формула лат.

(от formula – уменьшительное от forma — образ, вид) — принятая в математике (а также физике и прикладных науках) символическая запись законченного логического суждения (определения величины, уравнения, неравенства или тождества).

В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись, противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию:

чертежам, графикам, диаграммам, графам и т.п.

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:

1. Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т.п.);

2. Формула (записываемая как « искомое = выражение ») определяет величину через свои параметры 3. Формула является собственно логическим утверждением:

тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т.п.

Таблицы Таблица - это список приближенных (или точных) значений какой-либо функции при разных (точных!) значениях аргумента (или аргументов). Входом таблицы называют значения аргументов функции. Шагом называют интервал задания аргумента. Таблицы могут быть с одним или двумя входами. В первом случае она может быть оформлена в виде двух колонок. Например, отношение длины дуги к величине стрелки при различных значениях центрального угла (в градусах) выглядит так:

l = cosec h2 l/h 1 458. 2 229. 3 152.......

Статистическая таблица – это особый способ краткой и наглядной записи сведений об изучаемых общественных явлениях.

По внешнему виду статистическая таблица представляет собой ряд пересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих по горизонтали строки, а по вертикали – графы (столбцы, колонки), которые в совокупности составляют как бы скелет таблицы.

В образовавшиеся внутри таблицы клетки записывается информация. Составленную таблицу принято называть макетом таблицы.

Статистическая таблица имеет свое подлежащее и сказуемое.

Подлежащее таблицы показывает, о каком явлении идет речь в таблице, и представляет собой группы и подгруппы, которые характеризуются рядом показателей.

Сказуемым таблицы называются числовые показатели, с помощью которых характеризуется объект, т. е. подлежащее таблицы.

Показатели, образующие подлежащее, располагают в левой части таблицы, а показатели, составляющие сказуемое, помещают справа.

Составленная и оформленная статистическая таблица должна иметь общий, боковые и верхние заголовки.

Одними из ответственных моментов построения статистических таблиц являются разработка сказуемого, определение его содержания, правильное установление связи между группировочными признаками и показателями, их характеризующими.

График Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения. Такие свойства графиков, как выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, смысловая однозначность, интернациональность, легкость кодирования, а также обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской и практической работе.

График может иллюстрировать функциональную зависимость или служить вычислительным средством, позволяющим по значению одной переменной “считать” с чертежа значение второй переменной. Если в первом случае шкалы могут быть схематическими, скелетными, то во втором они должны быть детальными. График обычно помещают в рамку, на сторонах этой рамки наносят штрихи шкал. Как правило, штрихи направляют внутрь рамки, а обозначения переменных и единицы измерения - вне. Необходимо следить, чтобы поле чертежа было использовано оптимально. Пустое поле можно занять какой-либо дополнительной информацией. Для наилучшей демонстрации функциональной зависимости необходимо подобрать наиболее подходящие шкалы.

Пример. График функции f ( x ) = x Статистический график – чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур (линий, точек или других символических знаков) изображаются статистические данные.

Диаграмма представляет чертеж, на котором статистическая информация изображается посредством геометрических фигур или символических знаков.

Наиболее простой вид диаграммы – это столбиковые диаграммы, при которых построение данных изображается в виде столбиков от количественных значений изображаемых величин по определенному масштабу.

Разновидностью столбиковых диаграмм являются ленточные диаграммы, изображающие размеры признака в виде расположенных по горизонтали прямоугольников одинаковой ширины, но различной длины, пропорционально изображаемым величинам.

Ленточная диаграмма представляет ряд простирающихся по оси абсцисс полос одинаковой ширины. Длина полос (лент) должна соответствовать значениям изображаемых показателей.

В таких диаграммах удобно располагать надписи. Ее также используют для характеристики отдельных единиц совокупности.

Достоинство линейных графиков в том, что на одном и том же поле графика можно изобразить несколько показателей, которые позволят сравнить и выявить специфику их развития во времени или характере изменения одного показателя по различным объектам в пространстве или на территории.

Линейные графики иногда строятся с логарифмической шкалой по оси ординат. В статистике коммерческой деятельности строятся графики с равномерной шкалой. Координатную сетку, в которой по оси абсцисс нанесена шкала в равномерном масштабе, принято называть арифметической.

Графики с равномерной шкалой по оси ординат дают достаточно наглядное представление об изменениях изучаемых абсолютных показателей.

При построении столбиковых диаграмм используется прямоугольная система координат. Значение изучаемого показателя изображается в виде вертикального столбика.

Количество столбиков определяется числом изучаемых показателей (данных).

Столбиковые и полосовые диаграммы подходят для характеристики структуры совокупности. Структура состава воспринимается лучше в относительных величинах.

Диаграммы, в которых сравниваемые величины изображаются в виде правильных геометрических фигур, строятся так, чтобы площади их соотносились между собой как значения величин, этими фигурами изображаемых. Эти диаграммы должны выражать величину изображаемого явления размером своей площади. Для построения квадратных и круговых диаграмм необходимо из статистических данных извлечь квадратные корни, затем определить сторону квадрата или радиус круга соответственно принятому масштабу.

Фаренгейта, с – температура в градусах Цельсия, выразите переменную через с.

а) Как изменится площадь прямоугольника, если:

б) Его длину и ширину уменьшить на 10 %;

в) Его длину увеличить на 30%, а ширину уменьшить на 30%.

2. Как изменится объем куба, если длину его ребра увеличить на 20 %?

4. Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объема, если известно, что плотность пробки равна 0,18 г/см3. Найдите по формуле: а) массу куска пробки, объем которого равен см3; б) объем куска пробки, масса которого равно 64,9 г.

5. Укорочение мышцы при одиночном раздражении описываkt ется уравнением Релея y = bte 2, где t - время; b, k - постоянные.

Выразить постоянную k.

6. Амплитуда вынужденных колебаний материальной точки ент затухания, 0 – частота собственных колебаний материальной точки, – частота вынуждающей силы, f 0 – амплитудное значение вынуждающей силы, приходящейся на единицу массы. Выразите частоту вынуждающей силы.

7. Энергия ультразвука (УЗ) определяется уравнением:

E = BV sin( t ), где B и – постоянные, выразить время t.

8. Для увеличения сокоотдачи при обработке свежего лекарственного растительного вещества используется ультразвук (УЗ).

Общее уравнение сокоотдачи при использовании УЗ имеет вид:

y = A(1 + k t 0,7 e 0,0125h ), где A и k – постоянные, t продолжительность процесса (время), h толщина «озвучиваемого» слоя сырья.

Выразить продолжительность процесса.

1) Заполните таблицу, вычислив значения выражений для указанных в верхней строке значений а:

15 3a 3a 2) Составьте и заполните таблицу с двумя входами, вычислив значения выражения:

а) a 2 2ab + b 2 при всех целых а и b, удовлетворяющих неравенствам a < 4 и b < б) (a + b )2 при всех целых а и b, удовлетворяющих неравенствам a 3 и b 3.

рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 23 января. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха января.

горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную декабрь 1973 года включительно. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

ТЕМА 2: Элементы теории множеств.

Совокупность элементов, объединённых некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе, множество натуральных чисел N и т.д.

Запись a M означает: элемент a принадлежит множеству М, т. е. элемент a обладает некоторым признаком. Аналогично a M читается: элемент a не принадлежит множеству М.

Универсальным называется множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Если множество не содержит элементов, обладающих данным признаком, то оно называется пустым и обозначается.

Равными называют два множества A и B, состоящие из одинаковых элементов: A = B.

Число элементов множества A называется мощностью множества и обозначается A или n( A).

Множество, элементами которого являются подмножества множества М, называется семейством множества М или булеаном этого множества и обозначается В(М).

Мощность булеана множества М вычисляется по формуле:

где n – это мощность множества М.

Пример.

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Само свойство называется характеристическим.

В качестве характеристического свойства может выступать указанная для этого свойства порождающая процедура, которая описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов.

Множество всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 можно задать:

а) перечислением элементов: M 2n = { 1, 2, 4, 8, 16, 32,...};

б) указанием характеристического свойства:

в) с помощью порождающей процедуры по индуктивным Суммой или объединением двух множеств Х и Y называется множество, состоящее из элементов, входящих или во множество Х, или во множество Y, а может в оба множества одновременно (рис. 1.2). Обозначается: Z = X U Y.

Пересечением множеств Х и Y называется множество, состоящее из элементов, входящих одновременно и во множество Х, и во множество Y (рис. 1.3). Обозначается: Z = X I Y.

Разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y (рис. 1.4);

эта разность обозначается: Z = X \Y.

Дополнением X множества X до универсального множества U (рис. 1.5) является множество Симметрической разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее либо элементы множества X, либо элементы множества Y, но не те и другие одновременно (рис. 1.6); эта разность обозначается X •\• Y.

Вместо выражения «любое х из множества Х» можно писать, x X где перевёрнутая латинская буква А взята от начала английского слова Any – любой.

Вместо выражения «существует элемент х из множества Х»

кратко пишут: x X, где перевёрнутая латинская буква Е является начальной в английском слове Existence – существование.

Множество A можно разбить на классы (непересекающиеся подмножества) Ai, если:

объединение всех подмножеств совпадает с множеством A:

пересечение любых двух различных подмножеств пусто, т.е. для любых i j выполняется Ai I A j =.

Для операций над множествами справедливы следующие тождества:

законы коммутативности объединения и пересечения законы ассоциативности объединения и пересечения законы дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения законы поглощения законы склеивания законы Порецкого Операция I имеет преимущество перед операцией U. Скобки - для наглядности.

законы идемпотентности объединения и пересечения XUX = X, XIX = X законы действия с универсальным (U) и пустым ( ) множествами законы де Моргана закон двойного дополнения Пары (ai, b j ) задают соответствие между множествами A и B, если указано правило R, по которому для элемента множества A выбирается элемент из множества B.

Пусть для некоторого элемента a множества A поставлен в соответствие некоторый элемент b из множества B, который называется образом элемента a и записывается b = R(a).

Образ множества A при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R( A), если R( A) состоит из образов всех элементов множества А:

Прообраз множества B при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают R 1 является обратным соответствием для R.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображения.

Для задания отображения f необходимо указать:

множество, которое отображается (область определения отображения), обозначается D( f ) ; ( множество, в (на) которое отображается область определения (множество значений этого отображения), обозначается E ( f );

закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества выбраны элементы из второго.

При записи f : A B подразумевается, что отображение f определено всюду на A, т.е. A – полный прообраз отображения f, хотя для B такое свойство полноты не подразумевается.

Однозначным называется отображение, где каждому аргументу поставлено в соответствие не более одного образа.

Отображения можно задавать:

а) аналитически (с помощью формул);

б) графически (с помощью стрелочных схем);

в) с помощью таблиц.

Классификация отображений по мощности На множество, «сюръекция», рис 1.7;

Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В.

На множество, «биекция», рис 1.8;

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно-однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией.

Во множество, «инъекция» рис 1.9.

Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В.

Пусть множество А отображается взаимно-однозначно на множество В, т.е. f : A B. Тогда отображение, при котором каждому элементу множества В ставится в соответствие его прообраз из множества А, называется обратным отображением для f и записывается B A или f 1 : B A.

Если между элементами множеств установлено взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равносильны, равномощны, или эквивалентны.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Пустое множество является конечным и имеет мощность, равную нулю, т.е. = 0. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N, называется счётным. В противном случае бесконечное множество будет несчётным.

Теорема. Любое конечное множество не эквивалентно никакому его собственному подмножеству, кроме самого себя.

Следствие. Всякое непустое конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел [1, n].

Счётными являются множество Z целых чисел и Q рациональных чисел. Множество R действительных чисел несчётно.

Множество действительных чисел называется множеством мощности континуума (от лат. continuum – непрерывный).

U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11}, B = { 3; 4; 5; 6;10;11}, } Вычислить множества:

= {1; 2; 3;4;7;8;9} I {11} =.

Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества:

Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8 одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.

3. Изображение множеств с помощью Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества:

4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера ТЕМА 3: Функции. Свойства элементарных функций.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент. Переменная у - зависимая переменная.

Свойства функции.

1.Четность и нечетность.

Определение. Функция называется четной, если для всех значений переменной х, принадлежащих области определения функции, значение (-х) тоже принадлежит области определения функции и выполнено равенство f (-x) = f (x).

Определение. Функция называется нечетной, если для всех значений переменной х, принадлежащих области определения функции, значение (-х) тоже принадлежит области определения функции и выполнено равенство f (-x) = - f (x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции центрально симметричен относительно начала координат.

Функцию, не являющуюся четной или нечетной, называют функцией общего вида.

Например, функции y = x, y = x 2n, у = cos x – четные; функции; y = x 2 n+1, у = sin x, y = tg x – нечетные; функции y = х + 1, у = а х, у = log а х – ни четные, ни нечетные.

2. Нули функции.

Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика с осью OX (y=0).

3.Промежуткизнакопостоянства – это промежутки на которых функция либо только положительна либо только отрицательна.

В промежутке, на котором функция положительна, график ее расположен над осью OX; а на котором функция отрицательна – под осью OX.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y = f ( x ) необходимо решить неравенства f ( x ) < 0 и f ( x ) > 0.

1. Периодичность.

Определение. Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T > 0, что для всех х из области определения х + T и х Т также принадлежат области допустимых значений и f ( х + T ) = f ( х T ) = f ( х ). Число Т называется периодом функции.

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Периодическими являются все известные тригонометрические функции.

2. Монотонность (возрастание, убывание).

Определение. Функцию, возрастающую или убывающую на всей области определения, называют монотонной в области определения.

Определение. Функция y = f ( x ) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f ( х2 ) > f ( х1 ), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение. Функция y = f ( x ) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений x1 и x2 из этого промежутка таких, что f ( х2 ) > f ( х1 ), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает, называют интервалами монотонности функции, а саму функцию называют монотонной на этих интервалах.

Анализ функции y = f ( x ) на строгую монотонность можно осуществлять с помощью производной, т.е. если f ( x ) > ( f ( x ) < 0 ) на отрезке x [ a, b], то функция y = f ( x ) является строго возрастающей (убывающей) для a x b.

Найти область определения функции:

2. Найти область значений функций:

3. Установите четность или нечетность функций:

4. Найдите все значения аргумента, при которых функция y= принимает положительные и отрицательные значения.

ТЕМА 4: Графики функций. Преобразования графиков функций.

Построение графиков функции, используя преобразование графиков (сдвиг, растяжение).

Функция Преобразования графика функции y = f ( x ) y = f ( x) + A единиц вверх, если А>0, и на |А| единиц вниз, если Решение.

1) Если функция F ( X ) является функцией распределения и если возможные значения случайной величины X принадлежат Проверим это. По условию X (0;2), тогда F (0) = 0,5 0 = 0, F (2) = 0,5 2 = 1. Таким образом, заданная функция F ( X ) является функцией распределения;

2) Дифференциальной функцией распределения f ( x ) называется производная от интегральной функции: f ( x ) = F ( x ).

Следовательно, получаем:

3) Для вычисления числовых характеристик случайной величины X воспользуемся формулами:

M ( X ) = xf ( x)dx, где f ( x ) – плотность вероятности слуa чайной величины X и если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [ a; b ] ;

D( X ) = x 2 f ( x)dx M 2 ( X ), если возможные значения слуa чайной величины принадлежат отрезку [ a; b ] ;

4) Вычислим вероятность попадания величины X в интервал используя интегральную функцию F ( X ) : вероятности попадания случайной величины X в интервал ( < X < ) вычислим по формуле p( < X < ) = F ( ) F ( ). В данном случае = 1, = 1, следовательно p(1 < X < 1) = F (1) F (1) = 0,5 1 0 = 0,5 ; дифb ференциальную функцию f ( x ) : p(a < X < b) = f ( x)dx. В данном случае p(1 < X < 1) = 0,5dx = 0,5 [ x]10 = 0,5 1 = 0,5, т.к. f ( x) = 0, если x 0.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса) Определение 1. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:

где a – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Закон Гаусса имеет большое значение для практического применения по следующим причинам:

1. На практике многие случайные величины оказываются либо нормально распределёнными, либо с распределениями, близкими к нормальному.

2. Случайную величину, не распределённую нормально, часто можно преобразовать таким образом, чтобы она имела распределение, близкое к нормальному.

3. Нормальное распределение может служить аппроксимацией для других распределений, например, для биноминального распределения.

4. При проверке статистических гипотез часто возникают распределения, которые оказываются нормальными.

Вычисление вероятности при нормальном распределении случайной величины X 1. Вероятность попадания в интервал ( ; ) определяется формулой:

2. Вероятность попадания в интервал ( ; ) находим по формуле:

3. Вероятность попадания в интервал ( ; + ) находим по формуле:

4. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания a по абсолютной величине меньше заданного положительного числа e du – функция Лапласа, a – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

Пример. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a = 25. Вероятность попадания X в интервал (15; 35) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35;40)?

Решение.

1) По известной вероятности попадания X в заданный интервал найдем среднее квадратическое отклонение ( X ). Для этого воспользуемся формулой:

Согласно условию a = 25, = 10, = 15, p = 0,2, т.е.

По таблице значений функции ( X ) находим, что ( X ) = 0,1, 2) Вероятность попадания X в интервал (35;40) найдем, используя ту же формулу, тогда:

По таблице значений функции ( X ) находим, что (0,375) = 0,14615, (0,25) = 0,0987 а вероятность Решение примеров по теме занятия Задание 1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ). Требуется убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства F ( X ). В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию f ( x ) ; в) математическое ожидание случайной величины X ; c) дисперсию случайной величины X и среднее квадратическое отклонение; d) построить графики интегральной F ( X ) и дифференциальной f ( x ) функций.

1) Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

2) В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 50, среднеквадратическое отклонение равно 4. Чему равно k, если вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше k, равна 0.28.

ТЕМА 11: Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки.

При решении многих практических задач, связанных со статистическими моделями, необходимые вероятностные характеристики случайных величин неизвестны и должны определяться по экспериментальным данным.

Такое статистическое описание результатов экспериментов, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.

Методы математической статистики расширяют возможности научного предсказания и целесообразного принятия решений в условиях неопределенности, когда принципиально не может быть известен полный комплекс условий проведения эксперимента.

Основополагающими понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Определение. Совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены, называется генеральной.

Определение. Число всех объектов, составляющих генеральную совокупность, называется ее объёмом и обозначается N.

Определение. Конечный набор объектов, случайным образом отобранный из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой.

Определение. Число объектов выборки называется ее объёмом и обозначается n.

Определение. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность.

При отсутствии какой-либо дополнительной информации о специфических особенностях изучаемого явления наилучшим средством получения репрезентативной выборки является случайный выбор ее элементов.

Статистические оценки и их свойства.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики состоит в том, чтобы указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, т.е. по некоторой части генеральной совокупности высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Использование выборочного метода при изучении генеральной совокупности неизбежно приводит к ошибкам – ошибкам репрезентативности, имеющим следующие особенности:

1. Возможную величину ошибок репрезентативности определяют из анализа выборочных данных и учитывают их при оценке генеральных параметров.

2. Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине (путем увеличения объема выборочных данных).

Определение. Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называют доверительными ( p или ).

С понятием доверительной вероятности связано понятие уровня значимости.

Определение. Вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называется уровнем значимости : = p Обычно (в статистике) рекомендуется пользоваться уровнем значимости = 0,05 при предварительных исследованиях и = 0,001 при окончательных выводах.

В качестве доверительных используются вероятности:

p1 = 0,95, т.е. на 20 испытаний допускается одна ошибка;

p2 = 0,99, т.е. на 100 испытаний допускается одна ошибка;

p3 = 0,999, т.е. на 1000 испытаний допускается одна ошибка.

Оценка параметров генеральной совокупности (генеральные параметры).

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. К таким оценкам относятся, например, – выборочная средняя xв = xi, или для сгруппированного вариационного ряда xв = xi ni пированного вариационного ряда – выборочное среднее квадратическое отклонение в = 2 и др., где ni - число попаданий в интервал x i.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие»

приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

– несмещенными;

– эффективными;

– состоятельными.

Определение.Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Определение. Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Определение. Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности n она стремиться к величине генерального параметра.

Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:

– значение выборочного показателя;

– критерий надежности t, или показатель безошибочных прогнозов, значение которого определяется заранее, при планировании исследования, исходя из представления о большей или меньшей ответственности возможных результатов работы;

– ошибка репрезентативности m или показатель точности выборочного параметра определяется на основе выборочных данных по формулам математической статистики.

Например, доверительный интервал для генеральной средней X г находится по формуле: X г ( xв m xв ; xв + m xв ) при уровне значимости = 0,05.

Решение примеров по теме занятия.

Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц, случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого гомеопатического препарата, количество таблеток в которых оказалось равным соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48. Представить эти данные в виде дискретного статистического ряда распределения, построить полигон частот, найти точечные и интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0,95) оценки.

Пусть дана последовательность значение некоторого признака: 63, 77, 68, 77, 77, 71, 104, 102, 93, 83, 81, 72, 74, 74, 74, 79, 79, 82, 82, 84, 84, 85, 85, 84, 85, 87, 87, 86, 95, 86, 86, 88, 88, 88, 91, 91, 91, 96, 96. Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

1) выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения, выбрав n = 40 его значений (согласно своему варианту);

2) составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

3) построить гистограмму распределения;

4) найти числовые характеристики выборочной совокупности;

5) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Задания для самостоятельной работы.

ТЕМА 1. Представление информации в виде формул, таблиц, графиков, диаграмм.

Вариант 1.

1) На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наименьшая среднесуточная температура за указанный период, какой была наибольшая среднесуточная температура за указанный период, разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период 2) На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10° С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло от момента запуска двигателя до включения вентилятора.

4) Заполнить таблицу:

1) На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Пскове каждый день с 15 по 28 марта 1959 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наименьшая среднесуточная температура за указанный период, какой была наибольшая среднесуточная температура за указанный период, разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период.

2) На графике показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на ос и ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде, чем подключить нагрузку к двигателю.

3) Используя формулу Fт = G 2, получите выражение для 4) Заполнить таблицу:

1) На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наибольшая среднемесячная температура в Сочи в 1920 году, наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года.

2) На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в Нм. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Нм. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение.

4) Заполнить таблицу:

1) На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.

Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков, какого числа выпало наибольшее количество осадков.

2) На графике показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха 15. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на ос и ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет45. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде, чем подключить нагрузку к двигателю.

3) Используя формулу Fт = G, получите выражение для 4) Заполнить таблицу:

1) На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года.

По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 7 по 14 февраля, сколько дней не выпадало осадков, какое наибольшее количество осадков выпадало в указанный период, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

2) На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в Нм. Какое наименьшее число оборотов в минуту должен поддерживать водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 100 Нм.

4) Заполнить таблицу:

1)На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.

Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа выпало наибольшее количество осадков, сколько дней не выпадало осадков, сколько дней выпадало менее 2 миллиметров осадков.

2) Чтобы автомобиль двигался, крутящий момент должен быть не менее 20 Нм. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль двигался.

3) Используя формулу Fт = G, получите выражение для 4)Заполнить таблицу:

ТЕМА 2: Элементы теории множеств.

1. Даны три множества:

А = { 5; 4; 3; 0;1; 2; 3; 5}, В = { 0;1;2; 3;4;5;6}, Найти следующие множества:

2. Множеству ((А В)\С) С\(А В)) соответствует диаграмма?

1. Даны три множества:

А = { 5; 4; 3; 0;1; 2; 3; 5}, В = { 0;1;2; 3;4;5;6}, Найти следующие множества:

2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диаграмма?

1. Даны три множества:

А = { 5; 4; 3; 0;1; 2; 3; 5}, В = { 0;1;2; 3;4;5;6}, Найти следующие множества:

2. Множеству ( A I B ) U ( A I C ) U ( B I C ) соответствует диаграмма?

1. Даны три множества:

Найти следующие множества:

2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диаграмма?

1. Даны три множества:

А = { 5; 4; 3;0;1; 2; 3; 5}, В = { 0;1; 2; 3; 4;5; 6}, С = { 3; 2; 1;0;1;5}.} Найти следующие множества:

2. Множеству ( B \ ( A U C )) U (C \ ( A U B)) соответствует диаграмма?

1. Даны три множества:

А = { 5; 4; 3;0;1; 2; 3; 5}, В = { 0;1; 2; 3; 4;5; 6}, Найти следующие множества:

2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диаграмма?

ТЕМА 3: Функции. Свойства элементарных функций.

Вар. 1.

Вар. 2.

Вар. 4.

Вар. 5.

ТЕМА 4: Графики функций. Преобразования графиков функций.

Используя правила преобразования графиков построить график функции. Найти область определения функции, множество значений функции, установить четность или нечетность функции.

ТЕМА 5: Основные законы и тождества алгебры логики.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

ТЕМА 6: Формы задания и синтез логических функций.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения равносильны:

Составить таблицу истинности для логического выражения:

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения равносильны:

Составить таблицу истинности для логического выражения:

Вариант 3.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения равносильны:

Составить таблицу истинности для логического выражения:

ТЕМА 7: Элементы комбинаторики.

1) Как-то раз в воскресенье семеро друзей зашли в кафе, уселись за один столик и заказали мороженое. Хозяин кафе сказал, что если друзья в каждое следующее воскресенье будут садиться по-новому и перепробуют все способы посадки, то с этого момента он обещает кормить их мороженым бесплатно. Удастся ли друзьям воспользоваться предложением хозяина кафе?

2) В олимпиаде по математике участвуют 12 команд.

Сколькими способами они могут занять призовые места?

3) Сколькими способами можно поставить 8 шашек на черные поля доски?

1) Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы «к», «о», «н» стоят в указанном порядке?

2) Сколькими способами можно опустить5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый из них опускают не более одного письма?

3) Замок на подъезде имеет 10 кнопок и открывается одновременным нажатием на определенные 3 кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в секунду?

1) Сколькими способами можно расположить в турнирной таблице 10 футбольных команд, если известно, что никакие две команды не набрали поровну очков?

2) В конкурсе участвуют 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

3) Из состава конференции, на которой присутствуют человека, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

1) Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

2) Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных дисциплин, если изучается 10 предметов?

3) Группу из 20 туристов нужно распределить по 3 маршрутам так, чтобы по первому маршруту шли 8 человек, по второму — 7, по третьему — 5. Сколькими способами это можно сделать?

ТЕМА 9: Дискретные случайные величины и законы распределения.

Для случайной величины Х:

1) найти неизвестную вероятность p1;

2) построить полигон распределения вероятностей;

3) составить интегральную функцию распределения и нарисовать ее график;

4) найти М(Х) – математическое ожидание, D(X) – дисперсию, (Х) – среднее квадратичное отклонение случайной величины Случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

ТЕМА 10: Непрерывные случайные величины и законы распределения.

Случайная величина X распределена по нормальному закону.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (-2; 3).

Случайная величина X распределена по нормальному закону.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).

Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: µ = 375 г; = 25 г. Найдите вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

[0,9759] Диаметр детали, изготовляемой в цеху, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание — 2,5 мм. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

[2,47; 2,53] Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100.

Найдите вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50).

ТЕМА 11: Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки.

Длительность лечения больных пневмонией в стационаре (в днях):

15; 20; 18; 20; 25; 11; 12; 13; 24; 23; 23; 24; 21; 22; 21; 23; 23;

22; 21; 14; 14; 22; 15; 16; 20; 20; 16; 16; 20; 17; 17.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Результаты динамометрии правой руки 31 студента в кг:

44; 78; 47; 79; 54; 52; 56; 50; 56; 55; 48; 51; 66; 74; 60; 42; 60;

76; 49; 45; 69; 51; 45; 46; 59; 61; 44; 62; 70; 45; 47.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Результаты в беге на 100 м (в секундах):

15,4; 15,5; 16,2; 15,9; 13,6; 15,6; 13,7; 16; 16,2; 16,0; 14,2; 16,1;

15,8; 15,2; 16,2; 15,3; 14,5; 15,0; 15,0; 16,3; 15,8; 14,2; 15,3; 15,2;

16,0; 14,2; 14,5; 14,2; 15,6; 15,0; 16,8.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Вариант 4.

Частота дыхания у группы лиц в возрасте 60-65 лет, наблюдавшихся в институте геронтологии в 1976 г.(число дыхательных движений в минуту - ЧДД):

14; 14; 25; 15; 12; 8; 18; 23; 14; 11; 18; 18; 12; 29; 16; 17; 13; 15;

20; 10; 17; 16; 18; 16; 14; 9; 15; 13; 20; 28; 9.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Результаты показаний в тесте «Прыжок в высоту с места»

(школьники, 31 человек):

35см.; 39; 24; 30; 47; 28; 31; 41; 36; 38; 40; 25; 31; 36; 38; 36;

27; 29; 30; 31; 35; 31; 35; 41; 36; 51; 36; 38; 33; 29; 32.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Результаты измерения длины (в см) бегового шага для спринтера:182; 184; 176; 177; 180; 184; 186; 186; 179; 190; 170; 172;

185; 184; 182; 180; 177; 176;172; 189; 174; 176; 172; 174; 175; 182;

186; 183; 167; 177; 172.

Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения;

составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

построить гистограмму распределения;

найти числовые характеристики выборочной совокупности:

• характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

• характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.