«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-70 04 02 Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна, 1-70 04 03 Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов ...»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Полоцкий государственный университет»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов специальностей

1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция

и охрана воздушного бассейна»,

1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов»

Составитель В.К. Родионов Под общей редакцией Л.С. Турищева Новополоцк 2005 УДК 539.3/.4 (075.8) ББК 30.121 я 73 С 64 РЕЦЕНЗЕНТЫ:

В.В. Поляков, генеральный директор ОАО «Строительно-монтажный трест № 16»;

Ю.В. Попков, заведующий кафедрой железобетонных и каменных конструкций ПГУ, кандидат технических наук, доцент;

В.Э. Завистовский, заведующий кафедрой теоретической механики ПГУ, кандидат технических наук, доцент Рекомендован к изданию советом инженерно-строительного факультета Сопротивление материалов: Учеб.-метод. комплекс для студ. спец. 1-70 С «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов» / Сост. В.К. Родионов; Под общ. ред. Л.С. Турищева. – Новополоцк: ПГУ, 2005. – 364 с.

ISBN 985-418-373- Приведены структурно взаимосвязанные и взаимодополняющие модули курса, руководство к практическим и лабораторным занятиям, методические указания к расчетно-проектировочным работам, соответствующие учебному плану специальности. Представлены материалы для самоконтроля и алфавитный указатель основных понятий.

УДК 539.3/.4 (075.8) ББК 30.121 я ISBN 985-418-373- © УО «ПГУ», © Родионов В.К., составление,

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

МОДУЛИ КУРСА

М-0. Введение в изучение курса

М-1. Введение в сопротивление материалов

М-2. Центральное растяжение и сжатие

М-3. Основы теории напряженного состояния и гипотезы прочности

М-4. Сдвиг и кручение

М-5. Плоский изгиб

М-6. Сложное сопротивление

М-7. Продольный изгиб

РУКОВОДСТВО К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ТЕМА № 1. Определение опорных реакций для различных схем опирания балок и рам

ТЕМА № 2. Определение внутренних усилий, напряжений и деформаций при осевом растяжении и построение эпюр N,,

ТЕМА № 3. Статически неопределимые задачи при растяжении

ТЕМА № 4. Практические расчеты на срез и смятие

ТЕМА № 5. Кручение брусьев круглого поперечного сечения

ТЕМА № 6. Построение эпюр внутренних усилий при прямом поперечном изгибе... ТЕМА № 7. Расчеты на прочность при прямом поперечном изгибе

ТЕМА № 8. Сложное сопротивление

ТЕМА № 9. Продольный изгиб

РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. Испытание на растяжение образца из малоуглеродистой стали

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. Испытание на сжатие образцов малоуглеродистой стали, чугуна, дерева

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. Определение модуля продольной упругости и коэффициента Пуассона для стали

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. Исследование концентрации напряжений при растяжении

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. Испытание стального образца на срез

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. Испытание металлической балки на изгиб с определением напряжений, прогибов и углов поворота

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. Кручение стальных образцов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. Исследование напряженного состояния при кручении толстостенной трубы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9. Опытная проверка теории внецентренного растяжения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10. Исследование продольного изгиба в упругой стадии

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫМ

РАБОТАМ

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Сопротивление материалов» предназначен для студентов второго курса очной формы обучения специальностей «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов», а также может быть полезен для студентов третьего курса заочной формы обучения этих же специальностей. Объем изучаемой дисциплины в соответствии с учебным планом дневной формы обучения составляет часа, в том числе 36 часов лекций, 18 часов практических и 18 часов лабораторных занятий.

Дисциплина относится к циклу общепрофессиональных дисциплин и занимает важное место при формировании базы знаний в области проектирования, сооружения и эксплуатации строительных сооружений. Без знания методов расчета несущих конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, изучаемых в дисциплине, невозможна подготовка современного инженера-строителя.

Учебно-методический комплекс включает следующие структурно взаимосвязанные и взаимодополняющие компоненты: введение в изучение курса, модули лекционного курса, руководство к практическим и лабораторным занятиям, методические указания к расчетно-проектировочным работам и алфавитный указатель основных понятий.

При написании комплекса использовались материалы, изложенные в существующих учебниках, учебных и методических пособиях по сопротивлению материалов, а также учтен опыт преподавания данной дисциплины на кафедре.

Комплекс преследует цель помочь студентам освоить методы расчета элементов, конструкций при различных видах нагружения на прочность, жесткость и устойчивость. При изложении материала основной упор делается на объяснение сути изучаемых методов и иллюстрации их алгоритмов, позволяющих решать инженерные задачи.

Надлежащее освоение методов решения задач в сопротивлении материалов является необходимым условием успешного выполнения расчетно-проектировочных работ и курсовых проектов при изучении дисциплин, связанных с расчетом и конструированием несущих конструкций строительных сооружений.

МОДУЛИ КУРСА

М-0. ВВЕДЕНИЕ В ИЗУЧЕНИЕ КУРСА

0.1. Цель преподавания и задачи дисциплины Одним из основных курсов, обеспечивающих подготовку высококвалифицированных инженеров-строителей специальности «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна» является «Сопротивление материалов».

Изучение курса «Сопротивление материалов» позволяет овладеть методами и приемами расчета наиболее типичных элементов инженерных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. К наиболее типичным элементам конструкций относится брус – тело, один размер которого (длина) значительно больше двух других (размеров сечения). При этом под прочностью понимается способность тела (бруса) воспринимать внешние нагрузки, не разрушаясь и не изменяя существенно свою форму и размеры.

Программа курса включает изучение теоретической части, выполнение лабораторных работ и решение задач, входящих в расчетно-проектировочные работы.

Теоретические вопросы, излагаемые в курсе, должны закрепляться их практическим приложением. Вопросы практических приложений должны соответствовать современному уровню строительства в области данной специализации. В соответствии с этим в курсе для укрепления знаний и для развития навыков самостоятельной работы студентов предусмотрено выполнение расчетно-проектировочных работ, впервые вводящих студентов в практику инженерных расчетов. В программе курса по сопротивлению материалов предусматривается лабораторный практикум, способствующий освоению теоретического материала и получению первых практических навыков экспериментального исследования в области прочности материалов.

После изучения дисциплины студенты должны знать существующие методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов строительных конструкций, должны уметь производить расчеты на прочность, жесткость и устойчивость основных элементов строительных конструкций.

0.2. Связь дисциплины с другими дисциплинами Изучение дисциплины «Сопротивление материалов» основывается на ранее полученных знаниях по дисциплинам «Высшая математика», «Физика», «Теоретическая механика», «Начертательная геометрия и черчение».

Основные темы по дисциплинам, необходимые для успешного усвоения сопротивления материалов, приведены ниже.

Высшая математика Векторная алгебра; прямые линии и плоскости; линии и поверхности второго порядка; системы линейных уравнений и матрицы; число. Переменная. Функция; предел. Непрерывность функций; производная и дифференциал; некоторые теоремы о дифференцируемых функциях; исследование поведения функций; кривизна кривой; функции нескольких переменных; приложение дифференциального интеграл; геометрическое и механическое приложения определенного интеграла; дифференциальные уравнения;

кратные интегралы; ряды; уравнения математической физики; элементы теории вероятностей Теоретическая механика Основные понятия и определения статики; система сходящихся сил; пара сил и моменты сил; система произвольно и физика и ускорения вращающегося тела; понятие о плоскопараллельном движении твердого тела; динамика; аксиомы динамики; понятие о силах инерции; потенциальная и кинетическая энергия; теплопроводность Начертательная геометрия Проекционное черчение; аксонометрические проекции и черчение Изучение этой дисциплины не оторвано от общей подготовки инженера-строителя указанных выше специальностей. Знания, полученные при изучении данного курса, будут необходимы при изучении дисциплин «Строительная механика», «Архитектура и строительные конструкции».

0.3. Структура учебно-методического комплекса Учебно-методический комплекс по дисциплине «Сопротивление материалов» включает в себя опорный конспект лекций, руководства к практическим и лабораторным занятиям, материалы для самоконтроля, методические указания для выполнения расчетно-проектировочных работ.

Содержание лекционного курса состоит из следующих модулей, разбитых на учебные элементы:

М-1. Введение в сопротивление материалов УЭ-0. Место курса в инженерном образовании и его связь с другими дисциплинами УЭ-1. Понятие о расчетной схеме УЭ-2. Внешние силы и виды их воздействия на брус УЭ-3. Внутренние силы, напряжения и внутренние усилия УЭ-4. Перемещения и деформации УЭ-5. Основные гипотезы и принципы УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-2. Центральное растяжение и сжатие УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Центральное растяжение и сжатие призматического бруса УЭ-2. Учет собственного веса при растяжении и сжатии УЭ-3. Опытное изучение механических свойств материалов при растяжении и сжатии УЭ-4. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии УЭ-5. Методы расчетов на прочность и жесткость при растяжении и сжатии УЭ-6. Напряжения на наклонных сечениях УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-3. Основы теории напряженного состояния и гипотезы прочности УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Понятие о напряженном состоянии и его разновидности УЭ-2. Главные напряжения и главные площадки при плоском напряженном состоянии УЭ-3. Площадки с наибольшими касательными напряжениями УЭ-4. Закон Гука при плоском напряженном состоянии УЭ-5. Назначение гипотез прочности и их виды УЭ-6. Область применения различных гипотез прочности УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-4. Сдвиг и кручение УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Сдвиг УЭ-2. Закон Гука при сдвиге УЭ-3. Понятие о расчете заклепочных и сварных соединений УЭ-4. Кручение прямого бруса круглого поперечного сечения УЭ-5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении УЭ-6. Понятие о кручении брусьев некруглого сечения УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-5. Плоский изгиб УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Геометрические характеристики плоских сечений УЭ-2. Плоский изгиб прямого бруса УЭ-3. Нормальные и касательные напряжения при изгибе брусьев сплошных сечений УЭ-4. Главные напряжения при изгибе брусьев сплошных сечений УЭ-5. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки и его интегрирование УЭ-6. Определение перемещений при изгибе балок методом начальных параметров УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-6. Сложное сопротивление УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Общий случай действия сил на брус УЭ-2. Косой изгиб УЭ-3. Расчеты на прочность и жесткость при косом изгибе УЭ-4. Внецентренное растяжение (сжатие) УЭ-5. Расчеты на прочность при внецентренном растяжении УЭ-6. Кручение с изгибом УЭ-7. Расчеты на прочность брусьев круглого и прямоугольного поперечных сечений УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самоконтроля М-7. Продольный изгиб УЭ-0. Цели изучения УЭ-1. Критическая сила и ее определение для стержней при потере устойчивости в упругой и упругопластической стадиях УЭ-3. Подбор сечений при продольном изгибе с использованием коэффициента УЭ-4. Расчет на устойчивость сжатых составных стержней УЭ-5. Продольно-поперечный изгиб УЭ-6. Проверка устойчивости и прочности при продольно-поперечном изгибе УЭ-R. Краткие выводы УЭ-К. Материалы для самопроверки Для оценки успешности изучения сопротивления материалов используется рейтинговая система контроля. Согласно этой системе различные составляющие успешности изучения студентом дисциплины в семестре оцениваются в баллах. Используются следующие составляющие успешности изучения строительной механики:

отношение к изучению дисциплины;

уровень знаний и умений;

творческая активность;

результаты итогового контроля.

Отношение студента к изучению сопротивления материалов в семестре характеризуется отсутствием пропусков учебных занятий без уважительных причин и своевременностью выполнения и защиты расчетнопроектировочных работ. Добросовестное отношение студента оценивается в 100 баллов, в том числе 50 баллов за 100 %-ное посещение занятий и баллов за своевременное выполнение и защиту РПР.

Уровень знаний и умений студента в течение семестра устанавливается с помощью трех коллоквиумов. Наивысшая оценка по каждому из коллоквиумов составляет 100 баллов.

Творческая активность студента при изучении строительной механики характеризуется:

высокими результатами на Республиканских олимпиадах по сопротивлению материалов;

научными публикациями, имеющими отношение к сопротивлению материалов;

успешным участием в олимпиадах по сопротивлению материалов на внутриуниверситетских турах;

изучением внепрограммных материалов и составлением по ним рефератов.

Наивысшая оценка за творческую активность составляет 1000 баллов. Конкретная величина такой оценки устанавливается преподавателем, который руководил творческой деятельностью студента, в зависимости от уровня творческих достижений и утверждается на заседании кафедры.

Итоговый контроль успешности изучения сопротивления материалов осуществляется на экзаменах. Наивысшая оценка на экзамене составляет 1000 баллов. Конкретная величина такой оценки устанавливается экзаменатором на основании семестровых баллов и баллов, заработанных при выполнении экзаменационных заданий.

Сумма баллов, заработанных студентом в течение семестра и на экзамене, образует рейтинг обучения сопротивлению материалов в семестре.

Изучение сопротивления материалов считается успешным, если рейтинг удовлетворяет условию 600.

Если студент в течение семестра наберет число баллов, удовлетворяющее условию 600, то он имеет право выбора – не сдавать экзамен и получить итоговую оценку согласно специальной шкале перевода в соответствии с количеством набранных баллов или сдавать экзамен с целью повышения своей оценки.

Перевод рейтинга обучения студента в официальную десятибалльную систему оценок осуществляется согласно следующей шкале перевода Коллоквиум, связанный с проверкой усвоения содержания модулей 1, Защита расчетно-проектировочной работы № 10 Коллоквиум, связанный с проверкой усвоения содержания модулей 3, 14 Защита расчетно-проектировочной работы № 16 Коллоквиум, связанный с проверкой усвоения содержания модулей 6, При изучении дисциплины в дополнение к настоящему учебнометодическому комплексу рекомендуется использование следующей литературы:

1. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1975.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Изд. 5-е – 6-е. – М.: Высшая школа, 1989.

3. Качурин В.И. Сборник задач по сопротивлению материалов. – М.: Наука, 1970.

4. Афанасьев А.М., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. Учебное пособие для вузов. – М.: Стройиздат, 1977.

Дополнительная 5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986.

6. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 15-е. – М.: Наука, 1976.

7. Винокуров Е.Ф., Петрович А.Г., Шевчук Л.И. Сопротивление материалов. Расчетно-проектировочные работы. – Мн.: Выш. школа, 1987.

8. Рудицын М.Н., Артемов П.Я., Любошиц М.И. Справочное пособие по сопротивлению материалов. – Мн.: Выш. школа, 1970.

9. Гурьева Л.А. и др. Сборник задач по сопротивлению материалов.

– Мн.: Выш. школа, 1999.

М-1. ВВЕДЕНИЕ В СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

УЭ-0. Место курса в инженерном образовании При проектировании и возведении каждого сооружения нужно стремиться к тому, чтобы оно возможно лучше соответствовало своему назначению, т.е. было удобно для использования, построено прочно, экономно и красиво.

Для достижения прочности естественно желание увеличивать поперечные размеры различных частей сооружения. С другой стороны, в целях экономии материалов и средств необходимо стремиться к противоположному. Всегда можно найти наиболее целесообразное решение путем выбора таких размеров, чтобы обеспечить прочность и соблюдение условий экономии.

Методы расчета сооружений излагаются в строительной механике в широком смысле этих слов. Она состоит из нескольких дисциплин:

– теоретической механики;

– сопротивления материалов;

– статики сооружений, являющейся строительной механикой в узком смысле;

– теории упругости и теории пластичности.

Теоретическая механика занимается вопросами равновесия и движения твердых тел.

Сопротивление материалов базируется на основных положениях теоретической механики, но учитывает физические свойства материалов. В этой дисциплине освещаются широко доступные методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Таким элементом, рассматриваемым в сопротивлении материалов, является брус (стержень), т.е. тело, длина которого существенно больше его поперечных размеров.

Статика сооружений или строительная механика изучает действие сил на целые системы, состоящие из брусьев и стержней, и дает основы их расчета на прочность, жесткость и устойчивость.

В теории упругости рассматриваются, во-первых, те же вопросы, что и в сопротивлении материалов, но более углубленно, во-вторых, такие задачи, которые не разрешены элементарными методами сопротивления материалов. Отличительной особенностью теории упругости является сильно развитый математический аппарат.

Теория упругости применяется для расчета пластин, оболочек и массивов.

Теория пластичности изучает работу элементов конструкции в пластическом состоянии.

Все эти дисциплины тесно переплетаются, и установить четкие границы можно только условно.

Сопротивление материалов – наука экспериментально-теоретическая.

Теоретическим путем получают расчетные формулы, которые затем опытным путем проверяют в лабораториях. Кроме того, чисто опытным путем определяют механические характеристики материалов.

Расчеты на прочность связаны с определением размеров элементов конструкции, при которых она выдерживает внешнюю нагрузку без опасности разрушения.

Расчеты на жесткость служат для определения (или проверки) таких элементов конструкций, при которых упругие перемещения, возникающие при действии на конструкцию эксплуатационных нагрузок, не превышают допустимых перемещений. Значения последних для некоторых конструкций (мостов, элементов промышленных и гражданских сооружений, подъемных кранов) нормированы, для других – устанавливаются на основе опыта проектирования и эксплуатации аналогичных конструкций.

Расчеты на устойчивость служат для определения (или проверки) таких размеров элементов конструкций, при которых обеспечивается устойчивость исходной (заданной) формы их равновесие. Этим расчетам подлежат, в частности, сравнительно длинные и тонкие стержни, цилиндрические оболочки, нагруженные внешним давлением или испытывающие осевое сжатие. Потеря устойчивости связана со скачкообразным качественным изменением характера деформации элемента конструкции и переходом к новой, отличающейся от исходной, устойчивой форме равновесия, сопровождаемым резким нарастанием напряжений и перемещений.

Для изучения курса сопротивления материалов необходимо знание таких предметов как математика, физика, материаловедение, начертательная геометрия и теоретическая механика.

В свою очередь, сопротивление материалов необходимо для изучения курса «Строительная механика», «Строительные конструкции».

Большинство сооружений имеет сложные соединения составляющих их элементов. Расчет такого сооружения как единого целого оказывается весьма сложным. Для расчета прибегают к упрощениям, сознательно отказываясь от целого ряда сравнительно маловажных факторов, и оперируют с упрощенными схемами сооружений, называемыми расчетными схемами.

Выбор расчетной схемы представляет собой ответственную задачу. Расчетная схема должна позволить сделать расчет сооружения по степени сложности практически приемлемым и в то же время должна обеспечить расчету достаточную достоверность и точность.

Примером может служить составление расчетных схем для железнодорожного моста.

Расчетная схема сооружения – упрощенное изображение геометрической формы сооружения за счет схематизации его конструктивных элементов, их узловых соединений и опорных закреплений (рис. 1.1, 1.2).

УЭ-2. Внешние силы и виды их воздействия на брус Внешние силы (нагрузки) могут действовать на части машин и сооружений различно. К внешним силам, действующим на брус, относят и опорные реакции.

В зависимости от способа приложения силы можно разделить на объемные и поверхностные.

Нагрузку, распределенную по весьма малой площадке поверхности детали (бруса), для целей расчета, как правило, представляют сосредоточенной в одной точке. Сосредоточенные силы измеряют в Н, кН, Мн.

Интенсивность нагрузок, равномерно или неравномерно распределенных по некоторой поверхности (например, давление жидкости или газа на стенки сосуда), измеряют в Н/м2 или Мн/м2. Эти единицы соответственно называют Па (паскаль) и МПа (мегапаскаль).

При расчете брусьев поверхностные силы в ряде случаев могут рассматриваться как равномерно или неравномерно распределенные по длине бруса (всей или части). Интенсивность такой погонной нагрузки измеряется в Н/м, кН/м, Мн/м.

Объемные силы распределены равномерно или неравномерно по всему объему элемента конструкции (например, силы инерции, силы тяжести, магнитные воздействия), интенсивность этих сил измеряется в Н/м3, кН/м3, Мн/м3.

По характеру изменения во времени различают:

– статические нагрузки, нарастающие медленно и плавно от нуля до своего конечного значения, а затем остающиеся постоянными;

– динамические нагрузки, величина, направление или место приложения которых может изменяться во времени. К ним относятся ударная нагрузка, время действия которой исчисляется долями секунды, периодическая нагрузка; силы инерции, возникающие при колебании.

Силы, действующие на брус, могут вызывать в нем:

– растяжение или сжатие;

Растяжение или сжатие возникает в том случае, когда силы направлены по оси прямого бруса. В зависимости от направления они вызывают в брусе либо растяжение, либо сжатие (рис. 1.3, а). При растяжении брус удлиняется, при сжатии укорачивается, но ось его остается прямой.

Сдвиг возникает в том случае, когда силы, приложенные к брусу, стремятся сдвинуть одну часть бруса относительно другой его части. На рис. 1.3, б показана заклепка, которая под действием сил может срезаться, при этом верхняя часть сдвинется относительно нижней.

Изгиб. Наиболее часто встречается тот случай изгиба, когда силы, действующие на опертый или соответственным образом закрепленный брус, лежат в плоскости, проходящей через ось бруса, и направлены перпендикулярно к оси бруса (рис. 1.3, в).

При изгибе ось бруса искривляется.

Кручение возникает в том случае, когда на брус действует пара сил, лежащих в плоскостях, перпендикуляр- Рис. 1. ных к оси бруса. При кручении круглого бруса прямолинейные образующие превращаются в винтовые линии.

Перечисленные четыре вида действия сил на брус являются основными.

Часто в брусе возникают одновременно несколько основных видов воздействия сил.

Встречаются такие случаи:

– косой изгиб (изгиб одновременно в двух плоскостях симметрии сечения). Например, брус прямоугольного сечения может изгибаться одновременно в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 1.4, а);

может выпучиваться в сторону – изгибаться (рис. 1.4, г). Итак, продольный изгиб – это изгиб стержня под действием продольной сжимающей силы, направленной по оси.

УЭ-3. Внутренние силы, напряжения и внутренние усилия Под действием внешних сил в брусе возникают внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между отдельными частицами бруса. Закон распределения внутренних усилий неизвестен. Они не являются сосредоточенными, а распределены по всему сечению.

В сопротивлении материалов вводится допущение, что начальные внутренние усилия в материале отсутствуют.

Как же измерять величину внутренних усилий?

Выделим в сечении (рис. 1.5, а) очень малую площадку А. Пусть суммарная внутренняя сила, приходящаяся на эту площадку, равна F. Тогда отношение = ср называют средним полным наA пряжением на данной площадке, характеризующим величину внутреннего усилия на площади сечения, равной единице.

Устремим это отношение к пределу где – истинное полное напряжение в точке, характеризующее интенсивность внутренних сил по данной площадке около Рис. 1. данной точки сечения.

Если внутренние силы распределяются по сечению равномерно, то вместо очень малой площадки можно брать площадку конечной величины – единицу площади. Тогда напряжение численно равно внутренней силе, приходящейся на единицу площади. В системе СИ напряжение измеряется в Па (Н/м2) или в МПа (Мн/м2).

Возьмем теперь в сечении рассмотренного на рис. 1.5, а бруса площадку, величина которой равна единице (рис. 1.5, б). Суммарная сила, приходящаяся на эту площадку, численно равна полному напряжению. В общем случае эта сила направлена наклонно к площадке.

Проведем к площадке нормаль N и разложим на две составляющие:

нормальную к площадке и касательную. Величина называется нормальным напряжением, – касательным напряжением. Нормальные напряжения стремятся оторвать одну часть бруса от другой или прижать, касательные напряжения стремятся сдвинуть одну часть бруса относительно другой. Рис. 1.5, а, б соответствует нагружению силами в одной плоскости.

При произвольном нагружении полное напряжение раскладывается на три составляющие –, xy, xz. (рис. 1.6).

Nx – продольная (или нормальная) сила;

Qy, Qz – поперечные (или перерезывающие) силы;

Тx – крутящий момент;

Mz, My – изгибающие моменты.

Эти составляющие носят название внутренних силовых факторов или внутренних усилий.

Для их определения служит метод сечений. В результате применения метода сечений силы, являющиеся внутренними для тела в целом, переводятся в разряд внешних для каждой из частей тела, образовавшихся вследствие мысленно проведенного сечения (рис. 1.7).

В результате составления и решения уравнений равновесия для сил, действующих на оставленную после проведения сечения часть тела, определяют силы, заменяющие действие отброшенной части тела на оставленную.

Это и есть внутренние силовые факторы.

Изменение размеров и формы тела называется деформацией.

Изменение линейных размеров характеризуется абсолютной линейной деформацией (рис. 1.8) Изменение формы связано с угловой деформацией. Абсолютная деформация не характеризует и зависит от первоначальных размеров тела.

носительной линейной деформации Эта безразмерная величина характеризует свойство материала.

Деформации бывают упругими и пластическими.

Если после снятия нагрузки тело возвращается в исходное состояние, то такие деформации называют упругими.

Если после снятия нагрузки происходит изменение размеров и формы, то такие деформации называют остаточными или пластическими.

Деформации не связаны с системой отсчета. Перемещения (сечений, точек) тела связывают обязательно с некоторой системой отсчета.

Перемещения могут быть линейными и угловыми.

В сопротивлении материалов принимают следующие допущения о свойствах материалов рассчитываемых элементов конструкций:

1. Материал однороден, т.е. свойства любых сколь угодно малых его частиц совершенно тождественны.

2. Материал тела полностью заполняет весь объем тела без какихлибо пустот, т.е. тело рассматривается как сплошная среда. Допущение о сплошности можно рассматривать как следствие допущения об однородности материала.

3. Материал изотропен, т.е. физико-механические свойства его по всем направлениям одинаковы.

4. В известных пределах нагружения материал обладает идеальной упругостью.

5. До приложения внешней нагрузки внутренние силы (напряжения) в материале отсутствуют, т.е. не учитывают их существование вследствие термообработки и других причин, их вызывающих.

В отношении характера деформаций конструкций приняты следующие допущения:

1. Перемещения точек конструкции, обусловленные ее упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами элементов конструкции. Следствием этого допущения, называемого иногда принципом начальных размеров, является, в частности, возможность при составлении уравнений равновесия не учитывать изменения в расположении и направлении сил, происходящие вследствие деформации конструкции.

2. Перемещения точек элементов конструкции прямо пропорциональны силам, вызвавшим эти перемещения. Конструкции, обладающие указанным свойством, называются линейно деформируемыми.

Линейно деформируемые конструкции (системы) подчиняются принципу независимости действия сил: результат от действия всех сил равен сумме результатов от действия каждой силы в отдельности и не зависит от порядка (последовательности) нагружения конструкции этими силами.

В сопротивлении материалов применяется и гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения плоские и нормальные к оси бруса до деформации остаются плоскими и нормальными после деформации.

Также применяется принцип Сен-Венана. Внутренние усилия и напряжения в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, не зависят от характера данной нагрузки.

Например, нагрузку, передаваемую колесом на рельс, действующую на определенной площади контакта и по определенному закону, можно заменить сосредоточенной силой.

Сопротивление материалов – наука экспериментально-теоретическая, изучающая основы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, – является центральным звеном в формировании инженера-строителя.

Для ее усвоения необходимы знания по физике, математике, материаловедению и теоретической механике. В свою очередь, сопротивление материалов тесно связано с теорией упругости, пластичности, статикой сооружений. Знание предмета необходимо для освоения специальных предметов, связанных с расчетом строительных конструкций.

Внешние нагрузки, действующие на сооружение, вызывают появление внутренних сил, распределенных непрерывно по всему сечению. Характеристикой их интенсивности является напряжение полное, нормальное и касательное.

Используя метод сечений, можно определить только составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил, приведенных к центру тяжести сечения, называемые внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями через внешнюю нагрузку.

Для определения напряжений дополнительно необходимо составить уравнения деформаций. В зависимости от характера действия внешних сил получаем различные деформации бруса: растяжение, сдвиг, кручение, изгиб или их сочетание.

1. Какие задачи решаются в курсе «Сопротивление материалов»?

2. Какова связь «Сопротивления материалов» с другими дисциплинами?

3. Что называется расчетной схемой?

4. Какие требования предъявляются к расчетной схеме?

5. Как классифицируются внешние силы?

6. Какие виды воздействий внешних сил на брус Вы знаете?

7. Что такое растяжение и какими внешними воздействиями оно вызывается?

8. Что такое сдвиг и какими внешними воздействиями он вызывается?

9. Что такое кручение и какими внешними воздействиями оно вызывается?

10. Что такое изгиб и какими внешними воздействиями он вызывается?

11. Что такое продольный изгиб и чем он вызывается?

12. Какие силы называются внутренними?

13. Что является числовой характеристикой внутренних сил?

14. Что называется внутренними усилиями?

15. Как определяются внутренние усилия?

16. В чем суть метода сечений?

17. Что такое напряжение?

18. Какие виды напряжений Вы знаете?

19. Что называется деформацией?

20. Как классифицируются деформации?

21. В чем разница между перемещениями и деформациями?

22. Какие допущения вводятся в сопротивлении материалов в отношении свойств материала?

23. Какие допущения вводятся в отношении характера деформаций конструкций?

М-2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Многие элементы конструкций испытывают деформацию растяжения или сжатия (тросы, колонны, элементы ферм, подвески, некоторые типы болтов, провода линий электропередач). Внутренние силовые факторы, как указывалось ранее, можно определить, используя метод сечений. Величину напряжений и деформаций при растяжении мы должны научиться определять. Кроме того, необходимо знать, как определить размеры поперечных сечений испытывающих растяжение элементов конструкций для обеспечения их безопасной эксплуатации.

УЭ-1. Центральное растяжение и сжатие прямого Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю.

Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Центральное растяжение (сжатие) вызывается действием сил или систем сил, равнодействующая которых совпадает с осью бруса (при растяжении его называют стержнем).

Определяются продольные силы с использованием метода сечений.

График, показывающий изменения продольных сил по длине стержня, называется эпюрой продольных сил. Рассмотрим приемы определения этих сил и построение эпюры N для конкретного бруса (рис. 2.1).

Для определения продольной силы разделим брус на участки. Границы участков определяются местами приложения внешних нагрузок и не зависят от размеров поперечного сечения. В нашем примере таких участков два (АВ и ВС).

На участке АВ ( 0 x 1,4 м) проводим произвольное сечение I-I на расстоянии x от нижнего конца бруса. Усилие N1 в произвольном сечении можно определить из условия равновесия как верхней, так и нижней частей бруса. При рассмотрении верхней части необходимо определить величину опорной реакции в верхней жесткой заделке. Чтобы этого не выполнять, будем определять продольную силу N1, рассматривая равновесие нижней части. Действие верхней части на нижнюю заменим усилием N положительного направления.

Эти значения и откладываем на эпюре продольных сил.

На участке ВС также проводим произвольное сечение на расстоянии x от начала второго участка. Отбрасывая верхнюю часть бруса и заменяя действие ее на нижнюю продольной силой N2 положительного направления, из условия равновесия нижней части имеем:

и постоянна на этом участке. Полученное значение откладываем на эпюре N (рис. 2.1, г).

сразу через внешние силы, не составляя уравнений равновесия. Продольная сила в сечении оставленной части в этом случае может быть определена через внешние силы отбрасываемой совпадающие по направлению с N1, вызывающей растяжение, считаются положительными.

Продольная сила N1, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью Здесь – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dA; A – площадь поперечного сечения бруса.

Для нахождения напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Если на боковой поверхности бруса до его нагружения провести линии, перпендикулярные оси бруса, то каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой F эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой. Это позволяет предполагать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли).

Представим мысленно брус, состоящий из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси. При растяжении два любых поперечных сечения остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются на некоторую величину друг от друга; на такую же величину удлиняется каждое волокно. Это позволяет предположить, что внутренние силы по площади поперечного сечения распределяются равномерно и напряжения во всех точках поперечного сечения имеют одинаковую величину.

Таким образом, Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений (рис. 2.1, д).

Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил, отличаясь лишь выбранным масштабом. При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные нагрузки, но и в местах изменения размеров поперечных сечений.

при x = 1,4 м = Рассмотрим деформации, которые возникают в брусе под действием растягивающих сил. Если длину бруса до деформации обозначим через l, то увеличение длины после деформации можно обозначить через l (рис. 2.3).

На рис. 2.3 предположено, что левый конец бруса остается неподвижным, и поэтому все удлинение показано на правом конце. Приращение длины всего бруса называется полным или абсолютным удлинением.

Полное удлинение измеряется в линейных единицах, как и длина бруса (м, см, мм).

Часто бывает нужно знать не полное удлинение всего бруса, а относительное удлинение, т.е. ту долю удлинения, которая приходится на единицу длины бруса. Эту величину, обозначаемую буквой, получим, если полное удлинение разделим на первоначальную длину бруса Относительное удлинение представляет собой отвлеченное число.

Если рассматривать только упругие деформации бруса, т.е. такие небольшие удлинения, которые исчезают после прекращения действия нагрузок, то для них опытным путем можно установить зависимость между величиной нагрузки и соответствующим ей удлинением. Из опыта получается, что при увеличении растягивающей силы, удлинение растет прямо пропорционально силе, иначе говоря, чем больше сила, тем больше и удлинение. Вместо всей силы удобно брать силу, приходящуюся на единицу площади, т.е. напряжение, а вместо удлинения всего бруса брать удлинение, приходящееся на единицу длины, т.е. относительное удлинение, и тогда указанная выше зависимость может быть выражена так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению. Эта зависимость была сформулирована английским ученым Робертом Гуком во второй половине VII в. и носит название закона Гука. Зависимость между напряжением и относительным удлинением можно выразить такой формулой где E – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств материала.

Величина Е называется модулем упругости при растяжении (модулем Юнга). Она характеризует собой способность материала сопротивляться деформации растяжения.

Из формулы (2.3) можно определить размерность Е. Так как – величина отвлеченная, размерность Е совпадает с размерностью и выражается в системе СИ в Н/м2 или Мн/м2. Эти величины называются соответственно Паскалем (Па) и мегапаскалем (МПа).

Положив = 1, а это соответствует увеличению первоначальной величины бруса вдвое, выявляем физический смысл модуля Е как напряжения, при котором первоначальная длина увеличивается вдвое.

Числовые значения модуля Е для различных материалов определяются лабораторным путем. Для стали Е 2,1 105 МПа, для дерева Графически зависимость между и изображается наклонной прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 2.4).

Тогда зависимость = Е изобразится наклонной прямой ОА, а числовая величина модуля упругости будет определяться тангенсом угла наклона прямой ОА к оси Из формулы (2.3) можно получить выражение полного удлинения при растяжении.

Выразив напряжение через силу и площадь, а относительное удлинение – через абсолютное удлинение и начальную длину, получим т.е. полное удлинение прямо пропорционально продольной силе и длине бруса и обратно пропорционально модулю упругости и площади поперечного сечения.

Величину ЕА называют жесткостью бруса при растяжении.

Растяжение бруса сопровождается уменьшением его поперечных размеров.

Обозначим через b один из поперечных размеров бруса до деформации (см. рис. 2.3). После деформации этот размер удлинится на величину b, которую назовем абсолютным поперечным укорочением, а отношение этой величины к начальному размеру – относительным поперечным укорочением:

Отношение относительного поперечного укорочения к относительному продольному удлинению при растяжении называется коэффициентом Пуассона и обозначается буквой Величины 1 и берутся по абсолютной величине, так что представляет собой положительное число.

Коэффициент Пуассона зависит от свойств материала и для различных материалов изменяется в пределах от 0 до 0,5:

Для однородных материалов обычно принимают = 0,25. Для стали колеблется от 0,25 до 0,33, в среднем для стали 0,3.

УЭ-2 Учет собственного веса бруса при растяжении и сжатии Пусть вертикально расположенный брус постоянного сечения закреплен на верхнем конце и нагружен на нижнем свободном конце центрально приложенной силой F (рис. 2.5).

Определим напряжение в произвольном сечении бруса, расположенном на расстоянии х от оси свободного конца, принимая во внимание собственный вес бруса, причем вес единицы объема материала полагаем равным.

В сечении x растяжение вызывается силой F и весом нижней от сечения части бруса, равным А x. Напряжение в этом сечении составит Напряжение растет с увеличением x и достигает наибольшего значения у верхнего конца При расчете по допускаемым напряжениям можно из выражения (2.7) найти необходимую площадь сечения, если задано допускаемое напряжение adm ([]). Полагая max = [], получим Найдем удлинение бруса. Так как растягивающая сила в сечении бруса меняется, то выделим элемент длины бруса dx. Удлинение этого элемента можно определить по формуле (2.4) Чтобы найти удлинение всего бруса, нужно составить сумму таких удлинений по всей длине бруса, другими словами, проинтегрировать от 0 до l:

Полагая вес всего бруса Q = Al, получим Второе слагаемое правой части формулы показывает, что удлинение от собственного веса вдвое меньше того, которое вызывал бы груз, равный весу и приложенный на конце бруса.

Обычно влияние собственного веса в растянутых стержнях незначительно. Оно заметно сказывается лишь для очень длинных стержней. В этом случае можно сделать брус переменного сечения, подобрать такое очертание бруса, при котором во всех его сечениях напряжение будет одинаковым. Такой брус называется брусом равного сопротивления при растяжении (рис. 2.5, б).

На практике плавное изменение сечения заменяют ступенчатым.

В строительной практике более часто приходится учитывать влияние собственного веса при сжатии, например, при расчете высоких кирпичных столбов, каменных стен высоких зданий, фабричных труб. В многоэтажных зданиях стены верхних этажей делают более тонкими и книзу увеличивают их толщину ступенями через каждые два-три этажа по мере увеличения веса вышележащей части (рис. 2.5, в).

УЭ-3 Опытное изучение механических свойств материалов Все материалы, применяемые в сооружениях и конструкциях, можно разделить на две группы:

– пластичные материалы, разрушение которых происходит после значительной остаточной деформации, например, сталь, медь, дуралюмин;

– хрупкие материалы, разрушение которых происходит при очень незначительных остаточных деформациях, например, чугун, бетон, кирпич.

Однако нужно отметить, что иногда один и тот же материал в зависимости от внешних условий может вести себя и как хрупкий и как пластичный.

Например, мрамор при обычных условиях является хрупким материалом, но если его поместить в условия высокого всестороннего внешнего давления, то он будет вести себя как пластичный материал; некоторые хрупкие материалы с повышением температуры становятся пластичными и т.п.

Чтобы изучить механические свойства материала, производят испытания образцов в лаборатории на специальных машинах (разрывных, прессах или универсальных).

Для испытания материала на растяжение изготовляют из него круглые, а иногда плоские образцы с уширениями на концах. Такой образец помещают в разрывную машину и захватывают его специальными зажимами.

Рассмотрим результаты, которые получают при испытании на растяжение стали марки Ст.3, т.е. мягкой малоуглеродистой стали, из которой изготовляется большая часть металлических конструкций: мосты, перекрытия больших зданий, каркасы промышленных цехов и т.п.

До начала нагружения замеряют площадь поперечного сечения образца А0 и длину l той части образца, изменение которой в дальнейшем будет замеряться.

Величина растягивающей силы в каждый момент нагружения определяется в современных разрывных машинах по специальному указателю.

Современные испытательные машины снабжены записывающим устройством, которое при испытании образца автоматически вычерчивает график зависимости между нагрузкой и абсолютным удлинением. Такой график называется диаграммой растяжения.

На рис. 2.6 изображена диаграмма растяжения для стали Ст.3. Такая диаграмма характеризует поведение данного образца, так как зависит от его размеров.

Чтобы характеризовать непосредственно изучаемый материал, нужно диаграмму перестроить, а именно: по оси абсцисс откладывать не полl ное, а относительное удлинение =, по оси ординат – напряжение, поl лучаемое путем деления силы на начальную площадь сечения образца =. В результате получим условную диаграмму напряжений при расA тяжении (рис. 2.7, а) Диаграмма называется условной потому, что при ее построении не учитывается изменение площади поперечного сечения образца, а также изменение длины l для определения ).

При испытании нагрузка увеличивается медленно, без ударов и рывков.

В начальный момент = 0 и = 0. Когда в машине возбуждается растягивающая сила, то в стержне появляется удлинение, которое сначала растет пропорционально силе (по закону Гука). На графике это изображается наклонной прямой линией ОА, проходящей через начало координат.

Прямая пропорциональность соблюдается до тех пор, пока напряжение в образце не достигнет примерно 200 МПа. Это напряженное состояние на диаграмме изображается точкой А, соответствующее ей напряжение называется пределом пропорциональности (pz или ny).

В непосредственной близости от предела пропорциональности находится точка, определяющая собой предел упругости, т.е. ту величину напряжения, ниже которой получаются только упругие деформации, а выше – упругие и остаточные.

Практически невозможно определить точное значение этого предела.

Поэтому в качестве условного предела упругости принимается то напряжение, при котором остаточная деформация достигает 0,001 или 0,003 %.

С момента достижения предела пропорциональности удлинения начинают расти быстрее, чем напряжения. Прямая линия графика загибает вправо, и скоро наступает такое состояние, когда удлинения растут без увеличения силы. На графике получается горизонтальная площадка ВС.

Напряжение, соответствующее этому состоянию, называется пределом текучести и для стали Ст.3 составляет около 240 МПа.

Исследования показывают, что при течении происходит изменение в строении материала, количественное нарастание напряжений доходит до предела, после которого начинается качественное изменение структуры материала, происходят сдвиги внутри отдельных кристаллов металла по плоскостям спайности. Соответственно этим сдвигам на поверхности образца появляются наклонные штрихи – так называемые линии Чернова – Людерса.

Изменение структуры материала приводит к тому, что материал вновь становится работоспособным, возможно дальнейшее увеличение нагрузки, которое на графике отражается кривой CD. Точке D соответствует наибольшее напряжение, которое называется пределом прочности или временным сопротивлением (u или в). Для стали Ст.3 оно составляет около 390 МПа. После достижения предела прочности в одном месте образца появляется еле заметное на глаз сужение (шейка), которое становится все более и более видимым; площадь поперечного сечения шейки быстро уменьшается и скоро в этом месте происходит разрыв образца.

С появлением на образце шейки нагрузка начинает падать. Соответственно этому напряжение на диаграмме тоже уменьшается, но это происходит потому, что мы не учитываем изменения площади поперечного сечения шейки, делим нагрузку на первоначальную площадь. В действительности истинное напряжение в шейке растет и в момент разрыва образца достигает 800 – 1000 МПа.

Многие пластичные материалы не имеют на диаграмме растяжения площадки текучести. Для таких материалов вводится понятие условного предела текучести, в качестве которого принимается напряжение, соответствующее остаточной деформации 0,2 %. Эта механическая характеристика обозначается 0,2.

При испытании образцов из хрупкого материала на диаграмме почти не получается прямолинейного участка, искривление начинается при сравнительно низких напряжениях, но вообще деформации незначительны, так что отклонение от закона Гука невелико. При приближении к пределу прочности кривая быстро отклоняется вправо, и затем происходит разрыв без образования шейки (рис. 2.7, б). Как правило, хрупкие материалы хорошо сопротивляются сжатию и слабо – растяжению.

Если нагрузить образец из малоуглеродистой стали выше предела текучести, что соответствует точке K на диаграмме (рис. 2.7, а), а затем разгрузить, то разгрузка пойдет по прямой КО, параллельной ОА. Повторное нагружение уже пойдет по линии О1КDЕ. Предел пропорциональности повышается до того напряжения, до которого образец был раньше нагружен. Это явление называют наклепом.

Явление наклепа часто используется в технике, например, для уменьшения провисания проводов, расчетные напряжения в которых превышают первоначальный предел пропорциональности, их предварительно вытягивают для создания в них наклепа. В тех случаях, когда наклеп нежелателен (так как он повышает хрупкость материла), его можно устранить путем отжига детали.

Степень пластичности материала может быть охарактеризована остаточным относительным удлинением образца, доведенного при растяжении до разрыва, и остаточным относительным сужением шейки образца.

Чем больше эти величины, тем пластичнее материал.

Остаточным относительным удлинением называется отношение остаточной деформации образца к первоначальной длине l0 (в процентах).

где l разр – длина образца после разрыва, измеряемая после соединения частей разорванного образца. Значение для различных марок конструкционной стали находится в пределах от 8 до 28 %.

Остаточным относительным сужением называется отношение изменения площади поперечного сечения образца в месте разрыва к первоначальной площади А0 поперечного сечения (в процентах).

где Аш – площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки. Значения находятся в пределах от нескольких процентов для хрупкой высокоуглеродистой стали до 60 % – для малоуглеродистой.

Диаграмма сжатия пластичной стали представлена на рис. 2.8. При сжатии образец расплющивается, и площадь его сечения увеличивается, в связи с чем увеличиваются также сжимающие силы и условные напряжения.

Таким образом, понятие предела прочности при сжатии пластичной стали лишено физического смысла. Пределы текучести при растяжении и сжатии для одной и той же пластичРис. 2. ной стали практически одинаковы.

Диаграмма растяжения чугуна (кривая II на рис. 2.9, а) по характеру аналогична диаграмме сжатия (кривая I), но предел прочности вр при растяжении значительно ниже, чем предел прочности вс при сжатии При сжатии чугунный образец разрушается в результате образования наклонных трещин под углом 45° к оси образца (рис. 2.9, б).

Некоторые материалы обладают различными свойствами в различных направлениях. Такие материалы называются анизотропными. Анизотропными материалом является, например, сосна, сопротивляемость которой зависит от направления силы по отношению к направлению волокон.

Сопротивление сосны вдоль волокон значительно больше, чем поперек волокон, а деформация меньше. На рис. 2.10 показаны диаграммы сжатия сосны вдоль (а) и поперек волокон (б).

Для сухой сосны среднее значение предела прочности на сжатие вдоль волокон составляет примерно 3540 Мпа, а для модуля упругости – 1,1104 МПа. Для сжатия поперек волокон предел прочности составляет примерно 5 МПа, а модуль упругости – 500 МПа. Предел прочности сосны при растяжении вдоль волокон приблизительно вдвое больше, чем при сжатии. Модуль упругости при растяжении несколько больше, чем при сжатии, но в расчетах он принимается таким же, как и при сжатии.

Деформации некоторых материалов и напряжения в них изменяются во времени; это явление называется ползучестью. Если к такому материалу приложена постоянная нагрузка, то его деформация сначала нарастает быстро, а затем все медленнее – пока совсем не прекратится; такой частный случай ползучести называется последействием. Если после снятия нагрузки через некоторый промежуток времени первоначальные размеры тела полностью восстанавливаются, то такое состояние называют упругим последействием.

Другим частным случаем ползучести является релаксация, представляющая собой процесс уменьшения напряжений в материале при неизменной его деформации, например, уменьшение со временем растягивающего усилия в затянутых болтах.

На характер диаграмм растяжения влияет температура, скорость нагружения, радиоактивное облучение и другие факторы.

УЭ-4. Статически неопределимые задачи при растяжении Статически неопределимыми называются такие задачи, для решения которых недостаточно уравнений статики, нужны дополнительные уравнения, которые получаются из рассмотрения деформации системы. Решение статически неопределимых задач поясним на следующих примерах:

Груз F подвешен при помощи трех стержней. Средний стержень длиной l расположен вертикально, крайние стержни наклонены под углом (рис. 2.11). Материал и сечения всех стержней одинаковы, ЕА = const. Определить усилия в стержнях при упругой работе системы.

Отбрасываем верхнее закрепление и заменим действие его силами, направленными вдоль стержней N1, N2, N3. Вследствие симметрии системы из условия x = 0 получаем, что N1 = N 3. Составляем уравнение статики по условию y = Имеем одно уравнение с двумя неизвестными, система статически неопределима.

Устанавливаем зависимость между деформациями. Средний стержень под действием груза F удлиняется на величину l2, и точка подвеса груза опустится, перейдет в С1 ( с = l2 ). Перемещение конца стержня составится из двух перемещений: удлинение на величину, равную l1, и поворота вокруг точки А, чтобы конец стержня попал в точку С1. При этом конец стержня перемещается по дуге окружности, но при малых углах поворота это перемещение можно считать происходящим по перпендикуляру к начальному положению АС. Аналогичное справедливо и для стержня 3.

Из изложенного вытекает зависимость между удлинениями получим:

Решая совместно систему уравнений (2.11) и (2.13), получаем При = 30o усилия составляют Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается двумя стержнями, нагружен силой F, как показано на рис 2.12. Площадь поперечного сечения стержня 1 А1 = 2 А, а стрежня 2 – А2 = А. Определить усилия и напряжения в стержнях.

Воспользуемся принципом освобождения от связей, освободив концы стержней 1 и 2 от опорных закреплений и заменив их действие продольными усилиями в стержнях. Направление усилий N1 и N2 обязательно требуется согласовать с характером деформации системы. Стержни 1 и подвергаются растяжению, на схеме (рис. 2.12, б) их показываем также растягивающими.

Всего неизвестных 4 (RAX, RAY, N1, N2), а уравнений статики для плоской произвольной системы сил можно составить только 3. Следовательно, система 1 раз статически неопределима.

Для дальнейшего расчета нам необходимы только значения N1 и N2.

Поэтому составим такое уравнение, в которое войдут эти усилия. Таким уравнением будет Из подобия треугольников (рис. 2.12, в) имеем:

Выразим перемещения узлов В и С через абсолютные удлинения стержней.

С учетом этого выражение (2.15) примет вид чим Решая совместно уравнения (2.14) и (2.17), получим Нормальные напряжения в стержнях 1 и 2 будут равны В статически неопределимых системах возникают внутренние усилия и от температурного воздействия.

Пусть ступенчатый стальной брус заделан своими концами в стены, которые считаем неподвижными, так что длина бруса все время остается неизменной. Положим, что заделка бруса произведена при температуре t1.

Затем температура бруса изменилась, например, повысилась и стала равной t2, (повышение температуры составляет t = t 2 t1 ). Ясно, что в брусе появятся напряжения. Действительно, от повышения температуры брус стремится удлиниться, но стены препятствуют этому удлинению, нажимают на концы бруса и тем самым вызывают в нем сжимающие напряжения.

Для их определения предположим, что правая стена убрана, тогда брус удлинился бы на величину (рис. 2.13, б) где = 1,25 10 15 – коэффициент линейного расширения стали.

В действительности стена у правого конца балки имеется, она препятствует удлинению бруса, нажимает на него с силой X. Эта сила должна вызвать укорочение бруса l x = 1 2, равное lt, т.е.

lt + l x = 0.

Подставляя значения lt и l x, получим:

Продольная сила N = X.

В статически неопределимых системах возникают напряжения из-за неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и поддерживается двумя стержнями. Один из стержней сделан короче относительно проектного размера на величину. Это повлечет некоторые трудности со сборкой, и появятся так называемые монтажные напряжения, вызванные неточностью изготовления отдельных элементов (рис. 2.14).

Для соединения стержня 2 (в шарнире С) его необходимо растянуть.

Вследствие этого и стержень 1 также будет подвержен растяжению. Напряженное состояние системы после сборки изображено на рис. 2.14, б.

Всего неизвестных 4 (RAX, RAY, N1, N2), а уравнений статики можно составить только 3. Система 1 раз статически неопределима:

С учетом этого Решая совместно уравнения (2.19) и (2.20), определим значения N1 и N2.

Следует отметить, что изготовляя элементы конструкции с определенной неточностью, можно регулировать напряжения, вызываемые внешней нагрузкой.

УЭ-5. Методы расчетов на прочность и жесткость Каждое сооружение, а также любая часть его под действием нагрузок должны быть прочны, причем само понятие прочности может быть расчленено на три отдельных понятия: прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность определяется величиной рабочих напряжений, жесткость – величиной деформации, устойчивость – единственностью формы равновесия.

Для обеспечения прочности производится расчет всех основных частей сооружения. При этом можно идти различными путями. Первый путь, широко распространенный во всех странах, – это расчет «по допускаемым напряжениям». Второй путь – «расчет по разрушающим нагрузкам» иначе называемый «по несущей способности» или «по допускаемым нагрузкам».

Третий путь – метод расчета «по предельным состояниям», введенный «Строительными нормами и правилами» (СНиП) в СССР с 1956 г.

Расчет по допускаемым напряжениям В основу расчета по допускаемым напряжениям положено требование, чтобы при работе конструкции ни в одном волокне (точке) ее напряжения не превосходили допускаемые. За предел, при котором нарушается прочность материала, для хрупких материалов принимается временное сопротивление, а для пластичных материалов – предел текучести. Допускаемое напряжение берется как некоторая доля от временного сопротивления, или от предела текучести.

В соответствии с изложенным условие прочности конструкции, выполненной из хрупкого материала, выражается в виде где р и с – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения для материала конструкции; [р] или admt и [c] или admc – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Допускаемые напряжения [р] и [c] определяются так:

где [nb] – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности.

Для конструкций из пластичных материалов (у которых пределы текучести на растяжение и сжатие одинаковы) используется следующее условие прочности:

где – наибольшее по абсолютной величине сжимающее или растягивающее расчетное напряжение для материала конструкции.

Допускаемое напряжение [] для пластичных материалов определяется по формуле где [nт] – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести.

Нормативные коэффициенты запаса для различных материалов, сооружений и нагрузок имеют в большинстве случаев следующие значения:

Расчет по разрушающим нагрузкам При расчете определяется несущая способность с учетом пластической деформации, т.е. наибольшая нагрузка, при которой возникает текучесть в одном каком либо элементе (для статически определимых задач) или в группе элементов (для статически неопределимых задач). Эта наибольшая нагрузка называется разрушающей нагрузкой. По ней устанавливается допускаемая нагрузка, как некоторая доля от предельной путем введения коэффициента запаса.

В этом способе расчета в основу принимается не напряжение в одном наиболее опасном волокне, а усилие, воспринимаемое всем сечением элемента.

Статически неопределимую стержневую систему, изображенную на рис. 2.11 и рассчитанную в упругой стадии, можно рассчитать и по несущей способности. Введем упрощенную схему работы материала. Будем считать, что упругая работа материала продолжается до наступления текучести, а затем происходит текучесть без упрочнения, т.е. обычную диаграмму заменяем упрощенной схемой. Положим, что при постепенном возрастании нагрузки напряжение в среднем стержне достигло предела текучести. С этого момента усилие в среднем стержне перестает возрастать.

Дальнейшее увеличение нагрузки возможно лишь за счет возрастания усилий в крайних стержнях. Затем настанет момент, когда напряжение в крайних стержнях тоже достигнет предела текучести. Это состояние и будет предельным (рис. 2.15, б).

Величину допускаемой нагрузки определим так:

Учитывая, что При расчете по допускаемым напряжениям max []. Максимальное напряжение будет в стержне Допускаемая нагрузка при расчете по несущей способности получилась больше в К раз:

При расчете статически определимых систем, работающих на растяжение, метод расчета по допускаемым напряжениям и разрушающим нагрузкам (несущей способности) дают одинаковые результаты.

Расчет по предельным состояниям Предельным называется такое состояние конструкции, при котором становится невозможной дальнейшая нормальная ее эксплуатация. Конструкция перестает удовлетворять предъявленным к ней требованиям и не в состоянии выполнять свое назначение. В самом худшем случае это может быть полное разрушение конструкции, но может быть и частичное сильное ее повреждение.

В СНиП устанавливаются два предельных состояния.

Первое предельное состояние определяется прочностью по несущей способности (прочностью и устойчивостью).

Второе предельное состояние определяется жесткостью, т.е.

характеризуется развитием больших деформаций, нарушающих нормальную эксплуатацию конструкции, а также появлением трещин или местных повреждений конструкции.

В курсе сопротивления материалов будем рассматривать в основном первое предельное состояние, связанное с прочностью конструкции, и отчасти – второе предельное состояние. Например, будем изучать прогибы балок под нагрузкой.

Прочность конструкции зависит от многих причин. При расчете по допускаемым напряжениям все они учитываются одним общим коэффициентом запаса. Учесть все разнообразные факторы с помощью одного постоянного коэффициента невозможно. Детальный анализ аварий сооружений показывает, что причиной их является случайное одновременное совпадение нескольких невыгодных обстоятельств: более высокой, нежели обычная, нагрузки, пониженных качеств материала, недостатков в изготовлении конструкции (погнутые элементы, плохая сварка и т.п.), иногда – тяжелых условий работы конструкции и др.

Расчет по предельным состояниям базируется на изучении законов вероятности совпадения таких невыгодных обстоятельств. Путем длительного наблюдения строятся кривые вероятности для возможных колебаний в величине нагрузки, для возможных отклонений в свойствах материала и затем устанавливаются такие зависимости, при которых исключалась бы опасность совпадения ряда причин, приводящих к разрушению сооружения.

По существу расчет ведется по разрушающим нагрузкам, но учитывается вероятность совпадения неблагоприятных факторов.

Вместо единого общего коэффициента запаса при расчете по предельным состояниям вводят три предельных коэффициента.

Первый – коэффициент перегрузки n учитывает неточности в определении нагрузки. Обычно нагрузка устанавливается на основании существующих норм, полученных путем усреднения результатов длительного наблюдения. Однако фактическая нагрузка иногда может оказаться больше нормативной; для учета этого превышения и вводится коэффициент перегрузки. Нормативная нагрузка умножается на коэффициент больше единицы, в результате получается расчетная нагрузка Коэффициенты перегрузки даются в СНиП. Они различны для постоянной и временной нагрузок. Собственный вес конструкции при расчете определяется довольно точно, отклонения в его величине могут быть лишь небольшие, и коэффициент перегрузки от неточностей в учете собственного веса принимается равным ~1,1. Колебания в определении полезной нагрузки могут быть значительно больше, в среднем коэффициент перегрузки для нее принимается ~1,4.

Второй – коэффициент однородности k вводится для учета степени неоднородности материала, из которого выполняется конструкция.

При поставках партии материала, например, стали, цемента испытываются образцы, изготовленные из этого материала. Для каждого материала установлено нормативное сопротивление Rн, т.е. наименьшее напряжение, ниже которого не должно быть напряжение, полученное при испытании образцов. Для пластичных материалов за нормативное сопротивление принимается предел текучести ( R н = r ), для хрупких – временное сопротивление ( R н = в ), при работе на знакопеременные нагрузки за нормативное сопротивление принимается предел выносливости ( R н = 1 ).

Например, для стали Ст.3 нормативное сопротивление при растяжении принимается равным пределу текучести, т.е. 240 МПа.

Расчетное сопротивление берется несколько меньшим нормативного.

Для получения расчетного сопротивления R нормативное сопротивление Rн умножается на коэффициент однородности материала k, несколько меньший единицы. При растяжении стальных элементов k принимается равным 0,9.

Третий – коэффициент условий работы m. Этим коэффициентом учитываются специфические особенности работы конструкции, изменение характера работы в течение эксплуатации, а также особенности изготовления конструкции, принятие упрощенного метода расчета и т.п. Например, наличие агрессивной среды, вредных испарений, излишней влажности сильно ухудшает условия работы конструкции, вызывает ее преждевременный износ. Коэффициент условий работы при обычных нормативных условиях работы близок к единице.

Помимо общего коэффициента условий работы m, на который умножается несущая способность всей конструкции, вводят еще специальный коэффициент условий работы, учитывающий особенности в работе отдельных сопряжений элементов.

Рассмотрим расчет элементов конструкции по предельным состояниям в случае простого растяжения. Перепишем формулу простого растяжения Если под N понимать наибольшую допускаемую продольную силу в элементе конструкции, а под – допускаемое напряжение, то эту формулу можно переписать так:

При расчете по предельным состояниям вместо допускаемого усилия берется расчетное усилие в элементе, которое обозначается буквой N, вместо допускаемого напряжения берется расчетное сопротивление на растяжение Rр. Кроме того, вводится коэффициент условий работы m. В результате формула для расчета по предельным состояниям при простом растяжении примет вид Рассмотрим пример расчета по предельным состояниям при простом растяжении.

Навес над входом в здание имеет вылет 3 м, длину 6 м, по краю АВ опирается на стенку здания, а за свободные углы С и D прикреплен к круглым стальным тягам, расположенным в вертикальной плоскости под углом 30° к горизонту (рис. 2.16 а, б). Нагрузка состоит из собственного веса навеса 1200 Н/м2 и снега 1000 Н/м2. Необходимо подобрать диаметр тяг, считая их изготовленными из стали Ст.3.

Подсчитаем расчетную нагрузку. Для этого постоянную нагрузку умножим на коэффициент перегрузки nп=1,1, а временную нагрузку (снег) – на коэффициент перегрузки nв=1,4. Получим Для определения сечения тяги применим формулу (2.26) N mR р A. Коэффициент условий работы, как в большинстве случаев, принимаем равным единице, расчетное сопротивление для стали Ст. R = 210 МПа = 21 кН/см 2.

Отсюда находим А Пусть брус подвержен растяжению силой F (рис. 2.17).

Величина продольной силы N = F и напряжения в нормальных сечениях Рассечем брус нормальным сечением 1-1 и наклонным – 2-2. Выделим этот элемент и приложим к нему внутренние силы.

Напряжения на наклонном сечении разложим на две составляющие:

нормальное и касательное. Угол будем считать положительным, если нормаль по отношению к оси бруса поворачивается против часовой стрелки.

где А – площадь нормального сечения.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента. Спроектируем все силы на нормаль n.

Спроектируем все силы на направление t.

Анализируя формулу (2.27), видим, что максимальные нормальные напряжения будут при = 0, т.е. в нормальных сечениях.

Из формулы (2.28) видно, что максимальные касательные напряжения будут при угле = 45°.

Определим значения нормальных и касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках при угле +.

Их можно было получить точно так же, как и при угле поворота нормали, а можно в полученные формулы вместо подставить угол +.

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках при растяжении равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Это свойство носит название закона парности касательных напряжений.

За положительное направление принято такое, когда касательное напряжение вращает тело по часовой стрелке относительно любой точки С, взятой на внутренней нормали n.

Сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная, равная напряжению в нормальном сечении.

Расчет на центральное растяжение (сжатие) в общем случае начинается с определения опорных реакций. В статически определимых системах для их определения достаточно уравнений статики, а для статически неопределимых систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие характер деформирования системы.

Используя метод сечений, определяют внутренние усилия (продольные силы) в элементах системы.

Установлено, что внутренние силы по площади поперечного сечения распределены равномерно и для определения нормальных напряжений достаточно продольную силу разделить на площадь поперечного сечения.

Рассмотрен вопрос опытного изучения механических свойств материалов при растяжении и сжатии, определены границы справедливости закона Гука, устанавливающего линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а также границы опасного нагружения материала.

Рассмотрены также методы расчета на прочность и жесткость, получены зависимости для определения деформаций, необходимых размеров поперечного сечения брусьев, установлены зависимости между напряжениями в нормальных и наклонных сечениях к оси бруса. Максимальные нормальные напряжения при растяжении (сжатии) возникают в сечениях, перпендикулярных к оси бруса, а наибольшие касательные напряжения – в наклонных сечениях, составляющих 45° к оси бруса.

Сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках равна величине нормального напряжения в сечении, перпендикулярном к оси бруса.

Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по модулю и отличаются по знаку.

1. Какие случаи деформации бруса называются центральным растяжением?

2. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении бруса?

3. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

4. Какой вид имеют эпюры продольных сил для бруса, нагруженного несколькими осевыми сосредоточенными силами и равномерно распределенной осевой нагрузкой?

5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого бруса и чему они равны?

6. Как используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) для выяснения закона распределения напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) бруса?

7. Как строится график (эпюра), показывающий изменение (по длине оси бруса) нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса?

8. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией?

Что представляет собой относительная продольная деформация? Какова размерность абсолютной и относительной продольных деформаций?

9. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации бруса?

10. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?

11. Как формулируется закон Гука? Напишите формулы абсолютной и относительной продольных деформаций бруса.

12. Что называется абсолютной поперечной деформацией бруса?

относительной?

13. Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении и сжатии?

14. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какое он имеет значение?

15. Выведите формулы продольных сил, нормальных напряжений, продольных деформаций с учетом собственного веса вертикального бруса.

16. Как объяснить наличие множителя в формуле удлинения вертикального бруса постоянного сечения от собственного веса?

17. В каких координатах строятся машинная и условная диаграммы растяжения? Почему она называется условной?

18. Что называется пределом пропорциональности, пределом упругости, пределом текучести, пределом прочности (или временным сопротивлением)? Что представляет собой площадка текучести?

19. Какие деформации называются упругими и какие остаточными или пластическими?

20. Какое явление называется наклепом?

21. Что называется условным пределом текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика?

22. Чем отличается диаграмма растяжения пластичной стали от диаграммы растяжения хрупкой стали?

23. Чем отличаются диаграммы сжатия пластичной и хрупкой сталей от диаграммы растяжения?

24. Чем отличается диаграмма растяжения чугуна от диаграммы сжатия?

25. Что называется остаточным относительным удлинением образца и относительным остаточным сужением шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют?

26. Какие материалы называются анизотропными?

27. Что называется ползучестью, последействием, упругим последействием и релаксацией?

28. Какие системы называются статически неопределимыми?

29. Что представляют собой дополнительные уравнения?

30. Что называется степенью статической неопределимости системы?

31. Что представляет собой допускаемая, предельная и предельно допускаемая нагрузки?

32. Какие напряжения называются температурными?

33. Какие напряжения называются монтажными?

34. Как отражается увеличение жесткостей отдельных элементов статически неопределимых систем на усилия в этих и других элементах?

35. Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях центрально-растянутого бруса? Сделайте вывод соответствующих формул.

36. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные и в каких – наибольшие касательные напряжения?

М-3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

И ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ

В случае центрального растяжения (сжатия) мы научились определять величину нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса, установили, что они являются наибольшими по сравнению с другими сечениями и определяют прочность бруса.

При более сложных нагружениях мы также должны уметь находить напряжения в окрестности любой точки и знать критерии, оценивающие прочность материала при данном сложном нагружении.

УЭ-1. Понятие о напряженном состоянии и его разновидности Значения нормальных и касательных напряжений по произвольной площадке, проходящей через любую точку тела, зависят от направления этой площадки.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

В окрестности любой точки можно выделить элементарный параллелепипед. По его граням будут действовать нормальные и касательные напряжения. Ниже будет доказано, что можно добиться такого положения элементарного параллелепипеда, что по его граням будут действовать только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю.

Длины ребер элементарного параллелепипеда бесконечно малы, а поэтому напряжения по его граням, параллельным друг другу, одинаковы и равны напряжениям по параллельной им площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие на этих площадках, получили название главных напряжений.

Если по всем граням элементарного параллелепипеда действуют нормальные напряжения 2, 2, 3, то такое напряженное состояние называется объемным или трехосным (рис. 3.1, а).

Если главные напряжения действуют только по двум парам граней, то такое напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 3.1, б), а если только по одной паре – линейным или одноосным (рис. 3.1, в).

Условились главные напряжения считать так:

при двухосном (плоском) напряженном состоянии Пусть имеем двухосное напряженное состояние, изображенное на рис. 3.2, а, соответствующее двухосному растяжению. Проведем произвольное наклонное сечение, нормаль к которому составляет положительный угол с направлением 1.

Выделим бесконечно малую треугольную призму и рассмотрим ее равновесие. Приложим к выделенной призме напряжения, которые действовали по граням элементарного параллелепипеда, и напряжения и положительного направления в наклонном сечении.

Пусть площадь наклонного сечения равна dA. Тогда площадь грани, где действует напряжение 1, будет равна dA cos, а площадь грани, где действует напряжение 2, – dA sin.

Спроектируем все силы на направление нормали n.

Спроектируем все силы на направление касательной t.

Из формул (3.1) и (3.2) можно определить значения напряжений на взаимно перпендикулярной площадке, подставив вместо угол + :

Из формул (3.2) и (3.4) видно, что Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между и называется законом парности касательных напряжений.

Из формулы (3.2) видно, что максимальные касательные напряжения при двухосном растяжении будут при угле = 45o относительно главных напряжений 1 и 2.

Сложив выражения (3.1) и (3.3), получим Сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках является величиной постоянной.

А теперь рассмотрим общий случай плоского напряженного состояния (рис. 3.3), когда по граням элементарного параллелепипеда действуют нормальные и касательные напряжения.

Выделим из элементарного параллелепипеда элементарную треугольную призму (рис. 3.3, б), приложим к граням действующие касательные и нормальные напряжения, причем касательное напряжение y на площадке, где действует нормальное напряжение, принято положительным, Также приняты положительными и в наклонном сечении.

Угол поворота нормали отсчитываем от направления x и показываем положительным, т.е. нормаль n повернута по отношению к х против часовой стрелки. По модулю x = y, но на рисунке оно показано отрицательным на основании закона парности касательных напряжений.

Составим уравнения равновесия элементарной призмы.

Спроектируем все силы на направление нормали n. Площадь наклонного сечения – dA, грани, по которой действуют x и y – dA cos, а грани, по которым действуют y и x – dA sin.

Отсюда, с учетом y = x, получим:

Спроектируем все силы на направление t.

Отсюда, с учетом y = x, получим Определим по формуле (3.7) сумму нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам.

Еще раз подтверждаем, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная.

Следовательно, если по одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальные значения, то по другой они имеют минимальные значения.

При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку, а достаточно знать экстремальные их значения.

мум. Для этого возьмем первую производную и приравняем ее к нулю.

Определим сейчас положение площадок, по которым касательные напряжения равны нулю, т.е. положение главных площадок.

т.е. это положение площадок, по которым также действуют экстремальные нормальные напряжения.

Главные площадки – это площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения.

Формула (3.10) дает значения углов 0, определяющих две взаимно перпендикулярные главные площадки.

Для определения их положений площадки, в которых действуют напряжения х и у, следует повернуть на угол 0 против часовой стрелки (при 0 > 0) или по часовой стрелке (при 0 < 0).

Угол 20 находится в интервале от –90° до +90° и, следовательно, значение 0 – от –45° до +45°. Поэтому поворот площадок всегда можно произвести на угол не больше 45°.

Если выразить sin2, sin2 и cos2 через tg2 и подставить его значение в формулу (3.7), то получим:

При x > y max будет составлять угол 0 с направлением x, а при y > x – с направлением y.

УЭ-3. Площадки с наибольшими касательными напряжениями Выше было показано, что при действии по граням элементарного параллелепипеда только растягивающих главных напряжений 1 и 2, площадки с наибольшими касательными напряжениями будут повернуты на угол 45° и значения их равны (3.5).

Для общего случая плоского напряженного состояния их можно выразить так:

Подставив значения max, min из формулы (3.11), получим По граням площадок с экстремальными значениями касательных напряжений, наклонных к главным площадкам на угол = 45o, действуют и нормальные напряжения одного знака УЭ-4. Закон Гука при плоском напряженном состоянии Выделим на теле элементарный параллелепипед. Пусть по его граням действуют только два главных напряжения 1 и 2, а 3 = 0, что соответствует плоскому напряженному состоянию. Определим относительные линейные деформации ребер параллелепипеда, используя принцип независимости действия сил.

Эти уравнения перепишем несколько в другом виде и решим их относительно главных напряжений 1 и 2:

Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, т.е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, действуют также и касательные. Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменение прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид Выражения (3.15), (3.17), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при плоском напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука при плоском напряженном состоянии.

Аналогичные зависимости могут быть получены и для объемного напряженного состояния Уравнения (3.18) выражают обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии.

Под действием внешней нагрузки изменяется объем тела.

Выделим в окрестности некоторой точки тела до его деформации элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz так, чтобы его грани совпадали с главными площадками. Первоначальный объем параллелепипеда dV = dx dy dz. После деформации длины ребер равны: dx(1 + 1 ), dy (1 + 2 ), dz (1 + 3 ), где 1, 2, 3 – относительные деформации ребер параллелепипеда (в направлении главных напряжений).

Объем элементарного параллелепипеда после его деформации Здесь (dV ) – изменение объема параллелепипеда.

Так как величины 1, 2, 3 весьма малы по сравнению с единицей, то их произведениями можно пренебречь. Тогда откуда (dV ) = dV (1 + 2 + 3 ).

Отношение величины (dV ) к первоначальному объему параллелепипеда dV обозначается и называется относительным изменением объема Относительное изменение объема выражается в отвлеченных величинах. Подставив в выражение (3.19) значения 1, 2, 3 из формул (3.18), после преобразования получим Вместо суммы главных напряжений можно подставить сумму Формулы (3.20) и (3.21) выражают объемный закон Гука.

Если в случае пространственного напряженного состояния 1 = 2 = 3 = > 0 (такой случай называется пространственным равномерным растяжением), то на основании формулы (3.20) Совершенно очевидно, что объем кубика, находящегося в условиях пространственного равномерного растяжения, не может уменьшаться, т.е.

в этом случае не может быть отрицательным, а, следовательно, коэффициент Пуассона для любых материалов не может быть больше 0,5.

УЭ-5. Потенциальная энергия деформации Потенциальная энергия деформации при растяжении равна работе внешних сил.

В пределах пропорциональности связь между нагрузкой, приложенной к стержню, и перемещением точки приложения линейная, как показано на рис. 3.5.

Работа силы F1 на перемещении определяется площадью полученного треугольника и равна Работа внутренних сил по модулю равна работе внешних сил, но она всегда отрицательна, т.к. силы упругости (внутренние силы) всегда препятствуют деформации. Потенциальная энергия деформации численно равна работе внутренних сил, но противоположна по знаку, а, следовательно, полностью совпадает по знаку и величине с работой внешних сил.

Пусть стержень переменного поперечного сечения подвержен растяжению. Продольная сила не является постоянной.

Выделим бесконечно малый участок этого стержня и определим потенциальную энергию его (рис. 3.6).

С учетом этого потенциальная энергия деформации элемента Для определения потенциальной энергии деформации всего стержня необходимо проинтегрировать в пределах 0 x l.

В случае если N x = N = const и EAx = EA, то полная энергия деформации стержня будет равна Определим удельную потенциальную энергию деформации, отнесенную к единице объема.

По закону Гука = E. С учетом этого величина удельной потенциальной энергии При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия с учетом суперпозиции будет равна Если заменить относительные деформации (3.28) их выражениями по обобщенному закону Гука (3.18), то получим Удельная потенциальная энергия выражается в джоулях на кубический метр (Дж/м3 или Нм/м3).

Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяется на величину Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, т.к. в результате того, что 1 2 3, относительные удлинения ребер оказываются различными и, следовательно, первоначальное соотношение между размерами ребер изменяется.

Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы его объем изменился на величину, определяемую формулой (3.30), а форма сохранилась прежней. Сохранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем его граням одинаковых напряжений 0 (рис. 3.7, б). При этом Приравняем изменение объема к его фактическому изменению Потенциальная энергия изменения объема получится, если подставить в формулу (3.29) 1 = 0, 2 = 0, = 0.

После преобразований получим или Для того чтобы получить выражения удельной потенциальной энергии изменения формы, надо в формулу (3.29) подставить 1 = 1 0, Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной потенциальной деформации УЭ-6. Назначение гипотез прочности, их виды Расчет на прочность при плоском и объемном напряженном состоянии выполняют на основе применения гипотез прочности, указывающих условия перехода материала в предельное напряженное состояние, т.е. появление признаков хрупкого разрушения или возникновения текучести.

Гипотезы прочности дают возможность заменить заданное объемное или плоское напряженное состояние для оценки его опасности эквивалентным (равноопасным) ему одноосным растяжением. Напряжение, соответствующее этому воображаемому (расчетному) одноосному напряженному состоянию, называют эквивалентным напряжением и обозначают экв.

При расчете с применением той или иной гипотезы прочности вычисляют эквивалентное напряжение по известным главным напряжениям заданного напряженного состояния. Сопоставление эквивалентного напряжения с допускаемым ([p]), предельным (пред) напряжением или расчетным R сопротивлением для данного материала при одноосном растяжении позволяет дать оценку прочности для заданного напряженного состояния. Таким образом, независимо от применяемой гипотезы прочности условие прочности может быть записано в виде или где n – фактический и [n] – требуемый коэффициенты запаса прочности.

Гипотезы прочности в учебной литературе называют и теориями прочности.

Первая теория прочности основана на предположении, что разрушение материала происходит в результате отрыва, и что поэтому опасное состояние наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения.

В соответствие с этим при расчетах на прочность ограничивается значение наибольших растягивающих напряжений, которое не должно превышать допускаемого нормального напряжения [], устанавливаемого из опыта на одноосное растяжение.