«Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина Загинайлов В.И.ам, Меренков А.А., Соболев А.В. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Методические рекомендации по изучению дисциплины и задания на ...»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный агроинженерный университет

имени В.П. Горячкина

Загинайлов В.И.ам, Меренков А.А., Соболев А.В.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Методические рекомендации по изучению дисциплины и задания на выполнение контрольных работ для студентов заочной формы обучения

электротехнических специальностей Москва 2009 УДК 621.3.011.7.(075.8) Рецензент Кандидат технических наук, профессор кафедры автоматизированного электропривода сельскохозяйственного производства Московского государственного агроинженерного университета имени В.П. Горячкина А.А. Медведев Загинайлов В.И., Меренков А.А., Соболев А.В.

Теоретические основы электротехники. Методические рекомендации по изучению дисциплины и задания на выполнение контрольных работ для студентов заочной формы обучения электротехнических специальностей. – М.: МГАУ им. В.П. Горячкина, 2009. – 76с.

Методические рекомендации содержат краткое изложение методики расчета электрических цепей в установившемся и переходном режимах.

Приведены примеры расчета линейных и нелинейных цепей постоянного и переменного тока, переходных токов в трехфазной цепи, напряжений и токов в длинных линиях. Даны задания для контрольных и курсовой работ.

© Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина, Введение Курс “Теоретические основы электротехники” (ТОЭ) является основной теоретической дисциплиной в системе подготовки инженера-электрика.

Курс базируется на знаниях, полученных студентами в результате изучения физики и математики.

Основная задача курса — обеспечить необходимую теоретическую подготовку по вопросам исследования и расчета электрических и магнитных цепей и электромагнитного поля.

Методические указания составлены в соответствии с программой курса.

Общие методические указания Курс “Теоретические основы электротехники” состоит из следующих разделов:

1)линейные электрические цепи постоянного тока;

2) однофазные цепи синусоидального тока;

3) линейные цепи с периодическими несинусоидальными напряжениями и токами;

5) трехфазные цепи;

6) нелинейные цепи постоянного тока;

7) нелинейные цепи переменного тока;

8) переходные процессы в электрических цепях;

9) электрические цепи с распределенными параметрами.

Согласно учебному плану заочной подготовки инженера-электрика для студентов второго курса предусмотрены две контрольные работы, а для студентов третьего курса — курсовая работа.

На втором курсе изучаются первые пять разделов. Остальные подлежат изучению на третьем курсе.

Изучение курса студентами-заочниками включает самостоятельное изучение соответствующих глав рекомендуемых учебников и учебных пособий, решение задач и ответы на вопросы для самопроверки. После этого следует приступать к выполнению очередной контрольной работы.

Во время экзаменационной сессии студенты посещают лекции, выполняют лабораторно-практические работы и упражнения, сдают зачеты и экзамены. Порядок изучения дисциплины устанавливает кафедра. Учебным планом предусмотрен зачет на втором курсе и экзамен на третьем курсе.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

1. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1. Вопросы, подлежащие изучению Простая (неразветвленная) линейная электрическая цепь постоянного тока. Активные и пассивные элементы цепи. ЭДС, ток, сопротивление, потенциал и напряжение. Закон Ома. Преобразование схем источников. Потенциальные диаграммы. Закон Джоуля-Ленца. Баланс мощностей. Условие передачи максимальной мощности по двухпроводной линии.

Разветвленные цепи. Законы Кирхгофа. Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей. Система линейных алгебраических уравнений — математическая модель линейных электрических цепей постоянного тока.

Преобразование схем электрических цепей. Последовательное соединение пассивных и активных элементов. Параллельное соединение пассивных элементов. Параллельное соединение активных ветвей. Смешанное соединение пассивных элементов. Преобразование «треугольника» в эквивалентную «звезду» и «звезды» — в эквивалентный «треугольник».

Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов. Метод контурных токов. Метод наложения. Теорема компенсации. Метод эквивалентного генератора.

1.2. Методические указания Основной задачей изучения этого раздела является овладение методами расчета электрических цепей. К их изучению следует приступать после усвоения трех основных законов электротехники: закона Ома и двух законов Кирхгофа. Неразветвленные линейные цепи могут быть рассчитаны по закону Ома. Разветвленные цепи с несколькими источниками рассчитывают при помощи первого и второго законов Кирхгофа. Для упрощения расчетов при необходимости производят преобразования схем электрических цепей, а также применяют ряд методов, сокращающих число решаемых уравнений по законам Кирхгофа. Это метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного генератора.

С целью изучения этих методов и их правильного применения при выполнении контрольных задач, ниже даны примеры расчета линейной электрической цепи различными методами. R1 m R Для цепи (рис. 1.1) с параметрами конам Кирхгофа. Определить токи цепи меI Рассчитать и начертить потенциальРис. 1. ную диаграмму для внешнего контура. Составить баланс мощностей.

1.2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа 1. Указываем на схеме направления токов в ветвях (см. рис. 1.1).

2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Число их в общем случае на единицу меньше числа узлов (для рассматриваемой схемы с четырьмя узлами нужно составить три таких уравнения):

3. Выбираем произвольно направление обхода каждого контура цепи (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбрать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну ветвь, не вошедшую в другие контуры. Контуры, выбранные с соблюдением этого условия, принято называть независимыми. Таким образом, число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно числу независимых контуров:

I1R1 + I5R5 – I2R2 = E1 – E2 — для контура abda;

– I5R5 – I3R3 – I4R4 = 0 — для контура dbcd;

I2R2 + I4R4 + I6(R6+R7) = E2 — для контура adca.

В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода, записываются со знаком плюс; ЭДС и токи, направленные на встречу обходу — со знаком минус. Как видно из данного примера, общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, т. е. числу ветвей.

Решив полученную систему шести уравнений с шестью неизвестными, можно определить искомые токи. Если какой-либо ток в результате расчета получится отрицательным, то это означает, что его действительное направление противоположно выбранному в п.1, но знаки токов при дальнейших расчетах менять не следует.

Рассмотренный метод расчета для достаточно сложных цепей является громоздким и потому практически нецелесообразным. Задача расчета цепи значительно упрощается при использовании метода контурных токов и метода узловых потенциалов, в основу которых также положены уравнения Кирхгофа.

Метод контурных токов позволяет рассчитать цепь, составляя уравнения только по второму закону Кирхгофа. Значения истинных токов в ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через данную ветвь.

1. Приписываем каждому контуру свой ток — I11, I22, I33 и выбираем произвольно направление каждого из них. На рис. 1.1. все контурные токи направлены по часовой стрелке.

Тогда истинные токи во всех ветвях схемы определятся из выражений:

I1 = I11; I2 = I33 – I11; I3 = – I22; I4 = I33 – I22; I5 = I11 – I22; I6 = I33.

2. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

I11(R1+R5+R2) – I22R5 – I33R2 = E1 – E2;

I22(R5+R3+R4) – I11R5 – I33R4 = 0;

I33(R2+R4+R6+R7) – I11R2 – I22R4 = E2.

Подставляя заданные числовые значения ЭДС и сопротивлений, получим:

–13 I11 + 27I22 – 6I33 = 0;

–5I11 – 6I22 + 22I33= 25.

Совместное решение этих уравнений дает следующие значения контурных токов:

I11= 1,05 A; I22 = 0,864 A; I33 = 1,64 A.

Определяем значения токов в ветвях цепи:

I4 = I33 – I22= 0,746 A; I5 = I11 – I22 = 0,186 A; I6 = I33 = 1,61 A.

Метод узловых потенциалов позволяет рассчитать цепь на основе уравнений по первому закону Кирхгофа. Так для узлов a, b и c уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

Если бы были известны потенциалы отдельных узлов, то ток в каждой ветви можно было бы определить по обобщенному закону Ома. Так для рассматриваемой цепи найдем:

Из этих соотношений видно, что токи в ветвях зависят от разностей потенциалов узлов, к которым эти ветви подсоединены. Это позволяет задать потенциалу одного из узлов любое числовое значение (например, ноль), сохранив неизменной разность потенциалов. Поэтому порядок расчета рассматриваемой цепи методом узловых потенциалов состоит в следующем.

1. Полагаем потенциал какого-либо узла схемы (например, узла d) равным нулю: d = 0.

2. Для всех остальных узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выразив значения токов через потенциалы узлов: В этом случае уравнения для узлов а, b, c примут вид:

Сгруппировав в левой части уравнений слагаемые, содержащие потенциалы узлов с проводимостями, а в правой части ЭДС с проводимостями, получим следующую систему уравнений:

a(G1+G2+G6) – bG1 – cG67 = – E1G1 – E2G2;

Обратите внимание на следующие характерные особенности написанных уравнений: слагаемые в левой части уравнений, содержащие потенциал рассматриваемого узла, записываются со знаком плюс, а все остальные слагаемые со знаком минус; в правой части уравнения ЭДС, направленные к узлу, для которого составляется уравнение, записываются со знаком плюс, а ЭДС, направленные от этого узла, — со знаком минус.

3. Определим численные значения проводимостей:

Подставим их значения в последнюю систему уравнений:

Совместное решение этих уравнений дает следующие значения узловых потенциалов: а = – 22,1 В; в = 2,4 В; с = – 4,5 В. Далее определяем токи в ветвях:

I1 = 1,07 A; I2 = 0,58 A; I3 = – 0,861 A; I4 = 0,751 A; I5 = 0,185 A; I6=1,6 A.

Сравним результаты расчетов обоими методами.

токов потенциалов Расхождение в результатах расчета не превышает 5 %.

Примечание: Если кроме источников ЭДС в цепи действуют источники тока, то при составлении уравнения для соответствующего узла ток источника тока J непосредственно записывается в правую часть уравнения со знаком плюс, если ток направлен к узлу, и со знаком минус при обратном направлении.

Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов, который используется для цепи с двумя узлами (рис. 1.2). Приняв потенциал одного из узлов равным нулю, например, 1 = 0, по методу узловых потенциалов для потенциала 2-го узла можно составить следующее уравнение:

откуда найдем потенциал узла G56 = 1/(R5 + R6).

В общем случае для цепи с двумя Далее, зная U21, определяем токи в ветвях по закону Ома.

При расчете разветвленных электрических цепей с несколькими источниками энергии иногда удается обойтись без решения системы уравнений, если применить метод наложения. В соответствии с этим методом, токи в ветвях схемы (напр. рис.1.2) рассматриваются как алгебраическая сумма токов от каждой ЭДС в отдельности. Поэтому предварительно определяются частичные токи в цепях при действии каждого источника в отдельности Тогда токи цепи будут равны:

I1 = I1(1)+ I1(2) + I1(3) ; I2 = I2(1) + I2(2) + I2(3) ; I3 = I3(1) + I3(2) – I3(3).

1.2.6. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника) Этот метод применяется для определения тока в какой-либо одной ветви сложной схемы и состоит в следующем.

Пусть в схеме цепи на рис.1.4 требуется определить только ток I1.

Ветвь с током I1 выделяется из общей схемы, а оставшийся фрагмент цепи представляется эквивалентным источником ЭДС EЭ с эквивалентным внутренним сопротивлением RЭ и клеммами ab (его называют активным двухполюсником). Тогда из полученной эквивалентной схемы цепи (рис. 1.5) легко Для определения EЭ следует разорвать ветвь стоком I1 (режим холостого хода) и определить напряжение между клеммами ab — Uхх, значение которого принимается равным ЭДС EЭ: EЭ = Uхх = a – b (рис. 1.6).

Для определения напряжения Uхх составим уравнение второго закона Кирхгофа для контура abmd (рис. 1.6):

Uхх – I5хх R5 – I2хх R2 = E1– E2, откуда Uхх = I5хх R5 + I2хх R2 + E1– E2.

Токи I2хх и I5хх определяются любым из известных методов расчета разветвленных цепей постоянного тока, напр. методом контурных токов:

Определив токи I11 и I22, найдем: I2хх = I22 = 1,21 А; I5хх = –I11 =0,269 А.

Тогда EЭ = Uхх =32 – 25 + 0,26913 + 1,215 = 16,55 В.

Сопротивление RЭ определяется как входное сопротивление выделенного фрагмента цепи относительно точек ab при закороченных источниках ЭДС (рис.1.7). Для этой цели преобразуем один из «треугольников» сопротивлений, например, R3 R4 R5, в эквивалентную «звезду» сопротивлений Rb, Rc, Rd (рис. 1.8):

Далее объединяем последовательно соединенные сопротивления R6, R7, Rс и R2, Rd (рис. 1.9): Rсэ = R6 + R7 + Rс = 5 + 6 = 1,778 = 12,778 Ом;

Таким образом, из эквивалентной схемы цепи на рис.1.5 найдем:

Потенциальной диаграммой называют графическое изображение распределения потенциалов различных точек цепи. Построим потенциальную диаграмму по результатам расчета цепи (рис.1.1) по методу контурных токов или узловых потенциалов. Порядок ее построения состоит в следующем.

Принимаем потенциал одной из точек цепи (например, точки d) равным нулю. Откладываем по оси абсцисс (рис.1.10) последовательно все сопротивления резисторов контура dnabmcd, двигаясь от точки d. Перемещаясь вдоль этого контура, подсчитаем потенциалы всех точек.

Пройдя сопротивление R2 и двигаясь навстречу току I2 (от меньшего потенциала к большему), попадаем в точку n, потенциал которой равен:

Потенциал точки а будет меньше n на величину ЭДС Е2:

Так как между точками n и а никакого сопротивления нет, то их абсциссы будут одинаковы. Потенциалы остальных точек определяются аналогично:

По потенциальной диаграмме можно определить напряжение между любыми точками цепи, а также токи цепи равные тангенсу угла наклона линий на диаграмме.

В любой электрической цепи согласно закону сохранения энергии, должен выполняться баланс мощностей: мощность источников электрической энергии должна быть равна мощности, потребляемой приёмниками.

Математически баланс мощностей выражается уравнением баланса мощностей: EI = I2R.

Для рассматриваемой цепи уравнение баланса мощностей примет вид:

EI = E1I1+E2I2 = 321,05 + 250,56 = 33,6+14 = 47,6 Вт;

I2R = 1,052.7 + 0,562 5 + 0,8642.8 + 0,7462 6 + 0,1862 13 + 1,612 11 = = 7,72 + 1,57 + 5,96 + 3,35 + 0,45 + 28,5 = 46,55 Вт.

Мощность некоторых источников может быть отрицательной, тогда как потребляемая мощность резисторов всегда положительна.

Выполнение баланса мощностей является критерием правильности расчета цепи. После усвоения методов расчета цепей постоянного тока приступайте к выполнению контрольной работы № 1(см. стр. 60).

Контрольные вопросы 1. Дайте определение электрической цепи.

2. Назовите типы источников электрической энергии, начертите и объясните схемы их соединения.

3. Сформулируйте основные законы электрических цепей.

4. Опишите порядок расчета разветвленной цепи по законам Кирхгофа.

5. Перечислите методы расчета разветвленных линейных электрических цепей, опишите каждый из них и укажите его достоинства и недостатки.

6. В какой последовательности строится потенциальная диаграмма?

7. Для чего производят преобразование «треугольника» сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно? Приведите формулы преобразований.

2. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Периодические токи и напряжения. Синусоидальный ток и напряжение, их мгновенное, амплитудное, действующее и среднее значения. Генераторы синусоидальной ЭДС. Основные характеристики синусоидальных токов и напряжений. Изображение синусоидальных величин с помощью векторов. Разность фаз напряжения и тока. Временные и векторные диаграммы.

Физические явления в цепях переменного тока. Явление электромагнитной индукции, самоиндукция, индуктивность. Емкостной элемент.

Резистор, индуктивная катушка и конденсатор в цепях синусоидального тока. Активное R сопротивление, реактивные сопротивления катушки XL = L и конденсатора XC = 1/C, полное и комплексное сопротивление. Активная, реактивная, полная и комплексные проводимости. Мгновенная и средняя мощности. Активная, реактивная полная и комплексные мощности.

Коэффициент мощности.

Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора.

Параллельное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Компенсация реактивной мощности.

Система линейных дифференциальных уравнений — основная математическая модель линейных цепей синусоидального тока. Изображение синусоидальных функций, их интегралов и производных с помощью показательных функций времени с комплексным показателем. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Векторные и топографические диаграммы. Баланс мощностей. Измерение активной мощности.

Применение методов расчета цепей постоянного тока в цепях синусоидального тока. Топографические векторные диаграммы.

Двухполюсники. Эквивалентные схемы пассивного двухполюсника.

Экспериментальные определения параметров двухполюсника.

Условия передачи максимальной мощности от источника к приемнику. Падение и потеря напряжения в линии переменного тока.

Индуктивно связанные цепи. Взаимная индукция. Взаимная индуктивность. Коэффициент связи. Расчет индуктивно связанных цепей. Экспериментальное определение взаимной индуктивности двух контуров и их одноименных зажимов. Трансформатор без ферромагнитного сердечника.

Схема замещения и векторная диаграмма трансформатора.

Четырехполюсники, их уравнения и коэффициенты. Определение коэффициентов четырехполюсника. Эквивалентные схемы четырехполюсника.

Основным преимуществом переменного тока является возможность довольно просто осуществлять преобразование напряжения. Это обеспечивает экономичную передачу электрической энергии на большие расстояния.

Подавляющее большинство электрических установок работает на переменном токе. Отсюда понятна важность изучения процессов, протекающих в цепях переменного тока, и методики их расчета. Это и является задачей данного раздела.

Прежде всего, рассмотрите способ получения синусоидального переменного напряжения и усвойте основные понятия: период Т, частота f, угловая частота, текущая фаза (t+), начальная фаза, угол сдвига фаз между напряжением и током = u – i.

Следует усвоить, что понимается под мгновенным значением синусоидального напряжения и тока (u, i), амплитудным (Um и Im) и действующим их значением (U и I), средним значением напряжения и тока за половину периода (Uср, Iср).

Обратите внимание на то, что большинство электроизмерительных приборов переменного тока показывает действующее значение переменного напряжения и тока.

При расчетах цепей синусоидального тока пользуются методом, основанным на представлении синусоидальных токов и напряжений комплексными числами в алгебраической (A=a+jb) и показательной (A=ej) формах.

Комплексный метод позволяет применять для расчета цепей переменного тока все методы, изучавшиеся в теории цепей постоянного тока.

В отличие от постоянного тока, сложение и вычитание переменных токов, напряжений и ЭДС может производиться графически, алгебраическим сложением синусоид или геометрическим сложением векторов, изображающих эти величины (метод векторных диаграмм), а также аналитическим сложением и вычитанием комплексных чисел.

Рассматривая цепь переменного тока, обратите внимание на различие в физическом толковании понятий активной, реактивной мощности и полной мощности. Активная мощность характеризует ту часть электрической энергии, которая преобразуется в другой вид энергии (в свет, тепло, механическую работу). Математически она определяется как среднее значение мгновенной мощности за период:

Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт).

Реактивная мощность характеризует ту часть электрической энергии, которая колеблется между источником электрической энергии и приемником, содержащим индуктивность L и емкость С. Математически она выражается следующим образом: Q = I2(XL– XC) = QL – QC = UI sin.

Реактивная мощность измеряется в варах (вар). Условились считать индуктивность приемником, а емкость — источником реактивной энергии.

Поэтому индуктивное сопротивление XL и реактивная мощность катушки QL считаются положительными, а емкостное сопротивление XC и реактивная мощность QС — отрицательными.

При изучении цепи с последовательным соединением активного R, индуктивного XL = L и емкостного XC =1/C сопротивления вводятся понятия полного сопротивления Z = R 2 + ( X L X C ) 2 и полной мощности цепи S = P2 + Q2 = I 2 Z = UI.

Полная мощность является максимальной мощностью, которую мог бы отдать источник, если бы он работал при номинальном напряжении и токе и при cos = 1. Она измеряется в вольт-амперах (В.А).

Комплексная мощность цепи определяется по формулам:

Здесь I* — комплексно сопряженный ток (если I = Ieji, то I* = Ie–ji).

В цепи с последовательным соединением элементов R, L и С возможно появление резонанса напряжений, при котором на реактивных сопротивлениях могут возникнуть опасные напряжения в результате резкого увеличения тока в цепи. Обратите внимание на условие возникновения резонанса напряжений: XL= XC.

В цепи с параллельным соединением элементов R, L и С возможно возникновение резонанса токов, условием появления которого является равенство проводимостей ветвей: BL= BC.

При исследовании цепей переменного тока вводится понятие падения напряжения как разность комплексных напряжений в начале U1 и в конце линии (U = U2 – U1) и потери напряжения как разность действующих значений этих напряжений (U = U2 – U1). Эти понятия широко применяются в курсе “Электроснабжение сельского хозяйства” и их нужно различать.

На практике широко используются индуктивно связанные цепи, которые на схемах замещения изображаются в виде индуктивно связанных катушек индуктивности. В индуктивно связанных цепях падение напряжения в каждой из катушек складывается из активного падения напряжения IR, индуктивного IXL, обусловленного ЭДС самоиндукции ЕL, и падения напряжения IXM, вызванного ЭДС взаимоиндукции ЕМ. Для определения ее знака нужно учитывать взаимное расположение катушек. При их согласном включении, когда магнитные потоки катушек совпадают, ЭДС ЕМ положительна, и она складывается с напряжением самоиндукции напряжения в каждой катушке. При встречном включении, когда направления потоков противоположны ЭДС ЕМ считается отрицательной.

2.3. Расчет цепи синусоидального тока комплексным методом Используя комплексный метод, цепи синусоидального тока можно рассчитывать так же, как и цепи постоянного тока. Но теперь вместо системы алгебраических уравнений с действительными числами надо решать систему уравнений с комплексными коэффициентами и комплексными неизвестными. Составляются эти системы на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов или узловых потенциалов. Можно использовать и все рассмотренные ранее способы преобразования схем электрических цепей.

Рассмотрим на примере схемы рис. 2.1. порядок расчета разветвленной цепи синусоидального тока.

Пусть даны ЭДС е1= 2 Е2msin(t+1); e2=Е2mcos(t–2), а также параметры цепи R1, R2, L1, L2, C.

Требуется определить мгновенные и действующие токи в ветвях, напряжения на элементах и показание ваттметра.

Для данной цепи справедливы законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:

ют собой неоднородные интегральнодифференциальные уравнения, решением которых являются неизвестные токи цепи и напряжения.

Непосредственное решение данной системы уравнений вызывает значительные трудности. Применим для расчета цепи комплексный метод.

1. Представим заданные параметры цепи в комплексной форме:

Учитывая, что e2=Е2мcos(t–2) = Е2мsin(t + /2 – 2).

Комплексные сопротивления элементов цепи:

2. Исходные уравнения по законам Кирхгофа примут следующий вид:

Если решать задачу методом контурных токов, то система уравнений для контурных токов в комплексной форме будет иметь вид:

3. Решение данной системы уравнений (например, с помощью определителей) позволяет найти комплексные токи цепи и их мгновенные значения:

Главный определитель системы:

Вспомогательные определители:

Комплексные действующие токи цепи: I1 = I11; I 2 = I 22 I11; I 3 = I 22.

4. Мгновенные значения токов в ветвях:

i1 = 2 I1 sin(щt + шi1 ); i2 = 2I1 sin(щt + шi2 ); i3 = 2 I1 sin(щt + шi3 ).

Если в момент t = 0 мгновенное значение тока i(0) > 0, то в этот момент направление тока в ветви совпадает с произвольно выбранным положительным направлением. Если же i(0) < 0, то ток в ветви в момент t = 0 направлен противоположно выбранному направлению. Изменение направления тока на противоположное равносильно умножению на (–1) его комплексного изображения или изменению его фазы на 180°.

Напряжение между любыми двумя точками цепи можно определить, образовав замкнутый контур и записав для этого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. Например, для определения напряжения U42 составим уравнение для контура 4-a-2-4:

5. Показание ваттметра при данной схеме его включенияопределяется формулой Pw=UabI3cos(Uab,I3),где Uab — действующее напряжение между точками ab, I3 — действующий ток в третьей ветви, (Uab,I3 ) — угол сдвига фаз между напряжением Uab и током I3. Показание ваттметра в данном случае равно активной мощности, потребляемой в рассматриваемой ветви схемы.

Потенциалы точек соединения элементов цепи синусоидального тока, так же как токи и напряжения, являются синусоидальными функциями времени. Поэтому их также можно изображать с помощью векторов или комплексных чисел.

Графическое изображение распределения комплексных потенциалов различных точек цепи называется топографической диаграммой. Каждая точка на диаграмме соответствует потенциалу определенной точки цепи.

Рассчитаем потенциалы точек 1-a-2-3-4-5 и построим топографическую диаграмму для рассматриваемой цепи (рис.2.1), считая известными комплексные токи в ветвях и приняв потенциал точки b b= 0. Диаграмму удобнее рассчитывать, обходя цепь против направления токов в ней. Тогда потенциалы точек будут равны:

1=b+I3(–jXC); a=1+I3R3; 2=a+I2jXL2; 3=2+I2R2; 4=a+I1R1;

5=4+I1jXL1.

При построении диаграммы в первую очередь изображаются вектора токов (рис. 2.2). Векторы, изображающие падения напряжения на резисторах R1, R2, R3, параллельны соответственно токам I1, I2, I3. Векторы, изображающие падения напряжения на индуктивных катушках L1 и L2, опережают соответственно токи I1, I2 на угол /2, а вектор падения напряжения на конденсаторе отстает от тока I3 на угол /2.

Вектора напряжений на диаграмме, имеющие двойной индекс, всегда направлены к точке, соответствующей первому индексу (напр. U53).

топографическую векторную диаграмму.

Комплексное напряжение источника и сопротивление цепи:

Z = R+ jXL jXC =3+ j10 j6 =3+ j4 =5ej53° Ом.

Определяем комплексный ток в цепи и комплексные напряжения на элементах:

Запишем мгновенные значения тока и напряжений:

u L = 28,2 sin(314t + 37°) В; uC = 16,92 sin(314t 143°) В.

Определяем мощности цепи:

P = UIcos(U I)=102cos(53°) = 12 Вт;

Q = UIsin(U I)=102sin(53°) = 16 вар.

диаграмму цепи, приняв комплексный потенциРис. 2. ал точки 0 0 = 0 (см. рис.2.4.).

Для цепи на рис.2.5, в которой u=14,1sin314t; R1= 3 Ом, XL =10 Ом, R2 = 6 Ом, ХС = 6 Ом, определить комплексные значения токов и напряжений на отдельных элементах цепи, активную, реактивную и полную мощности, Запишем напряжение источника и соR форме:

Определяем комплексные проводимости ветвей:

Y1 = 1/Z1 = 1/ 10,44e j73, 3° = 0,0958e–j73,3° = 0,0275 – j 0,0917 См, Y2 = 1/Z2 = 1/ 8,48 e–j45°= 0,1178ej45° = 0,0834 + j 0,0834 См, Y = Y1 + Y2 = 0,111 – j 0,00836= 0,1112e–j4,3° См.

I2= U Y2 = 100,1178e = 1,178e А.

После изучения данной части главы 2 приступайРис. 2. те к выполнению контрольной работы №2 (см. стр. 63).

2.5.1. Двухполюсники Двухполюсником называют часть электрической цепи любой конфигурации с двумя выделенными выводами (полюсами).

Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными. Пассивные двухполюсники не содержат источников энергии (рис.2.7).

Пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии и в цепях синусоидального тока полностью характеризуется своим комU

I ВХ Z ВХ U ВХ

П UВХ R X

Возможно и обратное преобразование по формула:

Двухполюсник можно представить эквивалентной схемой из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R и катушки с индуктивностью L (рис. 2.8а). Комплексное входное сопротивление такого двухполюсника ZВХ= R + jL = ZВХ ej, где Z ВХ = R + (щ L) = R + X L, а Комплексная входная проводимость этого же двухполюсника где G=Ycos, BL= Y sin, Y= G 2 + BL.

Поэтому двухполюсник может быть также представлен эквивалентной схемой с двумя параллельно соединенными элементами (рис. 2.8б),где Если схема двухполюсника представлена в виде последовательного соединения резистора и конденсатора (рис. 2.9а), то комплексное входное сопротивление двухполюсника ZВХ = R – jXC = ZВХ ej, где Комплексная входная проводимость двухполюсника с параллельным соединением элементов где G = Y cos(–), BC = Y sin(–), Y = G + BC.

Параметры эквивалентных схем двухполюсника могут быть определены экспериментально по результатам измерений.

На вход двухполюсника подано синусоидальное напряжение, действующее значение которого равно 100 В. Показания приборов до подключения дополнительного конденсатора Сд: I1 = 14,1 А; U = 100 В; P = 500 Вт. При подключении конденсатора показания амперметра уменьшились (I2 < I1).

Определить параметры эквивалентных схем двухполюсника.

Решение.

По показаниям приборов определяем:

полное входное сопротивление Z ВХ = = = 7,092 Ом;

активное сопротивление R = 2 Ом;

реактивное сопротивление X = Z ВХ R Ом;

модуль угла | | = arctg X/R = arctg 6,63/2,515 = 69,2.

Для определения характера реактивного сопротивления подключают конденсатор Сд Так как показания амперметра уменьшились, делаем вывод, что двухполюсник носит индуктивный характер (Х > 0, > 0).

Таким образом, определили:

ZВХ = 2,515 + j6,63 = 7,092ej69,2 Ом.

Пересчитаем параметры схемы с последовательным соединением элементов в схему с параллельным соединением элементов R и L:

YВХ = G 2 + B 2 = 0,0025 + 0,0174 = 0,141 Cм; Y = 0,05 – j0,132 См.

2.5.2. Четырехполюсники Четырехполюсником называют часть электрической цепи или электротехнические устройства, имеющие две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными (рис. 2.10).

Всего существует четыре входных четырехполюсника: I1, I2, U1, U2, связанных между собой уравнениями в той или Уравнения четырехполюсника в форме ||A|| являются основной формой уравнений для электротехнических систем с прямой передачей:

Комплексные параметры A, B, C, D называют коэффициентами четырехполюсника. Зная их, можно с помощью приведенных уравнений четырехполюсника рассчитать различные режимы работы четырехполюсника.

Коэффициенты четырехполюсника могут быть вычислены, если известна схема четырехполюсника и ее параметры, или могут быть определены экспериментально.

На основании системы уравнений четырехполюсника любая схема соединения его элементов может быть заменена эквивалентной схемой (схемой замещения) из трех элементов — Т-образной (рис. 2.11) или П-образной (рис.

2.12) схемами замещения.

Для Т-образной схемы замещения уравнения, связывающие ее параметры с коэффициентами A, B, C и D, имеют вид:

Если коэффициенты А, В, и D известны, например определены экспериментально, то можно найти значения Z1, Z2 и Z0:

Формулы для параметров П-образной схемы замещения четырехполюсника можно получить с помощью формулы преобразования трехлучевой звезды (рис. 2.11) в эквивалентный треугольник (рис. 2.12):

Выразив значения Z1, Z2 и Z0 через коэффициенты четырехполюсника, В симметричном четырехполюснике Z20 = Z10.

Даны параметры Т-образной схемы несимметричного четырехполюсника (рис. 2.13): XL = XC = R = 10 Ом.

Определить коэффициенты и записать уравнения четырехполюсника.

Определяем коэффициенты четырехполюсника:

Уравнения четырехполюсника:

замещения (рис. 5.7):

1. Дайте определение основным характеристикам синусоидальных величин: мгновенному и амплитудному значениям, периоду, частоте, угловой частоте, фазе, начальной фазе.

2. Что обозначают буквой ?

3. Что называется действующим значением синусоидального тока (напряжения)?

4. Объясните, как синусоидальные величины изобразить векторами?

5. В чем заключается комплексный метод расчета цепей синусоидального тока, каковы его преимущества?

6. Что называют активной мощностью в цепях синусоидального тока?

Чему равна активная мощность в ветви с резистором, с индуктивной катушкой, с конденсатором?

7. Что называют реактивной мощностью в цепях синусоидального тока? Чему равна реактивная мощность в ветви с резистором, с индуктивной катушкой, с конденсатором?

8. Что называют полной мощностью? Как она связана с реактивной и активной мощностью? Что называют коэффициентом мощности?

3. ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ЭДС, НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ

Причины, обусловливающие возникновение в электрических цепях несинусоидальных ЭДС и токов. Разложение периодических несинусоидальных функций в тригонометрические ряды Эйлера-Фурье. Коэффициенты Фурье и их определение. Действующее и среднее значения несинусоидального тока и напряжения. Мощности цепи несинусоидального тока. Расчет однофазных электрических цепей несинусоидального тока.

В реальных электрических цепях ЭДС и напряжение на клеммах генераторов и, следовательно, токи нагрузки в той или иной мере несинусоидальные. Многие электронные приборы в системах автоматики, в радиотехнических устройства содержат блоки, функции которых реализуются при наличии генераторов сигналов прямоугольной, пилообразной или других форм. В цепях с нелинейными элементами даже при действии синусоидальных ЭДС возникают несинусоидальные токи и напряжения.

Расчет цепей с несинусоидальными ЭДС e(t) источников проще всего производится, если эти ЭДС предварительно разложить в тригонометрический ряд Эйлера-Фурье, представляющий собой в общем случае сумму постоянной ЭДС Е0 и определенного числа n синусоидальных ЭДС с возрастающей частотой (гармоник):

Разложение ЭДС, выраженной легко интегрируемыми аналитическими функциями, в тригонометрический ряд, производится аналитически. При графическом задании ЭДС разложение ее в ряд Эйлера-Фурье целесообразно производить графоаналитическим методом.

После выражения несинусоидальных ЭДС тригонометрическими рядами, расчет цепи производится методом наложения. При этом каждый источник несинусоидальной ЭДС представляют в виде последовательного соединения источников постоянных и синусоидальных ЭДС по числу членов тригонометрического ряда (рис. 3.1).

С целью уменьшения объема вычислений обычно ограничивают число n учитываемых гармоник ряда.

При расчете токов цепи, определяемых действием ЭДС одной из гармоник, необходимо помнить, что сопротивление индуктивного элемента XL = kL тем больше, а емкостного элемента XC =1/ kC тем меньше, чем выше номер k гармоники ЭДС. Активное сопротивление токам разных гармоник принимается одинаковым.

Рассмотрим методику расчета однофазных цепей несинусоидального тока на следующем примере.

В схеме цепи на рис. 3.2. определить мгновенные и действующие значения токов цепи, напряжение на емкости, активную, реактивную и полную мощности цепи, если e = 100 + 100 2 sin (314t + 60) + 50 2 sin (942t 30) В;

R1= 10 Ом; R2=20 Ом; С = 100 мкФ; L= 0,1 Гн.

1. Определяем токи и напряжение UС при действии постоянной составляющей 2. Определяем токи и напряжение UC при действии первой гармоники ЭДС ( e(1) = 100 2 sin (314t + 60°) ).

В комплексной форме ЭДС первой гармоники E (1) = 100e j60° В.

Сопротивления ветвей на первой гармонике:

Z 1(1) = R1 + jщL = 10 + j 314 0,1 = 10 + j 31, 4 = 10 + 31,4 e I1(1) = I 2(1) + I 3(1) = 3,03e j12,23° + 2,66ej117,87° = = 3,03 cos12,33° j3,03 sin 12,33° + 2,66 cos117,87° + j 2,66 sin 117,87° = = 2,96 j 0,65 1,24 + j 2,35 = 1,72 + j1,7 = 2,42e j44,66° А.

Напряжение на емкости:

Мгновенные значения токов и напряжения на конденсаторе на первой гармонике:

Действующие значения токов и напряжения на емкости:

I1(1)= 2,42 A, I2(1) = 3,03 A, I3(1)= 2,66 A, UС(1)= 84,72 B.

2. Определяем токи и напряжение на емкости на третьей гармонике.

В комплексной форме ЭДС третьей гармоники равно Е3= 50e–j 30° B.

Сопротивления ветвей :

I 1(3) = I 2(3) + I 3(3) = 0,53e j113,94° + 2,21e j2,03° = 2,06e j15,46°.

Напряжение на емкости:

Мгновенные значения токов и напряжения на емкости:

i1(3) = 2 2,06 sin (942t 15,46°) A; i2(3) = 2 0,53 sin (942t 113,94°) A;

i3(3) = 2 2,21sin (942t 2,03°) A; u C(3) = 2 23,47 sin (942t 92,03°) В.

Действующие значения токов и напряжения uC на третьей гармонике:

I1(3)= 2,06 A; I2(3)= 0,53 A; I3(3)= 2,21 A; UC(3)= 23,47 B.

3. Определяем мгновенные значения токов и напряжения на емкости:

i1 = I10 + i1(1) + i1(3) = 10 + 2 2,42sin ( 314t + 44,66°) + 2 2,06sin ( 942t 15,46° ) A;

i2 = I 20 + i2(1) + i2(3) = 10 + 2 3,03sin ( 314t 12,33°) + 2 0,53sin ( 942t 113,94° ) A;

i3 = i3(1) + i3(3) = 2 2,66sin ( 314t + 117,87° ) + 2 2,21sin ( 942t 2,03° ) A;

uС = U С0 + uС(1) + uС(3) = 100 + 2 83,72sin ( 314t + 27,87° ) + + 2 23,47sin ( 942t 92,03° ) B.

4. Определяем действующие значения токов в ветвях и напряжения на емкости:

5. Определяем мощности цепи.

Активная мощность равна сумме активных мощностей ветвей:

P = P01+P02+P1(1)= E0I10+I220 R1+I22(1)R1+I22(3)R1+I23(1)R2+I23(3)R2 = = 102. 10+3,032. 10+0,532. 10+2,662. 20+2,212. 20= 1333,8 Вт.

Реактивная мощность равна сумме реактивных мощностей ветвей:

Q= I22(1)XL(1) + I22(3)XL(3) – I23(1)XС(1) – I23(3)XС(3), где XL(1) и XL(3) — индуктивные сопротивления, XС(1) и XС(3) — емкостные сопротивления соответственно на первой и третьей гармониках.

Тогда Q = 3,032.31,4+0,532. 94,2 –2,662. 31,85–2,212.10,62 = 31,57 вар.

Полная мощность цепи: S = EI1, где E = E 2 0 + E 21 + E 2 3 = 100 2 + 100 2 + 50 2 = 150 В·А — действующее значение несинусоидальной ЭДС.

Тогда S = 150.10,49 = 1573,5 B.А.

Контрольные вопросы 1. Как разложить в ряд Эйлера-Фурье периодическую аналитически выраженную функцию?

2. Как раскладывается в ряд Эйлера-Фурье графически заданная функция?

3. Какие особенности имеют ряды при разложении функций, кривые которых имеют какой-либо вид симметрии?

4. Укажите порядок расчета однофазной цепи с несинусоидальной ЭДС.

Симметричная трехфазная система ЭДС и ее получение. Схемы трехфазных источников. Виды трехфазных цепей и режимы их работы. Расчет трехфазных цепей при соединении нагрузки «звездой» и «треугольником» в симметричном и несимметричном режимах. Векторные топографические диаграммы. Аварийные режимы работы трехфазных цепей. Метод симметричных составляющих расчета трехфазных цепей.

Совокупность трех электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, одинаковой амплитуды, но сдвинутые по фазе друг относительно друга на 120°, называют трехфазной цепью. Каждая отдельно взятая цепь здесь называется фазой и обозначается соответственно буквами А-В-С. Причем ЭДС каждой последующей фазы отстает от предыдущей на 120°.

Трехфазные цепи синусоидального тока — наиболее распространенные системы электроснабжения. Поэтому для успешной практической деятельности инженера любой специальности необходимо знать электрические схемы трехфазных цепей и основные соотношения между электрическими величинами.

При изучении материалов по данной теме следует учитывать, что теория трехфазных цепей базируется на теории однофазных цепей синусоидального тока, однако она имеет ряд особенностей. Следует уяснить связь между фазными и линейными напряжениями симметричного трехфазного источника, связь между напряжениями источника и напряжениями на нагрузке при различных схемах ее соединения, связь между фазными и линейными токами. Обратите внимание на зависимость этих соотношений от схемы соединения фаз, параметров нагрузки и симметрии системы.

При симметричной системе фазных ЭДС источника и симметричной нагрузке, т. е. при равенстве комплексных сопротивлений фаз, действующие значения всех напряжений и токов всех фаз одинаковы, а сдвиги по фазе этих величин относительно друг друга равны 120°. Поэтому расчет токов в симметричном режиме сводится к расчету тока одной фазы, например фазы А, и производится аналогично обычной однофазной цепи синусоидального тока. Токи в фазах В и С будут по величине такими же, но сдвинутыми по фазе соответственно на –120° и –240° (или +120°).

Расчет токов в несимметричном режиме ведется для каждой фазы в отдельности. В этом случае в трех проводной цепи при соединении нагрузки звездой, а также в четырех проводной цепи с сопротивлением в нейтральном проводе возникает напряжение смещения нейтрали UnN, которое учитывается при расчете цепи.

При анализе трехфазной цепи рекомендуется строить совмещенные топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов.

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного в одну из фаз. Мощность всей цепи будет равна утроенному значению показания ваттметра. Активная мощность в несимметричной трехфазной цепи измеряется с помощью трех ваттметров, показания которых складываются.

К трехфазному источнику с линейным напряжением Uл=380 В подключена симметричная нагрузка по трех проводной схеме «звезда», сопротивления каждой фазы которой равны R= 5 Ом, X = 8.66 Ом. (рис. 4.1). Определить комплексные и мгновенные токи, показания ваттметров, активную, реактивную и полную мощность цепи.

1. Задаемся положительными направлениями токов в цепи IA, IB, IC.

2. Определим фазные и линейные комплексные напряжения источника, приняв начальную фазу напряжения uA A=0°. + Комплексные фазные напряжения источника:

UA=220 В; UВ=220е–j120°В; UС=220е+j120° В.

Комплексные линейные напряжения источника:

UАВ=380еj30° В; UВС=380е–j90° В; UСА=380еj150° В.

3. Комплексные сопротивления фаз нагрузки:

Z=R+jXL=5+j8,66=10ej60° Ом.

4. Фазные токи (комплексные и мгновенные):

ток фазы В I B = B = I A e-j120° = 22e-j180° А; iB = 2 22 sin(314t 180 ) А;

5. Построим топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов (рис.4.2.).

6. Показания ваттметров:

P1= UАC IA cos(UАC IA) = 38022cos30° = 7240 Вт;

P2= UBC IB cos(UBC IB) = 38022cos90° = 0 Вт.

7. Активная мощность цепи:

Реактивная мощность цепи:

Полная мощность цепи: S = 3UлIл = 3 380 22 =14500 В А..

Определить, как изменятся показания ваттметров, активная, реактивная и полная мощности трехфазной цепи, параметры которой заданы в предыдущем примере, если нагрузка включена по схеме «треугольник»

(рис.3.3.).

1. Задаемся положительными направлениями фазных Iab, Ibc, Ica и линейных IA, IB, IC токов.

2. Определяем фазные токи (комплексные и мгновенные):

I ca = Iabe j120 = 38e j30 e j120 = 38e j90 А; ica = 2 38sin(314t 90o) А.

3. Определяем линейные токи:

4. Строим векторную диаграмму напряжений и токов (рис.4.4.).

5. Показания ваттметров:

P1= UАС IA cos(UАС IA) = 38066cos30° = 21719 Вт;

P2= UBC IB cos(UBC IB) = 38066cos90° = 0 Вт.

6). Активная мощность цепи:

Pц = 3U л I л cos = 3 380 66 cos 60 =21719 Bт.

Реактивная мощность цепи:

Полная мощность цепи: S = 3U л I л = 3 380 66 = 43439 ВА.

Таким образом, при переключении симметричной нагрузки со «звезды» на «треугольник» все мощности цепи возрастают в три раза.

К трехфазному источнику с линейным напряжением 380 В подключена несимметричная нагрузка по схеме «треугольник» с параметрами:

Zab=10 Ом, Zbc= j10 Ом, Zca=–j10 Ом (рис.4.5). Определить фазные и линейные токи цепи. Построить топографическую диаграмму напряжений и 1. Ток в каждой фазе рассчитываем по закону Ома.

2. Определяем линейные токи как разность соответствующих фазных токов.

3. Векторная диаграмма цепи приведена на рис.4.6..

В трехфазной цепи с линейным напряжением Uл=220 В несимметричная нагрузка с параметрами Za=10 Ом, Zb=5 +j8,66 Ом, Zc= –j10 Ом подключена по трех проводной схеме «звезда» (рис.4.7). Определить токи в цепи, построить векторную диаграмму.

1. Приняв потенциал нейтральной точки N равным нулю, по методу двух узлов определим напряжение смещения нейтрали по формуле

class='zagtext'> ZA ZB ZC

2. Определяем напряжения на нагрузке в каждой фазе как разность соответствующего фазного напряжения источника и напряжения смещения нейтрали.

3. Определяем токи в цепи.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.8.

4. При наличии в данной цепи нейтрального провода (показан пунктиром на схеме цепи), сопротивление которого принимается равным нулю (ZnN = 0, YnN = ), напряжение смещения нейтрали равно нулю. Напряжения на нагрузке равны соответствующим фазным напряжениям источника и фазные токи определяются по закону Ома:

В этом случае в нейтральном проводе протекает уравновешивающий ток, равный сумме фазных токов:

InN = Ia +Ib +Ic = 12,7 + (–12,7) + (11 + j6,35) = 11 + j6,35 = 12,7ej30° A.

В случае симметричной нагрузки при наличии нейтрального провода ток в нем будет отсутствовать.

При изучении свойств высших гармоник в трехфазных цепях следует иметь в виду, что кривые ЭДС, индуктируемых в обмотках генератора, сдвинуты на треть периода и имеют одинаковую форму.

Если ЭДС фазы А k-й гармоники еА(k)= Em(k)sin(kt+k), то ЭДС этой гармоники в фазах В и С будут равны:

eA(1) eC(1) = Em(1) sin ( щt + 120° + ш1 ), т. е. на первой гармонике ЭДС трех фаз образуют симметричную систему ЭДС прямой последовательности.

На второй гармонике (k = 2) eA(2) = Em2 sin ( 2щt + ш2 ), eB(2) = Em(2) sin ( 2щt 240° + ш2 ) = Em(2) sin(2щt + +120° + ш2 ), eC(2) = Em(2) sin ( 2щt + 240° + ш2 ) = Em(2) sin ( 2щt 120° + ш2 ), т. е. гармоники в фазах образуют симметричную систему ЭДС обратной последовательности.

eA3 = Em3 sin ( 3щt + ш3 ), eB3 = EB3 sin ( 3щt 2р + ш3 ) = Em3 sin ( 3щt + ш3 ), eC3 = Em3 sin ( 3щt + 2р + ш3 ) = Em3 sin ( 3щt + ш3 ), т. е. гармоники фаз образуют симметричную систему ЭДС нулевой последовательности.

Анализируя выражения фазных ЭДС при различных значениях k, можно заметить, что при k = 3n+1, где n — любое целое число, гармоники фаз образуют симметричную систему ЭДС прямой последовательности. При k = 3n+2 гармоники образуют симметричную систему ЭДС обратной последовательности. Гармоники, кратные трем, образуют систему ЭДС нулевой последовательности.

Расчет трехфазных цепей с несинусоидальными фазными ЭДС генераторов имеет некоторые особенности, определяемые гармониками, кратными трем.

Контрольные вопросы 1. Что называется симметричной трехфазной системой ЭДС?

2. Как получить схему соединения обмоток трехфазного генератора «звездой» и «треугольником»?

3. Перечислите основные виды трехфазных цепей.

4. Какова роль нейтрального провода в трехфазной цепи?

5. Каково соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной и не в симметричной трехфазной цепи при соединении нагрузки «звездой» без нейтрального провода?

6. Каково соотношение между линейными и фазными токами в симметричной и не симметричной трехфазной цепи при соединении нагрузки «треугольником»?

7. Запишите формулу напряжения смещения нейтрали.

8. Какие гармоники содержатся в линейных напряжениях трехфазного источника, если фазные ЭДС генератора имеют первую, третью и пятую гармоники?

9. Каких гармоник нет в фазных токах генератора при соединении обмоток в треугольник, если фазные ЭДС содержат гармоники, перечисленные в п.5?

10. Какие гармоники имеются в напряжении между нейтральными точками при отсутствии нулевого провода, если фазные ЭДС источника содержат гармоники k = 1, 3, 5, 7, 9?

11. К какой последовательности относится симметричная система ЭДС, образуемая гармониками фаз при k = 13?

1. Обобщенный закон Ома и его применение для расчета цепей постоянного и синусоидального тока 2. Законы Кирхгофа и их применение.

3. Преобразование последовательно и параллельно соединенных пассивных и активных участков электрических цепей постоянного и синусоидального тока.

4. Метод преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.

5. Метод контурных токов.

6. Метод узловых потенциалов.

7. Метод двух узлов.

8. Принцип наложения и его применение.

9. Метод эквивалентного генератора.

10. Получение синусоидальной ЭДС. Основные характеристики синусоидальных функций времени: амплитуда, частота, период, начальная фаза, угол сдвига фаз.

11. Действующее и среднее значение синусоидальных величин.

12. Представление синусоидальных величин векторами и комплексными числами. Векторная диаграмма.

13. Резистор в цепи синусоидального тока. Мгновенная и активная мощность. Векторная диаграмма.

14. Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока. Мгновенная и реактивная мощность. Векторная диаграмма.

15. Конденсатор в цепи синусоидального тока. Мгновенная и реактивная мощность. Векторная диаграмма.

16. Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Уравнение второго закона Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах, закон Ома. Векторная диаграмма.

17. Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Векторная диаграмма. Активное, реактивное, полное и комплексное сопротивление, треугольник сопротивлений.

18. Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Векторная диаграмма. Мгновенная, активная, реактивная, полная и комплексная мощность, треугольник мощностей, баланс мощностей.

19. Параллельное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Расчет цепи, векторная диаграмма. Активная, реактивная, полная и комплексная проводимости цепи, треугольник проводимостей.

20. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока (на примере расчета разветвленной цепи синусоидального тока).

21. Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений. Векторная диаграмма, частотные характеристики и резонансные кривые.

22. Резонанс в электрических цепях. Резонанс токов в идеальном параллельном колебательном контуре. Векторная диаграмма, частотные характеристики и резонансные кривые.

23. Индуктивно-связанные цепи. Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек: расчет, топографическая диаграмма.

24. Индуктивно-связанные цепи. Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек: расчет, топографическая диаграмма.

25. ЭДС и напряжение взаимной индукции, сопротивление взаимной индукции, коэффициент индуктивной связи.

26. Четырехполюсники. Уравнения четырехполюсников.

27. Определение коэффициентов четырехполюсников опытным путем.

28. Схемы замещения пассивных четырехполюсников и их взаимосвязь с коэффициентами четырехполюсников.

1. Разложение периодических несинусоидальных функций времени в тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье и их определение.

2. Ряд Фурье симметричных несинусоидальных функций.

3. Величины и коэффициенты, характеризующие несинусоидальные функции времени. Мощность цепи несинусоидального тока.

4. Расчет однофазных цепей несинусоидального тока.

1. Получение трехфазной системы ЭДС. Трехфазный источник: схемы соединения, фазные и линейные напряжения, векторная и топографическая диаграмма.

2. Четырехпроводная трехфазная цепь с сопротивлением и без сопротивления в нейтральном проводе при соединении нагрузки «звездой»; расчет симметричных и несимметричных режимов, векторные диаграммы.

3. Трехпроводная трехфазная цепь при соединении нагрузки «звездой»; расчет симметричных и несимметричных режимов, векторные диаграммы.

4. Трехфазная цепь при соединении нагрузки «треугольником»; расчет симметричных и несимметричных режимов, векторные диаграммы.

5. Мощности симметричной и несимметричной трехфазной цепи.

6. Метод симметричных составляющих расчета трехфазных цепей.

7. Высшие гармоники в трехфазных цепях. Четырехпроводная трехфазная цепь с сопротивлением и без сопротивления в нейтральном проводе при соединении симметричной нагрузки «звездой»; расчет цепи.

8. Высшие гармоники в трехфазных цепях. Трехпроводная трехфазная цепь при соединении симметричной нагрузки «звездой»; расчет цепи.

9. Высшие гармоники в трехфазных цепях. Трехфазная цепь при соединении симметричной нагрузки «треугольником»; расчет цепи.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Характеристики нелинейных элементов. Статическое и дифференциальное сопротивления. Графический метод расчета цепи при последовательном, параллельном и смешанном соединении нелинейных элементов. Аналитический метод расчета нелинейных цепей. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов.

Графический метод применяется для расчета нелинейных цепей простой конфигурации. Расчет цепи с одним источником ЭДС сводится к построению вольт-амперной характеристики (ВАХ) всей цепи путем сложения в определенной последовательности (ВАХ) характеристик нелинейных элементов и нахождению тока источника, а затем токов ветвей.

При расчете цепи аналитическим методом ВАХ нелинейных элементов должны быть выражены математическими функциями. Математическое описание ВАХ нелинейных элементов называют аппроксимацией.

Токи в нелинейных цепях определяют в общем случае путем решения системы нелинейных алгебраических уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В случае аппроксимации ВАХ отрезками прямых линий решение системы уравнений упрощается, поскольку эти уравнения будут линейными алгебраическими. При аналитической аппроксимации, т.е. при выражении ВАХ нелинейного элемента одной математической функцией, система нелинейных алгебраических уравнений решается обычно одним из численных методов с помощью ЭВМ. Чтобы иметь более полное представление об особенностях расчета нелинейной цепи аналитическим методом, следует внимательно рассмотреть ниже следующий пример.

Определить токи цепи (рис. 5.1) с параметрами элементов Е = 100 В, R1 = Ом, R2 = 25 Ом. ВАХ нелинейного элемента U2 = (I3) задана в табличной форме (пять значений тока и напряжения — n = 0, 1, 2, 3, 4).

1. Составляем уравнения по законам Кирхгофа:

Подставляя значения токов I1= I2+I3 и I 2 = из 1-го и 3-го уравнеR ний во 2-е уравнение, получим: U 2. Аппроксимируем зависимость U2=(I3) функцией I3=(U2) I3=a1U2+a2U32+a3U52, где a1, a2, a3 — неизвестные коэффициенты.

Существует много методов определения коэффициентов аппроксимирующих функций. В данном примере коэффициенты а1, а2, а3 определяем методом наименьших квадратов, в соответствии с которым уравнения для расчета этих постоянных выводятся из условия: сумма квадратов расхождений () между функцией I3= a1U2+a2U23+a3U25 и табличными данными должна быть минимальной, т. е.

Беря производные от по постоянным а1, а2, а3 и приравнивая их к нулю, в итоге получим уравнения:

Подставим в эти уравнения числовые значения напряжения U2 и тока I3:

а1(102+202+302+402)+а2(104+204+304+404)+а3(106+206+306+406)=1,75. 10+ +2,70. 20+3,25. 30+3,75. 40;

а1(104+204+304+404)+а2(106+206+306+406)+а3(108+208+308+408)=1,75. 103 + +2,70. 203+3,25. 303+3,75. 403;

а1(106+206+306+406)+а2(108+208+308+408)+а3(1010+2010+3010+4010) = 1,75.105+2,70. 205+3,25. 305+3,75. 405.

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает значения коэффициентов а1, а2, а3: а1 = 0,17, а2 = –1,02. 10 – 4, а3 = 3,27. 10 – 8.

3. Подставим во второе уравнение аппроксимирующую функцию и запишем это уравнение относительно напряжения U2 в следующем виде:

Решением этого уравнения является искомое напряжение U2. Уравнения пятой и более высоких степеней обычно решают численными методами.

К таким методам относятся метод дихотомии (деление отрезка пополам), метод итераций, методы Ньютона, Рыбакова и т. д. Решив данного уравнения численным методом, найдем U2 = 31,25 В.

4.Рассчитываем токи цепи по формулам:

I2=U2/R2 = 1,26 А, I3=a1U2+a2U23+a3U25 = 3,29 А, I1=I2+I3 =4,56 А.

6. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ

МАГНИТНЫХ ПОТОКАХ

Основные характеристики магнитного поля и законы магнитных цепей. Ферромагнитные материалы и их характеристики. Электрическая схема-аналог магнитной цепи. Задачи анализа и синтеза неразветвленных магнитных цепей. Расчет разветвленных магнитных цепей.

При изучении методики расчета магнитных цепей следует особо отметить, что магнитные цепи, так же, как и электрические, подчиняются одним и тем же законам — законам Кирхгофа. При этом аналогом тока в электрической цепи является магнитной поток Ф в магнитной цепи, аналогом ЭДС является магнитно-движущая сила F = Iw. Аналогом вольт-амперной характеристики является вебер-амперная характеристика магнитопровода. Следовательно, методы расчета нелинейных электрических цепей полностью применимы к расчету магнитных цепей.

Пример 6.1 (задача синтеза).

Дана магнитная цепь (рис. 6.1) с параметрами: а =12 см, b = 16см, с = см, lв = 0,1 см, число витков обмотки w = 1000. Кривая намагничивания магнитопровода B = f(H) изображена на рис. 6.2. Определить ток, при котором индукция магнитного поля в воздушном зазоре Bв =1,5 Тл.

1. Площадь поперечного сечения магнитопровода одинакова по всему периметру и, следовательно, равна S = c2 = (4·10–2)2 = 16·10–4 м2. Поэтому по средней линии магнитопровод можно разбить на два однородных участка — участок из стали длиной lст = 2(a – c) + 2(b – c) – lв = 2(12 – 4) + +2(16 – 4) –0,1= 399·10–3м и водушный промежуток lв. Электрическая схемааналог магнитной цепи приведена на рис. 6.3.

2. По закону полного тока Hст lст + Hв lсв = Iw или Uм.ст + Uмв = F, откуда найдем:

3. По кривой намагничивания при Bст =1,5 Тл находим Hст=1800 А/м.

Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре при Bв= Bст равна:

Hв = Bв/0 = 0,8·106·1,5 = 1,2·106 А/м.

4. Магнитное напряжение в стали Uм.ст = Hстlст =1800·0,39 = 718,2 А, в воздушном зазоре Uмв = Hв lв = 1,2·106·10–3 = 1200 А.

Пример 6.2 (задача анализа). Для цепи (рис. 6.1) задан ток, протекающий по обмотке I, количество витков w, длина магнитопровода по средней линии lст, длина воздушного зазора lв и площадь поперечного сечения S. Определить магнитный поток Ф0 и магнитную индукцию B0 в воздушном зазоре.

Так как в задаче анализа магнитный поток Ф и напряженность Нk на участках цепи неизвестны, то непосредственно закон полного тока для МЦ применить нельзя. Поэтому задача анализа решается либо графоаналитически путем построения ВбАХ Ф = f (Iw) = f(F), либо одним из численных методов — методом итераций или деления отрезка пополам.

Решение графо-аналитическим методом 1. Определим предельное значение магнитного потока в данной МЦ Фмакс и соответствующее ему значение магнитной индукции Bмакс исходя из условия: Uмв = Фмакс Rмв F, откуда Фмакс = F/ Rмв = F0Sв/lв, Bмакс = Фмакс /Sв.

2. Задаемся рядом значений (пять-шесть) магнитных потоков меньших Фмакс: Ф1 < Фмакс, Ф2 < Ф1, Ф3 < Ф2,… Фn+1 < Фn и определяем соответствующие значения магнитных индукций по формуле Bj = Фj /S, (j = 1,2,3…n).

3. По кривой намагничивания B = f(H) по значениям Bj находим значения напряженностей магнитного поля Hjст. Напряженности магнитного поля в воздушном зазоре Hjв = Bj /0.

4. Для каждого значения магнитного потока Фj решаем задачу синтеза МЦ в соответствии с уравнением полного тока I j w j = H j ст l j ст + H j в l j в, т.е.

определяем (n+1) значений МДС Fj 5. По полученным данным строится ВбАХ магнитной цепи как зависимость Ф =f(F) и по заданному значению F0 определяем искомый магнитный поток Ф0 и магнитную индукцию B0 = Ф0/Sв.

Для магнитной цепи (рис.6.4) l1 = l3 = 0,2м, l2 = 0,1м, площади сечений стержней S1 = S2 = S3 = 25·10–4 м2, ток I1 = 0,8 А, число витков обмоток w1 = 100, w3 = 150.

Определить значения магнитных потоков и тока I3 при индукции магнитного поля в первом стержне B1 = 0,8 Тл. Зависимости B = f(H) (рис. 6.5) при напряженности магнитного поля Hст > 55А/м аппроксимировать отрезком прямой.

1. Изображаем электрическую схему-аналог (рис. 6.6) и записываем уравнения Кирхгофа:

= f(H) имеет вид:

B(H) = 0,8 + стержне:

Ф1 = B1S = 0,8 ·25·10–4 =20·10–4 Вб.

По кривой намагничивания при B1 = 0,8 Тл находим Hст1 =37,5 А/м.

3. Из второго уравнения найдем:

Из уравнения отрезка прямой при Hст2 = 730 А/м определяем индукцию во втором стержне B2 = 0,8 + 0,00171 ·730 = 2,048 Тл и магнитный поток Ф2 = B2S = 2,048·25·10–4 = 49,16·10–4 Вб.

4. Из первого уравнения Ф3=Ф2 – Ф1=(49,16 – 20)·10–4 =29,16·10–4 Вб.

5. Магнитная индукция B3 = Ф3/S3 = 29,16·10–4/25·10–4 = 1,166 Тл.

третьего уравнения системы уравнений определим ток I3:

Контрольные вопросы 1. Перечислите основные величины, характеризующие магнитное поле, укажите их физический смысл и единицы измерения.

2. Сформулируйте законы Кирхгофа для магнитной цепи.

3. В чем отличие задачи анализа от задачи синтеза магнитной цепи?

4. Как рассчитывается разветвленная магнитная цепь?

7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Электрические цепи с выпрямителями. Формы кривых напряжения и тока в цепях с нелинейными реактивными элементами. Расчет тока в катушке со стальным магнитопроводом. Катушка индуктивности с ферромагнитным магнитопроводом в цепях с переменной ЭДС.

В зависимости от способности рассеивать электрическую энергию в виде тепла или накапливать магнитную или электрическую энергию различают нелинейный резистивный элемент и нелинейные накопители энергии — нелинейную индуктивность и нелинейную емкость.

Характеристики резистивных нелинейных элементов задаются в виде вольт-амперных характеристик U=(i), i=(U) или в виде зависимостей Rд=(i), Rд=(U), где Rд=du/di — дифференциальное сопротивление.

Под нелинейными индуктивностями понимают катушки индуктивности, намотанные на замкнутые магнитопроводы из ферромагнитного материала, магнитный поток в которых нелинейно зависит от тока в катушках.

Наиболее общей характеристикой нелинейной индуктивности является характеристика зависимости мгновенной индукции (Bt) от мгновенной напряженности (Ht) магнитного поля, которая выражается семейством динамических петель гистерезиса. Площадь петли гистерезиса пропорциональна потере энергии, потребляемой от источника за один цикл перемагничивания ферромагнитного материала.

Нелинейный емкостный элемент — это конденсатор, между обкладками которого в качестве диэлектрика находится сегнетодиэлектрик. Характеристикой нелинейной емкости является зависимость заряда от напряжения q = f(u). Эта характеристика выражается, как и для ферромагнитных материалов, семейством гистерезисных петель qt = f(ut).

Для нелинейных цепей переменного тока справедливы нелинейные уравнения Кирхгофа в дифференциальной форме. С целью упрощения решения этих уравнений характеристики нелинейных элементов цепей аппроксимируют простыми математическими функциями или отрезками прямых.

При расчете трансформаторов, машин и других мощных электротехнических устройств, содержащих стальные магнитопроводы, следует учитывать потери в магнитопроводах и обмотках, потому что именно они определяют тепловой режим работы этих устройств. На практике при расчете таких устройств реальный магнитопровод заменяют условно-линейным элементом, в котором магнитный поток и ток принимаются синусоидальными и эквивалентными реальным потоку и току. Такой метод, основанный на замене реальных величин эквивалентными синусоидами, называется методом эквивалентных синусоид.

Определить ток в обмотке катушки индуктивности, равномерно распределенной по длине кольцевого магнитопровода (рис.7.1) при напряжении на обмотке u=Um cost. Зависимость Bt=(Ht) представлена основной кривой намагничивания (рис.7.2).

1. Принимаем поток рассеяния и сопротивление провода равными нуdш udt, где потокосцепление = Фw = BSw, w — количество витков обмотки, S — площадь сечения магнитопровода. Тогда получим равенство SwdB = udt, 2. Аппроксимируем кривую намагничивания В=(Н) функцией вида Н=а1В+а2В3. Коэффициенты а1, а2 могут быть рассчитаны по методу наименьших квадратов.

3. По закону полного тока для схемы замещения цепи (рис. 7.3) Нlср = iw, где lср — длина магнитопровода по средней линии. Ток, протекающий по обмотке:

С учетом формулы приведения sin щ = sinщ sin3щ получаем:

Таким образом, если зависимость В=(Н) аппроксимировать функцией Н=а1В+а2В3, ток будет содержать первую и третью гармоники, т.е. при синусоидальном напряжении источника ток несинусоидален.

С целью повышения точности расчета зависимость В=(Н) можно аппроксимировать функцией Н=а1В+а2В3+а3В5. В этом случае ток будет определен суммой первой, третьей и пятой гармоник.

Определить максимальное значение напряжения на вторичной обмотке трансформатора тока в режиме холостого хода при заданных параметрах магнитной цепи (рис. 7.4) и токе, протекающем по первичной обмотке.

Построить графики индукции магнитного поля в магнитопроводе B=f(t) и напряжения на вторичной обмотке u2=f(t).

При решении задачи магнитный поток рассеяния принять равным нулю.

Дано: i1=20sin314t A; lср= 0,25 м; площадь сечения магнитопровода S = 0,001 м2; w1=10; w2=500.

lср 1. Для упрощения расчета кривую зависимости B=f(H) аппроксимируем отрезками прямых линий (рис. 7.5). Значения индукции и напряженности магнитного поля, соответствующие точке насыщения магнитопровода s, примем равными: Bs=1,3 Тл; Hs = 250 А/м.

2. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

3. Решаем уравнения при –Hs H +Hs.

При изменении напряженности магнитного поля от –Hs до +Hs зависимость индукции от напряженности имеет линейный характер:

B=(Bs /Hs) H = sH =(1,3/250)H = 0,0052H Тл.

Так как H=(i w1)/lср, индукция B=(sImsint w1)/lср. При подстановке значений s, Im, w1 и lср получим: B = Bmsint = 4,16sin314t Тл.

Напряжение на вторичной обмотке:

u2 = – 0,001·500·4,16·314cos314t = – 653cos 314t B.

4. Определяем напряжение u2 при –HS H HS.

Так как зависимость B=f(H) аппроксимирована отрезками прямых линий, параллельными оси H, то индукция магнитного поля В = const. Следовательно е2 = 0 и u2 = 0. Это значит, что ЭДС индуцируются в обмотках только во время, когда –HS H+HS, и напряжение u2 имеет импульсный характер.

Длительность импульсов напряжения можно определит так:

Bs= 4,16sin314ts = 1,3 ; sin314ts = 1,3/4,16 = 0,3125;

314ts = arc sin 0,3125 = 0,3178 рад; ts = 0,3178/314 = 0,001 с.

Длительность импульсов напряжения u2 равна и = 2ts = 0,002 с., а максимальное значение напряжения U2max = 653 B.

Графики B=f(t) и u2=f(t) изображены на рис. 7.3.

Контрольные вопросы 1. Изложите основные свойства ферромагнитных материалов при переменных магнитных потоках.

2. Как учитываются реальные свойства стального магнитопровода при составлении схемы катушки индуктивности?

3. Чем определяются потери в стали? Какие способы их уменьшения существуют?

4. В чем особенность расчета магнитных цепей методом эквивалентных синусоид?

8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Возникновение переходных процессов и законы коммутации. Классический метод расчета цепей в переходных режимах. Короткое замыкание и включение RL-цепи на постоянное напряжение. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение. Короткое замыкание и включение RC-цепи на постоянное напряжение. Включение RC-цепи на синусоидальное напряжение. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов R, L, C. Расчет переходных параметров в разветвленных цепях.

Операторный метод расчета переходных процессов. Прямое и обратное преобразования Лапласа. Теорема разложения. Законы Кирхгофа в операторной форме. Определение свободных составляющих переходных напряжений и токов по их изображениям.

Переходные режимы работы электрических цепей обусловлены включением и отключением фрагментов цепей, изменением амплитуды, фазы, частоты, формы кривой ЭДС источников, параметров элементов или конфигурации цепей, т.е коммутациями в цепях. Процессы, протекающие в электрических цепях в переходных режимах, называют переходными процессами. Изменение режимов работы цепей начинается в момент коммутации.

При расчетах цепей в переходных режимах считают, что коммутации происходят мгновенно. Однако переход от одних режимов работы цепей к другим мгновенно осуществляться не может. Это связано с невозможностью мгновенного изменения энергии электромагнитного поля цепей.

Расчет переходных процессов состоит в решении дифференциальных уравнений, составленных для схемы замещения исследуемой цепи по законам Кирхгофа. В зависимости от способа решения этих уравнений различают классический, операторный, спектральный, численный методы расчета переходных процессов и др.

8.3. Классический метод расчета переходных процессов Классический метод расчета переходных процессов в электрической цепи предполагает непосредственное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, составленных по схеме цепи, и нахождение постоянных интегрирования по начальным условиям. Под начальными условиями понимают значения токов ветвей и напряжений на элементах цепи в момент коммутации.

С целью лучшего усвоения методики расчета переходных процессов классическим методом рассмотрим следующий пример.

Определить переходные токи и напряжение на емкости при обрыве провода фазы В трехфазной цепи (рис. 8.1) при следующих исходных данных:

Ra=10 Ом; Rв= 20 Ом; Rc= 20 Ом; С =100 мкФ; L= 0,2 Гн;

еА=2202 sin(314t+30°) B.

1.Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

Поскольку переходные процессы начинаются с момента коммутации в цепи (обрыв линии фазы В), уравнение составляется для схемы после коммутации (рис. 8.2).

После преобразования получим:

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения найдем как сумму его частного решения и общего решения однородного дифференциального уравнения Частное решение неоднородного дифференциального уравнения равно установившемуся значению определяемой величины (uC.у). Общее решение однородного дифференциального уравнения называют свободной составляющей искомой величины (uC.св).

Таким образом uC= uC.у+ uC.св. Аналогично iA = iC = iA.у +iA.св.

2. Определяем установившееся значение напряжения на емкости uC.у.

Так как в установившемся режиме напряжения на элементах и токи цепи синусоидальны, расчет установившихся значений iA.у и uC.у выполним комплексным методом.

I A.0 = I C.0 = A, где Zц — комплексное сопротивление цепи:

= 30 + j ( 62,8 31,85 ) = 30 + j 30,95 = 43,1e j45,89° Ом.

E A E C = 220e j30° 220e j150° = 220 ( cos30° + j sin 30° cos150° j sin150° ) = = 220 ( 0,866 + 0,5 j + 0,866 j 0,5 ) = 381,05 В Установившиеся токи:

Комплексное напряжение на емкости:

Установившееся напряжение на емкости:

3. Определяем свободные составляющие тока и напряжения на емкости. Однородное дифференциальное уравнение решается с помощью характеристического уравнения, которое составляется путем следующей замены членов однородного дифференциального уравнения:

Корни характеристического уравнения:

Подставив значения RA, RC, L, и C в формулу, получим:

Так как корни p1 и p2 — комплексные сопряженные числа, значения свободных токов и напряжение на емкости запишем в виде:

uCсв = UCmeдt sin ( щсвt + лC ) ; iAсв = iCсв = iсв = I meдt sin ( щсвt + лi ).

Здесь величины UCm, C, Im, i являются неизвестными постоянными интегрирования.

4. Для определения неизвестных постоянных интегрирования запишем эти равенства при t = 0:

uСсв(0)= UCm sinС; iсв(0) = Im sini.

Так как неизвестных в уравнениях четыре, для получения ещё двух уравнений продифференцируем данные уравнения и запишем их при t = 0:

Таким образом, постоянные интегрирования определяются путем решения четырех уравнений при условии определения значений следующих параметров в момент коммутации:

5. Определение независимых начальных условий.

В момент коммутации (t = 0) справедливы следующие выражения:

uCсв (0) = uC (0) uCу (0); iСсв (0) = iC (0) iCу (0), где Независимые начальные условия определяют по законам коммутации:

по первому закону коммутации iС(0) = iС(0 –), где iС(0 –) — значение тока фазы С непосредственно до коммутации;

по второму закону коммутации uC(0)= uC(0–), где uC(0 –) — значение напряжения на емкости непосредственно до коммутации.

Для определения напряжения uC(0) тока iС(0) предварительно определим мгновенные значения этих величин до коммутации.

Так как до коммутации токи цепи и напряжения были синусоидальными, расчет проводим комплексным методом.

Определяем напряжение смещения нейтрали:

где U A = 220e j30° B, U B = 220e j90° B, U C = 220e j150° B;

проводимости ветвей 220e j30° 0,03e j72,57° + 220e j90° 0,05 + 220e j150° 0,0152e j72,23° Токи фазы А и фазы С с учетом их направлений в схеме цепи:

Мгновенное значение тока фазы С до коммутации с учетом принятого направления тока после коммутации (iC = –iCд.к):

iС д.к.= 2 3,34sin(314t + 71,87o 180°) = 2 3,34sin(314t 108,13°) А.

Ток фазы С непосредственно до коммутации:

Напряжение на емкости:

Мгновенное значение напряжения на емкости до коммутации:

uC д.к.= 2 230,59 sin (314t + 13,3°) В; uC (0) = 2 230,59sin13,3° = 77,98 В.

Тогда свободные составляющие напряжения и тока при t = 0 будут равны:

uC св.(0) = uC(0) – uCy(0) = 77,98 – ( – 277,19) = 355,17 B;

iC св(0) = iC(0) – iCy(0) = – 4,48 – (– 8,98) = 4,5 A.

Цепь до коммутации можно рассчитать и другими известными методами, например методом контурных токов.

Для определения значений производной тока iCсв в момент коммутации предварительно определим значение напряжения на индуктивности в момент коммутации из уравнения цепи при t = 0:

Тогда производная тока iC в момент коммутации diC Определяем значения производных свободных составляющих напряжения на емкости и тока фазы С в момент коммутации.

Производная свободной составляющей тока iC в момент коммутации:

Производную свободной составляющей напряжения на емкости в момент коммутации определим из соотношения iСсв.= СduC/dt:

6.Определяем постоянные интегрирования.

Подставив в уравнения найденные значения свободных составляющих напряжения на емкости, тока фазы С и производных этих величин, получим:

355,17 = UCmsinC, 45000 = UCm(– )sin C+UCmсвсоsC;

– 2450,21 = Im(– )sin i+Imсвcosi.

Далее найдем:

Рассчитывая аналогично Im и i, получим:

i =155,84°; Im= 11 А.

7. Переходные напряжение на емкости и ток фазы С:

uC = uCу + uCсс = 49184e75t sin(210,65t + 46,23°) + 2 2816sin(314t 135,89°) В;

iC = iCу + iCсв = 11e 75t sin( 210,65t + 155,84°) + 2 8,84 sin( 314t 45,89°) А.

8.4. Операторный метод расчета переходных процессов Расчет переходных процессов операторным методом основан на представлении непрерывных или кусочно-непрерывных функций времени, имеющих ограниченный порядок возрастания и обращаемых в нуль при t < 0, функциями комплексного переменного P=s+j. Связь между функцией времени (t), называемой оригиналом, и соответствующей ей функцией комплексного переменного F(P), называемой операторным изображением функции времени, записывается так: (t) F(p).

Переход от оригинала (t) к изображению функции времени F(P) осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:

Операторное изображение, например, постоянной А (т. е. (t) = А) Операторное изображение напряжения на индуктивности где I(p) — операторное изображение тока, i(0) — ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации. Lp Этому равенству соответствует операторная схема замещения индуктивности, изоРис. 8. браженная на рис. 8.3.

Операторное изображение напряжения на емкости:

Операторная схема замещения емкости изображена на рис. 8.4.

Представление токов и напряжений на элементах цепи их операторными изображениями позволяет свести систему дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в этой цепи, к системе алгебраических уравнений, решение которой значительно проще.

Переход от изображений напряжений и токов к оригиналам осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа плексного переменного функциям времени, приводимым в математических справочниках.

В случаях, когда изображение представляет собой рациональную бражения к оригиналу осуществляется по формуле разложения:

где pк — корни уравнения N(p) = 0, N (p) — производная от полинома N(p).

При расчете переходных процессов операторным методом оригиналы токов и напряжений цепи сразу выражаются суммами установившихся и свободных токов и напряжений.

Расчет можно упростить, если установившиеся составляющие токов и напряжений определять методами расчета цепей постоянного или синусоидального тока (если ЭДС источников постоянны или синусоидальны), а операторным методом рассчитывать только свободные составляющие токов и напряжений.

В качестве примера такого подхода определим свободный ток фазы С в приведенной на рис. 8.1 трехфазной цепи, считая, что установившийся ток iСy рассчитан в предыдущем примере.

Расчет проводим в следующей последовательности.

1. Изображаем схему цепи после коммутации для расчета свободных составляющих переходных параметров (источники ЭДС еА и еС в схеме на По закону Ома в операторной форме Подставив значение заданных параметров Ra, Rc, L, C, а также найденных в предыдущем примере значений iС св.(0), UС св.(0), получим:

2. Переходим от изображения свободного тока фазы С к оригиналу по формуле разложения.

Корни уравнения N(p) =p2LC + (Ra+Rc)Cp +1 = 2·10–5 p2 + 3·10–3p + 1= по предыдущему примеру равны: p1,2=–75 ± j210,65.

Производная N(p) = 4.10–5 p +3.10–3. Тогда найдем:

= 5,51e j65,89 e(75+ j210,65)t + 5,51e j65,89 e(75 j210,65)t = 5,51 e75te j(210,65t+65,89°) + e75te j(210,65t+65,89° = = 5,51e75t[cos(210t + 65,89°) + j sin(210t + 65,89°) + + cos(210,65t + 65,89°) j sin(210t + 65,89°)] = = 2 5,51e75t cos(210,65t + 65,89°) = 11,01e75t sin(210,65t + 155,89°) A.

При расчете свободной составляющей напряжения на емкости операторным методом следует учесть, что изображение этой составляющей Контрольные вопросы 1. В каких цепях возникают переходные процессы?

2. На какие параметры распространяются законы коммутации?

3. Что называют начальными условиями?

4. Как определяются начальные условия?

5. В чем состоит классический метод расчета переходных процессов?

6. В чем состоит операторный метод расчета переходных процессов?

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Дифференциальные уравнения однородной длинной линии. Уравнения однородной длинной линии в комплексной форме и их решение. Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями. Характеристики однородной линии. Согласованная нагрузка линии. Линия без искажений. Линия без потерь. Стоячие волны. Применение линий без потерь.

Процессы, протекающие в линиях электропередач, связи, телемеханики и других электрических устройствах при низких частотах (порядка сотен Гц), рассчитываются с помощью схем замещения, представляющих собой совокупность сосредоточенных R, L и С элементов. В этом случае токи в проводах и напряжения между ними не зависят от координаты точки, в которой эти параметры определяют.

При большой протяженности линий, высокой частоте тока на их параметры оказывают влияние токи смещения и утечек, обусловленные емкостями и проводимостями изоляции проводов. Так как в действительности емкость и проводимость, а также сопротивление и индуктивность линии распределены вдоль нее, ток в проводах не одинаков в различных сечениях, а напряжение между проводами при переходе от одного участка линии к другому изменяется.

Чтобы учесть изменение тока и напряжения вдоль, линии ее рассматривают как цепь с распределенными параметрами и называют длинной линией.

При составлении схемы замещения таL0dx кой линии учитывают то, что каждый ее бесконечно малый участок dx обладает определенным сопротивлением, индуктивностью, а G0dx также емкостью и проводимостью между проводами (рис. 9.1), где R0, L0, G0, и C0 называdx ются первичные параметры линии — сопроРис. 9. тивление, индуктивность, проводимость и емкость на единицу ее длины.

При этом считают, что параметры линий равномерно распределены по ее длине. Такую линию называют однородной.

Мгновенные значения напряжения и тока однородной линии связаны дифференциальными уравнениями в частных производных:

При синусоидальном напряжении источника и установившемся режиме эти уравнения могут быть записаны в комплексной форме Решение уравнений имеет вид:

где A1 = Ae 1, A2 = A2e 2 — постоянные интегрирования, г = Z0Y0 = б + jв — коэффициент распространения, Z в = Z 0 / Y 0 = Zвejи — волновое сопротивление, x — расстояние от начала линии до текущего элемента ее длины.

Действительную () и мнимую () части комплекса называют соответственно коэффициентами ослабления и фазы.

Коэффициент характеризует ослабление волны напряжения и тока на каждом километре линии. Ослабление измеряют в белах (Б) и децибелах (дБ). Ослабление равно 1Б, если при Z2 = ZВ полная мощность на входе больше полной мощности на выходе линии в 10 раз, то есть имеет размерность 1дБ/км.

Коэффициент характеризует изменение фазы напряжения и тока на каждом километре линии и измеряется рад/км.

Мгновенные значения напряжения и тока:

Полученные уравнения позволяют определить напряжение и ток на заданном расстоянии x от начала линии и в заданный момент времени t.

Первые слагаемые правых частей уравнений представляют собой бегущие волны напряжения и тока, распространяющиеся от начала к концу линии и затухающие в направлении ех движения. Эти волны называют прямой или падающей волной. Второе слагаемое — обратная волна напряжения и тока, движущаяся от конца линии к ее началу. Таким образом, в каждой точке линии х напряжение и ток представляют собой сумму прямой и обратной волны.

Бегущую волну характеризуют фазовая скорость и длина волны. Фазовой скоростью vф называется скорость перемещения одного и того же фазового состояния. Эта скорость определяется путем дифференцирования уравнения t – x + 1 = const:

Длиной волны называется расстояние между двумя точками линии, в которых фазы колебания отличаются на 2.

Тогда для прямой волны справедливо равенство При заданных значениях напряжения и тока в начале линииU1 и I1 постоянные интегрирования A1 и A2 в уравнениях длинной линии определяются по формулам:

При заданных напряжении U2 и токе I2 в конце линии уравнения линии записываются в следующем виде:

где А3=А1е–y, A4 =A2 ey — постоянные интегрирования, y = l – x — расстояние от конца до текущего элемента линии. Постоянные интегрирования определяют по формулам:

Слагаемые в правых частях уравнений также можно рассматривать как комплексные значения бегущих волн.

Если А4 = 0, то обратной волны не будет. Вся энергия, переносимая прямой электромагнитной волной, будет передаваться приемнику. Это возможно при сопротивлении нагрузки Z2, равном волновому (Z2 = ZВ). Такую нагрузку называют согласованной. При согласованной нагрузке входное сопротивление линии Z вx = 1 = 2 = = Z 2 = Z В = Z Вe jи, Сигналы связи и автоматики, передаваемые по линиям, представляют совокупность множества различных частот (ряд Фурье). Так как коэффициенты ослабления и фазы в общем случае зависят от частоты, передаваемые по линиям сигналы претерпевают амплитудные и фазовые искажения. Для того чтобы линия была не искажающей, коэффициент ослабления и фазовая скорость не должны зависеть от частоты. Это имеет место при R0/L0=G0/C0.

циент фазы в = щ L0C0 — прямо пропорционален частоте. Формs сигналов в конце и в начале линии будут идентичны.

Если в линии на достаточно высоких частотах L0>>R0, a C0>>G0, то можно принять R0 = 0 G0 = 0. Такую линию называют линией без потерь. В этом случае Волновое сопротивление линии активное:

Таким образом, линия без потерь является и линией без искажений.

Трехфазная линия передачи электроэнергии длиной l = 900 км работает при линейном напряжении Uл = 400 кВ и частоте = 50Гц.

Первичные параметры линии: R0 = 0,08 Ом/км, L0=1,336.10–3 Гн/км, С0=8,6.10–9 Ф/км. Потери мощности в изоляции Р0 = 2000 Вт/км. Определить параметры G0, Z0, Y0, ZВ, длину волны и фазовую скорость vф.

Из формулы Р0=Uф2 G0 находим проводимость:

Комплексные сопротивление и проводимость на 1 км длины линии:

Y0 = G0 + jL0 = 3,75·10–8 + j314·8,6·10–9 = 2,7·10–6 ej90 См/км.

Вторичные параметры линии:

волновое сопротивление Z В = Z 0 /Y 0 = (0,427ej79 )/(2,7106ej90 ) = 397e j5 Ом;

коэффициент распространения коэффициент ослабления = 0,87. 10–3 дБ/км;

коэффициент фазы = 1,068. 10–3 рад/км;

длина волны = 2/=2/1,068. 10–3=5880 км;

фазовая скорость vф = =5880. 50=294000 км/с Линия длиной l = 5км с первичными параметрами R0 = 990 Ом/км, G0 = 0,057. 10–3 См/км подключена к источнику постоянного тока (=0). Определить напряжение U1 и ток I1 в начале линии, если к ней подключен приемник с сопротивлением R2= 400 Ом, по которому протекает ток I2=0,5A.

Находим волновое сопротивление для постоянного тока:

Коэффициент распространения:

г = R0G0 = = 99 0,557 103 = 0,0743 км–1, = 0, l = 0,371.

U2= I2R2= 0,5.400 = 200 B.

Уравнение линии при y = l примут вид:

где A3 = ( U2 + I2ZВ) = (200 + 0,5·1330) = 432,5; A4 = ( U2 – I2ZВ) = 232,5.

Следовательно, U1= 432,5·1,449 + 232,5·0,691 = 787 В, I1= 0,471 – 0,121 = 0,35 A.

Контрольные вопросы 1. Какие величины называют первичными и вторичными параметрами однородной линии?

2. Что характеризует коэффициент распространения?

3. При каком условии нагрузку линии называют согласованной?

4. При каком условии линию называют линией без искажений?

5. В каких режимах в линии без потерь возникают стоячие волны?

1. Нелинейные элементы в цепях постоянного тока и их основные характеристики. Статическое и дифференциальное сопротивление.

2. Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока при последовательном, параллельном и смешанном соединении элементов.

3. Методы аналитической аппроксимации нелинейных характеристик.

4. Нелинейные элементы в цепях переменного тока и их основные характеристики.

5. Расчет тока в цепи с диодами.

6. Основные величины, характеризующие магнитное поле. Законы магнитной цепи.

7. Аналогия между магнитной и электрической цепью. Эквивалентные схемы замещения магнитной цепи.

8. Расчет неразветвленных магнитных цепей (прямая и обратная задачи).

9. Расчет разветвленных магнитных цепей (на примере магнитопровода с тремя стержнями).

10. Расчет тока в идеальной катушке индуктивности с нелинейной вебер-амперной характеристикой.

11. Расчет тока в реальной катушке индуктивности с нелинейной вебер-амперной характеристикой с учетом потерь в стали.

Переходные процессы в электрических цепях 1. Возникновение переходных процессов. Законы коммутации. Начальные условия.

2. Классический метод расчета переходного процесса при включении цепи R,L на постоянное напряжение.

3. Классический метод расчета переходного процесса при включении цепи R,L на синусоидальное напряжение.

4. Классический метод расчета переходного процесса при коротком замыкании цепи R, L.

16. Классический метод расчета переходного процесса при включении цепи R, С на постоянное напряжение.

5. Классический метод расчета переходного процесса при включении цепи R, С на синусоидальное напряжение.

18. Классический метод расчета переходного процесса при коротком замыкании цепи R, С.

6. Апериодический процесс разряда конденсатора емкостью С на цепь R, L.

7. Предельный случай апериодического процесса разряда конденсатора емкостью С на цепь R, L.

8. Колебательный процесс при разряде конденсатора емкостью С на цепь R, L.

9. Классический метод расчета переходного процесса в разветвленных цепях.

10. Операторный метод расчета переходных процессов.

11. Операторный метод расчета переходных процессов. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

12. Операторный метод расчета переходных процессов: переход от изображений токов и напряжений к оригиналам.

13. Операторный метод расчета переходных процессов: изображение напряжения на конденсаторе и тока через катушку индуктивности.

14. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях.

1. Дифференциальные уравнения однородных длинных линий.

2. Первичные U2 и вторичные параметры длинной линии, их взаимосвязь и единицы измерения.

Pages:     |

1

| 2 |