«А.А.Афоненко, В.К.Кононенко, И.С.Манак ТЕОРИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ЛАЗЕРОВ Учебное пособие по спецкурсу для студентов специальностей Радиофизика и Физическая электроника Минск 1995 УДК 621.373.862 Рецензенты: член-кор. ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.А.Афоненко, В.К.Кононенко, И.С.Манак

ТЕОРИЯ

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ЛАЗЕРОВ

Учебное пособие

по спецкурсу для студентов специальностей

"Радиофизика" и Физическая электроника"

Минск 1995 УДК 621.373.862 Рецензенты: член-кор. АНБ, доктор физ.-мат. наук, профессор В.П.Грибковский, кафедра лазерной физики и спектроскопии Гродненского госуниверситета им. Я.Купалы (зав. кафедрой профессор С.С.Ануфрик) Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционно-издательским Советом Белгосуниверситета Афоненко А.А., Кононенко В.К., Манак И.С. ТЕОРИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ЛАЗЕРОВ: Учебное пособие по спецкурсу для студентов специальностей "Радиофизика"и "Физическая электроника". —Мн.: Белгосуниверситет, 1995. — 108с.

В учебном пособии рассмотрены вопросы динамики инжекционных лазеров и физики квантоворазмерных лазерных гетероструктур.

Пособие будет полезно студентам при выполнении ими учебно- и научно-исследовательских, курсовых и дипломных работ, а также аспирантам и научным работникам.

ISBN 985-6144-25- c А.А.Афоненко, В.К.Кононенко, И.С.Манак, Список основных обозначений вероятность оптического перехода без правила отбора A коэффициент Эйнштейна Acv векторный потенциал электромагнитного поля A боровский радиус примеси a удельный коэффициент усиления, вклад спонтанной рекомбинации в лазерную моду скорость света в вакууме c толщина барьерного слоя D коэффициент диффузии электронов De коэффициент диффузии дырок Dh амбиполярный коэффициент диффузии Damb ширина активной области, квантовой ямы d 1 длительность первого релаксационного пичка излучения энергия E напряженность электрического поля E энергия дна зоны проводимости Ec энергия потолка валентной зоны Ev ширина запрещенной зоны Eg элементарный заряд e 0 электрическая постоянная диэлектрическая постоянная инжекционная эффективность квантовый выход люминесценции квазиуровень Ферми для электронов Fe квазиуровень Ферми для дырок электростатический потенциал коэффициент модового усиления фактор оптического ограничения постоянная Планка постоянная Дирака (h/2) плотность тока накачки плотность нулевого тока плотность электронного тока плотность дырочного тока плотность тока инверсии jinv плотность порогового тока jth коэффициент усиления коэффициент поглощения света Kabs постоянная Больцмана волновой вектор электрона обратная глубина проникновения волновой функции в барьерный слой n коэффициент потерь излучения длина волны излучения |Mcv |2 квадрат матричного элемента зона-зонных переходов эффективная масса электрона эффективная масса тяжелых и легких дырок (i = h, l) приведенная эффективная масса (i = h, l) подвижность электронов концентрация акцепторов концентрация доноров эффективная плотность состояний в зоне проводимости эффективная плотность состояний в валентной зоне (i = h, l) приведенная эффективная плотность состояний концентрация электронов инверсная концентрация носителей заряда показатель преломления пороговая концентрация носителей заряда единичный вектор поляризации излучения скорость спонтанной рекомбинации r1, r2 коэффициенты отражения зеркал резонатора rsp ( w) скорость спонтанных переходов радиус-вектор (координаты точки x, y, z) коэффициент внутренних оптических потерь (E) плотность мод электромагнитного поля в кристалле c (E) плотность состояний электронов в зоне проводимости vi (E) плотность состояний тяжелых и легких дырок в валентной зоне амплитуда первого релаксационного пичка излучения Smax плотность фотонов насыщения Ssat стационарная плотность фотонов время задержки лазерного излучения время жизни неравновесных носителей заряда r постоянная затухания релаксационных пульсаций лазерного излучения 1/2 () интеграл Ферми с индексом 1/ 1/2 () интеграл Ферми с индексом 1/ высота потенциального барьера периодическая часть блоховской функции u(r) плотность энергии электромагнитной волны объем полупроводника объем элементарной ячейки групповая скорость света в кристалле ширина активной области циклическая частота волны, толщина квантовой проволоки циклическая частота релаксационных пульсаций лазерного изwr fi вероятность вынужденного перехода электрона из состояния i в зоне проводимости в состояние f в валентной зоне sp f i вероятность спонтанного перехода электрона из состояния i в зоне проводимости в состояние f в валентной зоне

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс "Теория полупроводниковых лазеров"является заключительным в цикле специальных курсов по полупроводниковым лазерам, читаемых студентам специализации "Квантовая радиофизика и лазерные системы"по специальностям "Радиофизика"и "Физическая электроника". Этот цикл включает в себя, кроме названного, следующие спецкурсы: "Полупроводниковые излучающие структуры", "Статистика равновесных и неравновесных состояний в полупроводниках", "Физика полупроводниковых лазеров", "Системы полупроводниковой квантовой электроники"и "Специальные вопросы полупроводниковой квантовой электроники". По ряду курсов к настоящему времени изданы учебно-методические пособия, по физике полупроводниковых лазеров аналогичное пособие будет подготовлено в текущем учебном году.

Учебное пособие написано на основе новейших результатов по физике квантоворазмерных лазеров, в том числе и работ, выполненных авторами. В нем рассмотрены следующие вопросы: основные квантоворазмерные эффекты, уровни энергии подзон, спектры усиления и люминесценции, частота и порог генерации, оптимизация структуры квантоворазмерных лазеров, новые типы квантоворазмерных лазеров (лазеры с вертикальным резонатором, лазеры видимого диапазона на соединениях AII BV I, лазеры на n i p i-структуре и с асимметричной гетероструктурой).

Детально рассмотрены также вопросы динамики генерации инжекционных лазеров, где основное внимание уделено рассмотрению возможностей генерирования этими лазерами импульсов максимальной амплитуды и предельно короткой длительности. Последовательно рассмотрена динамика излучения одномодовых инжекционных лазеров в режиме свободной генерации, инжекционных лазеров с модуляцией добротности резонатора (лазер с насыщающимся поглотителем в резонаторе и с неоднородным возбуждением), многомодовых лазеров и лазеров на асимметричной квантоворазмерной гетероструктуре.

1. ДИНАМИКА ГЕНЕРАЦИИ ИНЖЕКЦИОННЫХ ЛАЗЕРОВ

При решении ряда задач необходимо использовать удобные в эксплуатации источники оптических импульсов предельно малой длительности с высокой частотой следования, хорошей воспроизводимостью формы и жесткой привязкой к синхронизирующему сигналу. Наиболее просто излучатель такого типа может быть реализован на основе инжекционных лазеров. Применение инжекционных лазеров — уникальных изделий квантовой электроники — опирается на следующие важные с практической точки зрения достоинства этих приборов: экономичность, обеспечиваемая высокой эффективностью преобразования подводимой энергии в когерентное излучение; малая инерционность, обусловленная короткими характеристическими временами установления режима генерации (0.1 нс); простота устройства и компактность; легко достигаемая перестройка длины волны генерируемого излучения.

Идея получения когерентного излучения в вырожденном p nпереходе впервые была выдвинута сотрудниками Физического института им. П.Н.Лебедева АН СССР Н.Г.Басовым, О.Н.Крохиным и Ю.М.Поповым (1961). Вынужденное испускание в GaAs получили в – 63 гг. независимо несколько групп исследователей в СССР и США под руководством Н.Г.Басова, Р.Н.Холла, М.И.Натана и Т.М.Квиста. За фундаментальные исследования, приведшие к созданию полупроводниковых лазеров, большой группе советских ученых — Б.М.Вулу, Д.Н.Наследову, С.М.Рывкину, А.П.Шотову, А.Н.Крохину, Ю.М.Попову, А.А.Рогачеву, Б.В.Царенкову — была присуждена Ленинская премия 1964 г. Гетеролазеры были созданы в 1968 г. Ж.И.Алферовым и его сотрудниками из ФТИ им.А.Ф.Иоффе. Группа ученых — Ж.И.Алферов, В.М.Андреев, Д.З.Гарбузов, В.И.Корольков, Д.Н.Третьяков и В.И.Швейкин (Москва) — за разработку полупроводниковых гетеропереходов и приборов на их основе удостоена Ленинской премии 1972 г.

Высокая скорость переходных процессов, присущая динамическим явлениям в инжекционных лазерах, определяется малыми значениями времени жизни неравновесных носителей заряда и протекает с характерными временами порядка 1 нс. Управление этими процессами открывает интересные перспективы в широкополосной технике передачи, обработки и хранения информации и других областях применения.

Для оптимизации параметров одномодовых лазеров необходимо комплексное исследование их характеристик. Важное место при решении многих прикладных задач занимают сведения о полупроводниковых излучателях на одномодовых гетеролазерах, ориентированные на исследование особенностей установления режима стационарной генерации в них, выяснение условий формирования предельно коротких оптических сигналов.

Для сложной динамики излучения инжекционных лазеров характерны следующие явления: жесткое самовозбуждение; гистерезис ватт-амперной характеристики; автомодуляция интенсивности излучения; генерирование одиночных импульсов когерентного излучения с временами нарастания и затухания не более 0.1 нс; испускание регулярной последовательности коротких импульсов излучения при синхронизации жесткого возбуждения лазера малым по величине периодическим сигналом; самосинхронизация продольных мод; конкуренция типов колебаний.

1.1. Спектральные свойства полупроводниковых кристаллов Плотность квантовых состояний электронов в зоне проводимости в приближении изотропного параболического закона дисперсии записывается в виде Здесь E – энергия электронов, Ec0 – энергия дна зоны проводимости, ke – волновой вектор электрона, mc – эффективная масса электрона, d 3 ke dkex dkey dkez. Множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.

Интегрирование (1.1) по всем энергиям электронов с учетом заполнения квантовых состояний в приближении квазиравновесия дает для полной плотности электронов значение Здесь – функция Ферми-Дирака для электронов, Fe – квазиуровень Ферми для электронов, T – температура, k – постоянная Больцмана, – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, – интеграл Ферми с индексом 1/2.

Рассматривая подзоны легких и тяжелых дырок в валентной зоне, получаем аналогичные выражения для плотности квантовых состояний:

где индекс i = h, l относится к тяжелым и легким дыркам, Ev0 – энергия потолка валентной зоны. Плотность дырок p записывается в виде Здесь – функция Ферми-Дирака для дырок, Fh – квазиуровень Ферми для дырок, – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Взаимодействие электрона с электромагнитным полем описывается оператором Здесь A – векторный потенциал электромагнитного поля, p – оператор импульса. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в полупроводнике: E = Em sin(wt k p r), где Em – амплитуда, k p – волновой вектор, – единичный вектор поляризации излучения, r – радиусвектор, задающий координаты. Тогда имеет место следующее соотношение:

A = (c/w)Em cos(wt k p r). Согласно "золотому"правилу Ферми, вероятность перехода электрона из состояния i в зоне проводимости в состояние f в валентной зоне в единицу времени f i под действием периодического возмущения V eiwt равна где Ei и E f – энергии состояний зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Представляя векторный потенциал электромагнитного поля как получаем Вероятность обратных i f переходов из валентной зоны в зону проводимости отличается знаком перед w в дельта-функции.

1.1.1. Модель с выполнением правила отбора по волновому вектору Используя блоховское представление волновых функций где функция u(r) нормирована на 1 в объеме элементарной ячейки V0, V – объем полупроводника, преобразуем матричный элемент в (1.7):

Здесь |Mcv |2 = 3 |pcv |2 – усредненный квадрат матричного элемента зоназонных переходов. Для активного слоя из GaAs — типичного соединения AIII BV, значение |pcv |2 приблизительно рассчитывается как где Eg = Ec0 Ev0 – ширина запрещенной зоны, m0 – масса электрона. Ввиду малости величины волнового вектора фотона k p по сравнению с вектором обратной решетки и со средними значениями волновых векторов электронов ke и дырок kh, вероятность переходов практически отлична от нуля только в случае ke = kh, т.е. выполняется правило отбора по волновому вектору.

Интегрирование (1.7) по всем состояниям зоны проводимости и валентной зоны c учетом сохранения спина для полной вероятности переходов дает mri = mc + mvi — приведенная эффективная масса, Так как плотность энергии плоской электромагнитной волны где 0 – электрическая постоянная вакуума, – относительная диэлектрическая постоянная, то с помощью (1.10) можно найти коэффициент усиления K:

Здесь v – групповая скорость света в кристалле. Используя коэффициент Эйнштейна и плотность мод электромагнитного поля в кристалле получаем окончательное выражение для коэффициента усиления K [1]:

На рис.1.1а показана зависимость коэффициента усиления K от энергии световых квантов w при различных уровнях возбуждения активной области, определяемых разностью квазиуровней Ферми для электронов Fe и Рис. 1.1. Спектр усиления K( w) в компенсированном GaAs при различных уровнях возбуждения (а). Зависимость длины волны излучения в максимуме коэффициента усиления от концентрации неосновных носителей при различных степенях легирования (б). Na – концентрация акцепторов, Nd – концентрация доноров в активной области, n + Na = p + Nd.

дырок Fh. При выполнении равенства w = Fe Fh коэффициент усиления равен нулю. Длина волны = 2c/w, на которой коэффициент усиления имеет максимальное значение, уменьшается с увеличением уровня возбуждения (рис.1.1б). На фиксированной длине волны излучения коэффициент усиления испытывает насыщение, т.е. его рост с увеличением концентрации носителей n замедляется (рис.1.2а). Учет этого эффекта необходим при рассмотрении динамики генерации в сложных лазерных системах, например, в двухсекционном диоде. Зависимость усиления в максимуме спектра от концентрации носителей близка к линейной (рис.1.2б).

Как известно, между вероятностями спонтанных и вынужденных переходов существует связь Выражая число фотонов в моде как N p = Vu и интегрируя (1.12) по всем состояниям зоны проводимости и валентной зоны с учетом их заполнения, а также по всем состояниям фотонов, находим скорость спонтанных переходов На рис.1.3а приведены спектры спонтанного испускания при различных уровнях возбуждения. Чтобы получить скорость спонтанной рекомбинации Rsp, необходимо проинтегрировать (1.13) по всем энергиям испускаа) (б) Рис. 1.2. Зависимость коэффициента усиления в компенсированном GaAs от концентрации носителей на различных длинах волн (а). Жирной линией показана огибающая максимального усиления. Зависимость коэффициента усиления в максимуме спектра от концентрации неосновных носителей при различных степенях легирования (б).

Рис. 1.3. Спектр спонтанного испускания rsp при различных уровнях возбуждения в компенсированном GaAs (а). Зависимость скорости спонтанной рекомбинации Rsp от концентрации неосновных носителей (б).

емых фотонов (рис.1.3б). В случае больцмановского распределения носителей заряда в зонах получаем где – приведенная эффективная плотность состояний. Если распределение носителей в одной из зон вырожденное, то выражение для Rsp также упрощается. Приближенно для n-типа имеем Rsp = Acv p, а для p-типа имеем Rsp = 2Acv n.

1.1.2. Модель без выполнения правила отбора по волновому вектору Данное приближение используется для расчета спектров усиления и испускания в полупроводниках, содержащем примеси [2]. Полагается, что волновые функции одной из зон соответствуют волновым функциям приV0 er/a0 u(r), где a – боровмесных атомов в виде sорбиталей: = ский радиус примеси, а волновые функции другой зоны остаются невозмущенными и описываются (1.8). Тогда квадрат матричного элемента в (1.7) принимает вид Как видно, вероятность перехода практически одинакова для любой пары Рис. 1.4. Спектр усиления K( w) в модели без правила отбора по волновому вектору в компенсированном GaAs при различных уровнях возбуждения (а). Зависимость длины волны излучения в максимуме коэффициента усиления от концентрации неосновных носителей при различных степенях легирования (б). Na – концентрация акцепторов, Nd – концентрация доноров в активной области.

нии невозмущенной плотности состояний в обеих зонах получаем следующее выражение для коэффициента усиления в модели без правила отбора по волновому вектору (рис.1.4 и 1.5):

где A = 32a3 · Acv – вероятность оптического перехода без правила отбора.

Соответственно, скорость спонтанных переходов имеет вид Интегрируя (1.17) по энергиям испускаемых фотонов, получаем скорость спонтанной рекомбинации (рис.1.6) Рис. 1.5. Зависимость коэффициента усиления в модели без правила отбора по волновому вектору в компенсированном GaAs от концентрации носителей на различных длинах волн (а). Жирной линией показана огибающая максимального усиления. Зависимость коэффициента усиления в максимуме спектра от концентрации неосновных носителей при различных степенях легирования (б).

Рис. 1.6. Спектр спонтанного испускания rsp в модели без правила отбора по волновому вектору при различных уровнях возбуждения в компенсированном GaAs (а). Зависимость скорости спонтанной рекомбинации Rsp от концентрации носителей (б).

Таким образом, большая концентрация легирующих примесей, при которой становится справедливо приближение оптических переходов без правила отбора по волновому вектору, изменяет форму спектральных полос усиления и спонтанного испускания. Это наиболее заметно проявляется на длинноволновом крае спектральных полос и при достаточно низких температурах. В описанной выше оптической модели активной области инжекционных гетеролазеров не учитывается влияние легирования на энергетический спектр носителей. Здесь и далее расчеты проведены с использованием следующих значений параметров GaAs: mc = 0.067me, mvh = 0.62me, mvl = 0.074me, Eg = 1.424 эВ, nr = 3.59, T = 300 K, a0 = 1.7 нм.

1.2.1. Зонные диаграммы лазерных гетероструктур Полупроводниковый гетеролазер представляет собой структуру, активной областью в которой служит слой с шириной запрещенной зоны меньшей, чем ширина запрещенной зоны эмиттерных слоев. Из-за очень малых времен термализации носителей расчет электрофизических параметров лазерных гетороструктур целесообразно проводить в предположении квазиравновесия в зонах. Уравнение Пуассона для электростатического потенциала имеет вид где z - координата вдоль оси, перпендикулярной плоскости активного слоя, n и p - концентрации электронов и дырок, Na и Nd - концентрации ионизованных акцепторов и доноров, - диэлектрическая постоянная. Наличие заряженных областей видоизменяет профиль зон. Между электростатическим потенциалом и энергией Ec и Ev краев зон существует связь Здесь выбор константы C произволен. В системе GaAs – Alx Ga1x As энергетический профиль зоны проводимости и валентной зоны в зависимости от молярного состава Al можно определить в линейном приближении как Уравнения непрерывности для плотностей электронного je и дырочного jh токов имеют вид [3] где R - скорость рекомбинации, Fe и Fh - квазиуровни Ферми для электронов и дырок, µe и µh - подвижности электронов и дырок. Для GaAs µe = 8500 см2 /В·с и µh = 400 см2 /В·с. Энергетические диаграммы гетероструктур на рис.1.7 получены в результате совместного решения уравнений (1.19)-(1.23).

1.2.2. Волноводные свойства гетероструктур При распространении в активной области излучение частично выходит за ее пределы. Поэтому усиление моды в целом снижается и становится равным K, где – фактор оптического ограничения, определяющий долю излучения, распространяющегося в активной области. Различают оптическое ограничение в плоскости активного слоя и оптическое ограничение в направлении, перпендикулярном плоскости активного слоя. Последнее создается благодаря скачку показателя преломления nr на границе слоев, имеющих разные значения ширин запрещенной зоны.

Нормированное распределение плотности электромагнитного излучения по координате, перпендикулярной плоскости активного слоя, приведено на рис.1.8. Для симметричного трехслойного плоского диэлектрического волновода фактор для четных TE-мод рассчитывается следующим образом:

где k0 = wnr0 kx и k1 = kx wnr1 – z-проекция волнового вектора в активом слое и обкладках, соответственно, kx – составляющая волнового вектора в направлении распространения волны, nr0 и nr1 – показатели преломления активного слоя и обкладок, c – скорость света в вакууме. Из условия непрерывности напряженности электромагнитного поля и ее первой производной на границе слоев следует связь между z-проекциями волнового вектора:

Интегрирование в (1.24) приводит к следующему выражению для фактора Рис. 1.7. Зонные диаграммы полупроводникового гетеролазера на основе системы Al0.5 Ga0.5 As GaAs Al0.5 Ga0.5 As в условиях термодинамического равновесия и при прямом смещении 1.45 В: (а) - активный слой не легирован, (б) - p-легированный активный слой (в) - n-легированный активный слой.

Рис. 1.8. Профиль показателя преломления nr и нормированное распределение плотности электромагнитного излучения по координате, перпендикулярной плоскости активного слоя. Фактор оптического ограничения основной моды = 0.69.

оптического ограничения:

1.2.3. Скоростные уравнения При описании процессов, происходящих в активной среде полупроводникового лазера в присутствии генерируемого оптического излучения, следует принимать во внимание два основных эффекта: усиление электромагнитного поля в результате вынужденных переходов, т.е. за счет энергии, накопленной в инвертированной активной среде; обратное влияние, оказываемое усиливаемым светом на активную среду, т.е., на уровень населенностей зон. Взаимное влияние этих двух эффектов достаточно сложное. Обычно процессы, происходящие в полупроводниковых лазерах, описываются с помощью скоростных уравнений [4, 5].

Рассмотрим процессы, происходящие при прохождении оптического потока через активную область в полупроводниковом кристалле. По мере распространения в поглощающей среде вдоль координаты x плотность оптической радиации u изменяется согласно закону Бугера:

где Kabs – коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения зависит от частоты излучения. При пропускании тока через диод Kabs для некоторого диапазона частот становится отрицательным. Это означает, что вместо поглощения света наблюдается усиление. При некотором уровне возбуждения максимальное усиление моды K становится равным суммарному коэффициенту потерь n, и начинается генерация. Оптическая волна распространяется со скоростью v, поэтому в уравнении (1.27) можно заменить производную по координате на производную по времени, используя соотношение dx = vdt. С учетом этого соотношения уравнение для плотности электромагнитного поля в резонаторе примет вид Полагаем, что все фотоны в резонаторе имеют одинаковую энергию w (одномодовое приближение). Тогда от плотности энергии электромагнитного поля можно перейти к плотности фотонов S = u :

Рассмотрим далее кинетическое уравнение для концентрации неравновесных носителей заряда n. Для гетеролазеров с хорошей степенью точности можно считать, что концентрация n постоянна по всей активной области и инжектированные носители рекомбинируют в активном слое толщиной d.

Тогда где j – плотность тока накачки, e – элементарный заряд, R – скорость спонтанной рекомбинации.

Зависимость максимального коэффициента усиления от концентрации неравновесных носителей, как видно из рис.1.2б, приближенно описывается линейной зависимостью:

где g и n0 – параметры линейной аппроксимации. Здесь пренебрегается слабым эффектом стабилизации коэффициента усиления с ростом концентрации носителей n.

Скорость межзонных переходов в основном определяется излучательной рекомбинацией. Зависимость суммарной скорости излучательной рекомбинации от концентрации неравновесных носителей (рис.1.3б) может Рис. 1.9. Временные зависимости плотности носителей заряда (а) и фотонов (б) при подаче прямоугольной ступеньки тока накачки: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.46 1018 см3, g = 2.2 1016 см2, = 0.001, j = 2.5 кА/см2, jth = 1.04 кА/см2.

быть приближенно представлена в виде где – время жизни неравновесных носителей заряда. С учетом, что часть от спонтанной рекомбинации вносит вклад в лазерную моду, окончательная система скоростных уравнений может быть записана следующим образом:

1.2.4. Анализ переходных процессов Результаты численного интегрирования системы уравнений (1.33) и (1.34) методом Шихмана (прил.A.1.) при ступенчатом включении тока накачки представлены на рис.1.9. Как видно, установление режима стационарной генерации сопровождается переходным процессом.

Дальнейший анализ удобно проводить в пренебрежении вкладом спонтанной рекомбинации в лазерную моду. В условиях стационарной генерации коэффициент усиления равен коэффициенту потерь. Тогда, вводя плотность порогового тока jth = ed n0 + n, для стационарной плотности генерируg емых фотонов Sst получаем Рис. 1.10. Зависимость постоянной времени затухания начальных пичков r (а) и частоты релаксационных пульсаций r = wr /2 (б) от плотности тока накачки j при различных коэффициентах потерь n. Сплошной линией даны величины, получающиеся при численном интегрировании скоростных уравнений, пунктирной - по приближенным формулам.

Рассматривая поведение решения системы (1.33), (1.34) при малых отклонениях от положения равновесия, находим выражение для постоянной времени затухания релаксационных пульсаций r (рис.1.10а):

и частоты релаксационных пульсаций wr (рис.1.10б):

При подаче прямоугольной ступеньки тока в переходном процессе формирования оптического импульса можно выделить следующие этапы:

1) Этап выполнения пороговых условий, заканчивающийся при достижении концентрацией носителей порогового значения nth = n0 + n. Длиg тельность этого этапа td находится из кинетического уравнения для неравновесных носителей в предположении, что плотность фотонов до начала генерации пренебрежимо мала:

Рассчитаем плотность фотонов к концу первого этапа. Заметим, что концентрация фотонов существенно возрастает только тогда, когда концентрация носителей приближается к пороговой. Поэтому, разделив выражение (1.34) на (1.33) и заменив в знаменателе n на nth, получим где n1 = ed. После интегрирования и пренебрежения малыми слагаемыми для предпороговой плотности фотонов S0 имеем:

2) Этап "медленного"развития генерации. В этом случае вклад вынужденной рекомбинации в (1.33) мал. По окончании второго этапа можно считать S Sst. Плотность носителей на этом этапе достигает своего максимального значения, которое превышает пороговое на величину nmax. Интегрируя уравнение (1.33), получаем выражение для длительности второго этапа t2 :

Это же время t2 можно получить, интегрируя уравнение (1.34), предварительно для упрощения расчетов выразив величину n из уравнения (1.33):

После интегрирования получаем Приравнивая (1.41) и (1.43), раскладывая выражение под логарифмом в ряд и ограничиваясь двумя первыми членами, находим 3) Этап "быстрого"развития генерации. В уравнении для электронов (1.33) пренебрегаем спонтанной рекомбинацией и накачкой. Разделив выражение (1.34) на (1.33), получаем Рис. 1.11. Зависимость отношения амплитуды первого релаксационного пичка излучения Smax к стационарному значению Sst (а) и длительность первого пичка 1 (б) от плотности тока накачки j при различных коэффициентах потерь n. Сплошной линией даны величины, получающиеся при численном интегрировании скоростных уравнений, пунктирной - по приближенным формулам.

После интегрирования, учитывая, что n падает от nth + nmax до nth, а S растет от Sst до максимального значения Smax, находим Оценим длительность первого пичка излучения. Складывая уравнения (1.33) и (1.34), пренебрегая накачкой и спонтанной рекомбинацией, получаем:

Считаем, что изменение концентрации за время существования импульса близко к (nmax nth ). При интегрировании по времени от момента, когда плотность фотонов равна половине максимального значения на фронте импульса, до такого же значения плотности фотонов на спаде импульса вклад от второго дифференциала S равен нулю ввиду одинаковости пределов. Значение S в правой части равенства заменяем на Smax /2. Тогда длительность первого пичка, оцененная на уровне половинной амплитуды, равна Точность выражений (1.46) и (1.48) иллюстрируется рис.1.11, где показаны расчетные и приближенные зависимости Smax /Sst и 1 от плотности тока накачки.

1.3. Влияние эффектов насыщения на динамику генерации в 1.3.1. Выгорание спектральных провалов Выражение (1.11) получено в приближении квазиравновесия в зонах. Ввиду того, что генерирующая мода вызывает переходы между состояниями зоны проводимости и валентной зоны, имеющими определенную энергию, спектр усиления на частоте генерации "проседает", нарушая квазиравновесие в зонах. Коэффициент усиления перестает быть однозначной функцией концентрации носителей. Отклонение от квазиравновесия тем больше, чем больше плотность фотонов в резонаторе. Для учета этого эффекта в кинетических уравнениях коэффициент усиления умножается на величину где Ssat – плотность фотонов насыщения (D.J.Chanin, 1979). Данное приближение означает, что усиление мгновенно следует за изменением плотности фотонов. Оно основывается на тех соображениях, что время установления равновесия в зонах много меньше времен, характерных для переходных процессов в полупроводниковом лазере. С учетом вышеизложенного система скоростных уравнений может быть записана в виде В стационарном режиме после достижения порога при увеличении тока накачки концентрация носителей уже не остается постоянной, а растет, как что ведет к замедлению роста плотности фотонов Sst :

Рис. 1.12. Временные зависимости концентрации носителей n (а) и плотности фотонов S (б) при подаче прямоугольной ступеньки тока накачки:

n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.46 1018 см3, g = 2. 1016 см2, = 0.001, Ssat = 5 1016 см3, j = 2.5 кА/см2, jth = 1.04 кА/см2.

Обычно Ssat vg, и насыщение практически не влияет на мощностные характеристики. Однако оно существенно влияет на характеристики переходного процесса (ср. рис.1.12 и рис.1.9б). Рассматривая поведение решения системы (1.50), (1.51) при малых отклонениях от положения равновесия, находим постоянную затухания r и частоту релаксационных пульсаций wr, которые меньше аналогичных величин в выражениях (1.36), (1.37):

Это приводит к тому, что при токах, незначительно превышающих пороговый, установление режима стационарной генерации происходит без релаксационных пульсаций.

1.3.2. Выгорание пространственных провалов Распределение интенсивности электромагнитного поля в полупроводниковом лазере получается в результате суммирования двух распространяющихся в противоположных направлениях волн. Хотя амплитуды этих волн не совпадают во всей активной области, пространственное распределение интенсивности электромагнитного поля промодулировано в направлении оси резонатора с периодом /2nr, где – длина волны генерирующей моды, nr – показатель преломления. Это отражается на пространственном распределении носителей тока: в местах пучностей электромагнитного поля концентрация носителей меньше, в местах узлов электромагнитного поля концентрация носителей больше.

Для простоты дальнейшего анализа полагаем периодическое распределение плотности энергии электромагнитного поля вдоль оси резонатора:

u(x)/ w = 2Scos2 (kx x), где kx 2nr / – проекция волнового вектора фотона на ось резонатора. Рассмотрим процессы растекания носителей вдоль оси x. Для этого используем выражения для соответствующих проекций электронного je и дырочного jh токов в виде Здесь n(x) и p(x), µe и µh, De и Dh – концентрации, подвижности, коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно, – электростатический потенциал. Так как проекция полного тока je + jh на ось x равна нулю, то проекции электронного и дырочного токов выражаются как Пространственное распределение n(x) и p(x) приближенно представляется в виде где средние значения концентраций электронов n и дырок p связаны уравнением электронейтральности: pn+Nd Na = 0, n1 n и p1 p. Определяя при помощи уравнения Пуассона, что из системы (1.55), (1.56) находим соотношение между n1 и p1 :

Так как первые слагаемые в скобках намного превышают вторые, то n1 p1.

Уравнение (1.57) может быть переписано в более простом виде:

где Damb = e µ n + µh p e – амбиполярный коэффициент диффузии.

Запишем уравнение непрерывности для концентраций носителей как Приравнивая по отдельности периодические и не зависящие от x слагаемые, получаем следующие скоростные уравнения для средней концентрации носителей n и амплитуды периодической вдоль оси резонатора составляющей концентрации носителей n1 :

где di f = 4kx Damb 2 постоянная времени растекания носителей. Усиление моды находим путем усреднения взаимодействия по всей длине лазерного диода L:

В итоге, уравнение для скорости изменения плотности фотонов принимает вид В стационарном режиме после достижения порога при увеличении тока накачки средняя концентрация и амплитуда периодической составляющей концентрации носителей растут как а плотность фотонов Sst изменяется как При выводе (1.67) и (1.68) считалось, что di f слабо изменяется выше порога генерации.

Рис. 1.13. Временные зависимости концентрации носителей n, n1 (а) и плотности фотонов S (б) при подаче прямоугольной ступеньки тока накачки: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.46 1018 см3, g = 2.21016 см2, = 0.001, di f = 10 пс, j = 2.5 кА/см2, jth = 1.04 кА/см2.

С математической точки зрения модель, описывающая выгорание пространственных провалов, отличается от модели, описывающей выгорание спектральных провалов, тем, что усиление моды с изменением плотности фотонов изменяется не мгновенно, а с задержкой во времени. Этот эффект также приводит к уменьшению постоянной времени затухания и частоты релаксационных пульсаций (ср. рис.1.13 и рис.1.9):

1.4. Одномодовый инжекционный лазер в режиме модуляции Одним из способов генерирования мощных импульсов лазерного излучения является модуляция добротности резонатора. При работе лазера в этом режиме можно выделить два этапа. На первом отрезке резко увеличивают потери в резонаторе ("включают"потери), или уменьшают добротность резонатора ("выключают"добротность). Увеличение потерь приводит к значительному росту пороговой инверсной заселенности, и условие генерации не удается выполнить. В выражении (1.70) – фактор оптического ограничения, K – коэффициент усиления активной среды, – коэффициент внутренних оптических потерь, Ka – коэффициент дополнительных потерь, 2L n r1 r2 – коэффициент потерь через грани резонатора, L – длина резонатора лазера, r1, r2 – коэффициенты отражения зеркал резонатора. Для отражения на границе раздела полупроводника и воздуха r = n + nr – показатель преломления полупроводникового материала. На втором этапе быстро включают добротность, и лазер испускает короткий мощный импульс электромагнитного излучения.

Традиционные для твердотельных лазеров способы модуляции добротности резонатора (оптико-механические и основанные на электро- и магнитооптических эффектах) не представляют интереса применительно к инжекционным лазерам ввиду больших размеров модуляторов. Возможно применение лишь модуляторов на эффекте Поккельса для инжекционных лазеров с внешним резонатором. Последняя конструкция может быть реализована в интегральном исполнении. Оптимальный закон введения потерь следующий: в момент включения тока накачки, когда идет накопление неравновесных носителей, вводятся мгновенно (прямоугольная ступенька) потери, а при достижении максимально возможной при данных потерях инверсии населенностей потери сбрасываются до некоторой минимальной величины. Таким образом, дополнительные потери Ka в выражении (1.70) в режиме модуляции добротности могут варьироваться в широком диапазоне:

от значительных величин, задаваемых, прежде всего, устройством, посредством которого в резонатор лазера вводятся программируемые потери (модулятор добротности), до некоторой минимальной величины, определяемой нерезонансным поглощением, рассеянием в зеркалах и т.п.

На рис.1.14а приведены результаты моделирования работы полупроводникового лазера при идеальных ступенчатых фронтах импульсов тока накачки и сброса дополнительных потерь. Однако реально мгновенное выключение потерь и тока накачки в принципе невозможно из-за инерционности электрических систем. На рис.1.14б приведена динамика генерации при линейном во времени сбрасывании потерь. Медленное выключение потерь снижает мощность импульса генерируемого излучения и ведет к появлению дополнительных пульсаций излучения. Если не выполняется условие, что длительности спадов импульса накачки и модуляции потерь много меньше времен жизни электронов и фотонов соответственно, то эффективность модуляции потерь многократно снижается по сравнению с идеальным случаем. Следовательно, при реальных законах модуляции тока накачки и потерь оптимизировать такие параметры лазера, как амплитуда и длительность генерируемого импульса излучения, можно при выполнении следующих услоа) Рис. 1.14. Временные зависимости концентрации носителей n и плотности фотонов S при подаче прямоугольной ступеньки тока накачки длительностью 3 нс при идеальном выключении дополнительных потерь Ka (а), и линейном выключении дополнительных потерь за время 0.1 нс (б):

n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.46 1018 см3, g = 2.2 1016 см2, = 0.001, j = 2.5 кА/см2, Ka = 100 см1.

вий: а) время спада импульса тока накачки меньше времени жизни электронов; б) время спада модуляции потерь меньше времени жизни фотонов.

1.5. Инжекционный лазер с насыщающимся поглотителем Полупроводниковый лазер с насыщающимся поглотителем по сравнению с обычным одномодовым лазером позволяет реализовать дополнительно режимы автоколебаний и бистабильности мощности генерируемого излучения. Область насыщающегося поглотителя в лазерном диоде можно получить, например, путем бомбардировки полупроводника через одну из граней резонатора пучком быстрых ионов. При использовании ионов кислорода с энергией порядка 18 МэВ область разупорядоченного полупроводника, где из-за большого числа дефектов структуры велика вероятность безызлучательной рекомбинации, составляет приблизительно 10 мкм.

Зависимости средней по объему активной области концентрации заполненных состояний поглотителя n1, концентрации носителей заряда n2 и плотности фотонов S от времени t описываются следующей системой кинетических уравнений:

Здесь - параметр, учитывающий вклад спонтанного излучения в лазерную моду, n – коэффициент потерь излучения, Ri - скорость спонтанной рекомбинации, Gi - коэффициент усиления. Индексы i = 1, 2 относятся к поглотителю и носителям заряда соответственно. Для удобства уравнения (1.71)–(1.73) записаны в симметричной форме, поэтому величина G1 отрицательна. В общем виде зависимости Ri и Gi являются сложными возрастающими функциями соответствующих концентраций. Однако все основные свойства системы (1.71) –(1.73) выявляются уже при линейной аппроксимации характеристик:

где i – времена жизни заполненных состояний поглотителя и носителей заряда соответственно, n01 – средняя концентрация поглощающих центров;

n02 – инверсная для длины волны генерации концентрация электронов; gi дифференциальное усиление.

Рис. 1.15. Зависимость коэффициента усиления G0 в лазерном диоде с насыщающимся поглотителем от плотности фотонов S в резонаторе при пороговой jth и критической плотности тока jcr : n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, 1 = 1 нс, n01 = 5 1016 см3, g1 = 2 1015 см2, 2 = 5.2 нс, n02 = 1. 1018 см3, g2 = 2.2 1016 см2.

Режим жесткого включения генерации в лазере с насыщающимся поглотителем возможен, если суммарное усиление G0 = G1 + G2 при токе накачки, равном пороговому, имеет максимум в зависимости от плотности фотонов S (рис.1.15). Математически в приближении самовозбуждения это означает, что производная G0 по S в точке S = 0 больше нуля:

Величины с точками обозначают производные по соответствующим концентрациям. Производные G1 и G2 находим, дифференцируя (1.71) и (1.72). Тогда для dG0 имеем выражение где 1/i =Ri +v Gi S. Приравнивая S к нулю, получаем условие режима жесткого возбуждения генерации:

Исследуем устойчивость стационарного решения (1.71)-(1.72). Ввиду незначительности вклада спонтанного излучения в лазерную моду, рассмотрение проведем в приближении самовозбуждения ( = 0). Для исследования устойчивости по Ляпунову необходимо знать характеристические числа, при которых определитель равен нулю. Вычисление определителя приводит к уравнению третьей степени относительно :

Здесь Fi = v2 Gi Gi S. Уравнение (1.79) имеет корни с положительной действительной частью и, следовательно, стационарное решение (1.71)-(1.73) неустойчиво, если свободный член уравнения (1.79) отрицателен. Так как он с точностью до положительного множителя совпадает с выражением (1.76), то все точки, находящиеся на возрастающей ветви зависимости G0 (S), неустойчивы (рис.1.15). Если решение находится на спадающей ветви зависимости G0 (S), то оно будет устойчиво при выполнении условия Анализ показывает, что, если автоколебания возможны, то они существуют только в определенном интервале токов накачки. Решение всегда устойчиво при достаточно малой и достаточно большой плотности токов.

Для получения автоколебаний мощности излучения оптимальным является поглотитель с малым временем жизни 1 и большим сечением поглощения =G1.

Таким образом, исходя из условия устойчивости стационарного решения и возможного режима включения генерации в зависимости от параметров системы можно реализовать несколько способов функционирования лазерного диода с насыщающимся поглотителем:

1) Условие (1.77) не выполняется (мягкое включение генерации), а выражение (1.80) положительно при любом токе. После окончания переходного процесса устанавливается стационарное значение мощности генерируемого излучения. По сравнению с переходным процессом в лазерном диоде с аналогичными параметрами, но без насыщающегося поглотителя имеем увеличенное время задержки начала генерации, большую амплитуду пичков интенсивности излучения и меньшую частоту релаксационных колебаний.

2) Условие (1.77) не выполняется (мягкое включение генерации), но выражение (1.80) отрицательно в некотором интервале токов. Так как вблизи порога S мало, то этот интервал не может начинаться с порогового тока. Однако автоколебания интенсивности излучения начинаются уже при незначительном превышении тока над пороговым. Если вносимые непросветленным поглотителем дополнительные потери (Ka = G1 (0)) малы по сравнению с n, то можно считать, что данный случай соответствует мягкому режиму развития незатухающих регулярных пульсаций, амплитуда которых в зависимости от тока накачки изменяется почти от нуля до некоторого предельного значения. Частота колебаний интенсивности излучения также увеличивается с ростом тока накачки. Значения амплитуды, длительности и частоты пульсаций будут близки к аналогичным характеристикам переходного процесса обычного одномодового лазера без насыщающегося поглотителя.

3) Условие (1.77) выполняется (жесткое включение генерации), а выражение (1.80) отрицательно в некотором интервале токов. В зависимости от соотношения порогового тока и токов, определяющих границы интервала неустойчивости стационарного состояния, возможно несколько ситуаций.

а) Интервал токов, в котором существуют автоколебания, лежит за пороговым током. Следуя рассуждениям, аналогичным пункту 2, можно заключить, что данный случай возможен, если установившееся значение плотности фотонов на пороге после переключения усиления мало. Но режим жесткого включения генерации с очень малым скачком мощности излучения не представляет интереса, поэтому можно считать, что данная ситуация совпадает с рассмотренной в пункте 2.

б) Значение порогового тока лежит внутри интервала неустойчивости.

Тогда незатухающие пульсации излучения при увеличении тока накачки начинаются при пороговом токе jth и продолжают существовать даже при уменьшении тока накачки до некоторой критической величины jcr < jth благодаря неполному заполнению электронами поглощающих центров.

в) При jth происходит жесткое включение генерации. По окончании переходного процесса излучение выходит на стационар, но при последующем уменьшении тока накачки появляются незатухающие пульсации излучения.

4) Условие (1.77) выполняется (жесткое начало генерации), и выражение (1.80) положительно при любом токе накачки. В этом случае лазер выступает в роли бистабильного элемента. Генерация начинается при токе jth, большем, чем ток срыва генерации jcr (рис.1.15). Наблюдается гистерезис мощности излучения. Подробнее этот режим рассмотрен в следующем параграфе.

Рис. 1.16. Временные зависимости плотности носителей заряда (а) и фотонов (б) при подаче прямоугольной ступеньки плотности тока накачки:

n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 0.001, 1 = 1 нс, n01 = 5 1016 см3, g1 = 2 1015 см2, 2 = 5.2 нс, n02 = 1.46 1018 см3, g2 = 2.2 1016 см2, j = 2.5 кА/см2.

На рис.1.16 показаны временные зависимости n1, n2 и S в режиме генерации гигантских импульсов излучения (величина Ka сравнима с коэффициентом потерь n ). Дополнительные потери, вносимые поглотителем, способствуют накоплению носителей заряда в зонах. Развивающийся импульс излучения практически мгновенно просветляет поглотитель. Суммарные потери резко уменьшаются, и, благодаря рекомбинации, возникающей в области избыточной населенности, образуется гигантский пичок излучения. Далее населенность n2 растет в результате инжекции, а концентрация n1 уменьшается вследствие спонтанной рекомбинации.

Представляет интерес получить приближенные аналитические выражения для амплитуды, длительности и частоты пульсаций в режиме генерации гигантских импульсов. Для простоты выберем линейную зависимость коэффициентов Gi от концентраций. Дополнительно считаем, что период пульсаций больше спонтанного времени жизни заполненных состояний поглотителя. Следуя рассуждениям, аналогичным в 1.2.4. для амплитуды пичков излучения получаем где ntha = n02 + (n + Ka )/g02 и nth = n02 + n /g02 - пороговые концентрации носителей заряда при наличии и в отсутствие насыщающегося поглотителя соответственно. Формулу (1.81) можно переписать в виде Длительность импульсов излучения дается выражением Таким образом, в диапазоне существования незатухающих осцилляций при значительных дополнительных потерях и малом времени жизни поглощающих центров амплитуда и длительность пичков практически не зависят от тока накачки. Частота пульсаций растет с увеличением тока инжекции.

Для создания интегрально-оптических логических устройств требуются элементы, обладающие двумя устойчивыми состояниями и выполняющие функции электронного триггера, а также генераторы, излучающие незатухающие регулярные импульсы. Как отмечалось, для этих целей служат лазеры с насыщающимся поглотителем. Аналогичные режимы генерации излучения могут быть реализованы в двухсекционном лазерном диоде (G.J.Lasher, 1964).

Для двухкомпонентного инжекционного лазера анализ динамики генерации можно провести на основе системы скоростных уравнений, в основном аналогичной [6]:

Здесь d и W – толщина и ширина активного слоя, L – длина диода, S – плотность фотонов, ni – концентрация носителей, Ii – ток накачки, Ri - скорость спонтанной рекомбинации, Gi - коэффициент усиления в различных секциях диода (i = 1, 2), ri – относительные протяженности секций (r1 + r2 = 1), - параметр, учитывающий вклад спонтанного излучения в лазерную моду, n – коэффициент потерь излучения. На рис.1.17 представлены результаа) Рис. 1.17. Динамика генерации излучения в двухсекционном диоде: временные зависимости концентраций носителей и плотностей фотонов при накачивании одной секции ниже инверсии I1 = 120 мА, I2 = 20 мА (а) и при накачивании обеих секций выше инверсии I1 = 80 мА, I2 = 60 мА (б):

n = 38 см1, v = 9.4 109 см/с, = 0.001, r1 = r2 = 0.5, W = 20 мкм, L = 300 мкм.

ты расчетов согласно системе (1.84) – (1.86). Если обе секции диода накачиваются выше инверсии для генерируемого излучения, релаксационные колебания концентраций носителей заряда в разных секциях происходят синфазно (б), иначе – в противофазе (а). Нелинейные зависимости коэффициента усиления и скоростей спонтанной рекомбинации от концентрации носителей существенно влияют на динамику генерации в разрезном диоде, поэтому для расчетов этих характеристик в данном разделе использовались точные формулы (1.11) и (1.14) (рис. 1.2а и 1.3б).

По аналогии с лазером с насыщающимся поглотителем, запишем условие режима жесткого возбуждения генерации:

где 1/i =Ri +v Gi S и Fi = v2 Gi Gi S. Поскольку с увеличением концентраций ni значения Gi и Ri возрастают, то условия (1.87) и (1.88) выполняются лишь при наличии поглощения в одной из секций диода, т.е. при сильном неоднородном возбуждении. Приближенно скорость спонтанной рекомбинации прямо пропорциональна концентрации инжектированных электронов, поэтому можно принять Ri ni /, где характеризует время жизни носителей.

Тогда условие (1.87) принимает вид Отсюда следует, что значение Gi в поглощающей секции должно быть больше Gi в усиливающей секции, так как при генерации G1 + G2 = n. Такой режим заведомо выполняется в результате эффекта насыщения усиления с ростом возбуждения (рис.1.2).

На рис.1.18 показаны области существования различных режимов генерации в двухсекционном диоде в зависимости от токов накачки в секциях.

Левее пунктирной прямой 1 (ниже пунктирной прямой 1’) в секции 1 (2) лазерного диода не достигается инверсия населенности зон для генерируемого излучения.

Левее и ниже границы 2 суммарное усиление G1 + G2 имеет максимум в зависимости от плотности фотонов S. Выполнение пороговых условий в этой области означает жесткое включение генерации. Уравнение границы Рис. 1.18. Области существования различных режимов генерации в двухсекционном диоде в зависимости от токов накачки в секциях: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 0.001, r1 = r2 = 0.5, W = 20 мкм, L = 300 мкм.

получается при совместном решении стационарных уравнений (1.84), (1.85) и (1.87) при S = 0 (допороговый режим).

Кривая 3 соответствует порогу генерации излучения. Уравнение кривой 3 определяется из совместного решения стационарных уравнений (1.84), (1.85) (S = 0) и порогового условия Из точки пересечения пороговой кривой 3 и границы существования жесткого режима включения генерации 2 выходит кривая 4, вдоль которой выполняется условие равенства максимального коэффициента усиления в зависимости от плотности фотонов S коэффициенту потерь. Уравнение кривой 4 определяется из совместного решения стационарных уравнений (1.84), (1.85) (S = 0) и условия, аналогичного (1.76):

Левее кривой 4 генерация невозможна. При устойчивости стационарного состояния (условие (1.88)) расстояние между кривыми 3 и 4 при фиксированном токе в одной секции определяет диапазон токов в другой секции, в котором существует гистерезис мощности излучения.

Результаты расчетов статических характеристик показаны на рис. 1.19.

Явление жесткого включения генерации (рис.1.19б) сопровождается скачкообразным изменением населенностей в секциях диода (рис.1.19а). Установившийся световой поток в объеме резонатора вызывает рост концентрации электронов n2 и насыщение поглощения в поглощающей секции. При Рис. 1.19. Изменение стационарных концентраций носителей (а) и плотности фотонов (б) в двухсекционном диоде: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 0.001, r1 = r2 = 0.5, I2 = 13 мА, W = 20 мкм, L = 300 мкм.

этом усиление в усиливающей секции 1 тоже насыщается, и концентрация n1 падает. Срыв генерации с уменьшением тока накачки I1 происходит при токе, меньшем, чем ток включения лазера, т.е. наблюдается гистерезис ватт-амперной характеристики.

Как уже отмечалось, наряду со стационарным решением кинетические уравнения (1.84) – (1.86) допускают неустойчивое решение - режим незатухающих регулярных пульсаций излучения. Однако при выбранных параметрах лазерного диода (рис.1.18) данный режим не реализуется.

Рассматривая динамику генерации излучения инжекционных лазеров, следует иметь в виду, что одномодовое приближение практически во всех случаях является идеализацией, так как даже специально созданные одномодовые лазеры генерируют несколько мод, одна из которых значительно превосходит по интенсивности остальные. Динамическое поведение многомодовых инжекционных гетеролазеров рассмотрим на примере модели, в которой учитываются поперечные моды и неравномерное распределение носителей заряда в направлении, перпендикулярном направлениям распространения генерируемого излучения и тока инжекции (J.Buus, M.Danielsen, 1977).

При ширине полоскового контакта, значительно большей длины волны излучения, можно ожидать появления в спектре генерации боковых поперечных мод, частоты которых близки к частотам соответствующих продольных мод. Разобьем активную область лазера на пять зон, три из которых наРис. 1.20. Разбиение активной области лазера и распределение амплитуд основной и поперечной мод.

ходятся под полосковым контактом шириной W и две - по бокам (рис.1.20).

Такая модель инжекционного лазера позволяет описать поведение основной и одной поперечной мод. Вследствие симметрии структуры необходимо рассмотреть 3 зоны: 0, 1 (1’), 2 (2’).

Концентрацию электронов в этих областях считаем, соответственно, равной:

Так как знание точного профиля интенсивности мод при данном подходе не суть важно, используем следующее тригонометрическое описание для относительных амплитуд напряженности электромагнитного поля:

Коэффициент усиления для моды j в пренебрежении интерференционными эффектами дается выражением Непосредственным интегрированием получаем:

Обозначая через S плотность фотонов в основной моде, а через S1 плотность фотонов в поперечной моде первого порядка, записываем скоростные уравнения для плотностей фотонов:

В скоростных уравнениях для электронов необходимо учесть диффузию носителей заряда между зонами. Приближенно плотность тока между соседними областями, например, 0 и 1, составляет где W /3 – расстояние между центрами зон. Считая, что данный ток равномерно распределен по всей зоне шириной W /3, получаем Полная плотность фотонов Ssum равна сумме плотностей фотонов в основной и поперечной модах S + S1. Вклад разных мод в полную плотность фотонов в зависимости от плотности тока накачки показан на рис.1.21. В расчетах полагалось G(ni ) = g(ni n0 ). Рис. 1.22 иллюстрирует динамику развития генерации в многомодовом лазере при подаче ступеньки тока накачки. В отличие от одномодового лазера, колебания интенсивности мод излучения не имеют монотонно затухающий характер, а проявляют некоторую степень хаотичности.

Рис. 1.21. Изменение стационарных концентраций носителей (а) и плотностей фотонов (б) в многомодовом лазере: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.46 1018 см3, g = 2.2 1016 см2, = 0.001, Damb = 13 см2 /с, W = 20 мкм.

Рис. 1.22. Временные зависимости концентраций носителей заряда (а) и плотностей фотонов (б) при подаче прямоугольной ступеньки тока накачки в многомодовом лазере: n = 50 см1, v = 9.4 109 см/с, = 5.2 нс, n0 = 1.461018 см3, g = 2.21016 см2, = 0.001, Damb = 13 см2 /с, W = 20 мкм, j = 2.5 кА/см2.

2. ОСНОВЫ ФИЗИКИ КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОЛАЗЕРОВ

2.1. Основные квантоворазмерные эффекты Эффекты, обнаруженные в гетероструктурах со сверхтонкими слоями, служат одной из самых ярких иллюстраций установившейся в настоящее время тенденции взаимоопределяющего развития технологии и фундаментальных исследований. Эти эффекты получили название квантоворазмерных. Они начинают проявляться, когда геометрические размеры области локализации носителей тока сравнимы с их де-бройлевской длиной волны. Проблема размерного квантования в твердых телах стала обсуждаться с конца 30-х годов.

Простейшая реализация квантования движения электронов достигается в высококачественных сверхтонких пленках. Первое сообщение о наблюдении осцилляций кинетических и термодинамических параметров тонких пленок металла относится к 1966 г.

В полупроводниковых пленках уменьшение толщины вызывает увеличение оптической ширины запрещенной зоны и появление ступенек на спектре оптического поглощения. Эти эффекты наблюдались впервые на напыленных пленках сульфида кадмия, антимонида индия и теллурида свинца.

Пространственное ограничение движения электронов осуществляется также в приповерхностных слоях полупроводников при сильном изгибе энергетических зон. Одним из первых доказательств квазидвухмерности электронного газа служило исследование осцилляций магнетопроводности инверсионного канала в кремниевой МОП-структуре в зависимости от напряжения на затворе. Изучение поведения электронов в инверсионных слоях привело к фундаментальным результатам.

В 1980 г. был открыт квантовый эффект Холла. Основополагающие исследования квантования холловской проводимости отмечены Нобелевской премией по физике 1985 г., присужденной К. фон Клитцингу.

Вскоре квантовый эффект Холла был изучен для двухмерного электронного газа, возникающего в области потенциального барьера вблизи границы раздела GaAs AlGaAs. Совершенствование методов эпитаксиального выращивания полупроводниковых структур с гетеропереходами дало мощный импульс исследованиям квантоворазмерных эффектов. Для получения структур со сверхтонкими слоями стали использоваться в основном молекулярно-лучевая эпитаксия и осаждение из металлоорганических соединений.

В простейшем варианте роль активного элемента в таких структурах выполняют один или несколько слоев узкозонного полупроводника, заключенного между широкозонными эмиттерами. Возникающие на границах раздела разрывы краев зон служат потенциальными барьерами для электронов и дырок, носители тока оказываются в "квантовых ямах". В приближении эффективной массы задача о квантовании движения в квантовой яме сводится к стандартной квантовомеханической задаче о поведении электрона в "потенциальном ящике".

Если движение электронов ограничено в одном направлении, например, вдоль оси z, то энергетический спектр электронов разбивается на подзоны. В случае изотропной эффективной массы собственные значения энергии электрона равны где Ec0 – дно зоны проводимости, kx и ky – проекции волнового вектора на оси x и y соответственно, mc – эффективная масса электрона, Ecn – начальные уровни подзон с квантовым числом n = 1, 2, 3... Значение Ecn находится из решения уравнения Шредингера для квантовой ямы с высотой барьеров U0 и шириной d, которое сводится к трансцендентному уравнению В предельном случае бесконечно больших потенциальных барьеров (2.2) сводится к выражению При этом волновые функции электрона имеют вид где u(r) – периодическая часть блоховской функции. Поскольку в рассматриваемом случае волновой вектор электрона имеет компоненты лишь в плоскости xy, плотность состояний приобретает ступенчатообразный характер:

Здесь Hn – функция Хевисайда: Hn (E) = 1 при E Ec0 + Ecn и Hn (E) = 0 при E < Ec0 + Ecn.

В рамках приближения эффективной массы описываются многие характерные свойства квазидвухмерных электронных систем [7]. Аналогичным образом можно рассматривать поведение дырок в квантовой яме. Однако следует учитывать вырождение валентной зоны и анизотропию эффективной массы дырок.

Уже в 1974 г. из измерения поглощения было установлено появление подзон в квантовой яме, снятие вырождения в валентной зоне по тяжелым и легким дыркам, возрастание энергии связи экситонов с уменьшением толщины слоя GaAs, заключенного между широкозонными эмиттерами AlGaAs.

В квантовых ямах экситоны могут существовать при комнатной и более высоких температурах. Из-за усиления кулоновского взаимодействия в предельном случае двухмерного экситона энергия связи в четыре раза превышает энергию связи объемного экситона. Из-за конечной высоты потенциальных барьеров энергия связи квазидвухмерных экситонов имеет максимум при некоторой ширине квантовой ямы. Например, в системе GaAs– AlGaAs энергия связи экситона достигает максимальной величины порядка 9 мэВ при толщине узкозонного полупроводника 50A. При этом вследствие анизотропии эффективной массы дырок для экситонов на легких дырках энергия связи оказывается больше, чем для экситонов на тяжелых дырках.

Наряду со структурами, имеющими одиночную квантовую яму, интенсивно изучаются структуры со многими квантовыми ямами. Если толщина барьерных слоев туннельно прозрачна, то электроны получают свободу движения перпендикулярно квантоворазмерным слоям. Такие структуры называются "сверхрешетками", поскольку на периодический потенциал кристаллической решетки накладывается дополнительная пространственная модуляция потенциальной энергии электрона. Периодичность сверхрешетки приводит к снятию вырождения квантовых уровней отдельных ям - образуются минизоны. Впервые появление минизон было предсказано Л.В.Келдышем (1962) для электронов кристалла в поле бегущей ультразвуковой волны. Идея создания периодических структур путем модуляции состава или концентрации легирующих примесей в процессе эпитаксии высказана в 1970 г., и вскоре первые сверхрешетки были выращены на основе GaAsP и в системе GaAs AlGaAs.

Подвижность носителей тока в квантоворазмерных слоях гетероструктур может быть существенно повышена путем подавления рассеяния на примесях. Это достигается при селективном легировании слоев широкозонного полупроводника, когда примеси пространственно отделяются от носителей тока, оказывающихся в узкозонном материале. На гетероструктурах с селективным легированием, имеющих рекордные подвижности электронов в GaAs порядка 106 см2 /B·c, созданы высокоскоростные полевые транзисторы, получившие название "HEMT"(high electron mobility transistors) – транзисторов с высокой подвижностью электронов.

С "зонной инженерией"в сверхрешетках появились новые возможности создания приборов оптоэлектроники. Например, предложены твердотельные аналоги ФЭУ. Одна из модификаций лавинного фотодиода на сверхрешетке представляет собой периодическую структуру, состоящую из варизонных слоев, зонная диаграмма которой при обратном смещении становится ступенчатой. На каждой ступеньке происходит размножение электронов. В другом решении слои полупроводника с уменьшающейся толщиной перемежаются диэлектрическими прослойками. При подаче смещения уровни в квантовых ямах разной ширины совмещаются, и на выходе получается пучок электронов с энергией, достаточной для лавинной инжекции или возбуждения люминофора.

Первые инжекционные лазеры на гетероструктурах с квантоворазмерными слоями созданы в 1978 г. группой Н.Н.Голоньяка [8]. В таких лазерах достигаются предельно низкие плотности порогового тока. Они обладают высокой эффективностью и слабой чувствительностью к изменению температуры. Варьируя толщину активных слоев, удается в широких интервалах перестраивать длину волны генерации.

Среди композиционных сверхрешеток выделяют три типа [9]. В сверхрешетках I типа дно зоны проводимости и потолок валентной зоны одного полупроводника расположены в запрещенной зоне другого полупроводника (рис.2.1а). В результате квантовые ямы для электронов и дырок в узкозонном полупроводнике чередуются с квантовыми барьерами в широкозонном материале.

Типичная пара для сверхрешеток I типа - GaAs Alx Ga1x As. Первоначально в этой системе для разрывов зон принималась следующая пропорция: скачок потенциала в зоне проводимости относительно разности ширин запрещенной зоны Eg составлял Ec 0.88Eg, а в валентной зоне – Ev 0.12Eg. Другие измерения дали в среднем Ec /Ev 0.6/0.4. Последние исследования влияния давления на уровни в квантовых ямах приводят к соотношению Ec /Ev = 0.68/0.32. Тогда при x = 0.28 получается Ec = 0.24 эВ и Ev = 0.11 эВ. Большие разрывы, особенно в зоне проводимости, достигаются в системе GaSb AlSb.

В сверхрешетках II типа квантовая яма для электронов возникает в одном полупроводнике, а для дырок – в другом. Здесь возможны два варианта. Если скачок потенциала в валентной зоне не превышает ширины запрещенной зоны узкозонного материала, то на границе раздела остается щель запрещенных энергий (рис.2.1б). Примером такой системы служит пара GaSbAs GaInAs. В системе GaSb InAs энергетическая щель исчезает (рис.2.1в) и при толщинах слоев не менее 80A полупроводники находятся в полуметаллическом состоянии в результате перехода электронов из GaSb в InAs.

В состав сверхрешеток III типа входит безщелевой компонент, например, HgTe. В качестве другого компонента используется CdTe или ZnTe.

Профиль энергетических зон сверхрешеток определяется электронным сродством, шириной запрещенной зоны и работой выхода контактирующих полупроводников. Совершенство их кристаллической структуры зависит от согласования постоянных решеток. Во многих случаях рассогласование решеток превышает 1%, что приводит к заметным механическим напряжениям и генерации дислокаций несоответствия. В коротко-периодических сверхрешетках с достаточно тонкими слоями постоянные решеток в плоскости слоев под действием чередующихся напряжений сжатия и растяжения выравниваются, и дислокации не возникают.

Особый интерес представляют "напряженные"сверхрешетки на основе соединений типа AII BV I. На таких гетероструктурах реализованы оптоэлектронные приборы нового поколения на видимую область спектра, в частности, коротковолновые инжекционные лазеры. Путем подбора соответствующих компонентов в сверхрешетках может быть устранено явление самокомпенсации, отвечающее за монополярную проводимость широкозонных халькогенидов.

Сверхрешетки в системе ZnTe ZnSe относятся к типу II: квантовая яма для электронов возникает в ZnSe, а в ZnTe квантовано движение дырок. При этом слои ZnTe подвержены сжатию, а слои другого компонента – растяжению. Обратная ситуация реализуется в системе ZnTe CdTe, где разрыв валентной зоны практически отсутствует и имеется большой барьер для электронов.

Новые возможности при создании приборов, управляемых полем, появляются при введении в сверхрешетку еще одного полупроводника. Такие политипные сверхрешетки изучены на примере системы AlSb GaSb InAs. В многосоставных структурах возрастает число комбинаций получения двухмерного электронного и дырочного газа в узкозонных материалах.

Ограничения по согласованию постоянных решетки контактирующих материалов смягчаются в аморфных сверхрешетках. Квантоворазмерные эффекты наблюдались в тонкопленочных структурах, полученных химическим осаждением в плазменном разряде слоев гидрогенизированного Рис. 2.1. Композиционные сверхрешетки I(a), II(б,в) и III типа (г) на примере ряда полупроводников: GaAs (1), AlGaAs (2), GaSbAs (3), GaInAs (4), GaSb (5), InAs (6), HgTe (7), CdTe (8).

аморфного кремния, чередующегося с гидрогенизированным аморфным германием, нитридом или карбидом кремния. Аморфные сверхрешетки служат, в частности, фокусирующими и дисперсионными элементами для вакуумного УФ- и рентгеновского излучения.

В "легированных"сверхрешетках модуляция кристаллического потенциала производится периодическим распределением легирующих примесей. В первых работах рассматривался синусоидальный, параболический или треугольный дополнительный потенциал. Впоследствии такие многослойные монокристаллические структуры получили название n i p iкристаллов. В них уровни подзон, возникающих в квантовых ямах для электронов и дырок, пространственно разнесены (рис.2.2). Это приводит к долговременной релаксации возбужденных носителей тока, а сам рельеф электростатического потенциала зависит от уровня возбуждения кристалла. На легированных сверхрешетках уже создан целый ряд необычных приборов.

Прогресс интегральной оптоэлектроники – повышение уровня быстродействия и расширение функциональных возможностей полупроводниковых элементов – связывается с дальнейшим уменьшением их размеров, использованием структур с пониженной размерностью. Структуры, в которых движение электронов ограничено по двум направлениям и свободно в третьем, называются "квантовыми проволоками". Они создаются при использовании инверсионных слоев в очень узких каналах транзисторных структур, либо путем пространственного ограничения с помощью литографии и травления слоистых структур с квантовыми ямами.

Рис. 2.2. Зонная диаграмма n i p i-кристалла. Показаны донорные и акцепторные уровни и переходы между уровнями подзон в квантовых ямах с поглощением и испусканием света.

Первые убедительные наблюдения квантования уровней в структурах типа квантовой проволоки представлены в 1986 г. Уменьшение ширины квантовой проволоки до 500A, полученной на основе гетероструктуры GaAs AlGaAs с квантовой ямой 50A, приводило к заметному сдвигу линий низкотемпературной катодолюминесценции. Одновременно была реализована структура типа "квантовой ячейки", т.е. достигнута трехмерная локализация носителей тока. Размеры квантовых ячеек, полученных в виде столбиков в сверхрешетке GaAs AlGaAs, составляли 20 2500 2500A.

Еще меньшие размеры квантовых ячеек 50 300 300A были получены в системе GaInAs InP.

Наблюдаемые на опыте сдвиги линий катодо- и фотолюминесценции в квантовых проволоках и ячейках вызваны квантованием уровней при снижении размерности электронного газа. Если движение электронов ограничено барьерами в направлениях y и z, то уровни энергии в приближении эффективной массы составляют В предельном случае бесконечно больших барьеров начальные уровни подзон представляются суммой где n, l = 1, 2, 3... – квантовые числа, w – ширина квантовой проволоки. Полупроводниковые квантовые проволоки могут иметь также круглое сечение.

При трехмерном квантовом ограничении носителей тока зонный энергетический спектр вырождается в набор дискретных уровней. Решение уравнения Шредингера в прямоугольном потенциальном ящике с размерами d w L имеет вид где n, l, m = 1, 2, 3... – квантовые числа, а соответствующие волновые функции представляются произведением периодической части блоховской функции u(r) и огибающих функций для квантовых ям в направлениях x, y и z.

Кроме технологических путей создания структур с пониженной размерностью электронного газа, локализация электронов осуществляется также в магнитном поле. С помощью сильного магнитного поля моделируется лазерный режим в квантовых проволоках и ячейках. При помещении обычного лазерного диода в продольное магнитное поле реализуется структура, аналогичная квантовой проволоке. Если используется активный слой в виде квантовой ямы, а магнитное поле ориентировано перпендикулярно плоскости гетероперехода, то образуются квантовые ячейки.

В 1987 г. сообщено о получении гетероструктур типа квантовых ячеек, люминесцирующих при инжекции носителей тока. Размеры ячеек составляли 150 1000 1000A в системе GaInAsP InP. В импульсном режиме при 77 К в плоскости решетки квантовых ячеек наблюдалось усиление света.

Результаты последних исследований свидетельствуют о тесной связи новейших достижений полупроводниковой техники с изучением фундаментальных физических процессов в гетероструктурах. Квантоворазмерные эффекты – основа разработки новых уникальных приборов полупроводниковой электроники.

2.2. Уровни энергии подзон и частота генерации В лазерном режиме усиление в активной области компенсирует потери излучения, связанные с его выходом из резонатора, с рассеянием и дифракцией в оптическом волноводе. Генерация развивается на частотах, соответствующих максимуму усиления. В квантоворазмерных лазерах частота генерации определяется прежде всего положением уровней подзон, между которыми осуществляются оптические переходы.

В простейшем случае квантование движения носителей тока в квантовой яме рассматривается как поведение электрона в прямоугольной потенциальной яме. Энергетический спектр усложняется в сверхрешетках, когда ширина потенциальных барьеров сравнима с размерами квантовых ям и надо учитывать взаимодействие уровней в отдельных ямах.

Рис. 2.3. Изменение ширины запрещенной зоны Eg в точках, L и X зоны Бриллюэна с составом x соединения Alx Ga1x As: - Eg (x) = 1.425+1.155x+ 0.37x2 (эВ); L - Eg (x) = 1.734 + 0.574x + 0.055x2 (эВ); X - Eg (x) = 1.911 + 0.005x + 0.245x2 (эВ).

В лазерах на основе Alx Ga1x As высота потенциальных барьеров в квантовых ямах практически линейно связана с составом x. В точке зоны Бриллюэна ширина запрещенной зоны Eg при изменении состава соединения Alx Ga1x As зависит от x при 300 К как Eg (x) = 1.425 + 1.155x + 0.37x (эВ). При этом прямозонная структура реализуется до x 0.4, а при больших содержаниях Al дно зоны проводимости переходит в точку симметрии X (рис.2.3). Достаточно хорошим приближением в области прямозонной структуры служит выражение Eg (x) = 1.424 + 1.247x (эВ). Тогда, если x = xb x0, где x0 и xb - молярное содержание Al в активной области и барьерных слоях соответственно, то скачки в зонах составляют Ec = 0.848x эВ и Ev = 0.399x эВ.

Для учета изменения величины эффективных масс носителей с составом соединения Alx Ga1x As можно использовать линейную интерполяцию между GaAs и AlAs. Тогда для эффективной массы электронов на дне зоны проводимости в точке симметрии получаем mc = (0.067 + 0.083x)me. Для дырок надо различать тяжелые и легкие дырки и учитывать анизотропию эффективных масс. Для оценок обычно используются результаты расчетов зонной теории. Значение эффективной массы тяжелых дырок для плотности состояний принимается равным mvh = (0.62 + 0.14x)me, а средняя величина эффективной массы легких дырок составляет mvl = (0.087 + 0.063x)me.

Анизотропия энергетического спектра дырок вблизи потолка валентной зоны полностью характеризуется известными зонными параметрами Люттинжера 1, 2 и 3 или Дрессельхауза, Кипа и Киттеля A, B и C. Для сферических зон выполняется 2 = 3 или C = 0. В терминах параметров Люттинжера для полупроводников со структурой алмаза или цинковой обманки компонент эффективной массы тяжелых дырок (проекция момента импульса jz = ±3/2) составляет, например, в направлении кристаллографических осей [100] величину mvh = me /(1 22 ). Компонент для легких дырок (проекция момента импульса jz = ±1/2) равен mvl = me /(1 +22 ). В направлениях [110] и [111] получаем, соответственно, mv = me /(1 ± 2 + 32 ) и mv = me /(1 ± 23 ), где знак ""относится к тяжелым дыркам, а "+" – легким дыркам.

В квантовых ямах вырождение по тяжелым и легким дыркам снимается. Положение уровней подзон в каждой системе дырок определяется величиной продольного компонента эффективной массы соответствующих дырок. Если квантоворазмерные слои выращиваются в плоскости (100), то для продольных масс дырок можно принять значения mvh = me /(1 22 ) и mvl = me /(1 + 22 ). Поперечные компоненты эффективных масс дырок ния задают закон дисперсии дырок в плоскости квантоворазмерных слоев и плотность их энергетических состояний. Смешение состояний и спинорбитальное взаимодействие приводят к непараболичности валентных зон и усложняют кривые дисперсии дырок.

Набор параметров Люттинжера для GaAs 1 = 6.8, 2 = 1.9 и 3 = 2. дает следующую величину эффективных масс тяжелых и легких дырок в направлении [100]: mvh = 0.34me и mvl = 0.094me. В направлении [111] реализуются значения mvh = 0.75me и mvl = 0.082me. Анизотропия тяжелых дырок заметно изменяет положение уровней подзон валентной зоны в зависимости от ориентации квантоворазмерных слоев.

Поскольку положение уровней подзон в квантовых ямах задается продольной массой носителей тока, то спектральный диапазон для переходов между подзонами с испусканием или поглощением света определяется именно этим компонентом эффективной массы. С законом дисперсии носителей, т.е. поперечным компонентом эффективной массы, связана скорость оптических переходов и поэтому – форма спектров испускания и поглощения. Например, для переходов с сохранением квазиимпульса электрона поперечные массы носителей прямо входят через приведенную массу mri в приведенную плотность состояний. Однако граничные частоты ni однозначно задаются продольной массой носителей тока и в случае прямых переходов соответствуют максимумам в спектрах люминесценции и усиления.

Сперва проведем оценки частот генерации в квантоворазмерных гетеролазерах в приближении изотропной эффективной массы [10]. В пределе достаточно больших потенциальных барьеров имеем Здесь все значения относятся к узкозонному материалу и зависят от его компонентного состава. Например, для Alx Ga1x As в активной области лазера значение Eg, mc и mvi практически линейно возрастают с увеличением x - молярной доли AlAs. Приводя (2.9) к численному виду, получаем hni = Eg + 3.76 103 n2 (100/d)2 (me /mri ) (эВ), где d задается в A, а mri приведенная масса с учетом соответствующих дырок.

Из формулы (2.9) следует, что одна и та же частота генерации может быть реализована в лазерах с разным составом активной области путем подбора толщины d или при перескоке генерации на переходы через высоколежащие подзоны. При уменьшении d до 50A и одновременном увеличении x в активной области до 0.2 энергию квантов света hg для генерации на переходах с участием легких дырок 1 1 можно поднять на 580 мэВ относительно GaAs. Это выполняется, если созданы достаточно большие потенциальные барьеры на границах квантовой ямы.

Квантоворазмерный эффект отражается на частоте генерации заметнее с уменьшением ширины активной области d и эффективной массы носителей. Для разных материалов значение эффективной массы электронов колеблется от 0.015me (InSb) до 0.28me (ZnS), соответственно изменяется приведенная масса mri. Оценки по формуле (2.9) служат первым приближением для определения частоты генерации g. Они дают, как правило, завышенные значения энергии генерируемых квантов hg.

При учете влияния высоты потенциальных барьеров на положение уровней подзон в квантовой яме и частоту генерации начальные уровни подзон находятся из уравнения вида (2.2). С уменьшением высоты потенциальных барьеров U0 в квантовой яме остаются только уровни с n = 1. Граничное значение U0 = Un для выхода уровней подзоны с квантовым числом n за пределы потенциальной ямы составляет для электронов Здесь Ecn – положение начальных уровней подзоны с квантовым числом n в Рис. 2.4. Номограмма для расчета Ecn относительно Ecn в зависимости от отношения Ecn /U0. Цифры на кривых – значения квантового числа n.

случае бесконечно больших потенциальных барьеров, которое определяется (2.3). Аналогично записывается условие выхода из квантовой ямы уровней размерного квантования для дырок. Для уровней с n = 2 имеем соответственно U2 = Ec2 /4 и U2 = Evi2 /4. Условия жестче для электронов и легких дырок. Например, в системе GaAs Al0.3 Ga0.7 As уже при d = 50 60A из квантовой ямы выходят уровни электронов и легких дырок с n = 2. Еще раньше выходят уровни с n 3.

Трансцендентное уравнение (2.2) аналитически не решается. Поэтому удобно пользоваться номограммой, связывающей значение уровня Ecn в квантовой яме относительно величины Ecn для бесконечно больших потенциальных барьеров с отношением Ecn к высоте барьеров U0 (рис.2.4).

Значение Ecn легко рассчитать по формуле (2.3). Аналогичная номограмма получается для дырок в квантовой яме. Поскольку для типичных лазерных систем (например, GaAs Al0.3 Ga0.7 As) отношение Ec1 /U0 при d 100A составляет порядка 0.2, то отличие Ec1 от приближенного значения Ec1 достигает 40%. Такая же ошибка возникает при расчете уровней по формуле вида (2.3) для легких дырок. Гораздо точнее формула (2.3) определяет уровни подзон для тяжелых дырок.

Чтобы привести уравнение (2.2) к аналитической форме, воспользуемся представлением правой части уравнения в виде гипергеометрической функции и ограничимся начальными членами ее разложения в ряд. В реРис. 2.5. Сравнение точного решения уравнения (2.2) (сплошные кривые) и расчетов Ecn по формуле (2.11) (штриховые кривые). Цифры на кривых – значения квантового числа n.

зультате приходим к формуле Расчеты Ecn по этой формуле дают такие же значения, как точное решение (2.2) на рис.2.4. В более широком интервале сравнение расчетов Ecn по формуле (2.11) с точным решением уравнения (2.2) показано на рис.2.5. Как видно, вплоть до значений Ecn /U0 2 выражение (2.11) хорошо описывает Ecn. Ошибка не превышает 16%.

Таким образом, для энергии генерируемых квантов при учете конечной высоты потенциальных барьеров в квантовой яме получаем выражение Здесь U0 заменено на Ec и Ev – скачки потенциальной энергии в зоне проводимости и валентной зоне соответственно. В предельном случае больших потенциальных скачков формула (2.12) сводится к (2.9).

Пример расчета hg = hni по уточненной формуле (2.12) представлен на рис.2.6 для двух вариантов, когда фиксируется состав в барьерных слоях (xb = 0.4) или поддерживается постоянной разница x = xb x0 при изменении состава x = x0 в активной области. Максимальный сдвиг hg относительно Eg в GaAs достигается на переходах 22 при уменьшении d до Рис. 2.6. Изменение hg = hni с составом x0 в активной области при d = 100A. x = xb x0 = 0.3 (сплошные кривые), xb = 0.4 (штриховая кривая).

Цифры показывают тип переходов: 11, 1 1 и 22.

100A и увеличении x0 до 0.2 и составляет порядка 380 мэВ. Предельный сдвиг hg относительно Eg в GaAs соответствует переходам 22 при некоторой ширине квантовой ямы d, когда уровни Ec2 и Evh2 начинают выходить за барьеры, либо - переходам 1 1, когда в квантовых ямах остаются только уровни с n = 1. Отсюда следует, что hg < Eg (x0 ) + Ec + Ev = 1.424 + 1.247x0 + 0.848x + 0.399x = 1.424 + 1.247xb (эВ). При составе x = xb 0. в барьерных слоях достижим сдвиг hg порядка 0.5 эВ относительно Eg в GaAs.

Изменение ориентации квантоворазмерных слоев отражается, главным образом, на продольной эффективной массе тяжелых дырок. Соответственно должна изменяться на величину порядка 10 мэВ энергия квантов для переходов 11 и 22.

Дополнительно приведем выражения для волновой функции электрона в квантовой яме, удовлетворяющей уравнению Шредингера в приближении эффективной массы. С учетом нормировки и граничных условий имеем Рис. 2.7. Параметры огибающей волновой функции электронов n (сплошные кривые) и C2 (штриховые кривые) в зависимости от положения уровней подзон в квантовой яме. Цифры на кривых – значения квантового числа n.

где огибающая волновая функция записывается в виде (n = 1, 2, 3...) Здесь kz d = n 2, = arcctg (U0 /Ecn ) 1, C2 = / (1 + d/2), = (2mc / 2 ) (U0 Ecn ). Величина характеризует глубину проникновения n волновых функций за пределы квантовой ямы: n = 1/2. В лазерных системах с достаточно большими барьерами для нижних подзон выполняется n /d (1/2n) Ecn /U0. При этом амплитудный коэффициент огибающей волновой функции C2 связан с n выражением C2 d/2 14n /d. При сравнимых Ecn и U0 параметр n приближается к d, а C2 падает до нуля (рис.2.7).

Следующее уточнение положения уровней подзон в квантовой яме связано с различием эффективных масс носителей в самой яме и барьерных слоях. Тогда необходимо дополнительно использовать условие непрерывности величины (1/mc )dn /dz на границе квантовой ямы и барьерных слоев.

Решение уравнения Шредингера снова имеет стандартный функциональный вид (2.14), где несколько изменяется запись нормировочных коэффициентов и C2 в барьерных слоях, а в выражении для вместо mc стоит mcb – эффективная масса электронов в эмиттере. Собственные значения энергии электронов находятся из уравнения Обычно mcb > mc, поэтому уровни оказываются ниже из-за "утяжеления"квазичастиц в результате проникновения волновых функций в барьерные слои. Хорошим приближением (2.15) служит выражение Ошибка при расчетах по формуле (2.16) для Ecn U0 составляет менее 11%. Причем, когда mcb mc, то результат оказывается завышенным, а при mcb 2mc – заниженным.

Используя (2.16), получаем аналитическую формулу для частоты генерации:

При mcb = mc и mvib = mvi (2.17) переходит в (2.12). В системе GaAsAlGaAs учет скачков эффективных масс носителей на границах квантовых ям приводит к уменьшению значения hg. При толщинах 50 100A сдвиг hg для переходов 11 и 22 составляет 6–14 мэВ.

В лазерных сверхрешетках необходимо учитывать близость квантовых ям друг к другу. Тогда при сшивании огибающих волновых функций n (z) используются периодические граничные условия для значений n (z) и (1/mc )dn /dz. Учет конечной толщины барьерных слоев D показывает, что с уменьшением D состояния в квантовой яме, описываемые четными огибающими волновыми функциями (n = 1, 3...), опускаются, а состояния с нечетными волновыми функциями (n = 2, 4...) поднимаются. Для этих состояний условия выхода из квантовой ямы смягчаются. Собственные значения энергии удовлетворяют уравнению где = 2mcb (U0 Ecn ) / 2. Удобно ввести величину 0 = 2mcbU0 / 2.

Для типичных лазерных систем 0 d – порядка. Поэтому при D d обычно выполняется 0 D.

Аналитическое выражение для Ecn имеет вид Ошибка в определении Ecn по формуле (2.19) составляет при Ecn /U менее 13%.

Окончательно формула для частоты генерации в квантоворазмерных гетероструктурах принимает вид где 0k = 2mkb Ek / 2 характеризует глубину проникновения волновых функций в барьерные слои. В лазерных сверхрешетках на основе GaAs AlGaAs при D 100A величина 0 D превышает обычно 5. Поэтому состояния в квантовых ямах взаимодействуют слабо и система действует, практически, как набор независимых квантовых ям. Учет конечной толщины барьерных слоев в этом случае не приводит к существенным поправкам.

Таким образом, в квантоворазмерных лазерах появляются новые возможности управления частотой генерации. Кроме подбора материала активной области, изменения легирования, добротности резонатора, уровня накачки и температуры, положением уровней подзон и, соответственно, частотой генерации можно управлять, варьируя толщину активного слоя, высоту потенциальных барьеров, их ширину и состав эмиттеров, изменяя ориентацию квантоворазмерных слоев. Приведенные аналитические выражения для энергии генерируемых квантов позволяют в каждом конкретном случае оценить пределы изменения hg.

Хотя первые сообщения о лазерном действии гетероструктур с квантовыми ямами появились в 1978 г., практический интерес к таким структурам возник с 1982 г., когда стало возможным создавать оптимальные сверхрешетки. Использование квантовых потенциальных ям открывает новые возможности улучшения характеристик гетеролазеров и управления их внутренними параметрами. Лазерный эффект уже достигнут в структурах типа квантовая проволока и квантовая ячейка (рис.2.8). Поэтому нужны оценки пороговых условий накачки.

Рис. 2.8. Схематическое изображение активной области лазерных гетероструктур обычного типа (а), с квантовой ямой (б), в виде квантовой проволоки (в) и квантовой ячейки (г). d – толщина активного слоя, w – его ширина, L – длина резонатора.

В качестве ориентира ожидаемых токов инжекции может служить уровень накачки, требуемый для достижения инверсной заселенности в активной области. Плотность тока инверсии – важный спектроскопический параметр гетероструктур с квантоворазмерной активной областью. Он показывает минимально возможный порог генерации при высоком квантовом выходе люминесценции и эффективной инжекции неравновесных носителей тока [10].

С переходом от объемного случая к одно-, двух- и трехмерному квантовому ограничению плотность состояний носителей тока изменяется от корневой до ступенчатообразной, обратнокорневой и дельтаобразной соответственно, как показано на рис.2.9. При этом характерным образом трансформируются спектры поглощения, усиления и спонтанного испускания.

В случае одномерного ограничения из-за ступенчатого распределения плотности состояний концентрация электронов в условиях статистического равновесия в квантовой яме составляет Здесь эффективная плотность состояний Nc1 = mc kT / 2 d обратнопропорциональна толщине активного слоя d, T – температура электронного газа, Fe – квазиуровень Ферми для электронов. Вводя квазиуровень Ферми для дырок Fh и учитывая наличие тяжелых и легких дырок с эффективными массами mvh и mvl соответственно, для концентрации дырок в квантовой яме находим Рис. 2.9. Распределение плотности состояний c (E) в зоне проводимости при отсутствии размерного квантования (штриховая кривая), в случае квантовой ямы, d = 200A (ступенчатая кривая), для квантовой проволоки, d = w = 200A (пилообразная кривая) и при трехмерном квантовом ограничении, d = w = L = 200A (дискретные уровни). mc = 0.07me, цифры показывают квантовые числа и факторы вырождения (в скобках) уровней подзон.

Здесь Nvi1 = mvi kT / 2 d, Ev0 –потолок валентной зоны, Evin – начальные уровни подзон в валентной зоне, а индекс i = h, l относится к тяжелым и легким дыркам соответственно. Концентрации электронов и дырок связаны между собой условием электронейтральности p = n + N, где через N обозначена разность концентраций ионизованных акцепторов и доноров.

В выражениях (2.21) и (2.22) суммирование производится по подзонам, возникающим в квантовых ямах. При достаточно большой величине потенциальных барьеров уравнения для уровней подзон имеют вид (2.3).

При этом выполняется где mri = mc mvi / (mc + mvi ) – приведенная масса с учетом соответствующих дырок.

Положение уровней возникающих подзон показано на примере структуры GaAs AlGaAs на рис.2.10. При заданной разности ширин запрещенной зоны Eg контактирующих материалов и указанных значениях эффективных масс электронов mc, тяжелых дырок mvh и легких дырок mvl в квантовых ямах шириной 200A реализуется до трех подзон электронов, пять подзон тяжелых дырок и две подзоны легких дырок.

Рис. 2.10. Положение уровней подзон электронов (e), тяжелых (hh) и легких (lh) дырок в квантовых ямах гетероструктуры GaAs AlGaAs. Барьер в зоне проводимости составляет 0.16 эВ, в валентной зоне – 0.06 эВ, d = 200A, mc = 0.07me, mvh = 0.5me, mvl = 0.12me.

В случае прямых переходов в квантовых ямах на правило отбора по волновому вектору электрона в плоскости его компонентов kx, ky налагается условие сохранения номера подзоны. Правило отбора по квантовому числу n = 0 строго выполняется для бесконечно больших барьеров. Однако и в реальных случаях интегралы перекрытия огибающих волновых функций наиболее близки к единице лишь для межзонных переходов с сохранением квантового числа n. Таким образом, спектры поглощения и спонтанного испускания представляются суперпозицией отдельных полос, связанных с оптическими переходами между подзонами с одинаковым номером n.

Суммируя по всем возможным межзонным переходам на частоте света аналогично тому, как это делается в объемном случае, для коэффициента усиления, равного коэффициенту поглощения света с обратным знаком, получаем Здесь функции распределения имеют вид где Это – уровни энергии, между которыми происходят прямые переходы на частоте. В предельном случае бесконечно больших потенциальных барьеров для этих пар уровней, учитывая (2.23), находим Ecni = Ec0 + (mri /mc ) (h Eg ), Evni = Ev0 (mri /mvi ) (h Eg ).

Переходы между подзонами начинаются с квантов света hni = Eg + Ecn + Evin. Поэтому в (2.24) фигурирует ступенчатая функция Hni со значениями Hni = 1 при h hni и Hni = 0 при h < hni.

Параметр ni учитывает поляризационную зависимость вероятности оптических переходов. Он определяется не только ориентацией напряженности электрического поля электромагнитной волны относительно плоскости квантоворазмерных слоев, но и положением уровней подзон, участвующих в оптическом переходе. Для квантоворазмерных гетероструктур на соединениях AIII BV, выращенных, например, в плоскости (100), поляризационный параметр ni на частоте начальных переходов ni для ТЕ-моды составляет величину 3/2 для тяжелых дырок и 1/2 для легких дырок. Для ТМмоды в случае начальных переходов с участием тяжелых дырок ni = 0, а для легких дырок значение ni достигает 2. Вектор напряженности электрического поля в ТЕ-моде ориентирован в плоскости усиливающих слоев, а в ТМ-моде он перпендикулярен этой плоскости. Для изотропной радиации, очевидно, выполняется ni = 1.

Коэффициент Эйнштейна Acv прямо пропорционален квадрату матричного элемента дипольного межзонного перехода |Mcv |2 и равен Acv = 4n0 e2 h/m2 2 c3 |Mcv |2, где n0 –показатель преломления, h Eg. Плотность мод электромагнитного поля в кристалле составляет = (h)2 n2 /2 c2 3 v, v - скорость света.

Степень возбуждения полупроводника определяется разностью квазиуровней Ферми F = Fe Fh. Когда F превышает пороговую энергию квантов света h1h = Eg + Ec1 + Evh1, с которой начинаются переходы между первыми подзонами электронов и тяжелых дырок, то в интервале частот, удовлетворяющих условию h1h h F, возникает усиление света.

Аналогичным образом получаем выражение для скорости спонтанных переходов:

Отметим, что в (2.26) проведено усреднение по всем возможным направлениям поляризации излучения. Чтобы получить скорость спонтанной рекомбинации Rsp, необходимо проинтегрировать (2.26) по энергии испускаемых Рис. 2.11. Спектры усиления (поглощения) (сплошные кривые) и спонтанного испускания (штриховые кривые) при T = 300 K в нелегированной квантовой яме на GaAs, d = 200A. F Eg = 15 (1,3); 50 мэВ (2,4). Пары цифр 11 и 22 указывают номера подзон для переходов с участием тяжелых дырок, цифры 1 1 обозначают переходы с участием 1-й подзоны легких дырок.

фотонов.

Форма спектров усиления (поглощения) и спонтанного испускания показана на рис.2.11. Кривые 1 и 3 соответствуют F = h1h, т.е. началу инверсной заселенности в квантовой яме. Если использовать параметры GaAs, то Acv 1.5 109 c1 и нормировочные коэффициенты составляют 0 = Acv me / 2 vd 3.2 104 см1, r0 = Acv me / 2 d 3. 1029 c1 ·см3 ·эВ1 при d = 200A.

Подставляя (2.25) в (2.26), для скорости излучательной рекомбинации в случае больцмановского распределения носителей тока в зонах, когда fe (Ecni ) fn (Evni ) = exp [(F h)/kT ], получаем Если распределение носителей в одной из зон вырожденное, то выражение для Rsp также упрощается. Приближенно для n-типа имеем Rsp Acv p, а для p-типа – Rsp 2Acv n, где концентрации p и n зависят через Fh и Fe от тока.